第十二讲：游戏必胜的策略
获胜对策
获胜对策一、知识要点获胜对策是指在数学游戏中按指定的规则轮流进行。
获胜的关键是设计一种可操作的不受外界干扰的策略。
采用分析和倒推的方法常常可以帮助我们发现其中的规律，找出取胜的方法。
二、典型例题例1、两人按自然数顺序轮流报数，每人只能报1个或2个数。
比如第1个人可以报1，第2个人可以报2或2、3；第1个人也可以报1、2，第2个人可以报3、4。
这样继续下去，谁报到30，谁就获胜。
怎样才能做到必胜？解析：从后面忘前想，加入其中一人报数为29，那么对方报一个数就把30抢走了；如果这个人报28，对方报两个数也把30抢走了。
所以要想抢30，必须先抢27。
同样，要想抢27，必须先抢24，要抢24，必须先抢21；由此类推，30、27、…、12、9、6、3，第一步必须抢3。
解：后报数者有必胜策略。
如果第1个人报1，第2个人就报2、3；如果第1个人报1、2，第2个人就报3.接着，当第1个人报一个数时，第2个人就报两个数，使第2个人始终报3的倍数。
这样后报者必胜。
如果交换报数顺序，但对方未掌握必胜策略，那么，第1个报数的人一旦抓住机会报出3的倍数，先报数者也能稳操胜券。
举一反三训练11、一堆妻子有1000个，两人轮流从中任取，每次取的个数不得超过7，取得最后棋子者为败。
如果要先取的人胜，他该怎么办？2、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10且大于0的自然数，每次写一个数。
游戏规则是不允许写黑板上已写过的因数，轮到游戏人无法再写时就是输者，现在甲先写，乙后写，谁能获胜？需什么对策？3、一堆火柴40根，甲、乙两人轮流去拿，每人每次可拿1至3根，不许不拿，谁拿到最后一根谁胜。
乙让甲先拿，谁一定能取胜？4、两个人做一种游戏：轮流报数，必须报不大于6的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的和事99，谁就获胜。
如果你先报数，那么为了获胜，你第一次报几？以后怎么报？例2、n个“—”排成一行，甲、乙两人轮流改写“—”为“＋”，每次只准改一个或相邻的两个，先得全部“＋”者胜。
小学奥数精讲：对策问题之必胜策略
小学奥数精讲：对策问题之必胜策略知识点总结：一取余制胜（取棋子，报数游戏）1．每次取1~n个棋子，总数，取最后一个赢策略：总数÷（1+n）有余则先，拿掉余数，之后总与对手凑成1+n即可无余则后，总与对手凑成1+n即可2. 每次取1~n个棋子，总数，取最后一个输策略：最狠的做法就是留给对方一枚棋子，对方不取也得取。
所以想赢的关键就在于能不能取到倒数第二枚棋子。
问题转化为：每次取1~n个棋子，总数，取倒数第二枚棋子赢。
（总数-1）÷（1+n），之后同1中做法。
二．抢占制胜点（倒推法）1. 能一步到棋子的位置均是不能走的地方即负位2. 处处为别人着想。
自己不能走的地方逼别人走进去即可，即确定制胜点。
三．对称法1. 同等情况下，模仿对方步骤可以达到制胜目的。
2. 不同等情况下，创造对等局面方可制胜。
1.桌子上放着100根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～5根。
规定谁取走最后一根火柴谁获胜。
如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析：100÷（1+5）=16 (4)有余数，先拿必胜，甲必胜。
（1）甲先拿4个；（2）乙拿a个，甲就拿6-a个2.甲乙两人轮流报数，报出的数只能是1～7的自然数。
同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜。
请问必胜的策略是什么？分析：80÷（1+7）=10无余数，后拿必胜。
甲拿a个，乙就拿8-a个必胜3.1000个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7格。
规定将棋子移到最后一格者谁赢。
甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？分析：（1000-1）÷（1+7）=124 (7)有余，先走必胜。
（1）甲先走7格（2）乙走a格，甲就拿8-a个必胜4.5张扑克牌，每人每次只能拿1张到4张。
谁取最后一张谁输。
必胜的策略是什么？分析：先拿4张，留给别人1张就行。
5.现有1000根火柴，甲乙两人轮流去拿，每人每次最少拿1根，最多拿7根，谁取最后一根谁输。
第十二讲 策
但是，最困难的是，广大消费者对这种新产品不予认同。 为打破僵局，盛田曾耗费大量人力与财力做普及性宣传与 推销。如用汽车拉着录音机及磁带，走遍大街小巷，试图 改变人们的看法，却收效甚微。后来，是一件偶然的事使 盛田茅塞顿开。有一天，他正在一家古玩店里闲逛，店里 摆放着一只不显眼的旧坛子，一位识货的顾客毫不犹豫地 以相当高的价格买下了它。他由此领悟到：一只旧坛子在 常人眼里与识货者并需要它的人眼里，身价是这样的不同： 前者认为是一钱不值的东西，到后者眼里，却变得价值连 城。为什么有如此大的差异，是因为对于同一件物品，不 同的人群有不同的评估标准，从而可以产生不同的效应。
《孙子兵法》中，在《虚实篇》里用过策这个词。原话是： “故策之而知得失之计，作之而知动静之理，形之而知死 生之地，角之而知有余不足之处。”其中的策，有人曾解 释为计谋，并不确切。它的意思是策度，比谋的涵盖范围 要小。杜佑在注解孙子的策时说：“策度敌情，观其所施， 计数可知。”指的是在作战过程中及时观察对方行动的变 化而提出适当的对应措施。这是符合作者原意的。如果再 进一步挖掘，这段话里的策、作、形、角四个词是相呼应 的。策指策度，作指动作，形指示形，角指较量(如小规模 火力侦察)，都属于适应范围较小的一组概念。
鸡蛋为什么不能放在同一只篮子里 在商战中，为能做到首尾相顾，便不可把鸡蛋放在同一 个篮子里。 我国20世纪的二三十年代，有一位号称“火柴大王”的 刘鸿生，十分欣赏一句谚语：“不要把鸡蛋放在同一只篮 子里。”他用生动的语言告诫人们：切记在任何情况下不 要丧失自我救助能力。 刘鸿生创办企业始于1919年，先是办火柴厂，生产的高 级药水梗火柴，是民族火柴业中的首创，一炮走红。不仅 畅销大江南北，还远销国外。据史料记载：它创的品牌为 “宝塔牌”，每年赢利十余万元。
华罗庚学校数学课本(6年级上册)第12讲 棋盘中的数学(3)
第十二讲棋盘中的数学（三）——棋盘对弈的数学问题我们看这样一个比输赢的问题．例1 在8×8的棋盘格中的某个格子里已放入一枚棋子“王”（如右图），甲、乙两人轮流移动“王”子，每次只能横向或竖向移动一格．凡“王”子已经占据过的格都不得再进入．谁先遇到无法移动“王”子时，谁就算输方．试证明，先走者存在必胜的策略．分析“王”子已占一个格，还剩下8×8－1＝63个格，比如甲先走一个格，还剩下62个格．若能将62个格分成31对，每对都是相邻的两小格，这时该乙走，乙领先进入一格，甲就随之进入与其配对的格，这样就造成了甲必取胜的态势．因此，将64个格两两配对成为32个1×2的小矩形是解决本题的关键．证明：设甲为先走的一方，在甲的心目中如上图将64个方格两两配对分成32个1×2的小矩形，“王”子必在某个1×2的小矩形的一个格子中．甲先走，将“王”子走入这个1×2的小矩形的另一个格子中．这时还有31个1×2的小矩形，每个小矩形中都有两个小方格．这时该乙走，乙总是领先进入某个1×2小矩形的第一个格，甲就可以随之进入这个小矩形的第二个格．由于不能重复进入“王”已经进过的格子，所以乙总处于领先进入新的小矩形的第一格的地位，甲就总可随之进入这个小矩形的第二个格．最后必然乙先无法移动“王”子，乙输．甲必取胜．例2 下图是一盘未下完的中国象棋残局，各子走法必须按中国象棋的规则办事，将对方憋死或无法走子时算取得胜利．如果轮到乙方走，问乙怎样走法才能取胜？分析在上图中，双方的将（帅）均无法移动，双方的士（仕）也无法移动，底炮也不能在横线上移动（否则对方可将炮沉底打闷将）．底线兵（卒）只能横向移动．谁先移动底线兵（卒）打将，会造成对方将（帅）移出，从而出现移兵（卒）方自己必输的态势．因而只有底炮、中炮和边卒（兵）可以在纵线上移动，兵（卒）只能前移1步，中炮只能前移4步，底炮只能前移8步．现在的问题是：乙先走，轮流走完这三对子的13步，问乙怎样走才能取胜？解：我们把乙的获胜策略及甲的各种走法列表于下（其中，“甲1，乙1”分别表示，“甲第一步走棋”与“乙第二步走棋”，其余类同；“中炮2，相炮3，卒1”分别表示“中路炮进2步”，“相位炮进3步”和“卒进1步”．其余类同；“结果”栏表明乙1，甲1，乙1之后的态势，其中的“距”以步为单位）：其中，情形⑦～⑩显然为乙胜．情形①，②中，如甲2进炮几步，则乙3就将另一路炮进同样步数，…，这样，终将乙胜．情形③，④与⑤，⑥是类似的．以③为例，甲的各种走法及乙的策略见下表：显然，各种情形中也是乙胜．注意，若甲某次退炮几步，则乙接着将同一路炮进相同步数（这样，这两只炮之间的间隔没有改变）．说明：本题的深刻道理和规律在于自然数的二进制表示，将1步，4步，8步分别用二进制表示为1，100，1000．当乙从8步中走了3步后，变为还有5步即1，100，101．我们把这三个数写成竖式11 0 01 0 1容易看出每一个数位上的数字之和都是偶数．（这里均勿进位）．无论甲怎样走，所走的那一行的步数（用二进制表示）至少有一个数位上的数字发生了变化，从而破坏了上面的规律，即不是每一个数位上的数字之和都是偶数了，比如说，甲在中路炮进一步，三路的步数变为：11 11 0 1这时三个数位上的数字之和1＋1＋1，1＋0，1都不是偶数．乙再接着走，他的办法是恢复上面的规律．这是能办到的．首先，他看一下数字和不是偶数的最高数位，三路步数二进制表示中至少有一路在这数位上的数字是1，然后，他就在这一路上走若干步，使得上述数位上的数字和为0，而较低数位上的数字为1或0以保证这些数位上的数字之和为偶数，其它数位上的数字不变．比如，对于上面的情形，乙应当在“相”位炮所在的路线上走3步，将三路步数变为：11 11 0这样继续下去，步数逐渐减少，必有结束的时候，由于甲走后，不是每个数位上的数字之和都是偶数，所以甲不可能走到最后一步．走最后一步的是乙，所以乙必然取胜．例3 如下图是一个9×9棋盘，它有81个小正方形的格子，在右上角顶的格子里标有“▲”的符号代表山顶．A、B两人这样来游戏：由A 把一位“皇后”（以一枚棋子代表）放在棋盘的最下面一行或最左边一列的某个格子里（即放在右图中阴影区域的一个格子里），然后由B开始，两人对奕：“皇后”只能向上，向右或向右上方斜着走，每次走的格数不限，但不得倒退，也不得停步不前；谁把“皇后”走进标有“▲”的那格就得胜．显然，双方对弈下去决不会出现“和棋”，在有限个回合后，必有一胜一负，试分析B必取胜的策略．这个游戏我们不妨称之为“皇后登山”问题．分析我们采用倒推分析的方法．如果A把皇后走进下图中带阴影的格子，则B就可一步把皇后走到山顶而获胜．因此任何一方都应该避免把皇后走进右图中的阴影地区，而都应该迫使对方不得不把皇后走至带阴影的格子里去，这是取胜的总的指导思想．那么B应把皇后走到哪些格子中才能迫使对方不得不把皇后走进上图中带阴影的格子里去呢？从上图中可看出，这样的格子只有两个：有标号①和②的格子．由此可知，如果谁抢占了①或②，只要走法不再失误，就必会得胜．因此，我们形象地称①、②两格为“制高点”．那么为占①或②，如下图，如果A把皇后走进有★的方格里，则B 就能占领①或②，从而获胜，而B又怎样迫使A不得不把皇后走进有★的或有阴影的方格呢？同样的分析可知，只要B能占领第二对制高点③或④即可．继续运用上述分析方法，还可以得到下一组制高点⑤和⑥．这时，不论A开始把皇后放在最左一列与最下面一行的哪个格子中，B第一步都可以抢到一个制高点，或者第一步就直接达到▲，只要走法得当，必能稳操胜券的．说明：1．如果我们给出的是8×8的国际象棋盘，玩“皇后登山”游戏，A开始把皇后放在最左列或最下行的哪个格时，A必胜？这时我们看到，对8×8棋盘，制高点⑤在最左列上，制高点⑥在最下列上，所以A 开始把皇后放于⑤或⑥，则A必胜，放在其它格时，B可抢到制高点，则B必胜．2．如果在普通的围棋盘上，（共有18×18＝324个格）玩“皇后登山”游戏．B取胜的制高点都是哪些？请读者自己找出来．可以告诉大家，一共有六对，计12个制高点．例4 在8×8的国际象棋盘中（如下页图）有三枚棋子，两个人轮流移动棋子，每一次可将一枚棋子移动任意多格（允许两枚或三枚棋子在同一格），但只能按箭头所表示的方向移动．在所有棋子都移到A点时，游戏结束，并且走最后一步的算赢，问哪一个人能够获胜？解：由三枚棋子到A的格数分别要走59步，50步和30步，这样就与例2在三条路线上走步本质上一样的，我们不妨把59，50，30这三个数写成2进制．59＝（111011）2，50＝（110010）2，30＝（11110）2排在一起：1 1 1 0 1 11 1 0 0 1 01 1 1 1 0第一个人应当将第一行的111011改为101100，也就是减少11ll，这样就使各个数位上的数字和为偶数．这时无论第二个人如何走都将破坏这个特性，第一个人接着可以采取使各个数位上的数字和为偶数的方法，稳步地走向胜利．这就是说，第一个人应当将最外面的棋子移动15步（即（1111）2＝1×23＋1×22＋1×2＋1＝15），即可按例2的规则稳步取胜．习题十二1．如下页图是一个3×101的棋盘，甲每次可走一个黑子，乙每次可走一个白子．每枚棋子只能在它所在的行沿固定方向移动，走步数不限，但不能越过对方棋子，谁不能走子谁算输．若甲先走，请指出甲必取胜的着法．2．对8×8的棋盘，讨论“皇后登山”问题．3．在普通围棋盘上（共18×18＝324个格）讨论“皇后登山”游戏．4．图a是一个彩色激光棋盘，上面有红（打×）黄（空白格），蓝（斜线格）三种颜色的方格．游戏人可以随意地通过按电钮将某一行或某一列的小方格同时改变颜色，红变黄，黄变蓝，蓝变红，如果按不多于10次电钮将图a变为图b，便可得奖．问游戏人能否得奖？5．由甲在2×19的棋盘格上任放两个皇后Q1与Q2（如图）于两行中，然后乙开始先走棋：如果走一个皇后，则可把任一皇后向右（向E 方向）走任意多少格；如果同时走两个皇后，则必须向右同时走相同的格数，不得不走棋，也不可倒走；这样轮流走棋，谁使得另一方无棋可走时即获胜，试讨论乙取胜的策略．习题十二解答1．甲先把一行黑子走99步顶住乙方白子，以后乙走多少格，甲在另一行也走多少格，最后甲必取胜．2．见例3说明中第1款．3．见例3说明中第2款，其12个制高点如下图所示．4．参加游戏的人无论按多少次电钮都无法把图a变为图b．事实上只需证明左上角3×3的矩形不能互相转换就行了．为此，我们分别用数字1、0、－1分别代换红、黄、蓝三种颜色．注意每按一次电钮，同时改变颜色的三个方格的数字和虽可能改变，但被3除余数是不变的，图a左上角9个数字和被3除余数是0，图b左上角9个数字和被3除余数是1，故图a永变不成图b．5．Q1到E有16格，Q2到E有13格，可记为（16，13）乙应把棋走成（8，13）或（7，4）．往后只要不犯错误，便可取胜．。
对策问题之必胜策略讲解学习
对策问题之必胜策略讲解学习对策问题之必胜策略精品文档对策问题之必胜策略知识点总结：一取余制胜（取棋子，报数游戏）1．每次取1~n 个棋子，总数，取最后一个赢策略：总数÷（1+n）有余则先，拿掉余数，之后总与对手凑成 1+n 即可无余则后，总与对手凑成 1+n 即可 2. 每次取 1~n 个棋子，总数，取最后一个输策略：最狠的做法就是留给对方一枚棋子，对方不取也得取。
所以想赢的关键就在于能不能取到倒数第二枚棋子。
问题转化为：每次取 1~n 个棋子，总数，取倒数第二枚棋子赢。
（总数-1）÷（1+n），之后同 1 中做法。
二．抢占制胜点（倒推法） 1. 能一步到棋子的位置均是不能走的地方即负位 2. 处处为别人着想。
自己不能走的地方逼别人走进去即可，即确定制胜点。
三．对称法 1. 同等情况下，模仿对方步骤可以达到制胜目的。
2. 不同等情况下，创造对等局面方可制胜。
1. 桌子上放着 100 根火柴，甲、乙二人轮流每次取走 1～5 根。
规定谁取走最后一根火柴谁获胜。
如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析：100÷（1+5）=16……4 有余数，先拿必胜，甲必胜。
（1）甲先拿 4 个；（2）乙拿 a 个，甲就拿 6-a 个2. 甲乙两人轮流报数，报出的数只能是 1～7 的自然数。
同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜。
请问必胜的策略是什么？分析：80÷（1+7）=10 无余数，后拿必胜。
甲拿a 个，乙就拿 8-a 个必胜3. 1000 个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动 1～7 格。
规定将棋子移到最后一格者谁赢。
甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？分析：（1000-1）÷（1+7）=124……7 有余，先走必胜。
（1）甲先走7 格（2）乙走a 格，甲就拿 8-a 个必胜4. 5 张扑克牌，每人每次只能拿 1 张到 4 张。
第十二讲 获胜的策略
A12标准教程获胜的策略【知识点与基本方法】对策问题主要是研究下棋、赛马、乒乓球等比赛，以及多种游戏活动。
在这些活动中，参与竞争的对方都想获胜，必须考虑对方可能怎样决策，从而选出一个最好的对付策略，这称为获胜的策略。
这类问题不仅有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强。
因此解答这类问题，需掌握一些相关的知识，如质数、互质数、中心对称、轴对称等，这是获得最佳对策的关键。
另外，“游戏”双方胜负不仅取决于先后顺序，而且还取决于最终的局况，所以这类问题常用倒推法，从特殊到一般的方法。
【典型例题】例1：甲乙二人抓珠子，规定最多可以抓3个，最少可以抓1个。
谁抓到最后一个棋子就算输。
若甲先去抓，珠子2001个，问乙是否有必胜的把握？分析：甲乙二人都要使对方取得最后一个珠子，才能获胜。
因为2001=4×500+1，可以得到乙能获胜的最佳策略：甲先抓珠子，无论抓1个、2个、3个，乙均能相应地抓出3个、2个、1个珠子，使自己取出的个数与甲保持和为4，双方在取了500次以后，剩下最后一个珠子，甲不得不取走。
甲输，故乙必赢。
例2：有一种报数游戏，游戏的规则是：（1）两人轮流报数；（2）每人报的数只能是1——10中的某一个数；（3）谁报数后两人所报数字之和是1998，就算谁胜？如果先让你报,你应该报几才能胜利？为什么？你获胜的策略是什么？分析：1998=11×181+7，采取的策略是先报7，以后当对方报一个数a(1≤a≤10),你就应该报（11-a）这个数，当对方报了181次后，你必胜。
例3：盘子里有80颗珠子，甲乙二人每次轮流取走1——3粒珠子，谁能取完盘子里面的珠子谁就获胜。
如果双方都采取最佳取法。
乙先取，那么获胜的一定是谁？分析与解：因为80=4×20，当乙取任意1至3粒珠子后，甲所取之数始终与乙所取之数的和为4，两人象这样各取了19次后，还剩下4粒珠子，无论甲乙取走几粒（1——3粒），甲总能取走最后的珠子。
必胜策略
必胜策略
1.桌上有34枝铅笔，甲、乙两人轮流拿铅笔，最后取完的为胜。
最少拿1枝，最多拿2枝，问甲取胜的策略是什么?
2.有一种游戏被称为“抢四十”，游戏规则是两人轮流报数，每人每次至少报1个数，最多报7个数，从1到40按顺序连续报数，谁先报到40，谁就获胜。
给出取胜方法。
3.甲、乙两人轮流报数，必须报1～4的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的和是1000，谁就取胜。
如果甲要取胜，有什么方法?
4．甲、乙两人玩报数游戏：甲、乙两人可轮流选报1～7中的自然数，每次报1个，并把他们报出的数累加起来，累加到1994时的最后一个报数者为胜者。
如果甲先报，请你为他设计必胜方案。
5．54张扑克牌，两人轮流拿牌，每人每次只能拿1张到4张，谁拿到最后一张谁输。
问先拿牌的人怎样确保获取胜利?。
获胜的策略
策
◎ 浙江 陶云娥
在游戏、 斗智、 比赛等活动巾 ， 只有抓住关键 ， 找到最优 策略 ，
才能赢得最后 的胜利 。 在拿牌 、 取球 、 报数 等错力游 戏 中， 会 因规 箱 则、 数 量 和 谁 先 取 的不 同而 出现 不 同 的情 况 ， 所 以取胜 的 方 法 要
谁就输 。如 果你先拿 ，怎样拿
有必胜的把握 ？如 果规 定：每
ห้องสมุดไป่ตู้
人每次拿 １ ～ ３张牌 呢？
【 分 析 与解 】 为 了确 保 获 胜 ， 你要 设法 使 自己在最 后 一 次 拿 牌 后， 还 剩 一 张牌让对方 拿。
其实 ， 把你先拿 的一次除外 ， 接着每一轮就郁是对方先拿 了。
拿的张数之和保持为（ １ ＋ ４ ） ５ ， 但不能保证和一定是 ４或 ３等数
厂’ — ｆ ｊ ＿
： 为什么？ ） ， 所以 可将双方共拿５ 张牌作为 一轮， 且在每
轮膳 牌过程中， 都是对方先拿。 根据 ５ ４ ÷ ５ ＝ １ ０ （ 轮） ……４ （ 张） ，
为确保 给对方 留下最后一张牌 ， 你可 以利用先拿 的一 一 次机会， 先
．
栏 目 投 稿 信
根据具体情况灵活确 定。 下面通过两个“ 你 先取 日 ． 有 必 胜 可能 ”
一
的 例 了米 体 会获 胜 的策 略 。
－ －
例 １ 一 副扑 克 牌 有 ５ ４
０
皇
张， 两人轮流拿取 。规 定： 每 人
每 次至少拿 １ 张， 最 多拿 ４张 ， 直至拿完 ， 谁拿到最后一张牌 ，
利 用先取的机会 ， 先取 出 ３个球 ， 使余数变成 ０ 。接着 ， 对方取几
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第十二讲游戏必胜的策略
我国古代有一个“田忌赛马”的故事；齐王经常要求将军田忌和他赛马。
规定各从自己的马中选上等马、中等马、下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马。
每胜一场可得一千金。
田忌的这三个等级的马都不如齐王的好。
但田忌的上等马要优于齐王的中等马，田忌的中等马要优于齐王的下等马。
田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马。
结果，田忌先负一场然后连胜两场，反而赢了一千金。
这个故事是对策的一个典型例子。
他告诉我们：在竞争时，要认真分析研究、寻求并制定尽可能好的方案。
利用它取得尽可能大的胜利，或在胜利无望的时候，也不至于输得太惨。
这种思想在20 世纪形成了对策论这门新兴学科。
下面我们就根据这个理论来想一想对策：
例1、两个人轮流数数，每个人每次可以数1个、2 个、3个，但不能不数。
例如第一个数1、2，第二个接着往下数3，也可以数3、4，还可以数3、4、5,。
如此继续下去，谁先数到100，谁就算胜。
请试一试，怎样才能获胜？
分析：要抢到100，必须抢到96.这时另一个人只能数97 或97、98 或数97、98、99，无法数到100。
如何才能抢到96 呢？有必须抢到92.以此类推，得到一列数92、88、84、, 、4.只要抢到这些数中的任何一个，然后当对方报 a 个数时（1< a茅3时，就报（4-a）个数，这样就能抢到这个数列中的上一个数，直到抢到100.
但无论第一个人报什么数，第二个人都可以抢到4n （n=1、2,）因此第二个人就有必胜的策略。
只有在第二个人产生错误时，第一个人才能获胜。
思考：如果将100改为101 或99，其他条件都不变，先数的人能否获胜呢？（是否还是抢 4 呢？）
例2、有两堆火柴，一堆16跟，一堆11 跟。
甲乙两人轮流从中拿走 1 根或几根甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根谁取胜，问甲如何才能取胜？
分析：这是另一类对策游戏。
我们先考虑特殊情况。
当两堆中的火柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆中取相同的根数，就能保证取到最后一根。
对一般情况可以化为特殊情况。
解：甲从16 根的那堆中先取出16-11=5根，是两堆火柴根数相同。
然后每次根据对手
取得根数在另一堆中取相同的根数，是两堆火柴根数保持相等，直至取到最后一根火柴而获胜。
说明：当乙先取时，如果他不知道获胜的策略，那么甲可以利用已的错误取胜。
例3、一张3X 1（的长方形网格纸有30个小方格。
甲乙两人轮流用剪刀沿方格纸直线剪一刀。
（只能沿直线剪，否则为输）甲将一份分为两份，选送一份给乙；乙按要求剪一刀后，选一份再送给甲,, 如此重复进行，谁送给对方一个方格，谁就获胜。
甲要想获胜，有何策略？
分析：送给对方一个正方形的方格纸，这时后剪的都可以使图形再变成（更小的）正方形，知道取胜为止。
解：甲先剪下7X33勺一块，把3X33勺那块送给乙。
乙只能剪成1X3和2X3 的两块。
若送给甲1X3的那块，正好使甲剪下1X2而获胜。
若送给甲2X3的那块，那么甲再一刀剪成1X2和2X22勺两块，把2X22勺送给乙。
乙只可能切成1X2 的两块。
其中一块送给甲，甲还是获胜。
同学们，这种方法你考虑到了吗？你会不会再遇到问题时，先动脑筋想办
法。
例4、下图是一张由4X 1（个方格组成的棋盘，一人持白子置于A位，另一人持黑子置于 B 位。
随后两个人轮流走子，每一次可以沿一条横线或一条纵线至少走一格，并要遵守下
列游戏规则：
（1）不允许和对方的棋子在同一条直线上。
（2）不能越过对方棋子所在的直线。
轮到谁无路可走，就算输。
B
CA分析：为了找到规律，我们先从最简单的情况入手，以便找到获胜的策略。
解：如果棋盘只有一个方格，两子置于正方形的对角，谁先走谁输。
B
BB1
（1）AA1
（2）A
在22 的棋盘上，先走者按规则只能走动一格，这时后者仍能走一格，变成
（1）图中的形势因此，持白子的人第一步应沿长边移动6格到C点处，C与B是4X4勺正方形对角（两个相对的顶点）然后不论黑子如何移动，白子均可移动，使他和黑子仍然处于一个较小的正方形的对角，直至变成1X1正方形，黑子认
输。
总结：以上几例，实质上都是利用一种对称原理来解决的。
只要抢先给对方制造一个对称图形，输的人一定是对方。
例4、甲乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数。
游戏规则：不允许写黑板上已写过的数的约数。
轮到谁无法写数时，就是输者。
现甲先写，乙后写，问谁能获胜？需要什么对策？
分析：仍然利用对称原理。
抢先给对方制造一个对称。
只要甲先写 6.
解：甲先写6。
乙还有4、5、7、8、9、10 六个数可以选择。
把他们分成三组（4,5）、（8,10）、（7,9）。
乙写某组数中的一个时，甲就写同组数中的另一个，从而一定获胜。
练习
1、甲乙两人轮流报数，每次报的数必须是 1 至8 之内的自然数。
把两人报的数逐次相加，谁正好使和达到88，谁就获胜，甲欲取胜，有何策略？
2、桌面上有1999根火柴，甲甲乙两人轮流的取 1 根或2根，谁取到最后一根火柴谁获胜。
问获胜的策略是什么？
3、有两个箱子分别装有63、108 个球。
甲乙两个轮流在任意箱中取球，规定取得最后一个球的为胜。
甲先取，他应如何取才能取胜？
4、现有三堆火柴，分别为3、
5、8 根。
两人轮流取，每次可以取走其中的一堆，也可以取走一堆中的若干根（一次不能从两堆中取，最少要取一根）。
谁取到最后一根或一堆，谁获胜。
先取的人要保证获胜的策略是什么？
5、把16 枚棋子排成一行。
甲乙二人轮流取走棋子，每人每次可以取走紧挨着的两枚
（如果两枚棋子当中已经有其他棋子被取走，就不算紧挨，就不能同一次取走）如果在甲取走棋子后，乙再也找不到紧挨着的两枚棋子可以取，甲获胜。
甲有获胜办法吗？6、图中是一张2X9棋盘。
甲置白子于A位，乙置黑子于B位。
随后两人轮流走子，每一步可沿一条横线或一条竖线中的一条至少走一格，并遵循如下规则：
（1）不允许和对方棋子处于同一条横线或竖线。
（2）不能越过对方棋子所在的横线或竖线。
（3）轮到谁的棋子无法移动就算失败，若甲先走，甲有胜乙的办法吗？。