八年级数学竞赛试题(附答案)

八年级数学竞赛试题
（本卷满分150分，时间120分钟）
一、填空题（每小题5分，共50分）
1．点P （3，-5）关于y 轴对称的点的坐标为（ ）
A ． (3,5)--
B ．(5,3)
C ．(3,5)-
D ．(3,5) 2．下列四组数据中，不能．．
作为直角三角形的三边长的是（ ） A ． 7，24，25 B ．6，8，10 C ．9，12，15 D ．3，4，6 3．已知△ABC 中，AB=AC ，高BD ，CE 交于点O ，连接AO ，则图中全等三角形的对数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则PQ+BQ 的最小值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 5．设M=(x －3)(x －7)，N=(x －2)(x －8)，则M 与N 的关系为（ ）
A.M ＜N
B.M ＞N
C.M=N D ．不能确定 6．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，
已知正多边形的边数为x ，y ，z ，则z
y x 1
11++的值为（ ） A ．1 B ．32 C ．21 D ．3
1
7．如图，长方形ABCD 中，△ABP 的面积为a ,△CDQ 的面积为b ，则阴影四边
形的面积等于（ ）
A ．b a +
B ． b a -
C ．
2
b
a + D ．无法确定 8．若实数x 、y 、z 满足2
()4()()0x z x y y z ----=．则下列式子一定成立的是（ ）
A ．0x y z ++=
B ．20x y z +-=
C ． 20y z x +-=
D ． 20z x y +-=
9．已知3030--+-+-=a x x a x y ，其中0<a <30,30≤≤x a ,那么y 的
最小值为．（ ） A ．10 B ．20
C ．30
D ．40
10．如图，ABE ∆和ADC ∆是ABC ∆分别沿着AB ，AC 边翻折0
180形成的，若∠1：∠2：∠
3=28:5:3，则a ∠的度数为．（ ）
A ．60o
B ．70o
C ．80o
D ．90o
二、填空题（每小题7分，共49分）
11．如果2
2
2
2
(2)(2)45a b a b +++-=，则a 2+b 2的值为 ．
12．将五个分数：23 ，58 ，1523 ，1017 ，12
19 ；由小到大或由大到小排列，排在中间位置的分数是
13．x 表示a 与b 的和的平方，y 表示a 与b 的平方的和，则a=7，b=－5时，x －y 的值是
14．计算：｜11992 －11991 |＋|11993 －11992 |－|11993 －1
1991 |=
15．观察下列运算：12=1；22=1+3；32=1+3+5；42=1+3+5+7；52=1+3+5+7+9；
则n 2= （n 为正整数）。

16．如图AB=AC,则数轴上点C 所表示的数为_____________
17．如果用四则运算的加法与除法定义一种新的运算，记为★，对任意有理数a 、b ；a ★b=a ＋b
2
，
那么计算（1★9）★（9★5）=
三、解答题（共51分）
18．（10分）解不等式组：
．
19．（10分）如图，在四边形BCDE 中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，延长CD 、
BE ，两线相交于点A ，已知CD=2，DE=1，求Rt △ABC 的面积． 解：
20．（10分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB 的垂直平分线分别交AB 和AC
于点D ，E ．
（1）求证：AE=2CE ；
（2）连接CD ，请判断△BCD 的形状，并说明理由．
解：（1）证明：
（2）解：
21．（10分）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=3:4:2，AD、BE是角平分线．求证：AB+BD=AE+BE．
A
E
B
D C
22．（11分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与
A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方
向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．
八年级竞赛试题数学答案
一、填空题（每小题5分，共50分）
1． A ； 2． D ；3． C ；4．A ；5． B ；6． C ；7． A ；8． D ；9． C ；10． C
二、填空题（每小题7分，共49分）
11． 7；12．12
19 ；13．-70；14．0；15． n 2=1+3+5+7+…+（2n-1）；
16．1-5；17．6.
三、解答题（共51分）
18．（10分）解不等式组：
．
解：解不等式x ﹣2≤0，得：x≤4， 解不等式5﹣3（x ﹣1）＜4+x ，得：x ＞1， ∴不等式组的解集为：1＜x ≤4．
19．（10分）如图，在四边形BCDE 中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，
延
长CD、BE，两线相交于点A，已知CD=2，DE=1，求Rt△ABC的面积．
解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AD=2DE=2，
∴AC=AD+CD=4，
设BC=x，则AB=2x，
由勾股定理得，（2x）2﹣x2=16，
解得，x=，即BC=，
则Rt△ABC的面积=×BC×AC=．
20.（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC
于点D，E．
（1）求证：AE=2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
解：（1）证明：
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°，
在Rt△ABC中，BE=2CE，
∴AE=2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，
理由如下：
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB=90°，
∴CD=BD，
∵∠ABC=60°，
∴△BCD是等边三角形．
21．（10分）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=3:4:2，AD、BE是角平分线．求证：AB+BD=AE+BE．
证明：延长AB到F,使BF=BD,连DF,
所以∠F=∠BDF
因为∠ABC=80
所以∠F=40°
因为∠ACB=40度
所以∠F=∠ACB,
因为AD是平分线
所以∠BAD=∠CAD
又AD为公共边
所以△ADF≌△ADC
所以AF=AC
因为AD是角平分线，
所以∠CBE=∠ABC/2=40
所以∠EBD=∠C
所以BE=EC,
所以BE+AE=EC+AE=AC=AF=AB+BF=AB+BD。

22．（11分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．
解法一：过P 作PE ∥QC
则△AFP是等边三角形，
∵P 、Q 同时出发、速度相同，即BQ=AP
∴BQ=PF
∴△DBQ≌△DFP,
∴BD=DF
∵,
∴BD=DF=FA=,
∴AP=2.
解法二：∵P 、Q 同时同速出发，∴AQ=BQ设AP=BQ=x，则PC=6-x，QC=6+x 在Rt△QCP中，∠CQP=30°,∠C=60°
∴∠CQP=90°
∴QC=2PC,即6+x=2（6-x）
∴x=2
∴AP=2
（2）由（1 ）知BD=DF而△APF 是等边三角形，PE ⊥AF,
∵AE=EF 又DE+(BD+AE)=AB=6,
∴DE+(DF+EF)=6 ，
即DE+DE=6
∵DE=3 为定值，即DE 的长不变。