勾股定理复习专题——矩形的折叠问题
矩形中的折叠问题
矩形中的折叠问题摘要：本文着重介绍了矩形中的折叠问题，同时还给出了五类折叠问题的常见例题。
关键词：矩形；折叠；全等；近年来，以四边形为背景的折叠问题是在各类考试种屡见不鲜,也是近年中考中的热点问题,其中以矩形作为载体的折叠问题最为常见。
要解决此类问题,关键是抓住以下几点：一、 抓住折叠本质：1、折起部分与重合部分是全等的；2、利用轴对称的性质（对称轴垂直平分对应点之间的连线）。
二、 找出隐含的折叠前后的位置关系和数量关系。
三、 结合三角形全等、勾股定理、相似三角形等知识，设出恰当的未知数，灵活运用方程的思想，用代数的知识来解决几何问题。
通常,矩形的折叠问题都是将一个角折起,使矩形的顶点落在不同的位置。
根据位置的不同,矩形的折叠问题可以分为以下几类：一、 折叠后,顶点落在对角线上 【例题精选】如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ）A ．1B ．34 C ．23D.2：.,23AD ,23)4(2GB B A G A GB A Rt 2D A -BD B A 5AB AD BD R 90DAG G A D ,3,G A -4GB AG 22222222C x x x DAB t AD D A x AG GD A AGD x x 选则即中在中，在则，由题意得，则解：设==∴-=+='+''∆='='∴=+=∆︒=∠='∠=='==''∆≅∆==【点评】抓住折叠前后图形的全等特征,结合矩形的性质及勾股定理,利用代数方法解决几何问题。
二、 折叠后,顶点落在矩形的一边上 【例题精选】A ′GDBCAC '折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．解：由题意得ADE △≌AFE △,则 8cm AB DC ==10cm AD BC AF ===． 在直角三角形ABF 中,由勾股定理得6BF ===．设CE x =，在直角三角形CFE 中，由勾股定理得222EF CF CE =+，即222(8)4x x -=+，解得3x =【点评】运用数形结合思想，将几何图形中的长度问题转化成代数中的方程问题，是解决几何问题的重要方法。
教案
报纸41期
课后反思
这节课主要让学生掌握矩形折叠问题的本质是轴对称，以及解决折叠问题的思想是方程思想。学生通过预习，在相互学习交流中得出结论。
板书设计
专题复习动手操作——矩形的折叠
白板展示：例题折叠问题的本质
变式一
变式二折叠问题的解题思路
变式三
设计意图：从以上研究过程中我们感受到这几道题有着千丝万缕的联系，题目表面上有所不同，但是它们所蕴含的思想是统一的，解决问题的方法是类似的，只要我们抓住剧本图形的特征，综合运用三角形全等，勾股定理、轴对称的性质、三角形相似等相关知识进行探索、猜想，不难得出结论。总之，只要我们掌握了此类问题的好的试题，为学生的学习服务。
（1）若将折叠的图形恢复原状，点E与BC边上的点G正好重合，连接DG,试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若AB=8cm，AD=16cm，在（1）的条件下，求线段DG的长？
教师活动：展示变式一，并总结折叠问题解决边长问题的常用方法。
学生活动：学生通过讨论，得出解决折叠问题中求解边长的常用方法。
折叠问题中构造方程的方法：
折叠的本质是轴对称变换
轴对称的性质：（1）图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边、角相等。
（2）点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分。
（3）对应点连线或延长线的交点在对称轴上。
设计意图：学生通过解决本题，总结折叠问题的本质是什么。
活动三、变式一
如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E.
学习过程
活动一折叠图案创设情境
教师活动：学生欣赏一些由矩形纸折叠而成的一些精美图案，这些图案令人惊奇，在欣赏的过程中，引导学生理解数学在生活中的作用，激发学生学习数学的兴趣。
勾股定理折叠问题
CB ADE一、折叠问题1、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？2、折叠矩形ABCD 的一边AD ，使D 落在BC 边上的F 处，得折痕AE ，若AB ＝8，BC=10， 求CE,CF,EF3、如图，将矩形ABCD 纸片沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在边BC 的F 处，已知3,CE cm =8AB cm =，求图中阴影部分的面积．4、如图，已知长方形ABCD 中AB =8 cm,BC =10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.5、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于________ 。
A CD F ／E图56、将矩形ABCD（A B﹤AD）沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8㎝，AB=4㎝，求三角形BED的面积。
7、如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为8、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长。
9、P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE为边长的正方形的面积.二、生活应用D ˊABCD A ˊ B ˊC ˊ1、将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h .彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm ）.2、八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面。
中考数学折叠问题专项突破2—矩形的折叠问题(距离问题)
中考数学折叠问题专项突破2—矩形的折叠问题（距离问题）专题二矩形的折叠中的距离或线段长度问题【典例】在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5. 如图例1-1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为.图例1-1 图例1-2 图例1-3【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度，二者之差即为所求.①当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，如图例1-2所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'Q=AQ，所以以点Q为圆心，以AQ长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'QA的角平分线，与AB的交点即为点P.由折叠性质可知，AD= A'D=5，在Rt△A'CD中，由勾股定理得，A C==='4②当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端，如图例1-3所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'P=AP，所以以点P为圆心，以AP长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'P A的角平分线，与AD的交点即为点Q. 由折叠性质可知，AB= A'B=3，所以四边形AB A'Q为正方形. 所以A'C=BC－A'B=5－3=2.综上所述，点A移动的最大距离为4－2=2.故答案为：2.【小结】此类问题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。
作图的依据是折叠前后线段长度不变，据此先找到点A 的落点A '，再根据对称轴（折痕）是对应点连线的垂直平分线，确定出折痕PQ 的位置. 利用勾股定理、正方形的判定定理及其性质求得相应的线段长度.1、如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，P 为边AD 上一动点，连接BP ，把△ABP 沿BP 折叠，使A 落在A ′处，当△A ′DC 为等腰三角形时，AP 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．2 【分析】根据△A ′DC 为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①A 'D =A 'C ，②A 'D =DC ，③CA '=CD ，分别求得AP 的长，并判断是否符合题意．【解析】①如图，当A ′D =A ′C 时，过A ′作EF ⊥AD ，交DC 于E ，交AB 于F ，则EF 垂直平分CD ，EF 垂直平分AB∴A 'A =A 'B ，由折叠得，AB =A 'B ，∠ABP =∠A 'BP ，∴△ABA '是等边三角形，∴∠ABP =30°，∴AP =2 3333==； ②如图，当A 'D =DC 时，A 'D =2由折叠得，A 'B =AB =2，∴A 'B +A 'D =2+2=4连接BD ，则R t △ABD 中，BD =2222 2425AB AD +=+= ，∴A 'B +A 'D ＜BD （不合题意）故这种情况不存在；③如图，当CD =CA '时，CA '=2由折叠得，A 'B =AB =2，∴A 'B +A 'C =2+2=4，∴点A '落在BC 上的中点处此时，∠ABP =12∠ABA '=45°，∴AP =AB =2．综上所述，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为或2．故选C.【小结】本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．2、．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )A．3 B．32C．2或3 D．3或32【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在R t△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在R t△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在R t△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得x=32，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为32或3．故选D．【小结】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．3、如图，在矩形ABCD中，AB＝√3，BC＝3，将△ABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，CP 与AD交于点F，连接BP交AC于点G，交AD于点E，下列结论不正确的是( )A．PGCG =13B．△PBC是等边三角形C．AC＝2AP D．S△B G C＝3S△A G P【分析】如图，首先运用勾股定理求出AC的长度，进而求出∠ACB＝30°，此为解决该题的关键性结论；运用翻折变换的性质证明△BCP为等边三角形；运用射影定理求出线段C G、A G之间的数量关系，进而证明选项A、B、C成立，选项A不成立.【解析】如图，∵四边形ABCD为矩形，AC，∴∠ABC＝90°；由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，而AB＝√3，BC＝3，∴AC＝2√3，AB＝12∴∠ACB＝30°；由翻折变换的性质得：BP⊥AC，∠ACB＝∠ACP＝30°，BC＝PC，AB＝AP，B G＝P G，∴G C＝√3B G＝√3P G，∠BCP＝60°，AC＝2AP，∴△BCP为等边三角形，故选项B、C成立，选项A不成立；B G，C G＝3A G，∴S△BC G＝3S△AB G；由射影定理得：B G2＝C G•A G，∴A G＝√33由题意得：S△AB G＝S△A G P，∴S△B G C＝3S△A G P，故选项D正确；故选：A．【小结】考查了翻折变换的性质、矩形的性质、射影定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用矩形的性质、射影定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．4、如图，矩形纸片ABCD ，5AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则AF 的值为_____________．【分析】由矩形的性质和已知条件OP OF =，可判定OEF OBP ∆≅∆,设EF x =，根据全等三角形的性质及矩形的性质可用含x 的式子表示出DF 和AF 的长，在Rt ADF ∆根据勾股定理可求出x 的值，即可确定AF 的值. 【解析】四边形ABCD 是矩形, ∴ 5CD AB ==,3AD BC ==,90B C A ︒∠=∠=∠= DEP ∆是由CDP ∆沿DP 折叠而来的，∴5DE CD ==,EP CP = ,90E C ︒∠=∠=B E ∴∠=∠，又,FOE POB OP OF ∠=∠= ，∴OEF OBP ∆≅∆（AA S ）,EF BP OE OB ∴==，BF BO OF EO OP EP CP ∴=+=+==设=EF BP x =,则5,3DF x BF CP x =-==- ，5(3)2AF AB BF x x ∴=-=--=+在Rt ADF ∆中，根据勾股定理得：222AD AF DF += ,即2223(2)(5)x x ++=- 解得67x = 620277AF ∴=+= 故答案为：207【小结】本题考查了求多边形中的线段长，主要涉及的知识点有矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，数学的方程思想，用同一个字母表示出直角三角形中的三边长是解题的关键.5、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，则AF的最小值为__．【分析】通过观察可以发现，当∠AFE=90°时，AF最小；然后设BE=x，则：EF=x，AE=3-x，然后多次使用勾股定理即可解答；【解析】设BE=x，则：EF=x，AE=3-x在R t△ABC中，由勾股定理得：AC在R t△EBC中，由勾股定理得:EC由折叠可知CF=CB=2，所以：AF=AC-CF-2.【小结】本题考查几何图形中的最值问题，其中找到出现最值的位置和运用勾股定理解题是关键.6、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝，E 是AB 边上一点，AE ＝2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A ′，当点E ，A ′，C 三点在一条直线上时，DF 的长为_____．【分析】利用勾股定理求出CE ，再证明CF =CE 即可解决问题．（注意有两种情形）【解析】如图，由翻折可知，∠FEA ＝∠FEA ′，∵CD ∥AB ，∴∠CFE ＝∠AEF ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴CE ＝CF ，在R t △BCE 中，EC，∴CF ＝CE＝，∵AB ＝CD ＝6，∴DF＝CD ﹣CF ＝6﹣，当点F在DC 的延长线上时，易知EF ⊥EF′，CF ＝CF ′＝，∴DF ＝CD +CF ′＝，故答案为6﹣或．【小结】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明△CFE 的等腰三角形，属于中考常考题型．==7、如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，则OE的长为_________.【解析】连接A′D，AD，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，∵CD=3DB，∴CD=3，BD=1，∴CD=AB，∵将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，∴A′D=AD，A′E=AE，在R t△A′CD与R t△DBA中，，∴R t△A′CD≌R t△DBA（HL），∴A′C=BD=1，∴A′O=2，∵A′O2+OE2=A′E2，∴22+OE2=（4﹣OE）2，∴OE=，【小结】本题关键词：“对应点的连线段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理解方程”8、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为．【解析】连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，根据勾股定理得，CF===．故答案为：．9、如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD=3，DE=1，则AB=5．【解析】∵折叠，∴△ADE≌△AD'E，∴AD=AD'=3，DE=D'E=1，∠DEA=∠D'EA，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DEA=∠EAB，∴∠EAB=∠AEB，∴AB=BE，∴D'B=BE﹣D'E=AB﹣1，在R t△ABD'中，AB2=D'A2+D'B2，∴AB2=9+（AB﹣1）2，∴AB=5，故答案为：510、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点N为边BC的中点，点M为AB边上任意一点，连接MN，把△BMN沿MN折叠，使点B落在点E处，若点E恰在矩形ABCD的对称轴上，则BM的长为5或．【解析】①当E在矩形的对称轴直线PN上时，如图1此时∠MEN=∠B=90°，∠ENB=90°，∴四边形BMEN是矩形．又∵ME=MB，∴四边形BMEN是正方形．∴BM=BN=5．②当E在矩形的对称轴直线FG上时，如图2，过N点作NH⊥FG于H点，则NH=4．根据折叠的对称性可知EN=BN=5，∴在R t△ENH中，利用勾股定理求得EH=3．∴FE=5﹣3=2．设BM=x，则EM=x，FM=4﹣x，在R t△FEM中，ME2=FE2+FM2，即x2=4+（4﹣x）2，解得x=，即BM=．故答案为5或．11、如图，矩形ABCD中，AD=4，O是BC边上的点，以OC为半径作⊙O交AB于点E，BE=AE，把四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD对应A′D′），当⊙O与A′D′相切时，线段AB的长是．【解析】设⊙O与A′D′相切于点F，连接OF，OE，则OF⊥A′D′，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=A′=90°，由折叠的性质得：∠AEC=∠A′EC，∴∠B+∠BCE=∠A′EO+∠OEC，∴∠OEA′=∠B=90°，∵OE=OF，∴四边形A′FOE是正方形，∴A′E=AE=OE=OC，∵BE=AE，设BE=3x，AE=5x，∴OE=OC=5x，∵BC=AD=4，∴OB=4﹣5x，在R t BOE中，OE2=BE2+OB2，∴（5x）2=（3x）2+（4﹣5x）2，解得：x=，x=4（舍去），∴AB=8x=．故答案为：．12、如图，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC为半径作⊙O，将△ADE折叠至△A′DE，点A′在⊙O上，延长EA′交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点G．若FG=1，则AD=2，⊙O半径=．【解析】作OH⊥DG于H，如图，设DA=x，则AB=2x，∵△ADE折叠至△A′DE，∴DA′=DA=x，∠DA′E=∠A=90°，∴DA′与⊙O相切，在△ODA′和△OCF中，∴△DOA′≌△FOC．∴DA′=CF=x，∵DG是⊙O的切线，OH⊥DG，∴H点为切点，∴DH=DA′=x，GH=GC=CF+GF=x+1，在R t△DCG中，∵DC2+CG2=DG2，∴（2x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2，∴AD=2，设⊙O的半径为r，则OC=OA′=r，OD=2x﹣r=4﹣r，在R t△DOA′中，∵DA′2+OA′2=DO2，∴22+r2=（4﹣r）2，解得r=，即⊙O的半径为．故答案为2，．13、在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC=54°，则∠DAE的度数为18°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB=6，AD=10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB=6，AD=10，求CG的长．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠BAC=54°，∴∠DAC=90°﹣54°=36°，由折叠的性质得：∠DAE=∠F AE，∴∠DAE=∠DAC=18°；故答案为：18；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折叠性质：AF=AD=10，EF=ED，∴BF===8，∴CF=BC﹣BF=10﹣8=2，设CE=x，则EF=ED=6﹣x，在R t△CEF中，由勾股定理得：22+x2=（6﹣x）2，解得：x=，即CE的长为；（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE=CE，由折叠的性质得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，FE=DE，∴∠EFG=90°=∠C，在R t△CEG和△FEG中，，∴R t△CEG≌△FEG（HL），∴CG=FG，设CG=FG=y，则AG=AF+FG=10+y，BG=BC﹣CG=10﹣y，在R t△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2=（10+y）2，解得：y=，即CG的长为．。
用勾股定理求折叠问题
用勾股定理求折叠问题在我们的生活中，折叠这个话题其实还挺有趣的。
咱们常常看到衣服、纸张、甚至是一些奇奇怪怪的东西需要折叠，这时候大家可能会想，这折叠的过程究竟有什么奥秘呢？说到这，不得不提到勾股定理，嘿嘿，这可是个神奇的工具，能帮我们解决不少麻烦。
想象一下，一张纸对折成两半，然后又折叠成小小的四分之一，最后一摞起来，哇，简直就是艺术品！不过，折叠过程中其实也藏着不少数学的智慧，咱们来聊聊。
折叠的时候，纸张的边边角角往往会形成一些三角形。
大家想象一下，咱们把一张长方形的纸对折，形成一个小长方形。
这个时候，长方形的对角线就出现了。
哎呀，看到这个对角线，是不是瞬间有种“哈，这不就是勾股定理的舞台吗？”的感觉？对角线的长度其实就可以用勾股定理来计算，听起来有点复杂，但其实很简单。
长方形的长和宽就像是直角三角形的两条直角边，而对角线就是斜边。
只要用长方形的长和宽平方相加，再开根号，就能得到对角线的长度。
简单吧？就像把一根香肠切成两段，轻松搞定。
说到这里，想想在学校的时候，老师讲这道题时，我们是不是都在心里默念“能不能快点啊，我还想出去玩呢？”勾股定理不只是数学课堂上的干货，在生活中也能派上大用场。
你有没有试过把一张纸折成一个小飞机？这个小飞机的翅膀得对称，要不然飞不起来。
你在折的时候，恰好就用上了勾股定理，找准了折叠的角度和位置，嘿，飞机飞得可远了。
再说说折叠衣服，那可是个技术活。
有时候一堆衣服像小山一样堆在角落，简直是“山重水复疑无路”的状态。
于是，咱们用折叠的技巧，把它们理顺。
每次折叠时，心里默念“衣服的宽和长能不能形成一个完美的直角三角形呢？”折得越整齐，找衣服的时候就越方便。
这时候，勾股定理又在你耳边悄悄响起，想想每一件衣服的边缘，就像是一个个小三角形，堆在一起形成了一个大矩形，真是让人感叹，折叠这门艺术，简直太精彩了！然后，咱们还可以想象一下折叠纸飞机的场景。
拿出一张纸，开始在手中翻飞，折啊折，最后变成一只酷炫的纸飞机，准备起飞。
2023中考数学专题复习-矩形折叠问题(课件)
课外作业
1、如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘米，现
将A、C重合，再将纸片折叠压平，
（1）找出图中的一对全等三角形，并证明；
（2）△AEF是何种形状的三角形？说明你的理由；
（3）求AE的长.
G
（4）试确定重叠部分△AEF的面积.
A
FD
B E
C
2.(连云港中考)在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线 BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD 上的点N处，折痕DF交BC于点F.
“折边”直角三角形
方程思想
勾股定理
拓展应用
1、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点
处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于
y
AD
B
E
O
x C
2、如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原 点,C在x轴上,OA=6,OC=10.在OA上取一点E，将△EOC沿 EC折叠，使O落在AB边上的D点，求E点的坐标.
数等于_5__6_°．
观察再思考
【问题2 】如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点落在对角线 BD上的点E处，此时折痕DF的长是多少？
A
D
6
4x
6
B 8-x
xC
结论：求线段长时，找到相应的“折边”直角三角形， 用勾股定理建立方程，利用方程思想解决问题.
(一)折叠后求角度
1．如图，将矩形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，得到△BC′D，
C′D 与 AB 交于点 E.若∠1＝35°，则∠2 的度数为
( A)
A．20°
利用勾股定理解决矩形中的折叠问题
（二）探索新知
1、动手折一折，在矩形纸片ABCD中，将
矩形纸片折叠，使点A与点C重合．请在图
中画出折痕。
D
A
D
F
A
C
(A') C
B
B E
B'
2、用矩形纸片，你还能折出其它的情形吗？ 两人一 组，试一试。
2024/7/14
（（ 二）探索新知
3、如果对某些线段赋值，你会列方程吗？比 比看， 哪组方程列的快?
3、如果对某些线段赋值，你会列方程吗？比比看，哪 组方程列的快?
(4) 将矩形沿对角线折叠
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(三）典例解析
例1 ：如图，在矩形ABCD中AB=5cm，在边CD
上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，
使点D恰好落在边BC上一点F处，且△ABF的面
积是30cm2。求此时AD的长。若此时要求CE的
(1)将对角顶点重合
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（（ 二）探索新知
2、如果对某些线段赋值，你会列方程吗？比 比看， 哪组方程列的快?
(2) 顶点折叠到对边上
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（二）探索新知
3、如果对某些线段赋值，你会列方程吗？比比看，哪 组方程列的快?
(3) 顶点折叠到对角线上
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（二）探索新知
边上一点，连结AE，把∠B沿AE折叠，使点B落
在点B'处，当ΔCEB'为直角三角形时，BE的长
为______
A
D
B'
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B
E
C
（五）小结与反思
今天这节课你有什么收获？204/7/142024/7/14
专题36 矩形与折叠问题(解析版)
专题36 矩形与折叠问题一、单选题1．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．现将其沿AE 对折，使得点B 落在边AD 上的点B 1处，折痕与边BC 交于点E ，则CB 1的长为（ ）A ．cmB ．C ．8cmD ．10cm【答案】B【分析】 根据翻折变换的性质可以证明四边形ABEB 1为正方形，得到BE ＝AB ，根据EC ＝BC ﹣BE 计算得到EC ，再根据勾股定理可求答案．【详解】解：∵∵AB 1E ＝∵B ＝90°，∵BAB 1＝90°，∵四边形ABEB 1为矩形，又∵AB ＝AB 1，∵四边形ABEB 1为正方形，∵BE ＝AB ＝6cm ，∵EC ＝BC ﹣BE ＝2cm ，∵CB 1cm ．故选B ．【点睛】本题考查的是翻折变换、矩形和正方形的判定和性质，掌握翻折变换的性质及矩形、正方形的判定定理和性质定理是解题的关键．2．如图，矩形ABCD 中，3AB =，9AD =，将此矩形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则ABE ∆的面积为（ ）A．12B．10C．8D．6【答案】D【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角∵ABE中，利用勾股定理就可以求解．【详解】将此长方形折叠，使点B与点D重合，∵BE＝ED．∵AD＝AE＋DE＝AE＋BE＝9．∵BE＝9−AE，根据勾股定理可知AB2∵AE2∵ BE2，32∵AE2∵∵9-AE∵2∵解得AE＝4．∵∵ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：D．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．3．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将∵ABE沿AE所在的直线折叠得到∵AFE，延长AF交CD 于点G，已知CG＝2，DG＝1，则BC的长是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】连接EG ，由折叠的性质可得BE ＝EF 又由E 是BC 边的中点，可得EF ＝EC ，然后证得Rt∵EGF ∵Rt∵EGC （HL ），得出FG ＝CG ＝2，继而求得线段AG 的长，再利用勾股定理求解，即可求得答案．【详解】解：连接EG ，∵E 是BC 的中点，∵BE ＝EC ，∵∵ABE 沿AE 折叠后得到∵AFE ，∵BE ＝EF ，∵EF ＝EC ，∵在矩形ABCD 中，∵∵C ＝90°，∵∵EFG ＝∵B ＝90°，∵在Rt∵EGF 和Rt∵EGC 中，EF EC EG EG=⎧⎨=⎩， ∵Rt∵EGF ∵Rt∵EGC （HL ），∵FG ＝CG ＝2，∵在矩形ABCD 中，AB ＝CD ＝CG +DG ＝2+1＝3，∵AF ＝AB ＝3，∵AG ＝AF +FG ＝3+2＝5，∵BC ＝AD ＝．故选：B ．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．熟练掌握折叠的性质是关键．4．在矩形纸片ABCD 中，AB =6，AD =10．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ．当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为（ ）A ．8cmB ．6cmC ．4cmD ．2cm【答案】C【分析】 根据翻折的性质，可得BA ′与AP 的关系，根据线段的和差，可得A ′C ，根据勾股定理，可得A ′C ，根据线段的和差，可得答案．【详解】解：∵当P 与B 重合时，BA ′=BA =6，CA ′=BC ﹣BA ′=10﹣6=4cm ，∵当Q 与D 重合时，由勾股定理，得CA cm ，CA ′最远是8，CA ′最近是4，点A ′在BC 边上可移动的最大距离为8﹣4=4cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．5．如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后得到1∠，再把纸片铺平，若150∠=︒，则AEF ∠的度数为（）A ．105°B ．120°C ．130°D ．115°【答案】D【分析】 点B 折叠后的点为G ，根据折叠的性质，可得∵GFE=∵BFE ，结合∵1的度数即可求出∵EFB 的度数，利用矩形的性质AD∵BC 即可求出结果．【详解】点B 折叠后的点为G ，根据折叠的性质，可得∵GFE=∵BFE ，∵∵1=50°，∵∵BFE=（180°-50°）÷2=65°，∵ABCD 是矩形，∵AD∵BC ，∵∵DEF=∵BFE=65°，∵∵AEF=180°-65°=115°，故选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．6．如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，8AD =，将矩形沿BD 折叠，点A 落在点E 处，DE 与BC 交于点F ，则重叠部分BDF ∆的面积是( )A ．20B ．16C ．12D ．10【答案】D【分析】 根据折叠的性质可得∵ADB=∵EDB,由平行可得∵ADB=∵CBD,推出∵CBD=∵EDB,设BF 为x ,在Rt∵DCF 中根据勾股定理列出方程求出x ,再根据面积公式求出∵BDF 的面积即可．【详解】∵AD∵BC,∵∵ADB=∵CBD,∵∵BDE 是∵BDA 折叠后的图形,∵∵ADB=∵EDB,∵∵CBD=∵EDB,设BF 为x ,则DF 为x ,CF 为8－x ,在Rt∵DCF 中,()22284x x -+=解得:x =5．∵S ∵BDF =154102⨯⨯=． 故选D ．【点睛】本题考查折叠中矩形的性质,关键在于利用勾股定理列出方程求解．7．如图，把一张长方形的纸沿对角线BD 折叠，使点C 落到点C '的位置，若BC '平分ABD ∠，则DBC ∠的度数是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B【分析】 根据折叠的性质，得到DBC DBC'∠=∠，再根据角平分线的性质得到''ABC DBC ∠=∠ ,得到∵ABC 被平均分成了3份，求出解决即可.【详解】解：∵把一张长方形纸片ABCD 沿BD 折叠∵DBC DBC'∠=∠∵BC '平分ABD ∠∵''ABC DBC ∠=∠∵DBC ∠=13∵ABC=30° 故选B.【点睛】本题考查了折叠的性质以及角平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握折叠与角平分线的性质，找到相等的角.8．将长方形ABCD 纸片沿AE 折叠，得到如图所示的图形，已知∵CED'=70°，则∵EAB 的大小是( )A ．60°B ．50°C ．75°D ．55°【答案】D【分析】首先根据折叠的性质得出∵DEA=∵D′EA=55°，然后由余角的性质得出∵DEA=∵EAD′=35°，进而得出∵D′AB=20°，最后即可得出∵EAB.【详解】根据折叠的性质，∵CED'=70°，得 ∵DEA=∵D′EA=18070552︒-︒=︒ ∵∵ADE=∵AD′E=90°∵∵DAE=∵EAD′=90°-55°=35°∵∵D′AB=90°-∵DAE -∵EAD′=90°-35°-35°=20°∵∵EAB=∵EAD′+∵D′AB=35°+20°=55°故答案为D.【点睛】此题主要考查折叠的性质以及余角的性质，熟练掌握，即可解题.9．如图，有一张长方形纸片ABCD ，其中15AB cm =，10AD cm =.将纸片沿EF 折叠，//EF AD ，若9AE cm =，折叠后重叠部分的面积为（ ）A ．230cmB ．260cmC ．250cmD ．290cm【答案】B【解析】【分析】 根据折叠的性质，可知折叠后重叠部分的面积等于长方形ABCD 的面积减去长方形AEFD 的面积，即可得解.【详解】根据题意，得折叠后重叠部分的面积等于长方形ABCD 的面积减去长方形AEFD 的面积，∵10AD cm =，9AE cm =，//EF AD∵2=151091060ABCD AEFD S S S AB AD AE AD cm -=-=⨯-⨯=阴影长方形长方形故答案为B.【点睛】此题主要考查折叠的性质和长方形的面积求解，熟练掌握，即可解题.10．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A．B C D．6【答案】A【分析】先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．【详解】解：∵∵CEO是∵CEB翻折而成，∵BC=OC，BE=OE，∵B=∵COE=90°，∵EO∵AC，∵O是矩形ABCD的中心，∵OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6，∵AE=CE，在Rt∵ABC中，AC2=AB2+BC2，即62=AB2+32，解得AB=33，在Rt∵AOE中，设OE=x，则AE=33-x，AE2=AO2+OE2，即（33-x）2=32+x2，解得x=3，∵AE=EC=33-3=23．故选：A．【点睛】本题考查翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解题的关键．11．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将该矩形沿AE 折叠，恰好使的D 落在边BC 上的点F 处，如果∵BAF =60°，则∵DAE 的大小为（ ）A ．10°B ．15 °C ．20 °D ．25°【答案】B【分析】 由题意可知90BAD ∠=︒，12FAE DAE DAF ∠=∠=∠．再由DAF BAD BAF ∠=∠-∠，即可求出DAE ∠的大小．【详解】∵四边形ABCD 为矩形，∵90BAD ∠=︒，∵FAE 是由DAE △沿AE 折叠而来，且F 点恰好落在BC 上， ∵12FAE DAE DAF ∠=∠=∠， ∵906030DAF BAD BAF ∠=∠-∠=︒-︒=︒， ∵130152DAE ∠=⨯︒=︒． 故选：B ．【点睛】 本题考查矩形的折叠问题，根据折叠的性质推出12FAE DAE DAF ∠=∠=∠是解答本题的关键． 12．如图，长方形ABCD 中，点O 是AC 的中点，E 是AB 边上的点，把∵BCE 沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，则图中全等的三角形有（ ）对．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】 由长方形的性质利用“SSS ”即可证明ADC CBA ≅，再由折叠的性质可知∵BCE ∵∵OCE ，即可得出结论90EOC EBC ∠=∠=︒，从而推出90EOA EOC ∠=∠=︒，最后由O 点为AC 中点，利用“ASA ”即可证明OCE OAE ≅，最后又可推出∵OAE ∵∵BCE ，即可选择．【详解】∵四边形ABCD 为长方形，∵在ADC 和CBA △中AD CB CD AB AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∵()ADC CBA SSS ≅；∵∵BCE 沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，∵∵BCE ∵∵OCE ；∵O 点为AC 中点，∵AO =CO ．∵∵BCE ∵∵OCE ，∵90EOC EBC ∠=∠=︒，∵在∵OCE 和∵OAE 中，90AO CO EOA EOC OE OE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∵()OCE OAE ASA ≅；∵∵BCE ∵∵OCE ，OCE OAE ≅，∵∵OAE ∵∵BCE综上，图中全等三角形有4对．故选：D ．【点睛】本题考查矩形的性质以及全等三角形的判定和性质．掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键． 13．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，10AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A 处，折痕为PQ ，当点1A 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则当1A B 最小时其值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】 根据翻折的性质，可得当Q 与D 重合时，A 1B 最小，根据勾股定理，可得A 1C ，从而可得答案．【详解】解：由折叠可知：当Q 与D 重合时，A 1B 最小，A 1D=AD=10，由勾股定理，得：A 1，∵A 1B=10-8=2，故选A ．【点睛】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质得到当Q 与D 重合时，A 1B 最小是解题的关键．14．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则重叠部分（即BDE ）的面积为（ ）A ．6B ．7.5C ．10D ．20【答案】C【分析】 由折叠结合矩形的性质先证明,BE DE =设,BE DE x == 则8,AE x =- 再利用勾股定理求解,x 从而可得BDE 的面积．【详解】 解： 长方形ABCD ，8,4,AD AB ==//,AD BC ∴,ADB CBD ∴∠=∠由对折可得：,CBD C BD '∠=∠,ADB C BD '∴∠=∠,BE DE ∴=设,BE DE x == 则8,AE x =-由222,BE AB AE =+ ()22248,x x ∴=+-1680,x ∴=5,x ∴= 5,DE BE ∴==115410.22BDE S DE AB ∴==⨯⨯= 故选：.C【点睛】本题考查的是矩形与折叠问题，勾股定理的应用，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．15．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若∵EDF 是等腰三角形，则∵BDC （ ）A ．45ºB ．60ºC ．67.5ºD ．75º【答案】C【分析】 由翻折可知：∵BDF∵∵BCD ，所以∵EBD=∵CBD ，∵E=∵C=90°，由于∵EDF 是等腰三角形，易证∵ABF=45°，所以∵CBD=12∵CBE=22.5°，从而可求出∵BDC=67.5°． 【详解】解：由翻折的性质得，∵DBC=∵EBD ，∵矩形的对边AD∵BC ，∵E=∵C=90°，∵∵DBC=∵ADB ，∵∵EBD=∵ADB ，∵∵EDF 是等腰三角形，∵E=90°，∵∵EDF 是等腰直角三角形，∵∵DFE=45°，∵∵EBD+∵ADB=∵DFE ， ∵∵DBF=12∵DFE=22.5°， ∵∵CBD =22.5°，∵∵BDC=67.5°，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形，涉及矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识． 16．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（ ）A B C．2D【答案】D【分析】首先设AG＝x，由矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，可求得BD的长，又由折叠的性质，可求得A′B 的长，然后由勾股定理可得方程：x2+22＝（4-x）2，解此方程即可求得AG的长，继而求得答案．【详解】解：设AG＝x，∵四边形ABCD是矩形，∵∵A＝90°，∵AB＝4，AD＝3，∵BD5，由折叠的性质可得：A′D＝AD＝3，A′G＝AG＝x，∵DA′G＝∵A＝90°，∵∵BA′G＝90°，BG＝AB-AG＝4-x，A′B＝BD-A′D＝5-3＝2，∵在Rt∵A′BG中，A′G2+A′B2＝BG2，∵x2+22＝（4-x）2，解得：x＝32，∵AG＝32，∵在Rt∵ADG中，DG=故选：D．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．17．如图，在矩形纸片ABCD中，BC a=，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为BE，点E 在边CD 上，则CE 的长为（ ）A ．12aB ．25aC ．2aD ．3a 【答案】D【分析】首先证明∵OBC 是等边三角形，在Rt∵EBC 中求出CE 即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∵OB=OC ，∵BCD=90°，由翻折不变性可知：BC=BO ，∵BC=OB=OC ，∵∵OBC 是等边三角形，∵∵OBC=60°，∵∵EBC=∵EBO=30°，∵BE=2CE根据勾股定理得：EC=3a ， 故选：D ．【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明∵OBC 是等边三角形． 18．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，点C 落在边AB 上的点H 处，点D 落在点G 处，若111GEF ∠=︒，则AHG ∠的度数为（ ）．A ．42°B ．69°C ．44°D ．32°【答案】A【分析】 根据翻折的性质，及矩形的性质，求出AEG ∠，再利用“8”字模型求解即可．【详解】由图形翻折的性质可知，111GEF DEF ∠=∠=︒，180111AEF ∴∠=︒-︒=69︒，1116942AEG GEF AEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒，90A G ∠=∠=︒，利用“8”字模型，42AHG AEG ∴∠=∠=︒，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形翻折问题，能够根据图形翻折的性质推理出AEG ∠是解决问题的关键，熟练运用“8”字模型是求最终结果的关键．19．如图，已知长方形ABCD ，将∵DBC 沿BD 折叠得到∵DBC′，BC′与AD 交于点E ，若长方形的周长为20cm ，则∵ABE 的周长是（ ）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm【答案】B【分析】 根据现有条件推出∵EDB=∵EBD ，得出BE=DE ，可知∵ABE 的周长=AB+AD ，是长方形的周长的一半，即可得出答案．【详解】由折叠可知：∵CBD=∵C′BD，∵四边形ABCD为平行四边形，∵AD∵BC，∵∵ADB=∵CBD，∵∵ADB=∵C′BD，∵∵EDB=∵EBD，∵BE=DE，∵∵ABE的周长=AB+AD，∵长方形的周长为20cm，∵2（AB+AD）=20cm,∵AB+AD=10cm,∵∵ABE的周长为10cm，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，推出BE=DE是解题关键．20．如图，将一块长方形纸片ABCD沿BD翻折后，点C与E重合，若∵ADE = 30°，EH = 2，则BC的长度为（）A．8B．7C．6.5D．6【答案】D【分析】由折叠的性质可得∵E＝∵C＝∵A=90°，再证明∵ABH∵∵EDH，得到AB的长，再求出∵DBC=30°，在Rt∵BCD 中即可求解．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∵AD∵BC，∵C＝90°，∵将一块长方形纸片ABCD 沿BD 翻折后，∵∵E ＝∵C ＝∵A=90°，又∵AHB=∵EHD ，AB=ED∵∵ABH∵∵EDH∵∵ABH=∵ADE = 30°，AH=EH = 2∵BH=2AH=4∵CD=AB= =∵∵ABH= 30°，∵∵HBC=60°∵翻折，∵∵DBC=30°6=故选：D ．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，含30°的直角三角形的性质，求出AB 的长是本题的关键． 21．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD 可以进行如下操作：∵把ABF 翻折，点B 落在C 边上的点E 处，折痕为AF ，点F 在BC 边上；∵把ADH 翻折，点D 落在AE 边上的点G 处，折痕为AH ，点H 在CD 边上，若610AD CD ==，，则EH EF=（ ）A ．32B ．53C ．43D ．54【答案】A【分析】利用翻折不变性可得10AE AB ==，推出8DE =，2EC =，设BF EF x ==，在Rt EFC △中，2222(6)x x =+-，可得103x =，设DH GH y ==，在Rt EGH △中，2224(8)y y +=-，可得3y =，由此即可解决问题．【详解】 解：四边形ABCD 是矩形，90C D ∴∠=∠=︒，10AB CD ==，6AD BC ==，由翻折不变性可知：10AB AE ==，6AD AG ==，BF EF =，DH HG =，4EG ∴=，在Rt ADE △中，8DE ==，1082EC ∴=-=，设BF EF x ==，在Rt EFC △中有：2222(6)x x =+-，103x ∴=， 设DH GH y ==，在Rt EGH △中，2224(8)y y +=-，3y ∴=，5EH ∴=， ∴531023EH EF ==，故选：A ．【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．22．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′地位置，ED ′的延长线与BC 相交于点G ，若∵EFG =68°，则∵1的度数是（ ）A ．112°B ．136°C ．144°D ．158°【答案】B【分析】由AD//BC，∵EFG=68°，根据两直线平行，内错角相等，可求得∵DEF的度数，然后由折叠的性质，求得∵DEG 的度数，继而求得答案．【详解】解：∵AD//BC，∵EFG=68°，∵∵DEF=∵EFG=68°，由折叠的性质可得：∵FEG=∵DEF=68°，∵∵DEG=∵DEF+∵FEG=136°，∵AD//BC，∵∵1=∵DEG=136°．故选：B．【点睛】此题考查了平行线的性质以及折叠的性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．23．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则DE的长为（）A．12B．53C．25D．13【答案】B【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt∵ABF 中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt∵ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到DE的长．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∵AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∵AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt∵ABF中，BF4，∵CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，在Rt∵ECF中，CE2+FC2＝EF2，∵x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝43，∵DE＝3﹣x＝53，故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．24．如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上的点G处，并使折痕经过点A，已知2BC=，则线段EG的长度为（）A．1B C D．2【答案】B【分析】由折叠的性质可得AE=12AD=12BC=1，AG=AD=2，由勾股定理得出EG即可．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合得到折痕EF ， ∵AE=12AD=12BC=1，EF∵AD ， ∵∵AEF=90°，∵再一次折叠，使点D 落到EF 上点G 处∵AG=AD=2，=，故选：B ．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．25．如图，将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C ，D 分别落在点C '，D 处，若68AFE ∠=︒，则'∠C EB 等于（ ）A ．68︒B ．80︒C ．44︒D ．55︒【答案】C【分析】 根据矩形的性质可得AD//BC ，根据平行线的性质可得∵CEF =∵AFE ，根据折叠的性质可得∵CEF =∵C′EF ，根据平角的定义即可得答案．【详解】解：∵ABCD 是长方形，∵68AFE ∠=︒，∵∵CEF =∵AFE=68°，∵将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C ，D 分别落在点C '，D 处，∵∵CEF =∵C′EF =68°，∵'∠C EB =180°-∵CEF -∵C′EF=44°，故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质，翻折变换的性质，熟记折叠的性质是解题的关键．26．如图，把长方形纸片ABCD 沿对角线折叠，设重叠部分为EBD △．下列说法错误的是（ ）A ．AE CE =B ．12AE BE =C ．EBD EDB ∠=∠ D ．∵ABE∵∵CDE【答案】B【分析】 由折叠的性质和平行线的性质可得∵ADB=∵CBD ，可得BE=DE ，可证AE=CE ，由“SAS”可证∵ABE∵∵CDE ，即可求解．【详解】解：如图，∵把矩形纸片ABC'D 沿对角线折叠，∵∵CBD=∵DBC'，CD=C'D=AB ，AD=BC=BC'，∵∵EDB=∵DBC'，∵∵EDB=∵EBD ，故选项C 正确；∵BE=DE ，∵AD=BC ，∵AE=CE ，故选项A 正确；在∵ABE 和∵CDE 中，AB CD A C AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵ABE∵∵CDE （SAS ），故选项D 正确； 没有条件能够证明12AE BE =， 故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握折叠的性质是本题的关键． 27．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为BDE ，则图中全等三角形共有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【答案】C【分析】 因为图形对折，所以首先∵CDB∵∵ABD ，由于四边形是长方形，进而可得∵ABE∵∵CDE ，如此答案可得．【详解】解：∵∵BDC 是将长方形纸片ABCD 沿BD 折叠得到的，∵CD=AB ，AD=BC ，∵BD=BD ，∵∵CDB∵∵ABD （SSS ），∵∵CBD=∵ADB∵EB=ED∵CE=AE又AB=CD∵∵ABE∵∵CDE ，∵图中全等三角形共有2对故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、SSA 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要由易到难，循序渐进．28．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，EBC ∠的平分线交CD 于点F ，将DEF 沿EF 折叠，点D 恰好落在BE 上M 点处，延长BC 、EF 交于点N ．有下列四个结论：∵ DF CF =；∵BF EN ⊥；∵BEN 是等边三角形；∵3BEF DEF S S =△△．其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）A ．∵∵∵B ．∵∵∵C ．∵∵∵D ．∵∵∵∵【答案】B【分析】 由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF ＝FM ＝DF ，即可判断∵；易求得∵BFE ＝∵BFN ，则可得BF∵EN ，即可判断∵；易证得∵BEN 是等腰三角形，但无法判定是等边三角形，即可判断∵；易求得BM ＝2EM ＝2DE ，即可得EB ＝3EM ，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可判断∵．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∵∵D ＝∵BCD ＝90°，DF ＝MF ，由折叠的性质可得：∵EMF ＝∵D ＝90°，即FM∵BE ，CF∵BC ，∵BF 平分∵EBC ，∵CF ＝MF ，∵DF ＝CF ；故∵正确；∵∵BFM ＝90°−∵EBF ，∵BFC ＝90°−∵CBF ，∵∵BFM ＝∵BFC ，∵∵MFE ＝∵DFE ＝∵CFN ，∵∵BFE ＝∵BFN ，∵∵BFE ＋∵BFN ＝180°，∵∵BFE ＝90°，即BF∵EN ，故∵正确；∵在∵DEF 和∵CNF 中，90D FCN DF CFDFE CFN ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝ ∵∵DEF∵∵CNF （ASA ），∵EF ＝FN ，∵BF 垂直平分EN ，∵BE ＝BN ，假设∵BEN 是等边三角形，则∵EBN ＝60°，∵EBA ＝30°，则AE ＝12BE ， 又∵AE ＝12AD ，则AD ＝BC ＝BE ，而明显BE ＝BN ＞BC ，∵∵BEN 不是等边三角形；故∵错误；∵∵BFM ＝∵BFC ，BM∵FM ，BC∵CF ，∵BM ＝BC ＝AD ＝2DE ＝2EM ，∵BE ＝3EM ，∵S ∵BEF ＝3S ∵EMF ＝3S ∵DEF ；故∵正确．故选：B ．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．29．如图，将长方形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上点F 处．若6AB =，10AD =，则EC 的长为（ ）A ．2B ．83C ．3D ．103【答案】B【分析】 由翻折可知：AD=AF=10．DE=EF ，设EC=x ，则DE=EF=6-x ．在Rt∵ECF 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∵AD=BC=10，AB=CD=6，∵∵B=∵BCD=90°，由翻折可知：AD=AF=10，DE=EF ，设EC=x ，则DE=EF=6-x ．在Rt∵ABF 中，8BF ===，∵CF=BC -BF=10-8=2，在Rt∵EFC 中，EF 2=CE 2+CF 2，∵（6-x ）2=x 2+22， ∵x=83， ∵EC=83． 故选：B ．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．30．如图，已知长方形ABCD 中6cm AB =，10cm BC =，在边CD 上取一点E ，将ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，CE 的长是（ ）A ．3B ．2.5C ．83D ．2【答案】C【分析】 要求CE 的长，应先设CE 的长为x ，由将∵ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F 可得Rt∵ADE∵Rt∵AFE ，所以AF=10cm ，EF=DE=6-x ；在Rt∵ABF 中由勾股定理得：AB 2+BF 2=AF 2，已知AB 、AF 的长可求出BF 的长，又CF=BC -BF=10-BF ，在Rt∵ECF 中由勾股定理可得：EF 2=CE 2+CF 2，即：（6-x ）2=x 2+（10-BF ）2，将求出的BF 的值代入该方程求出x 的值，即求出了CE 的长．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∵AD=BC=10cm ，CD=AB=6cm ，根据题意得：Rt∵ADE∵Rt∵AFE ，∵∵AFE=90°，AF=10cm ，EF=DE ，设CE=x cm ，则DE=EF=CD -CE=（6-x ）cm ，在Rt∵ABF 中由勾股定理得：AB 2+BF 2=AF 2，即62+BF 2=102，∵BF=8cm ，∵CF=BC -BF=10-8=2（cm ），在Rt∵ECF 中，由勾股定理可得：EF 2=CE 2+CF 2，即（6-x ）2=x 2+22，∵36-12x +x 2=x 2+4，∵x =83，即CE=83cm ． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．31．如图，将长方形ABCD 沿AC 折叠，使点B 落在点B '处，B C '交AD 于点E ，若125∠=︒，则2∠等于（ ）A ．25︒B ．30C ．50︒D ．60︒【答案】C【分析】 根据折叠的性质得到∵ACB '=125∠=︒，由长方形的性质得到AD∵BC ，即可得到∵2=∵BCB '=2∵1=50︒.【详解】由折叠可知：∵ACB '=125∠=︒，∵四边形ABCD 是长方形，∵AD∵BC ，∵∵2=∵BCB '=2∵1=50︒，故选：C.【点睛】此题考查折叠的性质，长方形的对边平行的性质，平行线的性质：两直线平行内错角相等.32．如图，将长方形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 的对应点为E.若CBD 35∠=︒，则ADE ∠的度数为（ ）．A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30【答案】B【分析】 根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到ADB ∠和EDB ∠的度数，然后即可得到ADE ∠的度数．【详解】解：由折叠的性质可得，CDB EDB ∠∠=，AD //BC ，CBD 35∠=︒，CBD ADB 35∠∠∴==︒，C 90︒∠=，CDB 55∠∴=︒，EDB 55∠∴=︒，ADE EDB ADB 553520∠∠∠∴=-=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．33．如图，折叠长方形纸片ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知8AB cm =，10AD cm =，则折痕EF 的长为（ ）．A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】D【分析】根据折叠可得，AD=AF，然后根据勾股定理求出BF，易得CF，再由勾股定理即可求得．【详解】根据折叠可得，AD=AF=10，DE=EF在Rt∵ABF中，根据勾股定理得，BF=6∵CF=4在Rt∵CEF中，EF2=CE2+CF2即EF2=（8－EF）2+42解得EF=5cm故选D【点睛】本题考查勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．34．如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，若EFC'∠=︒，那么ABE122∠的度数为（）A．24︒B．32︒C．30D．26︒【答案】D【分析】由折叠的性质知：∵EBC′、∵BC′F都是直角，∵BEF=∵DEF，因此BE∵C′F，那么∵EFC′和∵BEF互补，这样可得出∵BEF 的度数，进而可求得∵AEB 的度数，则∵ABE 可在Rt∵ABE 中求得．【详解】解：由折叠的性质知，∵BEF=∵DEF ，∵EBC′、∵BC′F 都是直角，∵BE∵C′F ，∵∵EFC′+∵BEF=180°，又∵∵EFC′=122°，∵∵BEF=∵DEF=58°，∵∵AEB=180°-∵BEF -∵DEF=64°，在Rt∵ABE 中，∵ABE=90°-∵AEB=26°．故选D ．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．35．如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到','BC D C D ∆与AB 交于点E ，若140∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．25︒B ．20︒C ．15︒D ．10︒【答案】D【分析】 根据矩形的性质，可得∵ABD=40°，∵DBC=50°，根据折叠可得∵DBC'=∵DBC=50°，最后根据∵2=∵DBC'-∵DBA 进行计算即可．【详解】解：140,//CD AB ∠=︒，40,50ABD DBC ∴∠=︒∠=︒，由折叠可知'50DBC DBC ∠=∠=︒，2504010DBC ABD '∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了长方形性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算的应用，关键是求出∵DBC′和∵DBA 的度数．36．如图，在长方形ABCD 中，将∵ABC 沿AC 对折至∵AEC 位置，CE 与AD 交于点F ，如果AB ＝2，BC ＝4，则AF 的长是（ ）．A ．2B ．2.5C ．2.8D ．3【答案】B【分析】 根据题意，根据轴对称的性质，得AB=AE=CD=2，BC=AD=4；通过证明AEF CDF △≌△得=EF FD ，再通过直角AEF 中勾股定理，计算得AF 的长．【详解】根据题意得：AB=AE=CD=2，BC=AD=4设AF=x ，则FD=AD -AF=4-x∵90AEC D AFE DFC AE CD ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵AEF CDF △≌△∵=EF FD∵4EF FD x ==-∵222AE EF AF +=∵()22224x x +-=∵ 2.5x =∵AF 的长是2.5故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形、矩形、勾股定理、一元一次方程、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、矩形、勾股定理、轴对称的性质，从而完成求解．37．如图，矩形ABCD 沿着对角线BD 进行折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于点E ，16AD =，8AB =，则DE 的长（ ）．A ．10B ．6C ．8D ．【答案】A【分析】 先根据翻折变换的性质得出CD=C′D ，∵C=∵C′=90°，再设DE=x ，则AE=16-x ，由全等三角形的判定定理得出Rt∵ABE∵Rt∵C′DE ，可得出BE=DE=x ，在Rt∵ABE 中利用勾股定理即可求出x 的值，进而得出DE 的长．【详解】解：∵Rt DC B '△由Rt DCB △翻折而成，∵8CD C D AB '===，90C C '∠=∠=︒，设DE x =，则16AE x =-，∵90A C '∠=∠=︒，AEB DEC '∠=∠，∵ABE C DE '∠=∠，在Rt ABE △与Rt C DE '△中，90A C '∠=∠=︒，AB C D '=，ABE C DE '∠=∠∵Rt Rt ABE C DE '≌△△，∵BE DE x ==，在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，即()222816x x +-=，解得10x =，即10DE =，故选A ．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．38．如图，长方形ABCD 中，AD BC 6==，10AB CD ==，点E 为射线DC 上的一个动点，ADE 与AD E '关于直线AE 对称，当'AD B 为直角三角形时，DE 的长为() A ．2或8B ．83或18C ．83或2D ．2或18【答案】D【分析】 分两种情况： 当E 点在线段DC 上时， 当E 点在线段DC 的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质得出答案即可．【详解】解：分两种情况讨论：∵当E 点在线段DC 上时，AD E '△∵ADE ，90AD E D '∴∠=∠=︒，90AD B '∠=︒，180AD B AD E ''∴∠+∠=︒，B ∴、D 、E 三点共线，1122ABE S BE AD AB AD AD AD ''=⋅=⋅=，， BE AB 10∴==，8BD '===，1082DE D E '∴==-=；∵当E 点在线段DC 的延长线上时，如下图，90ABD CBE ABD BAD ''''''∠+∠=∠+∠=︒，CBE BAD ''∴∠=∠，在ABD ''△和BEC △中，D BCE AD BCBAD CBE '''''∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠'⎩， ABD ''∴△∵BEC ，BE AB 10∴==，8BD ''==，81018DE D E BD BE ''''∴==+=+=，综上所知，DE 2=或18，故选：D ．【点睛】本题考查翻折的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、掌握翻折的性质、分类探讨的思想方法是解决问题的关键．39．如图，四边形ABCD 是矩形纸片，AB ＝2．对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，折痕为EF ；展平后再过点B 折叠矩形纸片，使点A 落在EF 上的点N ，折痕BM 与EF 相交于点Q ；再次展平，连接BN ，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：∵∵ABN＝60°；∵AM＝1；∵AB∵CG；∵BMG是等边三角形；∵点P为线段BM上一动点，点H是BN的中点，则PN＋PH．其中正确结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B【分析】∵根据折叠的性质得出AE=BE，AB=BN，∵NEB=90°，再根据含30度的直角三角形判定定理即可得出∵ENB ＝30°，即可得出∵ABN＝60°；∵根据折叠的性质得出∵ABM＝∵NBM＝30°，设AM=x，根据勾股定理即可求出AM的值；∵直接根据矩形的性质即可得出；∵根据∵ABM＝30°，得出∵MBG＝∵BMA＝60°，再根据折叠的性质和等量代换即可得出∵BGM是等边三角形；∵根据点H是BN的中点即矩形的性质得出BH＝BE，结合题意得出PE＝PH，再根据三点共线时值最小及勾股定理即可判断．【详解】解：由折叠可知，AE=BE，AB=BN，∵NEB=90°，在Rt∵BEN中，∵BN＝AB＝2BE，∵∵ENB＝30°，∵∵ABN＝60°，故∵正确；由折叠可知，∵ABM＝∵NBM＝30°，设AM=x，则BM=2x，x2+22=(2 x)2，∵x＞0，解得：x，即AM =∵错误； ∵∵ABG ＝90°，∵AB ∵CG ，故∵正确；∵∵ABM ＝30°，∵∵MBG ＝∵BMA ＝60°，由折叠可知，∵BMG ＝∵BMA ＝60°，∵∵MBG ＝∵BMG ＝∵MGB ＝60°,∵∵BGM 是等边三角形，故∵正确，连接PE ．∵点H 是BN 的中点，∵BH ＝BE ＝1，∵∵MBH ＝∵MBE ，∵E 、H 关于BM 对称，∵PE ＝PH ，∵PH +PN ＝PE +PN ，∵E 、P 、N 共线时，PH +PN 的值最小，EN ∵正确，故选为B ．【点睛】本题考查翻折变换、等边三角形的判定和性质、直角三角形中30度角的判断、轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．40．如图，矩形纸片,,ABCD AB a BC b ==，满足12b a b <<，将此矩形纸片按下面顺序折叠，则图4中MN 的长为（用含,a b 的代数式表示）（ ）A ．2b a -B ．22b a -C ．32b a +D ．12b a + 【答案】B【分析】 如图3中，由折叠的性质可得PQ ＝BC ＝b ，A 1F ＝a ﹣12b ，∵PEQ 是等腰直角三角形，进而可得∵MNE 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得EG =12MN ，而12EG EF A F =-，进一步即可求得答案．【详解】解：如图3中，由折叠的性质可得PQ ＝BC ＝b ，A 1F ＝a ﹣12b ，∵EPQ =11904522APQ ∠=⨯︒=︒，∵EQP =11904522DQP ∠=⨯︒=︒， ∵∵PEQ =90°，∵∵PEQ 是等腰直角三角形，如图4，∵MN ∵PQ ，∵∵MNE 是等腰直角三角形，∵EG ∵MN ，∵EG=MG=NG =12MN ， ∵12EG EF A F =-=a ﹣2（a ﹣12b ）＝b ﹣a ， ∵MN =2EG =22b a -．故选：B∵【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及等腰直角三角形的判定与性质，正确理解题意、熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．41．将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF ．若 AB ＝3，则 BC 的长为（ ）AB ．2C ．1.5 D【答案】D【分析】 设BC x =，先根据矩形的性质可得90,B AD BC ∠=︒=，再根据折叠的性质可得,,90OA AD x OC BC x COE B ====∠=∠=︒，从而可得OA OC =，又根据菱形的性质可得AE CE =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得90AOE COE ∠=∠=︒，从而可得点,,A O C 共线，由此可得2AC x =，最后在Rt ABC 中，利用勾股定理即可得．【详解】设BC x =，四边形ABCD 是矩形，90,B AD BC x ∴∠=︒==，由折叠的性质得：,,90OA AD x OC BC x COE B ====∠=∠=︒，OA OC x ∴==，四边形AECF 是菱形，AE CE ∴=，。
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Ｂ
Ｆ
Ｃ
Ｅ
Ｄ Ａ
勾股定理复习专题——矩形的折叠问题
一、创设情景
1．如图，把矩形纸条ABCD 沿EF GH ，同时折叠，B C ，两点恰好落在AD 边的P 点处，若90FPH = ∠，8PF =，
6PH =，则矩形ABCD 的边BC 长为（ ）
Ａ．20 Ｂ．22
Ｃ．24
Ｄ．30
二、探究新知
探究一：顶点折叠到对边上
例1.如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm, BC=10cm ,求EC 的长.
练习：1.如图,四边形ABCD 为矩形纸片, 把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD=6，求AF 的值。
B
F
C
G
A ´
D A B
C 2. 在矩形纸片ABC
D 中，AB=33，BC=6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，•点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=30°． 求B
E 、Q
F 的长；
探究二：将顶点折到对角线上
例2. 如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 8，BC = 6，求DG 的长。
探究三：将对角顶点重合
例3. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm ，现将A 、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ， ①求DF 的长；
②求重叠部分△AEF 的面积； ③求折痕EF 的长。
探究四：沿矩形的对角线折叠
例4.将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，连结AE 。
（1） 证明：BF=DF
（2） 若AB=4,BC=8,分别求AF 、BF 的长，并求三角形FBD 的周长和面积。
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
Ｄ´
A B C
D
E
F
三、课堂小结
解决折叠问题的一般方法：
1、两手都要抓：重视“折”，关注“叠”；
2、本质：轴对称（全等性，对称性）；
3、关键：根据折叠实现等量转化；
4、基本方法：利用勾股定理构造方程。
四、拓展提高
如图，矩形AOBC，O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点Ｃ坐标为(8，4 )，以OC为轴对折后，使B点落在点D处，求D点坐标。