点、线、面之间的位置关系练习题
高中数学必修二同步练习题库：空间点、线、面的位置关系(选择题：较难)
空间点、线、面的位置关系（选择题：较难）1、如图所示，将等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，此时，那么这个二面角大小是（）A．90° B．60° C．45° D．30°2、设是正方体的对角面（含边界）内的点，若点到平面、平面、平面的距离相等，则符合条件的点（）A．仅有一个 B．有有限多个 C．有无限多个 D．不存在3、已知异面直线a,b成70°角，A为空间中一点，则过A且a,b都成55°的平面个数有（）A．1 B．2 C．3 D．44、如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过直线的平面分别与棱交于，设,，给出以下四个命题：①②当且仅当时，四边形的面积最小；③四边形周长,，则是奇函数；④四棱锥的体积为常函数；其中正确命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5、如图,点是正方形外的一点,过点作直线,记直线与直线，的夹角分别为，，若，则满足条件的直线（）A．有1条 B．有2条 C．有3条 D．有4条6、已知棱长为l的正方体中，E，F，M分别是AB、AD、的中点，又P、Q分别在线段上，且，，设面面MPQ=，则下列结论中不成立的是( )A. 面ABCDB. ACC. 面MEF与面MPQ垂直D. 当x变化时，是定直线7、矩形ABCD中，，，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为（）A． B．C． D．8、把边长为2的正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线所成的角为（）A．120° B．30° C．90° D．60°9、在正方体中，是中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）A． B． C． D．10、在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．11、矩形中，，，将与沿所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线与直线成的角范围（包含初始状态）为（）A． B． C． D．12、如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（）A． B．C． D．13、四棱锥的底面是一个正方形，平面，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A． B． C． D．14、如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60° B．90°C．105° D．75°15、已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．16、已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（）A． B．1 C． D．17、已知在直三棱柱中，，，则直线与夹角的余弦值为( )A． B． C． D．18、在正方体中，若是的中点，则异面直线与所成角的大小是（）A． B． C． D．19、如图在一个二面角的棱上有两个点，，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，则这个二面角的度数为（）A． B． C． D．20、如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是△绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A．动点在平面上的射影在线段上B．恒有平面⊥平面C．三棱锥的体积有最大值D．异面直线与不可能垂直参考答案1、A2、A3、A4、C5、D6、C7、C8、D9、A10、C11、C12、A13、B14、B15、C16、A17、A18、D19、B20、D【解析】1、试题分析：连接，则为等边三角形，设，则，所以，故选A.考点：1、平面与平面的位置关系；2、二面角的求法.【易错点晴】本题考查的是平面与平面的位置关系、二面角的求法，属于难题；二面角问题先要找出二面角，从两个平面的交线入手，找出从一个点出发的垂直于两平面交线的两条直线，此即为二面角的平面角；在三角形内，求出该平面角即可．2、解：与平面距离相等的点位于平面上；与平面距离相等的点位于平面上；与平面距离相等的点位于平面上；据此可知，满足题意的点位于上述平面，平面,平面的公共点处，结合题意可知，满足题意的点仅有一个.本题选择A选项.点睛：本题考查点到平面的距离，利用点到直线的距离将平面问题类比到空间中点到面的距离，据此找到满足题意的点是否存在即可.3、过作，设直线确定的平面为，∵异面直线成角，∴直线确所成锐角为．设过点的平面与所成的角相等，该平面的垂线与直线都成角，过只能作一条这样的垂线，故此时符合条件的平面只有一个．选A4、①连结，则由正方体的性质可知，平面，所以，所以正确．②因为，四边形的对角线是固定的，所以要使面积最小，则只需的长度最小即可，此时当为棱的中点时，即时，此时长度最小，对应四边形的面积最小．所以②正确．③因为，所以四边形是菱形．函数为偶函数，故③不正确．④连结，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以为底，以分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形的面积是个常数．到平面的距离是个常数，所以四棱锥的体积为常函数，所以④正确．故选C．【点睛】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．5、∵故可知；由于平移不改变两直线的夹角，故题目可以转化为过点的直线与直线，的夹角为的直线有多少条；记直线，的夹角为，可以求得，故,故，即，故，，故过点的直线与直线，的夹角为的直线有4条，分别在这两直线夹角及补角的平分面上故选：D6、连接BD,,显然平面,而,连接HG,则所以AC⊥BD,又HG//L//BD,故AC⊥，只有当时，平面MEF⊥平面MPQ,无论x怎么变化，定是直线故选C点睛：考察立体几何中线面得关系，要熟悉线面，面面之间关系得判定定理，然后再逐一分析即可7、初始状态直线与直线成的角为，翻折过程中当时, 直线与直线成的角为直角，因此直线与直线成的角范围为，选C.8、过作，交于，连结，则是的中点，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，设异面直线、所成的角为，则，所以.所以异面直线、所成的角为.故选9、试题分析：由题意得，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，平面的法向量，所以，故选A. 考点：直线与平面所成的角，【方法点晴】本题主要考查了直线与平面所成角的求解和空间几何体的结构特征，着重考查了学生的空间想象能力和推理与运算能力，其中准确计算是解答本题的关键，也是本题的一个易错点，属于中的试题，本题的解答中，分别以为轴建立空间直角坐标系，求解平面的法向量是解答本题的关键.10、试题分析：由题意可得又考点：异面直线所成角11、初始状态直线与直线成的角为，翻折过程中当时, 直线与直线成的角为直角，因此直线与直线成的角范围为，选C.12、试题分析：①当时，；②当时，如图，点投影在上，，连结，易得，，即综上所述，，故选A．考点：二面角的平面角及求法．【易错点晴】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．与二面角有关的问题，主要是转化为其平面角，利用平面角的关系，将空间问题转化为平面问题来解决，该题的关键是分类讨论，按空间中的可能情况予以分类，准确的分类是解决问题的前提．13、试题分析：如图：取的中点为，连接，，是的中点，所以是的中位线，故，因此就是异面直线与所成的角，由于，且平面，四边形是正方形，所以，，连接交于，则，平面，易知：从而，在中，由，得是以为直角的直角三角形，所以，即异面直线与所成的角的余弦值为．故选B．考点：异面直线所成的角．14、试题分析：不妨设，则，所以直线与所成的角为．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；异面直线所成的角．15、试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以，故C为正确答案．考点：异面直线所成的角．16、试题分析：因为三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，在面内的射影为中点，平面，上任意一点到的距离相等．，，在面内作的垂直平分线，则为的外接球球心．，，，，即为到平面的距离，故选A．考点：球内接多面体；点到面的距离的计算．【思路点晴】本题考查点到面的距离的计算及球内接多面体问题及学生分析解决问题的能力，解答此类问题时要充分认识球内接多面体的性质，其中确定SHC与平面ABC的距离是关键，本题解答中根据三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=AB=SC，可得S在面ABC上的射影为AB中点H，SH平面ABC，在面SHC内SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心，OH为O与平面ABC的距离，由此可得到结论．17、试题分析：分别取的中点为，则，为异面直线与所成的角或其补角．可求得,．故A正确．考点：异面直线所成的角．【方法点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．18、试题分析：如图，作交的延长线于点，连接，因为，所以，所以（或其补角）是异面直线与所成角．设正方体的棱长为1，在中，，，，所以，．故选D．考点：异面直线所成的角．【名师点睛】异面直线所成的角：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角，其取值范围是：0°＜θ≤90°．求解方法如下：解法一：平移法：根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；解含有θ的三角形，求出角θ的大小．平移的具体途径有：中位线、补形法等．解法二：向量法：设异面直线l1，l2的方向向量分别为，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝．19、试题分析：设所求二面角的大小为，则，因为，所以而依题意可知，所以所以即所以，而，所以，故选B.考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用.20、试题分析：由于．所以平面．经过点作平面ABC的垂线垂足在AF上．所以A选项正确．由A可知B选项正确．当平面垂直于平面时，三棱锥的体积最大，所以C正确．因为，设．所以，当时，．所以异面直线与可能垂直．所以D选项不正确．考点：1．线面位置关系．2．面面的位置关系．3．体积公式．4．异面直线所成的角．5．空间想象力．。
空间点、直线、平面之间的位置关系测试题(含答案)
空间点、直线、平面之间的位置关系测试题一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）1. 已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（ ）A ．α∥βB ．α与β相交C ．α与β重合D ．α∥β或α与β相交2. 两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α⊂，则a 与平面α的关系是( )A.a ∥αB.a 与α相交C.a 与α不相交D.a α⊂3.对于命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有( )A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个4. 经过平面外两点与这个平面平行的平面 （ ）A ．只有一个B ．至少有一个C ．可能没有D ．有无数个5.过三棱柱111ABC A B C -的任意两条棱的中点作直线，其中与平面11ABB A 平行的直线共有（ ）A. 3条B. 4条C. 5条D. 6条6. a ，b 是两条异面直线，下列结论正确的是（ ）A.过不在a ，b 上的任一点P ，可作一个平面与a ，b 平行B.过不在a ，b 上的任一点P ，可作一条直线与a ，b 相交C.过不在a ，b 上的任一点P ，可作一条直线与a ，b 都平行D.过a 可以并且只可以作一平面与b 平行7.n m ,是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖8.如图1，正四面体ABCD 的棱长均为a ，且AD ⊥平面α于A ，点B ，C ，D 均在平面α外， 且在平面α同一侧，则点B 到平面α的距离是（ ）A ．2aB ．3aC ． 22aD 3a图1 图29.如图2，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则下列结论正确的是Ａ.PB AD ⊥ Ｂ.平面PAB PBC ⊥平面C. 直线BC ∥平面PAE Ｄ.PD ABC ︒直线与平面所成的角为4510.点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，则PA 与BD 所成角的度 数为 （ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11.已知二面角l αβ--的大小为50，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是025的直线的条数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5α A B CD12.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若侧棱的长小于底面的边长，则h d 的取值范围为(0,1)B ．若侧棱的长小于底面的边长，则h d 的取值范围为223(,) C ．若侧棱的长大于底面的边长，则h d的取值范围为23(,2) D ．若侧棱的长大于底面的边长，则h d 的取值范围为23(,)3+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图3，△ABC 和△DBC 所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,则AD 与平面BCD 所成的角为 .14.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A ，E ，C 的平面的位置关系是 .15.若一个n 面体有m 个面是直角三角形，则称这个n 面体的直度为m n，则在长方体ABCD —1111A B C D 中，四面体1A ABC -的直度为 .16.βα,表示平面，l 表示既不在α内也不在β内的直线，存在以下三个事实：①l ⊥α； ②l ∥β；③α⊥β.若以其中两个为条件，另一个为结论，构成命题，其中正确命题的个数为 个.三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.如图4，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 是棱BC 的中点．求证：(1)D C AD 1⊥；(2)1//A B 平面1ADC ．18. 如图5，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面 垂直，90BAC ∠=，M ，N 分别是11A B ，BC的中点．（1）证明：1AB AC ⊥；（2）判断直线MN 和平面11ACC A 的位置关系，并加以证明．A B B 1 C C 1A 1 M N CB A A BC D19. 如图6，在正方体1111D C B A ABCD -中，E ，F 分别为棱AD ，AB 的中点．(1)求证：平面11C CAA ⊥平面11D CB ；(2)如果1=AB ，一个动点从点F 出发在正方体的表面上依次经过棱1BB ,11C B ,11D C ,D D 1,DA 上的点，最终又回到点F ，指出整个路线长度的最小值并说明理由.20. 如图7，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为2a 的菱形，且 2SA SC a ==2SB SD a ==，点E 是SC 上的点，且(02).SE a λλ=<≤（1）求证：对任意的(0,2]λ∈，都有BD AE ⊥；（2）若SC ⊥平面BED ，求直线SA 与平面BED 所成角的大小.21.某厂根据市场需求开发折叠式小凳，如图8所示. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：① 凳子高度为30cm ，② 三根细钢管相交处的节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm 的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45，确定节点O 分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120的等腰三角形，腰长为24cm ，节点O分细钢管上下两段之比为2:3. 确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm ）22.如图9所示，在边长为12的正方形AA'A 1'A 1中，点B ，C 在线段AA'上，且AB ＝3，BC ＝4，作BB 1//AA 1，分别交A 1A 1'、AA 1'于点B 1，P ，作CC 1//AA 1，分别交A 1A 1'，AA 1'于点C 1，Q ，将该正方形沿BB 1，CC 1折叠，使得A'A 1'与AA 1重合，构成如图10所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1．（1）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，求证：AB⊥平面BCC 1B 1；（2）求平面APQ 将三棱柱ABC －A 1B 1C 1分成上、下两部分几何体的体积之比．A B C O 图9 A B C A' A 1 B 1 C 1 A 1' P Q 图A B CA 1B 1C 1P Q A D A 1 B 1 C 1 D 1E空间点、直线、平面之间的位置关系测试题一、选择题 1~6 DC BC D D 7~12 DAD C BC提示:3.对于①平行于同一直线的两个平面平行，反例为：把一支笔放在打开的课本之间；②是对的,③是错的；④是对的5.取1111,,,AC BC B C AC 中点,,,E F M N ，直线分别为,,,,,EF MN EN EM FM FN 都与平面11ABB A 平行.6.如图所示，在直线a 上任取一点P ，过P 作b ′∥b ，则a ∩b ′=P.那么a与b ′确定一个平面α.因为b ∥b ′，b ′⊂α，b ⊄α，所以b ∥α.所以过a 可以作一个平面α与b 平行.假设还可作一平面β与b 平行，则α∩β=a ，b ∥α，b ∥β，所以a ∥b.这与a 、b 异面相矛盾，即假设不成立.所以只有一个平面α.综上所述，过a 有且只有一个平面与b 平行.故选D.7. ,m n 均为直线，其中,m n 平行α，,m n 可以相交也可以异面，故A 不正确； m ⊥α，n ⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；选D8．取AD 的中点M ，易证AD ⊥平面BCM ，故平面BCM //平面α，平面BCM到平面α的距离为2a ，即为B 到平面α的距离. 9.因AD 与AB 不相互垂直，排除A ；作PB AG ⊥于G ，因平面⊥PAB 平面ABCDEF ，而AG 在平面ABCDEF 上的射影在AB 上，而AB 与BC 不相互垂直，故排除B ；由EF BC //，而EF 是平面PAE 的斜线，故排除C ，故选择D.10.将图形补成一个正方体如图，则PA 与BD 所成角等于BC′与BD所成角即∠DBC′．在等边三角形DBC′中，∠DBC′=60°，即PA 与BD所成角为60°．12.设底面边长为1，侧棱长为(0)λλ>，过1B 作1111,B H BD B G A B ⊥⊥.在11Rt BB D ∆中，21112,2B D B D λ==+，由三角形面积关系得11112122B D BB h B H B D λλ⋅===+ 设在正四棱柱中，由于1,BC AB BC BB ⊥⊥， 所以BC ⊥平面11AA B B ，于是1BC B G ⊥，所以1B G ⊥平面11A BCD ，故1B G 为点1B 到平面11A BCD 的距离，在11Rt A B B ∆中，又由三角形面积关系得1111211A B BB d B G A B λ⋅===+于是2222112122h d λλλ⋅+==⋅-++， 于是当1λ>，所以222123,1132λλ+><-<+，所以23(,2)3h d ∈ 二、填空题 13. 45° 14.BD 1∥平面AEC 15.1 16.2提示：13.作AO ⊥CB 的延长线，连接OD ，则OD 即为AD 在平面BCD 上的射影，因为AO =OD =23a ,所以∠ADO =45°. 14.连接AC ，BD 相交于一点O ，连接OE ，AE ，EC .因为四边形ABCD 为正方形，所以DO ＝BO .而DE ＝D 1E ，所以EO 为△DD 1B 的中位线， 所以EO ∥D 1B ,所以BD 1∥平面AEC . 15.本题主要考查空间的垂直关系，由图形得四面体ABC A -的每个面都是直角三角形，所以144==n m . 16.由①②⇒③、①③⇒②是正确命题，由②③不能得到①. 三、解答题17.证明:（1）因为三棱柱111C B A ABC -是正三棱柱，所以⊥C C 1平面ABC ， 又⊂AD 平面ABC ，所以AD C C ⊥1.又点D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，所以AD BC ⊥.因为1BC C C C =，所以⊥AD 平面11B BCC ，又因为1DC ⊂平面11B BCC ，所以D C AD 1⊥．(2)连接C A 1交1AC 于点E ，再连接DE ．因为四边形11ACC A 为矩形，所以E 为C A 1的中点，又因为D 为BC 的中点，所以1//ED A B . 又1A B ⊄平面1ADC ，ED ⊂平面1ADC ，所以1//A B 平面1ADC ．18.证明：(1)因为1CC ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，所以1CC ⊥AB ．由条件90BAC ∠=，即AC ⊥AB ，且1ACCC C =，所以AB ⊥平面11ACC A ． 又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1AB AC ⊥．（2）MN ∥平面11ACC A ，证明如下：设AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ．因为D ，N 分别是AC ，BC 的中点，所以DN //=12AB ． 又1A M =1211A B ，11A B //=AB ，所以1A M //=DN ． 所以四边形1A DNM 是平行四边形．所以1A D ∥MN ．因为1A D ⊂平面11ACC A ，MN ⊄平面11ACC A ，所以MN ∥平面11ACC A ．C19.（1）证明:因为在正方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以 AA 1⊥B 1D 1.又因为在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，所以 B 1D 1⊥平面CAA 1C 1.又因为 B 1D 1⊂平面CB 1D 1，所以平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．(2)最小值为 .如图，将正方体六个面展开成平面图形，从图中F 到F ，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 上的中点，所求的最小值为 . 20解：（1）连结BD ，AC ，设BD 与AC 交于O. 由底面是菱形，得.BD AC ⊥ SB SD =，O 为BD 中点，.BD SO ∴⊥又AC SO O ⋂=，BD ∴⊥面SAC.又AE ⊂面SAC ，.BD AE ∴⊥（2）取SC 的中点F ，连结OF ，OE ，//.SA OF ∴OF ∴与平面EDB 所成的角就是SA 与平面EDB 所成的角.SC ⊥平面BED ，FE ∴⊥面BED ，E 为垂足，EOF ∴∠为所求角.在等腰CSB ∆中，2,SC BC a SB ===，得底边SB 上的高为.CH =SC BE SB CH ∴⋅=⋅，2BE ∴==.所以在1,,2Rt BES SE a ∆==中所以11.22EF a a a ∴=-=在Rt FEO ∆中，1,sin .2EFOF a EOF OF =∴∠==即直线SA 与平面BED 所成角为.6π21.解：（1）设△ABC 的重心为H ，连结OH . 由题意，得BH =设细钢管上下两段之比为λ.已知凳子高度为30. 则301OH λλ=+.因为节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.所以OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成的角，亦即45OBH ∠=. 30,13BH OH λλ==+因为所以，解得0.63λ=≈.即节点O 分细钢管上下两段的比值约为0.63.（2）设120,24B AB BC ∠===所以，AC =FF设△ABC 的重心为H ，则8,BH AH ==由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH =.设过点A B C ,,的细钢管分别为,,AA BB CC '''，则560.82AA CC OA ''====≈，536.12BB OB '===≈， 所以对应于A B C ,,三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ，36.1cm 和60.8cm . 22.（1）证明:在正方形AA'A 1'A 1中，因为A'C ＝AA'－AB －BC ＝5，所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面三角形ABC 的边AC ＝5． 因为AB ＝3，BC ＝4，所以AB 2＋BC 2＝AC 2．所以AB⊥BC．因为四边形AA'A 1'A 1为正方形，BB 1//AA 1，所以AB⊥BB 1．而BC∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AB⊥平面BCC 1B 1．(2)解：因为AB⊥平面BCC 1B 1，所以AB 为四棱锥A －BCQP 的高．因为四边形BCQP 为直角梯形，且BP ＝AB ＝3，CQ ＝AB ＋BC ＝7，所以梯形BCQP 的面积为S BCQP ＝12(BP ＋CQ)×BC＝20．所以四棱锥A －BCQP 的体积V A －BCQP ＝13S BCQP ×AB＝20．由(1)，知BB 1⊥AB，BB 1⊥BC，且AB∩BC＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ．所以BB 1⊥平面ABC ．所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直棱柱．所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ×BB 1＝72．故平面APQ 将三棱柱ABC －A 1B 1C 1分成上、下两部分的体积之比为72－2020＝135．。
立体几何第二章空间点线面的位置关系单元测试题(含详细答案解析)
第二章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为错误!（）A．5B．4C．9D．1［答案] D[解析］由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线错误!（)A．平行B．垂直C．相交D．异面[答案] B[解析］当直尺垂直于地面时，A不对;当直尺平行于地面时,C不对；当直尺位于地面上时，D不对．3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是错误!(）A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行．．．与β平行的直线．．．,则在α内不存在D．若m、n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能[答案］ D［解析]A项，α、β可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面,故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n,m∥n，则m∥β，故错误;D项，假设m、n垂直于同一平面,则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．4．已知α、β是两个平面,直线l⊄α，l⊄β,若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件,另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有错误!（)A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③;②③⇒①［答案] A［解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α,所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β,即①③⇒②；因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，若过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H一定在导学号 92180601（)A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC的内部[答案] B[解析］∵∠BAC＝90°,∴BA⊥AC．又∵BC1⊥AC,∴AC⊥平面ABC1，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在面ABC上的射影在直线AB上．6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有错误!（) A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] B［解析］如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线,当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．7．（2016·浙江文）已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则错误!(）A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n[答案］ C[解析]选项A，只有当m∥β或m⊂β时,m∥l；选项B,只有当m⊥β时,m∥n；选项C,由于l⊂β,∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n,故选C．8．（2016·南安一中高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC 和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为错误!（）A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] C[解析］如图，连接A1C1、BC1、A1B．∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，∴MN∥BC1。
空间点、直线、平面之间的位置关系跟踪训练
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系跟踪训练一、选择题1、下列命题是真命题的是( )A．空间任意三个点确定一个平面B．一条直线和直线外一点确定一个平面C．两两相交的三条直线确定一个平面D．两两平行的三条直线确定三个平面2、如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法不正确的是( )A．AB与CD是异面直线B．GH与CD相交C．EF∥CDD．EF与AB异面3、a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c4、已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b ＝P，则( )A．P∈c B．P∉cC．c∩a＝∅D．c∩β＝∅5、在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P( )A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上6、已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n 两两相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7、如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则( )A．GH＝2EF，且直线EF，GH是相交直线B．GH＝2EF，且直线EF，GH是异面直线C．GH≠2EF，且直线EF，GH是相交直线D．GH≠2EF，且直线EF，GH是异面直线8、如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的图是( )9、如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC10、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )A．30°B．45°C．60°D．90°11、若平面α和直线a，b满足a∩α＝A，b⊂α，则a与b的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．相交或异面12、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是( )A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C113、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是( )A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MN与平面BB1D1D相交14、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( )A．π2B．π3C．π4D．π615、如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝14SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为( )A．222B．53C．1316D．11316、如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有( )A．①②B．①③C．②③D．②④17、已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈平面α，点B，D∈平面β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是( ) A．当CD＝2AB时，M，N不可能重合B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行二、填空题18、已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________．①若a平行于α内的无数条直线，则a∥α；②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．19、已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．20、如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．21、如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上结论中，正确结论是________．(填序号)三、解答题22、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．23、如图，已知在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，且直线BC 与MN 所成的角为30°，求BC 与AD 所成的角．24、在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1)求四棱锥O -ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值．25、如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点. (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？。
点线面之间的关系
点线面之间的关系一．选择题（共8小题）1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1与DC成45°角D．A1C1与B1C成60°角3．设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）A．若a⊥b，a⊥α，则b∥αB．若a∥α，α⊥β，则a⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β4．已知互不相等的直线l，m，n和平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）A．若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；B．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；C．若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，则m∥n；D．若α⊥β，β⊥γ，则α∥β．5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）9．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC=2，则直线PC与AB所成角的大小是．10．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别为边CC1、B1C1的中点，点G、H分别在AA1、D1A1上，且满足AA1=3AG，D1H=2HA1，则异面直线EF、GH所成角的余弦值为．11．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于°．12．如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是．三．解答题（共6小题）13．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E，F，G分别是AB，PC，CD的中点．求证：（1）CD⊥PD；（2）平面EFG∥平面PAD．14．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．15．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是AB中点，M是AA1上一点，且AM=tAA1．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若3AB=2AA1，当t为何值时，B1M⊥平面A1CD？17．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC．（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PCB．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，AB=4，AA1=5，点M是BB1中点（Ⅰ）求证：平面A1MC⊥平面AA1C1C （Ⅱ）求点A到平面A1MC的距离．点线面之间的关系参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC【解答】解：法一：连B1C，由题意得BC1⊥B1C，∵A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1⊂平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1，∵A1B1∩B1C=B1，∴BC1⊥平面A1ECB1，∵A1E⊂平面A1ECB1，∴A1E⊥BC1．故选：C．法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），=（﹣2，1，﹣2），=（0，2，2），=（﹣2，﹣2，0），=（﹣2，0，2），=（﹣2，2，0），∵•=﹣2，=2，=0，=6，∴A1E⊥BC1．故选：C．2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1与DC成45°角D．A1C1与B1C成60°角【解答】解：由题意画出如下图形：A．因为AD∥A1D1，所以∠C1A1D1即为异面直线A1C1与AD所成的角，而∠C1A1D1=45°，所以A错；B．因为D1C1∥CD，利平行公理4可以知道：AB∥CD∥C1D1，所以B错；C．因为DC∥AB．所以∠C1AB即为这两异面直线所成的角，而，所以C错；D．因为A1C1∥AC，所以∠B1CA即为异面直线A1C1与B1C所成的角，在正三角形△B1CA中，∠B1CA=60°，所以D正确．故选：D．3．设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）A．若a⊥b，a⊥α，则b∥αB．若a∥α，α⊥β，则a⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β【解答】解：A中，b可能在α内；B中，a可能在β内，也可能与β平行或相交（不垂直）；C中，a可能在α内；D中，a⊥b，a⊥α，则b⊂α或b∥α，又b⊥β，∴α⊥β．故选：D．4．已知互不相等的直线l，m，n和平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）A．若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；B．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；C．若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，则m∥n；D．若α⊥β，β⊥γ，则α∥β．【解答】解：在A中，若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l与m平行或异面，故B错误；在C中，若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，则由线面平行的性质定理得m∥n，故C正确；在D中，若α⊥β，β⊥γ，则α与β相交或平行，故D错误．故选：C．5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，∴A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），B1（1，1，），=（﹣1，0，），=（1，1，），设异面直线AD1与DB1所成角为θ，则cosθ===，∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故选：C．6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．7．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．8．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意，故选：A．二．填空题（共4小题）9．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC=2，则直线PC与AB所成角的大小是60°．【解答】解：取PA中点E，PB中点F，BC中点G，连接EF，FG，EG，∵EF、FG分别是△PAB、△PBC的中位线∴EF∥AB，FG∥PC，因此，∠EFG（或其补角）就是异面直线AB与PC所成的角．连接AG，则Rt△ACG中，AG==，EG==，又∵AB=PC=2，∴EF=FG=．由此可得，在△EFG中，cos∠EFG==﹣结合∠EFG是三角形内角，可得∠EFG=120°．综上所述，可得异面直线AB与PC所成角的大小为60°．故答案为：60°．10．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别为边CC1、B1C1的中点，点G、H分别在AA1、D1A1上，且满足AA1=3AG，D1H=2HA1，则异面直线EF、GH所成角的余弦值为．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由题意E（0，2，1），F（1，2，2），G（2，0，），H（，0，2），=（1，0，1），=（﹣，0，），设异面直线EF、GH所成角的为θ，则cosθ===．∴异面直线EF、GH所成角的余弦值为．故答案为：．11．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60°．【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，∴二面角等于60°，故答案为60°12．如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是．【解答】解：由题意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面与正方形ABEF的二面角即∠CBE=60°，同时也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，即三角形CEF为直角三角形和三角形CBE为等边三角形；即是EF⊥CE．设AB=1，则CE=1，CF=，FB=，利用余弦定理，得．故异面直线AD与BF所成角的余弦值是．三．解答题（共6小题）13．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E，F，G分别是AB，PC，CD的中点．求证：（1）CD⊥PD；（2）平面EFG∥平面PAD．【解答】证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA，又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD．（2）∵矩形ABCD中，E、G分别是AB、CD中点，∴EG∥AD，∵EG⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴EG∥平面PAD，∵F是PC中点，∴FG∥PD，∵FG⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴FG∥平面PAD，∵EG∩FG=G，EG、FG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PAD．14．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．【解答】解：（I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴HG∥BC，HF∥DE，（2分）又∵ADEB为正方形∴DE∥AB，从而HF∥AB∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，∴平面HGF∥平面ABC∴GF∥平面ABC（5分）证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴（2分）又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD∴GM∥NF且GM=NF∴MNFG为平行四边形∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）证法三：连接AE，∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，（2分）∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC（5分）又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC（7分）∴BE⊥AC又∵CA2+CB2=AB2∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE（9分）（Ⅲ）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，（10分）又平面ABED⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，（12分）∵C﹣ABED是四棱锥，==（14分）∴V C﹣ABED15．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．【解答】证明：（1）连接AC，BD，设AC∩BD=0，连接NO，MO，则NO∥PA．∵PA⊥平面ABCD，∴NO⊥平面ABCD，∴NO⊥AB，∵MO⊥AB，∴AB⊥面MNO∴MN⊥AB，而CD∥AB，∴MN⊥CD…（6分）（2）∵∠PDA=45°∴PA=AD=BC，由△PAM≌△CMB，得PM=CM，又∵N为PC的中点，∴MN⊥PC又MN⊥CD，PC∩CD=C∴MN⊥平面PCD…（12分）16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是AB中点，M是AA1上一点，且AM=tAA1．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若3AB=2AA1，当t为何值时，B1M⊥平面A1CD？【解答】解：（1）如图1，取A1B1的中点E，连接BE，C1E．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是AB中点，可得CD∥C1E又因为DB∥EA1，DB=EA1⇒BE∥DA1．且CD∩DA1=D，BE∩C1E=E，面EBC1∥平面A1CD；∵BC1⊂面EBC1，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD（2）由在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是AB中点，可得CD⊥面AA1B1B．⇒CD⊥B1M，∴要使B1M⊥平面A1CD，只需DA1⊥MB即可，如下图，当DA1⊥MB时，△ADA1∽△A1MB1，⇒，又∵3AB=2AA1，DAB为中点∴⇒∴即当t=时，B1M⊥平面A1CD．17．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC．（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PCB．【解答】（本小题满分10分）证明：（1）因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA．因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，所以OE∥平面PAC．因为OM∥AC，又AC⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，所以OM∥平面PAC．因为OE⊂平面MOE，OM⊂平面MOE，OE∩OM=O，所以平面MOE∥平面PAC．…（5分）（2）因为点C在以AB为直径的⊙O上，所以∠ACB=90°，即BC⊥AC．因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC．因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．…（10分）18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，AB=4，AA1=5，点M是BB1中点（Ⅰ）求证：平面A1MC⊥平面AA1C1C（Ⅱ）求点A到平面A1MC的距离．【解答】（Ⅰ）证明：记AC1与A1C的交点为E．连结ME．如图∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，点M是BB1中点，∴MA1=MA=MC1=MC=．因为点E是AC1，A1C的中点，所以ME⊥AC1且ME⊥A1C，…（4分）从而ME⊥平面AA1C1C．因为ME⊂平面A1MC，所以平面A1MC⊥平面AA1C1C．…（6分）（Ⅱ）解：过点A作AH⊥A1C于点H，如图，由（Ⅰ）知平面A1MC⊥平面AA1C1C，平面A1MC∩平面AA1C1C=A1C，而AH⊥平面AA1C1C∴AH即为点A到平面A1MC的距离．…（9分）在△A1AC中，∠A1AC=90°，A 1A=5，AC=4∴∴AH=即点A到平面A1MC的距离为．…（12分）。
空间点、直线、平面之间的位置关系和平行判定习题
1.点A 在直线上,记作 ；点A 在平面α内,记作 ；直线α在平面α内,记作 .2.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：3.公理的作用：（1）公理1作用：判断直线是否在平面内；（2）公理2作用：确定一个平面的依据；（3）公理3作用：判定两个平面是否相交的依据. 4. 空间两条直线的位置关系：5. 等角定理：6. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.7. 公理4：8. 公理4作用：判断空间两条直线 的依据.9.直线与平面有三种位置关系：（1） —— 有无数个公共点（2）——有且只有一个公共点（3）——没有公共点10. 两个平面之间有两种位置关系：（1）——没有公共点（2）——有且只有一条公共直线2.2 直线、平面平行的判定及其性质11.判定定理的符号表示为：.12. 证明线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定.13.面面平行判定定理：．用符号表示为：.14. 垂直于同一条直线的两个平面平行.15. 平面α上有不在同一直线上的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系是.16.线面平行的性质定理：符号语言：18. 面面平行的性质：. 用符号语言表示为：.19. 其它性质：①；②；③夹在平行平面间的平行线段相等.1．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别是AC、BD的中点，且EF＝3，则AB与CD所成的角为__________．3 / 72．在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝213，AC ＝23，求AC 和BD 所成的角．3．已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB 、AD 、CB 、CD 上的点，并且有GB CG EB AB ＝，HD CH FD AF ＝，试证EF 、GH 、BD 共点或两两平行．4 已知异面直线a 、b 所成的角为60°，在过空间一定点P 的直线中，与a ，b 所成的角均为60°的直线有多少条？过P 与a 、b 所成角均为50°，或均为70°的直线又各有多少呢？希望读者通过对上述三个具体问题的求解，总结解题方法，然后再探讨关于与异面直线成等角的直线的存在性问题的一般性情况：已知异面直线a ，b 所成的角为θ0且θ0＜90°，过空间一点P 的直线中与a ，b 所成的角均为θ的直线有多少条？5．已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。
空间点、直线、平面之间的位置关系典题及答案
1．已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；(2)若点E 为PC的中点，AC ∩BD ＝O ，求证EO ∥平面PAD ；(3)是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论．解：(1)由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2.∴V P －ABCD ＝13S ▱ABCD ·PC ＝23. (2)证明：∵EO ∥PA ，EO ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD .∴EO ∥平面PAD .(3)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ，证明如下：∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PC ，又∵AC ∩PC ＝C ，∴BD ⊥平面PAC ，∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ，∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE .2如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB ，EF ⊥F B ，∠BFC=90°，BF=FC ，H 为BC 的中点． (Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB ；Ⅱ)求证：AC ⊥平面EDB ；Ⅲ)求四面体B-DEF 的体积．(Ⅰ)证明：设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连结EC ，CH ，由于H 为BC 的中点，故，又，∴，∴四边形EFHC 为平行四边形， ∴EG ∥FH ，而EG 平面EDB ，∴FH ∥平面EDB 。
(Ⅱ)证明：由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC ，又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC ，而EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC ，∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH ， 又BF=FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC ，∴FH ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥AC ，又FH ∥EG ，∴AC ⊥EG ，又AC ⊥BD ，EG ∩BD=G ，∴AC ⊥平面EDB 。
必修二点、直线、平面位置关系基础练习题
点、直线、平面之间位置关系基础练习题一、单选题1.在四面体ABCD中，AD=BC，且AD⊥BC，E，F分别为AB，CD的中点，则EF与BC所成的角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中正确的是()A. 若m⊂α，n⊂β，m//n，则α//βB. 若m⊂α，n⊂β，α//β，则m//nC. 若m⊂α，n⊂β，α//β，且m，n共面，则m//nD. 若m//n，m//α，n//β，则α//β3.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A. PA=PB=PCB. PA≠PB≠PCC. PA=PB>PCD. PA=PB<PC第II卷（非选择题）二、解答题（本大题共14小题，共168.0分）4.如图，P是四边形ABCD所在平面外一点，四边形ABCD是∠DAB=60°，且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．5.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，O为AB的中点，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60∘．(1)证明：AB⊥平面A1OC;(2)若AB=CB=2，OA1⊥OC，求三棱锥A1−ABC的体积．6.如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN//平面PAD．7.如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点.求证：PD//平面MAC．8.如图，P为▱ABCD所在平面外的一点，M，N分别为AB，PD的中点.求证：MN//平面PBC．9.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC．(1)证明：CD⊥平面PAC；(2)若E为AD的中点，求证：CE//平面PAB．10.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：平面BDE⊥平面PAC;(2)当PA//平面BDE时，求三棱锥E−BCD的体积．11.四棱锥P−ABCD中底面ABCD是矩形，M是PB的中点，PO⊥平面ABCD，AB=2,BC=1,PO=√3(1)求证：AB⊥平面PAD；(2)求三棱锥B−DMC的体积．12.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M为PC中点，且∠PAB=∠PDC=90°．(1)证明：PA//平面BDM；(2)证明：平面PAB⊥平面PAD．13.如图，在四棱锥P−ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=2，AD=4，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F．(1)求证：EF//AB；(2)求三棱锥P−AEF的体积．14.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．(1)证明：PA//平面MNC；(2)求三棱锥P−MNC的体积．15.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面为正方形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面PCD．(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD：(2)若AB=2，Q为线段的中点，求三棱锥Q−PCD的体积．16.如图，在三棱锥V−ABC中，平面VAB⊥平面ABC，ΔVAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=√2，O，M分别为AB，VA的中点。
第二章点、直线、平面之间的位置关系练习题及答案
第二章 《点、直线、平面之间的位置关系》一、选择题1． 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα；②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⋂⊂⊂ 其中为假命题的是A ．①B ．②C ．③D ．④2.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||；③若βα||，α⊂l ，则β||l ；④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，则m ||其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ；②若βααβγα//,,则⊥⊥； ③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂；④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂。
其中真命题是A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④4．已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是A ．若//l m ，//m n ，则//l n .B ．若l α⊥，//n α，则l n ⊥.C ．若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥.D ．若//l α，//n α，则//l n .5．在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是 A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC 6．有如下三个命题：①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直． 其中正确命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 7．下列命题中，正确的是 A ．经过不同的三点有且只有一个平面 B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D ．垂直于同一个平面的两个平面平行8．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题：①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题： ①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//； ③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有A ．18对B ．24对C ．30对D ．36对 11．正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 12．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个 13．设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是A ．l m l ⊥=⋂⊥,,βαβαB ．γβγαγα⊥⊥=⋂,,mC ． αγβγα⊥⊥⊥m ,,D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,,14．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么A ．①是真命题，②是假命题B ． ①是假命题，②是真命题C ． ①②都是真命题D ．①②都是假命题 15．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β， 其中，可以判定α与β平行的条件有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题1．已知平面βα,和直线m ，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//.（i ）当满足条件 时，有β//m ；（ii ）当满足条件 时，有β⊥m （填所选条件的序号）2．在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号） 3．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是____________．（写出所有真命题的编号）4．已知m 、n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题：①若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n②若,,//,//,m n m n αββ⊂则//αβ③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④m 、n 是两条异面直线，若//,//,//,//,m m n n αβαβ则//αβ上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号)5． 已知m 、n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题：① 若//m α，则m 平行于平面α内的任意一条直线② 若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④若//,m αβα⊂,则//m β上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号)6．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号） ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形三、计算题1． 如图1所示，在四面体P —ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=342.F 是线段PB 上一点，341715=CF ，点E 在线段AB 上，且EF ⊥PB. （Ⅰ）证明：PB ⊥平面CEF ； （Ⅱ）求二面角B —CE —F 的大小.2. 已知正三棱锥ABC P -的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为 60。
2020年高考数学必刷题《34 空间点、线、面的位置关系》(解析版)
专题八 立体几何34 空间点、线、面的位置关系1．空间中可以确定一个平面的条件是 A ．三个点 B ．四个点 C ．三角形D ．四边形【答案】C【解析】在A 中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A 错误； 在B 中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B 错误；在C 中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C 正确； 在D 中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D 错误. 2．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行【答案】C【解析】若 与 ， 都不相交，则 与 ， 都平行. 根据公理4，则 ，与 ， 异面矛盾. 故直线c 一定至少与a b ，中的一条相交.3．已知 ， 是异面直线，直线 平行于直线 ，那么 与 A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能．．．是相交直线 D ．不可能．．．是平行直线 【答案】D【解析】∵直线a 与b 是异面直线，直线c ∥a ，∴直线b 和c 有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上， 如果b 和c 在同一平面上，二者的位置关系为相交； 如果b 和c 不在同一平面上，二者的位置关系为异面．如果b ∥c ，则a ∥b ，与已知a ，b 是异面直线矛盾，故答案为D. 4．已知直线 和平面 ，若 ， ，则过点 且平行于 的直线 A ．只有一条，不在平面 内 B ．只有一条，且在平面 内 C ．有无数条，一定在平面 内 D ．有无数条，不一定在平面 内【答案】B【解析】假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n ，则m ∥l 且n ∥l ， 由平行公理得m ∥n ，这与两条直线m 与n 相交于点P 相矛盾， 故过点 且平行于 的直线只有一条，又因为点P 在平面内，所以过点P 且平行于l 的直线只有一条且在平面内． 故选B.5．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 1【答案】D【解析】只有11B C 与EF 在同一平面内，是相交的，其他A ，B ，C 选项中的直线与EF 都是异面直线，故选D ．6．如图所示，平面 平面 ， ， ， ， ，则平面 和平面 的交线是A ．直线B ．直线C ．直线D ．直线ABC D E F A 1B 1C 1D 1【答案】D【解析】∵l α⊂， ，∴ ， 又 ，∴CD α⊂．又 在平面 内，∴ 为平面 与平面 的交线．故选D. 7．设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么 A ．直线l 不平行于直线m B ．直线l 与直线m 异面 C ．直线l 与直线m 没有公共点 D ．直线l 与直线m 不垂直【答案】C【解析】∵直线l 与平面α平行，∴由线面平行的定义可知：直线l 与平面α无公共点， 又直线m 在平面α上， ∴直线l 与直线m 没有公共点， 故选C ．8．在空间四边形 的边 ， ， ， 上分别取 ， ， ， 四点，如果 ， 交于一点 ，则 A ． 一定在直线 上 B ． 一定在直线 上C ． 一定在直线 或 上D ． 既不在直线 上，也不在直线 上 【答案】B【解析】由题意， ， 相交于点 ，则点 ，且 ， 又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，且 平面 ， 则点 必在平面 与平面 的交线上，即点 一定在直线 上． 故选 ．9．空间中A B C D E ，，，，五点不共面，已知A B C D ，，，在同一平面内，B C D E ，，，在同一平面内，那么B C D ，，三点 A ．一定构成三角形 B ．一定共线 C ．不一定共线D ．与AE ，共面 【答案】B【解析】设平面ABCD 为α，平面BCDE 为β，且A B C D E ，，，，不共面，则,BC CD αα⊂⊂，,BC CD ββ⊂⊂，则,αβ必相交于直线l ，且,,B l C l D l ∈∈∈，故B C D ，，三点一定共线且位于平面ABCD 与平面BCDE 的交线上. 故选B.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为A ．23-B ．53 C ．23D ．255【答案】C【解析】如图，连结BE ，∵在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点， ∴CD AB ∥，∴BAE ∠是异面直线AE 与CD 所成的角（或所成角的补角）， 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 则2AB =，415BE =+=，AB BE ⊥，则22453AE AB BE =+=+=，∴异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为2cos 3AB BAE AE ∠==. 故异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为23． 故选C ．11．平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等且不为零，则 与 的位置关系为 _____ .【答案】平行或相交【解析】若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行； 若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交． 故 与 的位置关系为平行或相交.12．若直线 和平面 平行,且直线 ,则两直线 和 的位置关系为 _____ . 【答案】平行或异面【解析】由条件可知直线 和 没有公共点,故直线 和 的位置关系为平行或异面.13．若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交【答案】D【解析】可用反证法. 假设l 与1l ，2l 都不相交，因为l 与1l 都在平面 内，于是1l l ∥，同理2l l ∥，于是12l l ∥，与已知矛盾，故l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选D ．14．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．若 ， ，则B ．若 ， ，则C ．若 ， ，则D ．若 ， ，则【答案】D【解析】对于A ，若 ，则m ，n 可能相交、平行、异面，A 错； 对于B ，若 ，则 、 可能相交、平行，B 错； 对于C ，若 ，则 、 可能相交、平行，C 错；对于D ，若 ，根据线面垂直的性质定理可得 ，D 正确. 故选D.15．设,a b 是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线,a b 的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线,a b 的两个平行平面；③经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线b ；④经过直线a 有且只有一个平面平行于直线b ，其中正确的个数有 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】对于①，可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确；对于②，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确；对于③，当这两条直线不是异面垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误；对于④，假设过直线a有两个平面α、β与直线b平行，则平面α、β相交于直线a，过直线b作一平面γ与平面α、β相交于两条直线m、n，则直线m、n相交于一点，且都与直线b平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，所以假设不成立，所以④正确.故选C．16．我国古代《九章算术》里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中尺，尺，尺，间的距离为尺，间的距离为尺，则异面直线与所成角的正弦值为A．9130130B．7130130C．97D．79【答案】B【解析】过点作，如图：根据题意知，所以是异面直线与所成的角，又因为 尺， 尺，且侧面为等腰梯形，则 尺， 间的距离为 尺，故 尺，由勾股定理得 尺， 所以77130sin 130130FDC ∠==. 故选B.17．在长方体1111ABCD A B C D -中，O 是DB 的中点，直线1A C 交平面1C BD 于点M ，则下列结论正确的是①1C 、M 、O 三点共线； ②1C 、M 、A 、C 四点共面； ③1C 、O 、1B 、B 四点共面；④1D 、D 、O 、M 四点共面．A ．①②③B ．①②③④C ．①②D ．③④【答案】C【解析】∵O AC ∈，AC ⊂平面11ACC A ，∴O ∈平面11ACC A ， ∵O BD ∈，BD ⊂平面1C BD ，∴O ∈平面1C BD ， ∴O 是平面11ACC A 和平面1C BD 的公共点；同理可得，点M 和1C 都是平面11ACC A 和平面1C BD 的公共点，根据公理3可得1C 、M ，O 在平面11ACC A 和平面1C BD 的交线上，因此①正确． ∵11AA BB ∥，11BB CC ∥，∴11AA CC ∥,1AA ，1CC 确定一个平面，又1M A C ∈，1AC ⊂平面11ACC A ，∴M ∈平面11ACC A ，故②正确． 根据异面直线的判定定理可得1BB 与1C O 为异面直线，故1C 、O 、1B 、B 四点不共面，故③不正确． 根据异面直线的判定定理可得1DD 与MO 为异面直线， 故1D 、D 、O 、M 四点不共面，故④不正确． 故选C ．18．不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.（填序号） 【答案】①【解析】如图，三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.19．如图所示，若,,,G H M N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN 是异面直线的图形有_____________.（填序号）【答案】②④【解析】①中，GH MN ∥，③中，连接GM ，则GM HN ∥且GM HN ≠，故GH ，MN 必相交，②④符合题意.20．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD 是菱形且23AB BC ==，120ABC ∠=︒，若异面直线1A B 和1AD 所成的角为90︒，则1AA 的长为_____________.【答案】6【解析】如图，连接1CD AC ，.由题意得四棱柱1111ABCD A B C D -中，11∥A D BC ，11A D BC =， ∴四边形11A BCD 是平行四边形，11A B CD ∴∥，1AD C ∴∠（或其补角）为1A B 和1AD 所成的角.∵异面直线1A B 和1AD 所成的角为90︒，190AD C ∴∠=︒.∵四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD 是菱形，1△ACD ∴是等腰直角三角形，122AD AC ∴=.∵底面四边形ABCD 是菱形且23AB BC ==，120ABC ∠=︒，23sin 6026AC ∴=⨯︒⨯=，12322AD AC ==， ()()2222111132236AA AD A D ∴=-=-=.21．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35,,722MF BF BM ==∴=，BM EN ∴≠. 故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．22．（2018新课标全国Ⅱ理科）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56C ．55D ．22【答案】C【解析】用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面， 如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1=5DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得222111115455cos 2545DB B P DP DB P DB PB +-+-∠===⋅. 故选C.23．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．32B ．155 C ．105D ．33【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -， 则所求角为21111,2,21221cos603,5BC D BC BD C D AB ∠==+-⨯⨯⨯︒===，易得22211C D BD BC =+，因此111210cos 55BC BC D C D ∠===. 故选C ．【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．24．（2015安徽理科）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D【解析】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确； 由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线，故C 不正确；由D ，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确. 所以选D.25．（2016新课标全国Ⅰ理科）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD =m ，αI 平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A ．32B ．22C ．33D ．13【答案】A【解析】如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，因为α∥平面11CB D ，所以','m m n n ∥∥，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角. 过1D 作11D E B C ∥，交AD 的延长线于点E ,连接CE ，则CE 为'm . 连接1A B ，过B 1作111B F A B ∥，交1AA 的延长线于点1F ，则11B F 为'n . 连接BD ，则111,BD CE B F A B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，为60︒， 故,m n 所成角的正弦值为32， 选A.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.26．(2017新课标全国Ⅲ理科) a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③【解析】设1AC BC ==.由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B ，作BD a ∥，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴∥，连接AD ，等腰ABD △中，2AB AD ==,当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠=，故2BD =，又在Rt BDE △中，2,2BE DE =∴=，过点B 作BF ∥DE ，交圆C于点F ，连接AF ，由圆的对称性可知2BF DE ==,ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠=，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，则直线AB 与a 所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.。
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点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习
1、 平面L =⋂βα，点βαα∈∈∈C B A ,,，且L C ∈，又R L AB =⋂，过
A 、
B 、
C 三点确定的平面记作γ，则γβ⋂是（ ）
A ．直线AC
B ．直线B
C C ．直线CR
D ．以上都不对
2、空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．1或4
D ．无法确定
3、在三角形、四边形、梯形和圆中，一定是平面图形的有 个
4、正方体1111D C B A ABCD -中，P 、Q 分别为11,CC AA 的中点，则四边形PBQ D 1是（ ）
A ．正方形
B ．菱形
C ．矩形
D ．空间四边形
5、在空间四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若AC=BD ， 且BD AC ⊥，则四边形EFGH 为
6、下列命题正确的是（ ）
A ． 若βα⊂⊂b a ,，则直线b a ,为异面直线
B ． 若βα⊄⊂b a ,，则直线b a ,为异面直线
C ． 若∅=⋂b a ，则直线b a ,为异面直线
D ． 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线
7、在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有
公共点，则这两条直线是异面直线，以上两个命题中为真命题的是
8、过直线L 外两点作与直线L 平行的平面，可以作（ ）
A ．1个
B ．1个或无数个
C ．0个或无数个
D ．0个、1个或无数个
9、b a //，且a 与平面α相交，那么直线b 与平面α的位置关系是（ ）
A ．必相交
B ．有可能平行
C ．相交或平行
D ．相交或在平面内
10、直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ）
A ．一条直线不相交
B ．两条直线不相交
C ．任意一条直线不相交
D ．无数条直线不相交
11、如果两直线b a //，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．α//b
C ．α⊂b
D ．α//b 或α⊂b
12、已知直线a 与直线b 垂直，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）
A ．α//b
B ．α⊂b
C ．b 与平面α相交
D ．以上都有可能
13、若直线a 与直线b 是异面直线，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）
A ．α//b
B ．b 与平面α相交
C ．α⊂b
D ．不能确定
14、已知//a 平面α，直线α⊂b ，则直线a 与直线b 的关系是（ ）
A ．相交
B ．平行
C ．异面
D ．平行或异面
15、平面⋂α平面a =β，平面⋂β平面b =γ，平面⋂γ平面c =α，若b a //，
则c 与b a ,的位置关系是（ ）
A ．c 与b a ,异面
B ．c 与b a ,相交
C ．c 至少与b a ,中的一条相交
D ．c 与b a ,都平行
17、正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，求异面直线1BD 和11C B 所成的角的余弦值
18、已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：
AM //面EFG
19、在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1DD 的中点，求证：1BD ∥面AEC
20、在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为BC 、11D C 的中点，
求证：EF//平面11B BDD
21、已知在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是11,CC AA 的中点，求证：
平面//BDF 平面E D B 11
23、如图，四边形ABCD 是矩形，∉P 面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于E ， 交DP 于F ，求证：四边形BCFE 是梯形
点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习答案
1、C
2、C
3、3
4、B
5、正方形
6、D
7、①
8、D （提示：当α⊂L 时，就为 0个）
9、A 10、C 11、D 12、D 13、D 14、D 15、D 16、1 17、
3
3 18、提示：连结MD 交GF 于H ，则点H 为MD 的中点
19、提示：连接BD 交AC 于点O ，连接EO ，则EO//1BD ，又⊂EO 面AEC ， 故1BD //面AEC
20、提示：取11D B 的中点为1O ，连接11,BO FO ，则BE FO //1且BE FO =1，则 四边形1BEFB 是平行四边形，故EF BO //1
21、提示：11//D B BD ，取1BB 的中点H ，连接EH ，H C 1，有EH D C EH D C =1111,// 所以四边形11D EHC 是平行四边形，所以E D H C 11//，又BF H C //1， 所以BF E D //1
22、分析：因为1BB //⊄11,BB CC 面11C CDD ，所以1BB //面11C CDD
23、分析：因为AD BC //，所以BC//面ADP ，所以BC//EF ，所以EF//AD ，但EF 的长度 小于AD 的长度，而AD BC =，所以EF 的长度小于BC 的长度。