5.2齐次马尔可夫链.pptx
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第四章 马尔可夫链ppt课件
p(n) ij
1
(2)
p(n) ij
1,i
1, 2,
j
2019年10月23日星期三
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程): 对任意的m,n≥0,有
P(mn) P(m)P(n)
即n步转移概率矩阵等于一步转移概率矩阵自乘n次.
为了数学处理便利,通常规定
p(0) ij
P{Xm j | Xm i}
以Xn表示第n次抽取后甲袋的球数,n=1,2,… 则{Xn,n=1,2,…}是一随机过程,I={0,1,2,3,4,5}, 且当Xn=i时,Xn+1=j的概率只与i 有关,与n时刻 之前的结果是无关的,从而是一个齐次马氏链.
其一步转移概率矩阵为:
2019年10月23日星期三
0 1 2 34 5
0
1 0
i j i j
2019年10月23日星期三
例3 {Xn,n 0}是具有三个状态0,1,2 的齐次马氏
链, 一步转移概率矩阵为
第四章 马尔可夫链
1
一、马尔可夫链的定义和转移概率
1、马尔可夫性(无后效性)
当已知随机过程在时刻 ti 所处的状态的条件下, 过程在t(>ti)所处的状态与过程在时刻ti以前所处的 状态无关,这种特性称为马尔可夫性或 “无后效性”. 具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程.
《马尔可夫过程 》课件
1 唯一性
2 可逆性
马尔可夫链的过渡概率是唯一确定的,无 论起始状态如何。
某些马尔可夫链具有可逆性,可以在时间 上逆转而保持同样的概率性质。
3 定态分布
4 马尔可夫链收敛于定态分布
马尔可夫链能够收敛于某个稳定的定态分 布。
随着时间的推移,马尔可夫链的状态会趋 向于定态分布,并在该分布上进行随机转 移。
马尔可夫过程 PPT课件
欢迎来到《马尔可夫过程》PPT课件,本课程将向您介绍马尔可夫过程的基 本概念、性质和应用领域。让我们开始探索这个强大的概率工具吧!
什么是马尔可夫过程
马尔可夫过程是一种具备马尔可夫性质的随机过程,未来的状态仅与当前的 状态有关。它的特点是具有无记忆性,对于过去的状态无影响。
马尔可夫链的性质
马尔可夫过程的应用实例
隐马尔可夫模型
隐马尔可夫模型是一种概率模型,常用于语音 识别、手写识别和自然语言处理等领域。
马尔可夫链蒙特卡罗法
马尔可夫链蒙特卡罗法是一种随机模拟方法, 用于估计复杂概率分布的数值解。
马尔可夫决策过程
马尔可夫决策过程是一种用来模拟决策问题的 数学框架,常应用于人工智能和运筹学领域。
马尔可夫过程的应用
自然语言处理
马尔可夫过程在自 然语言处理中被广 泛应用于语言模型 和信息检索等领域。
机器学习
马尔可夫过程是许 多机器学习算法中 的核心概念,如隐 马尔可夫模型和马 尔可夫决策过程。
随机过程课件-马尔可夫链
遍历性是马尔可夫链达到平稳分布的必要条件之一,也是判 断马尔可夫链是否具有唯一平稳分布的重要依据。
03
马尔可夫链的转移概率
转移概率的定义与性质
定义
马尔可夫链中,给定当前状态$i$,未来状态$j$在某个时间步长内发生的概率称为转移 概率,记作$P(i,j)$。
性质
转移概率具有非负性、归一性和时齐性。非负性指$P(i,j) geq 0$;归一性指对于每个 状态$i$,所有可能转移到该状态的转移概率之和为1,即$sum_{ j} P(i,j) = 1$;时齐性
连续状态空间
状态空间是连续的实数集合,通常用于描述连续 时间的马尔可夫过程。
不可约性
不可约性是指马尔可夫链的状态转移 图是一个不可约图,即从任意状态出 发,经过有限步可以到达任意其他状 态。
不可约性是马尔可夫链具有唯一平稳 分布的必要条件。
周期性
周期性是指马尔可夫链的状态转移具有一定的周期性,即存在一个正整数d,使得从任意状态出发, 经过d步后又回到该状态。
转移概率
描述从当前状态转移到下一个状态的相对概 率。
遍历性
描述马尔可夫链从任意状态出发,经过有限 步后能够到达任意其他状态的性质。
02
马尔可夫链的性质
状态空间的分类
有限状态空间
马尔可夫链的状态集合是有限的,每个状态都有 明确的概率转移。
可数状态空间
03
马尔可夫链的转移概率
转移概率的定义与性质
定义
马尔可夫链中,给定当前状态$i$,未来状态$j$在某个时间步长内发生的概率称为转移 概率,记作$P(i,j)$。
性质
转移概率具有非负性、归一性和时齐性。非负性指$P(i,j) geq 0$;归一性指对于每个 状态$i$,所有可能转移到该状态的转移概率之和为1,即$sum_{ j} P(i,j) = 1$;时齐性
连续状态空间
状态空间是连续的实数集合,通常用于描述连续 时间的马尔可夫过程。
不可约性
不可约性是指马尔可夫链的状态转移 图是一个不可约图,即从任意状态出 发,经过有限步可以到达任意其他状 态。
不可约性是马尔可夫链具有唯一平稳 分布的必要条件。
周期性
周期性是指马尔可夫链的状态转移具有一定的周期性,即存在一个正整数d,使得从任意状态出发, 经过d步后又回到该状态。
转移概率
描述从当前状态转移到下一个状态的相对概 率。
遍历性
描述马尔可夫链从任意状态出发,经过有限 步后能够到达任意其他状态的性质。
02
马尔可夫链的性质
状态空间的分类
有限状态空间
马尔可夫链的状态集合是有限的,每个状态都有 明确的概率转移。
可数状态空间
《马尔可夫链分析法》课件
算法优化
改进现有算法,提高计算效率和准确性。
应用领域拓展
探索马尔可夫链分析法在更多领域的应用, 如社会学、经济学等。
与其他方法的结合
结合其他统计或机器学习方法,开发更强大 的分析工具。
技术创新
可视化技术
利用现代可视化技术,如数据可视化、动态模拟 等,使马尔可夫链分析结果更直观易懂。
人工智能辅助
结合人工智能技术,自动识别数据模式,减少人 工干预。
社会领域
马尔可夫链分析法用于研究人口迁移、交通流量、社会网络等社会 现象,以及市场预测和决策分析。
马尔可夫链分析法的历史与发展
起源
马尔可夫链分析法起源于19世纪 末,由俄国数学家安德烈·马尔可 夫提出,最初用于研究概率论和 数理统计。
发展
随着计算机技术的进步和应用领 域的拓展,马尔可夫链分析法在 20世纪中叶得到了广泛的应用和 发展。
计算复杂度高
对参数敏感
对于大规模的系统,马尔可夫链分析法的 计算复杂度较高,需要借助高性能计算机 才能完成。
马尔可夫链分析法的结果对参数的选择非 常敏感,不同的参数可能导致完全不同的 结果,因此需要谨慎选择参数。
CHAPTER 06
马尔可夫链分析法的未来发 展
研究方向
理论完善
深入研究马尔可夫链分析法的数学原理,提 高其理论基础。
动态分析能力强
改进现有算法,提高计算效率和准确性。
应用领域拓展
探索马尔可夫链分析法在更多领域的应用, 如社会学、经济学等。
与其他方法的结合
结合其他统计或机器学习方法,开发更强大 的分析工具。
技术创新
可视化技术
利用现代可视化技术,如数据可视化、动态模拟 等,使马尔可夫链分析结果更直观易懂。
人工智能辅助
结合人工智能技术,自动识别数据模式,减少人 工干预。
社会领域
马尔可夫链分析法用于研究人口迁移、交通流量、社会网络等社会 现象,以及市场预测和决策分析。
马尔可夫链分析法的历史与发展
起源
马尔可夫链分析法起源于19世纪 末,由俄国数学家安德烈·马尔可 夫提出,最初用于研究概率论和 数理统计。
发展
随着计算机技术的进步和应用领 域的拓展,马尔可夫链分析法在 20世纪中叶得到了广泛的应用和 发展。
计算复杂度高
对参数敏感
对于大规模的系统,马尔可夫链分析法的 计算复杂度较高,需要借助高性能计算机 才能完成。
马尔可夫链分析法的结果对参数的选择非 常敏感,不同的参数可能导致完全不同的 结果,因此需要谨慎选择参数。
CHAPTER 06
马尔可夫链分析法的未来发 展
研究方向
理论完善
深入研究马尔可夫链分析法的数学原理,提 高其理论基础。
动态分析能力强
《马尔可夫链讲》课件
《马尔可夫链讲 》ppt课件
目录
• 马尔可夫链简介 • 马尔可夫链的基本性质 • 马尔可夫链的收敛性 • 马尔可夫链的平稳分布 • 马尔可夫链蒙特卡洛方法 • 马尔可夫链在大数据分析中的应
用
01
马尔可夫链简介
定义与特性
总结词
马尔可夫链是一种数学模型,用于描 述随机过程在离散时间点上的状态转 移。
根据接受概率判断是否接受样本的技 术,可以提高样本的质量和效率。
接受-拒绝抽样技术
接受概率
根据目标分布和当前状态计算出的概率,用于判断是否接受当前状态 转移为下一个状态。
拒绝概率
根据当前状态和接受概率计算出的概率,用于判断是否拒绝当前状态 转移为下一个状态。
接受-拒绝抽样过程
根据当前状态和接受概率计算出接受该状态的概率,如果该概率大于 随机数,则接受该状态作为下一个状态,否则拒绝并重新抽样。
接受-拒绝抽样的优缺点
优点是简单易行,缺点是可能产生大量无效样本。
06
马尔可夫链在大数据分析 中的应用
数据处理与预处理
数据清洗
去除重复、错误或不完整的数 据,确保数据质量。
特征提取
从原始数据中提取与目标变量 相关的特征。
数据转换
将非结构化数据转换为结构化 数据,便于分析。
数据归一化
将不同量纲或量级的数据统一 到一个标准范围内。
目录
• 马尔可夫链简介 • 马尔可夫链的基本性质 • 马尔可夫链的收敛性 • 马尔可夫链的平稳分布 • 马尔可夫链蒙特卡洛方法 • 马尔可夫链在大数据分析中的应
用
01
马尔可夫链简介
定义与特性
总结词
马尔可夫链是一种数学模型,用于描 述随机过程在离散时间点上的状态转 移。
根据接受概率判断是否接受样本的技 术,可以提高样本的质量和效率。
接受-拒绝抽样技术
接受概率
根据目标分布和当前状态计算出的概率,用于判断是否接受当前状态 转移为下一个状态。
拒绝概率
根据当前状态和接受概率计算出的概率,用于判断是否拒绝当前状态 转移为下一个状态。
接受-拒绝抽样过程
根据当前状态和接受概率计算出接受该状态的概率,如果该概率大于 随机数,则接受该状态作为下一个状态,否则拒绝并重新抽样。
接受-拒绝抽样的优缺点
优点是简单易行,缺点是可能产生大量无效样本。
06
马尔可夫链在大数据分析 中的应用
数据处理与预处理
数据清洗
去除重复、错误或不完整的数 据,确保数据质量。
特征提取
从原始数据中提取与目标变量 相关的特征。
数据转换
将非结构化数据转换为结构化 数据,便于分析。
数据归一化
将不同量纲或量级的数据统一 到一个标准范围内。
5.2齐次马尔可夫链
第二节齐次马尔可夫链
一、齐次马尔可夫链的概念
一个随机过程{X n,n=0,1,2,…}就是一族随机变量,而X n能取的各个不同的值,则称为状态。如果一个随机过程{X n,n=0,1,2,…},由一种状态转移到另一种状态的转移概率只与现在处于什么状态有关,而与在这时刻之前所处的状态完全无关,即如果过程{X n,n=0,1,2,…}中,X n+1的条件概率分布只依赖于X n的值,而与所有更前面的值相互独立,则该过程就是所谓马尔可夫(Markov)过程.
马尔可夫链是指时间离散,状态也离散的马尔可夫过程。一个马尔可夫链,若从u时刻处于状态i,转移到t+u时刻处于状态j的转移概率与转移的起始时间u无关,则称之为齐次马尔可夫链,简称齐次马氏链。
如果把从状态i到状态j的一步转移概率记为p ij,则p ij=P{X n+1=j|X n=i},i,j=0,1,2,…,且有转移概率矩阵P,
这样,一个齐次马氏链,可以由一个转移概率矩阵P以及在时刻零时状态x =0,1,2,…的概率分布列向量
Q=(q(0),q(1),…)
完全确定。由齐次马氏链性质知道,第i状态的行向量A i与第i+1状态的行向量A i+1之间存在着关系式:A i+1=A i P。
二、齐次马氏链在评估教学质量中的应用
教学过程是一个随机过程,也就是说,对于具有相同基础知识背景的学生(个体),在同时接受新知识时是随机的。我们可以把一个班(群体)的学生划分为不同的等级(譬如:优、良、中、及格、不及格五个等级),近似地认为处于同一等级的学生具有相同的基础知识,用齐次马氏链,通过学生学习状态的转移概率矩阵,最终可以预测一个班学生学习成绩的稳定状态。对教师而言,也就可用来评估、预测一个班的教学质量。
《马尔科夫链》课件
《马尔科夫链》PPT课件
马尔科夫链是一种概率模型,常用于描述离散时间过程的转移规律。本课件 将详细介绍马尔科夫链的概述、基本概念、应用和常见问题,并通过实际案 例分析展示其重要性和应用前景。
一、概述
定义
马尔科夫链是一种离散时间、离散状态的随机过程,其未来状态仅依赖于当前状态。
特点
马尔科夫链具有无后效性、状态转移 Markov 性、齐次性和有限状态空间等特点。
2
态?如何判断?
马尔科夫链在长期运行时会以何种形
式表现?
3
平稳分布
马尔科夫链是否存在一个平稳的状态 分布?如何计算?
五、马尔科夫链的实际案例分析
语音识别
马尔科夫链可用于语音识别系 统中,对语音信号进行建模和 识别。
股票涨跌预测
利用马尔科夫链分析历史股票 价格,预测未来股票价格的涨 跌趋势。
自然语言生成
通过马尔科夫链模型,生成具 有连贯性的自然语言文本。
六、总结
优点与缺点
马尔科夫链具有简化模型、 易于计算的优点,但忽略了 过去信息和状态空间有限的 缺点。
应用前景
随着人工智能和数据科学的 发展,马尔科夫链在各个领 域的应用将得到更广泛的推 广。
发展趋势
未来马尔科夫链可能进一步 发展和改进,并与其他模型 和技术相结合,实现更强大 的应用。
1 自然语言处理
数学建模——马尔科夫链模型ppt课件
(4.6)式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。
为了计算出Mn,我们将M对角化,即求出可逆矩 阵P和对角
库D,使
M=PDP-1 因而有
Mn=PDnP-1, n=1,2,…
其中
1 Dn 2
01n n2
0
3 0
n3
这 中里的M,1 ,易求2得,它的3 是特矩征值阵和M的特三征个向特量征:值。对于 (4.5)式
.
例4.6 设某商店经营情况可能有三种状态:
好(S1:利润丰厚)、一般(S2)和不好 (S3:亏损)。根据统计资料,上月状态为 Si,下月状态为Sj的概率为pij(i=1,2,3; j=1,2,3),0≤pij≤1
例4.6中的关系既可用一转移矩阵表示
p11 p12 p13
A
p21
p22
p23
an1an11 2bn10cn1
1
即
an an1 2bn1
(4.2)
类似可推出
bn 1 2bn1 cn1
(4.3) .
cn=0 (4.4)
将(4.2)、(4.3)、(4.4)式相加,得
a n b n c n a n 1 b n 1 c n 1
根据假设(I),可递推得出:
a n b n c n a 0 b 0 c 0 1
(a)假设:令n=0,1,2,…。
(i)设an,bn和cn分别表示第n代植物中,基因型 为AA,Aa和aa 的植物占植物总数的百分比 。令x (n)为第n代植物的基因型分
马尔可夫链精品PPT课件
定义2.2 称条件概率 pij(n)=P{Xn+1=j|Xn=i}
为马尔可夫链{Xn,n∈T}在时刻n的一步转移概率,简称 为转移概率,其中i,j∈I. 一般, 转移概率pij(n)不仅与状态i,j有关,而且与时刻 n有关.当pij(n)不依赖时刻n时,表示马尔可夫链具有平稳 转移概率.
定义2.3 若对任意的i,j∈I, 马尔可夫链{Xn,n∈T} 的转移概率pij(n)与时间n无关,则称马尔可夫链是齐 次的,(亦称是时齐的,即具有平稳转移概率)并记
式.
利用积事件的概率及上述定义知: P{X0=i0,X1=i1,…,Xn=in} =P{Xn=in|X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…, Xn-1=in-1} =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1} =… =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1|Xn-2=in-2}…P{X1=i1| X0=i0}P{X0=i0}.
一步转移概率矩阵具有性质: (1) pij≥0, i,j∈I;
(2) pij=1, i∈I. jI
通常称满足(1)、(2)性质的矩阵为随机矩阵. 为进一步讨论马尔可夫链的统计性质, 还须了解n步转 移概率,初始概率和绝对概率的概念. 定义2.4 称条件概率
pij(n)=P{Xm+n=j|Xm=i},i,j∈I,m≥0,n≥1
为马尔可夫链{Xn,n∈T}在时刻n的一步转移概率,简称 为转移概率,其中i,j∈I. 一般, 转移概率pij(n)不仅与状态i,j有关,而且与时刻 n有关.当pij(n)不依赖时刻n时,表示马尔可夫链具有平稳 转移概率.
定义2.3 若对任意的i,j∈I, 马尔可夫链{Xn,n∈T} 的转移概率pij(n)与时间n无关,则称马尔可夫链是齐 次的,(亦称是时齐的,即具有平稳转移概率)并记
式.
利用积事件的概率及上述定义知: P{X0=i0,X1=i1,…,Xn=in} =P{Xn=in|X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…, Xn-1=in-1} =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1} =… =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1|Xn-2=in-2}…P{X1=i1| X0=i0}P{X0=i0}.
一步转移概率矩阵具有性质: (1) pij≥0, i,j∈I;
(2) pij=1, i∈I. jI
通常称满足(1)、(2)性质的矩阵为随机矩阵. 为进一步讨论马尔可夫链的统计性质, 还须了解n步转 移概率,初始概率和绝对概率的概念. 定义2.4 称条件概率
pij(n)=P{Xm+n=j|Xm=i},i,j∈I,m≥0,n≥1
第5章 马尔可夫链 PPT
《应用数学基础》
应用随机过程
(Applied Stochastic processes)
2011年秋季学期
第5章 马尔可夫链
5.1 引言 本章,首先考察取有限个值或者可数个可能值的随机过
程{Xn,n=0,1,2,…}.一般将这种随机过程的可能值的集合 也记为{0,1,2,…}(即状态空间也是非负整数集).
可见一旦Markov链的初始分布P{X0=i0}给定,其统计特 性
马尔可夫链
Biblioteka Baidu
如何确定这个条件概率,是Markov链理论和应用中的重
要问题之一.
• 一般情况下,转移概率pij与状态i,j和时间n有关. 当有Markov链的转移概率P{Xn+1=j|Xn=i},只与状态i,j
关,而与n无关时,称Markov链为时齐的;否则,称为非时齐
适当的单位来计算(如天,月等), 初始盈余S0=x显然为
已知,但未来的盈余S1,S2,…却必须视为随机变量,增量
Sn-Sn-1解释为n-1和n之间获得的盈利(可以为负).假定
X1,X2,…是不包含利息的盈利且独立同分布于F(x),则
马尔可夫链
Sn=Sn-1(1+i)+Xn , i为固定的利率,{Sn,n≥0}是一个Markov链,转移概率为
状态3,如果昨天和今天都没有下雨.
这就将题目所给的过程转变成了一个具有4个状态的马尔
应用随机过程
(Applied Stochastic processes)
2011年秋季学期
第5章 马尔可夫链
5.1 引言 本章,首先考察取有限个值或者可数个可能值的随机过
程{Xn,n=0,1,2,…}.一般将这种随机过程的可能值的集合 也记为{0,1,2,…}(即状态空间也是非负整数集).
可见一旦Markov链的初始分布P{X0=i0}给定,其统计特 性
马尔可夫链
Biblioteka Baidu
如何确定这个条件概率,是Markov链理论和应用中的重
要问题之一.
• 一般情况下,转移概率pij与状态i,j和时间n有关. 当有Markov链的转移概率P{Xn+1=j|Xn=i},只与状态i,j
关,而与n无关时,称Markov链为时齐的;否则,称为非时齐
适当的单位来计算(如天,月等), 初始盈余S0=x显然为
已知,但未来的盈余S1,S2,…却必须视为随机变量,增量
Sn-Sn-1解释为n-1和n之间获得的盈利(可以为负).假定
X1,X2,…是不包含利息的盈利且独立同分布于F(x),则
马尔可夫链
Sn=Sn-1(1+i)+Xn , i为固定的利率,{Sn,n≥0}是一个Markov链,转移概率为
状态3,如果昨天和今天都没有下雨.
这就将题目所给的过程转变成了一个具有4个状态的马尔
10第四章马尔可夫链精品PPT课件
1. pj(n) pipi(jn) iI
2. pj(n) pi(n1)pij i I
3. PT(n)PT(0)P(n)
4. PT(n)PT(n1)P
证明
定理4.3
设{Xn,n∈T}为马尔可夫链,则对任意i1, …,in∈I和 n≥1,有
证明
P { X 1 i1 , ,X n in } p ip i1 i p in 1 in i I
第四章 马尔可夫链
1. 马尔可夫链定义 2. 一步转移概率及多步转移概率 3. 初始概率及绝对概率 4. Chapman-Kolmogorov(C-K)方程 5. 遍历的马尔可夫链及 6. 马尔可夫链状态分类
时间、状态都是离散的马尔可夫过程,称 为马尔可夫链。
例如:天气预报 质点的随机游动
例如:在某数字通信系统中传递0,1两种 信号,且传递需要经过若干级。因为系统中有 噪声,各级将造成错误,若某级输入0,1信号 后,其输出不产生错误的概率为p,产生错误 的概率为1-p,则该级的输入输出状态构成了 一个两个状态的马氏链。
P{Xm2 0, Xm1 1,Xm 0}P{Xm1 1,Xm 0}
P{Xm1 1,Xm 0}P{Xm 0}
P{Xm2 0|Xm1 0,Xm 0}P{Xm1 0|Xm 0}
P{Xm2 0 | Xm1 1,Xm 0}P{Xm1 1|Xm 0}
P{Xm2 0|Xm1 0}P{Xm1 0|Xm0} P{Xm2 0|Xm1 1}P{Xm1 1|Xm0}
2. pj(n) pi(n1)pij i I
3. PT(n)PT(0)P(n)
4. PT(n)PT(n1)P
证明
定理4.3
设{Xn,n∈T}为马尔可夫链,则对任意i1, …,in∈I和 n≥1,有
证明
P { X 1 i1 , ,X n in } p ip i1 i p in 1 in i I
第四章 马尔可夫链
1. 马尔可夫链定义 2. 一步转移概率及多步转移概率 3. 初始概率及绝对概率 4. Chapman-Kolmogorov(C-K)方程 5. 遍历的马尔可夫链及 6. 马尔可夫链状态分类
时间、状态都是离散的马尔可夫过程,称 为马尔可夫链。
例如:天气预报 质点的随机游动
例如:在某数字通信系统中传递0,1两种 信号,且传递需要经过若干级。因为系统中有 噪声,各级将造成错误,若某级输入0,1信号 后,其输出不产生错误的概率为p,产生错误 的概率为1-p,则该级的输入输出状态构成了 一个两个状态的马氏链。
P{Xm2 0, Xm1 1,Xm 0}P{Xm1 1,Xm 0}
P{Xm1 1,Xm 0}P{Xm 0}
P{Xm2 0|Xm1 0,Xm 0}P{Xm1 0|Xm 0}
P{Xm2 0 | Xm1 1,Xm 0}P{Xm1 1|Xm 0}
P{Xm2 0|Xm1 0}P{Xm1 0|Xm0} P{Xm2 0|Xm1 1}P{Xm1 1|Xm0}
马尔科夫链的状态分类PPT课件
证3
若i k ,k j 则由相通定义,
存在 m
0
和n
0
,使
p(m) ik
0
,
p(n) kj
0
根据切普曼---柯尔莫哥洛夫方程,有
p(mn) ij
p p (m) (n) ir rj
p p (m) (n) ik kj
0
rS
即存在m n 0 ,使pi(jmn) 0 所以有i j
同理可证 若 j k ,k i ,则 j i
n0
p(n) ii
n0
由定理4,得证。
n0
第16页/共52页
说明 本定理的等价形式:
i为瞬时态,当且仅当
p(n) ii
n0
定理6 如果i为常返态,且 i j ,则j也是常返态。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
i j 证 因
所以存在m
0 ,n 0
使pi(jm)
0
,
p(n) ji
0
对于任意的s 0 ,由切普曼---可尔莫哥洛夫方程得
ij
jj
0
m1
从而
f (1) ij
,
f (2) ij
,…,
f (n) ij
中至少有一个为正,
所以 fij
f (m) ij
0
m1 第12页/共52页
必要性
若i k ,k j 则由相通定义,
存在 m
0
和n
0
,使
p(m) ik
0
,
p(n) kj
0
根据切普曼---柯尔莫哥洛夫方程,有
p(mn) ij
p p (m) (n) ir rj
p p (m) (n) ik kj
0
rS
即存在m n 0 ,使pi(jmn) 0 所以有i j
同理可证 若 j k ,k i ,则 j i
n0
p(n) ii
n0
由定理4,得证。
n0
第16页/共52页
说明 本定理的等价形式:
i为瞬时态,当且仅当
p(n) ii
n0
定理6 如果i为常返态,且 i j ,则j也是常返态。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
i j 证 因
所以存在m
0 ,n 0
使pi(jm)
0
,
p(n) ji
0
对于任意的s 0 ,由切普曼---可尔莫哥洛夫方程得
ij
jj
0
m1
从而
f (1) ij
,
f (2) ij
,…,
f (n) ij
中至少有一个为正,
所以 fij
f (m) ij
0
m1 第12页/共52页
必要性
马尔可夫链课件
pij (n) 0,i,j S,n 0; pij (n) 1,i S,n 0.
jS
二、转移概率
定义2 设 { X n,n 0} 是马尔可夫链,若其一步转移 概率 pij 与时间 n 无关,即
pij P{ X n 1 j | X n i} P{ X1 j | X 0 i}
n
P P X i |X ik k 1 和 1 P{ X n j | X n 1 i} 确定. {kX i} 分布 条件概率 0 k P X 0 i0,X 1 i1, ,X k 2 ik 2 马氏性
P X k 1 ik 1 | X 0 i0, ,X k 2 ik 2 P X k ik |X k 1 ik 1
n
n 1
t
二、转移概率
设{ X n,n 0} 是马尔可夫链,对任意的 k 1 ,计算 的联合分布律 X 0,X1, ,X k 1,X k 乘法公式
P X 0 i0,X1 i1, ,X k 1 ik 1,X k ik
, i1, ,X k 1 ik 1 P X 马氏性 P P X00 ii00 X X1P X k ik |X k 1 ik 1 1 i1 | X 0 i0 P X k ik |X 0 i0,X 1 i1, ,X k 1 ik 1 P i1, ,X X 0 i0,X1 { 1 i k 1 即马尔可夫链 X, n k 0}的有限维分布完全由初始
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这样,一个齐次马氏链,可以由一个转移概率矩阵 P 以及在时刻零时 状态x=0,1,2,…的概率分布列向量
Q=(q(0),q(1),…)
完全确定。由齐次马氏链性质知道,第 i 状态的行向量Ai 与第i+1 状态的行向量Ai+1 之间存在着关系式:Ai+1=AiP。
二、齐次马氏链在评估教学质量中的应用
教学过程是一个随机过程,也就是说,对于具有相同基础知识背景的 学生(个体),在同时接受新知识时是随机的。我们可以把一个班(群体) 的学生划分为不同的等级(譬如:优、良、中、及格、不及格五个等级), 近似地认为处于同一等级的学生具有相同的基础知识,用齐次马氏链,通 过学生学习状态的转移概率矩阵,最终可以预测一个班学生学习成绩的稳 定状态。对教师而言,也就可用来评估、预测一个班的教学质量。
由于齐次马氏链与t 时刻前的状态无关(呈无后效性),可以研究当 t 变化时,状态向量 R(t)的变化规律,从而对教学效果进行评估。
设经第一次考试,一个班n 个学生中,优、良、中、及格、不及格的 学生数分别为ni(i=1,2,3,4,5),则状态向量
Fra Baidu bibliotek称作初始向量。为考察教学效果,继续分析下一次考试时,上述学生 的等级变化。若经第二次考试后,原来获优等成绩的n1 名学生中,仍保 持优等的是n11 人,转化为“良”,“中”,“及格”,“不及格”的学 生分别有n12,n13,n14,n15人,于是,第一次考试成绩优等的学生考试成 绩转移情况是
同样,其余各个等级的学生的考试成绩转移情况是
向量中nij(i,j=1,2,3,4,5)表示从状态 i 变成状态j 的人数。 这一转移情况用矩阵表示为
2
P 为转移概率矩阵,简称转概阵。
符合齐次马氏链学习状态转移概率矩阵的学生学习成绩最终必然趋 于平稳状态
即 X=X·P,
X=(x1,x2,x3,x4,x5),
在教学效果指标的量化过程中,齐次马氏链评估法是将一个群体(如 一个班或一个年级)的学生在某次考试中获得优(90 分以上)、良(80~89 分)、中(70~79 分)、及格(60~69 分)和不及格(59 分以下)各等级学生 人数占总人数之比,作为状态变量,并用向量表示之。即
1
R(t)=(X1(t),X2(t),X3(t),X4(t),X5(t)),
A3=A2P=(p31p23,p23p32,0,0,p24),
p24(P23P32+1)。
应用齐次马氏链的关键在于找到一个转移概率矩阵中的 pij,这就要从 两个方面去控制,一是通过具体题目的解题过程划分几个不同状态(这一 点相对来说是比较困难的),二是通过解题时间来控制解题过程,以分析 整个群体a 的解题状态。例如,要求 40 名学生在 10 分钟内完成一个题目: 求证:P1(2,3),P2(4,6),P3(66,9)三点共线。
也即 X(E-P)=0,
解此线性方程组,可得状态 R(t)时学生学习成绩的平稳分布 X。 下面,我们仍以第一节表 5-1 中的 15 名学生的成绩为例,分析这一 群体在两次考试中学生等级的变化。按优、良、中、及格、不及格五等划 分,分别是 2 人、4 人、4 人、5 人和 0 人,因此,
各个等级学生转移情况分别是
马尔可夫链是指时间离散,状态也离散的马尔可夫过程。一个马尔可 夫链,若从u 时刻处于状态i,转移到t+u 时刻处于状态j 的转移概率 与 转移的起始时间u 无关,则称之为齐次马尔可夫链,简称齐次马氏链。
如果把从状态i 到状态 j 的一步转移概率记为pij,则 pij=P{Xn+1=j| Xn=i},i,j=0,1,2,…,且有转移概率矩阵P,
三、齐次马氏链在评估解题状态中的应用
解决问题是数学教育的一项主要任务。如果能够把一个题目,按学生 解题的认知过程的发展,分解成几个不同层次的状态,那么就可以用齐次 马氏链去测量一个群体(如一个班或一个年级的学生)解决问题的能力与 状况。
首先,我们认为解决一个问题的过程是由分析S1、设计S2、探究S3、 实施S4 和验证S5 这样五个状态组成的,并且这五个状态存在如图 5-2 的 关系。分成了上面五个状态,我们可以认为解决问题的后一状态只与它的 前一个状态有关,而与它的更前面的状态无关。这就完全符合齐次马氏链 所要求的条件。
A0=(1,0,0,0,0), A1=(0,1,0,0,0),
当然,对于这个题目,如何比较客观去分析解题状态,即究竟做到哪 一步才是从分析S1 到设计S2,哪一步才算是从设计S2 到实施S4,这是比 较困难的。但是,如果运用时间去控制解题状态,还是切实可行的。设 8 分钟以后,有 30 名学生圆满地证明了这个题目,剩下的 10 名学生中,经 过老师的适当提示,又有 6 名学生完成了该题。这样对照关系流
第二节 齐次马尔可夫链
一、齐次马尔可夫链的概念
一个随机过程{Xn,n=0,1,2,…}就是一族随机变量,而 Xn 能取 的各个不同的值,则称为状态。如果一个随机过程{Xn,n=0,1,2,…}, 由一种状态转移到另一种状态的转移概率只与现在处于什么状态有关,而 与在这时刻之前所处的状态完全无关,即如果过程{Xn,n=0,1,2,… } 中,Xn+1的条件概率分布只依赖于Xn 的值,而与所有更前面的值相互独 立, 则该过程就是所谓马尔可夫(Markov)过程.
3
第二次考试成绩分布状态
按照这个变化规律,第三次考试成绩分布状态
即在第三次考试后,学生中优等、良等的人数减少了,而中等的人数 和及格的人数却在增加。这样,就可以分析这组学生群体的变化状态。设 该过程的平稳状态分布列为X,由于
(E-P)TX=0,
4
从而可以断定,最终只有中等和及格两等级的学生,其人数分别占总 数的 56%和 44%。
5
图 5-2 的关系流程图,存在一个状态转移概率矩阵
其中p23+p24=1,p31+p32=1。 如果图 5-2 的关系流程图第 i 阶段的行向量为
由于
Ai=(a1,a2,a3,a4,a5),
A0=(1,0,0,0,0),
从 而 A1=(0,1,0,0,0), A2=A1P=(0,0,p23,p24,0),
Q=(q(0),q(1),…)
完全确定。由齐次马氏链性质知道,第 i 状态的行向量Ai 与第i+1 状态的行向量Ai+1 之间存在着关系式:Ai+1=AiP。
二、齐次马氏链在评估教学质量中的应用
教学过程是一个随机过程,也就是说,对于具有相同基础知识背景的 学生(个体),在同时接受新知识时是随机的。我们可以把一个班(群体) 的学生划分为不同的等级(譬如:优、良、中、及格、不及格五个等级), 近似地认为处于同一等级的学生具有相同的基础知识,用齐次马氏链,通 过学生学习状态的转移概率矩阵,最终可以预测一个班学生学习成绩的稳 定状态。对教师而言,也就可用来评估、预测一个班的教学质量。
由于齐次马氏链与t 时刻前的状态无关(呈无后效性),可以研究当 t 变化时,状态向量 R(t)的变化规律,从而对教学效果进行评估。
设经第一次考试,一个班n 个学生中,优、良、中、及格、不及格的 学生数分别为ni(i=1,2,3,4,5),则状态向量
Fra Baidu bibliotek称作初始向量。为考察教学效果,继续分析下一次考试时,上述学生 的等级变化。若经第二次考试后,原来获优等成绩的n1 名学生中,仍保 持优等的是n11 人,转化为“良”,“中”,“及格”,“不及格”的学 生分别有n12,n13,n14,n15人,于是,第一次考试成绩优等的学生考试成 绩转移情况是
同样,其余各个等级的学生的考试成绩转移情况是
向量中nij(i,j=1,2,3,4,5)表示从状态 i 变成状态j 的人数。 这一转移情况用矩阵表示为
2
P 为转移概率矩阵,简称转概阵。
符合齐次马氏链学习状态转移概率矩阵的学生学习成绩最终必然趋 于平稳状态
即 X=X·P,
X=(x1,x2,x3,x4,x5),
在教学效果指标的量化过程中,齐次马氏链评估法是将一个群体(如 一个班或一个年级)的学生在某次考试中获得优(90 分以上)、良(80~89 分)、中(70~79 分)、及格(60~69 分)和不及格(59 分以下)各等级学生 人数占总人数之比,作为状态变量,并用向量表示之。即
1
R(t)=(X1(t),X2(t),X3(t),X4(t),X5(t)),
A3=A2P=(p31p23,p23p32,0,0,p24),
p24(P23P32+1)。
应用齐次马氏链的关键在于找到一个转移概率矩阵中的 pij,这就要从 两个方面去控制,一是通过具体题目的解题过程划分几个不同状态(这一 点相对来说是比较困难的),二是通过解题时间来控制解题过程,以分析 整个群体a 的解题状态。例如,要求 40 名学生在 10 分钟内完成一个题目: 求证:P1(2,3),P2(4,6),P3(66,9)三点共线。
也即 X(E-P)=0,
解此线性方程组,可得状态 R(t)时学生学习成绩的平稳分布 X。 下面,我们仍以第一节表 5-1 中的 15 名学生的成绩为例,分析这一 群体在两次考试中学生等级的变化。按优、良、中、及格、不及格五等划 分,分别是 2 人、4 人、4 人、5 人和 0 人,因此,
各个等级学生转移情况分别是
马尔可夫链是指时间离散,状态也离散的马尔可夫过程。一个马尔可 夫链,若从u 时刻处于状态i,转移到t+u 时刻处于状态j 的转移概率 与 转移的起始时间u 无关,则称之为齐次马尔可夫链,简称齐次马氏链。
如果把从状态i 到状态 j 的一步转移概率记为pij,则 pij=P{Xn+1=j| Xn=i},i,j=0,1,2,…,且有转移概率矩阵P,
三、齐次马氏链在评估解题状态中的应用
解决问题是数学教育的一项主要任务。如果能够把一个题目,按学生 解题的认知过程的发展,分解成几个不同层次的状态,那么就可以用齐次 马氏链去测量一个群体(如一个班或一个年级的学生)解决问题的能力与 状况。
首先,我们认为解决一个问题的过程是由分析S1、设计S2、探究S3、 实施S4 和验证S5 这样五个状态组成的,并且这五个状态存在如图 5-2 的 关系。分成了上面五个状态,我们可以认为解决问题的后一状态只与它的 前一个状态有关,而与它的更前面的状态无关。这就完全符合齐次马氏链 所要求的条件。
A0=(1,0,0,0,0), A1=(0,1,0,0,0),
当然,对于这个题目,如何比较客观去分析解题状态,即究竟做到哪 一步才是从分析S1 到设计S2,哪一步才算是从设计S2 到实施S4,这是比 较困难的。但是,如果运用时间去控制解题状态,还是切实可行的。设 8 分钟以后,有 30 名学生圆满地证明了这个题目,剩下的 10 名学生中,经 过老师的适当提示,又有 6 名学生完成了该题。这样对照关系流
第二节 齐次马尔可夫链
一、齐次马尔可夫链的概念
一个随机过程{Xn,n=0,1,2,…}就是一族随机变量,而 Xn 能取 的各个不同的值,则称为状态。如果一个随机过程{Xn,n=0,1,2,…}, 由一种状态转移到另一种状态的转移概率只与现在处于什么状态有关,而 与在这时刻之前所处的状态完全无关,即如果过程{Xn,n=0,1,2,… } 中,Xn+1的条件概率分布只依赖于Xn 的值,而与所有更前面的值相互独 立, 则该过程就是所谓马尔可夫(Markov)过程.
3
第二次考试成绩分布状态
按照这个变化规律,第三次考试成绩分布状态
即在第三次考试后,学生中优等、良等的人数减少了,而中等的人数 和及格的人数却在增加。这样,就可以分析这组学生群体的变化状态。设 该过程的平稳状态分布列为X,由于
(E-P)TX=0,
4
从而可以断定,最终只有中等和及格两等级的学生,其人数分别占总 数的 56%和 44%。
5
图 5-2 的关系流程图,存在一个状态转移概率矩阵
其中p23+p24=1,p31+p32=1。 如果图 5-2 的关系流程图第 i 阶段的行向量为
由于
Ai=(a1,a2,a3,a4,a5),
A0=(1,0,0,0,0),
从 而 A1=(0,1,0,0,0), A2=A1P=(0,0,p23,p24,0),