北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程测试题

第二章一元二次方程第Ⅰ卷 (选择题 共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x2＝0 B ．ax 2＋bx ＋c ＝0 C ．(x －1)(x ＋2)＝1 D ．3x 2－2xy －5y 2＝02．已知关于x 的方程(4－a )xa 2－3a －2－ax －5＝0是一元二次方程，则它的一次项系数是( )A ．－1B ．1C ．4D ．4或－13．用配方法解一元二次方程x 2－6x －10＝0时，下列变形正确的是( ) A ．(x ＋3)2＝1 B ．(x －3)2＝1 C ．(x ＋3)2＝19 D ．(x －3)2＝19 4．若2x ＋1与2x －1互为倒数，则实数x 的值为( ) A ．±12 B ．±1 C ．±22D ．± 25．已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．a <2B ．a >2C ．a <2且a ≠1D ．a <－2 6．若关于x 的方程x 2＋2x －3＝0与2x ＋3＝1x －a有一个解相同，则a 的值为( ) A ．1 B ．1或－3 C ．－1 D ．－1或37．某品牌服装原价为173元，连续两次降价x %后售价为127元，下面所列方程中正确的是( )A ．173(1＋x %)2＝127 B ．173(1－2x %)＝127 C ．173(1－x %)2＝127 D ．127(1＋x %)＝1738．已知3是关于x 的方程x 2－(m ＋1)x ＋2m ＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC 的两条边的长，则△ABC 的周长为( )A ．7B ．10C ．11D ．10或119．若a 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≤1，1－a 2>2，则关于x 的方程(a －2)x 2－(2a －1)x ＋a ＋12＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．以上三种情况都有可能10．定义：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)满足a ＋b ＋c ＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)满足a －b ＋c ＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程．若一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是( )A ．方程有两个相等的实数根B ．方程有一根等于0C ．方程两根之和等于0D ．方程两根之积等于0第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．在估算一元二次方程x 2＋12x －15＝0的根时，小彬列表如下：由此可估算方程x 2＋12x －15＝0的一个根x 的范围是________． 12．若(m 2＋n 2)(1－m 2－n 2)＋6＝0，则m 2＋n 2的值为________．13．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克，且10≤x ≤18)之间的函数关系如图1所示，该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？列出关于x 的方程是__________________．(不需化简和解方程)图114．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是____________．15．已知x 1，x 2为方程x 2＋4x ＋2＝0的两实数根，则x 13＋14x 2＋5＝________. 16．对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有下列说法： ①若a ＋c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有实数根； ②若b 2＋4ac<0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0一定有实数根；③若a －b ＋c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0一定有两个不相等的实数根；④若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，则方程cx 2＋bx ＋a ＝0一定有两个实数根． 其中正确的有________(填序号)． 三、解答题(共72分)17．(6分)用适当的方法解下列方程：(1)(x ＋1)(x －2)＝x －2； (2)(2x ＋1)2＝x 2＋2.18．(6分)已知m 是方程x 2－2x －2＝0的根，且m ＞0，求代数式m 2－1m ＋1的值．19．已知关于x 的一元二次方程x(x －2)＝x －2①与一元一次方程2x ＋1＝2a －x ②. (1)若方程①的一个根是方程②的根，求a 的值；(2)若方程②的根不小于方程①两根中的较小根且不大于方程①两根中的较大根，求a 的取值范围．20．(8分)已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；(2)当t为何值时，方程的两个根互为相反数？21．(10分)受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，某市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元．(1)求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；(2)若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润能否超过3.4亿元？22．(10分)某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．(1)填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是________吨；(2)若该经销店计划获得9000元的月利润而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？23．(12分)某住宅小区在住宅建设时留下一块1798平方米的矩形空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计图如图2所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其他三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带．(1)请你计算出游泳池的长和宽；(2)已知贴1平方米瓷砖需费用50元，若游泳池深3米，现要把池底和池壁(共5个面)都贴上瓷砖，共需要费用多少元？图224．(12分)如图3，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，AD ＝2 cm ，点P 以2 cm /s 的速度从顶点A 出发沿折线A －B －C 向点C 运动，同时点Q 以1 cm /s 的速度从顶点C 出发向点D 运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．(1)问两动点运动几秒后，四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的49；(2)问是否存在某一时刻使得点P 与点Q 之间的距离为 5 cm .若存在，请求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．图3参考答案1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．C 7．C 8．D 9．C 10．C11．1.1＜x ＜1.2 12．313．(x －10)(－2x ＋60)＝150 [解析] 设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ，把(10，40)，(18，24)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝40，18k ＋b ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝60， ∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－2x ＋60(10≤x ≤18)，∴W ＝(x －10)(－2x ＋60)，当销售利润为150元时，可得(x －10)(－2x ＋60)＝150. 14．(3＋x)(4－0.5x)＝15 15．－43 16．①②17．解：(1)(x ＋1)(x －2)－(x －2)＝0， (x －2)(x ＋1－1)＝0， x －2＝0或x ＋1－1＝0， 所以x 1＝2，x 2＝0. (2)3x 2＋4x －1＝0， Δ＝42－4×3×(－1)＝28，x ＝－4±272±3＝－2±73，所以x 1＝－2＋73，x 2＝－2－73.18．解：x 2－2x －2＝0，x 2－2x ＝2，x 2－2x ＋1＝3， (x －1)2＝3，x ＝±3＋1. ∵m ＞0，∴m ＝3＋1. ∴m 2－1m ＋1＝m －1＝ 3. 19．解：(1)解方程①，得x 1＝1，x 2＝2， 解方程②，得x ＝2a －13.当2a －13＝1时，a ＝2；当2a －13＝2时，a ＝72. 综上所述，a 的值是2或72.(2)由题可知，1≤2a －13≤2，解得2≤a ≤72.20．解：(1)证明：∵在方程x 2－(t －1)x ＋t －2＝0中，Δ＝[－(t －1)]2－4×1×(t－2)＝t 2－6t ＋9＝(t －3)2≥0，∴对于任意实数t ，方程都有实数根． (2)设方程的两个根分别为m ，n. ∵方程的两个根互为相反数， ∴m ＋n ＝t －1＝0，解得t ＝1.∴当t ＝1时，方程的两个根互为相反数．21．解：(1)设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x.L 根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为20%.(2)如果2018年仍保持相同的年平均增长率，那么2018年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4，所以该企业2018年的利润能超过3.4亿元． 22．解：(1)60(2)解法一：设每吨售价下降10x(0＜x ＜16)元． 由题意，可列方程(260－100－10x)(45＋7.5x)＝9000， 化简，得x 2－10x ＋24＝0，解得x 1＝4，x 2＝6.所以当售价定为每吨200元或220元时，该经销店的月利润均为9000元． 当售价定为每吨200元时，销量更大，所以售价应定为每吨200元． 解法二：设售价定为每吨x 元．由题意，可列方程(x －100)(45＋260－x10×7.5)＝9000.化简，得x 2－420x ＋44000＝0，解得x 1＝200， x 2＝220.因为要尽可能地扩大销售量，所以售价应定为每吨200元． 23．解：(1)设游泳池的宽为x 米，则长为2x 米． 根据题意，得(2x ＋2＋5＋1)·(x ＋2＋2＋1＋1)＝1798， 整理，得x 2＋10x －875＝0，解得x 1＝－35(不合题意，舍去)，x 2＝25. ∴2x ＝2×25＝50.答：游泳池的长为50米，宽为25米．(2)[]（25×3＋50×3）×2＋25×50×50＝(450＋1250)×50＝1700×50＝85000(元)． 答：共需要费用85000元．24．[解析] (1)要使四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的49，此时点P 应在AB 上．才能构成四边形．根据“路程＝速度×时间”，设两动点运动x s ，分别用x 表示BP ，CQ 的长，再根据梯形的面积公式列方程求解；(2)根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑．解：(1)设两动点运动x s 后，四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的49.根据题意，得BP ＝(6－2x)cm ，CQ ＝x cm ，矩形ABCD 的面积是12 cm 2，则有12(x ＋6－2x)×2＝12×49，解得x ＝23.即两动点运动23 s 后，四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的49.(2)存在．设两动点经过t s 使得点P 与点Q 之间的距离为 5 cm . ①当0＜t ≤3时，则有(6－2t －t)2＋4＝5， 整理，得9t 2－36t ＋35＝0，解得t ＝73或53；②当3＜t ≤4时，则有(8－2t)2＋t 2＝5，整理，得5t 2－32t ＋59＝0，此时Δ＝322－4×5×59＝－156＜0，此方程无解． 综上所述，当运动73 s 或53s 时，点P 与点Q 之间的距离为 5 cm .。