【数学】四川省成都市新津中学2015届高三第一次模拟考试(理)

四川省成都市新津中学2015届高三第一次模拟考试（理）一.选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1.已知集合2{|230}A x x x =--<,2{|log 2}B x x =<,则A B =A.(1,4)-B.(1,3)-C.(0,3)D.(0,4)2.若复数3i(R,i 12ia a +∈-为虚数单位)为纯虚数,则实数a 的值为 A.6-B.2-C.4D.63.函数2cos(2)2y x π=-是A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数D.最小正周期为2π的偶函数4.等差数列{}n a 中,已知112a =-,130S =,则使得0n a >的最小正整数n 为 A.7B.8C.9D.105.直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个充分不必要条件是 A.31m -<<B.42m -<<C.1m <D.01m <<6.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,要求1不在首位,3不在百位的五位数共有 A.72B.78C.96D.547.定义某种运算⊕,a b ⊕的运算原理如图所示,设1S x =⊕,[2,2]x ∈-,则输出的S 的最大值与最小值的差为A.2B.1-C.4D.38.下列命题:①若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α； ②若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与 这个平面平行；④若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点. 其中正确的个数是 A.1B.2C.3D.49.已知抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,点P 为抛物线上任意一点,且在第一象限,PA ⊥l ,垂足为A ,||4PF =,则直线AF 的倾斜角等于A.712π B.23π C.34π D.56π 10.已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-,且当2x ≠时,其导函数()f x '满足()2()xf x f x ''>,若24a <<,则A.2(2)(3)(log )a f f f a <<B.2(3)(log )(2)a f f a f <<C.2(log )(3)(2)af a f f <<D.2(log )(2)(3)af a f f <<二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.二项式52(1)x-的展开式中第四项的系数为 . 12.一个几何体的三视图如图所示,其中网格纸上的小正方形的边长 为1,则该几何体的体积为 .13.点(,)P x y 在不等式组031x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内,若点(,)P x y到直线1(0)y kx k =->的最大距离为则实数k = .14.ABC ∆的外接圆半径为1,圆心为O ,且3450OA OB OC ++=,则OC AB ⋅的值为 .15已知函数()ln f x x x =,且120x x <<,给出下列命题:①1212()()1f x f x x x -<-；②1221()()f x x f x x +<+； ③2112()()x f x x f x <；④当1ln 1x >-时,112221()()2()x f x x f x x f x +>. 其中所有正确命题的序号为 .三.解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分)已知{}n a 为等比数列,其中11a =,且2354,,a a a a +成等差数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设n n a n b ⋅-=)12(,求数列{}n b 的前n 项和n T .17.(本小题满分12分)已知向量(2cos ,1),(cos ,cos 1)m x n x x x ==-,函数()f x m n =⋅. (Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若()1,f B b ==,sin 3sin A C =,求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)在2014年10月,某市进行了“居民幸福度”的调查,某师大附中学生会组织部分同学,用“10 分制”随机调查“狮子山”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名,如图所示的茎 叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶). (Ⅰ)若幸福度不低于9.5分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人,至 多有1人是“极幸福”的概率；19.(本小题满分12分)已知在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,且2AD =,1AB =,PA ⊥平面ABCD ,E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点.(Ⅰ)判断并说明PA 上是否存在点G ,使得//EG 平面PFD ?若存在,求出PGGA的值；若不 存在,请说明理由；(Ⅱ)若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒,求二面角A PD F --的平面角的余弦值.PDCBAg FE20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(,)22a aA 和点B .(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)已知点00(,)P x y 在椭圆C 上,F 为椭圆的左焦点,直线l 的方程为00360x x y y +-=. (ⅰ)求证:直线l 与椭圆C 有唯一的公共点；(ⅱ)若点F 关于直线l 的对称点为Q ,探索:当点P 在椭圆C 上运动时,直线PQ 是否过定点? 若过定点,求出此定点的坐标；若不过定点,请说明理由.21.(本小题满分14分)已知函数2()e (22)x f x ax x =--,R a ∈且0a ≠.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2,(2))P f 处的切线垂直于y 轴,求实数a 的值； (Ⅱ)当0a >时,求函数(|sin |)f x 的最小值；(Ⅲ)在 (Ⅰ)的条件下,若y kx =与()y f x =的图像存在三个交点,求k 的取值范围.答案一.选择题（共10小题,每小题5分,满分50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDABDBAABC二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11.80-. 12.2503. 13.1. 14.15-. 15.③④. 三.解答题:17.【解答】(Ⅰ)∵2()2cos cos 12cos 2f x m n x x x x x =⋅=+-=+, ∴()2sin(2)6f x x π=+.∵2[2,2](Z)622x k k k πππππ+∈-++∈,∴[,](Z)36x k k k ππππ∈-++∈,∴函数()f x 的单调递增区间为[,](Z)36k k k ππππ-++∈.(Ⅱ)∵()2sin(2)16f B B π=+=,∴15sin(2)26266B B πππ+=⇒+=,∴3B π=. ∵sin 3sin A C =,∴3a c =.∵b =,2222cos b a c ac B =+-,∴3,1a c ==.∵1sin 2S ac B =,∴ABC ∆18.【解答】(Ⅰ)∴从这16人中随机选取3人,至多有1人是“极幸福”的概率为32112124316C C C 121()C 140P A +==. (Ⅱ)∵X 的取值为0,1,2,3,且033327(0)C ()464P X ==⨯=,1233127(1)C ()4464P X ==⨯⨯=, 223319(2)C ()4464P X ==⨯⨯=,33311(3)C ()464P X ==⨯=, ∴X 的分布列为X 01 2 3P27642764964 164∴X 的数学期望是0271833()644E X +++==.19.【解答】(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,设,PA a GA b ==.∵(1,1,0),(0,2,0),(0,0,),(0,0,)F D P a G b , ∴(1,1,0)DF =-,(0,2,)PD a =-,1(,0,)2GE b =-. 设平面PFD 的一个法向量(,,)m x a z =.∵020m DF x a m PD a az ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,∴2x a z =⎧⎨=⎩,∴(,,2)m a a =.∵1202GE m a b ⋅=-=,∴14b a =.∴3PGGE=.(Ⅱ)∵PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角,20.【解答】(Ⅰ)∵2222()()221a a a b +=,且22311a b+=,∴226,2a b ==,∴椭圆C 的方程为22162x y +=.(Ⅱ)(ⅰ)联立方程组220036360x y x x y y ⎧+=⎨+-=⎩,整理为22220000(3)1236180x y x x x y +-+-=…①.∵P 在椭圆C 上,∴2200162x y +=,即220036y x =-,∴方程①为220020x x x x -+=,即0∆=,∴直线l 与椭圆C 有唯一的公共点. (ⅱ)∵(2,0)F -,∴过点F 且与l 垂直的直线方程为00360y y x x --=.∵联立方程组0000360360y y x x x x y y --=⎧⎨+-=⎩,∴2002200000220061891869x y x x y y x y y x y ⎧-=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩.∵220036y x =-,且222QQ x x y y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩,∴Q 点坐标为0000466(,)33x y x x ---.(1)当02x ≠时,直线PQ 的斜率0000000634623y y x yk x x x x --==----.21.【解答】(Ⅰ)∵2()e (22)x f x ax x =--,∴22()e (22)e (22)e [2(1)4]x x x f x ax x ax ax a x '=--+-=+--. ∵2(2)e (88)0f a '=-=,∴1a =. (Ⅱ)由(Ⅰ)知2()e ()(2)x f x a x x a'=-+. (1)当02a <≤时,∵21a≥,∴()f x 在区间(0,1)上单调递减, ∴()f x 的最小值为(1)(4)e f a =-. (2)当2a >时,∵201a <<,∴()f x 在区间2(0,)a 上单调递减,在区间2(,1)a上单调递增. ∴()f x 的最小值为22()2e a f a=-.综上所述,当02a <≤时,函数(|sin |)f x 的最小值为(4)e a -； 当2a >时,函数(|sin |)f x 的最小值为22e a-.(Ⅲ)由2e (22)()x x x f x kx k x --=⇒=,设2e (22)()x x x g x x--=.∵2e ()(1)(xg x x x x x'=-,∴函数()g x 的单调递增区间为()+∞；单调递减区间为(,-∞.∵x →-∞时,函数()g x 的图象在x 轴下方且无限靠近x 轴,(2e g =-,(1)3e g =-,g =-,∴实数k 的取值范围是2(3e)(2e ,0)----.。