数学必修二期末测试题(含答案)
高中数学必修二 期末模拟卷01(含答案)
期末模拟试卷1一、单项选择题1. 若复数(1)(z m m i m =+-∈)R 的虚部为1，则z 在复平面对应的点的坐标为()A. (2,1)-B. (2,1)C. (2,1)-D. ( 2.1)--【答案】A 【解析】 【分析】本题考察复数的概念，共轭复数和复数的几何意义，属于基础题. 根据虚部为1求出m ，再根据共轭复数定义写出答案. 【解答】 解：(1)()z m m i m R =+-∈的虚部为1，11m ∴-=得2m =，所以2z i =+，2z i =-，故z 在复平面对应的点的坐标为(2,1)-， 故答案选.A2. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[]0,10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是()A. 7B. 7.5C. 8D. 9【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一组数据的百分数问题，属于基础题.把该组数据从小到大排列，计算680%⨯，从而找出对应的第80百分位数； 【解答】解：该组数据从小到大排列为：5，5，6，7，8，9，且680% 4.8⨯=， 故选：.C3. 设α为平面，a ，b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是()A. 若//a α，//b α，则//a bB. 若a α⊥，//a b ，则b α⊥C. 若a α⊥，b a ⊥，则//b αD. 若//a α，b a ⊥，则b α⊥【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解． 【解答】解：若//a α，//b α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误； 若a α⊥，//a b ，则由直线与平面垂直的判定定理知b α⊥，故B 正确； 若a α⊥，b a ⊥，则//b α或b α⊂，故C 错误；若//a α，b a ⊥，则//b α，或b α⊂，或b 与α相交，故D 错误． 故选：.B4. 在平行四边形ABCD 中，BE =13BC ，DF =12DC ，则EF = A. -23B. -12+23C.13-34D. -13+34【答案】B 【解析】【分析】本题考查平面向量的加减运算，属于基础题.利用向量的加法表示出EF ，再利用共线转化可得到答案. 【解答】解：因为13BE BC =，12DF DC =， 所以2112.3223EF EC CF BC CD AB AD =+=+=-+故答案选.B5. 已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为()A.3B. C.23π D. 2π【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆的面积、周长、圆锥的侧面积及体积等知识点，考查运算求解能力，属于基础题型.设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据其表面积为3π，得到23rl r +=，再由它的侧面展开图是一个半圆，得到2r l ππ=，联立求得半径和高，利用体积公式求解. 【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ， 因为其表面积为3π，所以23rl r πππ+=，即23rl r +=，又因为它的侧面展开图是一个半圆， 所以2r l ππ=， 即2l r =，所以1,2,r l h ====所以此圆锥的体积为211.33V r h ππ=== 故选：.A6. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事，其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为()A.56B.23C.13D.16【答案】C 【解析】 【分析】本题考查古典概型，是基础题.本题先将所有的基本事件都列出来共9种，再将田忌的马获胜的事件选出共3种，最后计算概率即可. 【解答】解：设田忌的上等马为1A ，中等马为：2A ，下等马为3A ， 齐王的上等马为1B ，中等马为：2B ，下等马为3B ， 双方各自随机选1匹马进行1场比赛产生的基本事件为：11A B ，12A B ，13A B ，21A B ，22A B ，23A B ，31A B ，32A B ，33A B ，共9种；其中田忌的马获胜的事件为：12A B ，13A B ，23A B ，共3种， 所以田忌的马获胜的概率为：31.93P == 故选：.C7. 雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体AD 和底座CD 两部分组成．如图，在Rt ABC 中，70.5ABC ︒∠=，在Rt DBC 中，45DBC ︒∠=，且 2.3CD =米，求像体AD 的高度()(最后结果精确到0.1米，参考数据：sin 70.50.943︒≈，cos70.50.334︒≈，tan 70.5 2.824)︒≈A. 4.0米B. 4.2米C. 4.3米D. 4.4米【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解三角形的实际应用中的高度问题的求解，属于基础题. 在Rt BCD 和Rt ABC 中，利用正切值可求得AC ，进而求得.AD 【解答】解：在Rt BCD 中， 2.3(tan CDBC DBC==∠米)，在Rt ABC 中，tan 2.3 2.824 6.5(AC BC ABC =∠≈⨯≈米)，6.5 2.3 4.2(AD AC CD ∴=-=-=米).故选：.B8. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，原点O 为正八边形12345678PP P P P P P P 的中心，18PP x ⊥轴，若坐标轴上的点(M 异于点)O 满足j 0(i OM OP OP ++=其中1,8i j ，且i 、*)j N ∈，则满足以上条件的点M 的个数为()A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题. 分点M 在x 、y 轴进行分类讨论，可得出点i P 、j P 关于坐标轴对称，由此可得出点M 的个数. 【解答】解：分以下两种情况讨论：①若点M 在x 轴上，则i P 、()*j 1,8,,P i j i j N∈关于x 轴对称，由图可知，1P 与8P 、2P 与7P 、3P 与6P 、4P 与5P 关于x 轴对称， 此时，符合条件的点M 有4个；②若点M 在y 轴上，则i P 、()*j 1,8,,P i j i j N∈关于y 轴对称，由图可知，1P 与4P 、2P 与3P 、5P 与8P 、6P 与7P 关于y 轴对称， 此时，符合条件的点M 有4个.综上所述，满足题中条件的点M 的个数为8. 故选：.D二、多项选择题9. 已知复数z 满足(1)2i z i -=，则下列关于复数z 的结论正确的是()A. ||z =B. 复数z 的共轭复数为1z i =--C. 复平面内表示复数z 的点位于第二象限D. 复数z 是方程2220x x ++=的一个根【答案】ABCD 【解析】 【分析】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确. 【解答】解：因为(1)2i z i -=，所以22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i +-+====-+--+，所以||z ==A 正确；所以1z i =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)222220i i i i -++-++=--++=，所以D 正确. 故选：.ABCD10. 某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A ，B ，C ，D ，E 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是()A. 样本中女生人数多于男生人数B. 样本中B 层人数最多C. 样本中E 层次男生人数为6人D. 样本中D 层次男生人数多于女生人数【答案】ABC 【解析】 【分析】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力. 根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案. 【解答】解：样本中女生人数为：924159360++++=，男生数为1006040-=，A 正确； 样本中A 层人数为：94010%13+⨯=；样本中B 层人数为：244030%36+⨯=；样本中C 层人数为：154025%25+⨯=；样本中D 层人数为：94020%17+⨯=； 样本中E 层人数为：34015%9+⨯=；故B 正确； 样本中E 层次男生人数为：4015%6⨯=，C 正确；样本中D 层次男生人数为：4020%8⨯=，女生人数为9，D 错误. 故选：.ABC11. 已知事件A ，B ，且()0.5P A =，()0.2P B =，则下列结论正确的是()A. 如果B A ⊆，那么()0.2P A B =，()0.5P AB = B. 如果A 与B 互斥，那么()0.7P A B ⋃=，()0P AB = C. 如果A 与B 相互独立，那么()0.7P A B ⋃=，()0P AB = D. 如果A 与B 相互独立，那么()0.4P AB =，()0.4P AB =【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题.A 选项在B A ⊆前提下，计算出()0.5P AB =，()0.2P AB =，即可判断；B 选项在A 与B 互斥前提下，计算出()0.7P A B ⋃=，()0P AB =，即可判断；C 、D 选项在A 与B 相互独立前提下，计算出()0.7P A B ⋃=，()0.1P AB =，()()()0.4P AB P A P B =⋅=，()()()0.4P AB P A P B =⋅=，即可判断.【解答】解：A 选项：如果B A ⊆，那么()0.5P AB =，()0.2P AB =，故A 选项错误；B 选项：如果A 与B 互斥，那么()0.7P A B ⋃=，()0P AB =，故B 选项正确；C 选项：如果A 与B 相互独立，那么()0.7P A B ⋃=，()0.1P AB =，故C 选项错误；D 选项：如果A 与B 相互独立，那么()()()0.4P AB P A P B =⋅=，()()()0.4P AB P A P B =⋅=，故D 选项正确.故选：.BD12. 如图，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，则下列四个命题正确的是()A. 若点M ，N 分别是线段A A '，A D ''的中点，则//MN BC 'B. 点C 到平面ABC D ''的距离为2C. 直线BC 与平面ABC D ''所成的角等于4πD. 三棱柱AA D BB C ''-''的外接球的表面积为3π【答案】ACD 【解析】 【分析】本题考查命题真假的判断，通过线线平行、点到面的距离、线面角，以及外接球的知识点来考查，解题时要注意空间思维能力的培养，是中档题. A 选项：通过平行的传递性得到结论；B 选项：根据点C 到平面ABCD ''的距离为CE ，进一步得到答案;C 选项：根据直线BC 与平面ABCD ''所成的角为CBC ∠'，进一步得出结论； D 选项：根据三棱柱AA D BB C ''-''的外接球的半径为正方体ABCD A B C D -''''体对角线的一半，进一步得到答案.【解答】解：A 选项：若点M ，N 分别是线段A A '，A D ''的中点，则//MN AD '又//BC AD '' 所以//MN BC '，故A 正确；B 选项：连接CB '交BC '于点E ，由题易知点C 到平面ABCD ''的距离为CE ，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，22CE ∴=，故B 错误；C 选项：易知直线BC 与平面ABCD ''所成的角为CBC ∠'，4CBC π∴∠'=，故C 正确；D 选项：易知三棱柱AA D BB C ''-''的外接球的半径为正方体ABCD A B C D -''''体对角线的一半，3R ∴= ∴表面积为2234=4=32R πππ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：.ACD三、填空题13. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos cos sin b C c B a A +=，则A =__________.【答案】2π 【解析】 【分析】本题主要考查正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基础题．根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin A 的值进而求得.A【解答】解：cos cos sin b C c B a A +=，2sin cos sin cos sin()sin sin B C C B B C A A ∴+=+==，sin 0A ≠，sin 1A ∴=，∴由于A 为三角形内角，可得.2A π= 故答案为：.2π14. 已知数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为10，方差为2，则数据121x -，221x -，321x -，…，21n x -的平均数为__________，方差为__________.【答案】198【解析】【分析】本题考查了平均数与方差的计算，考查了运算求解能力，属于基础题.由题意结合平均数公式和方差公式计算即可得解.【解答】 解：由已知条件可得12310n x x x x n++++=， ()()()()2222123101010102n x x x x n -+-+-++-=，所以数据121x -、221x -、321x -、、21n x -的平均数为()()()()12321212121n x x x x x n -+-+-++-=()12321210119n x x x x n++++=-=⨯-=，方差为 ()()()()222212322119211921192119n x x x x s n --+--+--++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=()()()()2222123220*********n x x x x n -+-+-++-=22221234[(10)(10)(10)(10)]428n x x x x n-+-+-++-==⨯=，故答案为：19；8.15. 已知||3a =，||2b =，(2)(3)18a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为__________.【答案】3π 【解析】 【分析】本题考查运用向量数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.先求29a =，24b =，6cos ,a b a b ⋅=，再根据()()2318a b a b +⋅-=-化简整理得1cos ,2a b =，最后求a 与b 的夹角为.3π 【解答】解：||3a =，2b =，22||9a a ∴==，22||4b b ==，||||cos ,6cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，(2)(3)18a b a b +⋅-=-，22696cos ,6418a a b b a b ∴-⋅-=-<>-⨯=-，整理得：1cos ,2a b <>=， a ∴与b 的夹角为：.3π 故答案为：3π16. 如图，在三棱锥V ABC -中，22AB =，VA VB =，1VC =，且AV BV ⊥，AC BC ⊥，则二面角V AB C --的余弦值是__________.【答案】34【解析】【分析】本题考查二面角余弦值的计算，考查二面角的定义，考查计算能力，属于中等题. 取AB 的中点O ，连接VO 、OC ，证明出VO AB ⊥，OC AB ⊥，可得出二面角V AB C --的平面角为VOC ∠，计算出VO 、OC ，利用余弦定理求得cos VOC ∠，由此可得出二面角V AB C --的余弦值.【解答】解：取AB 的中点O ，连接VO 、OC ，如下图所示：VA VB =，O 为AB 的中点，则VO AB ⊥，且AV BV ⊥，22AB =122VO AB ∴== 同理可得OC AB ⊥，且2OC =，所以，二面角V AB C --的平面角为VOC ∠， 由余弦定理得2223cos 24VO OC VC VOC VO OC +-∠==⋅， 因此，二面角V AB C --的余弦值为3.4故答案为：3.4四、解答题17. 已知向量(2,1)a =，(3,1).b =-(1)求向量a 与b 的夹角；(2)若(3,)()c m m R =∈，且(2)a b c -⊥，求m 的值【答案】解：()(1)2,1a =，()3,1b =-，()23115a b ∴⋅=⨯+⨯-=，由题得2||21a =+2||3(b =+=设向量a 与b 的夹角为θ，则5cos 2||||5a b a b θ⋅===⨯， []0,θπ∈，所以4πθ=， 即向量a 与b 的夹角为.4π ()(2)2,1a =，()3,1b =-，()24,3a b ∴-=-，()2a b c -⊥，()20a b c ∴-⋅=，()3,c m =，()4330m ∴-⨯+=，解得 4.m =【解析】本题考查了向量的夹角公式，向量的坐标运算和向量的垂直的条件，属于中档题．(1)根据向量的坐标运算和向量的夹角公式即可求出.(2)根据向量的坐标运算先求出()24,3a b -=-，再由垂直的条件得到()4330m -⨯+=，解得即可．18. 已知a 、b 、c 分别为ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，且a =1c =，2.3A π=(1)求b 及ABC 的面积S ；(2)若D 为BC 边上一点，且，______，求ADB ∠的正弦值．从①1AD =，②6CAD π∠=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答． 【答案】解：(1)由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 整理得260b b +-=， 0b >，2b ∴=，1133sin 212222S bc A ∴==⨯⨯⨯=； (2)选①，如下图所示：在ABC 中，由正弦定理得2sin sin 3AC BC B π=∠， 可得2sin213sin 7AC B BC π∠==， 在ABD 中，AD AB =，则ADB B ∠=∠，21sin sin ADB B ∴∠=∠=选②，在ABC 中，由正弦定理得2sin sin 3AB BC C π=∠， 可得2sin213sin AB C BC π∠== 由于C ∠为锐角，则257cos 1sin 14C C ∠=-∠=，6ADB C π∠=∠+， sin sin ()6ADB C π∴∠=∠+ 31sin cos 22C C =∠+∠ 32115727+.2142147=⨯⨯= 【解析】本题考查利用正、余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，同时也考查了三角恒等变换，考查计算能力，属于中档题.(1)利用余弦定理可得出关于b 的二次方程，可解出b 的值，进而可求得ABC 的面积S ；(2)选①，在ABC 中，利用正弦定理可求得sin B ∠的值，再由AD AB =可得出ADB B ∠=∠，进而可求得ADB ∠的正弦值；选②，利用正弦定理求得sin C ∠的值，由同角三角函数的基本关系可求得cos C ∠，再利用两角和的正弦公式可求得sin ADB ∠的值.19. 在四面体A BCD -中，点E ，F ，M 分别是AB ，BC ，CD 的中点，且2BD AC ==，1.EM =(1)求证：//EF 平面ACD ；(2)求异面直线AC 与BD 所成的角.【答案】解：(1)由题意，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以//EF AC ， 因为EF ⊂/平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，所以//EF 平面ACD ；(2)由(1)知//EF AC ，因为点F ，M 分别是BC ，CD 的中点，可得//FM BD ，所以EFM ∠即为异面直线AC 与BD 所成的角(或其补角).在EFM 中，1EF FM EM ===，所以EFM 为等边三角形，所以60EFM ︒∠=， 即异面直线AC 与BD 所成的角为60.︒【解析】本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及异面直线所成角的求解.(1)由点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，得到//EF AC ，结合线面平行的判定定理，即可求解；(2)由(1)知//EF AC 和//FM BD ，得到EFM ∠即为异面直线AC 与BD 所成的角，在EFM 中，即可求解.20.溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为23，乙队每人回答问题正确的概率分别为123,,234，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．【答案】解：(1)记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B，甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为()2228 33327P A=⨯⨯=，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，其概率为()2222222222(1)(1)(1)(1)(1)(1). 3333333339P B=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=∴甲队总得分为3分与1分的概率分别为827，2.9(2)记“甲队得分为2分”为事件C，记“乙队得分为1分”为事件D，事件C即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，则()2222222224(1)(1)(1) 3333333339P C=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=，事件D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，则()1231231231(1)(1)(1)(1)(1)(1) 2342342344P D=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=，由题意得事件C与事件D相互独立，∴甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：()()()411.949P CD P C P D ==⨯= 【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．(1)记“甲队总得分为3分”为事件A ，记“甲队总得分为1分”为事件B ，甲队得3分，即三人都回答正确，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为3分与1分的概率．(2)记“甲队得分为2分”为事件C ，记“乙队得分为1分”为事件D ，事件C 即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，事件D 即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，由题意得事件C 与事件D 相互独立，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．21. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，点D 为线段AC 的中点，点E 为线段PC 上一点.(1)求证：平面BDE ⊥平面.PAC(2)当//PA 平面BDE 时，求三棱锥P BDE -的体积.【答案】解：(1)证明：因为PA ⊥底面ABC ，且BD ⊂底面ABC ，所以.PA BD ⊥因为AB BC =，且点D 为线段AC 的中点，所以.BD AC ⊥又PA AC A =，所以BD ⊥平面.PAC又BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面.PAC(2)解：因为//PA 平面BDE ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC平面BDE ED =，所以//.ED PA因为点D 为AC 的中点，所以点E 为PC 的中点.法一： 由题意知点P 到平面BDE 的距离与点A 到平面BDE 的距离相等，所以P BDE A BDE V V --=1124E ABD E ABC P ABC V V V ---=== 111222432=⨯⨯⨯⨯⨯ 1.3= 所以三棱锥P BDE -的体积为1.3法二：因为//PA 平面BDE ，由题意知点P 到平面BDE 的距离与点A 到平面BDE 的距离相等.所以P BDE A BDE V V --=，又AC =AD =BD =1DE =，由(1)知，AD BD ⊥，又AD DE ⊥，且BD DE D ⋂=，所以AD ⊥平面BDE ， 所以13A BDE BDE V AD S -=⋅1111.323=⨯= 所以三棱锥P BDE -的体积为1.3法三：又AC =AD =BD =1DE =，由(1)知：BD ⊥平面PDE ，且111222PDE S DE AD =⋅=⨯= 所以P BDE B PDE V V --=13PDE BD S =⋅11.323== 所以三棱锥P BDE -的体积为1.3【解析】本题考查面面垂直的证明，三棱锥的体积，是中档题.(1)先证明PA BD ⊥，再证明BD AC ⊥，从而证明BD ⊥平面PAC ，最后证明平面BDE ⊥平面PAC ；(2)先判断点E 为PC 的中点，再判断三棱锥P BDE -的体积等于三棱锥A BDE -的体积，最后求体积即可.22.2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“33”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3)，每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)由频率分布直方图；()i求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；()ii估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．【答案】解：(1)由(0.0020.00950.0110.01250.00750.0025)201a ++++++⨯=， 得0.005a =；(2)()i 因为(0.0020.00950.011)200.450.5++⨯=<，(0.0020.00950.0110.0125)200.70.5+++⨯=>，所以中位数在[220,240),设中位数为x ，所以(220)0.01250.05x -⨯=，解得224x =，所以物理、化学、生物三科总分成绩的中位数为224；()ii 这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为(0.0021700.00951900.0112100.01252300.0075250⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.0052700.0025290)20(0.34 1.805 2.31 2.875 1.875 1.350.725)+⨯+⨯⨯=++++++20⨯11.2820225.6=⨯=(3)物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中的人数分别为：0.01252010025⨯⨯=人，0.0052010010⨯⨯=人，根据分层随机抽样可知，从成绩在[220,240)的组中应抽取25752510⨯=+人，记为,,,,a b c d e ， 从成绩在[260,280)的组中应抽取2人，记为,f g ，从这7名学生中随机抽取2名学生的所有基本事件为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f a g b c b d b e b f b g c d c e c f c g ，(,),(,),(,),(,),(,),(,)d e d f d g e f e g f g ，共有21种，其中这2名学生来自不同组的共有10种，根据古典概型的概率公式可得所求概率为10.21【解析】本题考查了利用频率分布直方图求中位数、平均数，考查了分层抽样，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.(1)根据7组频率和为1列方程可解得结果；(2)()i 根据前三组频率和为0.450.5<，前四组频率和为0.70.5>可知中位数在第四组，设中位数为x ，根据(220)0.01250.05x -⨯=即可解得结果；()ii 利用各组的频率乘以各组的中点值，再相加即可得解；(3)根据分层抽样可得从成绩在[220,240)的组中应抽取5人，从成绩在[260,280)的组中应抽取2人，再用列举法以及古典概型的概率公式可得解.。
【易错题】高中必修二数学下期末试题(含答案)
故选 D． 【点睛】 本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想 象能力．
6．D
解析：D 【解析】
试题分析： AB 2a, AC 2a b , AC AB b ,b AC AB BC ．
由题意知 b
2, a b
a b cos120
1
2
1 2
棱 CC1 的中点，则异面直线 AB1 和 BM 所成的角为( )
A．
B．
C．
D．
2
3
11．已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x 3 2x ，则不等式
f x 0 的解集为（ ）
A．
,
3 2
0,
3 2
B．
,
3 2
3 2
,
C．
3 2
,
3 2
【详解】
因为 b 在 a 上的投影（正射影的数量）为 2 ，
所以| b | cos a, b 2 ，
即
|
b
|
cos
2 a,
b
，而
1
cos
a,
b
0
，
所以| b | 2 ，
因为
a
2b
2
(a
2b)2
2
a
4a b
2
4b
|
a
|2
4
|
a
||
b|
cos
a, b
4
| b|2
=16 4 4 (2) 4 | b |2 48 4 | b |2
16．在四面体 ABCD中， AB=AD 2, BAD 60,BCD 90，二面角 A BD C 的大小为150 ，则四面体 ABCD 外接球的半径为__________．
人教版高中数学必修二期末测试题一及答案
高中数学必修二期末测试题一一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分。
）1、下图（1）所示的圆锥的俯视图为 （ ）2、直线:30l y ++=的倾斜角α为 （ ）A 、30o ；B 、60o ；C 、120o ；D 、150o 。
3、边长为a 正四面体的表面积是 （ ）A、34a ； B、312a ； C、24a ； D2。
4、对于直线:360l x y -+=的截距，下列说法正确的是 （ ）A 、在y 轴上的截距是6；B 、在x 轴上的截距是6；C 、在x 轴上的截距是3；D 、在y 轴上的截距是3-。
5、已知,a b αα⊂//，则直线a 与直线b 的位置关系是 （ ）A 、平行；B 、相交或异面；C 、异面；D 、平行或异面。
6、已知两条直线12:210,:40l x ay l x y +-=-=，且12l l //，则满足条件a 的值为 （ ）A 、12-； B 、12； C 、2-； D 、2。
7、在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点。
若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为60o，则四边形EFGH 的面积为 （ ）A2； B2； C2； D2。
图（1）ABCD8、已知圆22:260C x y x y +-+=，则圆心P 及半径r 分别为 （ ）A 、圆心()1,3P ，半径10r =；B 、圆心()1,3P ，半径r =C 、圆心()1,3P -，半径10r =；D 、圆心()1,3P -，半径r =。
9、下列叙述中错误的是 （ ）A 、若P αβ∈I 且l αβ=I ，则P l ∈；B 、三点,,A BC 确定一个平面；C 、若直线a b A =I ，则直线a 与b 能够确定一个平面；D 、若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈，则l α⊂。
10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是 （ ）A 、两条平行直线；B 、一点和一条直线；C 、两条相交直线；D 、两个点。
【压轴题】高中必修二数学下期末试题（含答案）
【压轴题】⾼中必修⼆数学下期末试题（含答案）【压轴题】⾼中必修⼆数学下期末试题(含答案)⼀、选择题1．△ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2B ．3C ．2D ．32．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5B ．7C ．9D ．113．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满⾜条件A CB ??的集合C 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（） A ．3B ．2C ．1D ．05．某三棱锥的三视图如图所⽰，则该三棱锥的体积为（）A ．20B ．10C ．30D ．606．设正项等差数列的前n 项和为，若，则的最⼩值为 A ．1 B ．C ．D ．7．已知1sin 34πα??-= ，则cos 23πα??+= （）A ．58-B ．58C ．78-D ．788．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ?++>?=?-+≤在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-9．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>11．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12-B ．10-C ．10D ．1212．如图，在△ABC 中, 13AN NC =u u u v u u u v ,P 是BN 上的⼀点,若29AP m AB AC ??→??→??→=+,则实数m 的值为( )A ．B ．C ．19D ．⼆、填空题13．在ABC △中，若223a b bc -= ，sin 23sin C B = ，则A 等于__________． 14．已知函数()3sin(2)cos(2)(||)2 f x x x π=---<的图象关于y 轴对称,则()f x 在区[6π-,5]12π上的最⼤值为__. 15．已知ABC V ，135B o∠=，22,4AB BC ==，求AB AC ?=u u u r u u u r______．16．函数()12x f x =-的定义域是__________． 17．如图，在矩形中，为边的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆⼼，1为半径作圆弧EB 、EC （在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边所围成的平⾯图形绕直线旋转⼀周，则所形成的⼏何体的体积为 .18．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的⽅程为____________．19．若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最⼩值是_____． 20．在△ABC 中，85a b ==，，⾯积为12，则cos 2C =______．三、解答题21．设ABC ?的内⾓A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且4cos ,25B b ==. （1）当π6A =时，求a 的值；（2）当ABC ?的⾯积为3时，求a+c 的值． 22．已知x ，y ，()0,z ∈+∞，3x y z ++=．（1）求111x y z++的最⼩值（2）证明：2223x y z ≤++．23．已知数列{}n a 是等⽐数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 24．已知数列{}n a 满⾜11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等⽐数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．25．以原点为圆⼼，半径为r 的圆O 222:()0O x y r r +=>与直线380x --=相切. （1）直线l 过点(6)-且l 截圆O 所得弦长为43l l 的⽅程；（2）设圆O 与x 轴的正半轴的交点为M ，过点M 作两条斜率分别为12,k k 12,k k 的直线交圆O 于,A B 两点，且123k k ?=-，证明：直线AB 恒过⼀个定点，并求出该定点坐标.26．如图，平⾏四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为BF 与DE 的交点，若AB a =u u u v v ,AD b =u u u v v ，试以a v ，b v 为基底表⽰DE u u u v 、BF u u uv 、CG u u u v ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除⼀、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单⼀,根据余弦定理整理出关于b 的⼀元⼆次⽅程,再通过解⽅程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考⽣切记！2．A解析：A【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=?==，选A. 3．D解析：D 【解析】【分析】【详解】求解⼀元⼆次⽅程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ??，所以根据⼦集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的⼦集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查⼦集的概念，不等式，解⼀元⼆次⽅程.本题在求集合个数时，也可采⽤列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极⾼.4．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表⽰以()0,0为圆⼼，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表⽰直线y x =上所有的点组成的集合，⼜圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22? ??，22??-- ? ???，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较⼤，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满⾜互异性.5．B解析：B 【解析】【分析】根据三视图还原⼏何体，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】由三视图可得⼏何体直观图如下图所⽰：可知三棱锥⾼：4h =；底⾯⾯积：1155322S == ∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==??=本题正确选项：B 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原⼏何体，从⽽准确求解出三棱锥的⾼和底⾯⾯积. 6．D解析：D 【解析】【分析】先利⽤等差数列的求和公式得出，再利⽤等差数列的基本性质得出，再将代数式和相乘，展开后利⽤基本不等式可求出的最⼩值.【详解】由等差数列的前项和公式可得，所以，，由等差数列的基本性质可得，，所以，，当且仅当，即当时，等号成⽴，因此，的最⼩值为，故选：D.【点睛】本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应⽤，考查利⽤基本不等式求最值，解题时要充分利⽤定值条件，并对所求代数式进⾏配凑，考查计算能⼒，属于中等题。
人教版高中数学必修2期末测试题附答案
高中数学必修2期末测试题考试时间：90分钟 试卷满分：100分一、选择题1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )． A ．21 B ．23 C ．22 D ．223 2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．下列直线中与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的一条是( )． A ．2x ―y ―1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋21y －1＝0 4．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么通过圆心的一条直线方程是( )． A ．2x －y －1＝0 B ．2x ＋y ＋1＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y －1＝05．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )．A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台6．直线3x ＋4y －5＝0与圆2x 2＋2y 2―4x ―2y ＋1＝0的位置关系是( )． A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心7．过点P (a ，5)作圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝4的切线，切线长为32，则a 等于( )． A ．－1B ．－2C ．－3D ．0（4）（3）（1）（2）8．圆A : x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0与圆B : x 2＋y 2―2x ―6y ＋1＝0的位置关系是( )． A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含9．已知点A (2，3，5)，B (－2，1，3)，则|AB |＝( )． A ．6B ．26C ．2D ．2210．如果一个正四面体的体积为9 dm 3，则其表面积S 的值为( )． A ．183dm 2B ．18 dm 2C ．123dm 2D ．12 dm 211．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角余弦值是( )．A ．515 B ．22 C ．510 D ．012．正六棱锥底面边长为a ，体积为23a 3，则侧棱与底面所成的角为( )． A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°13．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的23，此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体表面积为(5＋2)π，则旋转体的体积为( )．A ．2πB ．32＋ 4π C ．32＋ 5π D ．37π 14．在棱长均为2的正四棱锥P －ABCD 中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是( )．A ．BE ∥平面P AD ，且BE 到平面P AD 的距离为3B ．BE ∥平面P AD ，且BE 到平面P AD 的距离为362C ．BE 与平面P AD 不平行，且BE 与平面P AD 所成的角大于30° D ．BE 与平面P AD 不平行，且BE 与平面P AD 所成的角小于30° 二、填空题PABCDE (第14题)(第11题)15．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是______________． 16．若圆B : x 2＋y 2＋b ＝0与圆C : x 2＋y 2－6x ＋8y ＋16＝0没有公共点，则b 的取值范围是________________．17．已知△P 1P 2P 3的三顶点坐标分别为P 1(1，2)，P 2(4，3)和P 3(3，－1)，则这个三角形的最大边边长是__________，最小边边长是_________．18．已知三条直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a 的值为____________．19．若圆C : x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB ＝90º，则实数m 的值为__________．三、解答题 20．求斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．21．如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱P A 与底面ABCD 所成的角的正切值为26． (1)求侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；(3)问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由．22．求半径为4，与圆x 2＋y 2―4x ―2y ―4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．(第21题)BP参考答案一、选择题 1．D2．A3．B4．B5．C6．D7．B8．C9．B10．A 11．D 12．B 13．D 14．D 二、填空题15．y ＝3x －6或y ＝―3x ―6． 16．－4＜b ＜0或b ＜－64． 17．17，10． 18．－1． 19．－3． 三、解答题20．解：设所求直线的方程为y ＝43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－34b ，由已知，得21 34 － ⎪⎭⎫⎝⎛b b ·＝6，即32b 2＝6， 解得b ＝±3．故所求的直线方程是y ＝43x ±3，即3x －4y ±12＝0． 21．解：(1)取AD 中点M ，连接MO ，PM ， 依条件可知AD ⊥MO ，AD ⊥PO ，则∠PMO 为所求二面角P －AD －O 的平面角． ∵ PO ⊥面ABCD ，∴∠P AO 为侧棱P A 与底面ABCD 所成的角． ∴tan ∠P AO ＝26． 设AB ＝a ，AO ＝22a ， ∴ PO ＝AO ·tan ∠POA ＝23a ， tan ∠PMO ＝MOPO＝3． ∴∠PMO ＝60°．MDBACOEP(第21题(1))(2)连接AE ，OE ， ∵OE ∥PD ，∴∠OEA 为异面直线PD 与AE 所成的角． ∵AO ⊥BD ，AO ⊥PO ，∴AO ⊥平面PBD ．又OE 平面PBD ，∴AO ⊥OE ．∵OE ＝21PD ＝2122 ＋ DO PO ＝45a ，∴tan ∠AEO ＝EOAO＝5102．(3)延长MO 交BC 于N ，取PN 中点G ，连BG ，EG ，MG ． ∵BC ⊥MN ，BC ⊥PN ，∴BC ⊥平面PMN ． ∴平面PMN ⊥平面PBC ．又PM ＝PN ，∠PMN ＝60°，∴△PMN 为正三角形．∴MG ⊥PN ．又平面PMN ∩平面PBC ＝PN ，∴MG ⊥平面PBC ．取AM 中点F ，∵EG ∥MF ，∴MF ＝21MA ＝EG ，∴EF ∥MG ．∴EF ⊥平面PBC ．点F 为AD 的四等分点．22．解：由题意，所求圆与直线y ＝0相切，且半径为4， 则圆心坐标为O 1(a ，4)，O 1(a ，－4)．又已知圆x 2＋y 2―4x ―2y ―4＝0的圆心为O 2(2，1)，半径为3， ①若两圆内切，则|O 1O 2|＝4－3＝1．即(a －2)2＋(4－1)2＝12，或(a －2)2＋(－4－1)2＝12． 显然两方程都无解．②若两圆外切，则|O 1O 2|＝4＋3＝7．即(a －2)2＋(4－1)2＝72，或(a －2)2＋(－4－1)2＝72． 解得a ＝2±210，或a ＝2±26． ∴所求圆的方程为(x ―2―210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16； 或(x ―2―26)2＋(y ＋4)2＝16或(x ―2＋26)2＋(y ＋4)2＝16．MDBACO EP(第21题(2))M DBACOE PN G F(第21题(3))。
高中数学必修二期末试卷及答案
一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．在直角坐标系中，已知A(－1，2)，B(3，0)，那么线段AB中点的坐标为中点的坐标为(()．A．(2，2)B．(1，1)C．(－2，－2)D．(－1，－1) 2．右面三视图所表示的几何体是．右面三视图所表示的几何体是(()．A．三棱锥．三棱锥B．四棱锥．四棱锥C．五棱锥．五棱锥D．六棱锥．六棱锥3．如果直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平行，则实数k的值为的值为(()．A．2 B．21C．－2 D．－214．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为(()．A．1 B．2 C．3 D．4 5．下面图形中是正方体展开图的是．下面图形中是正方体展开图的是(()．6．圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的圆心坐标是的圆心坐标是(()．A．(－2，4) B．(2，－4) C．(－1，2) D．(1，2)7．直线y＝2x＋1关于y轴对称的直线方程为轴对称的直线方程为(()．A．y＝－2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－1 D．y＝－x－1 8．已知两条相交直线a，b，a∥平面 a，则b与a 的位置关系是的位置关系是(()．A．bÌ平面a B．b⊥平面aC．b∥平面a D．b与平面a相交，或b∥平面a9．在空间中，a，b是不重合的直线，a，b是不重合的平面，则下列条件中可推出是不重合的平面，则下列条件中可推出a∥b的是的是(()．A．aÌa，bÌb，a∥b B．a∥a，bÌbC．a⊥a，b⊥a D．a⊥a，bÌa10．圆x2＋y2＝1和圆x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系是的位置关系是(()．正视图正视图 侧视图侧视图俯视图俯视图(第2题)11．如图，正方体ABCD —A'B'C'D'中，直线D'A 与DB 所成的角可以表示为所成的角可以表示为(( )． A ．∠D'DB B ．∠AD' C' C ．∠ADBD ．∠DBC'12． 圆(x －1)2＋(y －1)2＝2被x 轴截得的弦长等于轴截得的弦长等于(( )． A ． 1 B ．23C ． 2 D ． 3 13．如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是中点，则下列叙述正确的是(( )．A ．CC 1与B 1E 是异面直线是异面直线 B ．AC ⊥平面A 1B 1BAC ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E14．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 4 cm cm ，高为12 12 cm cm ．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色个这种相同规格的笔筒涂色((笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计要涂色，笔筒厚度忽略不计))． 如果每0.5 kg 涂料可以涂1 m 2，那么为这批笔筒涂色约需涂料．，那么为这批笔筒涂色约需涂料．A ．1.23 kg B ．1.76 kg C ．2.46 kg D ．3.52 kg 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．分．把答案填在题中横线上． 15．坐标原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为的距离为 ．16．以点A (2，0)为圆心，且经过点B (－1，1)的圆的方程是 ．17．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1——ABCD 的体积与长方体的体积之比为_______________．18．在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_______________________________________．三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．已知直线l 经过点经过点((0，－2)，其倾斜角是60°． (1)求直线l 的方程；的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积．与两坐标轴围成三角形的面积． 20．如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ， AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点．的中点．(1)求证：DE ∥平面P AC ；CBAD A ¢ B ¢C ¢D ¢(第11题)A 1 B 1 C 1 ABEC(第13题)ABC DD1 C 1 B 1 A 1 (第17题)ACPE(2)求证：AB ⊥PB ；21．已知半径为5的圆C 的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．相切． (1)求圆C 的方程；的方程；(2)设直线ax －y ＋5＝0与圆C 相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；的取值范围；(3) 在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．存在，请说明理由．22．为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)且圆心C 在直线L:x-y+1=0上，求圆心为C 的圆的标准方程 23.知圆22:68210C x y x y +--+=和直线:430l kx y k --+=．⑴ 证明：不论证明：不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交；总相交；⑵ 当当k 取何值时，圆C 被直线l 截得的弦长最短？并求最短的弦的长度截得的弦长最短？并求最短的弦的长度24知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切;②在直线y =x 上截得弦长为27;③圆心在直线x －3y =0上. 求圆C 的方程. 25，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE 的中点，求证：(1) FD ∥平面ABC; (2) AF ⊥平面EDB.26．图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是CB 、CD 、CC 1的中点，的中点， （1） 求证：平面A B 1D 1∥平面EFG; （2） 求证：平面AA 1C ⊥面EFG.F EDCBAM FGE C1D1A1B1DC ABPD 1B 1D B。
【易错题】高中必修二数学下期末试卷(带答案)(2)
【易错题】高中必修二数学下期末试卷(带答案)(2)一、选择题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?D ．k ＞7?3．在ABC ∆中，2AB =2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ∆所在平面内一点且满足222OA OB OC ==u u u v u u u v v ，则·AE AO u u u v u u u v 的值为（ ）A ．12B ．1C ．22D ．324．已知不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为（ ） A ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 C ．{}21x x -<<D ．{}21x x x <->或5．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，函数()()210216()122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[]()2()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．51,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1111,,2448⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．11,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭6．要得到函数2sin 2y x x =+2sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位7．若||1OA =u u u v ，||OB u u u v 0OA OB ⋅=u u u v u u u v，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOBu u u v u u u v u u u v =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ）A ．13B ．3C ．3D 8．已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是 A ．11()()22ab>B ．ln ln a b >C ．11a b> D ．11ln ln a b> 9．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35 C ．25D ．1510．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称11．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ）A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)212．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2＝8与圆C 2 : x 2+y 2+2x +y -a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1DD 、DC 上靠近点D 的三等分点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.16．已知圆的方程为x 2+y 2﹣6x ﹣8y ＝0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为17．已知点()M a b ，在直线3415x y +＝22a b +_______． 18．若a 10=12，a m =22，则m =______． 19．设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)12πα+的值为______. 20．若两个向量a v 与b v 的夹角为θ，则称向量“a b ⨯v v”为向量的“外积”，其长度为sin a b a b θ⨯=v v v v .若已知1a =v ，5b =v ，4a b ⋅=-v v ，则a b ⨯=v v .三、解答题21．已知：a b c v v v、、是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =v（1）若25c =v ，且//c a v v ，求c v的坐标；（2）若5b =v2a b +v v 与2a b -v v 垂直，求a v 与b v 的夹角θ. （3）若()1,1b =v ，且a v 与a b λ+v v的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.22．设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且4cos ,25B b ==. （1）当π6A =时，求a 的值； （2）当ABC ∆的面积为3时，求a+c 的值．23．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．24．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()20a c cosB bcosC --=. (1)求角B 的大小；(2)若2b =，求a c +的取值范围. 25．已知数列{a n }满足a 1＝1，1114n na a +=-，其中n ∈N *．（1）设221 nnba=-，求证：数列{b n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式．（2）设41nnacn=+，数列{c n c n+2}的前n项和为T n，是否存在正整数m，使得11nm mTc c+<对于n∈N*，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明．26．以原点为圆心，半径为r的圆O222:()0O x y r r+=>与直线380x y--=相切.（1）直线l过点(2,6)-且l截圆O所得弦长为43求直线l l的方程；（2）设圆O与x轴的正半轴的交点为M，过点M作两条斜率分别为12,k k12,k k的直线交圆O于,A B两点，且123k k⋅=-，证明：直线AB恒过一个定点，并求出该定点坐标.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】∵集合{}124A，，=，{}2|40B x x x m=-+=，{}1A B⋂=∴1x=是方程240x x m-+=的解，即140m-+=∴3m=∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x=-+==-+==，，故选C2．A解析：A【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S=+==+=，第二次运行213,8311k S=+==+=，第三次运行314,22426k S=+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.考点：程序框图.3．D解析：D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知()12AE AB AC =+u u u v u u u v u u u v，将所求数量积化为1122AB AO AC AO ⋅+⋅u u uv u u u v u u u v u u u v ；由模长的等量关系可知AOB ∆和AOC ∆为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ⋅u u u v u u u v 和AC AO ⋅u u u v u u u v 化为212AB u u uv 和212AC u u u v ，代入可求得结果.【详解】E Q 为BC 中点 ()12AE AB AC ∴=+u u u v u u u v u u u v()111222AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴⋅=+⋅=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v222OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v Q AOB ∴∆和AOC ∆为等腰三角形211cos 22AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴⋅=∠=⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，同理可得：212AC AO AC ⋅=u u u v u u u v u u u v22111314422AE AO AB AC ∴⋅=+=+=u u u v u u u v u u u v u u u v本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.4．A解析：A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程求得,a b ；利用一元二次不等式的解法可求得结果.【详解】220ax bx ++>Q 的解集为{}12x x -<<1∴-和2是方程220ax bx ++=的两根，且0a <1212122baa⎧-=-+=⎪⎪∴⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩ 222210x bx a x x ∴++=+-< 解得：112x -<<，即不等式220x bx a ++<的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故选：A 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系等知识的应用；关键是能够通过一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，进而利用韦达定理构造方程求得变量.5．B解析：B 【解析】 【分析】作出函数()y f x =的图像，设()f x t =，从而可化条件为方程20t at b ++=有两个根，利用数形结合可得114t =，2104t <<，根据韦达定理即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由题意，作出函数()y f x =的图像如下，由图像可得，10()(2)4f x f ≤≤=Q 关于x 的方程[]()2()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，设()f x t =，20t at b ∴++=有两个根，不妨设为12,t t ；且114t =，2104t << 又12a t t -=+Q11,24a ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.6．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数2sin 2y x x =+-. 【详解】依题意2ππsin 22sin 22sin 236y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位.所以选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.7．B解析：B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】解：30AOC ︒∠=Qcos ,2OC OA ∴<>=u u u r u u u rOC OA OC OA⋅∴=u u u r u u u r u u u r u u u r()2mOA nOB OA mOA nOBOA+⋅∴=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r=1OA =Q，OB =，0OA OB ⋅==229m n∴=又CQ在AB上m∴>，0n>3mn∴=故选：B【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．8．B解析：B【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项.【详解】依题意01a b<<<，由于12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭为定义域上的减函数，故11()()22a b>，故A选项不等式成立.由于lny x=为定义域上的增函数，故ln ln0a b<<，则11ln lna b>，所以B选项不等式不成立，D选项不等式成立.由于01a b<<<，故11a b>，所以C选项不等式成立.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.9．C解析：C【解析】选取两支彩笔的方法有25C种，含有红色彩笔的选法为14C种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105CpC===.本题选择C选项.考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.10．D解析：D 【解析】()sin(2)cos(2))2442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.11．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.12．B解析：B 【解析】 【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 【详解】如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ． 连BF ，Q 平面CDE ⊥平面ABCD ．,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===，5,2MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠，故选B ．【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性．二、填空题13．【解析】【分析】先求得直线为：再分别讨论或和的情况根据几何性质求解即可【详解】由题则直线为：当或时设到的距离为因为等腰直角三角形所以即所以所以解得当时经过圆心则即故答案为：【点睛】本题考查圆与圆的位 解析：{}8,825,825-+【解析】 【分析】先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可 【详解】由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d , 因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即2182d d =-,所以2d =, 228221a d -==+,解得825a =±当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =, 故答案为：{}8,825,825-+ 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想14．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等 解析：60o【解析】 【分析】连接1CD ，可得出1//EF CD ，证明出四边形11A BCD 为平行四边形，可得11//A B CD ，可得出异面直线EF 与11A C 所成角为11BA C ∠或其补角，分析11A BC ∆的形状，即可得出11BA C ∠的大小，即可得出答案.【详解】连接1CD 、1A B 、1BC ，113DEDF DD DC ==Q，1//EF CD ∴， 在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D AD ，//AD BC ，11//A D BC ∴， 所以，四边形11A BCD 为平行四边形，11//A B CD ∴， 所以，异面直线EF 与11A C 所成的角为11BA C ∠.易知11A BC ∆为等边三角形，1160BA C ∴∠=o.故答案为：60o . 【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.15．2米【解析】【分析】【详解】如图建立直角坐标系设抛物线方程为将A （2-2）代入得m=-2∴代入B 得故水面宽为米故答案为米考点：抛物线的应用解析：6米 【解析】 【分析】 【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将A （2，-2）代入2x my =， 得m=-2，∴22x y =-，代入B ()0,3x -得06x =故水面宽为266 考点：抛物线的应用16．20【解析】【分析】根据题意可知过（35）的最长弦为直径最短弦为过（35）且垂直于该直径的弦分别求出两个量然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可【详解】解：圆的标准方程为（x ﹣解析：6 【解析】 【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可． 【详解】解：圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝52， 由题意得最长的弦|AC |＝2×5＝10，根据勾股定理得最短的弦|BD |＝2251-=6，且AC ⊥BD ， 四边形ABCD 的面积S ＝|12AC |•|BD |12=⨯10×6=6． 故答案为6． 【点评】考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．17．3【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离再由点到直线距离公式即可得出结果【详解】可以理解为点到点的距离又∵点在直线上∴的最小值等于点到直线的距离且【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用属于解析：3 【解析】 【分析】22a b +()0,0到点(),a b 的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果.【详解】()0,0到点(),a b的距离，又∵点(),M a b在直线:3425l x y+=()0,0到直线34150x y+-=的距离，且3d==.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型.18．5【解析】解析：5【解析】5,52a m====19．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦解析：50【解析】试题分析：247cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-=⎪⎝⎭，24sin(2)325πα+=，所以sin(2)sin(2)1234πππαα+=+-2472252550⎫=-=⎪⎝⎭.考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．【思路点晴】本题主要考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式.题目的已知条件是单倍角，并且加了6π，我们考虑它的二倍角的情况，即247cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-=⎪⎝⎭，同时求出其正弦值24sin(2)325πα+=，而要求的角sin(2)sin(2)1234πππαα+=+-，再利用两角差的正弦公式，就能求出结果.在求解过程中要注意正负号.20．3【解析】【分析】【详解】故答案为3【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义利用向量的数量积转化是解决本题的关键解析：3【解析】【分析】【详解】44 155a b a b a b cos cos a b θθ⋅-⋅∴-⨯v v v v v vv v Q ＝＝＝＝33[0sin 15355sin a b a b θπθθ∈∴⨯=⨯⨯v v Q v v ，），＝，＝＝故答案为3. 【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义，利用向量的数量积转化是解决本题的关键，三、解答题21．（1）（2,4）或（-2，-4） （2）π （3）()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）设(,)c x y =r，根据条件列方程组解出即可；（2）令(2)(2)0a b a b +⋅-=r rr r 求出a b ⋅r r ，代入夹角公式计算；（3）利用()0a a b λ+>⋅r r r ，且a r 与a λb +r r 不同向共线，列不等式求出实数λ的取值范围.【详解】 解：设(,)c x y =r，∵c =r //c a r r，∴222020y x x y -=⎧⎨+=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩， ∴(2,4)c =r 或(2,4)c =--r；（2）∵2a b +r r 与2a b -r r垂直，∴(2)(2)0a b a b +⋅-=r rr r ，即222320a a b b +⋅-=r r r r ，∴52a b ⋅=-r r ，∴5cos 1||||a ba b θ-⋅===-r r r r ，∴a r与b r的夹角为π；（3）a r Q 与a λb +r r的夹角为锐角则()0a a b λ+>⋅r r r ，且a r 与a λb +rr 不同向共线，()25(12)0a aa ab b λλλ+==+>∴⋅++⋅r r r r rr ，解得：53λ>-， 若存在t ，使()a b a t λ=+r r r，0t > ()()1,21,1(1,2)a b λλλλ+=+=++r rQ则()1,2(1,2)t λλ=++，122t t t t λλ+=⎧∴⎨+=⎩，解得：10t λ=⎧⎨=⎩， 所以53λ>-且0λ≠， 实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，利用数量积研究夹角，注意夹角为锐角，数量积大于零，但不能同向共线，夹角为钝角，数量积小于零，但不能反向共线，本题是中档题． 22．（1）53a =（2）a c +=【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系式，求出sin B ，利用正弦定理求出a 即可．（2）通过三角形的面积求出ac 的值，然后利用余弦定理即可求出a +c 的值． 试题解析: 解：（1）43cos ,sin 55B B =∴=Q . 由正弦定理得10,sin sin 3sin 6a b a A B π==可得. 53a ∴=. （2）ABC ∆Q 的面积13sin ,sin 25S ac B B ==， 33,1010ac ac ∴==. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得4=22228165a c ac a c +-=+- ,即2220a c +=.∴()()22220,40a c ac a c +-=+=，∴a c +=点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.23．（1）11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析；（3）12n n a n -=⋅.【解析】 【分析】（1）根据题中条件所给的数列{}n a 的递推公式()121n n na n a +=+，将其化为()121n n n a a n++=，分别令1n =和2n =，代入上式求得24a =和312a =，再利用nn a b n=，从而求得11b =，22b =，34b =； （2）利用条件可以得到121n na a n n+=+，从而 可以得出12n n b b +=，这样就可以得到数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（3）借助等比数列的通项公式求得12n n a n-=，从而求得12n n a n -=⋅.【详解】（1）由条件可得()121n n n a a n++=．将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =． 将2n =代入得，323a a =，所以，312a =． 从而11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n na a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =， 所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列； （3）由（2）可得11122n n nn a b n--==⨯=，所以12n n a n -=⋅． 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列{}n b 的通项公式，借助于{}n b 的通项公式求得数列{}n a 的通项公式，从而求得最后的结果. 24．（1）3B π=；（2）(]2,4.【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简()20a c cosB bcosC --=得：() 2sinA sinC cosB sinBcosC -=，再由正弦两角和差公式和化为：()2sinAcosB sinBcosC cosBsinC sin B C =+=+，再由()sin B C sinA +=得出cos B的值即可；（2）由sin 3b B =得出a A =，c C =，得到a c A C +=+，进而得到sin 6a c A π+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据角的范围得到sin 6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭+的范围即可.【详解】(1)Q 由()20a c cosB bcosC --=， 可得：() 2sinA sinC cosB sinBcosC -=，2sinAcosB sinBcosC cosBsinC ∴=+，可得：()2sinAcosB sin B C sinA =+=，(0,)A π∈Q ，0sinA >，∴可得12cosB =， 又由(0,)B π∈得：3B π=，(2)sin b B =Qa A =，c C =， Q 23A C π+=，]sin sin sin()333a c A C A A B ∴+=+=++1sin sin()sin sin 32A A A A A π⎤⎤=++=+⎥⎥⎦⎣⎦14cos 4sin()26A A A π⎤=+=+⎥⎣⎦，203A π<<Q ，5666A πππ<+<， 可得：1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， ∴a c +的取值范围(]2,4.【点睛】本题主要考查解三角形，侧重考查正弦定理的应用，考查辅助角公式的运用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题. 25．（1）12n n a n+=；（2）3 【解析】 试题分析：(1)结合递推关系可证得b n +1-b n =2，且b 1＝2，即数列{b n }是首项为2，公差为2的等差数列，据此可得数列{}n a 的通项公式为12n n a n+=． (2)结合通项公式裂项有21122n n c c n n ，+⎛⎫=-⎪+⎝⎭求和有111213212n T n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭．据此结合单调性讨论可得正整数m 的最小值为3． 试题解析： （1）证明：b n +1-b n 1222121n n a a +=---222112114n n a a =--⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 4222121n n n a a a =-=--． 又由a 1＝1，得b 1＝2，所以数列{b n }是首项为2，公差为2的等差数列，所以b n ＝2+(n -1)×2＝2n ，由221n n b a =-，得12n n a n+=． （2）解：2n c n =，()2411222n n c c n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以111213212n T n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭．依题意，要使11n m m T c c +<对于n ∈N *恒成立，只需()134m m +≥，解得m ≥3或m ≤-4．又m ＞0，所以m ≥3，所以正整数m 的最小值为3．26．（1）2x =-或20x +-=100x +-=；（2）(2,0). 【解析】分析：（1）先由直线和圆相切得到圆的方程，再由垂径定理列式，分直线斜率存在与不存在两种情况得到结果；（3）联立直线和圆，由韦达定理得到交点的坐标，由这两个点写出直线方程，进而得到直线过定点. 详解：(1)∵圆222:(0)O x y r r +=>与直线0x y -+=80x --=相切， ∴圆心O到直线的距离为4d ==，∴圆O 的方程为：2216x y +=若直线l 的斜率不存在，直线l 为2x =- 1x =， 此时直线l截圆所得弦长为若直线l 的斜率存在，设直线l为()2y k x =+()1y k x =-，由题意知，圆心到直线的距离为1d == 2d =，解得：k = 此时直线l为100x +-=，则所求的直线l 为2x =-或20x +-=-100x += （2）由题意知，()4,0M ()2,0A -，设直线()1:4MA y k x =-，与圆方程联立得：()12224y k x x y ⎧=+⎨+=⎩ ()122416y k x x y ⎧=-⎨+=⎩， 消去y 得：()()222211114440k x k x k +++-= ()22221111816160k x k x k +-+-=，∴()21211611M A k x x k -=+∴()2121411Ak xk -=+，12181Ak yk -=+ 用13k -换掉1k 得到B 点坐标 ∴21213649B k x k -=+，121249B k y k =+ 12141B k y k =+ ∴直线AB 的方程为21112221118444131k k k y x k k k ⎛⎫-+=- ⎪+-+⎝⎭整理得：()121423k y x k =-- 则直线AB 恒过定点为()2,0.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．。
高一数学必修二期末测试题及答案解析
(A)（B ） (C) (D)图１ 高一数学必修二期末测试题（总分100分 时间100分钟）班级：______________：______________一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１．如图１所示，空心圆柱体的主视图是（ ）2．过点()4,2-且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 （ ） (A)１条 （B ）２条 (C)３条 (D)４条3．如图2，已知E 、F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，设α为二面角D AE D --1的平面角，则αsin ＝（ ）(A)32（B ）35(C) 32 (D)322 4．点(,)P x y 是直线l ：30x y ++=上的动点，点(2,1)A ，则AP 的长的最小值是( )(A)2 （B ） 22 (C)32 (D)425．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短 路径长度是（ ）（A ）4（B ）5 （C ）321- （D ）26图２6．下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l =βα ，那么l ⊥平面γ D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β7．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为（ ） （A ）4± （B ）2± （C ） 22± （D ）2±8．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点)2,0(A 与点B(4,0)重合．若此时点)3,7(C 与点),(n m D 重合，则n m +的值为（ ） (A)531(B)532 (C) 533 (D)534二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．在空间直角坐标系中，已知)5,2,2(P 、),4,5(z Q 两点之间的距离为7，则z =_______． 10．如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行； ④当1AA E ∈时，BF AE +是定值． 其中正确说法是 ．11．四面体的一条棱长为x ，其它各棱长均为1，若把四面体的体积V 表示成关于x 的函数)(x V ，则函数)(x V 的单调递减区间为 ．12．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则公共弦AB 所在直线的直线方程是 ．13．在平面直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是 ．14．正六棱锥ABCDEF P -中，G 为侧棱PB 的中点，则三棱锥D GAC 与三棱锥P GAC 的体积之比GAC P GAC D V V --:＝ ．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为43-. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程.16．(本题10分)如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.17．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x . (1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．数学必修二期末测试题及答案CA一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１C ， 2Ｃ， 3B ， 4C ， 5A ， 6D ， 7B ， 8D.二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9． 111或-=z ； 10． ①③④； 11． ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,26 ； 12． 30x y +=； 13． 150°； 14． 2：1．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为43-. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程. 解析：（Ⅰ）由直线方程的点斜式，得),2(435+-=-x y 整理，得所求直线方程为.01443=-+y x……………4分 （Ⅱ）过点（2，2）与l 垂直的直线方程为4320x y --=， ……………5分由110,4320.x y x y +-=⎧⎨--=⎩得圆心为（5，6），……………7分∴半径22(52)(62)5R -+-=， ……………9分故所求圆的方程为22(5)(6)25x y -+-=． ………10分 16．(本题10分) 如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.解析：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11⊥底面ABC ，且侧面C C BB 11∩底面ABC =BC ， ∵∠ABC =90°，即BC AB ⊥，∴⊥AB 平面C C BB 11 ∵⊂1CB 平面C C BB 11，∴AB CB ⊥1. ……2分 ∵1BC CC =，1CC BC ⊥，∴11BCC B 是正方形， ∴11CB BC ⊥，∴11ABC CB 平面⊥. …………… 4分 （Ⅱ）取1AC 的中点F ，连BF 、NF . ………………5分 在△11C AA 中，N 、F 是中点，∴1//AA NF ,121AA NF =，又∵1//AA BM ,121AA BM =，∴BM NF //,BM NF =，………6分故四边形BMNF 是平行四边形，∴BF MN //，…………8分而BF ⊂面1ABC ，MN ⊄平面1ABC ，∴//MN 面1ABC ……10分 17．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x .(1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． 解析：(1)方程04222=+--+m y x y x ，可化为 (x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∵此方程表示圆， ∴5－m ＞0，即m ＜5.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0，消去x 得(4－2y )2＋y 2－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0， 化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝165， ①y 1y 2＝m ＋85. ②由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0， 即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0， ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0. 将①②两式代入上式得NM BD CA16－8×165＋5×m ＋85＝0，解之得m ＝85. (3)由m ＝85，代入5y 2－16y ＋m ＋8＝0，化简整理得25y 2－80y ＋48＝0，解得y 1＝125，y 2＝45.∴x 1＝4－2y 1＝－45，x 2＝4－2y 2＝125. ∴M ⎝⎛⎭⎫－45，125，N ⎝⎛⎭⎫125，45， ∴MN 的中点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，85.又|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫125＋452＋⎝⎛⎭⎫45－1252＝855， ∴所求圆的半径为455.∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165. 18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．解析：（1）证明：取PB 中点Q ，连结MQ 、NQ ，因为M 、N 分别是棱AD 、PC 中点，所以QN//BC//MD ，且QN=MD ，于是DN//MQ ．PMB DN PMB DN PMB MQ MQDN 平面平面平面////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊆. …………………4分（2）MB PD ABCD MB ABCD PD ⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥平面平面又因为底面ABCD 是60=∠A ,边长为a 的菱形，且M 为AD 中点， 所以AD MB ⊥.又所以PAD MB 平面⊥..PAD PMB PMB MB PAD MB 平面平面平面平面⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥………………8分（3）因为M 是AD 中点，所以点A 与D 到平面PMB 等距离.过点D 作PM DH ⊥于H ，由（2）平面PMB ⊥平面P AD ，所以PMB DH 平面⊥．故DH 是点D 到平面PMB 的距离..55252a a aaDH =⨯=所以点A 到平面PMB 的距离为a 55.………12分。
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V - ABCD 的体积．
V
D A M B
C
圆O1 : x y 1与圆O2 （ : x－3） （y＋4） 9 ，
2 2 2 2
a
则 圆O1与圆O2 的位置关系为
． ① ② ***19．（本小题满分 12 分）如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 为 棱 AD、AB 的中点． （1）求证：EF∥平面 CB1D1； （2）求证：平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1．
AA1⊥B1D1. 又 在正方形 A1B1C1D1 中，A1C1⊥B1D1， B1D1⊥平面 CAA1C1.
又 B1D1 平面 CB1D1，
- 4 -
平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1． 20. 解：（Ⅰ） l1 与 l2 分别过定点（0,0）、（2,1），且两两垂直，∴ l1 与 l2
2 2
2
点 P (a, b) 向 圆 O 引切线 PQ ，切 点为 Q ， 且满足
A
0 2
PQ PA ．
(1) 求实数 a、b 间满足的等量关系； (2) 求线段 PQ 长的最小值； (3) 若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 O 有公共点，试求半 径取最小值时圆 P 的方程．
x P
Q
***21. （本小题满分 12 分） 如图，在棱长为 a 的正方体 A1 B1C1 D1 ABCD 中，
P P2(2,1) P1 O
EF // B1D1 .
又 B1D1 平面 CB1D1 ， EF 平面 CB1D1 ，
x
EF∥平面 CB1D1.
C B （2） 在长方体 AC1 中，AA1⊥平面 A1B1C1D1，而 B1D1 平面 A1B1C1D1，
正 四 棱 锥 V － ABCD 的 体 积 为
4
直
2
(B)
5 3 (C) (D) 4 2
线
2
*4.长方体的三个面的面积分别是 2、 3、 6 ，则长方体的体积是（ ）． A． 3 2 B． 2 3 C． 6 D．6 （ D、 4 a 2 ）
x 2y 3 0
与
圆
俯视图
(x 2) ( y 3) 9 交于 E、F 两点，则 EOF
A 到面 A1BC1 的距离，也就是点 （3）线 AC 到面 A 1 BC1 的距离即为点
1 1 3a . VB1 BA1C1 VB A1B1C1 ，即 SA1BC1 h S A1B1C1 BB1 ，∴ h 3 3 3
（4） C(a, a,0), C1 (a, a, a) 22. 解：（1）连 OP, Q 为切点， PQ OQ ，由勾股 定理有
1 3 1 3 y
CD⊥AB， CD⊥OC. CD 所在直线的斜率为 kCD 1 .
3
19. （1）证明:连结 BD. 在长方体 AC1 中，对角线 BD // B1D1 . 又 E、F 为棱 AD、AB 的中点， EF // BD .
1 CD 所在直线方程为 y 3 ( x 1)， 即x 3 y 10 0 . 3 18. 解法 1： 正四棱锥 V - ABCD 中，ABCD 是正方形， 1 1 1 MC AC BD 6 3 (cm). V 2 2 2 1 1 且 S ABCD AC BD 6 6 18 (cm2). 2 2 VM 是棱锥的高 , Rt△VMC 中， D 2 2 2 2 VM VC MC 5 3 4 (cm). M A
21.解：（1）在面 ABCD 内过点 B 作 AC 的平行线 BE ，易知 BE 即为直线 l ，
（3）设圆 P 的半径为 R ，
AC ∥ l ，∴ l ∥ AC ∵ AC ∥ AC 1 1， 1 1.
（2）易证 AC 1D 1 ，∴ AC 1B ⊥ B 1 1 ⊥面 DBB 1 1⊥B 1 D ，同理可证 A 1D ， 又 AC 1B = A 1 1 A 1 ，∴ B 1 D ⊥面 A 1 BC1 .
2
2 2
6 5
9 ， 5
6 时， OP 3 5. min 5 5
y
3 ， Rmin 3 5 1 . 5 5 得半径取最小值时圆 P 的方程为 ( x 6 ) 2 ( y 3 ) 2 ( 3 5 1) 2 ． 5 5 5
此时, b 2a 3
PQ OP OQ .
的交点必在以（0，0）、（2，1）为一条直径的圆： x ( x 2) y( y 1) 0 即
6 4 PQ a 2 b 2 1 a 2 (2a 3) 2 1 5a2 12a 8 = 5(a )2 . 5 5
故当 a
x y 2x y 0 （Ⅱ）由（1）得 P1 （0,0）、 P2 （2,1）， 1 5 ∴⊿ PP1 P2 面积的最大值必为 2r r ． 2 4 1 此时 OP 与 PP ． 1 2 垂直，由此可得 m=3 或 3
A． 2 5
3 B． 4
3 C． 2
6 5 D． 5
**11.已知点 A(2,3) 、 B(3,2) 直线 l 过点 P(1,1) ，且与线段 AB 相交，则直线 l 的 斜率的取值 k 范围是 （ A、 k ） B、 k
3 或 k 4 4
3 1 或k 4 4
C、 4 k
圆 P 与圆 O 有公共点，圆 O 的半径为 1，
R 1 OP R 1. 即 R OP 1 且 R OP 1 .
而 OP a 2 b2 a 2 (2a 3)2 5(a )2 故当 a
B1 到面 A1BC1 的距离，记为 h ，在三棱锥 B1 BAC 1 1 中有
3 4
D、
3 k4 4
2 ***12.若直线 y kx 4 2k 与曲线 y 4 x 有两个交点，则 k 的
3 [1, ) 4 B．
3 ( , 1] C． 4
D． (, 1]
． **18 ． （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 如 图 ， 已 知 正 四 棱 锥 V － ABCD 中 ， AC与BD交于点M，VM 是棱锥的高 ， 若 AC 6 c m， VC 5cm ， 求 正 四 棱 锥
****22．（本小题满分 14 分）
- 3 -
1 1 3 S ABCD VM 18 4 24 (cm ). 3 3
参考答案
一.选择题 二.填空题 三.解答题 17. 解: (1) 点 O（0，0），点 C（1，3）， DBACA 13. (1, 2) BDCCD AB
2 14. 3a
ABCD 的交线 l ， （1） 作出面 A 判断 l 与线 AC 并给出证明； 1 BC1 与面 1 1 位置关系，
（2）证明 B1D ⊥面 A 1 BC1 ； （3）求线 AC 到面 A 1 BC1 的距离； （4）若以 D 为坐标原点， 分别以 DA, DC, DD1 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴， 建立空间直角坐标系，试写出 B, B1 两点的坐标.
2 2
新疆
王新敞
学案
2 2 6 时， PQ min 5. 5. 即线段 PQ 长的最小值为 5 5 5
解法 2：由(1)知，点 P 在直线 l：2x + y－3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ，即求点 A 到直线 l 的距离. ∴ | PQ |min = | 2×2 + 1－3 | 2 5 = . 5 22 + 12
***16．如图①，一个圆锥形容器的高为 a ，内装一 定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥 的高恰为 为
a （如图②），则图①中的水面高度 2
．
y
C
B D
三．解答题： **17．（本小题满分 12 分） 如图，在 OABC 中，点 C（1，3）． （1）求 OC 所在直线的斜率； （2）过点 C 做 CD⊥AB 于点 D，求 CD 所在直线的方程
O
1
A
x
D A ***20. （本小题满分 12 分）已知直线 l1 ：mx-y=0 ，
1 1
C1 B1
l2 ：x+my-m-2=0
- 2 -
新疆
王新敞
学案
E A
D F B
C
y
（Ⅰ）求证：对 m∈R， l1 与 l2 的交点 P 在一个定圆上； （Ⅱ）若 l1 与定圆的另一个交点为 P1 ， l2 与定圆的另一交点为 P2 ，求当 m 在实 数范围内取值时，⊿ PP1 P2 面积的最大值及对应的 m． 已知圆 O： x y 1和定点 A(2,1)，由圆 O 外一
又由已知 PQ PA ，故 PQ PA . 即： (a b ) 1 (a 2) (b 1) .
2 2 2 2 2
2 2
2
A
O 2
O
x
O
x
O
x
O
x
**9．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是 (D) 135
主视图
左视图
(B) 45
(C) 60
边长为 1 的正方形， 俯视图是一个圆， 那么这个几何体的侧面积 为 （ * ） ． ．．． (A) **10.
*3.已知点 A( x,1, 2)和点B (2,3,4),且 AB 2 6 ,则实数 x 的值是（ ）． (A)-3或4 (B)–6或2 (C)3或-4 (D)6或-2
OC 所在直线的斜率为 kOC 3 0 3 .
1 0
（2）在 OABC 中， AB // OC ,
VM 是棱锥的高 ,
Rt△VMC 中， VM VC 2 MC 2 52 32 4 (cm). 正四棱锥 V - ABCD 的体积为 S ABCD VM 18 4 24 (cm3).