【2020高考数学.专题冲刺系列】 概率统计 为背景的 解答题(原卷版+解析版)
概率与统计(解答题)—高考真题文科数学分项汇编(原卷版)
11．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】某家庭记录了未使用节水龙头 50天的日用水量数据（单位：m 了节水龙头 50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
3）和使用
未使用节水龙头 50天的日用水量频数分布表
不超过m
第一种生产方式 第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
7
附： K2
n(ad bc)2
(ab)(cd)(ac)(bd)
P(K 2 k) 0.050 0.010 0.001
，
k
．
3.841 6.63510.828
13．【2018年高考北京卷文数】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的 2×2列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把
握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
附：
K2
n(ad bc)2
(ab)(cd)(ac)(bd)
，
P(K2≥k) k
0.050 3.841
电影类型 电影部数
第一类 140
第二类 50
第三类 300
第四类 200
第五类 800
第六类 510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． （1）从电影公司收集的电影中随机选取 1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （2）随机选取 1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
专题17 概率统计解答题-2020届全国卷高考数学真题分类汇编含答案
专题17 概率统计解答题研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和延续性，每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定，掌握了全国卷的各种题型，就把握了全国卷命题的灵魂，基于此，潜心研究全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及高考数学考试说明，精心分类汇总至少最近三年全国卷的所有题型（按年份先理后文的排列），对把握全国卷命题的方向，指导我们的高考有效复习，走出题海，快速提升成绩，会起到事半功倍的效果。
概率统计解答题，每年一题，第一问，（文科）多为概率问题，（理科）多为统计问题，第二问，（文科）多为统计问题，（理科）多为分布列、期望计算问题或统计问题，特点;实际生活背景在加强，统计知识在加强，频率分布直方图、茎叶图、回归分析、独立性检验、正态分布（文理科）都有可能会考。
1.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理20））某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】见解析。
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（1）求出f（p）=，则=，利用导数性质能求出f （p）的最大值点p0=0.1．（2）（i）由p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），再由X=20×2+25Y，即X=40+25Y，能求出E（X）．（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，E（X）=490＞400，从而应该对余下的产品进行检验．【解答】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），则f（p）=，∴=，令f′（p）=0，得p=0.1，当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，∴f （p）的最大值点p0=0.1．（2）（i）由（1）知p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），X=20×2+25Y，即X=40+25Y，∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490．（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，∵E（X）=490＞400，∴应该对余下的产品进行检验．【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．2.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理19））为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i 个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【答案】见解析。
2020高考数学(理)专项复习《概率统计》含答案解析
概率统计统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，为人们制定决策提供依据．概率是研究随机现象规律的学科，为人们认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法． 统计一章介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用．概率一章介绍随机现象与概率的意义、古典概型及几何概型，学习某些离散型随机变量分布列及其期望、方差等内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识．§11－1 概率(一)【知识要点】1．事件与基本事件空间：随机事件：当我们在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；在试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件，随机事件简称为事件．基本事件与基本事件空间：在一次试验中我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述，这样的事件称为基本事件．所有基本事件构成的集合叫做基本事件空间，常用 表示．2．频率与概率频率：在相同的条件S 下，重复n 次试验，观察某个事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 的出现次数m 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例nm 为事件A 出现的频率． 概率：一般的，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率nm ，当n 很大时总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做P (A )．显然有0≤P (A )≤1．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，随机事件的概率在(0，1)之间．3．互斥事件的概率加法公式事件的并：由事件A 或B 至少有一个发生构成的事件C 称为事件A 与B 的并，记做C ＝A ∪B ．互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．互斥事件加法公式：如果事件A 、B 互斥，则事件A ∪B 发生的概率等于这两个事件分别发生的概率和，即P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．如果A 1，A 2，…，A n 两两互斥，那么事件A 1∪A 2∪…∪A n 发生的概率，等于这n 个事件分别发生的概率和，即P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ，满足P (A )＝1－P (A )．概率的一般加法公式(选学)：事件A 和B 同时发生构成的事件D ，称为事件A 与B 的交(积)，记作D ＝A ∩B ．在古典概型中，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )．4．古典概型古典概型：一次试验有下面两个特征：(1)有限性，在一次试验中可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的，则称这个试验为古典概型．古典概型的性质：对于古典概型，如果试验的n 个基本事件为A 1，A 2，…，A n ，则有P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝1且⋅=nA P i 1)( 概率的古典定义：在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n (Ω )，随机事件A 包含的基本事件数为n (A)，则p (A)＝试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A ，即⋅=)()()(Ωn A n A P 5．几何概型几何概型：一次试验具有这样的特征：事件A 理解为区域Ω的一个子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，这样的试验称为几何概型．几何概型的特点：(1)无限性：一次试验中可能出现的结果有无穷多个；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性相等．几何概型中事件A 的概率定义：ΩA A P μμ=)(，其中μ Ω 表示区域Ω 的几何度量，μ A 表示子区域A 的几何度量．随机数：就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会均等．计算机随机模拟法(蒙特卡罗方法)是利用模型来研究某种现象的性质的一种有效方法，可以节约大量的人力物力．6．条件概率与事件的独立性条件概率：一般的，设A 、B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B ｜A )＝)()(A P B A P I 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．一般把P (B ｜A )读作“A 发生的条件下B 发生的概率”．在古典概型中，用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则有P (B ｜A )＝)()(A n B A n I ．事件的独立性：设A 、B 为两个事件，如果P (B ｜A )＝P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立，并称事件A 、B 为相互独立事件．若A 、B 为两个相互独立事件，则A 与A 、A 与B 、A 与B 也都相互独立．若事件A 与事件B 相互独立，则P (A ∩B )＝P (A )·P (B )．【复习要求】1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．3．理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．4．了解随机数的意义，了解几何概型的意义．5．在具体情境中，了解条件概率，了解两个事件相互独立的概念及独立事件的概率乘法公式，并能解决一些简单的实际问题．【例题分析】例1(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．【分析】射击运动员一次射击只能命中1个环数，命中不同的环数是互斥事件，射中9环或10环的概率等于射中9环与射中10环的概率和．命中不足8环所包含的事件较多，而其对立事件为“至少命中8环”，可先求其对立事件的概率，再通过P (A )＝1－P (A )求解．解：设事件“射击一次，命中k 环”为事件A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，则P (A )＝P (A 10)＋P (A 9)＝0.60．(2)记“射击一次，至少命中8环”为事件B ，则P (B )＝P (A 10)＋P (A 9)＋P (A 8)＝0.78．(3)“射击一次，命中不足8环”为事件B 的对立事件，则P (B )＝1－P (B )＝0.22．【评析】解决概率问题时，要先分清所求事件由哪些事件组成，分析是否是互斥事件，再决定用哪个公式．当用互斥事件的概率加法公式解题时，要学会不重不漏的将事件拆为几个互斥事件，要善于用对立事件解题．例2 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(Ⅰ)求A 1被选中的概率；(Ⅱ)求B 1和C 1不全被选中的概率．【分析】本题是一个古典概型的问题，可以直接用概率公式)()()(Ωn A n A P =求解． 解：(Ⅰ)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)} 由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ＝｛(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}事件M 由6个基本事件组成，因而⋅==31186)(M P(Ⅱ)用N 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件， 由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，事件N 由3个基本事件组成， 所以61183)(==N P ，由对立事件的概率公式得⋅=-=-=65611)(1)(N P N P 【评析】古典概型解决概率问题时，选定基本事件空间并计算其所含基本事件的个数是重要的一步．本题中选定“从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果”为基本事件空间，计算时采用列举法，也可以利用乘法计数原理计算3×3×2＝18．本题第一问还可以选定“从通晓日语的3人中选出1人的可能结果”为基本事件空间，共有3个基本事件，选出A 1只有一种可能，故所求概率为⋅31例3 一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回．(1)连续摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；(2)连续摸球2次，在第一次摸到黑球的条件下，求第二次摸到白球的概率；(3)如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率．【分析】本题是一个古典概型问题，因为基本事件空间中所含基本事件的个数较多，宜用排列组合公式计算，当然也可利用两个计数原理计数．本题第二问是条件概率问题．做第三问时，要分为三个事件：“第一次摸到红球”，“第一次摸到不是红球，第二次摸到红球”，“前两次摸到不是红球，第三次摸到红球”，显然三个事件是互斥事件．解：(1)从袋中依次摸出2个球共有29A 种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有3×4＝12种结果，则所求概率6112291==A P (或6184931=⨯=P )． (2)设“第一次摸到黑球”为事件A ，“第二次摸到白球”为事件B ，则“第一次摸到黑球，且第二次摸到白球”为事件A ∩B ，又31)(=A P ，P (A ∩B )61=，所以或⋅==213161)|(A B P (或2184)|(==A B P )． (3)第一次摸出红球的概率为1912A A ，第二次摸出红球的概率为291217A A A ，第三次摸出红球的概率为391227A A A ，则摸球次数不超过3次的概率为⋅=++=12739122729121719122A A A A A A A A P 【评析】利用古典概型求解时，求基本事件的个数和事件发生的总数时求法要一致，若无序则都无序，若有序则都有序，分子和分母的标准要相同．在求事件个数时常用列举法(画树状图、列表、坐标系法)，有时也与排列组合联系紧密，计算时灵活多变，但要注意分类讨论，做到不重不漏．要正确识别条件概率问题，理解P (A)，P (A ∩B )，P (B ｜A )的含义．例4 (1)两根相距6米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率是______．(2)甲乙两人约定在6点到7点之间在某处会面，并约好先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去．则两人能会面的概率是______．(3)正方体内有一个内切球，则在正方体内任取一点，这个点在球内的概率为______．【分析】这三个题都可转化为几何概率问题求解．分别转化为线段长度、图形面积、几何体体积问题求解．解：(1)本题可转化为：“在长为6m 的线段上随机取点，恰好落在2m 到4m 间的概率为多少?” 易求得⋅=31P (2)本题可转化为面积问题：即“阴影部分面积占总面积的多少?”， 解得⋅=167)(A P (3)本题可转化为体积问题：即“内切球的体积与正方体体积之比是多少?”．解得⋅=6πP 【评析】几何概型也是一种概率模型，它具有等可能性和无限性两个特点．解题的关键是要建立模型，将实际问题转化为几何概率问题．基本步骤是：把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω；把随机事件A 转化为与之对应的区域A ；利用概率公式)()()(ΩA A P μμ=计算．常用的几何度量包括：长度、面积、体积．例5 设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0．(Ⅰ)若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(Ⅱ)若a 是从区间[0，3］任取的一个数，b 是从区间[0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【分析】本题第一问是古典概型问题，第二问由于a 、b 在实数区间选取，可以转化为几何概型问题求解．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b ．(Ⅰ)基本事件共12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为⋅==43129)(A P (Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )｜0≤a ≤3，0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )｜0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b ｝．所以所求的概率为⋅=⨯⨯-⨯=3223221232 【评析】几何概型与古典概型的每个基本事件发生的可能性是均等的，只是几何概型的基本事件有无限个，而古典概型的基本事件有有限个．在具体问题中，不能因为古典概型的基本事件的个数多而误认为是几何概型．例6 如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连结成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作，已知元件A 、B 、C 正常工作的概率为0.80、0.90、0.90，分别求系统N 1、N 2正常工作的概率．【分析】三个元件能否正常工作相互独立．当元件A 、B 、C 同时正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作，而B 、C 至少有一个正常工作的概率可通过其对立事件计算．解：设元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，则P (A )＝0.8，P (B)＝0.9，P (C)＝0.9，且事件A 、B 、C 相互独立．(1)系统N 1正常工作的概率为p 1＝P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝0.80×0.90×0.90＝0.648．(2)元件B 、C 至少有一个正常工作的概率为1－P (B ·C )＝1－P (B )·P (C )＝1－0.1×0.1＝0.99，所以系统N 2正常工作的概率为p 2＝P (A )·(1－P (B ·C ))＝0.80×0.99＝0.792．【评析】本题以串、并联为背景，重点在正确理解题意．在计算几个事件同时发生的概率时，要先判断各个事件之间是否相互独立．独立事件、互斥事件、对立事件的概率各有要求，要依据题目特点，巧妙地选用相关方法．例7 每次抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6)．(1)连续抛掷3次，求向上的点数之和为3的倍数的概率；(2)连续抛掷6次，求向上的点数为奇数且恰好出现4次的概率．【分析】向上点数之和为3的倍数共有6种情况，计数时要不重不漏；向上点数为奇数的概率为21，连续抛掷6次是独立重复试验． 解：(1)向上的点数之和为3的结果有1种情况，为6的结果共10种情况，为9的结果共25种情况，为12的结果共25种情况，为15的结果共10种情况，为18的结果共1种情况．所以⋅=⨯⨯+++++=3166611025251012P(2)因为每次抛掷骰子，向上的点数为奇数的概率为P ＝21， 根据独立重复试验概率公式有⋅==⋅⋅6415)21()21(24463C P 【评析】独立重复试验是一类重要的概率问题，要善于分析模型的特点，正确合理的解题．例8 某学校进行交通安全教育，设计了如下游戏，如图，一辆车模要直行通过十字路口，此时前方交通灯为红灯，且该车模前面已有4辆车模依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶)．已知每辆车模直行的概率是53，左转行驶的概率是52，该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟．假设该车道上一辆直行去东向的车模驶出停车线需要10秒钟，一辆左转去北向的车模驶出停车线需要20秒钟，求：(1)前4辆车模中恰有2辆车左转行驶的概率；(2)该车模在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口)．【分析】该车模1分钟内通过路口包含2种情况：4辆车都直行，3辆车直行1辆车左转．解：(1)设前4辆车模中恰有2辆左转行驶为事件A ，则⋅=⨯=625216)52()53()(2224C A P (2)设该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口为事件B ，其中4辆车模均 直行通过路口为事件B 1，3辆直行1辆左转为事件B 2，则事件B 1、B 2互斥．=+=+=)()()()(2121B B P B B P B P ⋅=⨯+62529752)53()53(334444C C 【评析】善于从复杂的背景中发现线索，体会其实质．善于转化问题的叙述，恰当的分类．练习11－1一、选择题1．下列随机事件的频率和概率的关系中哪个是正确的( )A ．频率就是概率B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数增加，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定2．从装有2个黑球2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个白球，都是白球B ．至少有一个白球，至少有一个红球C ．恰有一个白球，恰有两个白球D ．至少有一个白球，都是红球3．独立工作的两套报警系统遇危险报警的概率均为0.4，则遇危险时至少有一套报警系统报警的概率是( )A ．0.16B ．0.36C ．0.48D ．0.644．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A ．751B ．752C ．753D ．754 二、填空题5．甲、乙二人掷同一枚骰子各一次．如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为______．6．设每门高射炮命中飞机的概率都是0.6．今有一敌机来犯，要有99％的把握击中敌机，至少需要______门高射炮．7．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中概率为______．8．一个口袋中有4个白球，2个黑球．有放回的取出3个球，如果第一次取出的是白球，则第三次取出的是黑球的概率为______；不放回的取出3个球，在第一次取出的是白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率为______．三、解答题9．已知集合A ＝{－4．－2，0，1，3，5｝，在平面直角坐标系中点M (x ，y )的坐标满足x ∈A ，y ∈A ．计算：(1)点M 恰在第二象限的概率；(2)点M 不在x 轴上的概率；(3)点M 恰好落在区域⎪⎩⎪⎨⎧>>>-+0008y x y x 上的概率．10．某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生．在研究学习过程中，要进行两次汇报活动(即开题汇报和结题汇报)，每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言．设每人每次被选中与否均互不影响；(1)求两次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率；(2)求男生发言次数不少于女生发言次数的概率．11．3名志愿者在10月1日至10月5日期间参加社区服务工作，若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各名志愿者的选择互不影响．求(1)这3名志愿者中在10月1日都参加社区服务工作的概率；(2)这3名志愿者中在10月1日至多有1人参加社区服务工作的概率．§11－2 概率(二)【知识要点】1．离散型随机变量及其分布列随机变量：如果随机试验的可能结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X 的可能取值为x 1，x 2，…，x n ，X 取到i i ii 12＋…＋p n ＝1．离散型随机变量在某个范围取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率和．其中0＜p ＜1，q ＝1－，则称离散型随机变量服从参数为p 的二点分布．二项分布：一般的，在相同条件下重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，称为n 次独立重复试验．在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为==)(k X P k n k k n q p C -(其中p 为在一次试验中事件A 发生的概率，q ＝1－p ，k ＝0，1，…，n ).若将n次独立重复试验中事件A 发生的次数设为X ，则X 的分布列为超几何分布：一般的，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件(n ≤N )，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为m C C C m X P n Nm n M N m M ≤==--0()(≤l ，其中l 为n 和M中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布．2．随机变量的数字特征及正态分布1122i i n n 了离散型随机变量的平均取值水平．称i i n i p X E xX D ⋅-=∑=21))(()(为随机变量X 的方差，它反映了离散型随机变量X 相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，其算数平方根)(X D 为随机变量X 的标准差，记作σ (X )，方差(或标准差)越小表明X 的取值相对于期望越集中，否则越分散．均值与方差的性质：①E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ②D (aX ＋b )＝a 2D (X )若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝pq ；若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝npq ． 正态曲线：函数),((21)(222)(+∞∝-∈=--x e x x σμσπϕ，其中μ ∈R ，σ ＞0)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．其特点有：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，关于x ＝μ 对称；③曲线在x ＝μ 处达到峰值σ2π1；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ 一定时，曲线随着μ 的变化而沿x 轴平移；⑥当μ 一定时，曲线的形状由σ 决定．σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．正态分布：如果对于任意实数a ＜b ，随机变量X 满足=≤<)(b X a P dx x ba )(ϕ⎰，则称X 的分布为正态分布；随机变量X 服从参数μ 、σ 的正态分布，记作N ～(μ ，σ 2)．正态分布的三个常用数据：①P (μ －σ ＜X ＜μ ＋σ )＝68.3％；②P (μ －2σ ＜X ＜μ ＋2σ )＝95.4％；③P (μ －3σ ＜X ＜μ ＋3σ )＝99.7％．【复习要求】①在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．②通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．③通过实例，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题． ④通过实例，理解取有限值的离散型随机变量期望、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的期望、方差，并能解决一些实际问题．⑤通过实际问题，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【例题分析】例1 一袋中装有编号为1、2、3、4、5、6的6个大小相同的小球，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，(1)求X 的分布列；(2)求X ＞4的概率；(3)求E (X )．【分析】随机变量X 可能取的值为3、4、5、6，应用古典概型求得X 取每一个值的概率，就可以写出分布列．解：(1)随机变量X 可能取的值为3、4、5、6，且,203)4(,2011)3(362336======C C X P C X P 3624)5(C C X P ==103206==，212010)6(3625====C C X P ，所求X 的分布列为(2)==+==>)6()5()4(X P X P X P ⋅54 (3).25.5216103520342013)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E 【评析】离散型随机变量的分布列反映了一次试验的所有可能结果(X 的所有可能取值)，以及取得每个结果(X 的每一个值)的概率．书写分布列首先要根据具体情况正确分析X 可取的所有值，然后利用排列组合及概率的有关知识求得每个x i 所对应的概率p i ，最后列成表格．要注意不同的X 值所对应的事件之间是互斥的，求离散型随机变量在某一范围的概率等于它取这个范围内各个值的概率和．例2 袋中装有大小相同的5个红球、5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X ，写出X 的分布列，并求X 的期望．【分析】袋中共有10个球，从中任取4个，所含红球的个数为0、1、2、3、4，每个事件的概率可以利用古典概型求解．解：随机变量X 可取的值有0、1、2、3、4，)0(=X P ＝,42121054104505==⋅C C C )1(=X P ＝215210504103515==⋅C C C ，)2(=X P 21102101004102525===⋅C C C ，===⋅4101535)3(C C C X P 21050 215=，4212105)4(4100545==⋅==C C C X P ， 分布列为2424213212211420)(=⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯=X E 【评析】本题的随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝4．例3 某人练习射击，每次击中目标的概率为31． (1)用X 表示击中目标的次数．①若射击1次，求X 的分布列和期望；②若射击6次，求X 的分布列和期望；(2)若他连续射击6次，设ξ为他第一次击中目标前没有击中目标的次数，求ξ的分布列；(3)他一共只有6发子弹，若击中目标，则不再射击，否则子弹打完为止，求他射击次数η 的分布列．【分析】射击问题常被看做是独立重复试验．ξ的取值为0到6，η 的取值为1到6． 解：(1)①X 服从二点分布⋅=31)(X E ②X 服从二项分布)6,,1,0()2()1()(),1,6(~66Λ===-k C k X P B k k k ，分布列为.236)(=⨯=X E (2)ξ的取值为0到6，ξ＝k (k ＝0，1，…，5)表示第k ＋1次击中目标，前k 次都没击中目标，则P (ξ＝k )＝)5,,1,0(31)32(.Λ=k k ，ξ＝6表示射击6次都未击中目标，==)6(ξP6)2(．ξ的分布列为(3)η 的取值为1到6．η ＝k (k ＝1，2，…，5)表示第k 次时第一次击中目标，==)(k P η 6;1)2(.1=-ηk 表示前5次都没有击中目标，5)2()6(==ξP ．η 的分布列为“X ＝k ”．在计算满足二点分布和二项分布的随机变量的期望和方差时，可直接应用公式计算．例4 甲乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，且X 和Y 的分布列为计算X 和Y 【分析】先由分布列所提供的数据用期望和方差公式计算，再根据实际意义作出分析． 解：E (X )＝8.85，D (X )＝2.2275；E (Y )＝5.6，D (Y )＝10.24．由于E (X )＞E (Y )，说明甲射击的平均水平比乙高；由于D (X )＜D (Y )，说明甲射击的环数比较集中，发挥比较稳定，乙射击的环数比较分散，技术波动较大，不稳定，由此可以看出甲比乙的技术好．【评析】正确记忆期望和方差的公式，在分布列中，期望是每个变量乘以它所对应的概率再相加，求方差要先求期望，再作差、平方、乘以相应概率再相加．科学对待计算结果，正确分析数据所表达的实际意义．例5 设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率；(2)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率；(3)若η ＝2ξ＋1，求ξ、η 的数学期望和方差；【分析】本题概率问题是古典概型，要分别求出事件中所含元素的个数，第一问事件“二次方程有实根”等价于“∆＝b 2－4c ≥0”，b 、c 的值都取自{1，2，3，4，5，6}；第二问是条件概率问题；第三问先求ξ的期望和方差，再由公式求η 的期望和方差．解：(1)由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程x 2＋bx ＋c ＝0没有实根”为事件A ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有且仅有一个实根”为事件B ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实数”为事件C ，Ω中基本事件总数为36个，A 中的基本事件总数为17个，B 中的基本事件总数为2个，C 中的基本事件总数为17个．又因为B ，C 是互斥事件，故所求概率⋅=+=+=36193617362)()(C B B P P (2)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有实数”为事件E ，由上面分析得D P D P (,3611)(=∩367)=E ，∴⋅==117)()()|(D P E D P D E P I (Ⅱ)由题意ξ的可能取值为0，1，2，则,3617}2{,181}1{,3617}0{======&ξξξP P P 故ξ的分布列为：所以．18173617·)12(181·)11(3617·(0－0－,136172181136170222=-+-+==⨯+⨯+⨯=ξξD E 9342)12(,312)12(2==+==+=+=ξξξξηηD D D E E E 【评析】本题是一道概率的综合题，由07山东卷改编而得．在古典概型中解决条件概率问题时，概率公式是=)|(A B P )()()()(A n B A n A P B A P I I =．具有线性关系的两个随机变量的期望和方差之间的关系是b X aE b aX E +=+)()(，)()(2X D a b aX D =+．例6 (1)设两个正态分布N (μ 1，21σ)(σ 1＞0)和N (μ 2，22σ)(σ 2＞0)的密度函数图象如图所示．则有( )。
2020高考押题专题17 概率与统计(高考押题)(原卷版)
高考押题专练17概率与统计1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A.13B.12C.23D.342．在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为()A.45B.35C.25D.153．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是()A ．①B ．②④C ．③D ．①③4．在1，2，3，4，5，6，7，8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为()A.956B.928C.914D.595．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为()A.115B.15C.14D.126．设k 是一个正整数，已知)1(kx k 的展开式中第四项的系数为116，函数y ＝x 2与y＝kx 的图象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取x ∈[0，4]，y ∈[0，16]，则点(x ，y )恰好落在阴影部分内的概率为()A.1796B.532C.16D.7487．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A ．1－π4B.π2－1C ．2－π2D.π48．已知数列{a n }是等差数列，从a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中取走任意四项，则剩下三项构成等差数列的概率为()A.635B.935C ．1或935D ．1或6359x ≤2，y ≤2所表示的平面区域内任取一点P ，若点P 的坐标(x ，y )满足y ≥kx 的概率为34，则实数k ＝()A ．4B ．2 C.23D.1210．如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点(点E 与B 1不重合)，且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G .若AB ＝2AA 1＝2a ，EF ＝a ，B 1E ＝B 1F ，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，则该点取自于几何体A 1ABFE D 1DCGH 内的概率为()A.1116B.34C.1316D.7811．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A.12B.512C.14D.1612．某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为()A ．100B ．200C ．300D ．40013．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k ，k ＝1，2，…，则P (2<ξ≤4)等于()A.316B.14C.116D.1514．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (η)和D (η)分别是()A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.615．设ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，则x 1＋x 2的值为()A.53B.73C ．3D.11316．一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20，60)内的频率为0.8，则样本中在[40，60)内的数据个数为()A ．15B ．16C ．17D ．1917．有一个食品商店为了调查气温对热饮销售的影响，经过调查得到关于卖出的热饮杯数与当天气温的数据如下表，绘出散点图如下．通过计算，可以得到对应的回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767，根据以上信息，判断下列结论中正确的是()摄氏温度－504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654A.气温与热饮的销售杯数之间成正相关B ．当天气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮C ．当天气温为10℃时，这天恰卖出124杯热饮D ．由于x ＝0时，y ^的值与调查数据不符，故气温与卖出热饮杯数不存在线性相关性18．一组数据共有7个数，记得其中有10，2，5，2，4，2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为()A ．9B ．3C ．17D ．－1119．下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②某只股票经历了10个跌停(下跌10%)后需再经过10个涨停(上涨10%)就可以回到原来的净值；③某校高三一级部和二级部的人数分别是m 、n ，本次期末考试两级部数学平均分分别是a 、b ，则这两个级部的数学平均分为na m ＋mb n；④某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从1到800进行编号．已知从497～513这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组1～16中随机抽到的学生编号是7.其中真命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．320．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A ．－1B ．0C.12D ．121．甲、乙两位歌手在“中国新歌声”选拔赛中，5次得分情况如图所示．记甲、乙两人的平均得分分别为x 甲，x 乙，则下列判断正确的是()A.x甲＜x 乙，甲比乙成绩稳定B.B.x 甲＜x 乙，乙比甲成绩稳定C.x 甲＞x 乙，甲比乙成绩稳定D.D.x 甲＞x 乙，乙比甲成绩稳定22．若θ∈[0，π]，则sin )3(πθ+>12成立的概率为()A.13B.12C.23D ．123．将一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为m ，n ，m 为2或4时，m ＋n >5的概率为()A.227B.29C.13D.2324．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为()A.13B.14C.15D.1625．在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1，1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为()A.34B.23C.12D.1426．在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为()A.12B.13C.24D.2327．已知样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x ≠y )，若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝a x ＋(1－a )y ，其中0<a <12，则n ，m 的大小关系为()A ．n <mB ．n >mC ．n ＝mD ．不能确定28．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差x /℃101113128发芽数y /颗2325302616(1)从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率；(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y－∑ni ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x－29．某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性一般61925合计242650(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．参考公式与临界值表：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.P (K 2≥k )0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.82830．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图所示．(1)已知[30，40)，[40，50)，[50，60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；(2)该电子商务平台将年龄在[30，50)内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得代金券总和X (单位：元)的分布列与数学期望．31．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商)．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性使用微信的时间分成5组：(0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据女性频率分布直方图估计女性使用微信的平均时间；(2)若每天玩微信超过4小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“微信控”与“性别有关”？32．某校高一(1)、(2)两个班联合开展“诗词大会进校园，国学经典润心田”古诗词竞赛主题班会活动．主持人从这两个班分别随机选出20名同学进行当场测试，他们的成绩按[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组，分别用频率分布直方图茎叶图统计如下(单位：分)：(1)班20名同学成绩频率分布直方图(2)班20名同学成绩茎叶图(1)分别计算两个班这20名同学的测试成绩在[80，90)的频率，并补全频率分布直方图；(2)分别从两个班随机选取1人，设这两人中成绩在[80，90)的人数为X，求X的分布列．(频率当作概率使用)33.为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果．期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．分数[50，59)[60，69)[70，79)[80，89)[90，100]甲班频数56441乙班频数13655(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.临界值表：P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k0 2.706 3.841 5.024 6.635(2)现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核．在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．34.我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨)，月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．35．某地电影院为了了解当地影迷对快要上映的一部电影的票价的看法，进行了一次调研，得到了票价x(单位：元)与渴望观影人数y(单位：万人)的结果如下表：x(单位：元)30405060y(单位：万人) 4.543 2.5(1)若y 与x 具有较强的相关关系，试分析y 与x 之间是正相关还是负相关；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；(3)根据(2)中求出的线性回归方程，预测票价定为多少元时，能获得最大票房收入．b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y－∑ni ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x－36．某高中学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50,100]内，发布成绩使用等级制．各等级划分标准见图表．规定：A ，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级．分数85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级ABCD为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图①所示，样本中原始成绩在80分及以上的所有数据的茎叶图如图②所示．(1)求n 和频率分布直方图中的x ，y 的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；(2)在选取的样本中，从成绩为A ，D 两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生的成绩是A 等级的概率．37．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：分数段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]总计频数b频率a0.25(1)求表中a ，b 的值及成绩在[90,110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出的两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．38．某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x(单位：盒，100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(1)根据频率分布直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；(2)将y表示为x的函数；(3)根据频率分布直方图估计利润y不少于4800元的概率．。
2020全国卷高考数学概率与统计冲刺练习(含答案)
类型一：规范解答过程对于会做的题，要做到不丢分，具体要求解题步骤表达准确、考虑周密、书写规范、关键步骤清晰，防止分段扣分。
类型二：探究型问题的解答(1)未给出结论的通常称为归纳型问题．解答这类问题思路：归纳—猜想—证明；(2)结论不确定的，通常称之为存在型问题．解答思路：假设—推理—定论；(3)条件不全，需探求补足条件的，通常称为：条件探索型．解答思路：结论⇐条件．答案往往不唯一；(4)给定一些对象的某种关系，通过类比得到另一些对象的关系．解答思路：透彻理解条件，转换思维；(5)给出几个论断，选择其中若干个论断为条件，某一个(或几个)为结论，通常称为重组型．解答思路：组合条件，逐一验证．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差【答案】A【解析】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<L ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x 后剩余2348x x x x <<<<L ，中位数仍为5x ，A 正确； ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<L ，后来平均数23481()7x x x x x '=<<<L ，平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确； ③2222111[()()()]9q S x x x x x x =-+-++-L ，22222381[()()()]7s x x x x x x '=-'+-'++-'L ，由②易知，C 不正确；④原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，D 不正确．故选A ． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是则当a 在（0,1）内增大时， A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大【答案】D【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查． 【解析】方法1：由分布列得1()3aE X +=， 则2222111111211()(0)()(1)()333333926a a a D X a a +++=-⨯+-⨯+-⨯=-+， 则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ． 方法2：则222221(1)222213()()()0[()]3399924a a a a D X E X E X a +-+=-=++-==-+，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．9．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率． 【答案】（1）分布列见解析，()2E X =；（2）20243． 【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分． 【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故2~(3,)3X B ，从而3321()C ()(),0,1,2,333k k kP X k k -===． 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()323E X =⨯=． （2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ， 则2~(3,)3Y B ，且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====U ． 由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立， 从而由（1）知()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y =====U(3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+== (3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=．。
2020年高考数学(理)专题训练附解答： 概率与统计
（2020江西省上饶市一模）在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x .将指标x 按照[)0,0.2，[)0.2,0.4，[)0.4,0.6，[)0.6,0.8，[]0.8,1.0分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x ≤<，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当00.2x ≤<时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：受教育水平良好受教育水平不好 总计 绝对贫困户 2相对贫困户 52总计100（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于[)00.4,的贫困户中，随机选取两户，用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望()E X .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0k2.072 2.7063.8415.024专题 概率与统计大题肢解一统计案例与数学期望【肢解1】完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：受教育水平良好受教育水平不好 总计 绝对贫困户 2相对贫困户 52总计100【肢解2】上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于[)00.4,的贫困户中，随机选取两户，用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望()E X .【解析】（1）由题意可知，绝对贫困户有()0.250.500.75++0.210030⨯⨯=（户），可得出如列联表：受教育水平良好受教育水平不好总计绝对贫困户 2 28 30 相对贫困户 18 5270总计2080 100()22100182825230702080K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 4.762 3.841≈>． 故有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关．（2）贫困指标在[)00.4,的贫困户共有()0.250.50.210015+⨯⨯=（户）， “亟待帮助户”共有0. 250.21005⨯⨯=（户）， 依题意X 的可能值为0，1，2，()210215307C P X C ===，()1110521510121C C P X C ===，()252152221C P X C ===， 则X 的分布列为X0 12P371021221故31022()012721213E X =⨯+⨯+⨯=．1.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）计算K 2的值；(3)查表比较K 2与临界值的大小关系，作统计判断． 2.求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法：(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值的定义求E (ξ)； (5)由方差的定义求D (ξ)．【拓展1】（2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟）手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）年龄段[15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75]频率 0.1 0.32 0.28 0.22 0.05 0.03 使用人数828241221若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？年龄低于45岁 年龄不低于45岁 使用手机支付 不使用手机支付参考数据：)(02k K P ≥ 0.0250.010 0.005 0.0010k3.841 6.635 7.879 10.828参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【解析】（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人， 可得列联表如下：年龄低于45岁 年龄不低于45岁 使用手机支付 60 15 不使用手机支付1015于是有K2的观测值2100(60151510)14.28610.82875257030k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯＞． 故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关．【拓展2】（2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟）手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）年龄段 [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75] 频率 0.1 0.32 0.28 0.22 0.05 0.03 使用人数828241221（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？年龄低于45岁 年龄不低于45岁 使用手机支付 不使用手机支付（2）若从年龄在[55，65），[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．【解析】由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，相应的概率为：()223222531010C C P X C C ===，()112213223222225353215C C C C C P X C C C C ==+=，()11122322222222535313230C C C C C P X C C C C ==+=，()212222531315C C P X C C ===， 于是X 的分布列为：X 0 1 2 3P110 25 1330 115所以1213122()0123105301515E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．1.(2019年湖北模拟)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：男女总计爱好402060不爱好152540总计5545100（1）能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由．（2）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率．附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.【解析】（1）因为K2＝100×(40×25－20×15)255×45×60×40≈8.249＞6.635，所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．（2）由题意，抽取的6人中，有男生4名，分别记为a，b，c，d；女生2名，分别记为m，n.则抽取的结果共有15种：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A，事件A所包含的基本事件有8种：(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)．则P(A)＝815.故选出的2人中恰有1名女大学生的概率为815.2.（2019年湖北省宜昌模拟）某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．变式训练一（1）现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人．若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门的概率；（2）若从甲部门中随机选取3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X的分布列及数学期望．【解析】（1）根据茎叶图可知，甲、乙两部门各有10人，用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选取21045⨯=人．记“至少有一人来自甲部门”为事件A，则()3 4 3 813114CP AC=-=．故至少有一人来自甲部门的概率为1314．（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3．()()()()03122130646464643333101010101311 0,1,2,3301026C C C C C C C CP X P X P X P XC C C C============，所以X的分布列为X0 1 2 3P1303101216所以()1311901233010265E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．(2019河南洛阳市模拟)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM 2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标．某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A、B、C三个城市进行治霾落实情况抽查．(1)若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；(2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检．设需进行复检的城市的个数为X，求X的分布列和期望．大题肢解二二项分布【肢解1】若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；【肢解2】每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检．设需进行复检的城市的个数为X，求X的分布列和期望．【解析】（1）随机选取，共有34＝81种不同方法，恰有一个城市没有专家组选取的有C13(C14A22＋C24)＝42种不同方法，故恰有一个城市没有专家组选取的概率为4281＝1427.（2）设事件A：“一个城市需复检”，则P(A)＝1－4)21(＝1516，X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝C03·3)161(＝14 096，P(X＝1)＝C13·3)161(·1)1615(＝454 096，P(X＝2)＝C23·1)161(·2)1615(＝6754 096，P(X＝3)＝C33·3)1615(＝3 3754 096.所以X的分布列为X 0123P14 096454 0966754 0963 3754 096由题意知X～B)1615,3(，所以E(X)＝3×1516＝4516.二项分布的期望与方差如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．1.(2019四川成都诊断)某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到变式训练二如图所示的茎叶图(单位：吨)．若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标．（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的 用水量超标的概率；（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列、数学期望和方差． 【解析】（1）记“从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天的用水量超标”为事件A ，则P (A )＝C 14C 28C 312＋C 38C 312＝168220＝4255.（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为31. X 的所有可能取值为0，1，2，3， 易知X ～B )31,3(，P (X ＝k )＝C k 3kk-⋅⋅3)32()31(，k ＝0，1，2，3，则P (X ＝0)＝827，P (X ＝1)＝49，P (X ＝2)＝29，P (X ＝3)＝127.所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P8274929127所以数学期望E (X )＝3×13＝1，D (X )＝3×13×)311(-＝23.2.（2020湖南师范大学附属中学高三上学期第二次月考）某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似满足~(218,140)X N，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？【解析】（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.2000.3000.2600.0900.0250.875++++=，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.（2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率211121 3413414837C C C C C CPC+==.（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为1700.0251800.11900.22000.32100.262200.092300.025⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯200.4=“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足()~218,140X N，则()218E X=. 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6.1.（2019云南省高考模拟）一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球1个、黄色球2个、蓝色球*()n n N ∈个，现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得1分、摸到黄球得2分、摸到蓝球得3分．若从这个口袋中随机的摸出2个球，恰有一个是黄色球的概率是158． （1）求n 的值；（2）从口袋中随机摸出2个球，设ξ表示所摸2球的得分之和，求ξ的分布列和数学期望()E ξ．【解析】（1）由题意有158231211=++n n C C C ，即03522=--n n ，解得3=n ； （2）ξ取值为3,4,5,6.则1112262(3)15C C P C ξ===，11213222664(4)15C C C P C C ξ==+=， 1123262(5)5C C P C ξ===，23261(6)5C P C ξ===， ξ的分布列为：ξ 34 5 6P215 415 25 15故242114()34561515553E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 2.（2020福建省厦门外国语学校高三上学期12月月考）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 70以上 使用人数312 17 6 4 2 0 未使用人数 0314363（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率；（2）从被抽取的年龄在BF 使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[50,60)的人数,求随机变量X 的分布列及数学期望；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋. 【解析】（1）在随机抽取的100名顾客中， 年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为17100P =． （2）X 所有的可能取值为1,2,3，()124236115C C P X C ===,()214236325C C P X C ===,()304236135C C P X C ===. 所以X 的分布列为X1 2 3P1553 15所以X 的数学期望为131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=. （3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3121764244+++++=人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=.3.（2020广东省惠州市高三第三次调研）为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查.（1）已知在被抽取的学生中高一（1）班学生有6名，其中3名对游泳感兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳感兴趣的概率；（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一(8)班和高一(9)班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.班级一)1(一)2( 一)3( 一)4( 一)5( 一)6( 一)7( 一(8) 一(9) 一(10)⋯市级2233443342⋯比赛获奖人数 市级以上比赛获奖人数22 1 0 23 3 2 1 2⋯【解析】（1）记事件i A {=从6名学生抽取的3人中恰好有i 人有兴趣，i 0=，1，2，3}； 则2A 与3A 互斥，故所求概率为()()()()2323P 2P A A P A P A =+=+至少人感兴趣 213033333366C C C C C C ⋅⋅=+101202==； （2）由题意知，随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，3；()22342255C C 9P ξ0C C 50⋅===⋅，()11221234342255C C C C C 12P ξ1C C 25⋅⋅+⋅===⋅，()22111243242255C C C C C 3P ξ2C C 10⋅+⋅⋅===⋅ ()21242255C C 1P ξ3C C 25⋅===⋅. 则ξ的分布列为：ξ0 1 2 3p950 1225 310 125数学期望为()9241526E ξ0123505050505=⨯+⨯+⨯+⨯=. 4.（2019·河北高考模拟）某次招聘分为笔试和面试两个环节，且只有笔试过关者方可进入面试环节，笔试与面试都过关才会被录用.笔试需考完全部三科，且至少有两科优秀才算笔试过关，面试需考完全部两科且两科均为优秀才算面试过关.假设某考生笔试三科每科优秀的概率均为23，面试两科每科优秀的概率均为34. （1）求该考生被录用的概率；（2）设该考生在此次招聘活动中考试的科目总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望. 【解析】（1）该考生被录用，说明该考生笔试与面试均得以过关.所以=P 3223221335[()+()]=3334412C ⨯⨯⨯. （2）易得ξ的可能取值为3 ,5 ，所以(=3)=1P ξ-3223221207[()+()]=1-=3332727C ⨯， 或(=3)=P ξ31231127()+()=33327C ⨯ ，所以20(=5)=1-(=3)=27P P ξξ，或(=5)=P ξ322322120()+()=33327C ⨯ ，ξ的分布列为：ξ3 5P727 2027所以720121()=3+5=272727E ξ⨯⨯. 5.（2019江西省新八校联考）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数10304020（1）若将频率是为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考， 方案1：不分类卖出，单价为20元/kg ． 方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级标准果优质果 精品果 礼品果 售价(元/kg ） 16182224从采购单的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X 表示抽取的是精品果的数量，求X 的分布列及数学期望()E X ．【解析】（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A ，则201()1005P A ==， 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X ，则1~(4,)5X B ，所以恰好抽到2个礼品果的概率为22244196(2)C ()()55625P X ===， （2）设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为134216548848()1618222420.61010101010E ξ+++=⨯+⨯+⨯+⨯==， 因为()20E ξ>，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案． （3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个， 现从中抽取3个，则精品果的数量X 服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3，则36310C 1(0)C 6P X ===；2164310C C 1(1)C 2P X ===； 1264310C C 3(2)C 10P X ===；34310C 1(3)C 30P X ===， 所以X 的分布列如下：X0 1 2 3P1612 310 130所以11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.6.（2020山西省晋城市高三第一次模拟）“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展.下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份2014 20152016 2017 2018 销量（万台） 810132524某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主 6 24 女性车主 2 总计30（1）求新能源乘用车的销量y 关于年份x 的线性相关系数r ，并判断y 与x 是否线性相关； （2）请将上述22⨯列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；（3）若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例,从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人,记选到女性车主的人数为X,求X 的数学期望与方差.参考公式：12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.63525≈，若0.9r >，则可判断y 与x 线性相关. 附表：20()P K k ≥0．10 0.05 0.025 0.010 0.001k2.7063.841 5.024 6.635 10.828【解析】（1）依题意，2014201520162017201820165x ++++==，810132524165y ++++==，故51()()(2)(8)(1)(6)192847iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，521()411410ii x x =-=+++=∑，521()643698164254i i y y =-=++++=∑，则51552211()()47470.940.9102542635()()iii iii i x x y y r x x y y ===--===≈>⨯--∑∑∑故y 与x 线性相关.（2）依题意，完善表格如下：购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 18 6 24 女性车主 2 4 6 总计2010302230(18426)15 3.75 2.70620102464K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关. （3）依题意，该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为42105=， 则2(50,)5X B :， 所以2()50205E X =⨯=，22()50(1)1255D X =⨯⨯-=. 7.（2020云南省昆明市第一中学高三一轮检测）某城市为鼓励人们乘坐地铁出行，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：乘坐站数x 100≤<x2010≤<x2030x <≤票价（元）369现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站，甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为14，13；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为12，13． （1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望． 【解析】（1）由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111424--=，乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111333--=， 设“甲、乙两人付费相同”为事件A ，则()11114343P A =⨯+⨯ 111233+⨯=，所以甲、乙两人付费相同的概率是13.（2）由题意可知X 的所有可能取值为：6，9，12，15，18.()11164312P X ==⨯=，()11943P X ==⨯ 111436+⨯=，()11112432P X ==⨯+ 11113433⨯+⨯=，()11112432P X ==⨯+ 1134⨯=，()11118236P X ==⨯=.因此X 的分布列如下：X6912 1518P11216131416所以X 的数学期望()1169126E X =⨯+⨯ 11121534+⨯+⨯ 1511864+⨯=. 8.（2020东北三省三校联合模拟）“移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”,某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识.学习结束后,每人都进行限时答卷,得分都在[]50,100内.在这些答卷(有大量答卷)中,随机抽出200份,统计得分绘出频率分布直方图如图.（1）求出图中a 的值,并求样本中,答卷成绩在[)80,90上的人数;（2）以样本的频率为概率,从参加这次答卷的人群中,随机抽取4名,记成绩在80分以上(含80分)的人数为X ,求X 的分布列和期望.【解析】（1）依题意,()2 376 2101,a a a a a ⨯++++=故0.005a =， 故成绩在[)80,90上的频率为600.3,a = 答卷成绩在[)80,90上的人数为2000.360; ⨯=（2）由样本的频率分布直方图知成绩在80分以上(含80分)的频率为2805a =， 依题意,24,5X B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()04042381055625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()31423216155625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()22423442321623962,35562555625P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()4442316455625P X C α⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以X 的分布列为X0 1 2 34P816252166252166259662516625所以X 的数学期望为()28455E X =⨯=.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》真题汇编及答案解析
数学《计数原理与概率统计》试卷含答案一、选择题1．若随机变量X 的分布列为（ ）且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（ ） A ．13B ．0C ．1D ．23【答案】D 【解析】分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量X 的方差()D X .详解：由题得1113,,130213a b a b a b ⎧++=⎪⎪∴==⎨⎪⨯++=⎪⎩ 所以2221112()(01)(11)(21).3333D X =-⋅+-⋅+-⋅= 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-⋅＋222()x E p ξ-⋅＋…＋2()n n x E p ξ-⋅,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E ξ是随机变量ξ的期望．2．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ） A ．12B ．13C ．4D ．3【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得k ≤≤所以相交的概率224P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.3．设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为ˆ0.8585.71yx =-，给出下列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kgC ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L 中的一个D ．回归直线一定过样本点的中心点(),x y 【答案】C 【解析】 【分析】根据回归直线方程的性质和相关概念，对选项进行逐一分析即可. 【详解】因为0.850k =>，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确； 该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg ，故B 正确； 回归直线一定过样本点的中心点(),x y ，回归直线有可能不经过样本数据， 故D 正确；C 错误. 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归直线方程的定义，相关性质，属基础题.4．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种C ．42种D ．25种【答案】C 【解析】 【分析】给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区，则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1343C C ⋅；第2社区2个、第3社区安排2个，共2242C C ⋅；第2社区3个，第3社区安排1个，共1141C C ⋅；故所有安排总数为1322114342413()42C C C C C C ⨯⋅+⋅+⋅=.故选：C. 【点睛】本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v共线的概率为( ) A ．13B ．14C ．16D ．112【答案】D 【解析】 【分析】由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r共线的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解。
【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 概率与统计 大题(含答案解析)
【高考复习】2020年高考数学(理数) 概率与统计大题1.在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机下单和支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普索(Ipsos)合作，调查了腾讯服务的6 000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带的现金(单位：元)如茎叶图所示，规定：随身携带的现金在100元以下的为“淡定族”，其他为“非淡定族”．(1)根据上述样本数据，列出2×2列联表，判断是否有75%的把握认为“淡定族”与“性别”有关？(2)用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3人，设这3人中“淡定族”的人数为随机变量ξ，求随机变量ξ的概率分布列及数学期望．参考公式：K2=n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，其中n=a＋b＋c＋d.参考数据：2.第四届世界互联网大会在浙江乌镇隆重召开，人工智能技术深受全世界人民的关注，不同年龄段的人群关注人工智能技术应用与发展的侧重点有明显的不同，某中等发达城市的市场咨询与投资民调机构在该市对市民关注人工智能技术应用与发展的侧重方向进行调查，随机抽取1 000名市民，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求这 1 000名市民年龄的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)调查发现年龄在[20,40)的市民侧重关注人工智能技术在学习与工作方面的应用与发展，其中关注智能办公的共有100人，将样本的频率视为总体的频率，从该市年龄在[20,40)的市民中随机抽取300人，请估计这300人中关注智能办公的人数；(3)用样本的频率代替概率，现从该市随机抽取20名市民调查关注人工智能技术在养老服务方面的应用与发展的情况，其中有k名市民的年龄在[60,80]的概率为P(X=k)，其中k=0,1,2，…，20，当P(X=k)最大时，求k的值．3.某校高三年级有500名学生，一次考试的英语成绩服从正态分布N(100,17.52)，数学成绩的频率分布直方图如下：(1)如果成绩高于135分的为特别优秀，则本次考试英语、数学成绩特别优秀的学生大约各多少人？(2)试问本次考试英语和数学的平均成绩哪个较高，并说明理由；(3)如果英语和数学两科成绩都特别优秀的共有6人，从(1)中的这些学生中随机抽取3人，设3人中两科成绩都特别优秀的有ξ人，求ξ的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ-σ<X≤μ＋σ)=0.68，P(μ-2σ<X≤μ＋2σ)=0.96，P(μ-3σ<X≤μ＋3σ)=0.99.4.已知具有相关关系的两个变量x ，y 的几组数据如下表所示：(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x ＋a ^，并估计当x=20时y 的值；(3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x-y-4=0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列以及期望．参考公式：b ^=∑i=1nx i y i －n x－y －∑i ＝1n x 2i －n x －2，a ^=y --b ^x -.5.某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A，B，C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款方式付款的客户进行统计分析，得到柱状图如图所示．已知从A，B，C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元、2万元、3万元．现甲、乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率估计1位客户采用相应分期付款方式的概率．(1)求甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率；(2)记X(单位：万元)为该汽车经销商从甲、乙两人购车中所获得的利润，求X的分布列与期望．6.某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x(万元)和销售量y(万元)的数据如下：(1)若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求出y 关于x 的线性回归方程；(2)若用y=c ＋d x 模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程y ^=1.63＋0.99x ，经计算线性回归模型和该模型的R 2分别约为0.75和0.88，请用R 2说明选择哪个回归模型更好；(3)已知利润z 与x ，y 的关系为z=200y-x.根据(2)的结果回答下列问题：①广告费x=20时，销售量及利润的预报值是多少？②广告费x 为何值时，利润的预报值最大？(精确到0.01)参考公式：回归直线y ^=a ^＋b ^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^=∑i=1n x i y i －n x－y －∑i ＝1n x 2i －n x －2，a ^=y --b ^x -.参考数据：5≈2.24.7.通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：(1)将题中的2×2列联表补充完整；(2)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由；(3)如果按性别进行分层抽样，从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d.8.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率；(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望E(X)；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．9.近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业．某商家为了准备2018年“双十一”的广告策略，随机调查了1 000名客户在2017年“双十一”前后10天内网购所花时间T(单位：时)，并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图．由频率分布直方图可以认为，这10天网购所花的时间T近似服从N(μ，σ2)，其中μ用样本平均值代替，σ2=0.24.(1)计算μ，并利用该正态分布求P(1.51＜T＜2.49)．(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体，将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户，对目标客户发送广告提醒．现若随机抽取10 000名客户，记X为这10 000人中目标客户的人数．(ⅰ)求EX；(ⅱ)问：10 000人中目标客户的人数X为何值的概率最大？附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σ＜Z＜μ＋σ)=0.682 6，P(μ-2σ＜Z＜μ＋2σ)=0.954 4，P(μ-3σ＜Z＜μ＋3σ)=0.997 4.0.24≈0.49.10.某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率p=23，记该班级完成n 首背诵后的总得分为S n . (1)求S 6=20且S i ≥0(i =1,2,3)的概率；(2)记ξ=|S 5|，求ξ的分布列及数学期望．答案解析1.解：(1)依题意可得2×2列联表如下：K 2=60×10×12－30×8218×42×40×20≈1.429>1.323，故有75%的把握认为“淡定族”与“性别”有关．(2)用样本估计总体，用户中为“淡定族”的概率为1860=310，ξ的可能取值为0,1,2,3，由题意，得到ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，310， P(ξ=k)=C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫310k ⎝ ⎛⎭⎪⎫7103-k，k=0,1,2,3，随机变量ξ的分布列为故随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×3431 000＋1×4411 000＋2×1891 000＋3×271 000=9001 000=910.2.解：(1)由频率分布直方图可知，抽取的1 000名市民年龄的平均数 x -=25×0.05＋35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.25＋75×0.1=54(岁)． 设1 000名市民年龄的中位数为x ，则0.05＋0.1＋0.2＋0.03×(x -50)=0.5，解得x=55， 所以这1 000名市民年龄的平均数为54，中位数为55.(2)由频率分布直方图可知，这1 000名市民中年龄在[20,40)的市民共有 (0.05＋0.10)×1 000=150人，所以关注智能办公的频率为100150=23，则从该市年龄在[20,40)的市民中随机抽取300人，这300人中关注智能办公的人数为300×23=200.故估计这300人中关注智能办公的人数为200.(3)设在抽取的20名市民中，年龄在[60,80]的人数为X ，X 服从二项分布， 由频率分布直方图可知，年龄在[60,80]的频率为(0.025＋0.010)×10=0.35，所以X ～B(20,0.35)，所以P(X=k)=C k 200.35k (1-0.35)20-k，k=0,1,2， (20)设t=P X ＝k P X ＝k －1=C k 200.35k 0.6520－kC k －1200.35k －10.6521－k =721－k 13k ，k=1,2，…，20. 若t>1，则k<7.35，P(X=k-1)<P(X=k)； 若t<1，则k>7.35，P(X=k-1)>P(X=k)． 所以当k=7时，P(X=k)最大， 即当P(X=k)最大时，k 的值为7.3.解：(1)因为英语成绩服从正态分布N(100,17.52)，所以英语成绩特别优秀的概率P 1=P(X≥135)=(1-0.96)×12=0.02，由频率估计概率，得数学成绩特别优秀的概率P 2=0.001 6×20×34=0.024，所以英语成绩特别优秀的学生大约有500×0.02=10(人)， 数学成绩特别优秀的学生大约有500×0.024=12(人)． (2)本次考试英语的平均成绩为100分，数学的平均成绩为60×0.16＋80×0.168＋100×0.48＋120×0.16＋140×0.032=94.72(分)，因为94.72<100，所以本次考试英语的平均成绩较高．(3)英语和数学成绩都特别优秀的有6人，则单科成绩特别优秀的有10人， ξ可取的值有0,1,2,3，所以P(ξ=0)=C 310C 316=314，P(ξ=1)=C 210C 16C 316=2756，P(ξ=2)=C 110C 26C 316=1556，P(ξ=3)=C 36C 316=128，故ξ的分布列为E(ξ)=0×314＋1×2756＋2×1556＋3×128=98.4.解：(1)散点图如图所示：(2)依题意，x -=15×(2＋4＋6＋8＋10)=6，y -=15×(3＋6＋7＋10＋12)=7.6，∑i ＝15x 2i=4＋16＋36＋64＋100=220，∑i ＝15x i y i =6＋24＋42＋80＋120=272，b ^=∑i=15x i y i －5x－y－∑i ＝15x 2i －5x －2=272－5×6×7.6220－5×62=4440=1.1，∴a ^=7.6-1.1×6=1， ∴线性回归方程为y ^=1.1x ＋1，故当x=20时，y=23.(3)可以判断，落在直线2x-y-4=0右下方的点满足2x-y-4>0，故符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，故ξ的所有可能取值为1,2,3，P(ξ=1)=C22C13C35=310，P(ξ=2)=C12C23C35=610=35，P(ξ=3)=C33C35=110，故ξ的分布列为故E(ξ)=1×310＋2×35＋3×110=1810=95.5.解：(1)设“采用A种分期付款方式购车”为事件A，“采用B种分期付款方式购车”为事件B，“采用C种分期付款方式购车”为事件C，由柱状图得，P(A)=35100=0.35，P(B)=45100=0.45，P(C)=20100=0.2，∴甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率P=1-(P(A)·P(A)＋P(B)·P(B)＋P(C)·P(C))=0.635.(2)由题意知，X的所有可能取值为2,3,4,5,6，P(X=2)=P(A)P(A)=0.35×0.35=0.122 5，P(X=3)=P(A)P(B)＋P(B)P(A)=0.35×0.45＋0.45×0.35=0.315，P(X=4)=P(A)P(C)＋P(B)P(B)＋P(C)P(A)=0.35×0.2＋0.45×0.45＋0.2×0.35=0.342 5，P(X=5)=P(B)P(C)＋P(C)P(B)=0.45×0.2＋0.2×0.45=0.18，P(X=6)=P(C)P(C)=0.2×0.2=0.04.∴X的分布列为E(X)=0.122 5×2＋0.315×3＋0.342 5×4＋0.18×5＋0.04×6=3.7.6.解：(1)∵x-=8，y-=4.2，∑i＝17x i y i=279.4，∑i＝17x2i=708，∴b^=∑i=17x i y i－7x－y－∑i＝17x2i－7x－2=279.4－7×8×4.2708－7×82=0.17，a^=y--b^x-=4.2-0.17×8=2.84，∴y关于x的线性回归方程为y^=0.17x＋2.84.(2)∵0.75<0.88且R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，∴选用y^=1.63＋0.99x更好．(3)由(2)知，①当x=20时，销售量的预报值y^=1.63＋0.9920≈6.07(万台)，利润的预报值z=200×6.07-20≈1 194(万元)．②z=200(1.63＋0.99x)-x=-x＋198x＋326=-(x)2＋198x＋326=-(x-99)2＋10 127，∴当x=99，即x=9 801时，利润的预报值最大，故广告费为9 801万元时，利润的预报值最大．7.解：(1)题中的2×2列联表补充如下：(2)K 2=100×40×25－20×15255×45×60×40≈8.25>6.635，所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．(3)由题意，抽取6人中包括男生4名，女生2名，X 的取值为0,1,2，则P(X=0)=C 34C 36=15，P(X=1)=C 24C 12C 36=35，P(X=2)=C 14C 22C 36=15，故X 的分布列为E(X)=0×15＋1×35＋2×15=1.8.解：(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M ，则P(M)=C 325C 350=23196.(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a ， 当a=38时，X=38×6=228， 当a=39时，X=39×6=234， 当a=40时，X=40×6=240，当a=41时，X=40×6＋1×7=247， 当a=42时，X=40×6＋2×7=254.所以X 的所有可能取值为228,234,240,247,254. 故X 的分布列为所以E(X)=228×110＋234×15＋240×15＋247×25＋254×110=241.8.②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1=39.7，所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.7=238.8元． 由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元． 因为238.8<241.8，所以推荐小王去乙公司应聘． 9.解：(1)μ=0.4×(0.050×0.8＋0.225×1.2＋0.550×1.6＋0.825×2.0＋0.600×2.4＋0.200×2.8＋0.050×3.2)=2，从而T 服从N(2,0.24)，又σ=0.24≈0.49，从而P(1.51＜T ＜2.49)=P(μ-σ＜T ＜μ＋σ)=0.682 6. (2)(ⅰ)任意抽取1名客户，该客户是目标客户的概率为P(2＜T ＜2.98)=P(μ＜T ＜μ＋2σ) =12P(μ-2σ＜T ＜μ＋2σ)=12×0.954 4=0.477 2. 由题意知X 服从B(10 000,0.477 2)，所以EX=10 000×0.477 2=4 772. (ⅱ)X 服从B(10 000,0.477 2)，P(X=k)=C k 10 0000.477 2k (1-0.477 2)10 000-k =C k 10 0000.477 2k ·0.522 810 000-k(k=0,1,2，…，10 000)． 设当X=k(k≥1，k ∈N)时概率最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧P X ＝k ＞P X ＝k ＋1，PX ＝k ＞P X ＝k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧0.522 8C k 10 000＞0.477 2C k ＋110 000，0.477 2C k 10 000＞0.522 8C k －110 000，解得k=4 772.故10 000人中目标客户的人数为4 772的概率最大． 10.解：(1)当S 6=20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．由S i ≥0(i =1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首； 若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．则所求的概率P=⎝ ⎛⎭⎪⎫232×C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋23×13×23×C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13=1681.(2)由题意知ξ=|S 5|的所有可能的取值为10,30,50，又p=23，∴P(ξ=10)=C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133=4081，P(ξ=30)=C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫134=3081，P(ξ=50)=C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235×⎝ ⎛⎭⎪⎫130＋C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫135=1181，∴ξ的分布列为∴E(ξ)=10×4081＋30×3081＋50×1181=1 85081.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实用文档 用心整理
频数
10
30
40
15
5
以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率.
( ) （1）由种植经验认为，种植园内的水果质量 X 近似服从正态分布 N µ,σ 2 ，其中 µ 近似为样本平均数 x ，
σ 2 ≈ 4 .请估计该种植园内水果质量在 (5.5,9.5) 内的百分比； （2）现在从质量为[1,3) ，[3,5) ，[5, 7) 的三组水果中，用分层抽样方法抽取 8 个水果，再从这 8 个水果 中随机抽取 2 个.若水果质量在[1,3) ，[3,5) ，[5, 7) 的水果每销售一个所获得的利润分别为 2 元，4 元，6
偶尔或不用网购
合计
男性 50
100
女性 70
100
3 千里之行 始于足下
合计
实用文档 用心整理
（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为我市市民网购与性别 有关？
（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取 10 人，再从这 10 人中随机选取 3 人赠送优惠券， 求选取的 3 人中至少有 2 人经常网购的概率；
元，记随机抽取的 2 个水果总利润为Y 元，求Y 的分布列和数学期望.
( ) 附：若ξ 服从正态分布 N µ,σ 2 ，则 P ( µ −σ ≤ ξ < µ + σ ) = 0.6827 ，
P (µ − 2σ ≤ ξ < µ + 2σ ) = 0.9545 .
【名师指点】本题主要考查正态分布及随机变量的分布列和数学期望．本题有两个易错点，一是正态分布 的三个概率公式中数据的范围是由平均值与标准差确定，注意不是方差；二是列分布列时应全面考虑，把 所有可能情况都列出来，再求出对应的概率.
（1）请问：对于完全不会的题目，小强应该随机从 4 个选项中选一个作答，还是选择放弃？（利用统计知 识说明理由）
（2）若小强有 12 道题目会做，剩下的题目中，可以排除一个错误选项、可以排除两个错误选项和完全不
会的题目的数量比是 3 : 2 :1 .请问：小强在本次活动中可以获得最多红星数的期望是多少？
【举一反三】 （2020·湖南高三期末（理））生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建 传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地 200 户家庭进行调查统计.这 200 户
4
千里之行 始于足下
实用文档 用心整理
家庭中，头胎为女孩的频率为 0.5，生二孩的频率为 0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为 60. （1）完成下列 2 × 2 列联表，并判断能否有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；
求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：
第一步：确定随机变量的所有可能值；
第二步：求每一个可能值所对应的概率；
第三步：列出离散型随机变量的分布列；
第四步：求均值和方差；
2 千里之行 始于足下
第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.
实用文档 用心整理
【举一反三】（2019·重庆市第十一中学校高三月考（理））新中国昂首阔步地走进 2019 年，迎来了她 70 岁华诞.某平台组织了“伟大的复兴之路一新中国 70 周年知识问答”活动，规则如下：共有 30 道单选题， 每题 4 个选项中只有一个正确，每答对一题获得 5 颗红星，每答错一题反扣 2 颗红星；若放弃此题，则红 星数无变化.答题所获得的红星可用来兑换神秘礼品，红星数越多奖品等级越高.小强参加该活动，其中有些 题目会做，有些题目可以排除若干错误选项，其余的题目则完全不会.
类型 2 概率与统计的综合应用
典例 2 （2019·山东高考模拟（理））随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的 购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市 民中随机抽取了男女各 100 人进行分析，从而得到表（单位：人）
经常网购
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取 10 人赠送礼品，记其中经常网购的人数为 X ， 求随机变量 X 的数学期望和方差．
参考公式：
K2
=
(a
+
n (ad − bc)2 b)(c + d)(a + c)(b
+
d
)
( ) P K 2 ≥ K0 0.15
0.10
0.05
0.025 0.010 0.005 0.001
K0
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【名师指点】概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依 托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计 图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的 运算.本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典 概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
专题三 压轴解答题
实用文档 用心整理
第七关 以概率统计为背景的解答题为解答题
【名师综述】
1.本专题在高考中的地位
统计概率是高中数学中重要的知识点， 所以在历届高考中，对概率统计的考查都非常突出，每年必考一个
解答题。
2．本专题在高考中的命题方向及命题角度
统计与概率是高中数学的重要内容,也是便于贴近生活立意的高考大题。高考主要考查排列组合,二项式定理, 随机抽样,用样本估计总体,变量的相关性,随机事件的概率,古典概型,几何概型,回归分析,独立性检验,离散型 随机变量的分布列期望、方差,正态分布。考查重点是用样本估计总体,古典概率,离散型随机变量的分布列、 期望、方差,应用回归分析与独立性检验思想方法解决简单实际问题的能力。试题强调应用性,以实际问题为 背景,构建数学模型,突出考查统计与概率的思想和考生的数据能力及应用意识。
类型一 离散型随机变量的分布列、均值与方差
典例 1 （2019·山东高考模拟（理））有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果 100
个，其质量（均在 1 至11kg ）频数分布表如下（单位： , 7 )
[7, 9 )
[9,11)
1 千里之行 始于足下