名师A计划2017年中考数学总复习第一部分考点知识梳理1.12二次函数课件
2017年春季学期新人教版中考一轮总复习：第21课《二次函数》名师精讲课件
2．（2016•大连）如图，抛物线y=x2﹣3x+ 与x轴相交 于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线 上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E （1）求直线BC的解析式； （2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
5 4
考点三
二次函数的实际应用
例3（2016•郴州）某商店原来平均每天可销售某种水果 200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查 ，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20 千克． （1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写 出y关于x的函数表达式； （2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元 ？
考点二
求二次函数的表达式
例2（2013•广东）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1． （1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二 次函数的解析式； （2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D ，求C、D两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得 PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在， 请说明理由．
第21课
二次函数
知识清单 课前小测 经典回顾 中考冲刺
本节内容考纲要求考查二次函数概念、图象、性 质及应用，能根据具体问题求二次函数的解析式，二次 函数的应用。广东省近5年试题规律：二次函数是必考内 容，选择题形式一般考查二次函数的图象与性质，解答 题形式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较 大，通常是压轴题，要么以函数为背景引出动态几何问 题，要么以动态图形为背景，渗透二次函数问题，是数 形结合思想的典例。
经典回顾
考点一 二次函数的图象和性质
例1（2014•广东）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致 图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是 （ D ） A．函数有最小值 1 B．对称轴是直线x= 2 C．当x＜ 1 ， y 随 x 的增大而减小 2 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0
中考数学总复习 第一篇 知识 方法 固基 第三单元 函数 第12讲 二次函数的图象及性质课件
图象如图所示.
由图可知,资金金额满足240<ω≤300时,以同样的资金可批发到较多数
12/9/2021
量的该种水果
8分
第十三页，共三十五页。
命题(mìng
命题(mìng
命题(mìng
tí)点1
tí)点2
tí)点3
(3)法一:设当日零售价为x元,由图可得当日最高销售量n=320-40x,当n>60
时,x<6.5.
12/9/2021
第一页，共三十五页。
考点(kǎo
diǎn)一
考点(kǎo
diǎn)二
考点(kǎo
diǎn)三
考点四
考点五
考点一二次函数概念及表达式
定义:一般地,形如y=ax2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做二次函数.
(1)一般形式:y = ax 2 + bx + c
;
(2)顶点式:y = a(x-h)2 + k(a ≠ 0),其中
命题(mìng
tí)点2
命题点3
解 (1)①段函数图象(tú xiànɡ)表示批发量不少于20 kg且不多于60 kg的该种水果,
可按5元/kg批发;
②段函数图象表示批发量高于60 kg的该种水果,可按4元/kg批发.
4分
5(20 ≤ ≤ 60),
(2)由题意得,ω=
4( > 60).
5分
即经销商应批发80 kg该种水果,日零售价定为6元/kg,当日可得最大利
润160元. 14分
12/9/2021
第十五页，共三十五页。
命题(mìng
命题(mìng
tí)点1
名师A计划2017年中考数学总复习第一部分考点知识梳理1.9平面直角坐标系及函数课件
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考点1
考点2
考点3
考点4
考点4 函数自变量的取值范围及函数值 1.函数自变量的取值范围的确定 (1)整式中的自变量的取值范围是 全体实数 ; (2)分式中的自变量的取值范围是 分母不等于0 ; (3)二次根式中的被开方数是 非负数 ; (4)若函数表示的是实际问题,自变量的取值还应当使实际问题有意义. 2.函数值 在自变量允许取值的范围内取一个值,代入到函数中,按函数指明的运算所得的 就是这个函数的一个函数值.
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考点1
考点2
考点3
考点4
函数概念中包含三个要素:(1)自变量的取值范围;(2)对应法则;(3)函数值的取值范围. 画函数图象的注意事项:(1)列表时应考虑在自变量的取值范围内取值;(2)取值应考虑具有 代表性,如自变量取正数、零、负数等;(3)连线时按照自变量由小到大的顺序,用平滑的曲 线把所有描点连接起来.
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考点1
考点2
考点3
考点4
考点3 函数及其表示 1.常量和变量 在某一变化过程中 保持不变 的量叫做常量,可以变化的量叫做变量. 2.函数 在某变化过程中,有两个变量x和y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一 确定的值与它对应,就把y叫做x的函数,x叫做自变量. 3.函数的表示方法 解析法 , 列表法 , 图象法 . 4.画函数图象的方法步骤 ① 列表 ;②描点;③ 连线 . 5.实际问题中的函数关系的写法 只需用含自变量x的代数式(与写代数式一样),表示出y即可,注意一般要写出自变量的取值 范围.
结果
,
根据函数的意义,函数的值是由自变量的值唯一确定的,但对应的自变量的值可以是多个; 函数值的取值范围是由自变量的取值范围所决定的.
名师A计划2017年中考数学总复习第一部分考点知识梳理1.10一次函数课件
考纲解读
命题解读
2014—2016 年安徽中考命题分析 年份 考查点 题型 一次函数与反比例 2016 解答题 函数的综合 一次函数与反比例 2015 解答题 函数的综合
题号 分值 20 10
21(1) 8 (2)
2014
一次函数的性质的 应用(与一次方程 解答题 20(2) 5 组的应用的综合)
b=0
时, 该
y随x的 增大而 增大
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考点1
考点2
考点3
图象是经过 图 象 和 性 质 b>0 k<0 b=0 b<0
和(0,b)的一条直线 经过第一、二、四象限 经过第二、四象限 经过第二、三、四象限 y随x的 增大而 减小
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考点1
考点2
考点3
一次函数的图象是与坐标轴不平行的直线,其中正比例函数的图象是过原点的直线.一次 函数的图象是一条直线,但直线不一定是一次函数的图象,如x=a,y=b分别是与y轴、x轴平 行的直线,但不是一次函数.
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2.一次函数与几何图形的综合应用 典例2 (2016· 江苏盐城)如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2,b1≠b2,那么称 这两个一次函数为“平行一次函数”.如图,已知函数y=-2x+4的图象与x轴、y轴分别交于 A,B两点,一次函数y=kx+b与y=-2x+4是“平行一次函数”. (1)若函数y=kx+b的图象经过点(3,1),求b的值; (2)若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形,位似中心为原 点,位似比为1∶2,求函数y=kx+b的表达式.
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
2017中考数学二次函数专题
二次函数知识点总结及相关典型题目第一部份 基础知识1.概念：一样地，若是c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的极点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔极点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔极点为其最高点.（3）极点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方式可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一样，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、极点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.专门地，y 轴记作直线0=x .7.极点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，若是二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是极点的位置不同. 8.求抛物线的极点、对称轴的方式（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴极点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方式：运用配方的方式，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，取得极点为(h ,k)，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，因此对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是极点.用配方式求得的极点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 一起决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右边.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线通过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右边，那么 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特点如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一样式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一样式. （2）极点式：()k h x a y +-=2.已知图像的极点或对称轴，通常选择极点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情形能够由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（极点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，那么横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数量来确信：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：假设抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部份 典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的极点坐标是 （ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如下图，那么以下结论正确的选项是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0第２,３题图 第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如下图，那么以下结论正确的选项是（ Ｄ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 ４.如图，已知中，BC=8，BC 上的高，D 为BC 上一点，，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF只是A 、B ），设E 到BC 的距离为，那么的面积关于的函数的图象大致为（ Ｄ ）2482,484EF xEF x y x x -=⇒=-∴=-+ ５.抛物线322--=x x y 与x 轴别离交于A 、B 两点，那么AB 的长为 4 ．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），那么关于以下结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤21x x k－，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）假设该抛物线过点B ，且它的极点P 在直线b x y +-=2上，试确信这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，假设抛物线的对称轴恰好于C 点，试确信直线b x y +-=2的解析式.解：（1）102-=x y 或642--=x x y将0)b （，代入，得c b =.极点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-.（2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值别离为5,3-,4-．第9题（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出那个二次函数的图象,并依照图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如下图.由图象可得，当输出值y 为正数时， 输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ．9.某生物爱好小组在四天的实验研究中发觉：骆驼的体温会随外部环境温度的转变而转变，而且在这四天中每日夜的体温转变情形相同．他们将一头骆驼前两日夜的体温转变情形绘制成以下图．请依照图象回答： ⑴第一天中，在什么时刻范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时刻?⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶爱好小组又在研究中发觉，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．是不是存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．假设存在，请求出a 的值；假设不存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标别离为（1x ，0），（2x ，0），由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标别离为（-3，0），（a34-，0）． ∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34|+-a． ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ， 252=AC ，1691622+=a BC ．〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-a a a ． 解得 41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ．于是222BC AC AB +=． ∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°． 由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=aa a ． 解得 94=a ． 当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°． 由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+aa a ． 解得 94=a ．不合题意． 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）假设抛物线与x 轴的两个交点A 、B 别离在原点的双侧，而且AB 5m 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，假设抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，而且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 那么x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2121245x x x x -=2（+）∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，那么N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在知足条件中的两点M 、N. ∴2a m =-这时M 、N 到y 2m -又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×12×（2－m 2m -∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，若是点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是不是存在点P ，使△APE 的周长最小?假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，请说明理由． 解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．NMCx y O（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝ 上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝． （3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ， 且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴340200＋＋＝x x y ．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 020＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根． 综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小． 解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． ∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQ PF BQ BF ＝．∴ 45251PF ＝．∴ 21＝PF ．∴ 点P 坐标为（－2，21）．以下同解法一．13.已知二次函数的图象如下图．（1）求二次函数的解析式及抛物线极点M 的坐标．（2）假设点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右边的抛物线上是不是存在点P ，使△PAC 为直角三角形?假设存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个极点成为矩形一边的两个极点，第三个极点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的极点坐标（不需要计算进程）．解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ． 其极点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ． ∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ． ∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ． （3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，那么22--=m m n ． 222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．分以下几种情形讨论：i ）假设∠PAC ＝90°，那么222AC PA PC +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ， 解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛47251，P ． ii ）假设∠PCA ＝90°，那么222AC PC PA +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ，解得：02343==m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ． iii ）由图象观看得，当点P 在对称轴右边时，AC PA >，因此边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个极点，第三个极点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，现在未知极点坐标是点D （－1，－2），以点A ，点C 为矩形的两个极点，第三个极点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，现在未知极点坐标是E ⎪⎭⎫⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，．图a 图b14.已知二次函数22－＝ax y 的图象通过点（1，－1）．求那个二次函数的解析式，并判定该函数图象与x 轴的交点的个数．解：依照题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 那个二次函数解析式是22-x y ＝．因为那个二次函数图象的开口向上，极点坐标是（0，－2），因此该函数图象与x 轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形能够近似看做抛物线的一部份．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，成立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部份抛物线为图象的函数解析式，写出函数概念域； （2）若是DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精准到1米）．解：（1）由于极点C 在y 轴上，因此设以这部份抛物线为图象的函数解析式为1092＋＝ax y ．因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 因此109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－．（2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 因此109125182092＋－x =，得245±＝x ． 因此点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）． 因此225)245(245＝－＝-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象通过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）若是线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，若是b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．解:（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），那么210x x ＜＜．∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ ac x x =⋅21． 由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c a c＝＝． 因此当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋a a b x x ，∴ a ＞0．解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－，∴ aa ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==－．∵ 34=AB ， ∴ 3432＝a ．得21=a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，a a a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝， ∴ a x 321-＝，ax 322+＝． ∴ a a a x x OA OB AB 32323212＝－－＝－＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴ 3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 别离与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 通过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，假设∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求通过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）假设延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判定直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 别离与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．∴ 232,2321====OB EN OA ON ． 连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）． （2）设通过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ． ∴ x x y 8329322-=为所求． （3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ．∴ OD＝OB·tan30°－1．∴ DA＝2．∵∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2．∴△ADP是等边三角形．∴∠DAP＝60°．∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．即直线PA是⊙E的切线．。
名师A计划中考数学总复习第一部分考点知识梳理1.7一元二次方程课件0204173
元二次方程的求根公式是 x=
(b2-4ac≥0) ,它是通过用配方法求解一般形式的
一元二次方程推导出来的.公式法解一元二次方程的一般步骤是:①化一元二次方程为一般
形式;②确定各项系数;③求出b2-4ac的值;④ 代入求根公式 ;⑤求出两根.
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3.因式分解法
用因式分解求一元二次方程的解的方法叫做因式分解法.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:
①将方程的一边化为0;②将方程另一边 因式分解 ;③令含有未知数的每个一次因式等于0; ④解这两个一元一次方程.
【解析】先将方程左边提取2y,再把右边的项移到左边,提取y+2,将方程转化为两个一元一次方程求 解.
【答案】 2y(y+2)=y+2,
(y+2)(2y-1)=0,
所以y+2=0或2y-1=0,
解得y1= ,y2=-2. 【变式训练】 (2016·新疆)一元二次方程x2-6x-5=0配方后可变形为 ( A )
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考点1 一元二次方程的解法 1.配方法
配方法解一元二次方程就是通过配方把一元二次方程变形为(x+k)2=a(a≥0)的形式,再用开平方 解答.配方法解一元二次方程的一般步骤是:① 移项 ;②化二次项系数为1;③配方;④化成 (x+k)2=a的形式;⑤ 开平方求解 .
1.7 一元二次方程
中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)
C 所示，则a、b、c 、 △的符号为（ ）
A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、a<0,b>0,c<0,△=0 C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0
熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系 (上正、下负） (左同、右异)
例1： 已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两
点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，
y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
交点 ( b ,0) 2a
b2-4ac＜0
与x轴没有 交点
图象
y
O
x y
;bx+c=0 （a≠0）的根
有两个不同的解 x=x1，x=x2
有两个相等的解
x1=x2=
b
2a
没有实数根
例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的 实数根,则m=＿＿＿＿,此1 时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿ ＿＿＿个交点. 1
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用二次函数图象求一元二次方程的近似解,是从直观的“形”的角度,研究抽象的“数”的问 题,是数形结合思想的重要体现;因为这样不仅麻烦,而且求的只能是近似解,所以更多是反 过来应用,即通过解一元二次方程求二次函数与x轴交点的坐标. 3.用二次函数解决实际问题 (1)在现实的生活生产中存在着很多有关二次函数的实际问题,我们要善于通过分析实际 问题中的数量关系,尤其是两个变量之间的函数关系,建立二次函数的模型,从而用二次函 数解决有关的实际问题. (2)建立起实际问题中的二次函数关系后,要注意根据实际问题确定其自变量的取值范围.
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考点3 二次函数的应用 1.二次函数与一元二次方程和不等式的关系 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当函数值 y=0 时,变为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0);一 元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解,就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的 横坐标 ;y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上的x轴上方的点都满足 ax2+bx+c(a≠0)>0,y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上的x轴 下方 的点都满足 ax2+bx+c<0(a≠0). 2.用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 根据二次函数与一元二次方程的关系,我们可以作出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,它 与x轴交点的 横坐标 就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根.
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典例1 (2016· 山东淄博)如图,抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直 线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点.
(1)求这条抛物线对应的函数解析式; (2)求直线AB对应的函数解析式. 【解析】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式.(1)利用抛物线与x轴有 1个交点得到Δ=4a2-4a=0,然后解关于a的方程求出a,即可得到抛物线的解析式;(2)利用点 C是线段AB的中点可判断点A与点B的横坐标互为相反数,则可以利用抛物线解析式确定B 点坐标,然后利用待定系数法求直线AB的解析式.
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【解析】由已知 b>a>0 可得-
①正确；因为抛物线与 x 轴最多有一个交点， b2－4a(c+2)= b2－4ac－
所以 b2－4ac≤0，在关于 x 的方程 ax2+bx+c+2=0 中，
8a<0，②正确；由 a>0 及抛物线与 x 轴最多有一个交点，所以 x 取任何值时，y≥ 0，所以当 x=－1 时，a－b+c≥0.③正确；当 x=－2 时，4a－2b+c≥0，即 a+b+c≥ 3b－3a，a+b+c≥3(b－a)，即 ≥3，④正确.
②a 和 b 共同决定 对称轴 的位置,因为它的对称轴是 x=-
,所以 a,b 同号时,对称轴
在 y 轴的 左侧 ,a,b 异号时,对称轴在 y 轴的 右侧 ,当 b=0 时,对称轴是 y 轴 ; ③c 是二次函数 y=ax2+bx+c 与 y 轴交点的纵坐标.
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4.抛物线的平移
【答案】 (1)∵a=
>0,∴抛物线顶点为最低点. .
∴绳子最低点离地面的距离为 米.
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(2)由(1)可知,BD=8,令x=0得y=3, ∴A(0,3),C(8,3). 由题意可设抛物线F1的解析式为y=a(x-2)2+1.8. 将(0,3)代入,得4a+1.8=3,解得a=0.3. ∴抛物线F1的解析式为y=0.3(x-2)2+1.8. 当x=3时,y=0.3×1+1.8=2.1, ∴MN的长度为2.1米. (3)∵MN=CD=3, ∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上,
平移 (m>0,n>0)
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2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点个数 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点个数由b2-4ac(Δ)决定, 当 b2-4ac>0 时,y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点; 当 b2-4ac=0 时,y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个交点; 当 b2-4ac<0 时,y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点. 3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的各项系数的几何意义 ①a决定了抛物线的 开口方向 和 开口大小 ;
x2+x-4,下列说法正确的是 (
)
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【解析】二次函数 y=
1 2 b x +x－4 的对称轴为 x 4 2a
1 1 2 ( ) 4
2 ，其顶
1 点坐标为(2，－3),显然选项 C 错误；∵a= <0，∴抛物线开口向下，顶点为 4
最高点，当 x=2 时，y 有最大值－3，故选项 B 正确；由抛物线开口向下，对称 轴为 x=2 可知，当 x>2 时，y 随 x 的增大而减小，故选项 A 错误；一元二次方程
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【答案】 (1)∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A, ∴Δ=4a2-4a=0,解得a1=0(舍去),a2=1. ∴抛物线的解析式为y=x2+2x+1. (2)∵y=x2+2x+1=(x+1)2, ∴顶点A的坐标为(-1,0). ∵点C是线段AB的中点,即点A与点B关于C点对称,∴B点的横坐标为1. 当x=1时,y=x2+2x+1=1+2+1=4,则点B的坐标为(1,4). 设直线AB的解析式为y=kx+b,
1 2 1 2 x +x－4=0 中，∵△=b －4ac=1－4×( )×(－4)=－3<0，∴抛物线 y= 4 4 1 x2+x－4 与 x 轴没有交点，故选项 D 错误. 4
【答案】 B
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【变式训练】(2016· 长沙)已知抛物线y=ax2+bx+c(b>a>0)与x轴最多有一个交点,现有以 下四个结论: ①该抛物线的对称轴在y轴左侧; ②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根; ③a-b+c≥0;④ 的最小值为3. 其中,正确结论的个数为 ( D ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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典例 3 (2016· 浙江丽水)如图,地面 BD 上两根等长立柱 AB,CD 之间悬挂一根近似成抛物 线 y= x2- x+3 的绳子.
(1)求绳子最低点离地面的距离; (2)因实际需要,在离 AB 为 3 米的位置处用一根立柱 MN 撑起绳子(如图 2),使左边抛物线 F1 的最低点距 MN 为 1 米,离地面 1.8 米,求 MN 的长; (3)将立柱 MN 的长度提升为 3 米,通过调整 MN 的位置,使抛物线 F2 对应函数的二次项系 数始终为 ,设 MN 离 AB 的距离为 m,抛物线 F2 的顶点离地面距离为 k,当 2≤k≤2.5 时,求 m 的取值范围.
1.12 二次函数
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命题解读
通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义;会用描点法画出二次函数的图象,通过图象 理解二次函数的性质;会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k(a≠0) 的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴, 解决实际问题;会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解;掌握方程、不等式与函 数的联系.
,再研究它的 实质是顶点的平移,故可以先把二次函数用配方法化为y=a 平移;即先把所给的二次函数的解析式写成顶点式,弄清其顶点,再弄清移动后的抛物线的 顶点,然后写出移动后的抛物线的顶点式即可.
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典例2 (2016· 广州)对于二次函数y=A.当x>0时,y随x的增大而增大 B.当x=2时,y有最大值-3 C.图象的顶点坐标为(-2,-7) D.图象与x轴有两个交点
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【解析】(1)由二次函数的顶点式求得;(2)根据题意确定顶点的坐标,用顶点式设出抛物 线的解析式,由 A 点坐标求得解析式,再根据 N 点横坐标求得 MN 的长;(3)抛物线 F2 的 二次项系数始终为 ，说明抛物线的形状不变，只能是顶点的位置发生变化，顶点位 置满足坐标( m+4,k),从而得到二次函数的解析式,由于抛物线 F2 过点 C,则可根据 k 的 取值范围确定出 m 的取值范围.
考纲解读
命题解读
2014—2016 年安徽中考命题分析 年份 考查点 题型 题号 用待定系数 法求二次函 解答题 22(1) 数的解析式 2016 求二次函数 解答题 22(2) 的最值