第2课时等腰三角形的判定精选练习含答案
等腰三角形典型例题练习(含答案)-2
等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析全等三角形的判定与性质；角平分线的定义. 14189444. 在△ABC中, AD是∠BAC的平分线, E、F分别为AB.AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°, 求证DE=DF.考点:考点：分析: 过D作DM⊥AB, 于M, DN⊥AC于N, 根据角平分线性质求出DN=DM, 根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD, 根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．解答: 证明: 过D作DM⊥AB, 于M, DN⊥AC于N,即∠EMD=∠FND=90°,∵AD平分∠BAC, DM⊥AB, DN⊥AC, ∴DM=DN（角平分线性质）, ∠DME=∠DNF=90°,∵∠EAF+∠EDF=180°, ∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°,∵∠AFD+∠NFD=180°, ∴∠MED=∠NFD,在△EMD和△FND中, ∴△EMD≌△FND, ∴DE=DF．，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF.，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．5. 在△ABC中, ∠ABC.∠ACB的平分线相交于点O, 过点O作DE∥BC, 分别交AB.AC于点D.E. 请说明DE=BD+EC.考点: 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质. 1418944分析: 根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB, 和DE∥BC, 利用两直线平行, 内错角相等和等量代换, 求证出DB=DO, OE=EC．然后即可得出答案．解答: 解: ∵在△ABC中, OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,∴∠DBO=∠OBC, ∠ECO=∠OCB,∵DE∥BC, ∴∠DOB=∠OBC=∠DBO, ∠EOC=∠OCB=∠ECO,∴DB=DO, OE=EC, ∵DE=DO+OE, ∴DE=BD+EC．∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC.∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．6. ＞已知: 如图, D是△ABC的BC边上的中点, DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别为E, F, 且DE=DF. 请判断△ABC是什么三角形？并说明理由.考点: 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质. 1418944分析: 用（HL）证明△EBD≌△FCD, 从而得出∠EBD=∠FCD, 即可证明△ABC是等腰三角形．解答: △ABC是等腰三角形.证明: 连接AD, ∵DE⊥AB, DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°, 且DE=DF,∵D是△ABC的BC边上的中点, ∴BD=DC,∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）, ∴∠EBD=∠FCD, ∴△ABC是等腰三角形．7. 如图, △ABC是等边三角形, BD是AC边上的高, 延长BC至E, 使CE=CD. 连接DE.（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？考点: 等边三角形的性质；等腰三角形的判定. 1418944分析: （1）由题意可推出∠ACB=60°, ∠E=∠CDE, 然后根据三角形外角的性质可知: ∠ACB=∠E+∠CDE, 即可推出∠E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知, BD不但为AC边上的高, 也是∠ABC的角平分线, 即得：∠DBC=30°, 然后再结合（1）中求得的结论, 即可推出△DBE是等腰三角形．（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形.（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得: ∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．解答: 解: （1）∵△ABC是等边三角形, ∴∠ACB=60°,∵CD=CE, ∴∠E=∠CDE, ∵∠ACB=∠E+∠CDE, ∴,（2）∵△ABC是等边三角形, BD⊥AC, ∴∠ABC=60°, ∴,∵∠E=30°, ∴∠DBC=∠E, ∴△DBE是等腰三角形．∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形.∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形．8. 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, CD是AB边上的高, ∠A=30°. 求证: AB=4BD.考点: 含30度角的直角三角形. 1418944分析: 由△ABC中, ∠ACB=90°, ∠A=30°可以推出AB=2BC, 同理可得BC=2BD, 则结论即可证明．解答: 解: ∵∠ACB=90°, ∠A=30°, ∴AB=2BC, ∠B=60°.又∵CD⊥AB, ∴∠DCB=30°, ∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD. ∴AB=2BC=4BD.又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．9. 如图, △ABC中, AB=AC, 点D.E分别在AB.AC的延长线上, 且BD=CE, DE与BC相交于点F. 求证: DF=EF.考点: 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 1418944分析: 过D点作DG∥AE交BC于G点, 由平行线的性质得∠1=∠2, ∠4=∠3, 再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2, 则∠B=∠1, 于是有DB=DG, 根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC, 即可得到结论．解答: 证明: 过D点作DG∥AE交BC于G点, 如图,∴∠1=∠2, ∠4=∠3,∵AB=AC, ∴∠B=∠2, ∴∠B=∠1, ∴DB=DG, 而BD=CE, ∴DG=CE,在△DFG和△EFC中, ∴△DFG≌△EFC, ∴DF=EF.10. 已知等腰直角三角形ABC, BC是斜边. ∠B的角平分线交AC于D, 过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证：BD=2CE.考点: 全等三角形的判定与性质. 1418944分析: 延长CE, BA交于一点F, 由已知条件可证得△BFE全≌△BEC, 所以FE=EC, 即CF=2CE, 再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD, 所以BD=2CE．解答: 证明: 如图, 分别延长CE, BA交于一点F.∵BE⊥EC, ∴∠FEB=∠CEB=90°, ∵BE平分∠ABC, ∴∠FBE=∠CBE,又∵BE=BE, ∴△BFE≌△BCE （ASA）. ∴FE=CE. ∴CF=2CE.∵AB=AC, ∠BAC=90°, ∠ABD+∠ADB=90°, ∠ADB=∠EDC, ∴∠ABD+∠EDC=90°.又∵∠DEC=90°, ∠EDC+∠ECD=90°, ∴∠FCA=∠DBC=∠ABD.∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB, ∴BD=2EC．11. （2012•牡丹江）如图①, △ABC中. AB=AC, P为底边BC上一点, PE⊥AB, PF⊥AC, CH⊥AB, 垂足分别为E、F、H. 易证PE+PF=CH. 证明过程如下:如图①, 连接AP.∵PE⊥AB, PF⊥AC, CH⊥AB, ∴S△ABP= AB•PE, S△ACP= AC•PF, S△ABC= AB•CH.又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC, ∴AB•PE+ AC•PF= AB•CH.∵AB=AC, ∴PE+PF=CH.（1）如图②, P为BC延长线上的点时, 其它条件不变, PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想, 并加以证明:（2）填空：若∠A=30°, △ABC的面积为49, 点P在直线BC上, 且P到直线AC的距离为PF, 当PF=3时, 则AB边上的高CH=7．点P到AB边的距离PE=4或10．考点: 等腰三角形的性质；三角形的面积. 1418944分析: （1）连接AP. 先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP, S△ACP, S△ABC, 再由S△ABP=S △ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH, 再由△ABC的面积为49, 求出CH=7, 由于CH＞PF, 则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点, 运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时, 运用结论PE=PF+CH．（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH.（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论: ①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．解答: 解: （1）如图②, PE=PF+CH. 证明如下:∵PE⊥AB, PF⊥AC, CH⊥AB, ∴S△ABP= AB•PE, S△ACP= AC•PF, S△ABC= AB•CH,∵S△ABP=S△ACP+S△ABC, ∴AB•PE= AC•PF+ AB•CH, 又∵AB=AC, ∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中, ∠A=30°, ∴AC=2CH.∵S△ABC= AB•CH, AB=AC, ∴×2CH•CH=49, ∴CH=7．分两种情况:①P为底边BC上一点, 如图①.∵PE+PF=CH, ∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；②P为BC延长线上的点时, 如图②.∵PE=PF+CH, ∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．12. 数学课上, 李老师出示了如下的题目:“在等边三角形ABC中, 点E在AB上, 点D在CB的延长线上, 且ED=EC, 如图, 试确定线段AE与DB的大小关系, 并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后, 进行了如下解答:（1）特殊情况, 探索结论当点E为AB的中点时, 如图1, 确定线段AE与DB的大小关系, 请你直接写出结论: AE=DB（填“＞”, “＜”或“=”）.（2）特例启发, 解答题目解: 题目中, AE与DB的大小关系是: AE=DB（填“＞”, “＜”或“=”）. 理由如下: 如图2, 过点E作EF∥BC, 交AC于点F. （请你完成以下解答过程）（3）拓展结论, 设计新题在等边三角形ABC中, 点E在直线AB上, 点D在直线BC上, 且ED=EC．若△ABC的边长为1, AE=2, 求CD的长（请你直接写出结果）．考点: 等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.1418944分析: （1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°, 求出∠DEB=30°, 求出BD=BE即可；（2）过E作EF∥BC交AC于F, 求出等边三角形AEF, 证△DEB和△ECF全等, 求出BD=EF即可；（3）当D在CB的延长线上, E在AB的延长线式时, 由（2）求出CD=3, 当E在BA的延长线上,D在BC的延长线上时, 求出CD=1．（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1.（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．解答: 解: （1）故答案为: =.（2）过E作EF∥BC交AC于F,∵等边三角形ABC, ∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°, AB=AC=BC,∴∠AEF=∠ABC=60°, ∠AFE=∠ACB=60°, 即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,∴△AEF是等边三角形, ∴AE=EF=AF,∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°, ∴∠DBE=∠EFC=120°, ∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°,∵DE=EC, ∴∠D=∠ECD, ∴∠BED=∠ECF,在△DEB和△ECF中, ∴△DEB≌△ECF, ∴BD=EF=AE, 即AE=BD, 故答案为: =.（3）解：CD=1或3,理由是: 分为两种情况: ①如图1过A作AM⊥BC于M, 过E作EN⊥BC于N, 则AM∥EM,∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=AC=1,∵AM⊥BC, ∴BM=CM= BC= , ∵DE=CE, EN⊥BC, ∴CD=2CN,∵AM∥EN, ∴△AMB∽△ENB, ∴= , ∴= ,∴BN= , ∴CN=1+ = , ∴CD=2CN=3；②如图2, 作AM⊥BC于M, 过E作EN⊥BC于N,则AM∥EM,∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=AC=1,∵AM⊥BC, ∴BM=CM= BC= , ∵DE=CE, EN⊥BC, ∴CD=2CN,∵AM∥EN, ∴= , ∴= , ∴MN=1, ∴CN=1﹣= , ∴CD=2CN=113. 已知: 如图, AF平分∠BAC, BC⊥AF于点E, 点D在AF上, ED=EA, 点P在CF上, 连接PB交AF于点M. 若∠BAC=2∠MPC, 请你判断∠F与∠MCD的数量关系, 并说明理由.考点: 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 1418944分析: 根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD, 推出∠CDA=∠CAD=∠CPM, 求出∠MPF=∠CDM, ∠PMF=∠BMA=∠CMD, 在△DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可．解答: 解: ∠F=∠MCD,理由是：∵AF平分∠BAC, BC⊥AF, ∴∠CAE=∠BAE, ∠AEC=∠AEB=90°,在△ACE和△ABE中∵, ∴△ACE≌△ABE（ASA）∴AB=AC,∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线, ∴CM=BM, CE=BE, ∴∠CMA=∠BMA,∵AE=ED, CE⊥AD, ∴AC=CD, ∴∠CAD=∠CDA,∵∠BAC=2∠MPC, 又∵∠BAC=2∠CAD,∴∠MPC=∠CAD, ∴∠MPC=∠CDA, ∴∠MPF=∠CDM,∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等）,∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°, ∠F+∠MPF+∠PMF=180°,又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD, ∴∠MCD=∠F．又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F.又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F．14. 如图, 已知△ABC是等边三角形, 点D.E分别在BC.AC边上, 且AE=CD, AD与BE相交于点F.（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论.（2）求∠BFD的度数.考点: 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质. 1418944分析: （1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°, AB=CA, 结合AE=CD, 可证明△ABE≌△CAD, 从而证得结论；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD, ∠ABE=∠CAD, 可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．解答: （1）证明: ∵△ABC为等边三角形, ∴∠BAC=∠C=60°, AB=CA.在△ABE和△CAD中,∴△ABE≌△CAD∴AD=BE.（2）解: ∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,又∵△ABE≌△CAD, ∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD. ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．15. 如图, 在△ABC中, AB=BC, ∠ABC=90°, F为AB延长线上一点, 点E在BC上, BE=BF, 连接AE、EF和CF, 求证：AE=CF.考点: 全等三角形的判定与性质. 1418944分析: 根据已知利用SAS即可判定△ABE≌△CBF, 根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF．解答: 证明: ∵∠ABC=90°, ∴∠ABE=∠CBF=90°,又∵AB=BC, BE=BF, ∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）. ∴AE=CF.又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．16. 已知: 如图, 在△OAB中, ∠AOB=90°, OA=OB, 在△EOF中, ∠EOF=90°, OE=OF, 连接AE、BF. 问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由.考点: 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形. 1418944分析: 可以把要证明相等的线段AE, CF放到△AEO, △BFO中考虑全等的条件, 由两个等腰直角三角形得AO=BO, OE=OF, 再找夹角相等, 这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果, 当然相等了, 由此可以证明△AEO≌△BFO；延长BF交AE于D, 交OA于C, 可证明∠BDA=∠AOB=90°, 则AE⊥BF．解答: 解: AE与BF相等且垂直,理由: 在△AEO与△BFO中,∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形, ∴AO=OB, OE=OF, ∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF,∴△AEO≌△BFO, ∴AE=BF.延长BF交AE于D, 交OA于C, 则∠ACD=∠BCO,由（1）知∠OAE=∠OBF, ∴∠BDA=∠AOB=90°, ∴AE⊥BF．17. （2006•郴州）如图, 在△ABC中, AB=AC, D是BC上任意一点, 过D分别向AB, AC引垂线, 垂足分别为E, F, CG是AB边上的高.（1）DE, DF, CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上, （1）中的结论还成立吗？若不成立, 又存在怎样的关系？请说明理由．考点: 等腰三角形的性质. 1418944分析: （1）连接AD, 根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积, 进行分析证明；（2）类似（1）的思路, 仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系. 即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积.（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．解答: 解: （1）DE+DF=CG.证明: 连接AD,则S△ABC=S△ABD+S△ACD, 即AB•CG= AB•DE+ AC•DF, ∵AB=AC, ∴CG=DE+DF．（2）当点D在BC延长线上时, （1）中的结论不成立, 但有DE﹣DF=CG.理由: 连接AD, 则S△ABD=S△ABC+S△ACD, 即AB•DE= AB•CG+ AC•DF∵AB=AC, ∴DE=CG+DF, 即DE﹣DF=CG.同理当D点在CB的延长线上时, 则有DE﹣DF=CG, 说明方法同上．18. 如图甲所示, 在△ABC中, AB=AC, 在底边BC上有任意一点P, 则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高）, 即PD+PE=CF, 若P点在BC的延长线上, 那么请你猜想PD.PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明.考点: 等腰三角形的性质；三角形的面积. 1418944分析: 猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB= AB•PD, S△PAC= AC•PE, S △CAB= AB•CF, S△PAC= AC•PE, AB•PD= AB•CF+ AC•PE, 即可求证．解答: 解: 我的猜想是: PD.PE、CF之间的关系为PD=PE+CF. 理由如下:连接AP, 则S△PAC+S△CAB=S△PAB,∵S△PAB= AB•PD, S△PAC= AC•PE, S△CAB= AB•CF,又∵AB=AC, ∴S△PAC= AB•PE, ∴AB•PD= AB•CF+ AB•PE,即AB（PE+CF）= AB•PD, ∴PD=PE+CF．即AB（PE+CF）= AB•PD，∴PD=PE+CF.即AB（PE+CF）=AB•PD，∴PD=PE+CF．。
等腰三角形练习题(含答案)
等腰三角形练习题(含答案)等腰三角形第1课时：等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为80°。
2.如图，△ABC中，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD=3cm。
3.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为45°。
4.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为80°。
5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，求∠C的度数为100°。
6.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE=AF。
证明：DE=DF。
第2课时：等腰三角形的判定1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC为钝角三角形。
2.已知△ABC中，∠B=50°，∠A=80°，AB=5cm，则AC=5cm。
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，则△ABC为等腰三角形。
4.如图，已知△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有2个等腰三角形。
5.如图，D是△XXX的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE=DF。
证明：AB=AC。
6.如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G。
证明：△EFG是等腰三角形。
等边三角形第1课时：等边三角形的性质与判定1.如图，a∥b，等边△ABC的顶点B，C在直线b上，则∠1的度数为60°。
2.在△ABC中，∠A=60°，现有下面三个条件：①AB=AC；②∠B=∠C；③∠A=∠B。
能判定△ABC为等边三角形的有条件①、②、③。
3.如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD=2.4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，连接AD交BC于点E，求∠BAD的度数为75°。
等腰三角形含练习答案
等腰三角形知识点一：等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角， 腰与底边的夹角叫做底角． 等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.简称等腰三角形三线合一.1.△ABC 中,AB=AC.(1)若∠B=50°, 则∠C=__ ,∠A=___ (2)若∠A=100°, 则∠B=__ ,∠C=__2. (1) 等腰三角形的一个内角为50°，则另两个角为 (2) 等腰三角形的一个内角为100°,则另两个角为__ . (3) 等腰三角形的一个内角为90°,则另两个角为___ 归纳：已知等腰三角形的一个内角的度数,求其它两角时, (a)若已知角为钝角或直角,则它一定是顶角； (b)若已知角为锐角,它可能是顶角,也可能是底角。
例1、等腰三角形的顶角为70°，底角为_______.。
2、在三角形ABC 中，AB=AC,BAC ∠=90°，ＡＤ是ＢＣ边上的高，则BAC ∠=_____ BD=____=______3、如图2，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD 图中共有几个等腰三角形？分别写出它们的顶角和底角。
4、如图，在△ABC 中，AB=AD=DC,BAD ∠=36°，求B ∠和C ∠度数。
DCABCD B A例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠BCA是直角,E是AC上的一点，ED⊥AB于D，BD=BC,CD、BE交于点F.求证：CD⊥BE.思路：由BD=BC知△BCD是等腰三角形，所以要证明CD⊥BE只需证明BE是△BCD的底边上的中线或者顶角的平分线即可。
初中数学专题复习等腰三角形的性质与判定精讲精练(含答案)
等腰三角形的性质与判定一、重点和难点都是等腰三角形的性质和判定1.尺规作图尺规作图与通常的画图题不同，它规定只准用直尺和圆规为工具，而且每一步都必须有根有据不能随便画。
对于较复杂的作图题，要经过严格的分析，才能找到作图的根据和方法，这对推理能力的要求比较高。
2.等腰三角形的性质与判定（1）性质性质定理：等腰三角形的两个底角相等。
定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3.等腰三角形性质与判定的应用（1）计算角的度数利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。
①已知角的度数，求其它角的度数；②已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）；（2）证明线段或角相等；（3）有等腰三角形条件时的常用辅助线。
如图：若AB=AC①作AD ⊥BC 于D ，必有结论:∠1=∠2，BD=DC ②若BD=DC ，连结AD ，必有结论：∠1=∠2，AD ⊥BC ③作AD 平分∠BAC 必有结论：AD ⊥BC ，BD=DC 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD ⊥BC ，使∠1=∠2. 二、例题分析例1 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。
分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程……已知：线段a 、h求作：△ABC ，使AB=AC=a ，高AD=h 作法：1、作PQ ⊥MN ，垂足为D ；2、在DM 上截取DA=h ；3、以点A 为圆心，以a 为半径作弧，交PQ 于点B 、C ；4、连结AB 、AC ； 则△ABC 为所求的三角形。
人教版八年级上册数学等腰三角形的性质与判定练习题及答案
13.3.1 第1课时等腰三角形的性质一．选择题（共8小题）1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A． 3.5 B． 4.2 C． 5.8 D．7第1题第2题第3题2．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（）A．10 B．8 C． 5 D． 2.53．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，与∠ABC的两边相交于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线BM，交AC于点D．若△BDC的面积为10，∠ABC=2∠A，则△ABC的面积为（）A．25 B．30 C．35 D．404．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（）A．4cm B．2cm C．1cm D．m5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系是（）A．BD=AB B．BD=AB C．BD=AB D．BD=AB第5题第6题第7题第8题6．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB=10m，∠A=30°，则立柱BC的长度是（）A．5m B．8m C．10m D．20m7．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．6米 B．9米C．12米 D．15米8．如图，已知∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE．则下列结论：①BE=AE；②BD=AE；③AE=2DE；④S△ABE=S△CBE，其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④ C．①③④ D．②③④二．填空题（共10小题）9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．10．如图，∠AO E=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=_________．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=10，则BC的长为_________．12．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12cm，∠ABC=30°，底边上的高AD=_______cm．第9题第10题第11题第12题13．如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD=_________cm．第13题第14题第15题第16题14．如图，在△ABC中．∠B=90°，∠BAC=30°．AB=9cm，D是BC延长线上一点．且AC=DC．则AD=_________cm．15．如图是某超市一层到二层滚梯示意图．其中AB、CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长约为12米，则乘滚梯从点B到点C上升的高度h约为_________米．16．在△ABC中，已知A B=4，BC=10，∠B=30°，那么S△ABC=_________．17．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AC，若AB=12cm，则CE=______cm．18．有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P．继续航行20海里后到B 处，又测得灯塔P在西偏北30°．如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是_________海里．三．解答题（共5小题）19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．20．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC．21．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，求AC的长．22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，∠A=30°，AB=4，求BD长．23．如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC．（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．一、DABCCABC二、9、2；10、2；11、5；12、6；13、2；14、18；15、6；16、10；17、3；18、10三、19、（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△A ED（HL）；（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．20、解：如图，连接DB．∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=DB，∴∠A=∠ABD，∵BA=BC，∠B=120°，∴∠A=∠C=（180°﹣120°）=30°，∴∠ABD=30°，又∵∠ABC=120°，∴∠DBC=120°﹣30°=90°，∴BD=DC，∴AD=DC．21、解：∵△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∴∠2=∠3=30°；在Rt△BCD中，CD= BD，∠4=90°﹣30°=60°（直角三角形的两个锐角互余）；∴∠1+∠2=60°（外角定理），∴∠1=∠2=30°，∴AD=BD（等角对等边）；∴AC=AD+CD=AD；又∵AD=6，∴AC=9．22、解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，∴BC=AB=×4=2，∵CD是△A BC的高，∴∠CDA=∠ACB=90°，∠B=∠B，故∠BCD=∠A=30°，∴在Rt△BCD中，BD=BC=×2=1，∴BD=1．23、（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠DAC=∠BAC=60°∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠DCA=∠BCA=30°，在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°∴AC=2AD，AC=2AB，∴AD+AB=AC；（2）解：结论AD+AB=AC成立．理由如下：在AN上截取AE=AC，连接CE，∵∠BAC=60°，∴△CAE为等边三角形，∴AC=CE，∠AEC=60°，∵∠DAC=60°，∴∠DAC=∠AEC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠ADC=∠EBC，∴△ADC≌△EBC，∴DC=BC，DA=BE，∴AD+AB=AB+BE=AE，∴AD+AB=AC．13.3.1 第2课时等腰三角形的判定一、填空题1．如图（1），△ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的中垂线，△BCE 的周长为14，BC=6，则AB 的长为 。
等腰三角形的判定(分层作业)(解析版)-八年级数学上册
13.3.2等腰三角形的判定夯实基础篇一、单选题：1．在△AB C中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形【答案】A【知识点】等腰三角形的判定【解析】【解答】解：∵△AB C中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，∴设∠A＝2x，则∠B＝2x，∠C＝5x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2x+2x+5x＝180°，解得x＝20°，∴∠A＝∠B＝40°，∠C＝5x＝5×20°＝100°.∴AC＝C B.∴△ABC是钝角三角形，等腰三角形.故答案为：A.【分析】设∠A=2x，则∠B=2x，∠C=5x，再由三角形内角和定理求出x的度数，进而可得出∠C的度数，由此判断出△ABC的形状即可2．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为()A．2.5B．1.5C．2D．1【答案】D【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，∴BC=CE．又∵∠A=∠ABE，∴AE=BE．∴BD=12BE=12AE=12（AC-BC）．∵AC=5，BC=3，∴BD=12×（5-3）=2．故答案为：D【分析】角平分线得出线段相等，等角对等边，在根据相对垂直平分线的性质求BD 3．如图，在△AB C中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【知识点】等腰三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BC D中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选D．【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．，则经过三角形的一个顶点的一条直线能4．已知：如图，下列三角形中，AB AC够将这个三角形分成两个小等腰三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【知识点】等腰三角形的判定【解析】【解答】由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；②不能；③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能.故答案为：C.【分析】顶角为：36°，90°，108°的等腰三角形都可以用一条直线把等腰三角形分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形. 5．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D．若请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，则你补充的条件不能是（）A．OA＝OD B．AB＝CDC．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB【答案】C【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定（ASA ）；三角形全等的判定（AAS ）【解析】【解答】解：A 、在△AOB 和△DO C 中A D OA OD AOB COD＝∴△AOB ≌△DOC （ASA ）∴OB =OC∴△BOC 是等腰三角形，故A 不符合题意；B 、在△AOB 和△DOC 中A D AOB COD AB CD＝∴△AOB ≌△DOC （AAS ）∴OB =OC∴△BOC 是等腰三角形，故B 不符合题意；C 、补充∠ABO ＝∠DCO ，不能证明△AOB ≌△DOC ，因此不能证明△BOC 是等腰三角形，故C 符合题意；D 、在△ACB 和△DB C 中A D ABC DCB BC CB＝＝∴△ACB ≌△DBC （AAS ）∴∠ACB =∠DBC∴OB =OC∴△BOC 是等腰三角形，故D 不符合题意；故答案为：C.【分析】图形中的隐含条件为：∠AOB=∠DOC，BC=CB，利用ASA可证得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的对应边相等，可证得OB=OC，可对A作出判断；利用AAS可证得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的性质，可证得OB=CO，可对B作出判断；再根据证明两三角形全等至少要有一组对应边相等，可对C作出判断；利用AAS证明△ACB ≌△DBC，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠ACB=∠DBC，利用等角对等边，可证得OB=OC，可对D作出判断.6．如图，在△AB C中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=110°，则∠EAF为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】B【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵∠BAC=110°，∴∠C+∠B=70°，∵EG、FH分别为AC、AB的垂直平分线，∴EC=EA，FB=FA，∴∠EAC=∠C，∠FAB=∠B，∴∠EAC+∠FAB=70°，∴∠EAF=40°，故答案为：B．【分析】根据三角形内角和定理求出∠C+∠B的度数，根据线段垂直平分线定理得出EC=EA，FB=FA，从而求出∠EAC+∠FAB的度数，即可求得∠EAF的度数。
湘教版八年级数学上册《2.3.2等腰三角形的判定》同步测试题及答案
湘教版八年级数学上册《2.3.2等腰三角形的判定》同步测试题及答案班级：___________姓名：___________得分：__________（满分：100分，考试时间：40分钟）一．选择题（共5小题，每题8分）1．下列推理中，错误的是( )A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形2．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°,那么这个三角形是( )A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．含30°角的直角三角形3．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD交于点F，则图中共有等腰三角形( )A．8个B．7个C．6个D．5个第3题图第5题图4．下列能判定三角形是等腰三角形的是( )A．有两个角为30°、60°B．有两个角为40°、80°C．有两个角为50°、80°D．有两个角为100°、120°5．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为( )A．7 B．8 C．9 D．10二．填空题（共4小题，每题5分）6．如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________第6题图第7题图第8题图7．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=6㎝，则CD的长等于____________ ．8．小明从A处出发，要到北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200米到达B处，再沿北偏东30°方向走恰能到达目的地C处. 则B、C两地的距离为________9．在△ABC中，∠A=80°，当∠B=__________时，△ABC是等腰三角形．三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）10．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗？试说明理由．11．如图，在△ABC中，∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，若△ADE的周长是12，则BC的长是多少？12．如图，AD∥BC，∠BAC＝70°，DE⊥AC于点E，∠D＝20°.(1)求∠B的度数，并判断△ABC的形状；(2)若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．参考答案与解析1．B【解析】A∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B条件重复且条件不足，故不正确；C∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确.故选B.2．A【解析】∵这个三角形是轴对称图形∴一定有两个角相等∴这是一个等腰三角形.∵有一个内角是60°∴这个三角形是等边三角形.故选A.3．A【解析】△ABC, △BCE,△CDB, △BFC,△BFD,△CEF,△AEB,△ADC,故选A.4．C【解析】A、因为有两个角为30°、60°,则第三个角为90°，所以此选项不正确；B、因为有两个角为40°、80°,则第三个角为60°，所以此选项不正确；C、因为有两个角为50°、80°,则第三个角为50°，有两个角相等，所以此选项正确；D、因为100°+120°>180°，所以此选项不正确；故选：C.5．D【解析】利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到MB=MO，NC=NO，将三角形AMN 周长转化为AB+AC，求出即可．解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO．∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠BCO，∴∠ABO=∠MOB，∠NOC=∠ACO，∴MB=MO，NC=NO，∴MN=MO+NO=MB+N C．∵AB=4，AC=6，∴△AMN周长为AM+MN+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=10．故答案为：10．6．3【解析】由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．∵BD平分∠ABC交AC于D∴∠ABD=∠DBC=36°∵∠A=∠ABD=36°∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故答案为：3．7．6cm【解析】∵OC平分∠AOB∴∠AOC=∠BOC；又∵CD∥OB∴∠C=BOC∴∠C=∠AOC；∴CD=OD=6cm.故答案为：6cm.8．200米【解析】根据题中的角的关系证明∠BAC＝∠C.解：根据题意得，∠BAC＝90°－60°＝30°，∠ABC＝90°＋30°＝120°所以∠C＝30°，所以∠BAC＝∠C，所以BC＝AB＝200.故答案为200米.9．80°或50°或20°【解析】分三种情况分析解：∵∠A=80°∴①当∠B=80°时，△ABC是等腰三角形；②当∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；③当∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；故答案为：80°或50°或20°10．证明见解析．【解析】根据△ABC是等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°，利用DE∥AC，求得∠B=∠BED=∠BDE 即可得出结论．解：△BDE是等边三角形理由：∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠B=∠C=60°∵DE∥AC∴∠BED=∠A=60°，∠BDE=∠C=60°∴∠B=∠BED=∠BDE∴△BDE是等边三角形.11．12．【解析】结合图形，利用等腰三角形的判定，可所求出BC的长度．解：∵∠BAD=∠B∴BD=AD∵∠EAC=∠C∴AE=CE．∵AD+DE+DE=12∴BC=BD+DE+EC=12．12．（1）△ABC是等腰三角形，∠B＝40°；（2）见解析.【解析】分析：(1)、根据Rt△ADE的内角和得出∠DAC=70°，根据平行线的性质得出∠C=70°，从而根据有两个角相等的三角形是等腰三角形得出答案；(2)、根据等腰三角形底边上的三线合一定理得出DB为顶角的角平分线．。
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底。
两腰构成的夹角叫做顶角，腰与底构成的夹角叫做底角。
2.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等。
②等腰三角形的两底角相等。
（简称“等边对等角”）③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。
（简称底边上三线合一）3.等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。
练习题1、（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【分析】如图，过点E作EG⊥AD于G，证明△EGP≌△FDP，得PG＝PD＝1.5，由三角形中位线定理可得AD的长，由三角形ABC的面积是24，得BC的长，最后由勾股定理可得结论．【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠PDF＝∠EGP＝90°，EG∥BC，∵点E是AB的中点，∴G是AD的中点，∴EG＝BD，∵F是CD的中点，∴DF＝CD，∴EG＝DF，∵∠EPG＝∠DPF，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴PG＝PD＝1.5，∴AD＝2DG＝6，∵△ABC的面积是24，∴•BC•AD＝24，∴BC＝48÷6＝8，∴DF＝BC＝2，∴EG＝DF＝2，由勾股定理得：PE＝＝2.5．故选：A．2、（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23°B．25°C．27°D．30°【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，故选：B．3、（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39°B．40°C．49°D．51°【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故选：A．4、（2022•荆州）如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°【分析】过点C作CD∥l1，利用平行线的性质可得∠1+∠2＝∠ACB，再由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而可求解．【解答】解：过点C作CD∥l1，如图，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥CD，∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD，∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠BAC＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝70°，∴∠1+∠2＝70°．故选：B．5、（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3 B．∠1＝∠2，∠1＞∠3C．∠1≠∠2，∠1＜∠3 D．∠1≠∠2，∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE为AB的中垂线，∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，∴∠B＝∠BAE，∴∠1＝∠2，∵∠EAC＞90°，∴∠3+∠C＜90°，∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，∴∠1＞∠3，∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，故选：B．6、（2022•宜宾）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC，∴BF＝FD，DE＝EC，∴▱AFDE的周长＝AB+AC＝5+5＝10．故选：B．7、（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．8、（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB ⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解答】解：设AB与x轴交于点C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC＝AB＝3，由勾股定理得：OC＝＝＝4，∴点A的坐标为（4，3），故选：D．9、（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：如图，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．10、（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据题意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，故选：B．11、（2022•广安）若（a﹣3）2+5−b＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．【分析】先求a，b．再求第三边c即可．【解答】解：∵（a﹣3）2+＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，∴a＝3，b＝5，设三角形的第三边为c，当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，故答案为：11或13．12、．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝．【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵BC＝6，∴CD＝3，故答案为：3．13、（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．14、（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．15、（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵AB＝AC且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案为：30°．11。
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第2课时等腰三角形的判定精选练习含答案
一．选择题（共8小题）
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）
A． 5个B． 6个C． 7个D． 8个
第1题第2题第4题
7．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，假如以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
3．下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）
A．三条边都相等的三角形D．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形
B．有一个锐角是45°的直角三角形C．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形4．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个能够判定△ABC是等腰三角形的方法有（）
A． 2种B． 3种C． 4种D． 6种
5．下列能确信△ABC为等腰三角形的是（）
A．∠A=30°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=80°
C． AB=AC=2，BC=4 D． AB=3，BC=7，周长为13
6．下列说法中：（1）顶角相等，同时有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（）
A． 1个B．2个C． 3个D．4个
7．已知下列各组数据，能够构成等腰三角形的是（）
A． 1，2，1 B． 2，2，1 C． 1，3，1 D．2，2，5
8．已知：如图，下列三角形中，AB=AC，则通过三角形的一个顶点的一条直线能够将那个三角形分成两个小等腰三角形的是（）
A．①③④B．①②③④C．①②④D．①③
二．填空题（共10小题）
9．用若干根火柴（不折断）紧接着摆成一个等腰三角形，底边用了10根，则一腰至少要用_________根火柴．
10．如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=_________
第10题第11题第14题第18题11．如图，△ABC是等腰三角形，且AB=AC，BM，CM分别平分∠ABC，∠ACB，DE通过点M，且DE∥BC，则图中有_________个等腰三角形．
12．在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是_________．
13．在△ABC中，∠A=100°，当∠B=_________°时，△ABC是等腰三角形．14．如图，在△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1=_________度，图中有_________个等腰三角形．
15．若三角形三边长满足（a﹣b）（a﹣c）=0，则△ABC的形状是_________．16．假如一个三角形有两个角分别为80°，50°，则那个三角形是_________三角形．17．在平面上用18根火柴首尾相接围成等腰三角形，如此的等腰三角形一共能够围攻成_________种．
18．如图，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是_________三角形．三．解答题（共5小题）
19．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC的形状是_________．（直截了当写出结论，不需证明）
20．已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．
求证：△ABC是等腰三角形．
21．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．
（1）上述四个条件中，哪两个能够判定△ABC是等腰三角形？
（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形．
22．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD平分∠ACB，试说明△BCD是等腰三角形．
23．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，△AB′C和△ABC关于AC
所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．
（1）求证：△ABC≌△CDA．
（2）请直截了当写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；
（3）图中阴影部分的△AB′O和△CDO是否全等？若全等请给出证明；若不全等，请说明理由．
答案：一、DCDCBABA
二、9、6；10、3；11、5；12、80°或50°或20°；13、40度；14、72,3；15、等腰三角形；
16、等腰；17、4；18、等腰
三 、19、（1）证明：在△ABC 和△DCB 中， ∴△ABC ≌△DCB （SSS ）．
（2）解：∵△ABC ≌△DCB ，
∴∠OBC=∠OCB ．
∴OB=OC ．
∴△OBC 为等腰三角形．
故填等腰三角形．
20、解答： 证明：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ， ∵AO 平分∠B AC ，
∴OE=OF （角平分线上的点到角两边的距离相等）．
∵∠1=∠2，
∴OB=OC ．
∴Rt △OBE ≌Rt △OCF （HL ）．
∴∠5=∠6．
∴∠1+∠5=∠2+∠6．
即∠ABC=∠ACB ．
∴AB=AC ．
∴△ABC 是等腰三角形．
21解：（1）①③，①④，②③和②④；
（2）以①④为条件，理由：
∵OB=OC ，
∴∠OBC=∠OCB ．
又∵∠DBO=∠ECO ，
∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB ，即∠ABC=∠ACB ， ∴AB=AC ，
∴△ABC 是等腰三角形．
22解：△ABC 中
∵AB=AC ，∠A=36°
∴∠B=∠ACB=21（180°﹣∠A ）=72° ∵CD 平分∠ACB
∴∠DCB=2
1∠ACB=36° 在△DBC 中
∠BDC=180°﹣∠B ﹣∠DCB=72°=∠B
∴CD=CB
即△BCD 是等腰三角形．
23、解：（1）证明：∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，
∴∠DAC=∠BCA ，∠ACD=∠BAC ，
在△ABC和△CDA中，，
∴△ABC≌△CDA（ASA）；
（2）图中所有的等腰三角形有：△OAC，△ABB′，△CBB′；∵AD∥B C，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，
∴△AB′C≌△ABC，
∴∠ACB=∠ACB′，AB=AB′，即△ABB′为等腰三角形，
∴∠DAC=∠ACB′，
∴OA=OC，即△OAC为等腰三角形，
∵CB=CB′，
∴△CBB′为等腰三角形；
（3）△AB′O≌△CDO，理由为：
证明：∵△AB′C≌△ABC，且△ABC≌△CDA，
∴△AB′C≌△CDA，
∴B′C=DA，AB′=CD，
又OA=OC，
∴DA﹣OA=B′C﹣OC，即OB′=OD，
在△AB′O和△CDO中，，
∴△AB′O≌△CDO．。