2.4g 状态空间模型的线性变换和约旦规范形
时变高斯过程状态空间模型
时变高斯过程状态空间模型时变高斯过程状态空间模型是一种用于描述随机过程的数学模型，它在许多领域中被广泛应用，包括信号处理、金融、经济学等。
本文将介绍时变高斯过程状态空间模型的基本概念、特点和应用。
一、基本概念时变高斯过程是一种连续时间、连续状态的随机过程，其状态变量服从高斯分布。
状态空间模型是一种用于描述随机过程的模型，其中包括状态方程和观测方程。
时变高斯过程状态空间模型将状态方程和观测方程结合起来，用于描述系统的动态变化和观测结果之间的关系。
在时变高斯过程状态空间模型中，状态方程描述了系统的演化规律，观测方程描述了观测结果与系统状态之间的关系。
状态方程通常采用线性动态方程来描述，而观测方程可以是线性方程或非线性方程，具体取决于系统的性质和应用需求。
二、特点1. 高斯性：时变高斯过程状态空间模型中的状态变量服从高斯分布，这使得模型具有较好的数学性质和分析能力。
高斯分布的特点使得可以通过状态观测数据来估计系统的状态，并进行预测和推断分析。
2. 线性性：状态方程通常采用线性动态方程来描述，观测方程可以是线性方程或非线性方程。
线性性质使得模型的分析和求解相对简单，可以利用线性系统理论和方程求解方法来进行模型分析和推导。
3. 随机性：时变高斯过程状态空间模型是一种随机过程模型，其中包含随机噪声项，用于描述系统的不确定性和随机性。
随机噪声项可以从观测数据中估计，并用于状态估计和预测分析。
三、应用时变高斯过程状态空间模型在许多领域中被广泛应用，以下列举几个典型的应用领域。
1. 信号处理：时变高斯过程状态空间模型可以用于对信号进行建模和分析，例如语音信号处理、图像处理等。
通过对信号进行状态估计和预测，可以提取信号的特征和信息，实现信号处理和分析的目的。
2. 金融：时变高斯过程状态空间模型可以用于金融市场的预测和分析，例如股票价格的预测、风险管理等。
通过对金融市场的状态进行估计和预测，可以提供决策依据和风险控制策略。
现代控制理论 状态向量的线性变换：约当规范型
《现代控制理论》MOOC课程1.3状态向量的线性变换三. 状态空间表达式的对角规范型和约当规范型1.3状态向量的线性变换特征根的代数重数和几何重数设λi 为系统矩阵A 的特征值,若λi 的重根数为，则称的代数重数为。
σi σi λi 设V 为n 维线性空间，为系统矩阵A 的特征值，则的特征子空间λi λi V λi ={p i ∈V|Ap i =λi p i }的维数αi , 称为λi 特征值的几何重数。
αi =n −rank(λi I −A )的几何重数也就是线性无关特征向量的个数。
λi λi αi三. 状态空间表达式的对角规范型和约当规范型1.3状态向量的线性变换解：A =12332300−1例：求系统矩阵相异特征值的代数重数和几何重数。
=(λ+1)2(λ−4)=0λI −A =λ−1−2−3−3λ−2−300λ+1可得：λ1=−1，−1λ2=4故的代数重数分别为λ1、λ2σ1=2、σ2=1的几何重数λ1α1=3−rank （λ1I −A ）=3−rank −2−2−3−3−3−3000=3−2=1的几何重数λ2α2=3−rank （λ2I −A ）=3−rank 3−2−3−32−3004=3−2=11.3状态向量的线性变换三. 状态空间表达式的对角规范型和约当规范型系统的广义特征向量p iλi k对于n×n维矩阵A，若存在一个不为零的n维向量和一个标量，为正整数，使得：൝(A−λi I)k p i=0(A−λi I)k−1p i≠0成立，则称p i为矩阵A的特征值λi所对应的k级广义特征向量。
约当规范型对于给定的n维线性定常系统x=Ax+Bu。
设系统的特征值为：z=Q−1AQz+Q−1Bu=J1⋱J lz+ഥB uλ1(σ1α1代数重，几何重)，λ2(σ2α2代数重，几何重)，⋯，λl(σlαl代数重，几何重) (σ1+ σ2+⋯+σl=n),则存在由各特征值的广义特征向量组成的变换阵Q，通过变换，可将状态方程化为如下的约当规范型：z=Q−1x其中，ഥA=Q−1AQ=J1⋱J l,ഥB=Q−1Bz =J 1⋱J i⋱J lz +ഥBu J i =J i1⋱J ik⋱J iαiJ ik =λi1λi⋱⋱1λir i1+ r i2+⋯+r iαi =σi特征值对应的约当块矩阵由个约当子块矩阵组成。
地大《现代控制理论》在线作业二[60467]
![地大《现代控制理论》在线作业二[60467]](https://img.taocdn.com/s3/m/e1976da4b307e87100f6969d.png)
地大《现代控制理论》在线作业二
一、单选题
1.保证稳定是控制系统正常工作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定称为()。
A.能控性
B.能观性
C.系统镇定
D.稳定性
答案：C
2.对于能控能观的线性定常连续系统，采用静态输出反馈闭环系统的状态()。
A.能控且能观
B.能观
C.能控
D.以上三种都有可能
答案：A
3.对于同一个系统，可有()个状态空间表达式。
A.1个
B.2个
C.3个
D.无穷多个
答案：D
4.由状态空间模型导出的传递函数()。
A.惟一
B.不惟一
C.无法判断
D.皆有可能
答案：A
5.维数和受控系统维数相同的观测器为()。
A.降维观测器
B.全维观测器
C.同维观测器
D.以上均不正确
答案：B
6.根据线性二次型最优控制问题设计的最优控制系统一定是()的。
A.渐近稳定
B.稳定
C.一致稳定
D.一致渐近稳定
答案：A
7.下列语句中，正确的是()。
A.系统状态空间实现中选取状态变量是唯一的，其状态变量的个数也是唯一的
B.系统状态空间实现中选取状态变量不是唯一的，其状态变量的个数也不是唯一的。
现代控制理论1-8三习题库
13.若矩阵A的n个特征值互异，则可通过线性变换将其化为 角阵，雅可比阵）。
14.状态变量是确定系统状态的（最小，最大）一组变量。
15.以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交（线性，非线性）
空间，称之为_,（传递函数，状态空间）。
1.试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
自动控制领域的科学研究方法，已经由最早的经典控制中以输入输出模型为主，发展为
现今的现代控制中以状态空间模型为主。因而，“现代控制理论”是从事自动化专业必备的
知识。“现代控制理论”的教学目标是使学生牢固树立线性系统中状态空间的概念、进一步 理解系统稳定性这一控制学科最为重要的概念，掌握能控与能观、状态反馈与状态估计等核
重点内容：逆矩阵、线性无关与线性相关定义、非齐次方程求解、哈密顿定理、定号性 理论等。
系统的数学描述可分为哪两种类型
自然界存在两类系统：静态系统和动态系统，有何区别 现代控制理论研究的主要内容是什么
现代控制理论研究对象
现代控制理论所使用的数学工具有哪些 现代控制理论问题的解决方法是什么
第二章（单元）：
心方法。通过本课程学习，使学生做到各章概念融会贯通，解题方法灵活运用，分析解决实 际问题。从宏观角度把握课程的体系结构，建立起现代控制理论的基本框架。主要培养学生
以下三个方面的能力：
1、分析建模能力
根据系统的工作原理或实验数据，建立合理的数学模型。
2、认知和理解能力理解与Leabharlann 握能控性、能观测性与系统设计的关系，
合。这些信息对于确定系统（过去，未来）的行为是充分且必要
的。
10.如果系统状态空间表达式中矩阵A, B, C, D中所有元素均为实常数时，
Jordan标准形
Jordan标准形⼀、引⼊ 前⾯已经指出，⼀切n阶矩阵A可以分成许多相似类。
今要在与A相似的全体矩阵中，找出⼀个较简单的矩阵来作为相似类的标准形。
当然以对⾓矩阵作为标准形最好，可惜不是每⼀个矩阵都能与对⾓矩阵相似。
因此，急需引⼊⼀种较为简单⽽且对于⼀般矩阵都可由相似变换得到。
当矩阵A能相似于某对⾓矩阵时，该对⾓矩阵就是A的⼀个Jordan形。
⽽当矩阵A不能相似于对⾓矩阵时，它必然与⼀个⾮对⾓的Jordan 形相似。
此时的Jordan形J与对⾓矩阵的差别也只是在主对⾓线元素的上邻位有某些元素为1.在这个意义上，Jordan标准型可以说是与A相似的矩阵中最简单的了。
Jordan标准型应⽤⼴泛。
如果能够得到⼀个线性变换或者线性变换矩阵，那么我们可以迅速地得到线性微分⽅程组，特征多项式等。
⼆、定义 设T是复数域C上的线性空间Vn的线性变换，任取Vn上⼀个基，T在该基下的矩阵是A，T(或A)的特征多项式可分解因式为 φ(λ)=(λ-λ1)m1(λ-λ2)m2...(λ-λt)mt m1+m2+...+mt=n 则Vn可分解成不变⼦空间的直和 Vn=N1直和N2直和...Nt 其中Nt=（x|（T-λiTi）mi=0，x属于Vn）是线性变换T-λiTi的核⼦空间。
（有点看不清） 举个例⼦： 特征多项式为φ(λ)=（λ+1）2（λ-5） 则Jordan标准型为 -1 1 或 5 -1 -1 1 5 -1三、简单的结论（1）对于给定的矩阵A，在不计各Jordan块排列次序的意义下，A的Jordan标准型是唯⼀的。
（2）⽅阵A的Jordan标准型J是上三⾓矩阵，其主对⾓线上元素恰好是A的全部特征值。
（3）对⾓矩阵本社是Jordan形，它的每个对⾓元都是⼀个⼀阶的Jordan块。
四、定理（1）两个同阶⽅阵相似的充要条件是它们的Jordan形⼀致。
（忽略排序因素）（2）矩阵A能与对⾓矩阵相似的充要条件是它的初等因⼦全为⼀次式。
高等代数第7章线性变换[1]
![高等代数第7章线性变换[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/40b56d3f580216fc700afd3f.png)
一、线性变换的乘法及其性质
设A,BL(V), 定义A与B 的乘积为V 的一个变换, "aV, 有 (AB)(a) = A(B(a))． 1. AB 也是线性变换．
证 因为"a, bV和"k, lP, 有 (AB)(ka+lb) = A(B(ka+lb)) = A(kB(a)+lB(b)) = A(kB(a))+A(lB(b)) = kA(B(a))+lA(B(b)) = k(AB)(a )+l(AB)(b)．
称矩阵
a11 a12 a1n a a a 2n 21 22 A a n1 a n 2 a nn
为线性变换A在基e1, e2, …, en下的矩阵.
采用矩阵形式记号，可写成 [ Ae1, Ae2, …, Aen]
a11 = [e1, e2, …, en ] a 21 a n 1 a12 a 22 an 2 a1n a2 n a nn
设
f (x)=amxm+am-1xm-1+…+a0
是P[x]中一多项式, A是V的线性变换,
定义
f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a0E f(A)是线性变换,称为线性变换A的多项式
若在P[x]中 h(x)=f(x)+g(x)， p(x)=f(x)g(x)， 则 h(A)=f(A)+g(A)， p(A)=f(A)g(A)， 特别地，
三、线性变换的数量乘法及其性质
设AL(V), kP, 定义k与A的数量乘 积为V的一个变换, 使得
kA = KA
其中K为由k决定的数乘变换, 即"a V
2.4g 状态空间模型的线性变换和约旦规范形
系统特征值的不变性与系统的不变量(1/2) 系统特征值的不变性与系统的不变量
2.4.2 系统特征值的不变性与系统的不变量
由前面的讨论可知,当选择不同的状态变量 则获得不同的状 由前面的讨论可知 当选择不同的状态变量,则获得不同的状 当选择不同的状态变量 态空间模型描述。 态空间模型描述。 实际上,状态空间模型只是系统在不同的状态变量选择下 实际上 状态空间模型只是系统在不同的状态变量选择下 对系统的一种描述,它随状态变量选择的不同而不同 它随状态变量选择的不同而不同,并 对系统的一种描述 它随状态变量选择的不同而不同 并 不具有唯一性和不变性。 不具有唯一性和不变性。 那么,到底系统在状态空间中有哪些描述 哪些性质是不 那么 到底系统在状态空间中有哪些描述,哪些性质是不 到底系统在状态空间中有哪些描述 变的,是不随状态变量的选取不同而变化的 是不随状态变量的选取不同而变化的? 变的 是不随状态变量的选取不同而变化的 线性定常系统的特征结构由特征值和特征向量所表征。 线性定常系统的特征结构由特征值和特征向量所表征。 系统的特征结构对系统运动的特性和行为具有重要的影 决定了系统的基本特性。 响,决定了系统的基本特性。 决定了系统的基本特性
状态空间模型的线性变换和约旦规范形( 状态空间模型的线性变换和约旦规范形(3/8)
此外,在控制系统的分析和设计中 某些特殊的系统数学模型 此外 在控制系统的分析和设计中,某些特殊的系统数学模型 在控制系统的分析和设计中 对讨论问题相对简单得多,如前面建立的对角线规范形的和 对讨论问题相对简单得多 如前面建立的对角线规范形的和 约旦规范形。 约旦规范形。 于是自然会提出如下问题: 于是自然会提出如下问题 如何把一般形式的状态空间模型变换成特定形式 的状态空间模型,以降低系统的分析问题和设计问 的状态空间模型 以降低系统的分析问题和设计问 题的难度。 题的难度。 解决上述两个问题,就需引入状态空间的线性变换。 解决上述两个问题 就需引入状态空间的线性变换。 就需引入状态空间的线性变换 什么是状态空间的线性变换?
约旦标准型课件
degd ( )
i 1 i
n
（所有初等因子次数之和）.
三、Jordan标准型
A (aij ) nn C nn , 特征矩阵 I-A的初等因子为( 1 ) k1 , ( 2 ) k2 , , ( t ) kt , k1 kt n, 此处i j时可能有i j . 作k i级矩阵 i Ji 0 1 0 1 , i 1, 2, , t i 1 i k k i i
例2：设T L(R 3，R 3 )，在R 3的基e1 , e 2 , e3的矩阵为A， 即 1 0 -2 T（e1 , e 2 , e3）（e1 , e 2 , e3） 0 0 0 ， = -2 0 4 问： T可否对角化； 1 ） 2）若T可对角化，试求满秩阵P，使P -1AP为对角阵.
推论2 A可对角化当且仅当λI-A 的初等因子为一次的.
Frobenious定理 设 I-A的Simth标准型为 diag{d1 ( ), ,d n ( )}，则m A ( ) d n ( ).
推论：设A Cnn , 则以下命题等价： 1 A为可对角化; ） 2)m A ( )无重根; 3) I-A的不变因子无重根; 4) I-A的初等因子均为一次的.
例9：设A C77 . I-A diag{( 2)2 ,1,( 1)( 2), ( 2),( 1)2 ,1,1},求A 的不变因子，初等因子，最 小多项式及Jordan标准型.
1 1 0 例10：设A 4 3 0 .1)求Jordan标准型J， 求P，使 2) 1 0 2 P-1AP=J.
3) 1), 在E(i )(1 i m)中各取一组基，合起来有n个向量， 由上节定理10知，这n个向量线性无关，故A可对角化. 注： 称dimE(i )为i的几何重数，由上证明知：A可对角化 A的每个特征值i的代数重数等于i的几何重数. 推论：若n阶方阵A恰有n个互异特征值，则它必可对角化.反之不然. 2 1 例 设A= , 求A100 . 2 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n阶的特征方程的n个根1,2,…,n即为矩阵A的n个 特征值。
在得到特征值i后,由式(2-46)或式(2-47)可求得矩阵对应 于i的特征向量vi。
系统的特征值和特征向量(4/4)
如下定义所示,矩阵特征值的概念可推广至线性定常系统 (A,B,C,D)。 定义 对于线性定常系统(A,B,C,D),系统的特征值即为系统 矩阵A的特征值。 关于系统特征值,几点注记: A. 一个n维线性定常系统必然有n个特征值与之对应。 B. 对于物理上可实现的系统,其系统矩阵必为实矩阵。 因此,线性定常系统的特征多项式必为实系数多项 式,即系统的特征值或为实数,或为成对出现的共轭 复数。
两种表达式式之间存在什么关系?
将变换关系x=P x 代入(A,B,C,D)的状态方程中有 Px Px APx Bu
状态空间的线性变换(2/14)
由于变换矩阵P非奇异,因此有则有 x P 1 APx P 1 Bu y CPx Du
n维空间中的旋转变换、极坐标变换,线性空间中的相 似变换,都属于空间变换。 其中旋转变换和相似变换还属于线性变换。 状态空间中由于状态变量的不同选择类似于线性空间 中的坐标架的不同选择， 同一个系统不同选择状态变量组之间存在类似于线 性空间不同坐标架之间的线性变换, 因此我们将在状态空间中坐标变换称为状态空间的 线性变换。
将上式与状态空间模型 ( A, B, C, D)比较,则线性系统(A, B,C,D)在线性变换矩阵P下的各矩阵具有如下对应关系
A P1 AP
B P1B
C CP
DD
应该注意的是,系统的初始条件也必须作相应的变换,即 ~(t ） P 1 x (t ) x
对于这个结论,亦可证明如下: 设系统原状态空间模型中的系统矩阵为A,经线性变换 x P~ x 后,系统矩阵为
~ A P1 AP
矩阵 A 的特征多项式为
| I A || I P1 AP || P1 ( I A) P || P 1 | | I A | | P || I A |
系统的特征值和特征向量(3/4) —特征值和特征向量定义
将|I-A|展开，可得 |I-A|=n+a1n-1+…+an-1+an=0 其中ai(i=1,2,…,n)称为特征多项式的系数。 因此,nn维的矩阵A的特征多项式为n阶多项式。 若矩阵A为实矩阵,则对应的特征方程为一实系数代 数方程,共有n个根。 这n个根或为实数,或为成对出现的共轭复数。 求解矩阵特征值的方法即为求解矩阵A的特征方程。
作变换矩阵为下式所示的线性变换
1 1 1 P 1 2 3 1 4 9
状态空间的线性变换(13/14)
解 线性变换P的逆矩阵为
3 5/ 2 1/ 2 P 1 3 4 1 1 3/ 2 1/ 2
因此,有
状态空间模型的线性变换和约旦规范形(7/8)
本节主要讨论状态空间的线性变换,以及如何将系统状态空间 描述变为其约旦规范形。 本章关键问题: 1. 线性变换的几何及空间意义,建立空间想象力 2. 如何作系统线性变换
3. 系统的对角规范形和约旦规范形描述
4. 代数重数、几何重数与约旦矩阵 5. 如何求矩阵的广义特征向量 建立空间概念, 可是学好控制 理论的关键喔
这些基底之间的关系为进行了一 次坐标变换,而空间中的点的
x
坐标则相当于作了一次相似变换。
如,在如右图所示的平面直角坐标系中,A点在两个坐标系 下的坐标存在如下变化关系(其中P为非可逆的变换矩阵)
xa xa y P y a a
状态空间模型的线性变换和约旦规范形(5/8)
如何理解? 本章关键喔!
状态空间模型的线性变换和约旦规范形(4/8)
状态变量是一组实变量,它们所组成 的状态空间为一个实线性空间。
y y' A(xa,ya) (x'a,y'a) x'
由线性代数知识可知,线性空间 中,随着表征空间坐标的基底的 选取的不同,空间中的点关于各 种基底的坐标亦不同。
实际上,状态空间模型只是系统在不同的状态变量选择下 对系统的一种描述,它随状态变量选择的不同而不同,并 不具有唯一性和不变性。 那么,到底系统在状态空间中有哪些描述,哪些性质是不 变的,是不随状态变量的选取不同而变化的? 线性定常系统的特征结构由特征值和特征向量所表征。 系统的特征结构对系统运动的特性和行为具有重要的影 响,决定了系统的基本特性。
这一点可利用线性代数中的基底不唯一来理解。
一个n维线性独立的状态变量向量,在n维状态空间中构成 一个坐标系,即相当于空间中的一个基底。 根据线性代数知识,在这个空间中还存在另外的坐标 系,且与原坐标系存在一个线性变换关系。
状态空间的线性变换(2/2)
下面分别讨论: 状态空间的线性变换 状态空间模型的线性变换
状态空间的线性变换(1/1)
1. 状态空间的线性变换
设描述同一个线性状态空间的两个n维的状态变量向量分别 为 x [x1 x2 ... xn ]τ x [x1 x2 ... xn ]τ 由线性代数知识可知,它们之间必有如下变换关系 ~ P 1 x x P~ x x 其中P为nn维的非奇异变换矩阵。
状态空间模型的线性变换和约旦规范形(6/8)
引入坐标变换和状态空间线性变换等概念,实际上就回答了 上述两个问题: 1. 不同选取状态变量之间存在一个坐标变换,其相应的状 态空间模型之间也存在一个相应的相似变换。 2. 既然可以对状态变量和状态空间模型进行线性变换,则 在一定条件下应可以将一般形式的状态空间模型变换成 某种特殊的状态空间模型。
系统特征值的不变性与系统的不变量(2/2)
下面我们将讨论系统经状态线性变换后,其特征值不变, 亦即状态线性变换不改变系统的基本特性。 系统矩阵的特征值是一种描述系统本质特征的,并 具有唯一性的不变量,即不随状态变量的选取不同 而变化的不变量,它在系统分析和综合上起着重要 的作用。 重点喔 下面将分别讨论: 系统的特征值和特征向量 系统特征值的不变性 特征向量的计算 广义特征向量和特征向量链 难点喔!
即证明了A的特征多项式等于的A 特征多项式。
可见,系统经线性变换后,其特征值不变。
状态空间模型的线性变换和约旦规范形(1/8)
2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范形
从上一节的讨论可知,同一个系统的状态空间模型,即使其维 数相同,但其具体结构和系数矩阵也是多种多样的, 如系统矩阵A可以为对角线矩阵的或者约旦矩阵的, 也可以为其他形式的。 即, 状态空间模型不具有唯一性。
系统特征值的不变性(1/2)
2. 系统特征值的不变性
系统的特征值表征了系统本质的特征。 而线性变换只是相当于对系统从另外一个角度来描述 而已,并未改变系统的本质。 刻划了系统本质特征的系统特征值应不随线性变换而 改变,即有如下结论: 线性定常系统特征值对线性变换具有不变性。
系统特征值的不变性(2/2)
系统的特征值和特征向量(1/4)
1. 系统的特征值和特征向量
状态空间的线性变换,只是改变了描述系统的角度(或说坐标 系),系统的本质特征应保持不变。 对于线性定常系统来说,系统的特征值(极点)决定了系 统的基本特性。 特征值应是系统不变的本质特征之一。 系统经状态线性变换后,其本质特征之一的特征值应保 持不变,亦即状态线性变换不改变系统的基本特性。 下面先讨论矩阵特征值和特征向量的定义。
上述状态变量向量x与 x 间的变换,称为状态的线性变换。
值得指出的是:
变换矩阵P只有为非奇异的,才能使x和 x 间的变换 关系是等价的、唯一的和可逆的。
状态空间的线性变换(1/14)
2.状态空间模型的线性变换
设在状态变量x和 x下,系统状态空间模型分别为
x Ax Bu ( A, B, C , D) : y Cx Du x Ax Bu ( A, B, C , D) : y Cx Du
状态空间模型的线性变换和约旦规范形(8/8)
主要内容为: 状态空间的线性变换 系统特征值的不变性与系统的不变量 化状态方程为对角线规范形 化状态方程为约旦规范形
状态空间的线性变换(1/2)
2.4.1 状态空间的线性变换
对于一个n阶动态系统,可通过选择适当的n个状态变量以建 立状态空间模型来描述它。 但是,这n个状态变量的选择却不是唯一的。
值得指出的是,状态空间的线性变换只是对状态变量作变换, 对系统的输入和输出未作变换,因此
系统的输入输出间的动态和静态关系对状态变换保持不 变。
系统特征值的不变性与系统的不变量(1/2)
2.4.2 系统特征值的不变性与系统的不变量
由前面的讨论可知,当选择不同的状态变量,则获得不同的状 态空间模型描述。
0 1 0 ~ A P 1 AP 0 2 0 0 0 3 ~ C CP [1 1 1]
3 ~ B P 1 B 6 3
状态空间的线性变换(14/14)
故系统在新的状态变量下的状态空间模型为
1 0 0 3 x 0 2 0 x 6 u 0 0 3 3 y [ 1 1 1 ]x
系统的特征值和特征向量(2/4) —特征值和特征向量定义
定义2-2 设v是n维非零向量,A是nn矩阵。若方程组 Av=v 成立,则称为矩阵A的特征值,非零向量v为所对应的矩阵A的 特征向量。 将上述特征值的定义式写为 (I-A)v=0 其中I为n×n的单位矩阵。 因此,由代数方程论可知,上式有非零特征向量v的解的 充要条件为 |I-A|=0 并称上式为矩阵A的特征方程,而|I-A|为A的特征多项式。