高中物理 第四章 机械能和能源 3 势能学案 教科版必修2

3 势能[学习目标] 1.认识重力做功与物体运动路径无关的特点.2.理解重力势能的概念，理解重力做功与重力势能变化的关系.3.知道重力势能具有相对性，知道重力势能是物体和地球组成的系统所共有的.4.理解弹性势能的概念．一、重力势能1．重力做功的特点(1)重力对物体做的功跟路径无关，仅由物体的质量和始、末两个位置的高度决定．(2)做功表达式：W G＝mgh＝mgh1－mgh2，式中h指初位置与末位置的高度差，h1、h2分别指初位置与末位置的高度．2．重力势能(1)定义：物体由于位于高处而具有的能量叫做重力势能．(2)表达式：E p＝mgh.(3)单位：焦耳(J)，是标量．(4)重力势能的相对性：①参考平面：物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，在参考平面上，物体的重力势能为0.②相对性：选择不同的参考平面，物体重力势能的数值不同(选填“相同”或“不同”)．③正负的含义：参考平面上方物体的重力势能是正值，参考平面下方物体的重力势能是负值．二、弹性势能1．定义：物体由于发生弹性形变而具有的能量．2．影响弹性势能的因素：取决于物体的弹性形变的大小，形变越大，弹性势能越大．3．重力势能和弹性势能都属于势能．4．势能的系统性(1)重力势能是地球与受重力作用的物体组成的系统所共有的．(2)弹性势能是弹力装置与受弹力作用的物体组成的系统所共有的．1．判断下列说法的正误．(1)重力做功与物体沿直线或曲线有关．(×)(2)物体只要运动，其重力一定做功．(×)(3)同一物体在不同位置的重力势能分别为E p1＝3 J，E p2＝－10 J，则E p1<E p2.(×)(4)物体由高处到低处，重力一定做正功，重力势能一定减小．(√)(5)重力做功一定与路径无关，只与初、末位置的高度差有关．(√)(6)弹簧被压缩时，弹性势能为负，弹簧被拉伸时，弹性势能为正．(×)2.质量为m的物体从地面上方H高处由静止释放，落在地面后出现一个深度为h的坑，如图1所示，重力加速度为g，在此过程中，重力对物体做功为________，重力势能________(填“减少”或“增加”)了______．图1答案mg(H＋h) 减少mg(H＋h)一、重力势能如图2所示，幼儿园小朋友们正在兴高采烈地玩滑梯．图2(1)小朋友在滑梯最高点时的重力势能一定为正值吗？在地面上时的重力势能一定为零吗？(2)小朋友沿滑梯下滑时，重力势能怎么变化？小朋友从最高点滑落到地面过程中重力势能的变化与参考平面的选取有关吗？答案(1)不一定不一定(2)减小无关1．重力势能的相关因素：与物体的质量和高度有关．2．重力势能正负的意义：E p>0，说明物体在参考平面的上方，E p<0，说明物体在参考平面的下方．3．重力势能的相对性和系统性：(1)重力势能的大小与参考平面的选取有关，参考平面不同，重力势能大小不同．(2)重力势能是物体和地球组成的系统所具有的．4．重力势能变化的绝对性：物体在两个高度不同的位置时，由于高度差一定，重力势能之差也是一定的，即物体的重力势能的变化与参考平面的选取无关．例1下列关于重力势能的说法正确的是( )A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能增加了D．在地面上的物体具有的重力势能一定等于零答案 C解析物体的重力势能与参考平面的选取有关，同一物体在同一位置相对不同的参考平面的重力势能不同，A选项错；物体在零势能面以上，距零势能面的距离越大，重力势能越大，物体在零势能面以下，距零势能面的距离越大，重力势能越小，B选项错；重力势能中的正、负号表示大小，－5 J的重力势能小于－3 J的重力势能，C选项对；只有选地面为零势能面时，地面上的物体的重力势能才为零，否则不为零，D选项错．【考点】对重力势能的理解【题点】重力势能的性质例2如图3所示，桌面距地面的高度为0.8 m，一物体质量为2 kg，放在桌面上方0.4 m 的支架上，则：(g取9.8 m/s2)图3(1)以桌面为参考平面，计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？(2)以地面为参考平面，计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？(3)比较以上计算结果，说明什么问题？答案(1)7.84 J 23.52 J (2)23.52 J 23.52 J (3)见解析解析(1)以桌面为参考平面，物体距参考平面的高度为h1＝0.4 m，因而物体具有的重力势能E p1＝mgh1＝2×9.8×0.4 J＝7.84 J.物体落至地面时，物体的重力势能为E p2＝mgh2＝2×9.8×(－0.8) J＝－15.68 J，因此物体在此过程中的重力势能减少量ΔE p＝E p1－E p2＝7.84 J－(－15.68) J＝23.52 J.(2)以地面为参考平面，物体距参考平面的高度为h1′＝(0.4＋0.8) m＝1.2 m，因而物体具有的重力势能E p1′＝mgh1′＝2×9.8×1.2 J＝23.52 J.物体落至地面时，物体的重力势能为E p2′＝0.在些过程中，物体的重力势能减少量为ΔE p′＝E p1′－E p2′＝23.52 J－0＝23.52 J.(3)通过上面的计算，说明重力势能是相对的，它的大小与参考平面的选择有关，而重力势能的变化是绝对的，它与参考平面的选择无关．【考点】重力势能的变化【题点】重力势能变化量的计算二、重力做功与重力势能的改变1．试分析如图4所示的三幅图中重力做的功，并总结重力做功的特点．图4答案图甲中重力做功为W G＝mgh＝mgL sin θ＝mgh1－mgh2图乙中重力做功为W G＝mgh AC＝mgh1－mgh2图丙中重力做功的路径是曲线，可把整个路径分成很多的间隔AA1、A1A2、A2A3……设每一间隔的高度差分别是Δh 1、Δh 2、Δh 3…… 则物体通过整个路径时重力做的功W G ＝mg Δh 1＋mg Δh 2＋mg Δh 3＋……＝mg (Δh 1＋Δh 2＋Δh 3＋……)＝mgh ＝mgh 1－mgh 2.比较上面三种情况，重力做的功相等，可知重力做功的特点：重力做的功与路径无关，只与物体的起点和终点的位置有关．2．探究重力做功与重力势能变化量的关系：如图5，质量为m 的物体从离水平地面高度为h 1的A 点下落到高度为h 2的B 点，重力所做的功为多少？重力势能的变化量是多少？二者有什么关系？图5答案 重力所做的功为：W G ＝mg Δh ＝mg (h 1－h 2)．以水平地面为零势能面，在A 点的重力势能为E p1＝mgh 1，在B 点的重力势能为E p2＝mgh 2，重力势能的变化量为ΔE p ＝E p2－E p1＝mgh 2－mgh 1.由此可见：W G ＝E p1－E p2＝－ΔE p1．重力做功的计算式：W G ＝mgh 1－mgh 2.2．重力做功的特点：只跟物体的质量和初、末位置的高度有关，与物体运动的路径无关． 3．重力做功与重力势能的关系：(1)重力势能的变化量ΔE p 只与重力做功W G 有关，与物体做什么运动以及是否受其他力作用无关，即W G ＝－ΔE p .(2)重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功；克服重力做功时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功，即W G ＝E p1－E p2＝mgh 1－mgh 2. 例3 如图6所示，质量为m 的小球从高为h 处的斜面上的A 点滚下经过水平面BC 后，再滚上另一斜面，当它到达h4的D 点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为( )图6A.mgh4B.3mgh4C ．mghD ．0答案 B解析 解法一 分段法． 小球由A →B ，重力做正功W 1＝mgh 小球由B →C ，重力做功为0， 小球由C →D ，重力做负功W 2＝－mg ·h4故小球由A →D 全过程中重力做功W G ＝W 1＋W 2＝mg ⎝⎛⎭⎪⎫h －h 4＝34mgh ，B 正确．解法二 全过程法．全过程，小球的高度差h 1－h 2＝34h ，故W G ＝34mgh .故选B.【考点】重力做功的特点 【题点】重力做功的计算计算重力做功时，找出初、末位置的高度差h ，直接利用公式W G ＝mgh 即可，无需考虑中间的复杂运动过程．例4 如图7所示，质量为m 的小球，用一长为l 的细线悬于O 点，将悬线拉直成水平状态，并给小球一个竖直向下的速度让小球向下运动，O 点正下方D 处有一光滑小钉子，小球运动到B 处时会以D 为圆心做圆周运动，并经过C 点，若已知OD ＝23l ，则小球由A 点运动到C 点的过程中，重力做功为多少？重力势能减少了多少？图7答案 13mgl 13mgl解析 从A 点运动到C 点，小球下落的高度为h ＝13l ，故重力做功W G ＝mgh ＝13mgl ，重力势能的变化量ΔE p ＝－W G ＝－13mgl负号表示小球的重力势能减少了． 【考点】重力做功与重力势能变化的关系【题点】定量计算重力做功与重力势能变化的关系三、弹性势能物体由于发生弹性形变而具有的能量叫做弹性势能．如图8所示，弹簧左端固定，右端连一物体，O点为弹簧的原长处．图8(1)在物体由O点向右移动的过程中，弹簧的弹力做什么功？弹性势能怎样变化？在物体由A′向O移动的过程中，弹力做功和弹性势能的变化情况又会怎样呢？(2)分析物体由O向A移动和由A向O移动的过程中弹力做功与弹性势能变化的关系，与(1)的结果对比得出什么结论？答案(1)物体由O向右移动的过程中，弹簧弹力做负功，弹性势能增加；物体由A′向O移动的过程中，弹力做正功，弹性势能减少．(2)不管弹簧被压缩还是被拉伸，只要弹簧弹力做正功，弹性势能就减少，只要弹簧弹力做负功，弹性势能就增加．1．弹性势能的理解(1)发生形变的物体不一定具有弹性势能，只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能．(2)弹性势能是弹力装置和受弹力作用的物体组成的系统所共有的．2．弹力做功与弹性势能改变的关系(1)W弹＝－ΔE p弹，即弹性势能变化是由弹力做功的多少唯一量度的．(2)两种情况：弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加．例5如图9所示，处于自然长度的轻质弹簧一端与墙接触，另一端与置于光滑地面上的物体接触，现在物体上施加一水平推力F，使物体缓慢压缩弹簧，当推力F做功100 J时，弹簧的弹力做功________J，以弹簧处于自然长度时的弹性势能为零，则弹簧的弹性势能为________J.图9答案－100 100解析在物体缓慢压缩弹簧的过程中，推力F始终与弹簧弹力等大反向，所以推力F做的功等于克服弹簧弹力所做的功，即W弹＝－W F＝－100 J．由弹力做功与弹性势能的变化关系知，弹性势能增加了100 J.1．弹力做功和重力做功一样，也和路径无关，弹力对其他物体做了多少功，弹性势能就减少多少；克服弹力做多少功，弹性势能就增加多少．2．弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小．弹性势能的变化量总等于弹力做功的负值．3．弹性势能的增加量与减少量由弹力做功多少来量度.1．(重力做功的特点)如图10所示，某物块分别沿三条不同的轨道由离地面高h的A点滑到同一水平面上，轨道1、2是光滑的，轨道3是粗糙的，则( )图10A．沿轨道1滑下重力做的功多B．沿轨道2滑下重力做的功多C．沿轨道3滑下重力做的功多D．沿三条轨道滑下重力做的功一样多答案 D解析重力做功的多少只与初、末位置的高度差有关，与路径无关，D选项正确．【考点】重力做功的特点【题点】同一物体重力做功的比较2．(重力势能及重力势能的变化)一棵树上有一个质量为0.3 kg的熟透了的苹果P，该苹果从树上A先落到地面C最后滚入沟底D.A、B、C、D、E面之间竖直距离如图11所示．以地面C为零势能面，g取10 m/s2，则该苹果从A落下到D的过程中重力势能的减少量和在D处的重力势能分别是( )图11A ．15.6 J 和9 JB ．9 J 和－9 JC ．15.6 J 和－9 JD ．15.6 J 和－15.6 J答案 C解析 以地面C 为零势能面，根据重力势能的计算公式得D 处的重力势能E p ＝mgh ＝0.3×10×(－3.0) J ＝－9 J.从A 落下到D 的过程中重力势能的减少量ΔE p ＝mg Δh ＝0.3×10×(0.7＋1.5＋3.0) J ＝15.6 J ，故选C.【考点】重力势能的变化 【题点】重力势能变化量的计算3.(弹力做功与弹性势能变化的关系)(多选)如图12所示，一个物体以速度v 0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中，以下说法正确的是( )图12A ．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功相等B ．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等C ．弹簧的弹力做正功，弹性势能增加D ．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加 答案 BD解析 弹簧开始被压缩时弹力小，弹力做的功也少，弹簧的压缩量变大时，物体移动相同的距离做的功多，故选项A 错误，选项B 正确；物体压缩弹簧的过程，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹性势能增加，故选项C 错误，选项D 正确． 【考点】弹力做功与弹性势能的关系 【题点】弹力做功与弹性势能关系的理解4．(重力做功与重力势能变化的关系)在离地80 m 处无初速度释放一小球，小球质量为m ＝200 g ，不计空气阻力，g 取10 m/s 2，取最高点所在水平面为零势能参考平面．求： (1)在第2 s 末小球的重力势能；(2)3 s 内重力所做的功及重力势能的变化． 答案 (1)－40 J (2)90 J 减少了90 J 解析 (1)在第2 s 末小球下落的高度为：h ＝12gt 2＝12×10×22 m ＝20 m重力势能为：E p ＝－mgh ＝－0.2×10×20 J＝－40 J.(2)在3 s 内小球下落的高度为h ′＝12gt ′2＝12×10×32 m ＝45 m.3 s 内重力做功为：W G ＝mgh ′＝0.2×10×45 J＝90 JW G >0，所以小球的重力势能减少，且减少了90 J.【考点】重力做功与重力势能变化的关系 【题点】定量计算重力做功与重力势能变化的关系一、选择题考点一 重力势能的理解1．下列关于重力势能的几种理解，正确的是( ) A ．重力势能等于零的物体，一定不会对别的物体做功 B ．放在地面上的物体，它的重力势能一定等于零C ．选取地面为参考平面，从不同高度将某一物体抛出，落地时物体的重力势能不相等D ．选取不同的参考平面，物体具有不同数值的重力势能，但并不影响有关重力势能问题的研究 答案 D解析 重力势能的大小与零势能参考平面的选取有关，一个物体重力势能的大小跟它能否对别的物体做功无必然联系． 【考点】对重力势能的理解 【题点】重力势能的性质2．(多选)如图1所示，一小球贴着光滑曲面自由滑下，依次经过A 、B 、C 三点．以下表述正确的是( )图1A ．若以地面为参考平面，小球在B 点的重力势能比C 点大B ．若以A 点所在的水平面为参考平面，小球在B 点的重力势能比C 点小 C ．若以B 点所在的水平面为参考平面，小球在C 点的重力势能大于零D．无论以何处水平面为参考平面，小球在B点的重力势能均比C点大答案AD【考点】重力势能的变化【题点】定性判断重力势能的变化3．一物体以初速度v竖直向上抛出，做竖直上抛运动，则物体的重力势能E p－路程s图像应是四个图中的( )答案 A解析以抛出点为零势能点，则上升阶段路程为s时，克服重力做功mgs，重力势能E p＝mgs，即重力势能与路程s成正比；下降阶段，物体距抛出点的高度h＝2h0－s，其中h0为上升的最高点，故重力势能E p＝mgh＝2mgh0－mgs，故下降阶段，随着路程s的增大，重力势能线性减小，选项A正确．【考点】重力势能的变化【题点】定性判断重力势能的变化考点二重力做功、重力势能的变化4.如图2所示，甲、乙两名学生的质量都是m，且身高相同，当他们从地面分别以图示的路径登上高h的阶梯顶端A时，他们的重力做功情况是( )图2A．甲的重力做的功多B．乙的重力做的功多C．甲、乙的重力做的功一样多D．无法判断答案 C解析重力做功只与物体的初、末位置有关，与运动路径无关，所以甲、乙重力做功一样多，C正确．【考点】重力做功的特点【题点】不同物体重力做功的比较5．一根长为2 m、重为200 N的均匀木杆放在水平地面上，现将它的一端缓慢地从地面抬高0.5 m，另一端仍放在地面上，则所需做的功为( )A ．50 JB ．100 JC ．200 JD ．400 J答案 A解析 由几何关系可知，杆的重心向上运动了h ＝0.52 m ＝0.25 m ，故克服重力做功W G ＝mgh＝200×0.25 J＝50 J ，外力做的功等于克服重力做的功，即外力做功50 J ，选项A 正确． 【考点】重力做功与重力势能变化的关系 【题点】定量计算重力做功与重力势能变化的关系6.如图3所示，一质量为m 、边长为a 的正方体物块与地面间的动摩擦因数为μ＝0.1.为使它水平移动距离a ，可以用将它翻倒或向前缓慢平推两种方法，则下列说法中正确的是( )图3A ．将它翻倒比平推前进做功少B ．将它翻倒比平推前进做功多C ．两种情况做功一样多D ．两种情况做功多少无法比较 答案 B解析 使物块水平移动距离a ，若将它翻倒，需要克服重力做功，使其重心位置由离地h 1＝a2增加到h 2＝22a ，所以至少需要做功W 1＝mg (h 2－h 1)＝12mg (2－1)a ；而缓慢平推需要做功W 2＝μmga ＝0.1mga ＜W 1.故选B.【考点】重力做功与重力势能变化的关系 【题点】定量计算重力做功与重力势能变化的关系7.如图4所示，物体A 的质量为m ，A 的上端连接一个竖直轻弹簧，弹簧原长为L 0，劲度系数为k ，整个系统置于水平地面上，现将弹簧上端B 缓慢地竖直向上提起，B 点上移距离为L ，此时物体A 也已经离开地面，则下列说法中正确的是( )图4A ．提弹簧的力对系统做功为mgLB ．物体A 的重力势能增加mgLC ．物体A 的重力势能增加mg (L －L 0)D ．物体A 的重力势能增加mg ⎝⎛⎭⎪⎫L －mg k答案 D解析 将弹簧上端B 缓慢地竖直向上提起，由于开始时有支持力，故拉力先小于mg ，物体离地后拉力等于mg ，拉力的位移为L ，故提弹簧的力对系统做功小于mgL ，故A 错误；B 点上移距离为L ，弹簧伸长量为ΔL ＝mg k，故A 上升的高度为L －ΔL ，所以物体A 的重力势能增加mg ⎝⎛⎭⎪⎫L －mg k ，故B 、C 错误，D 正确．【考点】重力势能的变化【题点】弹簧连接物体重力势能变化的计算 考点三 弹性势能8.一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧的正上方高为h 的地方由静止下落到弹簧上端，如图5所示，经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A 处，不计空气阻力，则( )图5A ．h 越大，弹簧在A 点的压缩量越大B ．弹簧在A 点的压缩量与h 无关C ．h 越大，最终小球静止在A 点时弹簧的弹性势能越大D ．小球第一次到达A 点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A 点时弹簧的弹性势能大 答案 B解析 最终小球静止在A 点时，通过受力分析，小球受自身重力mg 与弹簧的弹力kx 大小相等，由mg ＝kx 得，弹簧在A 点的压缩量x 与h 无关，弹簧在A 点的弹性势能与h 无关． 【考点】影响弹性势能大小的因素 【题点】弹性势能与形变量关系的应用9.如图6所示，质量相等的两木块中间连有一竖直弹簧，今用力F 缓慢向上提A ，直到B 恰好离开地面．开始时物体A 静止在弹簧上面．设开始时弹簧的弹性势能为E p1，B 刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为E p2，则关于E p1、E p2的大小关系及弹性势能的变化ΔE p ，下列说法中正确的是( )图6A．E p1＝E p2B．E p1＞E p2C．ΔE p＞0 D．ΔE p＜0答案 A解析开始时弹簧形变量为x1，有kx1＝mg，设B刚要离开地面时弹簧形变量为x2，有kx2＝mg，故x1＝x2，所以E p1＝E p2，ΔE p＝0，A对．【考点】影响弹性势能大小的因素【题点】弹性势能与形变量关系的应用10.如图7所示，质量不计的弹簧一端固定在地面上，弹簧竖直放置，将一小球从距弹簧自由端高度分别为h1、h2的地方先后由静止释放，h1＞h2，小球接触到弹簧后向下运动压缩弹簧，从开始释放小球到获得最大速度的过程中，小球重力做功W1、W2的关系及弹簧弹性势能的增加量ΔE p1、ΔE p2的关系中，正确的一组是( )图7A．W1＝W2，ΔE p1＝ΔE p2B．W1＞W2，ΔE p1＝ΔE p2C．W1＝W2，ΔE p1＞ΔE p2D．W1＞W2，ΔE p1＞ΔE p2答案 B解析小球速度最大的条件是弹簧弹力等于小球重力，两种情况下，对应于同一位置，故ΔE p1＝ΔE p2，由于h1＞h2，所以W1＞W2，B正确．【考点】弹力做功与弹性势能的关系【题点】弹力做功与弹性势能关系的理解11．如图8甲所示，一滑块沿光滑的水平面向左运动，与轻弹簧接触后将弹簧压缩到最短，然后反向弹回，弹簧始终处在弹性限度以内，图乙为测得的弹簧的弹力与弹簧压缩量之间的关系图像，则弹簧的压缩量由8 cm变为4 cm时，弹簧所做的功以及弹性势能的变化量分别为( )图8A ．3.6 J 、－3.6 JB ．－3.6 J 、3.6 JC ．1.8 J 、－1.8 JD ．－1.8 J 、1.8 J答案 C解析 F －x 围成的面积表示弹力做的功．W ＝12×0.08×60 J－12×0.04×30 J＝1.8 J ，根据W ＝－ΔE p 知，弹性势能减少1.8 J ，C 正确．【考点】弹力做功与弹性势能的关系 【题点】图像法或平均值法求弹力做功 二、非选择题12．(重力做功与重力势能的变化)如图9所示，总长为2 m 的光滑匀质铁链，质量为10 kg ，跨过一光滑的轻质定滑轮．开始时铁链的两端相齐，当略有扰动时某一端开始下落，问：从铁链刚开始下落到铁链刚脱离滑轮这一过程中，重力对铁链做了多少功？重力势能如何变化？变化了多少？(g 取10 m/s 2)图9答案 50 J 重力势能减少 50 J解析 如图所示，开始时，铁链重心在A 点，铁链将要离开滑轮时，重心在B 点，则此过程中铁链重心下降距离Δh ＝0.5 m ，重力做功W G ＝mg Δh ＝10×10×0.5 J＝50 J ，重心下降，重力做正功，故铁链重力势能减少50 J.【考点】重力做功与重力势能变化的关系【题点】绳、液柱类物体重力做功和重力势能的相关计算13．(重力做功与重力势能的变化)起重机以g4的加速度将质量为m 的物体匀减速地沿竖直方向提升高度h ，则起重机钢索的拉力对物体做功为多少？物体克服重力做功为多少？物体重力势能变化为多少？(空气阻力不计) 答案3mgh4mgh 增加了mgh 解析 由题意可知，起重机向下的加速度a ＝g4，物体上升高度为h ，根据牛顿第二定律得mg－F ＝ma ，所以F ＝mg －ma ＝34mg ，方向竖直向上．所以拉力做功W F ＝Fh ＝34mgh .重力做功W G＝－mgh ，即物体克服重力做功mgh .又因W G ＝－ΔE p ，故重力势能变化ΔE p ＝－W G ＝mgh ，即重力势能增加了mgh .【考点】重力做功与重力势能变化的关系 【题点】重力做功与重力势能变化关系的计算。