【真题】2012-2013学年湖北省黄冈市百汇学校九年级(上)数学竞赛试卷及参考答案PDF

2012-2013学年湖北省黄冈市百汇学校九年级（上）数学竞赛试卷一、选择题：（共5小题，每小题5分，满分25分．）1．（5分）已知F（x）表示关于x的一个五次多项式，F（a）表示当x=a时F（x）的值，若F（﹣2）=F（﹣1）=F（0）=F（1）=0，F（2）=24，F（3）=360，则F （4）的值为（）A．1800 B．2011 C．4020 D．无法确定2．（5分）若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形，用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（）A．18 B．24 C．30 D．363．（5分）设a，b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是，则a+b的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．（5分）存在这样的有理数a，b，c满足a＜b＜c，使得分式的值等于（）A．﹣2003 B．0 C．2003 D．5．（5分）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）6．（5分）a、b、c是非负实数，并且满足3a+2b+c=5，2a+b﹣3c=1．设m=3a+b ﹣7c，记x为m的最小值，y为m的最大值．则xy=．7．（5分）若，则a+b+c的值为．8．（5分）在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，DC=2，则△ABC的面积为．9．（5分）如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．10．（5分）若100a+64和201a+64均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是．三、解答题（共4小题，满分50分）11．（10分）如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）在函数y=（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…△P n A n﹣1A n都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…A n﹣1A n都在x轴上（1）求P1的坐标；（2）求y1+y2+y3+…y10的值．12．（15分）某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）13．（10分）已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，探索BM、DM的关系并给予证明；（2）如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．14．（15分）已知m，n为正整数，关于x的方程x2﹣mnx+（m+n）=0有正整数解，求m，n值．2012-2013学年湖北省黄冈市百汇学校九年级（上）数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、选择题：（共5小题，每小题5分，满分25分．）1．（5分）已知F（x）表示关于x的一个五次多项式，F（a）表示当x=a时F（x）的值，若F（﹣2）=F（﹣1）=F（0）=F（1）=0，F（2）=24，F（3）=360，则F （4）的值为（）A．1800 B．2011 C．4020 D．无法确定【解答】解：设F（x）=x（x+2）（x+1）（x﹣1）（ax+b），∵F（2）=24，F（3）=360，∴，解得：a=2，b=﹣3，∴F（x）=x（x+2）（x+1）（x﹣1）（2x﹣3），则F（4）=4×6×5×3×5=1800．故选A2．（5分）若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形，用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（）A．18 B．24 C．30 D．36【解答】解：如图所示，∵连接BD、BE、BF、EG，则△BEF、△BEG、△BDE均为不规则三角形，∴从正方体的一个顶点出发与所有顶点的连线中有三个不规则的三角形，∴用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是3×8=24个．故选B．3．（5分）设a，b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是，则a+b的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：把x====﹣1代入方程有：4﹣2+（﹣1）a+b=0，4﹣a+b+（a﹣2）=0，∴，∴∴a+b=0故选B．4．（5分）存在这样的有理数a，b，c满足a＜b＜c，使得分式的值等于（）A．﹣2003 B．0 C．2003 D．【解答】解：∵a，b，c为有理数，且满足a＜b＜c，∴设a﹣b=x＜0，b﹣c=y＜0，c﹣a=z＞0，则x+y+z=a﹣b+b﹣c+c﹣a=0，∴（x+y+x）2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=0，∴xy+yz+zx=﹣（x2+y2+z2）＜0且为有理数，∵xyz＞0，∴++==＜0且为有理数．故选A．5．（5分）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：x0是它们的一个公共实数根，则ax02+bx0+c=0，bx02+cx0+a=0，cx02+ax0+b=0．把上面三个式子相加，并整理得（a+b+c）（x02+x0+1）=0．因为，所以a+b+c=0．于是=故本题选D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）6．（5分）a、b、c是非负实数，并且满足3a+2b+c=5，2a+b﹣3c=1．设m=3a+b﹣7c，记x为m的最小值，y为m的最大值．则xy=．【解答】解：由3a+2b+c=5，2a+b﹣3c=1得⇒，∴可得a=7c﹣3，b=7﹣11c，由a、b、c是非负数得：⇒≤c≤，又m=3a+b﹣7c=3c﹣2，故﹣≤m≤﹣，于是可得x=﹣，y=﹣，故xy=﹣×（﹣）=．7．（5分）若，则a+b+c的值为20．【解答】解：整理得：（a﹣1﹣2+1）+（b﹣2﹣4+4）+（c﹣3﹣6+9）=0（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣3）2=0，∴=1，=2，=3，∵a≥1，b≥2，c≥3，∴a=2，b=6，c=12，∴a+b+c=20．故答案为：20．8．（5分）在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，DC=2，则△ABC的面积为15．【解答】解：如图，把△ABD沿AB为对称轴翻折成为△ABE，△ACD沿AC为对称轴翻折成为△ACG，延长EB、GC相交于点F，则△ABE≌△ABD，△ACD≌△ACG，所以，AD=AE=AG，∠AEB=∠AGC=90°，∵∠BAC=45°，∴∠EAG=∠EAB+∠BAD+∠CAD+∠CAG=2（∠BAD+∠CAD）=2∠BAC=2×45°=90°，∴四边形AEFG是正方形，∵BD=3，DC=2，∴BC=BD+CD=3+2=5，设AD=x，则BF=EF﹣BE=x﹣3，CF=FG﹣CG=x﹣2，在Rt△BCF中，根据勾股定理，BF2+CF2=BC2，即（x﹣3）2+（x﹣2）2=52，整理得，x2﹣5x﹣6=0，解得，x1=﹣1（舍去），x2=6，=BC•AD=×5×6=15．所以，S△ABC故答案为：15．9．（5分）如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是4．【解答】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE．∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME与△AMN中，，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN．∴BM+MN=BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，又AB=4，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，∴BE=4，即BE取最小值为4，∴BM+MN的最小值是4．故答案为：4．10．（5分）若100a+64和201a+64均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是17．【解答】解：设100a+64=m2①，201a+64=n2②，则m、n均为正整数，且32≤m＜100，32≤n＜100．②﹣①，得101a=n2﹣m2=（n+m）（n﹣m），因为101是质数，且0＜n﹣m＜101，所以n+m=101，故a=n﹣m=2n﹣101．把a=2n﹣101代入201a+64=n2，整理得n2﹣402n+20237=0，解得n=59，或n=343（舍去）．所以a=2n﹣101=17．故答案为17．三、解答题（共4小题，满分50分）11．（10分）如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）在函数y=（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…△P n A n﹣1A n都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…A n﹣1A n都在x轴上（1）求P1的坐标；（2）求y1+y2+y3+…y10的值．【解答】解：（1）由△P1OA1是等腰直角三角形，得y1=x1，则有x12=4，故x1=±2（负舍），点P1（2，2）．（2）解：过P1作P1B⊥OA1于B，过P2作P2C⊥A1A2于C，∵△OP1A1、△A1P1A2是等腰直角三角形，∴OB=BP1=BA1=x1=y1∴y2=A1C=OC﹣A1B﹣OB=x2﹣x1﹣y1，同理可得：y3=x3﹣x2﹣y2，y4=x4﹣x3﹣y3，…，y10=x10﹣x9﹣y9，又，则：．∴，∴，同理，依次得，，，，…，x10=2+2，y10=2﹣2，∴y1+y2+y3+…+y10==．12．（15分）某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）【解答】解：（1）设件数为x，依题意，得3000﹣10（x﹣10）=2600，解得x=50，答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元；（2）当0≤x≤10时，y=（3000﹣2400）x=600x，当10＜x≤50时，y=[3000﹣10（x﹣10）﹣2400]x，即y=﹣10x2+700x当x＞50时，y=（2600﹣2400）x=200x∴y=（3）由y=﹣10x2+700x可知抛物线开口向下，当x=﹣=35时，利润y 有最大值，此时，销售单价为3000﹣10（x﹣10）=2750元，答：公司应将最低销售单价调整为2750元．13．（10分）已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，探索BM、DM的关系并给予证明；（2）如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．【解答】解：（1）BM=DM，BM⊥DM，在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点，∴BM=EC=EM=MC，∴∠EMB=2∠ECB．在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点，∴DM=EC=EM=MC．∴∠EMD=2∠ECD．∴BM=DM，∠EMD+∠EMB=2（∠ECD+∠ECB），∵∠ECD+∠ECB=∠ACB=45°，∴∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM．（2）：（1）中的结论仍成立，延长DM至点F，使得DM=MF，连接CD和EF，连接BD，连接BF、FC，延长ED 交AC于点H．∵DM=MF，EM=MC，∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，ED=CF，∵ED=AD，∴AD=CF．∵DE∥CF，∴∠AHE=∠ACF．∵∠BAD=45°﹣∠DAH=45°﹣（90°﹣∠AHE）=∠AHE﹣45°，∠BCF=∠ACF﹣45°，∴∠BAD=∠BCF．又∵AB=BC，∴△ABD≌△CBF，∴BD=BF，∠ABD=∠CBF，∵∠ABD+∠DBC=∠CBF+∠DBC，∴∠DBF=∠ABC=90°．在Rt△DBF中，由BD=BF，DM=MF，得BM=DM且BM⊥DM．14．（15分）已知m，n为正整数，关于x的方程x2﹣mnx+（m+n）=0有正整数解，求m，n值．【解答】解：设方程x2﹣mnx+（m+n）=0的两根分别为：x1，x2，∵m，n为正整数，∴x1+x2=mn＞0，x1•x2=m+n＞0，∴这两个根x1，x2均为正数，又∵（x1﹣1）（x2﹣1）+（m﹣1）（n﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1﹣[mn﹣（m+n）+1]=（m+n）﹣mn+1+[mn﹣（m+n）+1]=2，其中（x1﹣1）（x2﹣1），m﹣1，n﹣1均非负，而为两个非负整数和的情况仅有0+2；1+1；2+0．∵（x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1=m+n﹣mn+1，（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1，∴或或，解得：或或或或．。