导数中的参数范围的求法
利用导数求参数范围举例
利用导数求参数范围举例例1.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． 解：(1)2,21-=-=b a 2122)2(]2,1[)(,2)2(,21)1(23)1(,2722)32(132023,23)().2(222'>-<+>+=-+=+=-+-=+=-=-==----=c c c ，c c f x f c f c f cf c f x x x x x x x f 或解得从而上的最大值为在所以且或得由例2.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值 (1) 求函数)(x f 的解析式.(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围. 解:(1)求得x x x f 3)(3-=(2)设切点为33)(),3,(2'0300-=-x x f x x x M 因为200'20300020300200302066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x M x x m y -=++-=**=++---=----=-则设有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为)2,3(230)1(0)0(1,0)(,)1,0(,),1(),0,()(100)(00000000'---<<-⎩⎨⎧<>*==+∞-∞===的取值范围是所求的实数解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以或得由m m g g x x x x g x g x x x g 例3．已知,)(2c x x f +=且)1()]([2+=x f x f f 。
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围在解题中，我们首先要确定参数的取值范围是有限的，也就是参数不能无限制地取值。
然后我们利用导数的单调性来排除一些不符合要求的取值范围，从而找到参数的合理取值范围。
为了更好地理解这个方法，我们来看一个具体的例子：问题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0。
如果函数f(x)在定义域内是递增函数，求参数b的取值范围。
解答：首先，我们要明确函数f(x)是递增函数的定义：对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)。
我们可以通过求函数f(x)的导函数f'(x)来判断函数f(x)的单调性。
在本例中，函数f(x)的导函数为f'(x) = 2ax + b。
由于函数f(x)为递增函数，所以f'(x)应该大于0。
即对于任意的x，有f'(x)>0。
我们可以把f'(x) > 0看作是一个一次函数y = 2ax + b > 0的解。
这个一次函数的解为x < -b/2a。
也就是说，对于任意的x<-b/2a，有f'(x)>0。
这样一来，我们就可以得出结论，函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数。
但是我们并不能马上就得出参数b的取值范围是x<-b/2a。
因为函数f(x)的定义域可能不包含这个区间。
为了求出参数b的取值范围，我们需要进一步考虑函数f(x)的定义域。
对于函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，它的定义域是所有实数集合R。
因此，对于任意实数x，函数f(x)都有定义。
由于我们已经确定了函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数，所以我们只需要确定使得这个区间包含在定义域内的参数b的取值范围即可。
如果我们假设b/2a为一个实数k，那么我们可以得出-x>k。
即对于任意的x>-k，函数f(x)是递增的。
然而，x的取值范围是所有实数，所以我们可以把任意实数k当作是b/2a。
函数与导数问题中求参数范围的策略
函数与导数问题中求参数范围的策略东莞市第六高级中学安娜【摘要】函数与导数是高考考查的中点内容，一般在压轴题的位置，含有参数的导数问题一直是高考热点，本文是针对如何求解函数问题中参数的范围进行探讨.【关键词】导数；参数；范围1求参数范围的三个策略1.1分离参数分离参数即把含参数的方程或不等式中的参数分离出来，如果我们将含参数的方程经过变形，将参数分离出来，使方程的一端化为只含参数的解析式，而另一端化为与参数方程无关的主变元函数.此方法的好处是把参数分离出来之后，不等式的另一边便可以看成一个确定的函数，再求新函数的最值，问题会变得简洁.但分离参数时条件限制的，例如)()(x g x f a ≤⋅，由于不等式的性质，需要明确)(x f 的正负，才能把参数a 分离出来.例1设.3)(,ln )(23--=+=x x x g x x x a x f 如果对任意的s ，]2,21[∈t ，都有)()(t g s f ≥成立，求实数a 的取值范围.分析：对任意s ，]2,21[∈t ，都有)()(t g s f ≥成立↓（理解“任意”含义，其中s 与t 取不同的值）maxmin )()(x g x f ≥↓求得1)(max =x g 1ln ≥+x x xa 恒成立↓分离参数ax x x a ln 2-≥恒成立↓求x x x x h ln )(2-=的最大值max)(x h a ≥解题过程：对任意的s ，]2,21[∈t ，都有)()(t g s f ≥成立等价于在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上，函数maxmin )()(x g x f ≥因为3)(23--=t t t g 所以)23(23)('2-=-=t t t t t g 令0,0)('=∴=t t g 或32=t 令232,0)('≤<∴>t t g 令3221,0)('<≤∴<t t g 所以)(t g 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,21上单调递减，在⎥⎦⎤ ⎝⎛2,32上单调递增所以82534181)21(-=--=g ，1438)2(=--=g 所以1)()(max max ==t g x g 所以，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上，1ln )(≥+=x x x ax f 恒成立等价于x x x a ln 1-≥，等价于xx x a ln 2-≥设xx x x h ln )(2-=（由于一次求导之后，不能确定导数的正负，因此进行二次求导）所以xx x x h --=ln 21)('所以，)1(ln 2)(''+-=x x h 因为01ln ,221>+∴≤≤x x 所以，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上，0)(''<x h 恒成立所以)('x h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21单调递减又因为011ln 21)1('=--=h 所以，当121<≤x 时，0)('>x h 当21≤<x 时，0)('<x h所以，)(x h 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21上单调递减，在(]2,1上单调递增所以，当1=x 时，11ln 1)1()(max =-==h x h 所以1≥a .此题求a 的取值范围满足分离参数的条件，进而转化为求函数的最值问题，在求)(x h 最大值时，利用了二次求导的方法.但分离参数方法的使用有条件限制，有一定的局限性.如若遇到不能分离参数的问题，可用分类讨论的方法.1.2分类讨论分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，分类讨论思想即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想.分类讨论思想在高中数学中是一种重要的思想方法，在分析解决问题的过程中起着重要的作用，也是高考中的高频考点，其难点在于如何分类.在含参的函数问题中，分类讨论一般是由参数的变化引起的，由于参数的取值不同会导致所得结果不同.例2已知函数xe c bx ax xf )()(2++=在[]1,0上单调递减且满足0)1(,1)0(==f f ，求a 的取值范围.分析.0)1(,1)0(==f f 求出c b a ,,的值或关系↓[]xe x a ax xf ⋅++-=1)1()(2↓[]0)1()('2≤⋅--+=x e a x a ax x f 在[]1,0上恒成立↓0)1(2≤--+a x a ax ↓不满足分类讨论的条件转变为二次不等式问题，由于二次项系数含有参数，因此进行分类讨论.解题过程：由0)1(,1)0(==f f .⎩⎨⎧-=+=⇒⎩⎨⎧=++=110)(1b a c e c b a c 所以xe x a ax xf ⋅++-=]1)1([)(2因为)(x f 在]1,0[上单调递减所以0])1([)('2≤⋅--+=xe a x a ax xf 在]1,0[上恒成立等价于0)1(2≤--+a x a ax 在]1,0[上恒成立（由于二次项系数为参数a ，所以对应的函数a x a ax x g --+=)1()(2可能为二次函数，也可能为一次函数，因此对a 进行讨论，分别讨论0>a ，1=a ，0=a ，0<a 四种情况.）①当0>a 时，因为二次函数a x a ax x g --+=)1()(2的图像开口向上而0)0(<-=a g ，所以需要0)1()1(<-=e a g ，即10<<a .②当1=a 时，1)(2-=x x g 在),0(+∞上单调递增0)1(,01)0(=<-=g g 符合条件，所以1=a ③当0=a 时，x x g -=)(在]1,0[上单调递减01)1(,0)0(<-==g g 符合条件，所以0=a ④当0<a 时，a x a ax x g --+=)1()(2的图像开口向下0)0(>-=a g 不符合条件故a 的取值范围为]1,0[.本题的突破点是把问题转化为导数小于等于0的恒成立问题，恒成立问题中，首选分离参数的方法，但本题不满足分离的条件，因此问题转化为二次项和一次项均含有参数不等式恒成立问题，档二次项为零时，本题变为一次不等式，一次分类讨论的方向便由此确定下来，分别讨论0>a ，1=a ，0=a ，0<a 四个方面进行讨论.1.3以参数为新元分类讨论后仍不能求出参数的范围时，便需要一些特殊的方法进行解题，跳出固有的思维，把参数当做新元解决问题，使问题更简洁.例3已知2ln )(2-+=x a x x f ，若01)(≥+x f 恒成立，求实数a 的取值范围.分析xa x x a x x f +=+=222)('↓01)(≥+x f 恒成立1)(min -≥x f ↓讨论参数0>a 和0<a ，但是0<a 时，但求到012ln 2≥--+-a a a 便无法求解，所以后便以a 为新元，解决新的函数问题.解题过程函数定义域为()+∞,0，xa x x a x x f +=+=222)('.因为01)(≥+x f 恒成立，等价于1)(-≥x f 恒成立，即1)(min -≥x f 若0≥a 时，则0)('>x f ，所以)(x f 在),0(+∞上单调递增所以当0→x 时，-∞→)(x f ，不符合题意若0<a 时，令0)('=x f ，则2ax -=令,0)('>x f 则2a x ->，所以)(x f 在),2(+∞-a 单调递增令,0)('<x f 则20a x -<<，所以)(x f 在)2,0(a -单调递减所以，当2a x -=时，122ln 2)2()(min -≥--+-=-=a a a a f x f 即只需证明012ln 2≥--+-a a a （到了这一步，很难再求a 的取值范围，因此把题目转化成为证明012ln 2≥--+-a a a 的问题，进而转化为研究以a 为新元的函数恒大于等于0的问题，因此设新函数)(a h .）令1)2ln 21)ln(21(212ln(21(212ln 2)(---+-=--+-=--+-=a a a a a a a a a a h 所以2ln )2ln(212ln 21)1(2)ln(2121)('a a a a a a h -=-=--+-+-=令0)('=a h ，则02ln =-a ，则2-=a令0)('>a h ，则12>-a ，则2-<a ，所以)(a h 在)2,(--∞单调递增令0)('<a h ，则12<-a ，则02<<-a ，所以)(a h 在)0,2(-单调递减所以，当2-=a 时，0101)2()(max =-+=-=h x h 所以0)(≥a h ，012ln 2≥--+-a a a 成立所以2=a 因为分类讨论并不能求出a 的范围，因此转化为关于a 的函数大于等于0的恒成立的问题，使问题变的更加简洁，但是这种方法对于学生的思维要求较高.2策略之反思2.1含蓄的分离参数法分离参数法的使用是有条件限制的，并不是所有的参数都能分离，在恒成立问题中，首选分离参数法的目的是分离出一个确定的函数，进而求这个确定的函数的最值.而有些参数看似不能分离，实则条件隐藏较深，需要仔细挖掘.例如已知函数x e x x f -=2)(及xx x g 4)(+=，其中e 为自然对数的底数.若对任意的),0(0+∞∈x ，不等式)()1()()1(00x g m x f m -≤+恒成立，求正数m 的取值范围.此题在使用分离参数的过程中遇到的问题是不确定1-m 和)(0x f 的正负，因此要要分析函数)(x f 的性质，发现)(x f 是恒大于零的，所以0)()1(0>-x f m 是恒成立的，同时0)(>x g 是恒成立的，所以0)()1(0>-x g m 也是恒成立的，因此m 是大于1的数，所以01>-m 成立，因此1-m 可以分离到不等式的左边，进而得到)()(1100x f x g m m ≤-+恒成立的问题.只要求出)()(00x f x g 的最小值即可.本题的难点是对)(x f 与)(x g 两个函数的理解要到位，分析过程中也使用了分类讨论的思想，通过分类讨论，最终确定可以分离参数，分类讨论的思想方法在数学中应用及其广泛.2.2全能的分类讨论法分离参数的方法确实可以使问题变成求解确定函数的最值问题，但有些问题分离参数后，反而会使问题的求解变得更加困难，加大题目的计算量和思维量.例如已知0)1ln(2≥++-x x kx 在[)+∞,0上恒成立，求参数k 思维取值范围.此题若是用分离参数法可得2)1ln(x x x k +-≥在[)+∞,0上恒成立，令2ln )(x x x x x g -=，只需max )(x g k ≥，因此对)(x g 进行求导，可得2422ln(1)1'()x x x x x g x x ---++=,在求导之后，需要判断'()g x 的正负，进而求得()g x 的最大值，在求解的过程中难度很大，计算量很大，因此本题选择分离参数法并不是合适的方法，分类讨论反而会使问题更简单.要使0)1ln(2≥++-x x kx 在[)+∞,0上恒成立，令2()ln(1)f x kx x x =-++，只需min ()0f x ≥在[)+∞,0上恒成立即可，对()f x 进行求导可得(221)'()1x kx k f x x +-=+，当0k =时，'()0f x >恒成立.当0k ≠时，令'()0f x =可得，112x k =-或0x =，连根的大小不能确定，要进行分类讨论，由此分类讨论的方向便可确定.在本题的求解过程中，分类讨论方法的求解过程更加简洁，计算量较小.在做题的过程中首先进行实际操作，在选择更适合的方法，在教学过程中要培养学生不要形成思维定式.在上文中，对如何求解函数中参数的取值范围进行了探究，在实际解决问题的过程中，需要根据情况分析，选择适当的方法，更快更准的获取正确答案.【参考文献】[1]杜卫杰.高中数学教学中分类讨论思想的应用[J].新课程学习.2011[2]张方东.高中数学分类讨论思想的应用[J].亚太教育.2015[3]李克大.分类讨论的数学思想及其应用.[J].中学生数学，2010。
导数专题(一)参数的取值范围
太原市新希望双语学校 钱大平
（一）、概述：求参数的取值范围是数学 中普遍存在的问题（如函数、解析几何、 向量等）。宏观地讲，求参数的取值范围， 就是通过寻求参数所满足的不等量关系 （特殊地也可以是等量关系，一般地是不 等式或不等式组）而得到参数的取值范围 （特殊地范围可以夹挤为一个常数，也可 以无解）。应用导数求参数的取值范围就 是在求范围的过程中，采用了导数的方法 和手段。这类问题有一定的特定数学背景 （首先是函数问题的大背景）。
（二）、预备知识：
一、恒成立、能成立问题的化归（参考《成功密 码》9月刊P14）
1、利用分离参数确定不等式 f ( x, a ) 0 ( x D, a为实参数） 恒成立中参数a的取值范围的基本步骤： （1）将参数与变量分离，即化为 g ( a ) 恒成立的形式
f ( x) (或g (a) f ( x)）
（2）求 f ( x)在x D 上的最大（或最小）值 （3）解不等式 g (a) f ( x) max (或g (a) f ( x) min ) ，得到a的取值范 围
例：已知两函数 f ( x) 8 x 2 16 x k , g ( x) 2 x 3 5 x 2 4 x ， 其中k为实数。 （1）对任意 x 3, 3 ，都有 f ( x) g ( x) 成立，求k的取 值范围； （2)存在 x 3, 3 ，使 f ( x) g ( x) 成立，求k的取值范围 （3）对 x1 , x2 3, 3 ，都有 f ( x1 ) g ( x2 ) ，求k的取值范 围；
二、参数满足的条件与参数取值范围的逻辑关系 （集合观点理解：即用充分条件得到的参数范围是 用充要条件得到的范围的子集，用必要条件得到的 参数范围含盖用充要条件得到的范围）
利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围方法归纳导数是微积分中的重要概念，可以用于求函数的变化率、极值、最值等问题。
利用导数求参数的取值范围可以帮助我们找到函数的关键点、拐点以及定义域的范围等信息。
下面是一些常见的方法归纳。
求函数在处的导数：1.首先，计算函数的导数表达式。
2.将参数值代入导数表达式，得到函数在该处的导数。
3.根据导数值的正负来判断函数在该处的增减性。
求函数的关键点：1.通过导数求出函数的导数表达式。
2.设置函数的导数等于零的方程，并求解得到参数的取值。
3.将参数的取值代入原函数，得到关键点的横坐标。
4.进一步求得关键点的纵坐标，得到函数的关键点。
求函数的拐点：1.首先，求出函数的二阶导数表达式。
2.解出二阶导数等于零的方程，得到参数的取值。
3.将参数的取值代入原函数，求出拐点的横坐标。
4.进一步求得拐点的纵坐标，得到函数的拐点。
求函数的定义域范围：1.首先，确定函数的定义区间，并计算函数在该区间的导数。
2.判断导数的正负情况，以确定函数的单调性。
3.判断函数在定义区间的端点处是否存在极值。
若存在，则考虑边界条件。
4.根据以上分析，确定函数在定义区间的取值范围。
举例说明：1. 求函数 f(x) = ax^2 + bx 的最值：首先，求出函数的导数 f'(x) = 2ax + b。
令导数等于零，得到 2ax + b = 0，解方程可得 x = -b/(2a)。
将x的值代入原函数，得到最值的纵坐标。
进一步分析函数的单调性和边界条件，得到函数的取值范围。
2. 求函数 g(x) = sin(ax) 的最值：首先，求出函数的导数 g'(x) = acos(ax)。
判断导数的正负情况，确定函数的单调性。
根据函数的周期性和边界条件，得出函数在定义区间的取值范围。
3. 求函数 h(x) = log(x + a) 的定义域范围：首先，确定函数的定义区间为x+a>0，即x>-a。
对函数求导，得到导数h'(x)=1/(x+a)。
导数中的参数问题(解析版)
【方法综述】导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式恒成立、存在性、方程的根、零点等条件，求解参数的取值或取值范围”.这类问题在近几年的高考中，或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。
而要解决这类型的题目的关键，突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分离参数法、分类讨论法及变换主元法等，从而解决常见的导数中的参数问题。
【解答策略】一．分离参数法分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离. 1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.例1．已知函数432121()ln 432e f x x x ax x x x =-++-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．21[,)e e++∞B ．(0,]eC ．21[2,)e e--+∞ D ．[21,)e -+∞【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题 【答案】A【解析】32()2ln 0f x x ex ax x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立2ln 2xa ex x x⇔≥+-， 设2ln ()2x p x ex x x =+-，221ln 2()()x e x x p x x-+-'=， 当0x e <<时，()0p x '>；当x e >时，()0p x '<；()p x ∴在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，21()()p x p e e e∴≤=+，21a e e ∴≥+.故选：A .专题6.2 导数中的参数问题【举一反三】1.（2020·宣威市第五中学高三（理））若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t '=，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数21()32g x kx x =-+为函数()2ln f x x x x =+的“友导”函数，则k 的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】()1g x kx '=-，由题意，()g x 为函数()f x 的“友导”函数，即方程2ln 1x x x kx +=-有解，故1ln 1k x x x=++， 记1()ln 1p x x x x =++，则22211()1ln ln x p x x x x x-'=+-=+， 当1x >时，2210x x ->，ln 0x >，故()0p x '>，故()p x 递增； 当01x <<时，2210x x-<，ln 0x <，故()0p x '<，故()p x 递减， 故()(1)2p x p ≥=，故由方程1ln 1k x x x=++有解，得2k ≥，所以k 的最小值为2.故选：C. 2．（2020·广东中山纪念中学高三月考）若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（ ）A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦【答案】B【解析】由12f a -=-+（） ，可得222alnx x a --≤-+ 在0x ＞ 恒成立， 即为a （1-lnx ）≥-x 2，当x e = 时，0e -＞ 2显然成立；当0x e ＜＜ 时，有10lnx -＞ ，可得21x a lnx ≥-，设201x g x x e lnx =-（），＜＜，222(1)(23)(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx （），---'==-- 由0x e ＜＜ 时，223lnx ＜＜ ，则0g x g x （）＜，（）'在0e （，）递减，且0g x （）＜ ， 可得0a ≥ ；当x e ＞ 时，有10lnx -＜ ，可得21x a lnx ≤- ， 设22(23)1(1)x x lnx g x x e g x lnx lnx -='=--（），＞，（）， 由32 e x e ＜＜ 时，0g x g x （）＜，（）' 在32 e e （，）递减， 由32x e >时，0g x g x '（）＞，（） 在32 ,x e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， 即有)g x （ 在32x e = 处取得极小值，且为最小值32e ， 可得32a e ≤ ，综上可得302a e ≤≤ ．故选B ．3.（2020湖南省永州市高三）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】原不等式等价于：令，则存在，使得成立又 当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，，即当且仅当，即时取等号，即，本题正确选项：2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.【例2】已知函数2ln 1()x mx f x x+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2e 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意2ln 1()0x mx f x x+-==，得2ln 1x m x +=， 设2ln 1()(0)x h x x x +=>，求导4332(ln 1)12(ln 1)(2ln 1)()x x x x x h x x x x-+-+-+'=== 令()0h x '=，解得12x e -=当120x e -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12x e ->时，()0h x '<，()h x 单调递减； 故当12x e -=时，函数取得极大值，且12()2e h e -=又1=x e时，()0h x =；当x →+∞时，2ln 10,0x x +>>，故()0h x →； 作出函数大致图像，如图所示：又(1)1h =，ln 21ln 2(2)44eh +== 因为存在唯一的整数0(,)x a b ∈，使得y m =与2ln 1()x h x x+=的图象有两个交点， 由图可知：(2)(1)h m h ≤<，即ln 214em ≤< 故选：B.【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【举一反三】1．（2020·重庆市第三十七中学校高三（理））已知函数32()32f x x x ax a =-+--，若刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】令32()3,()(2)()()()g x x x h x a x f x g x h x =-+=+∴=-，且2'()36g x x x =-+， 因为刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，即()()i i g x h x >， 作出(),()g x h x 的图象，如图所示，其中()h x 过定点(2,0)-，直线斜率为a ，由图可知，203a ≤≤时， 有且仅有两个点()()1,2,2,4满足条件， 即有且仅有121,2x x ==使得()0i f x >. 实数a 的取值范围是20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝，故选：A2（2020济宁市高三模拟）已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( ) A ．(3，4) B ．(4，5)C ．(5，6)D ．(6．7)【答案】C 【解析】由xlnx+（3﹣a ）x+a ＝0，得，令f （x ）（x ＞1），则f′（x ）．令g （x ）＝x ﹣lnx ﹣4，则g′（x ）＝10，∴g（x ）在（1，+∞）上为增函数， ∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g （6）＝2﹣ln6＞0， ∴存在唯一x 0∈（5，6），使得g （x 0）＝0，∴当x∈（1，x 0）时，f′（x ）＜0，当x∈（x 0，+∞）时，f′（x ）＞0． 则f （x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C3.（2020蚌埠市高三）定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，故，因，所以即.不等式有解可化为即在有解.令，则，当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；故，所以，故选C.二．分类讨论法分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论. 1.二次型根的分布或不等式解集讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程， 可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.【例3】（2020·全国高三专题）函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解.【详解】()()()()22331x xx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e-=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内， 或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D【举一反三】1．（2020·湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数()f x kx =，ln ()xg x x=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e内有两个实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．211[,)2e eB ．11(,]2e eC ．21(0,)e D ．1(,)e+∞【答案】A【解析】易知当k ≤0时，方程只有一个解，所以k >0．令2()ln h x kx x =-，2121(21)(21)()2kx k x k x h x kx x x x--+=-=='， 令()0h x '=得12x k =，12x k=为函数的极小值点， 又关于x 的方程()f x =()g x 在区间1[,]e e内有两个实数解，所以()01()01()02112h e h e h k e ek ≥⎧⎪⎪≥⎪⎪⎨<⎪⎪⎪<<⎪⎩，解得211[,)2k e e ∈，故选A.2.（2020扬州中学高三模拟）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】∵，∴．∵函数有两个不同的极值点，，∴，是方程的两个实数根，且，∴，且，解得．由题意得．令，则，∴在上单调递增，∴．又不等式恒成立，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．2．指数对数型解集或根的讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程， 可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论. 即可解决.【例4】（2020•泉州模拟）已知函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae ，若存在a ∈（﹣1，1），使得关于x 的不等式f （x ） ﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1] B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，0）【答案】A【解析】不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，即k ≤f （x ）恒成立； 则问题化为存在a ∈（﹣1，1），函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae 有最小值，又f ′（x ）＝ae x ﹣1，当a ∈（﹣1，0]时，f ′（x ）≤0，f （x ）是单调减函数，不存在最小值； 当a ∈（0，1）时，令f ′（x ）＝0，得e x ＝，解得x ＝﹣lna ， 即x ＝﹣lna 时，f （x ）有最小值为f （﹣lna ）＝1+lna ﹣ae ； 设g （a ）＝1+lna ﹣ae ，其中a ∈（0，1），则g ′（a ）＝﹣e ，令g ′（a ）＝0，解得a ＝，所以a ∈（0，）时，g ′（a ）＞0，g （a ）单调递增；a ∈（，1）时，g ′（a ）＜0，g （a ）单调递减；所以g （a ）的最大值为g （）＝1+ln ﹣•e ＝﹣1； 所以存在a ∈（0，1）时，使得关于x 的不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选：A ． 【举一反三】1．函数()()211,12x f x x e kx k ⎛⎫⎛⎤=--∈⎪⎥⎝⎦⎝⎭,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =（ ） A . ()32ln22ln2-- B . 1- C . ()22ln22ln2k -- D . ()31k k e k --【答案】D2．（2020·浙江省杭州第二中学高三期中）已知函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线为():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈（其中I 为函数()f x 的定义域，当0x x ≠时，()()()00f x g x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”，已知函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a 的取值范围是 A ．[]0,e B ．[]1,eC ．[]1,+∞D ．(],e -∞ 【答案】B【解析】由题可得()2xf x e ax =--'，则在()00,x y 点处的切线的斜率()0002xk f x e ax ==--'，0200122x y e ax x =--，所以函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线方程为：00200001(2)(2)()2x x y e ax x e ax x x ---=---，即切线()00200001:=(2)()+22x xl y g x e ax x x e ax x =-----，令()()()h x f x g x =-， 则002200011()2(2)()222x x xh x e ax x e ax x x e ax x =-------++，且0()0h x = 0000()2(2)=+x x x x h x e ax e ax e ax e ax =-------'，且0()0h x '=，()x h x e a ='-'，（1）当0a ≤时，()0xh x e a =-'>'，则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（2）当01a <<时， ()0xh x e a =-'>'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=，所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（3）当1a =，()10x h x e =-'≥'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，取00x =，则()10x h x e x =-->'，所以()h x 在区间(]0,1上单调递增，0()()0h x h x >=，当00x x ≠=时，0()()0h x x x ->恒成立，故00x =为函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上的一个“转折点”，满足题意。
导数求参数范围求解技巧
导数求参数范围求解技巧求解参数范围的问题在数学中是非常常见的。
特别是当我们需要优化一个函数时，对参数进行限制是非常重要的。
在这篇文章中，我将介绍一些常用的技巧来求解参数范围的问题。
一、符号法在一些简单的问题中，我们可以使用符号法来得到参数的范围。
首先，我们可以将函数的导数表示为一个关于参数的符号表达式。
然后，我们可以观察这个符号表达式的一些特征，比如符号和零点的位置，来确定参数的范围。
例如，假设我们需要求解函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的参数范围，其中$a$和$b$是实数，$c$是一个正常数。
我们可以计算函数的导数：$f'(x) = 2ax + b$。
由于导数是线性的，对于任意的$x$，导数都是连续的。
因此，我们只需要考虑导数的正负号。
当$a > 0$时，函数的导数为正，说明函数是单调递增的。
因此，我们可以得出结论：$a > 0$。
当$a < 0$时，函数的导数为负，说明函数是单调递减的。
因此，我们可以得出结论：$a < 0$。
而当$a = 0$时，函数的导数为常数$b$，说明函数是一个平面。
因此，我们可以得出结论：$a = 0$。
二、零点法在一些复杂的问题中，使用符号法往往不够直观。
因此，我们可以使用零点法来求解参数范围的问题。
这种方法的基本思想是寻找函数的零点，并通过分析零点的数量和位置来确定参数的范围。
首先，我们可以先计算函数的导数，并找到导数为零的点。
然后，我们可以观察这些零点的位置和数量，从而得到参数的范围。
特别地，我们可以使用二次函数的零点公式来求解二次函数的参数范围。
例如，假设我们需要求解二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的参数范围，其中$a$和$b$是实数，$c$是一个正常数。
我们可以计算函数的导数：$f'(x) = 2ax + b$。
我们可以令导数为零，得到方程$2ax + b = 0$。
解这个方程，我们可以得到$x = -\\frac{b}{2a}$。
导数题中求参问题的常见解法
导数题中求参问题的常见解法方法一：函数最值法例一：设函数f(x)=e2x+ae x a∈R。
（1）当a=-4时，求f(x)的单调区间；（2）若对任意的x∈R,f(x)≥a2x 恒成立，求实数a的取值范围。
+2lnx 。
练习：设函数f(x)=1x（1）讨论函数f(x)的单调性。
（2）如果对所有x≥1 ，都有f(x)≤ax，求a的取值范围。
方法二：分离参数法例二：已知f(x)＝ln x－x3＋2e x2－ax，a∈R，其中e为自然对数的底数．(1)若f(x)在x＝e处的切线的斜率为e2，求a；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．练习：已知函数f(x)=e x−asinx−1 (a∈R)。
（1）若a=1，求f(x)在x=0处的切线方程；（2）若f(x)≥0对一切x∈[0,1]恒成立，求实数a的取值范围。
方法三：变换后构造新函数法（重点在变换）例三：已知函数f(x)=ax2−ax,g(x)=xlnx ，若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的值。
练习：已知函数f(x)=alnx−2ax+1,对任意x≥1,f(x)≥−e x−1恒成立。
求实数a的取值范围。
（本题的重点在处理方法）方法四切线法例四：已知(1−x2)e x≤ax+1,对x≥0恒成立，求a的取值范围。
练习：1、已知函数f (x )=(x +1)lnx −a(x −1)。
（1） 当a=4时，求曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程；（2） 若当x ∈(1,+∞)时，f(x)>0，求a 的取值范围。
2、若函数f (x )=lnx −e x −2mx +n ,f(x)≤0对任意x ∈(0,+∞)都成立，求n m 的最大值。
法五：：不等式法例题五：已知函数f (x )=x (e 2x −a )−lnx ，若f(x)≥1在(0，+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A 、 (−∞，e −1]B 、 (−∞,e −1)C 、 (−∞,2]D 、(−∞,2)解：因为f (x )≥1在(0,+∞)恒成立，所以a ≤xe 2x −lnx−1x 令h (x )=e lnx e 2x −lnx−1x =e lnx+2x −lnx−1x ≥lnx+2x+1−lnx−1x =2练习：1已知函数f (x )=axe x (a ∈R,e 为自然对数的底数)，g (x )=lnx +kx +1(k ∈R).(1) 若k=-1，求函数g(x)的单调区间。
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导数中的参数范围的求法一、 与单调性有关的参数问题此时参数可以位于函数中也可以位于区间内，常见的提问方式是函数在某个区间单调递减、单调递增、单调、不单调，研究这类问题的关键是把握原函数和导函数的关系，这里需要注意的一个问题：若函数()f x 单调，则'()f x 恒为非正或非负，函数的极值点并不等同于导函数的零点，极值点的个数和导函数的根的个数也不能直接划等号。
例1.已知函数32()39f x x x x =--在区间(,21)a a -上单调递减，求a 的取值范围。
解析：先根据函数单调性作出函数的趋势图像，再安排存在参数的区间位置即可。
'2()3693(1)(3)f x x x x x =--=+-令'()0f x >，则3x >或1x <-；令'()0f x <，则13x -<<，作出趋势图像如下：函数在区间(,21)a a -上单调递减，需满足12131221a a a a a ≥-⎧⎪-≤⇒<≤⎨⎪->⎩例2．已知函数22()ln f x x a x x=++在[1,4]上是减函数，求实数a 的取值范围。
解析：转化为函数单调性与导函数的正负性的关系即可，'22()2a f x x x x=+- 在[1,4]上是减函数，即'22()02f x a x x≤⇒≤-+在[1,4]上恒成立 令22()2g x x x =-+，因为()g x 在[1,4]上递减，则min 63()(4)2g x g ==- 所以632a ≤-例3.已知函数(),()ln ,f x ax g x x a R ==∈，若函数()2()()xf x G x ag x a x=++在区间[1,)+∞上为单调函数，求a 的取值范围。
解析：题目只是说明函数是单调函数，并未说明是单增还是单减，因此需要分两种情况讨论，将单调性转化为参数恒成立问题即可。
()2()()xf x G x ag x a x=++，3'22222()2a x ax G x x x x x +-=+-=若()G x 在区间[1,)+∞上单调递增，则'()0G x ≥在[1,)+∞上恒成立，即222a x x ≥-在[1,)+∞上恒成立，令22()2h x x x=-，因为()h x 在[1,)+∞递减，则 max ()(1)0h x h ==，此时0a ≥若()G x 在区间[1,)+∞上单调递减，则'()0G x ≤在[1,)+∞上恒成立，即222a x x ≤-在[1,)+∞上恒成立，令22()2h x x x=-，因为()h x 无最小值，则不存 在这样的a 综上，0a ≥例4.已知函数32()(1)(5)f x x k x k x =+-++，其中k R ∈，若函数()f x 在区间(0,3)上不是单调函数，求k 的取值范围。
解析：这个问题相对复杂些，但是思路还算清晰，函数在(0,3)上不是单调函数，意味着原函数在(0,3)上存在极值点，因为三次函数极值点的个数可能是两个也可能没有，原题目中排出没有的情况，因此题目存在两个极值点，但是这两个极值点有几个落在区间(0,3)内这是个问题，可能只有一个极值点在，也可能两个都在，此外极值点是导函数的根，题目即可转化为二次函数在区间内根的分布问题。
'2()32(1)5f x x k x k =+-++，函数()f x 在区间(0,3)上不是单调函数，则()f x 在(0,3)内必定存在极值点，此时()f x 不能单调递增，只能是保持一种增减增的状态，因此()f x 在(0,3)内的极值点可能是一个也可能是两个。
若极值点在(0,3)内只有一个，情况如下： （1）此时'()f x需要满足''(0)0(3)0ff⎧<⎪⎨>⎪⎩，此时无解（2）此时'()f x 只需要满足''(0)02657(3)0f a f ⎧>⎪⇒-<<-⎨<⎪⎩若极值点在(0,3)内有两个，图如下：此时'()f x 只需要满足''(0)0(3)0262071003f f a k ⎧>⎪>⎪⎪⇒-<<-⎨∆>⎪-⎪<-<⎪⎩综上所述，52a -<<- 二、与极值有关的参数范围问题常见的问法是函数有无极值点，有几个极值点的问题，极值点是函数单调性发生改变的点，因此有极值点意味着函数不单调，没有极值点则意味着函数单调，有几个极值点意味着导函数有几个零点，但是导函数有几个零点不等同于函数有几个极值点。
（导函数为零的点不一定为极值点，极值点一定为导函数为零的点） 例5.已知函数ln(1)()x f x x+=，设3()()h x xf x x ax =--在(0,2)上有极值，求a 的取值范围。
解析：3()ln(1)(10)h x x x ax x x =+-->-≠且，2'21(331)()3111x ax ax h x ax x x ---=--=++，()h x 在(0,2)上有极值，则'()h x 在(0,2)上有零点，即23310ax ax ---=在(0,2)有根21136a x x =-≤-+，故118a ≤- 例6.若函数2()(1)x f x e x ax a =+++没有极值点，求a 的取值范围。
解析：'2()[(2)21)x f x e x a x a =++++，令'()0f x =，即2(2)210x a x a ++++=函数无极值点，则2(2)4(21)004a a a ∆=+-+≤⇒≤≤例7.已知函数()ln 3f x a x ax =--，函数()f x 的图像在4x =处的切线的斜率为32，且32'1()[()]32mg x x x f x =++在区间 (1,3)上不是单调函数，求m 的取值范围。
解析：由已知得2a =-，321()(2)232mg x x x x =++-，'2()(4)2g x x m x =++-，函数在区间(1,3)上不是单调函数，则导函数在区间上存在零点，根据二次函数根的分布列不等式''(1)01933(3)0g m g ⎧<⎪⇒-<<-⎨>⎪⎩三、与双参数有关的参数问题在参数问题中参数的个数可能不止一个，另外在此类问题中变量的个数也可能不止一个，也可能会出现双变量的问题。
题目中若含有双参数,m n ，其中一个一般是给出了区间，而让求另一个未给出的参数的取值范围，除了这个之外一般还会给出未知量x 的区间，一个参数一个未知量是以任意性和存在性方式给出，其实这种题目大多是参数恒成立或存在性问题的延伸，只不过需要求两次最值，因为多了一个参数，所以在难度上会适当的降低。
解题的思路是将所求的参数m 单独分离，另一边包括另外一个参数n 和变量x ，此时可以将参数n 或变量x 中的一个当成自变量，另外一个当做常量即可，求出最值后可消去参数n 或自变量x ，再将问题转化为常规恒成立问题即可，但是如果所求的参数m 不能分离，可分离的是另一个参数n ，这样反而简单，直接利用任意性或存在性消去参数n 。
例8.已知函数()ln 3f x a x ax =--，若函数()f x 的图像在点(2,(2))f 处的切线 的倾斜角为45︒，对于任意的[1,2]t ∈，函数32'()[()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数，求m 的取值范围。
解析：由题意知2a =-，32()(2)22mg x x x x =++- ()g x 在区间(,3)t 上总不是单调函数，即'()g x 在(,3)t 上存在零点'2()3(4)2g x x m x =++-，根据二次函数根的分布列不等式''237()03(3)0(4)23m g t g m t t ⎧⎧>-<⎪⎪⇒⎨⎨>⎪⎩⎪+<-⎩，对于2(4)23m t t +<-，不等式在[1,2]t ∈上恒成立，则243m t t+<-因为23t t -在[1,2]t ∈上单调递减，及min2(3)5t t-=-，故9m <-综上所述，3793m -<<- 例9.设函数2()ln f x a x bx =-，当0b =时，若不等式()f x m x ≥+对所有的23[0,],[1,]2a x e ∈∈都成立，求实数m 的取值范围。
解析：当0b =时，()ln f x a x =，()ln f x m x a x m x ≥+⇒≥+对所有的23[0,],[1,]2a x e ∈∈都成立，即ln m a x x ≤-对所有的23[0,],[1,]2a x e ∈∈都成立令()ln h a a x x =-，()h a 为一次函数，当2[1,]x e ∈时，ln 0x > 故()h a 在3[0,]2a ∈上单调递增，所以min ()(0)h a h x ==- 所以m x ≤-对所有的2[1,]x e ∈都成立 所以2min ()m x e ≤-=-。