平面多边形内外点判断
七年级数学多边形的内(外)角和定理、平面图形的密铺与中心对称图形鲁教版知识精讲
七年级数学多边形的内（外）角和定理、平面图形的密铺与中心对称图形鲁教版【本讲教育信息】一. 教学内容：多边形的内（外）角和定理、平面图形的密铺与中心对称图形二. 学习重难点：多边形的内外角定理及应用是重点，而平面图形的密铺既是重点也是难点。
三. 知识要点讲解：想一想：你还记得三角形的内角和等于多少度吗？——（三角形的内角和等于180°）【探索多边形的内角和与外角和】1. 多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可.多边形有凸多边形和凹多边形之分，把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形（如图（2）），图（1）的多边形是凹多边形。
我们探讨的一般都是凸多边形.2、多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.3、多边形的命名与表示方法：（1）多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形如：三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.（2）多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示，可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图（3），可表示为五边形ABCDE，也可表示为五边形EDCBA。
4、多边形的内角和：探讨：（1）一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？（2）小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和。
你知道他们是怎么做的吗？思考：求五边形的内角和还有其他的方法吗？方法总结：在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形，进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法.想一想：①从n边形的一个顶点出发可以作出几条对角线？________（n－3）条。
射线法_判断点和多边形的关系_概述说明以及解释
射线法判断点和多边形的关系概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本文主要介绍了一种判断点和多边形关系的方法——射线法。
通过使用射线与多边形边界相交的方式，我们可以准确判断一个点是在多边形内部还是外部。
射线法是计算机图形学领域常用的算法之一。
1.2 文章结构本文将按照如下结构进行阐述：引言：对文章内容及目的进行简要介绍。
射线法判断点和多边形的关系：详细讲解射线法原理以及判断点在多边形内外部的方法。
示例与解释：通过实际示例来进一步说明射线法的运用和解释。
结论：总结射线法判断点和多边形关系的优劣势，并讨论应用场景与可能的限制条件。
结束语：对全文进行总结，并提出展望。
1.3 目的本文旨在为读者介绍射线法这种有效而常用的算法，并通过详细讲解和具体示例，帮助读者更好地理解和应用该方法。
同时，我们也希望能够探讨该方法的局限性以及适用范围，有助于读者在实际应用中做出合理选择。
通过阅读本文，读者将会对射线法的原理和应用有一个较为全面的了解。
2. 射线法判断点和多边形的关系：2.1 射线法原理：射线法是一种常用的方法，用于确定一个点是否在一个多边形内部。
其基本原理是通过从该点引出一条射线，然后计算与多边形各条边的交点个数。
如果交点个数为奇数，则说明该点在多边形内部；如果交点个数为偶数，则说明该点在多边形外部。
2.2 点在多边形内部的判断方法：要判断一个点是否在多边形内部，可以按照以下步骤进行：- 选择一条水平射线，起始位置与待判断的点相同。
- 遍历多边形的每条边，与水平射线进行相交计算。
- 如果相交，并且交点位于射线右侧，则将计数器加1。
- 最终检查计数器的值，如果是奇数，则表示该点在多边形内部；如果是偶数，则表示该点在多边形外部。
2.3 点在多边形外部的判断方法：同样地，要判断一个点是否在多边形外部，可以按照以下步骤进行：- 选择一条水平射线，起始位置与待判断的点相同。
- 遍历多边形的每条边，与水平射线进行相交计算。
平面多边形内外点判断
平⾯多边形内外点判断平⾯多边形内外点判断1 引⾔多边形在计算机图形学中有⼴泛应⽤，他们⼀般要求具有⼀下性质：（1）封闭：任何⼀条边有且只有两个端点，每个端点都是两条边的交点。
（2）不⾃交：任何两条边只有在相邻的情况下才相交，并且交点就是边的端点。
（3）有向：任何⼀条边都有⽅向，并且边的⽅向是⼀致的。
下⾯介绍⼀下多边形的⼀些基本概念。
（1）多边形：多边形是⼀个⾸尾相连的多边线，它可以⽤点序列P0 P1P2….P n表⽰，P0 P1，P1P2，…….P n-1P n称为多边形的边，P0 P1P2….P n 称为多边形的顶点。
（2）简单多边形：如果⼀个多边形所有的顶点均不相同,任何⼀个顶点都属于⼀条边，任何两条不相邻的边不相交，则这个多边形是简单多边形。
在计算机图形学中应⽤的多边形⼀般都是简单多边形，并且规定多边形沿逆时针⽅向时⽅向为正，沿顺时针⽅向时⽅向为负。
点在多边形内外关系的判断是关于多边形的⼀种基本算法，在计算机图形学中应⽤⼴泛，在⽯油地质制图系统中也有应⽤。
点在多边形内外关系的判断的经典⽅法主要有射线法和标号法两种，这两种⽅法实现起来⽐较复杂，⽽且在临界情况下可靠性不好。
有些资料中提出的利⽤多边形有向⾯积判断多边形⽅向可靠性很好，但是计算量相对较⼤，提出的判断点在多边形内外的⽅法是将多边形分解成⼀系列三⾓形，根据点与三⾓形的关系判断点与三⾓形的关系，但是没有讨论三⾓形退化为直线等情况的处理⽅法，⽽这些退化情况将导致算法不稳定。
2、多边形⽅向的判断⽅法给定多边形P=P0 P1P2……P n如图形1所⽰。
多边形⽅向的判断⽅法如下（1）遍历多边形P，找到P沿X，Y⽅向的最⼤值、最⼩值点分别为P i,P j,P k,P l；（2）定义⽮量Z＝（0，0，1）。
将P i，P j，P k，P l的下标从⼩到⼤排序得到j，k，l，i，下标相同的点，不计重复只保留⼀个。
如果只剩下两点，转步骤4，如果只剩下三点，转步骤5；（3）连接P j，P k，P l，Pi，P j，得到⼀个四边形P’=PjP k P l P i，其中P’0=P j，P’1=P k，P’2=P l，P’3=Pi，转步骤6；（4）设剩下的两点为P i，P j，则如果（P i-1P i*P i P i+1）.Z>0，则P的⽅向为正；如果（P i-1 P i*P i P i+1）.Z<0，则P的⽅向为负，结束。
typescript点在多边形内的判断方法
一、概述在计算机图形学领域，判断一个点是否在一个多边形内是一个常见的问题。
在实际应用中，比如地理信息系统、游戏开发等领域经常需要对这个问题进行求解。
而在开发过程中，我们经常会用到类型化的编程语言，比如TypeScript。
本文将介绍如何使用TypeScript来判断一个点是否在一个多边形内。
二、问题描述假设我们有一个二维平面上的多边形，其顶点坐标依次为 P1, P2,P3, ..., Pn，我们需要判断一个点 Q 是否在这个多边形内部。
为了简化问题，我们假设这个多边形是简单多边形（即不自交、不相交、不包含其他内部点），并且顶点按照顺时针或逆时针排列。
三、解决方法1. 点在多边形内的射线法判断我们可以使用射线法进行判断。
具体来说，我们可以通过点Q向任意方向发出一条射线，然后统计这条射线与多边形的交点个数。
如果这个交点个数是奇数，那么点Q就在多边形内部；如果是偶数，那么点Q就在多边形外部。
2. 封装成函数我们可以将上述的判断方法封装成一个函数，其函数签名如下：```typescriptfunction isPointInPolygon(point: Point, polygon: Point[]): boolean {// 判断点是否在多边形内部的具体实现}```在这个函数中，我们首先需要对多边形的顶点进行排序，以便后续的计算。
我们可以根据上述的射线法判断点是否在多边形内部。
3. 考虑边界情况在实际编码过程中，我们需要考虑多边形和点的数据表示方式，以及数值计算的精度问题。
特别是对于浮点数运算的误差，我们需要进行适当的处理。
四、实现代码下面是一个使用TypeScript实现的判断点是否在多边形内的函数示例：```typescriptclass Point {constructor(public x: number, public y: number) {}}function isPointInPolygon(point: Point, polygon: Point[]): boolean {// 根据射线法判断点是否在多边形内部// 省略具体实现}// 测试let polygon: Point[] = [new Point(0, 0),new Point(0, 5),new Point(5, 5),new Point(5, 0)];let point: Point = new Point(2, 2);if (isPointInPolygon(point, polygon)) {console.log("点在多边形内部");} else {console.log("点不在多边形内部");}```在这段代码中，我们首先定义了一个`Point`类来表示二维坐标点。
多边形(8种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(人教版)(解析版)
多边形（8种题型）【知识梳理】1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：凹多边形凸多边形【考点剖析】题型一：多边形及其概念例1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【分析】根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体，属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个，故选：A．【点睛】本题考查多边形定义，熟记多边形定义是解决问题的关键．【变式】.下列图形不是凸多边形的是( )解析：根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任意一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形，否则即是凹多边形．由此可得选项D的图形不是凸多边形．故选D.方法总结：多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可有两种方法：(1)画多边形任何一边所在的直线，整个多边形都在此直线的同一侧；(2)每个内角的度数均小于180°.通常所说的多边形指凸多边形．题型二：确定多边形的边数例2.（2023春·全国·八年级专题练习）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（）A．5或6B．6或7C．5或6或7D．6或7或8【答案】C【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．故选C【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．【变式1】（2022·全国·八年级专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是_____．【答案】5，6，7．【分析】直接画图，动作操作即可知答案.【详解】如图可知，原多边形的边数可能为5,6,7故填5，6，7．.【变式2】若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为( )A．14或15或16 B．15或16C．14或16 D．15或16或17解析：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16.故选A.方法总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，解决此类问题可以亲自动手画一下．【变式3】（2022·全国·八年级专题练习）把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩_____个角．【答案】3或4或5．【分析】剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者边数不变．【详解】解：如图所示，把一张长方形纸片剪去一个角后，可得三角形或四边形或五边形，故还剩3或4或5个角，故答案为：3或4或5．【点睛】本题考查了剪长方形的问题，掌握剪长方形的性质是解题的关键．题型三：确定多边形的对角线的条数例3.从四边形的一个顶点出发可画________条对角线，从五边形的一个顶点出发可画________条对角线，从六边形的一个顶点出发可画________条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有________条对角线，从n 边形的一个顶点出发有________条对角线，从而推导出n 边形共有________条对角线．解析：根据n 边形从一个顶点出发可引出(n －3)条对角线．从n 个顶点出发引出n(n －3)条对角线，而每条重复一次，可得答案．解：从四边形的一个顶点出发可画1条对角线，从五边形的一个顶点出发可画2条对角线，从六边形的一个顶点出发可画3条对角线，从七边形的一个顶点出发有4条对角线，从n 边形的一个顶点出发有(n －3)条对角线，从而推导出n 边形共有n （n －3）2条对角线． 方法总结：(1)多边形有n 条边，则经过多边形的一个顶点的对角线有(n －3)条；(2)多边形有n 条边，对角线的条数为n （n －3）2. 【变式1】（2022春·八年级课时练习）一个十边形有多少条对角线？ 【答案】35【分析】根据多边形对角线计算公式进行求解即可．【详解】解：由题意得，一个十边形有()10103352⨯−=条对角线，答：一个十边形有35条对角线．【点睛】本题主要考查了多边形对角线条数问题，熟知从n 边形一个顶点出发可以引()3n −条对角线是解题的关键．【变式2】（2023秋·辽宁阜新·八年级统考期末）我们知道，三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么n 边形有______条对角线． 【答案】(3)2n n −【分析】由于n 边形从一个顶点出发可画(3)n −条对角线，所以n 边形共有(3)2n n −条对角线，根据以上关系直接计算即可．【详解】解：三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线， n ∴边形有(3)2n n −条对角线． 故答案为：(3)2n n −．【点睛】本题考查了多边形对角线的定义及计算公式，熟记多边形的边数与对角线的关系式是解决此类问题的关键．【变式3】（2023春·浙江·八年级专题练习）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（ ）A ．54B ．44C ．35D ．27【答案】C【分析】根据一个n 边形的对角线条数为()32n n −进行求解即可．【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线……一个十边形共有()10103352⨯−=条对角线，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了对角线条数问题，解题的关键是熟练掌握一个n 边形的对角线条数为()32n n −．题型四：根据对角线条数确定多边形的边数例4.从一个多边形的任意一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设这个多边形是n 边形．依题意，得n －3＝5，解得n ＝8.故这个多边形的边数是8.故选C. 【变式】．（2023春·全国·八年级专题练习）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画2014条对角线，则它是（ ）边形． A ．2017 B ．2016C ．2015D ．2014【答案】A【分析】n边形一个顶点可以画()3n−条对角线，代入数据计算即可．【详解】解：设这个多边形是n边形．依题意，得32014n−＝，∴2017n＝．故这个多边形是2017边形，故选：A．【点睛】本题考查了多边形的对角线条数，熟记公式是解题关键．题型五：根据分成三角形的个数，确定多边形的边数例5.连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是( ) A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形解析：设原多边形是n边形，则n－2＝6，解得n＝8.故选D.方法总结：从n边形的一个顶点出发可引出(n－3)条对角线，这(n－3)条对角线把n边形分成(n－2)个三角形．【变式1】（2023春·浙江·八年级专题练习）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】C【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出()3n−条对角线，可组成()2n−个三角形，依此可求出n的值，得到答案．【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意得：25n−=，解得：7n=，即这个多边形是七边形，故选C．【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．【变式2】．（2023秋·八年级课时练习）连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，求多边形的边数．【答案】8【分析】根据过n 边形的一个顶点可以引(3)n −条对角线，将n 边形分成(2)n −个三角形即可得出结果． 【详解】解：设多边形的边数为n ，依题意得26n −=，解得8n =． ∴多边形的边数为8．【点睛】本题考查了多边形对角线的相关知识，掌握过n 边形的一个顶点可以引(3)n −条对角线，将n 边形分成(2)n −个三角形是本题的关键．题型六：正多边形的有关概念例6.下列图形中，是正多边形的是( )A ．等腰三角形B ．长方形C ．正方形D ．五边都相等的五边形解析：根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形进行解答．正方形四个角相等，四条边都相等，故选C.方法总结：解答此类问题的关键是要搞清楚正多边形的定义，各个角相等、各条边相等的多边形是正多边形，这两个条件缺一不可．【答案】A【分析】A. 由正多边形的性质可得 B. 举反例判断即可 C. 举反例判断即可 D. 举反例判断即可【详解】A. 由正多边形的性质：各边相等，各角相等，正确 B. 菱形不是正方形，错误 C. 矩形不是正方形，错误D. 正方形与边长相等的等边三角形拼成的五边形不是正多边形，错误 故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形的定义：平面内各边相等，各角相等的多边形是正多边形，准确理解定义及性质是解题关键．题型七：多边形面积例7．（2022秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（）A．25B．12.5C．9D．8.5【答案】B【详解】试题分析：根据求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答．试题解析：如图：小方格都是边长为1的正方形，∴四边形EFGH是正方形，S□EFGH=EF•FG=5×5=25S△AED=12DE•AE=12×1×2=1，S△DCH=12•CH•DH=12×2×4=4，S△BCG=12BG•GC=12×2×3=3，S△AFB=12FB•AF=12×3×3=4．5．S四边形ABCD=S□EFGH-S△AED-S△DCH-S△BCG-S△AFB=25-1-4-3-4．5=12．5．故选B．【变式】（2022·全国·八年级专题练习）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形ABCD的面积为________．【答案】1122【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD 的面积为： 111155411142342222⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=1122，故答案为：1122．【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 题型八：确定三角形个数例8.（2023·全国·八年级假期作业）从十六边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个十六边形分成__________个三角形． 【答案】14/十四【分析】从n 边形的一个顶点出发有()3n −条对角线，共分成了()2n −个三角形．【详解】解：当16n =时，16214−=， 即可以把这个十六边形分成了14个三角形， 故答案为：14．【点睛】本题考查了多边形的对角线，熟记相关公式是解题的关键，如果记不住公式，可以从四边形、五边形开始，画图探索规律．【变式】（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）从n 边形的一个顶点出发画对角线，可以将这个n 边形分割成__________个三角形． 【答案】()2n −/()2n −+【分析】从n 边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成()2n −个三角形，据此即可解答．【详解】解：从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成()2n−个三角形．故答案为：()2n−．【点睛】本题主要考查多边形的对角线，掌握从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为2n−是解答本题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023·全国·八年级假期作业）从多边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则该多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式()3n−求出边数即可得解．【详解】解：设多边形的边数为n，由题意，得：34n−=，∴7n=，∴该多边形的边数为7；故选C．【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出()3n−条对角线是解题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（）A．4或5B．3或4C．3或4或5D．4或5或6【答案】C【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可．【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形；当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形；当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形；所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在探究过多边形的一个顶点引出的对角线把多边形分成三角形的个数时，画出的图形如下：根据图形可知，过n 边形的一个顶点引出的对角线，把n 边形分成的三角形的个数是（ ）A ．()3n −个B ．()2n −个C ．()1n −个D ．()1n +个【答案】B【分析】观察图形，找出规律，列出代数式即可．【详解】解：观察图形可得：第1个图，过四边形的一个顶点引出1条对角线，把四边形分成了2个三角形；第2个图，过五边形的一个顶点引出2条对角线，把四边形分成了3个三角形；第3个图，过六边形的一个顶点引出3条对角线，把四边形分成了4个三角形；……第()3n −个图，过n 边形的一个顶点引出()3n −条对角线，把n 边形分成()2n −个三角形；故选：B ．【点睛】本题考查了找规律-图形变化类，仔细观察图形，找到变化规律是解题的关键．4．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）一个n 边形从一个顶点可引3条对角线，则n 为（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【分析】可根据n 边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：3n −，列方程求解．【详解】解：设多边形有n 条边，则33n −=，解得，6n =．故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的对角线．解题的关键是明确多边形有n 条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有(3)n −条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(2)n −个三角形． 5．（2023·全国·八年级假期作业）下列说法错误的是（ ）A ．五边形有5条边，5个内角，5个顶点；B ．四边形有2条对角线；C ．连接对角线，可以把多边形分成三角形；D ．六边形的六个角都相等；【答案】D【分析】运用多边形的定义及其内角、对角线等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、五边形有5条边，5个内角，5个顶点，原选项正确，故不符合题意；B 、四边形有2条对角线，原选项正确，故不符合题意；；C 、连接对角线，可以把多边形分成三角形，原选项正确，故不符合题意；D 、六边形的六个角不一定相等，只有正六边形的六个内角相等，原选项错误，故符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了多边形的定义及其内角、对角线等知识点，解决本题的关键是熟练掌握多边形的定义．【答案】C【分析】根据n 边形从一个顶点出发，可引出()3n −条对角线，即可求解．【详解】解：设这个多边形的边数为n ，则32n −=，解得5n =，故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的对角线，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，掌握n 边形从一个顶点出发，可引出()3n −条对角线是解题的关键．7．（2022秋·河南洛阳·八年级校考期末）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【分析】根据一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或()1n+边形或()1n−边形即可得出答案．【详解】如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．故选：D．【点睛】本题考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条领边，边数增加．8．（2023春·全国·八年级专题练习）一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（）A．15或16或17B．15或17C．16或17D．16或17或18【答案】A【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案.所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形，如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同，所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形，如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边，所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形，故选：.A【点睛】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论.二、填空题 9．（2023秋·八年级单元测试）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形的边数为___________．【答案】2025【分析】从n 边形的一个顶点出发作它的对角线，将n 边形分成(2)n −个三角形，由此即可解决问题．【详解】解：从n 边形的一个顶点出发作它的对角线，将n 边形分成(2)n −个三角形，22023n ∴−=，2025n ∴=，故答案为：2025．【点睛】本题考查多边形的有关知识，解题的关键是掌握，从n 边形的一个顶点出发作它的对角线，将n 边形分成(2)n −个三角形． 10．（2023春·八年级单元测试）若从一个n 边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则n =_____．【答案】13【分析】根据对角线构成，不是一条边上的两个端点连线构成对角线，一个顶点所在两条边上与其相邻的两个顶点除外，n 边形的一个顶点引出(3)n −条对角线直接求解即可得到答案．【详解】解：从一个n 边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线， ∴根据题意得310n −=，解得13n =，故答案为：13．n−条对角线是解决问题的关键．【点睛】本题考查多边形对角的规律，掌握n边形的一个顶点引出(3)11．（2023·全国·八年级假期作业）若一个多边形无对角线，则这个多边形是_______________【答案】三角形【分析】由多边形的对角线的定义可得答案．【详解】解：一个多边形无对角线，则这个多边形是三角形，故答案为：三角形【点睛】本题考查的是多边形的对角线的含义，熟记图形特点与对角线的定义是解本题的关键．12．（2022·全国·八年级专题练习）一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为______．【答案】6或7或8【分析】存在三种情况，根据图示进行分析．【详解】解：七边形卡片剪去一个角，存在以下三种，如图1、图2、图3:∴一个七边形卡片剪去一个角后可以变成的多边形卡片可能的边数为6或7或8，故答案为：6或7或8．【点睛】本题主要考查多边形，解题的关键是进行分类讨论进行求解．13．（2023·全国·八年级假期作业）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______．【答案】14或15或16【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可．【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边，+=；∴此时原多边形的边数为15116如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同，∴此时原多边形的边数为15；−=；∴此时原多边形的边数为15114综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16．故答案为：14或15或16．【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．14．（2023春·广西贵港·八年级统考期中）若一个多边形经过一个顶点的对角线将该多边形分成8个三角形，则该多边形为___________边形．【答案】十【分析】根据过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成()2n −个三角形，计算可求解．【详解】解：设这是个n 边形，由题意得：28n −= 10n ∴=，故答案为：十．【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握多边形对角线的性质是解题的关键． 15．（2023·全国·八年级假期作业）一个多边形从同一个顶点引出的对角线，将这个多边形分成5个三角形．则这个多边形有______条边．【答案】7【分析】根据过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成()2n −个三角形，即可求解得到答案． 【详解】解：设多边形有n 条边，则25n −=，解得：7n =．所以这个多边形有7条边，故答案为：7．16．（2022秋·湖北黄石·八年级校考期末）过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形有2条对角线，则()n m k −=______．【答案】216【分析】根据m 边形从一个顶点发出的对角线有()3m −条，从而可求得m 的值；又根据n 边形没有对角线，只有三角形没有对角线，从而可求得n 的值；再根据k 边形共有对角线()32k k −条，从而可求得k 的值，代入即可求出代数式的值．【详解】解：∵m 边形从一个顶点发出的对角线有()3m −条，∴7310m =+=，又∵n 边形没有对角线，∴3n =，又∵k 边形有2条对角线，∴()322k k −=，∴4k =，1k =−（舍去）∴()()3104216n m k −=−=．故答案为：216．【点睛】本题考查了多边形的对角线，解决本题的关键是熟记n 边形从一个顶点发出的对角线有()3n −条，共有对角线()32n n −条． 17．（2021秋·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___．【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案．【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形：∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形：∴原多边形纸片的边数是：十八边形如按下图所示沿虚线截下三角形：∴原多边形纸片的边数是：十九边形∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形．【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解．18．（2023春·全国·八年级专题练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是____．【答案】3或4或5【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变．【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形．故答案为：3或4或5．【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况．三、解答题(1)如图①从多边形的一个顶点出发画对角线，把多边形分割成三角形；(2)如图②从多边形的一条边上的一点出发画对角线，把多边形分割成三角形；(3)如图③从多边形的内部一点出发画对角线，把多边形分割成三角形．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【分析】（1）连接两个不相邻的顶点即可；（2）在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可；（3），在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可；【详解】（1）解：如图①所示，连接一组不相邻的顶点即可；（2）解：如图②所示，在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可；（3）解：如图③所示，在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可；【点睛】本题考查多边形的对角线问题，能够熟练画出多边形的对角线是解决本题的关键．【答案】九边形【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出()3n−条对角线，可组成()2n−个三角形，依此可得n的值．【详解】设这个多边形是n边形，由题意得，n-2=7，解得：n=9，故这个多边形是九边形．【点睛】本题考查了多边形的对角线分成三角形的问题，理解n边形从一个顶点出发可引出()3n−条对角线，可组成()2n−个三角形是解题的关键．21．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．。
java 面积法判断点是否在多边形内部的方法
java 面积法判断点是否在多边形内部的方法在计算机图形学中，判断一个点是否在多边形内部是非常常见的问题。
而面积法是其中一种常用的方法。
本文将详细介绍面积法的原理、步骤以及实现过程，希望能为读者提供一种生动、全面且有指导意义的解决方案。
首先，让我们来了解一下面积法的原理。
对于一个简单多边形，我们可以通过将多边形向外延伸一条线段，然后将该线段与待判断点进行连接，形成一个新的三角形。
如果这个新的三角形的面积等于原多边形的面积之和，那么说明该点在多边形内部；如果两者面积不等，则说明该点在多边形外部。
接下来，让我们来具体了解一下面积法的步骤。
假设我们有一个简单多边形，包含n个顶点。
我们需要判断一个待判断点P是否在多边形内部。
首先，我们选择一个多边形上的顶点A作为起始点，然后连接起点A与待判断点P，形成一条线段AP。
接着，我们依次选择多边形上的其他相邻顶点，将它们与起点A连接，形成一系列的三角形。
我们计算每个三角形与线段AP组成的四边形的面积。
如果每个四边形的面积之和等于多边形的面积，那么点P在多边形内部；否则，点P在多边形外部。
然而，具体的面积计算涉及到使用线性代数的知识。
对于一个平面上的三角形，我们可以通过求解行列式的方法来计算其面积。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)，那么三角形的面积可以通过以下公式计算得出：面积 = 0.5 * | (x1 * y2 + x2 * y3 + x3 * y1) - (x1 * y3 + x2 * y1 + x3 * y2) |接下来，我们需要依次计算每个四边形与线段AP组成的面积，并将其相加。
如果最终得到的面积与多边形的面积相等，那么点P在多边形内部；否则，点P在多边形外部。
最后，我们来具体实现一下面积法的代码。
首先，我们定义一个函数area，用于计算三角形的面积。
然后，我们定义一个函数isInsidePolygon，用于判断点P是否在多边形内部。
数学教案：多边形的性质与判定
数学教案：多边形的性质与判定一、多边形的性质1. 多边形的定义及基本术语多边形是由若干条线段首尾相连组成的平面图形，其中相邻两条线段的交点称为顶点，相邻两个顶点间的线段称为边。
多边形中所有的边都在同一平面内，并且不相交。
2. 多边形的内角和外角多边形的内角是指多边形内部所围成的角。
对于一个n边形（n≥3），其内角和公式为：(n-2) × 180°。
多边形的外角是指多边形内部某一角对应于其它未被其围绕住的角度。
对于一个n边形，其外角和公式为：360°。
3. 等边多边形与等腰多边形等边多边形是所有边长均相等的多边形。
例如，正三角形、正方形都属于等边多边形。
等腰多边形是具有至少两条等长度的边以及对应等长度两条夫人呢到分泌品觉得吗 .例如，正三角型、矩阵、菱型都属于等腰多变行。
二、多边形的判定1. 判断多边形是否为凸多边形凸多边形是指不存在任何一条连接两个非相邻顶点的线段在多边形内部。
判断方法为：对于一个n边形（n≥3），任取其中两个相邻顶点，构成的直线把其它顶点分成两组，若每组中其他顶点均在这条连线的同侧，则该多边形为凸多边形。
2. 判断多边形是否为正多变行正多变行是指所有内角均相等且所有边长均相等的凸多变行。
判断方法为：测量各个内角大小和各条边长度是否完全一致即可。
3. 判断正n变型与正m变型（n≠m）之间的关系正n变型是指所有内角均为180°/n的凸多变行，其中n代表着其所具有的顶点数目。
若两个正n变型与正m变型间满足以下条件之一则它们互相包含：- n能够整除m；- m能够整除n。
4. 判定平行四边学是否为矩阵平行四周—理解一下他们心甘情愿哦号称斗鱼天生可有为。
要判定一个平行四边学是否为矩形，可以采用以下方法：（1）测量四个角的大小，如果都是90°，则这个平行四边禅是一个矩阵；（2）测量相对的两条边的长度，如果长度相等，则这个平行四周也是一个矩形。
多边形及内角和知识点汇总
知识要点梳理定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
凸多边形凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
非正多边形：1、n 边形的内角和等于 180°（ n-2 ）。
多边形的定理2 、任意凸形多边形的外角和等于 360°。
3 、n 边形的对角线条数等于 1/2 ·n （ n-3）只用一种正多边形： 3、 4、 6/ 。
只用一种非正多边形（全等） ：3、 4。
知识点一：多边形及有关概念1、 多边形的定义： 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 .（ 1）多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个 n 边形有 n 个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（ 2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于 3 的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可 ;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件 , 其目的是为了排除几个点不共面的情况 , 即空间 多边形 .2、多边形的分类 : （1）多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这 条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图 1）. 本章所讲的多边形都是指凸多边形 .凸多边形（2） 多边形通常还以边数命名，多边形有形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
拼成 360 度的角图1n 条边就叫做 n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中镶嵌要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可 . 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个 角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形 知识点三：多边形的对角线多边形的对角线 ：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 . 如图 2，BD 为四边形 ABCD 的一 条对角线。
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平面多边形内外点判断
1 引言
多边形在计算机图形学中有广泛应用，他们一般要求具有一下性质：（1）封闭：任何一条边有且只有两个端点，每个端点都是两条边的交点。
（2）不自交：任何两条边只有在相邻的情况下才相交，并且交点就是边的端点。
（3）有向：任何一条边都有方向，并且边的方向是一致的。
下面介绍一下多边形的一些基本概念。
（1）多边形：多边形是一个首尾相连的多边线，它可以用点序列P0 P1P2….P n表示，
P0 P1，P1P2，…….P n-1P n称为多边形的边，P0 P1P2….P n 称为多边形
的顶点。
（2）简单多边形：如果一个多边形所有的顶点均不相同,任何一个顶点都属于一条
边，任何两条不相邻的边不相交，则这个多边形是简单多边形。
在计算机图形学中应用的多边形一般都是简单多边形，并且规定多边形沿逆时针方向时方向为正，沿顺时针方向时方向为负。
点在多边形内外关系的判断是关于多边形的一种基本算法，在计算机图形学中应用广泛，在石油地质制图系统中也有应用。
点在多边形内外关系的判断的经典方
法主要有射线法和标号法两种，这两种方法实现起来比较复杂，而且在临界情况下
可靠性不好。
有些资料中提出的利用多边形有向面积判断多边形方向可靠性很好，
但是计算量相对较大，提出的判断点在多边形内外的方法是将多边形分解成一系列
三角形，根据点与三角形的关系判断点与三角形的关系，但是没有讨论三角形退化
为直线等情况的处理方法，而这些退化情况将导致算法不稳定。
2、多边形方向的判断方法
给定多边形P=P0 P1P2……P n如图形1所示。
多边形方向的判断方法如下
（1）遍历多边形P，找到P沿X，Y方向的最大值、最小值点分别为P i,P j,P k,P l；
（2）定义矢量Z＝（0，0，1）。
将P i，P j，P k，P l的下标从小到大排序得到j，k，l，i，下标相同的点，不计重复只保留一个。
如果只剩下两点，转步骤4，如果只剩下三点，转步骤5；
（3）连接P j，P k，P l，Pi，P j，得到一个四边形P’=PjP k P l P i，其中P’0=P j，P’1=P k，P’2=P l，P’3=Pi，转步骤6；
（4）设剩下的两点为P i，P j，则如果（P i-1P i*P i P i+1）.Z>0，则P的方向为正；如果（P i-1 P i*P i P i+1）.Z<0，则P的方向为负，结束。
（5）设所剩三点为P j,P k,P l，连接三点得到三角形P’=P’0P’1P’2，其中P’0=P J，P’1= P K，P’2=P L；
（6）如果（P’0P’1*P’1P’2）.Z>0,则P的的为正；如果（P’0P’1*P’1P’2）.Z<0，则P的方向为负。
图1 多边形及其同构凸多边形
在非退化情况下P’可以看成是将矩形的包围盒割去4个角得到的。
也就是说，P’的每个内角都小于180度，因而是严格凸的。
凸多边形的方向可以由任意两相邻边矢量的叉积确定。
同时，根据拓扑学的知识可知，P’的方向与多边形的P的方向相同。
实际应用中的多边形是形状各异的，对上述的多边形方向判断方法而言，最具代表性的两种特殊情况如图2、图3所示。
图2 退化情况之一图3 退化情况之二
对于图2的情况，假设i<j<k<l，则用上述方法步骤1找到的X方向的最大值点、最小值点分别为P j,P i，y方向的最大值点，最小值点分别为P k，P i，去掉一个重复的P i点，四边形退化为三角形。
对于图3的情况，去掉重复点后只剩下P j，P i两点，显然三角形P i-1P i P i+1的方向与多边形P的方向相同。
3、点在多边形内外的判断
给定平面多边形P=P0P1P2…P N，及平面内一点Q，如图4所示。
Q P i＋1
P i
图4 点与多边形的关系
引理。
在多边形P上寻找一条边P i P i+1使线段QP i，QP i+1与多边形的交点有且只有P i，P i+1两点，如果三角形PiP i+1Q的方向与多边形P的方向相同，则点Q在多边形P的内部，否则点Q在多边形P的外部。
证明。
不失一般性，假设多边形P=P0P1P2…P N的方向为正。
如果在多边形P上找到了一条边Pi I P i+1使线段QP I，QP I+1与多边形的交点有且只有P I，P I+1两点，则当且仅当点Q在多边形P的内部时，点Q位于边P I P I+1的左边，即三角形P I P I+1Q 的有向面积为正；否则为负。
下面证明满足条件边P I P I+1的存在性。
证明。
给定多边形P=P0P1P2…P N及一点Q，可以实现受约束的Delaunay三角划分[5]，也就是说至少可以找到一条边P I P I+1使线段QP I，QP I+1与多边形的交点有且只有P I，P I+1两点。
证毕。
定义。
可见边。
过Q点作任一射线与多边形P求交，如果距离Q点最近的交点不是多边形P的顶点，则该交点所在边称为Q 点的可见边。
如图5所示，边P I P I+1，P J P J+1为Q点的两条可见边。
图5 可见边
推论。
设多边形P的边P I P I+1为Q点的可见边，如果三角形P I P I+1Q的方向与多边形P的方向相同，则点Q在多边形P的内部，否则点Q在多边形P的外部。
证明。
边P I P I+1为Q点的可见边，即存在一条过Q点的射线，使得该射线与P I P I+1的交点A0（A0不是多边形P的顶点）为射线与多边形的交点中距离Q点最近的交点，即线段QA0与多边形其它边不相交。
设A为线段P I A0上一点，|AA0|→0（→表示趋近于）使得QA与多边形其它边不相交。
在多边形P=P0P1P2…P N的P I，P I+1两点中间添加A，A0两点得到多边形，P’=P0P1P2…P I AA0P I+1…P n，显然当且仅当点Q在多边形P’内/外时，点Q在多边形P的内/外。
证明。
三角形QAA0、QP I P I+1的方向相同。
根据引理可知，如果三角形QP I P I+1的方向与多边形P的方向相同，则点Q在多边形P的内部，否则点Q在多边形P的外部。
算法实现；
步骤1。
设L为过Q平行于X轴的直线，求直线L与多边形P的交点，记录交点和交点所在多边形的边（当多边形的边位于直线上时，认为直线只与边的两个顶点相交），如果直线L与多边形P没有交点，则点Q在多边形P的外部，结束。
步骤2。
找出距离点Q最近的交点A0，如果A0与点Q的距离为0，则点Q位于多边形P的边上，结束；否则，如果A0不是多边形P的顶点，则交点所在边为可见边，转步骤4，如果A0是多边形P的顶点P I，转步骤3；
步骤3。
求矢量QA0与矢量A0P I-1、A0P I+1的夹角，如果QA0与A0P I-1的夹角较大，则P I-1P I 为可见边，否则P I P I+1为可见边；
步骤4。
设BC为步骤2、步骤3中找到的一条可见边。
判断三角形BCQ的方向是否与多边形P的方向相同，如果方向相同，则点Q在多边形P的内部，否则点Q在多边形P的外部。
距离点Q最近的交点为多边形顶点时的三种情况如图6所示。
当相邻两边位于直线L的异侧（图6（a））时，两边均为可见边；当一边位于直线上（图6（b））时，另一边为可见边；当两边位于直线L的同侧（图6（c））时，求矢量QA0与矢量A0P I-1、A0P I+1的夹角，夹角较大的边为可见边。
上述的判断方法只需找到一条可见边，因此不须判断顶点P I的相邻两条边与直线L的位置，直接通过求矢量QA0与矢量A0P I-1、A0P I+1的夹角来确定一条可见边即可。
P i－1 i－1 i＋1
图6 交点为多边形顶点的三种情况
4 结束语
显然，本文提出的判断多边形方向的算法的计算量比已有方法的计算量小，且具有良好的稳定性和可靠性。
提出的判断点在多边形内外的算法与射线法有一些相同之处，算法的复杂度相同，均为O（n），但是本文提出的算法对交于顶点情况的处理比射线法简单，容易实现，同时也使得算法更加稳定、可靠。
同已有的其它算法相比较，本文提出的两种算法的另一个共同的优点是：几何意义明显，便于理解和实现。
本文提出的两种算法已经成功地应用于反求工程CAD系统Re-Soft和断层扫描数据曲面重建系统的研究、开发中，效果良好。