高等数学 隐函数求导
《高等数学》课件5第五节 隐函数的求导公式 ppt
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数,
② F( x0 , y0 , z0 ) 0,
③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F( x, y, z) 0在点
某一邻域内可唯一确定
一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
并有
z Fx , x Fz
定理证明从略.
它满足条件 y(0) 1, 且
dy Fx x .
dx Fy y y = y (x)
d2 y dx 2
d dx
(
x) y
y
x
y2
y
y
x( y2
x) y
1 y3
,
dy 0,
dx x0
y1
d2 y dx2 x0 1.
y1
II. F( x, y, z) 0
定理2. 若函数 F ( x, y, z) 满足:
zz
zz
fu du fv dv 0
x fu d( z )
fv
d( y ) z
0
f1
(
z
d
x z2
x
dz
)
f2
(
zd
y
z2
y
dz
)
0
x f1 y f2 z2
dz
f1d x f2 d y z
dz z f1 d x z f2 d y
x f1 y f2
x f1 y f
z z F1 , x x F1 y F2
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
有隐函数组
则
GF
对 x 求导
Fx
高等数学9_6隐函数求导
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x)
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x 0
ex cos
y y
x
(0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2y dx2
x 0 3
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定理2 . 若函数 F(x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F(x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0 ) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
z Fx , z Fy x Fz y Fz
化简得
x f dy
F2 dy 消去d y 可得 dz .
dx
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第六节 隐函数的求导方法
一、由一个方程所确定的隐函数 的求(偏)导公式
二、由方程组所确定的隐函数组 的求(偏)导法则
三、全微分法
本节讨论 :
1) 方程（组）在什么条件下才能确定隐函数 . 2) 在方程（组）能确定隐函数时,研究其连续 性、可微性及求(偏)导方法问题 .
一、由一个方程所确定的隐函数的求导公式
dy dx
Fx x 0 Fy
x
0
ex y cos y x
d2y dx2 x 0
d ( ex y ) dx cos y x
x 0, y 0
( ex y)(cos y x) (ex y)(sin y y 1)
隐函数的求导法则
隐函数的求导法则在高等数学中，人们经常要研究使用函数表示不明确的关系的问题。
具有x和y两个自变量的方程通常也称为隐函数。
在这种情况下，求导的方法与单变量函数的情况有所不同。
假设我们有一个方程f(x,y)=0代表一个隐函数。
如果我们将y表示为x的函数，那么我们可以使用求导规则计算dy/dx。
我们用y=f(x)来代表意味着y是x的函数，在这种情况下，我们可以将原始方程看成f(x,f(x))=0。
现在我们需要将它们进行求导：通过链式法则，我们得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 0解决方程，我们可以得到dy/dx：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y)这就是隐函数的求导法则。
现在我们来看几个例子。
例子1：考虑方程x^2+y^2 = 1，代表一个圆形。
假设我们需要求通过点(0.5,0.866)的圆的斜率。
我们可以通过对方程隐式地求导来解决这个问题。
从方程中得到：2x + 2y * dy/dx = 0这个时候，我们用点(0.5,0.866)代入求导公式：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y) = -x/y = -0.577例子2：考虑方程x^2+y^2+z^2 = 1，代表一个球。
假设要求通过点(0.5, 0.866, 0)的球的切平面。
我们如何确定这个平面的法向量？这里我们可以思考什么会构成法向量：从点(0.5, 0.866, 0)向球的中心(0,0,0)所成的向量，然后我们将这个向量投影在切平面上。
我们可以通过隐函数求导的方法来找到它的方向。
从方程中得到：2x + 2y * dy/dx + 2z * dz/dx = 0我们需要知道dz/dx的值，但只有两个自变量，我们该怎么办？我们可以再次隐式地求导。
我们有这样的等式：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx + ∂f/∂z * dz/dx = 0将方程放入这个等式，我们得到：(1) + y * dy/dx + z * dz/dx = 0然后再用我们之前求出的dy/dx代替，得到：(1) + y * (-x/y) + z * dz/dx = 0然后代入我们想要的点，我们得到：dz/dx = -x * z/y = (-0.5) * 0/0.866 = 0现在我们知道了dz/dx = 0。
高等数学 第八章 第4节 隐函数的求导公式
求导， 将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
∂u xv − yu , = 2 2 ∂y x + y
∂v xu + yv . =− 2 2 x +y ∂y
18
x + y + z = 0 du 例6 u = sin xy , 且 2 2 2 , 求 . dz x + y + z = 1
解 : 方程组对 求导 方程组对z
1(1)(3),2,3,4
B组 组
1,3
思考题
x y 为可微函数， 已知 = ϕ ( ) ，其中ϕ 为可微函数， z z ∂z ∂z 求x + y =? ∂x ∂y
22
思考题解答
1 则 Fx = ， z −x y (− y ) y 1 Fy = −ϕ ′( ) ⋅ , Fz = 2 − ϕ ′( ) ⋅ 2 , z z z z z y − zϕ ′ ( ) Fy ∂z ∂z Fx z z , =− = , =− = Fz x − yϕ ′( y ) Fz x − yϕ ′( y ) ∂y ∂x z z
F ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) = 0 ∴ G ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) = 0 方程组对x 方程组对 求偏导
∂u ∂v Fx + Fu ∂x + Fv ∂x = 0 G + G ∂u + G ∂v = 0 u v x ∂x ∂x
19
三、小结
（分以下几种情况） 隐函数的求导法则 分以下几种情况）
(1) F ( x , y ) = 0
( 2) F ( x , y , z ) = 0
高数隐函数求导公式
高数隐函数求导公式好嘞，以下是为您生成的关于“高数隐函数求导公式”的文章：在咱们学习高等数学的这个大“战场”上，隐函数求导公式就像是一把神秘又厉害的武器。
我记得有一次给学生们讲这部分内容的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这隐函数求导咋就这么难理解呢？”当时我就笑了，跟他说：“别着急，咱们一步步来，你会发现它其实也没那么可怕。
”咱们先来说说啥是隐函数。
比如说，方程$x^2 + y^2 = 1$，你没法直接把$y$写成关于$x$的显式表达式，但它确实确定了$x$和$y$之间的关系，这就是隐函数。
那隐函数求导公式到底是啥呢？假设我们有一个隐函数$F(x, y) = 0$，对$x$求导的时候，要记住$y$是$x$的函数。
就拿方程$x^2 + y^2 - 1 = 0$来说吧。
对$x$求导，左边就是$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$，然后就能解出$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$。
在实际做题的时候，大家可别被那些复杂的式子给吓住。
比如说有个题是这样的：$e^{xy} + \sin(xy) = 0$，要求对$x$求导。
这看起来是不是有点让人头疼？但别慌，咱们一步步来。
先对左边求导，$e^{xy}$的导数要用链式法则，先对整体求导是$e^{xy}$，再乘以$y + x\frac{dy}{dx}$；$\sin(xy)$的导数是$\cos(xy)\times (y + x\frac{dy}{dx})$。
整理一下，就能得出$\frac{dy}{dx}$的表达式。
学习隐函数求导公式的时候，大家一定要多动手练。
就像学骑自行车，刚开始可能会摇摇晃晃，但练得多了，自然就熟练了。
我曾经有个学生，一开始做隐函数求导的题目总是出错，但是他不气馁，每天都找我要几道题回去练，没过多久，他就掌握得特别好了，考试的时候这部分的题目几乎都没丢分。
总之，隐函数求导公式虽然有点复杂，但只要咱们掌握了方法，多做练习，就一定能把它拿下。
隐函数求导
隐函数求导隐函数求导是高等数学中的一种求导方法，用于求解含有隐含变量的函数的导数。
通常来说，给定一个方程，如果它不能够被显式地表示为y=f(x)的形式，那么我们就需要使用隐函数求导的方法来求解它的导数。
隐函数求导的基本思想是在方程两边同时求导，然后根据链式法则和隐函数导数定理进行推导，最后得到隐函数的导数表达式。
让我们以一个简单的例子来说明隐函数求导的过程。
假设有一个方程：x² + y² = 1。
这是一个圆的方程，但无法明确地表示y关于x的函数形式。
首先，我们对方程两边同时求导。
对于x²，我们可以直接得到导数为2x。
而对于y²，由于y是一个关于x的隐函数，我们需要使用隐函数求导的方法来求解。
这里我们使用隐函数导数定理，即(dy/dx) = - (dy/dx) / (dx/dy)。
将方程x² + y² = 1两边同时对x求导，得到2x + 2y(dy/dx) = 0。
然后解出(dy/dx)，得到(dy/dx) = -x/y。
这样，我们就得到了方程y² = 1 - x²的导数表达式(dy/dx) = -x/y。
通过这个例子，我们可以总结出求解隐函数导数的一般步骤：1. 对于给定的隐函数方程，通常是一个关于x和y的方程，需要对方程两边同时求导。
2. 对于显式函数，可以直接求导；而对于隐函数部分，需要使用隐函数导数定理求解。
3. 使用隐函数导数定理对隐函数部分进行求导时，需要注意使用链式法则，并考虑到隐函数对x的依赖关系。
4. 解出隐函数导数的表达式。
上述步骤只是隐函数求导的一般思路，实际应用中可能会遇到更加复杂的情况。
因此，我们需要根据具体问题的特点和条件来确定使用何种求导方法。
在实际问题中，隐函数求导的应用非常广泛。
例如，当我们研究物理学中的运动问题时，经常会遇到含有时间和位置的方程，这时就需要使用隐函数求导的方法来求解速度和加速度等相关物理量的变化率。
高等数学2. 5 隐函数的导数
y (t )j (t ) y (t )j (t ) 。 3 j (t )
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x a(t sin t ) 例 9．计算由摆线的参数方程 所确定 y a(1 cos t ) 的函数yf(x)的二阶导数。
dy y (t ) [a (1 cos t )] a sin t 解： dx x (t ) [a (t sin t )] a (1 cos t ) sin t t cot (t2n，n 为整数)。 1 cos t 2 d 2 y d dy d t dt ( ) (cot ) 2 dx dx dt 2 dx dx 1 1 1 a (1 cos t ) a (1 cos t ) 2 2 t 2 sin 2 (t2n，n为整数)。
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对数求导法： 此方法是先在yf(x)的两边取对数，然后用隐函数求 导法求出 y 的导数。 设yf(x)，两边取，得 1 y [ln f ( x)] ， y y f(x)[ln f(x)]。 对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多 因子之积和商的导数。
方程 xy 10 能确定一个函数y f ( x) 3 1 x ， 这种由方程确的函数称为隐函数。
3
把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。
求隐函数的导数的方法： 把方程两边分别对x求导数，然后从所得的新的方 程中把隐函数的导数解出，求导时要注意y是x的函数。
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例5．求yx sin x (x>0)的导数。 解：两边取对数，得ln ysin x ln x， 上式两边对x 求导，得 1 1 y cos x ln x sin x ， y x 1 y y(cos x ln x sin x ) 于是 x sin x sin x x (cos x ln x )。 x 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求： ln yx sin xe sin x· x ，
高等数学：第九讲 隐函数的导数
3. 在隐函数导数的结果中，既含有自变量x，又含有因变量y， 通常不能也无须求得只含自变量的表达式.
谢谢
即 ey .y′ -2y .y′+(y+x y′) =0 从中解出y，得
y y' 2y xey
因为y是x的函数，
z
所以ey是x的复合函数. y
记z e y , 求 dz .
dy
dy dx
ey
y
03 小结
1. 显函数求导的四则运算法则和复合函数求导法则对于 隐函数的导数同样成立。
02 隐函数的求导法则
F(x, y) 0 方程两边对 x 求导
d F(x, y) 0 dx
将方程中的y视为x 的函数y( x)(隐函数)
得到含导数 y 的方程 ，从而解出 y .
例题：
设方程 ey-y2+xy=0确定函数 y = y(x)，求 y.
解 方程两边对x求导，得 (ey)′ - (y2 )′+ (xy )′=(0)′，
隐函数的导数
目录
01 隐函数的定义
02 隐函数的求导法则
03
小结
01 隐函数的定义
对应法则的显性和隐性 函数
显函数 隐函数
01 隐函数的定义
形如 y f (x) 的函数，称为显函数。 例如 y sin x，y x3 ex 都是显函数。 特点：方程的左边是因变量，右边是关于自变量的表达式。
隐函数
定义 若如由果方二程元方F (程x,Fy)(x, 0y)可确0 可定确y 定是 yx 是的函x 的数函, 则数称, 此则函称数
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1 sin x y cos x ln x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
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求 解:
的导数 .
sin x (cos x ln x ) x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 . （隐函数的显化） 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: 两边对 x 求导( 注意 y = y(x) ) (含导数 y 的方程)
确定的隐函数
的一阶导数
二阶导数
解: 方程两边对 x 求导， 得
dy 2 dx 2 cos y
2sin y y d 2 ( ) 2 (2 cos y ) dx 2 cos y 2sin y 2 4sin y 2 (2 cos y) 2 cos y (2 cos y )3
x2
2、 y 3、 y
x 2( 3 x ) 4 ； 5 ( x 1) x sin x 1 e x .
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d2y 四、求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 2 ： dx x a cos t 1、 ； y b sin t x f ( t ) 2、 设 f ( t ) 存在且不为零 . y tf ( t ) f ( t ) x ln(1 t 2 ) 五、求由参数方程 所确定的函数的 y t arctan t d2y 二阶导数 2 . dx 1 3 六、设 f ( x ) 满足 f ( x ) 2 f ( ) ，求 f ( x ) . x x
dy dy f ( x y )(3x 3 y 0 ) 3cos3x 6 dx dx
3 3
2
2
3 3 2 cos3x f ( x y ) x 3 3 2 f (x y ) y 2
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解
解得
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作业
P82 1(2)(3) ; 2 ; 4 (2) (4) ; 5 (1) (2); 6 (2) ; 8
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
思考题
1. 设 解: 方法1 求其反函数的导数 .
方法2 等式两边同时对 y 求导
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2. 设
,求
解：方程组两边同时对 t 求导, 得
dy dx
t 0
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练 习 题
一、填空题：
3 2 2 1 、设 x 2 x y 5 xy 5 y 1 0 确定了 y 是 x 的函
dy 数，则 =________. dx (1,1) 2 、曲线 x y xy 7 在点（1 ，2 ）处的切线方程 是___________.
3 3
p x t cos t 3 、曲线 在 t 处的法线方程________. 2 y t sin t
x e t cos t dy dy 4 、已知 ,则 =______； t dx dx y e sin t
y(ln y 1) 2 x (ln x 1) 2 3、 . 3 xy(ln y 1)
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精品课件！
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精品课件！
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三、1、 x x
2
1
( 2 ln x 1) ；
x 2( 3 x ) 4 1 4 5 [ ]； 2、 5 2( x 2) 3 x x 1 ( x 1)
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隐函数求高阶导数 法1: 由隐函数直接求出一阶导数,用一阶导 数的显式继续求导. 法2: 反复用隐函数的表达式直接求n阶导数.
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例3 解
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练习 设
由方程
确定 , 求
解: 方程两边对 x 求导, 得
e y y x y 0
x f (t ) d2 y 求 . , 且 f ( t ) 0 , 2 y t f (t ) f (t ) dx
d2 y 1 f (t ) d x2
2
d y t f (t ) t, 解: f (t ) dx
练习:
2
1 dy d y 1 dy 1 d y t 2 求 , 2 . 解: ; 2 t 3 dx dx dx t t dx
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例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
4
因x=0时y=0, 故
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例2. 求椭圆
方法:
y xsin x .
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:
对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积
函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导
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例4. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
即
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练习： 求由方程
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练习题答案
4 一、1、 ； 3 2、 x 11 y 23 0 3、 x y 0 ； 2 2 ex y y sin t cos t ,2 3 ； 5、 4、 x y . cos t sin t xe ；
p
p
二、1、
2 3 2、- 2 csc ( x y ) cot ( x y ) ；
(t )
2
(t )
(t ) (t ) (t ) (t ) 3 (t )
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例5
解
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例6
解
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所求切线方程为
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注意 : 已知
x
?
对谁求导?
例7. 设
再求导, 得
y 2 (e x) y 2 y 0 e y y
y
① ②
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得 1 y (0) e 1 再代入 ② 得 y (0) 2 e
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对数求导法
( x 1)( x 2) , 观察函数 y ( x 3)( x 4)
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内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
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思考与练习
1. 设 由方程 确定,
且
存在，求 解: 方程两边对x 求导, 得
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(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) tx d 2 y d ( d y ) d ( d y ) dd 2 d t d x dd xt dx dx dx (t ) (t ) (t ) (t )
x y 5 、设 xy e , 则
t
p
3
=______.
dy =________. dx
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d2y 二、求下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数 2 ： dx 1、 ；
2、
3、 y
x y
；
x ( x > 0，y > 0) .
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、 y x ；
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又如,
两边取对数
对 x 求导
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二、由参数方程所确定的函数的导数
例如
消去参数
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
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若参数方程 关系, 可导, 且
可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
x 1 1 e x x sin x 1 e [ cot x ] . x 3、 2 x 2(1 e )
b 四、1、 2 3 ； a sin t
1 2、 . f (t ) 六、2 1 2 . x
t2 1 五、 . 4t
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