201x版高考数学总复习第二章函数导数及其应用2.4二次函数与幂函数文

3．函数
y＝x
1 3
的图象是(
)
解析：由幂函数 y＝xα，若 0<α<1，在第一象限内过(1,1)，排除 A、D，又其图象上凸，则排除 C，故选 B.
答案：B
4．已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取值 范围是( )
A．(0，210) B．(－∞，－210)
C.(210，＋∞) D．(－210，0)
(3)五种幂函数的性质
函数
特征
y＝x
y＝x2
性质
定义域
R
R
y＝x3 R
值域
R
[0，＋∞) R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
y＝x
1 2
y＝x－1
(－∞，
[0，＋∞) 0)∪(0，＋
∞)
(－∞，
[0，＋∞) 0)∪(0，＋
∞)
非奇非偶 函数
奇函数
单调性
x∈ [0，＋
x∈ (－
增
∞) 时，增 x∈ (－ ∞，0]
[知识重温]
一、必记 3●个知识点 1．二次函数的解析式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线顶点坐 标．
(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中 x1、x2 为抛物线与 x 轴交点的横坐标．
2．二次函数的图象与性质
4ac－b2 4a
值4ac4－a b2
顶点
(－2ba，4ac4－a b2)
对称轴
函数的图象关于直线 x＝－2ba成轴对称
3.幂函数的定义、图象与性质 (1)幂函数的定义 形如 y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 为常 数．
(2)五种幂函数的图象
图象特征：①幂函数图象最多出现在两个象限；②幂函数图象 若与坐标轴相交，则交点一定是原点；③幂函数图象一定出现在第 一象限，一定不出现在第四象限，其余象限由奇偶性决定；④指数 大于 0 时，在第一象限底大形高．
答案：A
悟·技法 1.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂， 再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
2.幂函数的指数与图象特征的关系
当 α≠0,1 时，幂函数 y＝xα 在第一象限的图象特征：
α 取值
α>1
0<α<1
α<0
图象
特殊点 凹凸性 单调性
1．幂函数 y＝f(x)经过点(2， 2)，则 f(9)为( )
A．81
1 B.3
பைடு நூலகம்
1 C.81
D．3
解析：设 f(x)＝xα，由题意得 2＝2α， ∴α＝12.
∴f(x)＝x
1 2
，∴f(9)＝9
1 2
＝3，故选
D.
答案：D
2．函数 y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则 y 的最小值是( ) A．－1 B．－2 C．1 D．2 解析：函数 y＝2x2－6x＋3 的图象的对称轴为 x＝32>1，∴函数 y＝2x2－6x＋3 在 x∈[－1,1]上为单调递减函数，∴ymin＝2－6＋3＝ －1. 答案：A
解析：当 a＝0 时，f(x)＝x＋5 不成立，
当 a≠0 时，由题意知aΔ><00，，
即a1>－02，0a<0，
得
1 a>20.
答案：C
5．设
a＝2
1 2
，b＝1.8
1 3
，则
a，b
的大小关系是________．
解析：∵2
1 2
>1.8
1 2
>1.8
1 3
，∴2
1 2
>1.8
1 3
，即
a>b.
答案：a>b
解析：方法一：利用二次函数的一般式．设 f(x)＝ax2＋bx＋
4a＋2b＋c＝－1， c(a≠0)．由题意得a4－ ac4－ba＋b2c＝＝8－，1，
在 R 上为 增函数
在[0，＋ ∞)上为增
函数
∞，0) 时，减 x∈ (0，＋
∞)
时，减
时，减
二、必明 2●个易误点
1．研究函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的性质，易忽视 a 的取值情况而
盲目认为 f(x)为二次函数．
2．形如
y＝xα(α∈R)才是幂函数，如
y＝3x
1 2
不是幂函数．
[小题热身]
0<x<1
时，f(x)＝x2，g(x)＝x
1 2
，h(x)＝x－2，
则 f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是__h_(_x_)>__g_(x_)_>_f_(x_)___．
解析：分别作出 f(x)，g(x)，h(x)的图象，如图所示． 可知当 0＜x＜1 时，h(x)＞g(x)＞f(x)．
2．已知幂函数 f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1 为偶函数，则 m＝( )
举例
过(0,0)，(1,1) 下凸 递增
y＝x2
过(0,0)，(1,1) 上凸
递增
y＝x
1 2
过(1,1) 下凸
递减
y＝x－1，y＝x
1 2
考向二 求二次函数的解析式
[互动讲练型]
[例 1] 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x) 的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式．
答案：A
4
3．(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知
a＝2
3
，b＝4
2 5
，c＝25
1 3
，则(
)
A．b<a<c B．a<b<c
C．b<c<a D．c<a<b
4
解析：因为
a＝2
3
＝16
1 3
，b＝4
2 5
＝16
1 5
，c＝25
1 3
，且幂函数
y＝x
1 3
在 R 上单调递增，指数函数 y＝16x 在 R 上单调递增，所以 b<a<c.
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 值域
单调性
R [4ac4－a b2，＋∞) 在(－∞，－2ba]上递减， 在[－2ba，＋∞)上递增
R (－∞，4ac4－a b2] 在 (－∞，－2ba]上递增， 在[－2ba，＋∞)上递减
最值
当 x＝－2ba时，函数有最小值 当 x＝－2ba时，函数有最大
6．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,4]的单调递增区间为________，f(x)max ＝________.
解析：函数 f(x)的对称轴 x＝1，单调增区间为[1,4]，f(x)max＝f(－ 2)＝f(4)＝8.
答案：[1,4] 8
考向一 幂函数的图象与性质
[自主练透型]
1．(2018·太原模拟)当
A．1
B．2
C．1 或 2 D．3
解析：∵幂函数 f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1 为偶函数，∴m2－3m ＋3＝1，即 m2－3m＋2＝0，解得 m＝1 或 m＝2.当 m＝1 时，幂函 数 f(x)＝x2 为偶函数，满足条件．当 m＝2 时，幂函数 f(x)＝x3 为奇 函数，不满足条件．故选 A.