一二年级 数学思维游戏 取棋子游戏 必胜策略
取棋子游戏问题
取棋子游戏问题摘要：棋子是一种很普通的东西，可是我们怎样能在已知的规则之下，取的胜利，这是我们本文的目的。
我们的规则是: ( 1）第一次拿者不可以拿掉所有棋子。
（2）其后两人轮流拿，每次最多拿掉前次拿掉棋子数目的两倍。
本文的特点是简单明了。
关键字：棋子，分析法问题重述：1 先拿胜还是后拿胜2 赢得策略模型假设与符号说明：1 当棋子数量足够多2 双方每次都拿很少模型的建立与计算：现在分析当乙拿完之后的情况，举几种特例，来总结一下。
当然，我们假设双方每次都拿很少，为了不让对方一次全部拿走。
(一)乙拿完之后剩余4个。
这个时候只要甲拿走一个，不管乙怎么拿甲都胜利。
（二）乙拿完之后剩余5个。
因为甲不能拿走全部，所以不管甲怎么拿，乙都胜利。
（三）乙拿完之后剩余6个。
甲拿一个。
（1）之后如果乙拿一个的话，则剩余四个，情况同前面，甲必胜；（2）如果乙拿两个，甲可以拿剩余的三个，甲胜利。
（三）乙拿完之后剩余7个。
甲拿两个。
（1）如果乙拿一个，则剩余四个，甲胜；（2）如果乙拿两个或大于两个，甲可以拿走剩余全部，甲胜。
（四）乙拿完之后剩余8个。
甲不能全部拿走，（1）甲拿一个，乙拿两个，乙胜（2）甲拿两个乙拿1个，乙胜（3）甲拿3个以上，乙就全拿走，乙胜。
剩余8个，乙必胜。
（五）乙拿完之后剩余9个。
甲拿1个，剩余8个，前面分析了，剩余8个的时候如果不能全部拿走，那么轮到谁拿谁就输。
所以甲胜。
（六）乙拿完之后剩余10个。
甲拿两个，还是给乙留8个，还是甲胜。
（七）乙拿完之后剩余11个。
甲拿三个，还是给乙留8个，还是甲胜。
（八）乙拿完之后剩余12个。
甲拿一个，（1）乙拿一个，胜10个，如前所述，甲胜;（2）乙拿两个，剩余9个，还是甲胜。
（九）乙拿完之后剩余13个，还是甲胜，还用多说么。
必胜策略已经出炉了。
当棋子足够多的时候，只要甲每次只拿一个，控制乙，乙只能拿一个或者两个。
那么慢慢拿下去，因为每个轮次最多只拿走三枚棋子，到最后就一定会出现乙拿完之后剩余11，10，9这三种情况之一，就是甲必胜。
第23讲 游戏必胜策略
小升初面试第二阶段数学课程--游戏必胜的策略第一部分思维提升（45分钟）我国古代有一个“田忌赛马”的故事；齐王经常要求将军田忌和他赛马。
规定各从自己的马中选上等马、中等马、下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马。
每胜一场可得一千金。
田忌的这三个等级的马都不如齐王的好。
但田忌的上等马要优于齐王的中等马，田忌的中等马要优于齐王的下等马。
田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马。
结果，田忌先负一场然后连胜两场，反而赢了一千金。
这个故事是对策的一个典型例子。
他告诉我们：在竞争时，要认真分析研究、寻求并制定尽可能好的方案。
利用它取得尽可能大的胜利，或在胜利无望的时候，也不至于输得太惨。
这种思想在20世纪形成了对策论这门新兴学科。
下面我们就根据这个理论来想一想对策：例1、两个人轮流数数，每个人每次可以数1个、2个、3个，但不能不数。
例如第一个数1、2，第二个接着往下数3，也可以数3、4，还可以数3、4、5,。
如此继续下去，谁先数到100，谁就算胜。
请试一试，怎样才能获胜？分析：要抢到100，必须抢到96.这时另一个人只能数97或97、98或数97、98、99，无法数到100。
如何才能抢到96呢？有必须抢到92.以此类推，得到一列数92、88、84、 (4)只要抢到这些数中的任何一个，然后当对方报a个数时（1≤a≤3）时，就报（4-a）个数，这样就能抢到这个数列中的上一个数，直到抢到100.但无论第一个人报什么数，第二个人都可以抢到4n（n=1、2…）因此第二个人就有必胜的策略。
只有在第二个人产生错误时，第一个人才能获胜。
思考：如果将100改为101或99，其他条件都不变，先数的人能否获胜呢？（是否还是抢4呢？）例2、有两堆火柴，一堆16跟，一堆11跟。
甲乙两人轮流从中拿走1根或几根甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根谁取胜，问甲如何才能取胜？分析：这是另一类对策游戏。
(完整版)第三讲必胜策略问题.docx
第三讲数学游戏中的必胜策略知识要点：做数学游，如果你掌握了一些策略，就一定能取。
“数”游就是两个人按照一定的流数，并将所的数逐步累加，先到定数的一方；“ 数”游与“ 数”游似，只是先到定数的一方失。
然，里藏着数学奥秘。
例题精选：例1．甲乙二人流数。
从 1 起，每人每次可一个数或两个数。
能得 20 就。
先和同学玩一玩个游。
如果由你先数，你能保？点：可以从 20 往前想，如果想，自己不要19 和 18。
因 19，方 20 一个数就了； 18，方两个数19、 20 就了。
，要想（到20）必到 17。
同理，要想到17，就要争取到14；要想到 14，就要争取到11；要想到 11，就要争取到8；要想到 8，就要争取到5；要想到 5，就要争取到2；因此，先到 2。
方 3，自己 4、5；方 3、4，自己 5。
就又到了 5。
依次方法下去，就一定会了。
例2．甲乙二人流数。
从 1 起，每人每次最多可以 3 个数。
能得 30 就。
点：是游“ 30”。
仍可以采用从后往前想的方法。
要想到 30，就要争取到 26；要想到 26，就要争取到 22；⋯⋯因此，先到 2。
再看方数情况依次 6、 10、14、18、22、26、 30 就可。
例3．按照例 1 的数方法，如果先“ 20”的一方失，怎保？点：就是“ 数游”。
20 就要 19，并且依次 16、13、 10、7、4、1。
因此，要先“ 1”，再根据方数情况依次 4、 7、 10、13、16、19，就把 20 了方。
根据上面三个例，你什么律？例4．按照例 1 的数方法，如果先“ 30”的一方，怎保？点：因每次最多两个数，所以要到“ 30”就要一次 27、24、 21、18、15、 12、9、6、3。
而先数的一方最多只能到“ 2”，因此，可以方先数，再看方数情况依次到3、 6、 9⋯⋯例5．甲乙二人流在方格中移棋子。
如下：（1）只能向右移；（2）每次只能移一格或两格；（3）占最后一格的。
抢数
要想获胜，就要保证能够报出7，要 想报出7，就要保证能够报出4……
1+2=3 10÷3=3……1
想获胜的一方应先报1。接下来对如果对方 报1个数，你就报2个数；如果对方报2个数， 你就报1个数；保证每个回合两人报数的个 数和为3，这样你就能确保胜利。
有2008个棋子，两人轮流取。每次最 多取4个，最少取1个，不能不取。谁 取到最后一粒谁就获胜，你有什么方 法能确保获胜吗？
寻找获胜策略的规律：
豆的颗数 计算 3÷3=1 4÷3=1……1 5÷3=1……2 6÷3=2 7 7÷3=2……1 先取的一方
对方 我方
我方 对方 我方
寻找获胜策略的规律：
豆的颗数 3 4 5 6 7
计算 3÷3=1 4÷3=1……1 5÷3=1……2 6÷3=2 7÷3=2……1
先取的一方 对方 我方 我方 对方 我方
保证每个回合两人取的数和为1+2=3
• 有20颗豆，甲、乙两人轮流取走，每次只 能取1颗或2颗，谁取到最后一颗豆谁就赢。 想一想，获胜策略是什么？
20÷3=6……2
获胜策略：（1）一方先取2颗；（2）接下来 每次对方取1，你就取2，对方取2，你就取1。 保证每个回合两人取的数和为3获胜策略：有余数
3颗豆获胜策略: （1）对方先取; （2）对方取1，你就取2，对方取2，你就取1。
如果是4颗豆、5颗豆、6颗豆呢？ 4颗豆获胜策略: （1）我方先取1; （2）接下来对方取1，你就取2， 对方取2，你就取1。
5颗豆获胜策略：（1）我方先取2；（2） 接下来对方取1，你就取2，对方取2，你 就取1。保证每个回合两人取的数和为3 6颗豆获胜策略：（1）对方先取；（2） 接下来每次对方取1，你就取2，对方取2， 你就取1。保证每个回合两人取的数和为3
游戏与策略-巩固
游戏与策略巩固篇知识点总结：一取余制胜（取棋子，报数游戏）1．每次取1~n个棋子，总数，取最后一个赢策略：总数÷（1+n）有余则先，拿掉余数，之后总与对手凑成1+n即可无余则后，总与对手凑成1+n即可2. 每次取1~n个棋子，总数，取最后一个输策略：最狠的做法就是留给对方一枚棋子，对方不取也得取。
所以想赢的关键就在于能不能取到倒数第二枚棋子。
问题转化为：每次取1~n个棋子，总数，取倒数第二枚棋子赢。
（总数-1）÷（1+n），之后同1中做法。
二．抢占制胜点（倒推法）1. 能一步到棋子的位置均是不能走的地方即负位2. 处处为别人着想。
自己不能走的地方逼别人走进去即可，即确定制胜点。
三．对称法1. 同等情况下，模仿对方步骤可以达到制胜目的。
2. 不同等情况下，创造对等局面方可制胜。
1.桌上有30根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取1～3根，且取最后一根者为赢。
问：先取者如何拿才能保证获胜？2.甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报1～4个数，谁报到第888个数谁胜。
谁将获胜？怎样获胜？3.1111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7格。
规定将棋子移到最后一格者输。
甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？4.（1）有两对火柴，每堆都有97根。
两人轮流从两对里的其中一堆里拿，拿的根数不限。
谁拿到最后的部分谁获胜。
那么谁将必胜？获胜的策略是什么？（2）分别装有63,108个球的两个箱子，两人轮流从任一箱中取球，取得球数不限。
规定取得最后球者胜，谁有必胜的策略？怎么获胜？5.图中是一副2007棋，甲乙两人玩棋，分别取红黑两方。
规定下棋时，每人只能走任意一枚棋子，每枚棋子每次可以走一路或几路，红旗从左至右，黑旗从右至左，但不能跳过对方棋子走，也不能重叠在对方有棋子的格子里，一直到谁无法走棋时谁就失败。
甲先乙后，请问谁有必胜的策略？6.在一个挖去中间的2×2正方形的国际象棋棋盘中，在左下角中放有一枚棋子“车”，两人轮流移动它，每人每次可往右或向上移动任意多格，谁把“车”移进右上角的红旗位置谁就赢.获胜的策略是什么？7.棋子“后”位于放个C1中，两人轮流移动它，甲乙两人每人每次可向上或向右或者沿对角线向右上方移动任意多格。
取石子游戏
从三道例题来看一类常见博弈问题的思维方法。
长郡中学金恺在博弈问题中，有一类最为一般与常见，概括来说满足4个基本要点：1、双人轮流取子，输赢只与当前的局面有关，而与之前怎么取的无关；2、取子的方法可以是多种不同的取法相结合。
13、某个人无法按规则取了就算输——即没有后继状态的状态为败局；4、石子越取越少，或者存在某种特殊的性质，使得状态不可能出现循环——状态存在拓扑顺序，能够采用递推的方法解决（但效率不高，因为没有利用走棋规则的特点）；对于这类博弈题，我们往往希望根据走棋特点找到一种简单的性质，然后根据这个性质将Array所有状态进行划分：即将所有状态分为两部分W、L，满足性质A的状态划到集合L，不满足性质A的状态划到集合W：对于集合L中的状态l，证明l的后继状态都在W中；对于集合W中的状态w，证明w至少有一个后继在L中。
则W中的所有状态都是胜局，L中的所有状态都是败局。
对于输入的一个状态，只要判断它是否满足性质A即可以知道它是胜是败。
但是性质A可能非常隐蔽、复杂，要找到性质A可能却要花费很多时间和心智。
这类问题由于取子方法有很多很多，所以没有约定俗成的公式2。
抓住取子方法的特点、周密深入的分析、找到问题的本质是解决这类问题的最直接的办法。
在很多情况下，找规律也是一个不错的选择，因为大多数情况下性质A的形式是非常简单的（这正体现了数学中简单即美的最高境界），往往可以通过观察+猜想找到正确的结果。
而一旦找到了某个性质A对于小数据都成立（可用程序检测），那么用归纳法证明是比较简单的。
本文就通过几个例子，来探索解决这类问题的思维方法。
问题1：取火柴游戏题目来源：姚金宇原创题目描述：有三堆火材，分别为a,b,c根。
有两个人在做如下游戏：游戏者任意拿走其中一堆火柴，再在剩下的两堆里任取一堆任意分成两堆（每堆至少1根）。
两人轮流如此，谁无法这样做就算输了。
输入格式：有n组数据：每一行三个数a,b,c，满足1≤a,b,c≤1,000,000,000。
游戏策略(1)
SG函数性质
l 对于一个图游戏，如果图的当前状态等于0，那么先 手必败，否则必胜。
l 证明： l 如果当前点SG=0，先手无论怎么走，都会到达一个
SG<>0的点；接着后手就能设法到达一个SG=0的点。 也就是说后手总是能移动，而先手总是处在SG=0的 点。游戏不能无限的进行下去，一旦先手到达一个出 度等于0的点，游戏结束，先手败。 l 如果当前点SG≠0，先手可以走到一个SG=0的点，这 样后手面对一个必败状态，所以先手必胜。
证明： 请回忆SG函数的性质：如果当前某图的状态值>0，那么游戏者可以 通过一步走棋把图的当前状态值任意的减小。因此一个状态值为x的 图等价于Nim Game中规模为x的一堆石子！
l 如果a1 ⊕ a2 ⊕ … ⊕ ak = 0，先手无论怎么走都会令a1’ ⊕ a2’ ⊕ … ⊕ ak’ ≠ 0。（ai’是ai变化后的值）
游戏策略(1)
SG函数简介
l 如果我们把游戏中的某一个局面看作一个顶点，把局面之 间的转换用边来表示，那么很多游戏都可以转化成图游戏 模型。
l 图游戏模型 给定有向无环图G=(V,E)和一个起始点，双方 轮流行动。每个人每次可以从当前点出发沿着一条有向边 走到另外一个点。谁无法走了谁就输。
l 一些图游戏可以通过Sprague-Grundy函数来判定先手的 胜负情况（简称SG函数）。
（每堆至少一颗） 这四种操作，实际上就依次对应于原来游戏中的以下四种击倒法： l 击倒一段连续的木瓶中最靠边的一个 l 击倒一段连续的木瓶中最靠边的连续两个 l 击倒一段连续的木瓶中不靠边的一个 l 击倒一段连续的木瓶中不靠边的连续两个
游戏策略(1)
求解
l 把局面看作顶点,游戏规则看作边,这是一个典型的图游戏。
必胜的下棋游戏 (2)
学习方法报社全新课标理念，优质课程资源趣味数学
必胜的下棋游戏
马玉涛
这种游戏需要准备一张正方形的纸（如图中的正方形ABCD），再找一些形状、大小相同而且对称的小东西，例如同样分值的硬币、围棋子等.
规则：两人对垒，两个人依次把棋子一个一个放在纸上的任意位置，一直到没有地方再放为止，最后放下棋子的那个人为赢家.
必胜法则：假设要使走第一步棋的人获胜，那他只需把他的第一个棋子放到正方形对角线的交点O处，并使棋子的对称中心和点O重合；以后每一次把自己的棋子放到对手所放棋子的对称位置上（比如如图：对方放在M处，我就放M′处，对手放N处，我就放N′处）.
只要遵守这个规则，那么走第一步的人总会找到安放棋子的位置，最后必然获胜.
几何道理：正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心.因此，除掉这个中心O外，任何一点（放下的任一棋子）必然有它对称的另一点（放棋子的位置）.
由此可知，只要走第一步棋的人占领了图形的中心位置，那么无论他的对手把棋子放到什么位置，必然会找到一个和对手刚刚放下的棋子位置相对称的空位子.因此，玩到最后，先下的人必胜.
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七、取棋子游戏（必胜策略）姓名
例题1：桌上有9个棋子，两人轮流取，每人每次取1个或2个，取到最后一个棋子的获胜。
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保证获胜的方法是：1、（先取个后取）
2、每次取的棋子个数与对手凑成（）。
如果对手取1个，我就取个；
如果对手取2个，我就取个；
例题2：桌上有10个棋子，两人轮流取，每人每次取1个或2个，取到最后一个棋子的获胜。
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保证获胜的方法是：1、（先取个后取）
2、每次取的棋子个数与对手凑成（）。
如果对手取1个，我就取个；
如果对手取2个，我就取个；
练习1、桌上有15个棋子，两人轮流取，每人每次取1个或2个，取到最后一个棋子的获胜。
应该怎样取，才能保证获胜？
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保证获胜的方法是：1、（先取个后取）
2、每次取的棋子个数与对手凑成（）。
练习2、桌上有17个棋子，两人轮流取，每人每次取1个或2个，取到最后一个棋子的获胜。
应该怎样取，才能保证获胜？
●●●●●●●●●●●●●●●●●
保证获胜的方法是：1、（先取个后取）
2、每次取的棋子个数与对手凑成（）。
练习3、桌上有12个棋子，两人轮流取，每人每次可以取1个、2个或3个，取到最后一个棋子的获胜。
应该怎样取，才能保证获胜？
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保证获胜的方法是： 1、（先取个后取）
2、每次取的棋子个数与对手凑成（）。
如果对手取1个，我就取个；
如果对手取2个，我就取个；
如果对手取3个，我就取个；
练习4、桌上有13个棋子，两人轮流取，每人每次可以取1个、2个或3个，取到最后一个棋子的获胜。
应该怎样取，才能保证获胜？
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保证获胜的方法是：1、（先取个后取）
2、每次取的棋子个数与对手凑成（）。