高一必修2立体几何--平行与垂直关系强化练习(含答案)

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人教版高一数学必修2 空间直线的垂直关系练习题(含答案详解)

必修2 空间中的垂直关系基础知识点一、选择题：1.若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是( ).A.60°B.45°C.30°D.120°2.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则( ).A.l⊥mB.l∥mC.l，m异面D.l，m相交而不垂直3.如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有( ).A.1条B.2条C.3条D.4条4.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( ).A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能5.已知长方体ABCDA1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则( ).A.ME⊥平面ACB.ME ⊂平面ACC.ME∥平面ACD.以上都有可能6.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( ).A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两垂直C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直二、填空题：7.在正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心(如图)，则EF与平面BB1O的关系是________.8.若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个.①a⊥α，b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.9.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________.10.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC的大小为________.三、解答题：11.如图所示，在Rt △AOB 中，∠ABO=π6，斜边AB=4，Rt △AOC 可以通过Rt △AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且二面角BAOC 是直二面角，D 是AB 的中点.求证：平面COD ⊥平面AOB.12.如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F.(1)求证：PA ∥平面EDB ；(2)求证：PB ⊥平面EFD.综合提高1.已知l ，m ，n 为两两垂直的三条异面直线，过l 作平面α与直线m 垂直，则直线n 与平面α的关系是( ).A.n ∥αB.n ∥α或n ⊂αC.n ⊂α或n 与α不平行D.n ⊂α2.已知平面α⊥平面β，α∩β=l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ).A.AB ∥mB.AC ⊥mC.AB ∥βD.AC ⊥β3.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( ).A.相等B.互补C.相等或互补D.关系无法确定4.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF 把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有( ).A.①②B.①③C.②③D.③④5.如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的________心.6.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，若A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与ABC底面所成的角的正弦值等于________.7.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD 所成的角为60°.其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号).8.如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=2，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD=________.9.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB，AG⊥SD.10.如图，在四棱锥P－ABCD中，PO⊥面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.(1)求证：PC⊥BC.(2)求点A到平面PBC的距离.11.如图，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.12.(创新拓展)已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB=60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC =AF AD=λ(0＜λ＜1). (1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；(2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD?参考答案基础篇1.答案 A ；解析斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示，∠ABO即是斜线AB 与平面α所成的角，又AB=2BO ，所以cos ∠ABO=OB AB =12.所以∠ABO=60°.故选A.2.答案 A ；解析无论l 与m 是异面，还是相交，都有l ⊥m ，考查线面垂直的定义，故选A.3.答案 D ；解析 ∵PO ⊥平面ABC ，∴PO ⊥AC ，又∵AC ⊥BO ，∴AC ⊥平面PBD ， ∴平面PBD 中的4条线段PB ，PD ，PO ，BD 与AC 垂直.4.答案 D ；解析以正方体为模型：相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.5.答案 A ；解析由于ME ⊂平面AB 1，平面AB 1∩平面AC=AB ，且平面AB 1⊥平面AC ，ME ⊥AB ，则ME ⊥平面AC.6.答案A；解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB=A，得AD⊥平面PAB.∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD ⊥平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.7.答案垂直；解析由正方体性质知AC⊥BD，BB1⊥AC，∵E，F是棱AB，BC 的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥BD，EF⊥BB1，∴EF⊥平面BB1O.8.答案2；解析由线面垂直的性质定理知①④正确.9.答案①③④⇒②或②③④⇒①；解析如图，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，α∩β=l，l∩平面PAB=O，连接OA、OB，可证明∠AOB为二面角αlβ的平面角，则∠AOB=90°⇔PA⊥PB.10.答案45°；解析∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1ABC的平面角，大小为45°.11.证明：由题意：CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角BAOC的平面角，又∵二面角BAOC是直二面角，∴CO⊥BO，又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，∵CO⊂平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.12.证明：(1)连接AC，AC交BD于点O.连接EO，如图.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点.在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB.所以PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD.∴PD⊥DC.∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD.综合提高1.答案A；解析∵l⊂α，且l与n异面，∴n⊄α，又∵m⊥α，n⊥m，∴n ∥α.2.答案D；解析如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β.故选D.3.答案D；解析如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF 的大小不确定.4.答案B；解析由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE=S矛盾，排除A，故选B.5.答案垂；解析三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，可证投影是底面三角形的垂心.6.答案：23；解析由题意知，三棱锥A1ABC为正四面体(各棱长都相等的三棱锥)，设棱长为a ，则AB 1=3a ，棱柱的高A 1O=63a(即点B 1到底面ABC 的距离)，故AB 1与底面ABC 所成的角的正弦值为A 1O AB 1=23.' 7.答案 ①②④；解析本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面的夹角.8.答案 2；解析取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，因为△ADB 是等边三角形，所以DE ⊥AB.当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB ∩平面ABC=AB ，所以DE ⊥平面ABC.又CE ⊂平面ABC 可知DE ⊥CE. 由已知可得DE=3，EC=1，在Rt △DEC 中，CD=DE 2＋CE 2=2.9.证明因为SA ⊥平面ABCD ，所以SA ⊥BC.又BC ⊥AB ，SA ∩AB=A ，所以BC ⊥平面SAB ，又AE ⊂平面SAB ，所以BC ⊥AE.因为SC ⊥平面AEFG ，所以SC ⊥AE.又BC ∩SC=C ，所以AE ⊥平面SBC ，所以AE ⊥SB.同理可证AG ⊥SD.10.(1)证明因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC.因为∠BCD=90°，所以BC ⊥CD.又PD ∩CD=D ，所以BC ⊥平面PCD.而PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC.(2)解如图，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于E ，过点E 作PC 的垂线，垂足为F ，则有AE ∥平面PBC ，所以点A 到平面PBC 的距离等于点E 到平面PBC 的距离.又EF ⊥PC ，BC ⊥平面PCD ，则EF ⊥BC.BC ∩PC=C ，所以EF ⊥平面PBC.EF 即为E 到平面PBC 的距离.又因为AE ∥BC ，AB ∥CD ，所以四边形ABCE 为平行四边形.所以CE=AB=2. 又PD=CD=1，PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD.所以PD ⊥CD ，∠PCD=45°. 所以EF= 2.即点A 到平面PBC 的距离为 2.11.证明 (1)在平面ABC 内取一点D ，作DF ⊥AC 于F ，∵平面PAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，∴DF ⊥平面PAC.又∵PA ⊂平面PAC ，∴DF ⊥PA.作DG ⊥AB 于G ，同理可证DG ⊥PA.∵DG ∩DF=D ，∴PA ⊥平面ABC.(2)连接BE 并延长交PC 于H.∵E 是△PBC 的垂心，∴PC ⊥BH ，又AE ⊥平面PBC ，故AE ⊥PC ，且AE ∩BE=E ，∴PC ⊥平面ABE.∴PC ⊥AB.又∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB ，且PA ∩PC=P ，∴AB ⊥平面PAC ，∴AB ⊥AC ，即△ABC 是直角三角形. 12.(1)证明 ∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD.∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ，∴CD ⊥平面ABC.又∵AE AC =AF AD=λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC. 又EF ⊂平面BEF ，∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC.(2)解由(1)知，EF ⊥BE ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC. ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，AB ⊥平面BCD ，∴BD=2，AB=2tan 60°= 6.AC=AB 2＋BC 2=7，由AB 2=AE ·AC 得AE=67，∴λ=AE AC =67，故当λ=67时，平面BEF ⊥平面ACD.。

高一数学人教A版必修2练习2.4 平行与垂直综合问题 Word版含解析

．平行与垂直综合问题．已知直线，和平面α，β满足⊥，⊥α，α⊥β，则()．⊥β．∥β或⊂β．⊥α．∥α或⊂α解析：在平面β内作直线垂直于α，β的交线，则由α⊥β得直线⊥α.又⊥α，所以∥.若⊂β，结合图形知，要满足题中限制条件，显然只能∥α或⊂α；同理⊄β，仍有∥α或⊂α.综上所述，正确．．若三个平面α，β，γ，之间有α∥γ，β⊥γ，则α与β()．垂直．平行．相交．以上三种可能都有．对于任意的直线与平面α相交，在平面α内不可能有直线，使与()．平行．相交．垂直．互为异面直线．给出以下四个命题，其中真命题有①②④(填序号)．①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．．已知平面α外不共线的三点，，，且∥α，则正确的结论是() ．平面必平行于α．平面必与α相交．平面必不垂直于α．存在△的一条中位线平行于α或在α内．设直线⊂平面α，过平面α外一点且与，α都成°角的直线有且只有() ．条．条．条．条解析：如图所示与α成°角的直线一定是以为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠＝∠＝°时，直线，都满足条件，故选..下列命题中，正确的是()．经过不同的三点有且只有一个平面．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线．垂直于同一个平面的两个平面平行．用α表示一个平面，表示一条直线，则平面α内至少有一条直线与()．平行．相交．异面．垂直．若，表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为()。

高中数学立体几何平行、垂直位置关系证明题专项练习(带答案)

立体几何平行、垂直位置关系专练1、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .2、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．3、如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为6，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：(1)B 1M ∥平面A 1BN ；(2)AD ⊥平面A 1BN.4、如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．(1)证明：CM⊥DE；(2)在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.5、如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE 的中点．求证：(1)MN∥平面BEC；(2)AH⊥CE.6、如图，在三棱台ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．7、在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ．（2）求证：BC SA ⊥．8、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ；（2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .9、【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．点，平面PAB ⊥底面ABCD ，90PAB ∠= ．求证：（1）//PB 平面AEC ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．11、2.（2020·江苏省镇江高三二模）如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ；()2若2PD AC ==，PE =PBC ⊥平面ABC .12、（2020·江苏省建湖高级中学高三月考）如图，在四面体ABCD 中，,90AD BD ABC =∠= ，点,E F 分别为棱,AB AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面//EFG 平面BCD ．（1）求证：12EF BC =；（2）求证：平面EFD ⊥平面ABC ．点，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD .14、（2020·江苏省高三二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.求证：（1）11AC ∥平面1B EF ；（2）1AC B E ⊥.15、（2020·江苏省连云港高三）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 、F 分别为AD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：//EF 平面PCD .16、（2020·江苏省苏州高三）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17、（2020·江苏省通州高三）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证:1C F ∥平面ABE ；18、（2020·江苏省高三三模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC B C =，O 为四边形11ACC A 对角线交点，F 为棱1BB 的中点，且AF ⊥平面11BCC B .（1）证明：//OF 平面ABC ；（2）证明：四边形11ACC A 为矩形.参考答案1．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .【解析】（1）∵四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ， ∴AB PA ⊥，又AB AD ⊥，,PA AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=， ∴AB ⊥面PAD .PD ⊂面PAD ，∴AB PD ⊥. （2）连结BD AC O ⋂=，连结MO ， ∵//AD BC ，2AD BC =，2DO BO ∴=,∵在PBD ∆中，2DM MP =，2DO BO =∴//PB MO ，又PB ⊄面MAC ，MO ⊂面MAC ，∴//PB 面MAC .2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．【详解】（1）因为在ΔPAC 中，E 为PA 的中点，O 为AC 的中点，所以//EO PC又EO ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以//EO 平面PCD同理可证，//FO 平面PCD ，又EO FO O = ，EO ⊂平面EFO ,FO ⊂平面EFO 所以平面//EFO 平面PCD ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又,,PA AC A PA PAC AC PAC =⊂⊂ 平面平面所以BD ⊥平面PAC 。

北师大版数学高一必修2练习 1.6.2垂直关系的性质

6.2垂直关系的性质课后篇巩固探究A组基础巩固1.若直线a⊥平面α,b∥α,则a与b的关系是()A.a⊥b,且a与b相交B.a⊥b,且a与b不相交D.a与b不一定垂直解析a与b垂直,但可能相交,也可能异面.答案C2.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是()A.相交B.异面D.不确定解析因为l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.同理可证,m⊥平面ABC,所以l∥m,故选C.答案C3.设平面α⊥平面β,且α∩β=l,直线a⫋α,直线b⫋β,且a不与l垂直,b不与l垂直,则a与b()A.可能垂直,不可能平行B.可能平行,不可能垂直C.可能垂直,也可能平行D.不可能垂直,也不可能平行解析当a,b都平行于l时,a与b平行.假设a与b垂直,如图所示,由于b与l不垂直,在b上任取一点A,过点A作b'⊥l.∵平面α⊥平面β,∴b'⊥平面α,∴b'⊥a,又由假设a⊥b易知a⊥平面β,从而a⊥l,这与已知a不与l垂直矛盾,故假设不正确,即a与b不可能垂直.答案B4.以等腰直角三角形ABC斜边AB上的中线CD为棱,将△ABC折叠,使平面ACD⊥平面BCD,则AC与BC的夹角为()A.30°B.60°C.90°D.不确定解析如图所示,令CD=AD=BD=1,则AC=BC=.∵平面ACD⊥平面BCD,AD⊥CD,且平面ACD∩平面BCD=CD,∴AD⊥BD,∴AB=,∴∠ACB=60°.答案B5.下列命题错误的是()A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析若平面α⊥平面β,则在平面α内与面的交线不相交的直线平行于平面β,故A正确;若α内存在直线垂直于平面β,则α⊥β,与题设矛盾,所以B正确;由面面垂直的性质知选项C正确.故选D.答案D6.如图所示,已知▱ADEF的边AF⊥平面ABCD,若AF=2,CD=3,则CE=.解析∵AF⊥平面ABCD,AF∥DE,∴DE⊥平面ABCD,CD⫋平面ABCD.∴DE⊥CD.∵DE=AF=2,CD=3,∴CE=.答案7.已知直线m,n与平面α与β,若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则直线m,n的位置关系是.解析由α⊥β,n⊥β,得n⫋α或n∥α,又m∥α,所以直线m,n的位置关系为相交、平行或异面.答案相交、平行或异面8.如图,四面体P-ABC中,PA=PB=,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,则PC=.解析取AB的中点E,连接PE.∵PA=PB,∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC.连接CE,∴PE⊥CE.∠ABC=90°,AC=8,BC=6,∴AB=2,PE=,CE=,PC==7.答案79.(2018全国Ⅲ卷,文19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.解(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⫋平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM中点,所以MC∥OP.MC⊈平面PBD,OP⫋平面PBD,所以MC∥平面PBD.B组能力提升1.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是()A.一条线段B.一条直线C.一个圆解析平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⫋平面PAC.且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC.又BC⫋平面PBC,所以AC⊥BC,动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,除去A,B两点.答案D2.在三棱锥A-BCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD是锐角三角形,则必有()A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCADC⊥平面BCD D.平面ABC⊥平面BCD解析因为AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面BCD.又AD⫋平面ADC,所以平面ADC⊥平面BCD.答案C3.如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小()A.变大B.变小D.有时变大,有时变小解析∵l⊥平面ABC,∴BC⊥l,∵BC⊥CA,AC∩l=A,∴BC⊥平面ACP,∴BC⊥CP,即∠PCB=90°.答案C4.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α与β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:.解析利用面面垂直的判定,可知①③④⇒②为真;利用面面垂直的性质,可知②③④⇒①为真.答案若①③④,则②(或若②③④,则①)5.已知平面α⊥平面β,在α,β的交线上取线段AB=4 cm,AC,BD分别在平面α和β内,它们都垂直于AB,并且AC=3 cm,BD=12 cm,则CD的长为cm.解析如图所示,连接AD,CD.在Rt△ABD中,AB=4,BD=12,∴AD==4(cm).又α⊥β,CA⊥AB,CA⫋α,∴CA⊥β,CA⊥AD.∴△CAD为直角三角形.∴CD==13(cm).答案136.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E 和F分别为CD和PC的中点.求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,∴AB∥DE,且AB=DE.∴四边形ABED为平行四边形,∴BE∥AD,∵BE⊈平面PAD,AD⫋平面PAD,∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形,∴BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD,∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点,∴PD∥EF,∴CD⊥EF,∵BE∩EF=E,∴CD⊥平面BEF.∵CD⫋平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.7.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,SD=2,BC⊥BD,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC.求证:(1)DE⊥平面SBC;2EB.证明(1)∵SD⊥平面ABCD,∴BC⊥SD.又BC⊥BD,BD∩SD=D,∴BC⊥平面BDS.∴BC⊥DE.作BK⊥EC,K为垂足.∵平面EDC⊥平面SBC,故BK⊥平面EDC,BK⊥DE.又BK⫋平面SBC,BC⫋平面SBC,BK∩BC=B,∴DE⊥平面SBC.(2)由(1)知DE⊥SB,DB=AD=,∴SB=,DE=,EB=,SE=SB-EB=,∴SE=2EB.8.导学号91134024如图所示,在四棱锥P-ABCD中,G为AD的中点,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB;BC的中点,能否在棱PC上找一点F,使得平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.(1)证明∵在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BG⊥平面PAD.(2)证明如图所示,连接PG,则PG⊥AD,由(1)得BG⊥AD,又PG∩BG=G,BG⫋平面PBG,PG⫋平面PBG,∴AD⊥平面PBG.∵PB⫋平面PBG,∴AD⊥PB.(3)解当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下:取PC的中点F,连接DE,EF,DF,则在△PBC中,EF为中位线,则EF∥PB.∵EF⫋平面DEF,PB⊈平面DEF,∴PB∥平面DEF.在菱形ABCD中易得GB∥DE.∵DE⫋平面DEF,BG⊈平面DEF,∴BG∥平面DEF.∵PB∩GB=B,∴平面DEF∥平面PGB.又侧面PAD为正三角形,G为AD的中点,∴PG⊥AD.又侧面PAD所在平面垂直于底面ABCD,∴PG⊥平面ABCD,而PG⫋平面PGB,∴平面PGB⊥平面ABCD.故平面DEF⊥平面ABCD.。

人教版高一数学必修2空间直线的垂直关系练习题（含答案详解）

人教版高一数学必修2空间直线的垂直关系练习题（含答案详解）必修 2 空间中的垂直关系基础知识点一、选择题：1. 若斜线段 AB 是它在平面α上的射影的长的 2倍，则 AB 与平面α所成的角是( ).2. 直线l ⊥平面α，直线m? α，则 ( ).A.l ⊥mB.l ∥mC.l ，m 异面D.l ， m 相交而不垂直3. 如图所示，PO ⊥平面 ABC ，BO ⊥AC ，在图中与 AC 垂直的线段有 ( ). 4. 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( ). C.30 °D.120C.3条 D.4 条A. α∥γ B. α⊥γ C. α与γ相交但不垂直D.以上都有可能5. 已知长方体 ABCD 1AB 1C 1D 1，在平面 AB 1上任取一点 M ，作ME ⊥AB 于 E ，则( ).A.ME ⊥平面 ACB.ME ? 平面 ACC.ME ∥平面 ACD. 以上都有A.1 条B.2可能6. 如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( ).A. 平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B. 它们两两垂直C. 平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D. 平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直二、填空题：7. _________________________________ 在正方体A1B1C1D1ABCD 中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心（如图），则EF与平面BB1O 的关系是 ______________________________ .8. 若a， b 表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有___ 个.①a⊥α，b∥α? a⊥b; ②a⊥α，a⊥b? b∥α；③a∥α，a⊥b? b⊥α；④a⊥α，b⊥α? a∥b.9. α、β是两个不同的平面，m、n 是平面α及β外的两条不同的直线，给出四个论断：① m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β. 以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 __ .10. 如图，正方体ABCD1AB1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC的三、解答题：π11. 如图所示，在Rt△AOB中，∠ABO=6 ，斜边AB=4，Rt △AOC可以通过Rt △AOB 以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC 是直二面角，D是AB的中点.求证：平面COD⊥平面AOB.12. 如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=D，C E 是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1) 求证：PA∥平面EDB；(2) 求证：PB⊥平面EFD.综合提高1. 已知l ，m，n 为两两垂直的三条异面直线，过l 作平面α与直线m垂直，则直线n 与平面α的关系是( ).A.n ∥αB.n ∥α或n? αC.n ? α或n 与α不平行D.n ? α2. 已知平面α⊥平面β，α∩β =l，点A∈α，A?l ，直线AB∥l ，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ).A.AB∥mB.AC ⊥mC.AB ∥βD.AC ⊥β3. 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( ).A. 相等B. 互补C. 相等或互补D. 关系无法确定4. 如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF 把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3 重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥ SE；④EF⊥平面SEG. 其中成立的有( ).A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④5. 如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的心.6. 已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，若A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1 与ABC底面所成的角的正弦值等于.7. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ ACD是等边三角形；③ AB与平面BCD成60°的角；④ AB与CD 所成的角为60°.其中真命题的编号是 _____ ( 写出所有真命题的编号).8. 如图，A、B、C、D为空间四点，在△ ABC中，AB=2，AC=BC= 2，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD= .9. 如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD 所在的平面，过点 A 且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB，AG⊥SD.10. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PO⊥面ABCD，PD=DC=BC，=1AB=2，AB∥DC，∠ BCD=9°0 .(1) 求证：PC⊥BC.(2) 求点A到平面PBC的距离.11. 如图，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E 为垂足.(1) 求证：PA⊥平面ABC；(2) 当 E 为△ PBC的垂心时，求证：△ ABC是直角三角形.12. （创新拓展）已知△ BCD中，∠BCD=9°0 ，BC=CD=，1AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，AE AFE，F 分别是AC，AD上的动点，且A AE C=A A F D=λ(0 <λ<1).(1) 求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2) 当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?参考答案基础篇1. 答案A；解析斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形. 如图所示，∠ABO OB1即是斜线AB与平面α所成的角，又AB=2BO，所以cos∠ABO=AB=2. 所以∠ ABO=60°. 故选 A.2. 答案A；解析无论l 与m是异面，还是相交，都有l ⊥m，考查线面垂直的定义，故选 A.3. 答案D；解析∵PO⊥平面ABC，∴ PO⊥AC，又∵ AC⊥BO，∴ AC⊥平面PBD，∴平面PBD中的4条线段PB，PD，PO，BD与AC垂直.4. 答案D；解析以正方体为模型：相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选 D.5. 答案A；解析由于ME? 平面AB1，平面AB1∩平面AC=AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.6. 答案A；解析∵PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵ BC? 平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB. 由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB=A，得AD⊥平面PAB.∵AD?。

北师大版高中数学必修第二册强化练习题-专题强化练9-空间中的垂直关系(含答案)

北师大版高中数学必修第二册专题强化练9　空间中的垂直关系1.(2022河南南阳第一中学月考)设m,n,l是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确的是( )A.若α⊥β,l⊂α,m⊂β,则l⊥mB.若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥mA.37B.3+311C.6D.725.(多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,点C是圆上异于A,B的任一点,则下列结论正确的是( )A.PC⊥BC B.AC⊥平面PCBC.D.面在四棱锥P-ABCD中,底面面答案与分层梯度式解析专题强化练9　空间中的垂直关系1.C　对于A,若α⊥β,l⊂α,m⊂β,则l与m可能平行、相交或异面,A不正确;对于B,若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l与m可能平行或异面,B不正确;对于C,如图,过l作平面γ,γ∩β=l',∵l∥β,l⊂γ,γ∩β=l',∴l∥l',∵l⊥α,∴l'⊥α,又l'⊂β,∴α⊥β,C正确;对于D,当l⊂α,l⊥m,l⊥n,m∥β,n∥β时,α与β还可能平行或斜交,D不正确.故选C.2.D　∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⊂平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC,∴AC⊥平面PBC.∵BC⊂平面PBC,∴AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∴动点C的运动轨迹是以AB为直径的圆(除去A,B两点).3.AC　对于A,由题意得PE⊥平面ABCD,连接AC,交BD于点H,若E与H不重合,则AH=CH,EH⊥AC,所以AE=EC,当E与H重合时,显然AE=EC,又PA=PE2+AE2,PC=PE2+CE2,所以PA=PC,A正确;对于B,PD=PE2+ED2,PB=PE2+EB2,由于ED与EB不一定相等,所以PB,PD不一定相等,B错误;对于C,因为PE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PE⊥AC,又因为AC⊥BD,PE∩BD=E,PE,BD⊂平面PBD,所以AC⊥平面PBD,C正确;对于D,连接PH,若E,H不重合,则PH与EH不垂直,故BD与PH不垂直,则BD与平面PAC 不垂直,D错误.故选AC.4.A　连接A1B,根据题意,得△CC1B为直角三角形,因为∠ACB=90°,所以∠A1C1B1=90°,即A1C1⊥B1C1,因为AA1⊥底面A1B1C1,CC1∥AA1,所以CC1⊥底面A1B1C1,所以CC1⊥A1C1,又即则当且仅当C,P,A1三点共线B=30°,又在22即∵又∴BC⊥平面PAC,又PC⊂平面PAC,∴PC⊥BC,故A正确;∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAC,故D正确;若AC⊥平面PCB,则AC⊥PC,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AC,与AC⊥PC矛盾,故B错误;过点C 作CD ⊥PB 于D,若平面PAB ⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB,CD ⊂平面PBC,则CD ⊥平面PAB,又PA ⊂平面PAB,∴CD ⊥PA,又PA ⊥BC,CD∩BC=C,CD,BC ⊂平面PBC,∴PA ⊥平面PBC,∵PC ⊂平面PBC,∴PA ⊥PC,与PA ⊥AC 矛盾,故C 错误.故选AD.6.答案　63解析　在Rt △ABC 中,BC=33,∠BAC=π6,AC ⊥BC,则AB=233,因为平面ABC ⊥平面α,平面ABC∩平面α=AC,AC ⊥BC,BC ⊂平面ABC,所以BC ⊥平面α,因为CP ⊂平面α,所以BC ⊥CP,则CP=BP 2-BC 2=BP 2-13(在Rt △BCP 中,CP 最短,即BP 最短),设∠ABP=θ(0<θ<π),则S △ABP =12AB·BPsin θ,即33=12×233BP·sin θ,得BP=1sinθ,当sin θ=1,即θ=π2,即AB ⊥BP 时,BP 的长度取得最小值1,此时CP 的长度取得最小值,为12-13=63.7.解析　(1)当a=2时,BD ⊥平面PAC.证明如下:当a=2时,矩形ABCD 为正方形,则BD ⊥AC.∵PA ⊥平面ABCD,BD ⊂平面ABCD,∴BD ⊥PA.又AC∩PA=A,AC,PA ⊂平面PAC,∴BD ⊥平面PAC.故当a=2时,BD ⊥平面PAC.(2)连接AM.∵PA ⊥平面ABCD,DM ⊂平面ABCD,∴DM ⊥PA,又PM ⊥DM,PA∩PM=P,PA,PM ⊂平面PAM,∴DM ⊥平面PAM,∵AM ⊂平面PAM,∴DM ⊥AM,∴点M 是以AD 为直径的圆和棱BC 的交点,∴圆的半径r=AD 2≥AB,即a≥4,∴a 的取值范围是[4,+∞).。

人教版高中数学必修第二册空间中的平行关系课后练习(含答案)

人教版高中数学必修第二册空间中的平行关系课后练习1.下列选项中，一定能得出直线m 与平面α平行的是()A．直线m 在平面α外B．直线m 与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m 与平面内的一条直线平行D．直线m 与平面α内的一条直线平行2.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对3.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是()A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．异面或相交4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CD 上的动点，则直线MC 1与平面AA 1B 1B 的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行5.①若直线a 在平面α外，则a ∥α；②若直线a ∥b ，直线b ⊂α，则a ∥α；③若直线a ∥b ，b ⊂α，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线．其中正确说法的个数为()A．0B．1C．2D．36.已知l ，m 是两条直线，α是平面，若要得到“l ∥α”，则需要在条件“m ⊂α，l ∥m ”中另外添加的一个条件是________．7.平面α∥平面β，直线l ∥α，则直线l 与平面β的位置关系是________．8.已知平面α，β和直线a ，b ，c ，且a ∥b ∥c ，a ⊂α，b ，c ⊂β，则α与β的关系是________．9.设a ，b 是不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列结论：①若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b ；②若α∥β，a ∥α，a ⊄β，则a ∥β；③若α∥β，A ∈α，过点A 作直线l ∥β，则l ⊂α；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中所有正确结论的序号是________．10.如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点．求证：PD ∥平面MAC .11.如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点，求证：（1）EG ∥平面BB 1D 1D ；（2）平面BDF ∥平面B 1D 1H ．12.已知如图，斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 、D 1分别为AC 、A 1C 1上的点．（1）当等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1？（2）若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求的值．答案1.C2.C3.B4.B5.B6.α⊄l7.ββ⊂l l 或//8.相交或平行9.②③④．10.证明:如图所示，连接BD 交AC 于点O ，连接MO ，则MO 为△BDP 的中位线，∴PD ∥MO .∵PD ⊄平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，∴PD ∥平面MAC .11.证明：（Ⅰ）取BD 中点O ．连接OE ，OD1，则OE DC ，∴OE ∥D 1G∴四边形OEGD 1是平行四边形∴GE ∥D 1O ，又D 1O ⊂平面BDD 1B 1，且EG ⊄平面BDD 1B 1，∴EG ∥平面BDD 1B 1，（4分）（Ⅱ）取BB 1中点M ，连接HM 、C 1M ，则HM ∥AB ∥C 1D 1，∴HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1，又MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1，HD 1⊂平面HB 1D 1，BF ，BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，∴平面BDF ∥平面HB 1D 1．（8分）12.解：（1）如图，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时＝1，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1．由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O 、D 1分别为A 1B 、A 1C 1的中点，∴OD 1∥BC 1．又∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1．∴＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1，（2）由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1且平面A 1BC 1∩平面BDC 1＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ．因此BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1．∴＝，＝．又∵＝1，∴＝1，即＝1．。

高中数学必修二立体几何线面平行专题练习(含答案)

线面平行问题一．选择题（共12小题）1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交2．A，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题①⇒a∥b ②⇒a∥b ③⇒α∥β④⇒α∥β ⑤⇒α∥a ⑥⇒α∥a其中正确的命题是（）A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④3．下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．梯形一定是平面图形D．过平面外一点只有一条直线与该平面平行4．能保证直线与平面平行的条件是（）A．直线与平面内的一条直线平行B．直线与平面内的某条直线不相交C．直线与平面内的无数条直线平行D．直线与平面内的所有直线不相交5．如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B． C． D．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则下列直线中与平面ACE平行的是（）A．BA1B．BD1C．BC1D．BB18．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H，G 分别是BC，CD的中点，则（）A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形9．在三棱锥S﹣ABC中，E，F分别为SB，SC上的点，且EF∥面ABC，则（）A．EF与BC相交B．EF∥BC C．EF与BC异面D．以上均有可能10．如图是某几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，以下结论一定成立的是（）A．直线BE∥PFB．B．直线EF∥平面PBCC．平面BCE⊥平面PADD．D．直线PB与DC所成角为60°11．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD：DB=AE：EC，如图，则BC与α的位置关系是（）A．异面B．相交C．平行或相交D．平行12．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E是边AB的中点，将△ADE沿DE翻折成△A1DE，若M 为线段A1C的中点，则在翻折过程中，有下列四个命题：①存在某个位置，使MB∥平面A1DE；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置使DE⊥A1C；④BM的长是定值，其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二．解答题（共18小题）13．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面PBD；（Ⅱ）求证：BD⊥FG．14．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB=2，PC与平面ABCD所成角是45°．F 是AD的中点，M是PC的中点，求证．DM∥平面PFB．15．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．（1）求证：PQ∥平面SAD；（2）若SA=AB=2，求三棱锥S﹣ABC的体积．16．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若D为BB1上一点，M为AB的中点，N为BC的中点．求证：MN∥平面A1C1D．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，M，N分别是A1B1，BC的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC1A1；（II）求二面角M﹣AN﹣B的余弦值．19．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．（1）求证：BN∥平面A1MC；（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，，E，F分别为线段AD，PB的中点．（1）证明：PD∥平面CEF；（2）若PE⊥平面ABCD，PE=AB=2，求四面体P﹣DEF的体积．21．如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE=AB，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点．（1）求证：MN∥平面BEC；（2）求证：AH⊥CE．22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=2，D为棱CC1的中点AB1∩A1B=O．（1）证明：C1O∥平面ABD；（2）已知AC⊥BC，△ABD的面积为，E为线段A1B上一点，且三棱锥C﹣ABE的体积为，求．23．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点（1）求证：PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．24．如图，在几何体ABC﹣A1B1C1中，点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，且AB⊥BC，AA1=BB1=4，AB=BC=CC1=2，E为AB1中点，（Ⅰ）求证；CE∥平面A1B1C1，（Ⅱ）求证：求二面角B1﹣AC1﹣C的大小．25．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等边三角形，AB=2，∠A1AB=∠A1AC=60°，M，N分別为AB，A1C1的中点．（1）证明：MN∥平面BCC1B1；（2）若MN=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积．26．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为菱形，∠BAD=120°，AB=2，E，F为CD，AA1中点．（1）求证：DF∥平面B1AE；（2）若AA1⊥底面ABCD，且直线AD1与平面B1AE所成线面角的正弦值为，求AA1的长．27．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，BC1∩B1C=E．求证：（Ⅰ）DE∥平面AA1C1C；（Ⅱ）BC1⊥AB1．28．四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面ABCD，E是PC的中点．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：BD⊥PC．29．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥平面A1BD；（2）求证：MD⊥AC．30．如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．（1）求证：AC∥平面BEF；（2）求四面体BDEF的体积．参考答案一．选择题（共12小题）1．解：根据线面平行的定义可知直线与平面无交点∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α没有公共点从而直线a与平面α内任意一直线都没有公共点，则不相交故选：D．2．解：根据平行公理可知①正确；根据面面平行的判定定理可知④正确；对于②错在a、b可能相交或异面．对于③错在α与β可能相交，对于⑤⑥错在a可能在α内．故选：C．3．解：∵不在一条直线上的三点确定一个平面，三点在一条直线上时不能确定平面∴A不正确；∵点在直线上时，不能确定平面，∴B不正确；∵梯形有两条边平行，两条平行线确定一个平面，梯形的两腰也在平面内，∴C正确；∵过平面外一点与平面平行的平面内，过该点的直线都符合条件，∴D不正确．故选：C．4．解：A不正确，因为由直线与平面内的一条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内．B不正确，因为由直线与平面内的某条直线不相交，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内，也可能和平面相交．C不正确，因为由直线与平面内的无数条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内．D正确，因为由直线与平面内的所有直线不相交，依据直线和平面平行的定义可得直线与平面平行．故选：D．5．解：如图，任取线段A1B上一点M，过M作MH∥AA1，交AB于H，过H作HG∥AC交BC于G，过G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数个．故选：D．6．解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意，故选：A．7．解：连结BD1，AC、BD，设AC∩BD=O，连结OE，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，∴O是BD中点，∴OE∥BD1，∵OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE．故选：B．8．解：如图，由条件知，EF∥BD，，GH∥BD，且；∴EF∥HG，且；∴四边形EFGH为梯形；EF∥BD，EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD；∴EF∥平面BCD；若EH∥平面ADC，则EH∥FG，显然EH不平行FG；∴EH不平行平面ADC；∴选项B正确．故选：B．9．证明：如图∵E，F分别为SB，SC上的点，且EF∥面ABC，又∵EF⊂平面SBC，平面SBC∩平面ABC=BC，∴EF∥BC．故选：B．10．解：如图所示，连接EF，BE∥PF显然不正确，是异面直线；∵E、F分别为PA、PD的中点，∴EF∥AD，∵AD∥BC，∴EF∥BC，∴直线EF∥平面PBC，选项B正确；EF∥BC，∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，④由于不能推出线面垂直，故平面BCE⊥平面PAD不成立．选项C不正确；直线PB与DC所成角就是PB与AB所成角，不确定为60°，选项D不正确；故选：B．11．证明：∵AD：DB=AE：EC，∴DE∥BC，∵DE⊂平面α，BC⊄平面α，∴BC∥平面α．故选：D．12．解：对于①：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故①正确对于②：∵B是定点，∴M是在以B为球心，MB为半径的球上，故②正确，对于③：若③成立，则由DE⊥CE，可得DE⊥面A1EC∴DE⊥A1E，而这与DA1⊥A1E矛盾，故③错误．对于④：由∠A1DE=∠MFB，MF=A1D=定值，FB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故④正确．故正确的命题有：①②④，故选：B．二．解答题（共18小题）13．证明：（Ⅰ）连接PE，G、F为EC和PC的中点，∴FG∥PE，FG⊄平面PBD，PE⊂平面PBD，∴FG∥平面PBD…（6分）（Ⅱ）∵菱形ABCD，∴BD⊥AC，又PA⊥面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，FG⊂平面PAC，∴BD⊥FG…（14分）14．证明：∵PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB=2，PC与平面ABCD所成角是45°．F是AD的中点，M是PC的中点，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），M（0，1，1），P（0，0，2），F（1，0，0），B（2，2，0），=（0，1，1），=（1，0，﹣2），=（2，2，﹣2），设平面PFB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（2，﹣1，1），∵=0，DM⊄平面PFB，∴DM∥平面PFB．15．证明：（1）取CD中点G，连结PG、QG，∵在四棱锥S﹣ABCD中，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．∴PG∥SD，QG∥AD，∵PG∩QG=G，SD∩AD=D，∴平面PGQ∥平面SDA，∵PQ⊂平面PGQ，∴PQ∥平面SAD．（2）∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，SA=SD，SA=AB=2，∴SE⊥AD，SE=，∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，∴SE⊥平面ABC，∵S△ABC==，∴三棱锥S﹣ABC的体积V===1．16．证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为AB的中点，N为BC的中点，∴MN∥AC，又AC∥A1C1，∴MN∥A1C1，又MN⊄面A1C1D，A1C1⊂面A1C1D，∴MN∥面A1C1D．17．证明：（1）∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC．（2）连接PD，∵DE∥BC，又∠ABC=90°，∴DE⊥AB，又PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB，又PD∩DE=D，PD⊂平面PDE，DE⊂平面PDE，∴AB⊥平面PDE，又PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE．（3）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD⊂平面PAB，∴PD⊥平面ABC，∵△PAB是边长为2的等边三角形，∴PD=，∵E是AC的中点，∴．18．解：解法一：依条件可知AB、AC，AA1两两垂直，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz．根据条件容易求出如下各点坐标：A（0，0，0），B（0，2，0），C（﹣1，0，0），A1（0，0，2），B1（0，2，2），C1（﹣1，0，2），M（0，1，2），（I）证明：∵是平面ACCA1的一个法向量，且，所以又∵MN⊄平面ACC1A1，∴MN∥平面ACC1A1（II）设=（x，y，z）是平面AMN的法向量，因为，由得解得平面AMN的一个法向量=（4，2，﹣1）由已知，平面ABC的一个法向量为=（0，0，1）∴二面角M﹣AN﹣B的余弦值是解法二：（I）证明：设AC的中点为D，连接DN，A1D∵D，N分别是AC，BC的中点，∴又∵，∴，∴四边形A 1DNM是平行四边形∴A1D∥MN∵A1D⊂平面ACC1A1，MN⊄平面ACC1A1∴MN∥平面ACC1A1（II）如图，设AB的中点为H，连接MH，∴MH∥BB1∵BB1⊥底面ABC，∵BB1⊥AC，BB1⊥AB，∴MH⊥AC，MH⊥AB∴AB∩AC=A∴MH⊥底面ABC在平面ABC内，过点H做HG⊥AN，垂足为G连接MG，AN⊥HG，AN⊥MH，HG∩MH=H∴AN⊥平面MHG，则AN⊥MG∴∠MGH是二面角M﹣AN﹣B的平面角∵MH=BB1=2，由△AGH∽△BAC，得所以所以∴二面角M﹣AN﹣B的余弦值是19．证明：（1）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AB∥A1B1，且AB=A1B1，又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB∥A1N．所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M∥BN．又BN⊄平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN∥平面A1MC；（2）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM．又AB1⊥A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1M∩MC=M，所以AB1⊥平面A1MC．又A1C⊂平面A1MC，所以AB⊥A1C．20．（1）证明：连接BE、BD，BD交CE于点O，∵E为线段AD的中点，AD∥BC，，∴BC∥ED，∴四边形BCDE为平行四边形，∴O为BD的中点，又F是BP的中点，∴OF∥PD，又OF⊂平面CEF，PD⊄平面CEF，∴PD∥平面CEF；（2）解：由（1）知，四边形BCDE为平行四边形，∴BE∥CD，∵四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，，∴AB=AE=BE，∴三角形ABE是等边三角形，∴，做BH⊥AD于H，则，∵PE⊥平面ABCD，PE⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD=AD，BH⊥AD，BH⊂平面ABCD，∴BH⊥平面PAD，∴点B到平面PAD的距离为，又∵F为线段PB的中点，∴点F到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离的一半，即，又，∴=．21．证明：（1）取CD中点F，连结NF、MF，∵矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点．∴NF∥BC，MF∥CE，∵NF∩MF=F，BC∥CE=C，NF、MF⊂平面MNF，BC、CE⊂平面BCE，∴平面BCE∥平面MNF，∵MN⊂平面MNF，∴MN∥平面BEC．（2）∵AE=AB，H为BE的中点，∴AH⊥BE．∵矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AH，∵BE∩BC=B，∴AH⊥平面BCE，∴AH⊥CE．22．证明：（1）取AB的中点F，连接OF，DF，∵侧面ABB1A1为平行四边形，∴O为AB1的中点，∴，又，∴，∴四边形OFDC1为平行四边形，则C1O∥DF．∵C1O⊄平面ABD，DF⊂平面ABD，∴C1O∥平面ABD．解：（2）过C作CH⊥AB于H，连接DH，∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AB．又CH∩CD=C，∴AB⊥平面CDH，∴AB⊥DH．设BC=x，则，，，∴△ABD的面积为，∴x=2．设E到平面ABC的距离为h，则，∴h=1，∴E与O重合，．23．证明：（1）∵点F，G分别为BC，PC，的中点，∴GF∥PB，∵PB⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，∴PB∥平面EFG．（2）∵在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点，∴EF∥AC，GF∥PB，∴EF⊥BC，GF⊥BC，∵EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∵EG⊂平面EFG，∴BC⊥EG．24．（Ⅰ）证明：∵点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，∴AA1∥BB1∥CC1，取A1B1中点F，连接EF，FC，则EF∥A1A，EF=A1A，∵AA14，CC1=2，∴CC1∥A1A，CC1=A1A，∴CC1∥EF，CC1=EF，∴四边形EFC1C为平行四边形，∴CE∥C1F，∵CE⊄平面A1B1C1，C1F⊂平面A1B1C1，∴CE∥平面A1B1C1；（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），B1（0，0，4），C1（0，2，2），∴=（﹣2，2，0），=（0，0，2），=（﹣2，0，4），=（0，2，﹣2）．设平面ACC1的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则=（1，1，0）．同理可得平面AB1C1的法向量为=（2，1，1），∴cos＜，＞==．由图可知二面角B1﹣AC1﹣C为钝角，∴二面角B1﹣AC1﹣C的大小为150°．25．证明：（1）如图，取BC中点P，连接MP，C1P．∵M为AB的中点，∴MP∥AC，且MP=AC．又AC∥A1C1，AC=A1C1，且NC1=，∴NC1∥MP，且NC1=MP．∴四边形MNC1P为平行四边形，∴NM∥PC1．又PC1⊂平面BCC1B1，MN⊄平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．…………（4分）解：（2）如图，作BH⊥A1A，交AA1于H，连接CH．∵AC=AB，∠A1AB=∠A1AC，AH为公共边，∴△ABH≌△ACH，∴∠CHA=∠BHA．∴BH⊥AA1，⊥AA1．而BH∩CH=H，∴A1A⊥平面BCH，A1A⊥BC．又A1A∥C1C，∴C1C⊥BC．在直角△C1CP中，CP==1，C1P=MN=，∴C1C=．在直角△ABH中，BH=ABsin60°=．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积S=4×．……（12分）26．证明：（1）设G为AB1的中点，连EG，GF，因为FG，又DE，所以FG DE，所以四边形DEGF是平行四边形，所以DF∥EG又DF⊄平面B1AE，EG⊂平面B1AE，所以DF∥平面B1AE．解：（2）因为ABCD是菱形，且∠ABD=60°，所以△ABC是等边三角形取BC中点G，则AG⊥AD，因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AG，AA1⊥AD建立如图的空间直角坐标系，令AA1=t（t＞0），则A（0，0，0），，，D1（0，2，t），，，，设平面B1AE的一个法向量为，则且，取，设直线AD1与平面B1AE所成角为θ，则，解得t=2，故线段AA1的长为2．27．证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1∩B1C=E，∴E是B1C的中点，∵AB1的中点为D，∴DE∥AC，∵AC⊂平面AA1C1C，DE⊄平面AA1C1C，∴DE∥平面AA1C1C．（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=CC1，∴BC1⊥B1C，AC⊥CC1，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1，∴AC⊥BC1，∵AC∩B1C=C，∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1⊥AB1．28．证明：（1）连接AC，OE，则AC经过正方形中心点O，且O是AC的中点，又E是PC的中点，∴OE∥PA，又OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）∵PO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PO⊥BD，四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又PO∩AC=O，PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC．29．（1）证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1，又∵BB1=DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD．而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD．（2）证明∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC．又∵BD⊥AC，且BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1D．而MD⊂平面BB1D，∴MD⊥AC．30．证明：（1）设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，所以，OG∥DE，且OG=DE．因为AF∥DE，DE=2AF，所以AF∥OG，且OG=AF，从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA．因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（6分）解：（2）因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF．因为AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2AF=2 所以△DEF的面积为S△DEF=×ED×AD=2，所以四面体BDEF的体积V=•S△DEF×AB=（12分）。

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高一数学必修二空间中平行与垂直关系强化练习
1.空间中，垂直于同一直线的两条直线( )
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．以上均有可能
2.已知互不相同的直线,,l m n 与平面,αβ，则下列叙述错误的是（）
A ．若//,//m l n l ，则//m n
B ．若//,//m n αα，则//m n
C ．若βα⊂⊥m m ,,则αβ⊥
D ．若,m βαβ⊥⊥，则//m α或m α⊂
3.下列说法正确的是( )
A.如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行
B.两个平面相交于唯一的公共点
C.如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则它们必有无数个公共点
D.平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行
4.如图，ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是（）
A ． BD∥平面C
B 1D 1
B ． A
C 1⊥B 1C
C ． AC 1⊥平面CB 1
D 1
D ．直线CC 1与平面CB 1D 1所成的角为45° 5. 如图，四棱锥ABCD V -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角C AB V --的大小
（）
A ．︒30
B ．︒45
C ．︒60
D ．︒120
6．下列四个结论：
⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7.在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A CD B --的余弦值为（）
A ．12
B ．13
C ．33
D ．23
8.在三棱柱111ABC A B C -中，各棱都相等，侧棱垂直底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 . 9. 直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面,αβ内各有一条射线AB ，AC 都与l 成045，,AB AC αβ⊂⊂，则BAC ∠= 。

10.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，给出下列结论：①AC⊥B 1D 1；②AC 1⊥B 1C ；③AB 1与BC 1所成的角为60°；④AB 与A 1C 所成的角为45°．
其中所有正确结论的序号为 .
11．如图是正方形的平面张开图，在这个正方体中：
①BM 与DE 平行；②CN 与BE 是异面直线；
③BM 与CN 成︒60角；④DM 与BN 是异面直线；
以上四个命题中，正确命题的序号是
12. 如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，
,M N 分别是,SA BD 上的点，且SM AM =BN
ND ，求证：//MN 平面SBC
13. 如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=
，CC 1=1，M 为线段AB 的中点．
（1）求异面直线DD 1与MC 1所成的角；
（2）求直线MC 1与平面BB 1C 1C 所成的角．
14.如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,
12
AB
AA
==.
(1) 证明: A1BD // 平面CD1B1;
(2) 求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.
O D1
B1
C1
D A
C
B
A1
15．在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，PB=AB，D，E分别是PA，PC的中点，G，H分别是BD，BE的中点．
（1）求证：GH∥平面ABC；
（2）求证：平面BCD⊥平面PAC．
16. 在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=13，SB=29.
（1）证明：SC⊥BC；
（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；
17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．
（1）求证：平面PAB∥平面EFG；
（2）在线段PB上确定一点M，使PC⊥平面ADM，
并给出证明．
高一数学必修二空间中平行与垂直关系强化练习参考答案
1-5 DBCDC 6-7AC
8.由题意得，取BC 中点E ，连接DE 、AE 、AD ，依题意知三棱柱为正三棱柱，得AE ⊥平面11BB C C ，故ADE ∠为AD 与平面11BB C C 所成角，设各棱长为1，则31,22
AE DE =
=，所以tan 360ADE ADE ∠=⇒∠=o 。

9.0012060或 10.①②③． 11. ③④ 12.略
13. 解：（1）因为C 1C ∥D 1D ，所以∠MC 1C 就是异面直线
DD 1 与MC 1所成的角，…（3分）
连接MC ，则△C 1MC 为Rt △．易得MC=，MC 1=2，
所以∠MC 1C=60○．
即异面直线DD 1 与MC 1所成的角为60°；…（6分）
（2）因为MB ⊥平面B 1C 1CB ，连接BC 1，则∠MC 1B 为直线MC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，…（9分）
由△MC 1B 为Rt △．易得BC 1=，MC 1=2，所以∠MC 1B=30○，
即直线MC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°；…（12分）
14.(1) 证明：设111O D B 线段的中点为.
11111111//D B BD D C B A ABCD D B BD ∴-的对应棱是和Θ.
的对应线段是棱柱和同理，111111D C B A ABCD O A AO -Θ
为平行四边形四边形且且11111111//////OCO A OC O A OC O A OC AO O A AO ⇒=⇒∴ 1111111111//,.//B CD BD A O D B C O O BD O A C O O A 面面且⇒==⇒I I .(证毕)
(2)解：的高是三棱柱面ABD D B A O A ABCD O A -∴⊥11111Θ.
在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=∆O A OA A RT 中，在
11)2(2
121111111=⋅⋅=
⋅=-∆-O A S V ABD D B A ABD ABD D B A 的体积三棱柱. 所以，1111111=--ABD D B A V ABD D B A 的体积三棱柱. 15.证明：（1）连结DE ，在△BDE 中，G ，H 分别是BD ，BE 的中点，
∴GH 为△BDE 的中位线，
在△PAC，D，E分别是PA，PC的中点，
∴DE是△PAC的中位线，
∴DE∥AC，
∴GH∥AC．
∵GH⊄平面ABC，
∴GH∥平面ABC．
（2）∵AB=PB，
∴BD⊥PA，
∵∠PBC=∠ABC=90°，
∴PC=AC，
∴CD⊥PA，
∴PA⊥平面BCD，
∴平面BCD⊥平面PAC．
60
16.(2)0
17. （1）证明：∵E，F分别是PC，PD的中点．
∴EF∥CD，
由正方形ABCD，∴AB∥CD，
∴EF∥AB，
又EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB．
同理可得：EG∥PB，
可得EG∥平面PAB，
又EF∩EG=E，
∴平面PAB∥平面EFG；
（2）解：当M为线段PB的中点时，满足使PC⊥平面ADM．下面给出证明：取PB的中点M，连接DE，EM，AM．
∵EM∥BC∥AD，∴四点A，D，E，M四点共面，
由PD⊥平面ABCD，
又AD⊥CD，PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD．
∴AD⊥PC．
又△PDC为等腰三角形，E为斜边的中点，∴DE⊥PC，又AD∩DC=D，
∴PC⊥平面ADEM，即PC⊥平面ADM．。