高等数学D8_5隐函数求导.
高等数学-隐函数的求导法则
第五节 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有d d x yF yx F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入(,)0F x y =，得恒等式(,())0F x f x ≡，等式两边对x 求导得d 0d F F y x y x∂∂+=∂∂， 由于0y F ≠ 于是得d d x yF yx F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x∂∂=-+-⋅∂∂ 22()x x y y x xx y y y y xxy y yF F F F F F F F F F F F --=---2232x x y x y x y y y x yF F F F F F F F-+=-．例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =，并求22d d ,00d d y yx x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠．因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =．d 0d y x x =0x y F x F =-=e 10,0cos x yx y y x -=-=-==-，22d 0d y x x = d e ()0,0,1d cos x yx y y x y x -=-'===-- 0201(e )(cos )(e )(sin 1)(cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----⋅-=--3=-．隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有x z F z x F ∂=-∂，y zF zy F ∂=-∂． 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入(,,)0F x y z =， 得(,,(,))0F x y f x y ≡，将上式两端分别对x 和y 求导，得0=∂∂⋅+xz F F z x ， 0=∂∂⋅+y z F F z y ．因为z F 连续且000(,,)0z F x y z ≠，于是得x z F z x F ∂=-∂， y zF zy F ∂=-∂． 例2 设22240x y z z ++-=，求22zx∂∂．解 设222(,,)4F x y z x y z z =++-，则2x F x =，24z F z =-，2242x z F z x x x F z z∂=-=-=∂--，2222223(2)(2)()(2)2(2)(2)(2)z xx xx x zx x x z xz z z ∂-+-+∂-+∂-===∂---． 二、方程组的情形在一定条件下， 由方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩ 可以确定一对二元函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩， 例如方程0xu yv -=和1yu xv +=可以确定两个二元函数22y x yu +=，22y x x v +=． 事实上，0xu yv -=u y x v =1=⋅+u yx x yu 22y x yu +=， 2222yx x y x yy x v +=+⋅=． 下面讨论如何由组求u ，v 的导数．隐函数存在定理3 设(,,,)F x y u v ，(,,,)G x y u v 点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v =，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi ）行列式）(,)(,)FF FG u v J G G u v uv∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂ 在点0000(,,,)P x y u v 不等于零，则方程组(,,,)0F x y u v =，(,,,)0G x y u v =，在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，． 它们满足条件000(,)u u x y =，000(,)v v x y =，且有1(,)(,)xvxv u v u v F F G G u F G F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)ux u xu v uvF FG G v F G F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂， 1(,)(,)yv y vu v uv F F G G u F G F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)u yu y u v u vF FG G v F G F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂． 说明：方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组中各方程两边求偏导数，然后解关于各偏导数的方程组，其中偏导数xu ∂∂，x v ∂∂由方程组0,0x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩确定；偏导数yu ∂∂，y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y vG y u G G yv F y u F F v u y v u y 确定．例3 设0xu yv -=，1yu xv +=，求u x ∂∂，v x∂∂，uy ∂∂和v y ∂∂．解 两个方程两边分别对x 求偏导，得关于u x ∂∂和vx∂∂的方程组 00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22v yu xvx x y ∂-=∂+． 两个方程两边分别对y 求偏导，得关于u y ∂∂和vy∂∂的方程组 00uv x v y y y u v u y x y y ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 另解 将两个方程的两边微分得d d d d 0d d d d 0u x x u v y y v u y y u v x x v +--=⎧⎨+++=⎩，，即d d d d d d d d x u y v v y u x y u x v u y v x -=-⎧⎨+=--⎩，． 解之得2222d d d xu yv xv yu u x y x y x y +-=-+++，2222d d d yu xv xu yvv x y x y x y-+=-++． 于是22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v yu xv x x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 例 设函数(,),(,)x x u v y y u v ==在点(,)u v 的某一领域内连续且有连续偏导数，又(,)0(,)x y u v ∂≠∂． 1） 证明方程组(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩ 在点(,,,)x y u v (的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==．2）求反函数(,),(,)u u x y v v x y ==对,x y 的偏导数． 解 1）将方程组改写成下面的形式(,,,)(,)0(,,,)(,)0F x y u v x x u v G x y u v y y u v ≡-=⎧⎨≡-=⎩，，则按假设 (,)(,)0(,)(,)F G x y J u v u v ∂∂==≠∂∂，由隐函数存在定理3，即得所要证的结论．2）将方程组所确定的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==代入原方程组，即得[(,),(,)][(,),(,)].x x u x y v x y y y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩，将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得10.x u x v u x v xy u y v u x v x ∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪⎪∂∂∂∂⎨∂∂∂∂⎪=⋅+⋅⎪∂∂∂∂⎩， 由于0J ≠，故可解得1u y x J v ∂∂=∂∂， 1v yx J u∂∂=-∂∂． 同理，可得1u x y J v ∂∂=-∂∂， 1v x y J u∂∂=∂∂． .。
隐函数的求导方法
515313 秦富平 蒋俊奇 曹宵
隐函数
• 隐函数的求导方法是对形如F（x，y）=0确定的隐函数， 首先将方程两端对x求导，在求导过程中的y看成是x的函 数，y的函数看成是x的复合函数，最后利用复合函数的求 导法则求出y对x的导数的一种方法。
隐函数的求导方法是对形如F（x，y）=0确定的隐函数， 首先将方程两端对x求导，在求导过程中的y看成是x的函 数，y的函数看成是x的复合函数，最后利用复合函数 的求导法则求出y对x的导数的一种方法。
对x求导 关键词： 把y看成x的函数 y的函数看成x的复合函数
Байду номын сангаас
例题
求隐函数xe +e =0的导数dy/dx 解：方程两端对x求导 y y x e +xe y'+e =0 xeyy'=-ey-ex y x y 解得： dy/dx=-(e +e )/xe
y x
牢记关键词 从此比怕隐函数
《隐函数的求导》课件
4. 以此类推，直到求出想要的阶数导数
通过以上方法，我们可以求出任意阶数的隐函 数导数。
举例
例1：$x^2+y^2=25$
解析一个关于圆的隐函数，通过 求导得到圆上某点的切线斜率。
例2：$xy=x+y$
研究一组直线的交点，通过求导 找到斜率和截距的关系。
例3：$sin(xy)=cos(x-y)$
解析一个三角函数的隐函数，通 过求导得到函数的性质。
求导过程中的注意事项
1 求导法则的运用
合理运用导数的基本法则，简化求导过程。
2 链式法则Βιβλιοθήκη 运用当隐函数中包含复合函数时，要运用链式法则。
3 积、商、加、减法则的运用
当隐函数的表达式包含多个运算符时，要适当运用相关法则。
总结
隐函数求导的基本方法
通过求导的步骤，我们可以 得到隐函数关于自变量的导 数。
《隐函数的求导》PPT课件
# 隐函数的求导 ## 前言 - 隐函数概述 - 隐函数存在的意义
隐函数求导的基本方法
1. 求一阶导数
通过求函数的一阶导数，找到隐函数关于自变 量的导数。
2. 利用一阶导数和式子本身求二阶导数
通过一阶导数和隐函数表达式，求出二阶导数。
3. 利用二阶导数和式子本身求三阶导数
求导过程中的注意事项
合理运用求导法则以及链式 法则，简化求解的过程。
练习题
通过练习题进一步巩固对隐 函数求导的理解与应用。
隐函数求导法【高等数学PPT课件】
同理,将各方程两边对y求偏导, 可得
例1 设
求
解 将所给方程的两边对x求偏导
例2. 设 函数
有连续的一阶偏导数 ,又 分别由下列两式确定 :
(2001考研)
解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得
解得 因此
第5节 隐函数存在定理
一、一个方程的情形
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
隐函数存在定理1
若满足下列条件：
则在点P0 的某邻域
内, 方程
能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数
，并有
隐函数的求导公式
例1. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
解: 令 ① ②
则 连续 ,
③
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数
且
导数的另一求法 — 利用隐函数求导 两边对 x 求导 两边再对 x 求导 令 x = 0 , 注意此时
隐函数存在定理2
则在点P0 的某邻域
内, 方程
能唯一确定一
例2. 设 解法1 利用隐函数求导
再对 x 求导
解法2 设 则
利用公式
两边对 x 求偏导
注:
也可确定y是x、z的函数，
及x是y、z的函数，此
时
例3 求 的全微分.
解法1 用公式,令
确定的函数
所以
解法2 将方程两边分别对x、y求偏导：
例4
由方程
D8.5 隐函数的求导公式
21第五节 隐函数的求导公式一、填空题1．设(,)z x y 为由方程22ln()0xz xyz xyz -+=确定的函数，则zx∂=∂z x -.2．设方程2210x y +-=确定了一个隐函数()y f x =，则22d d x yx==1±.二、单项选择题1．设(,)0x az y bz φ--=，则z zab x y∂∂+=∂∂ D . A ．a B ．b C ．-1 D ．1 提示：方程两边同时对x 求导：1210z z ab x x φφ∂∂⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭，同时对y 求导：1210z z ab y y φφ⎛⎫⎛⎫∂∂-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭；所以121212,z z x a b y a b φφφφφφ∂∂==∂+∂+，代入所求表达式化简，得D2．设e e e z y x z x y =+,则zy∂=∂ D . A ．e e (1)e y x z y z ++ B ．e e (1)e x y z x z +- C ．e e (1)e y x z y z -- D ．e e (1)ex y zx z ++ 3．设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数，其中,f F 具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，则d d zx= A . A ．()y x y zxf f F xf F F xf F ''+-'+，(0)y z F xf F '+≠B ．()y z y xF xf F xf f F xf F '+''+-,()()0y x xf f F xf F ''+-≠C ．()x yy zxf F xf f F F xf F ''-+'+,(0)y z F xf F '+≠22 D ．y xy zf F xf F F xf F ''-'+,(0)y z F xf F '+≠提示：方程组()(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩两边同时对x 求导，得d d ()()1d d d d 0d d x y z z y f x y xf x y x x y z F F F x x ⎧⎛⎫'=++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪++=⎪⎩，解之得：d d z x =()y x y zxf f F xf F F xf F ''+-'+三、计算题1．方程xyz =(,)z z x y =，求在点(1,0,1)-处的全微分.解：令(,,)F x y z=xyz则x F yz =y z F xz F xy ==+x zF zx F ∂=-=∂ 从而(1,0,1)1zx-∂=∂；y z F z y F ∂=-=∂从而(1,0,1)zy -∂=∂所以(1,0,1)d d z x y -=．2．设333z xyz a -=，求2zx y∂∂∂.解：令33(,,)3F x y z z xyz a =--，则3x F yz =-，3y F xz =-，233z F z xy =-；2x z F z yz x F z xy ∂∴=-=∂-，2y z F z xzy F z xy∂=-=∂-； ()()222222z z z y z xy yz z x y y z yz x y y z xy z xy ⎛⎫⎛⎫∂∂+--- ⎪ ⎪∂∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭== ⎪∂∂∂--⎝⎭23()()222222xz xz z y z xy yz z x z xy z xy z xy ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=-()5322322z xyz x y z z xy --=-．3．由cos v x u u =，sin v y u u =可确定(,)u u x y =，(,)v v x y =，求ux∂∂． 解：由题意知，222x y u +=，对方程两边对x 求偏导，得22u x u x ∂=∂，u xx u∂∴=∂．或：将方程组cosv x u u =，sin vy u u=两边同时对x 求导，得 cos sin sin 1,sin cos cos 0v v v u v vu u u x u x v v v u v v u uu x u x ⎧∂∂⎛⎫+⋅-⋅= ⎪⎪∂∂⎪⎝⎭⎨∂∂⎛⎫⎪-⋅+⋅= ⎪⎪∂∂⎝⎭⎩解方程组得 1sin0coscos .cos sin sinsin cos cos vu vu v x u v v v v x u u u u u u v v v v u u u u-∂===∂+--。
高等数学第8章五节隐函数的求导公式最终
3
引例:已知
e
x y
xy 0 确定 y y( x ), 求 y( x )
e
x y
(1 y) (y xy) 0
注意此方程能确定一个一元函数，是在y可导的前 提下进行的． 并不一定都能确定一元 函数．
10
练习P102 2
y dy 已知 ln x y arctan , 求 . x dx
2 2
解
公式法
令 F ( x , y ) ln x 2 y 2 arctan y , x x y y x , Fy ( x , y ) 2 , 则 Fx ( x , y ) 2 2 2 x y x y x y dy Fx . y x dx Fy
x2 y2 z2 解 法一 公式法 令 F ( x , y , z ) 2 2 2 1 a b c 2x 2z 则 Fx 2 , F y 2 y , Fz a b2 c2
z c x 2 , x a z
2
c y z 2 b z y
2
( z 0)
在求Fx , Fy, Fz时, 将F(x, y, z)看作是 x, y, z的三个自变量的函数.
能确定
dy 一个隐函数y = f (x), 并求 . dx
x y 记 证 F ( x, y ) xy e e , 则
Fx ( x , y ) y e x 与Fy ( x , y ) x e y
隐函数存在定理1
隐函数 y = f (x), 且
x dy Fx ye . y dx Fy xe
dy Fx ( x , y ) dy Fx . 或简写: dx Fy ( x , y ) dx Fy
8-5隐函数的求导公式
定理4 定理 设 F ( x , y , u, v ) , G ( x , y , u, v ) 在某一 U ( P0 )
偏导数， 内有连续 偏导数，且 F ( P0 ) = 0, G ( P0 ) = 0, 且
Fu ∂(F ,G ) J P= = 0 ∂ ( u, v ) P0 G u Fv G v P0
偏导数， 内有连续 偏导数，且 F ( P0 ) = 0, G ( P0 ) = 0, Fy Fz ∂(F ,G ) J = 雅可比式） P0 ∂ ( y , z ) P= G y G z P ≠ 0 （雅可比式） 0 0 则
F ( x, y, z ) = 0 （1）在某一 U ( P0 )内，由 ） G ( x , y , z ) = 0 y = y( x ) ⇒ 单值且具有连续导数的函数 z = z ( x ) 单值且具有连续导数的函数 y = y( x ) y0 y( x0 ) （2） P0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 满足 ） z( x0 ) z = z ( x ) z0
J
Fu Fy v ∂v ∂(F ,G ) ∂(F ,G ) =− =− y ∂ ( u, v ) ∂ ( u, v ) Gu Gy y ∂y
J
例5
8-5第五节隐函数求导法-PPT课件
y
1 G ( x y )
dy F G ( x y ) x . dx F 1 G ( x y ) y
2 d y G ( x y ) ( 1 y )[ 1 G ( x y )] G ( x y ) G ( x y ) ( 1 y ) 2 2 d x [ 1 G ( x y )]
Fz ( x0, y0, z0 )≠0则方程F(x,y,z)=0在
的函数z=f(x,y),它满足条件
z f( x ,y )且有 0 0 0
z F z F y x , .( 4 ) x F y F z z
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
设函数F(x,y,z)在点 与(2)类似.我们只推导公式(4).因为 F[x,y,f(x,y)]=0 对上式求 x,y的偏导数.得到 由于Fz连续,且
知道它可导在上述的式子对x两端求导,得到
F Fdy dy F 0 x x y dx dx F y
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
函数F(x,y)在点(x0 ,y0 )的某一邻域内具有连续偏 导数,且 F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)≠0
高 等 若F具有二阶连续偏导数,则(2)可对x再求导,得到y xx 数 学 2 2 电 例2 求由方程2x +y =1 所确定的隐函数y=f(x)的一阶和二阶导数. 子 F dy 2 x 2 2 x F ( x , y ) 2 x y 1 , F 4 x , F 2 y . x y 教 dx F y y 案 2 x
高 等 数 学 电 子 教 案
一个隐函数,另外,以前的隐函数求导方法,必须知道F(x,y) 的具体表达式,才能求出y对x的导数. 下面我们研究隐函数存在定理 隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点(x0 ,y0 )的某一邻域 内具有连续偏导数,且 F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)≠0; 则方程(1) 在(x0 ,y0 )的某一邻域内能唯一确定一个可导且具有连续导