一元一次方程的解法(2019年8月整理)
小专题5 特殊一元一次方程的解法技巧
������ 2
-
������ 3
+
������ 3
-
������ 4
+
������ 4
−
������ 5
=1.
解得 x=54.
7.解方程:3������ + ������5-2=337 − 61-35������. 解(巧用对消法):
因为-61-35������ = ������5-2,
原方程可化为������
化简,得-23������5+1 = -������1-210. 解得 x=-31612.
类型 3 含括号的一元一次方程
9.解方程:32
2 3
������ 4
-1
-2 -x=2.
解(巧用倒数关系去括号): 去括号,得4������-1-3-x=2. 移项、合并同类项,得-34x=6. 系数化为 1,得 x=-8.
类型1 分子分母含小数的一元一次方程
1.解方程:4���0���-.15.6
−
3������-5.4 0.2
=
10.8.1-������.
解(巧化分母为1):
去分母,得2(4x-1.6)-5(3x-5.4)=10(1.8-x).
去括号,得8x-3.2-15x+27=18-10x.
移项,得8x-15x+10x=3.2-27+18.
合并同类项,得3x=-5.8. 系数化为1,得 x=-2195.
2.解方程:0���.���6 − 0.106.-006.5������=1.
解(巧化为同分母):
化为同分母,得00..106������
−
0.16-0.5������ 0.06
一元一次方程的概念与解法(复习)
3.3解一元一次方程(去括号)【目标导航】1.掌握有括号的一元一次方程的解法；2.通过列方程解决实际问题，感受到数学的应用价值；3.培养分析问题、解决问题的能力．【预习引领】1． 化简：⑴()()=+-+--33121y y ⑵()()=-+--a a 24523 2．问题 某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000度，全年用电15万度.这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？ 3．你会用方程解这道题吗？设上半年每月平均用电x 度，则下半年每月平均用电 度；上半年共用电 度，下半年共用电 度. 列方程为 . 4．这个方程与上一课所解方程有何不同点？怎样使这个方程向a x =的形式转化呢？【要点梳理】知识点: 有括号的一元一次方程的解法引例：解方程()15000200066=-+x x 解：注：1.根据 ，先去掉等式两边的小括号，然后再移项、合并、系数化为12.本题用 的思想，将有括号的方程转化为已学的无括号的方程.例1 解方程()()323173+-=--x x x注：运算过程中，特别防止符号的错误. 练习1：解下列方程()()()41232341+-=-+x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1317242162x x x例2 解方程，并说明每步的依据：()[]{}()1082721324321--=+---x x注：⑴有多重括号，通用方法是由里向外依次去括号.⑵在去括号的过程中，可以同时作合并变形.练习2：解下列方程(1)()[]()21453123+-=---x x（2）()[]()51315.04210+-=----x x例3 已知关于x 方程()542+=-ax x ⑴当a 时，方程有唯一解； ⑵当a 时，方程无解；【课堂操练】 1． 将多项式()()24322+--+x x 去括号得 ，合并得 . 2．方程()()()x x x -=---1914322去括号得 ，这种变形的根据是 . 3．解方程： ⑴()62338=+-y y ⑵()33322+-=+-x x x⑶()()63734--=+x x⑷()()()36411223125+=+-+x x x⑸()()()121212345--=+--x x x⑹()[]()2321432-=+--x x x⑺()[]{}1720815432=----x4．已知关于x 的方程()ax x =-+324无解，求a 的值.【课后盘点】1．若关于x 的方程b x x a 3746-=+的解是1=x ，则a 和b 满足的关系式是 . 2．当=x 时，式子()23-x 和()434-+x 的值相等.3．比方程()472=+x 的解的3倍小5的数是 . 4．已知公式()h b a S +=21中，60=S ，6=a ，6=h ，则=b .5.化简下列各式⑴()()223248y xy y xy +-+---⑵()[]a b a b a +----22⑶()[]()y x y x +----25⑷()[]152322+---x x x x6.方程()113=--x x 的根是( ) A ．2=x B ．1=x C ．0=x D ．1-=x 7．下列去括号正确的是( )A ．()1123=--x x 得4123=--x xB ．()x x =++-314得x x =++-344C ．()59172+-=-+x x x 得59772+-=--x x x D ．()[]21423=+--x x 得24423=++-x x8．解下列方程 ⑴()212-=--t⑵()()32523-=+x x⑶()()23341+=+-x x⑷()()x x x 3234248--+=+⑸()()()x x x -=---1914322 ⑹()x x 415126556=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++9．已知关于x 的方程()3245-=-x ax 无解，求a 的值.10．若x A 34-=，x B 45+=，且B A 3202+=.求x 的值.【课外拓展】1.已知关于x 的方程()251-=-x x m 有唯一解，求m 的值.2.已知关于x 的方程()()b x a x a 3512+-=-有无数多个解，求a 、b 的值.3．三年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，三年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，求父子两人现在的年龄各是多少岁？（设计人：江云桂）No ．4一元一次方程的概念与解法(复习)【目标导航】1.复习一元一次方程的概念、等式的性质、一元一次方程的解法；2.能根据题意列一元一次方程解决实际问题；【预习引领】1． 方程，一元一次方程，方程的解； 2． 等式性质；3． 解一元一次方程的步骤及每一步的依据。
清单03一元一次方程(五大考点梳理题型解读解决实际问题12种题型)(原卷版)
清单03 一元一次方程（五大考点梳理+题型解读+解决实际问题12种题型）【知识导图】【知识清单】考点一、一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．【例1】（2022秋•颍州区期末）下列各式中，是方程的个数为（）①x＝0；②3x﹣5＝2x+1；③2x+6；④x﹣y＝0；⑤＝5y+3；⑥a2+a﹣6＝0．A．2个B．3个C．5个D．4个2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．【例2】（2022秋•汉台区期末）已知（m﹣3）x|m|﹣2＝18是关于x的一元一次方程，则（）A．m＝2B．m＝﹣3C．m＝±3D．m＝13．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．【例3】（2023春•蒸湘区校级期末）若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（）A．﹣4B．4C．﹣8D．8【变式】（2022秋•宁阳县期末）若一元一次方程ax+b＝0的解是x＝1，则a，b的关系为（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．互为负倒数4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．考点二、等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．【例4】（2022秋•雅安期末）下列等式变形错误的是（）A．若，则x﹣1＝2xB．若x﹣1＝3，则x＝4C．若x﹣3＝y﹣3，则x﹣y＝0D．若3x+4＝2x，则3x﹣2x＝﹣42．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．考点三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解bxa(a≠0)．(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．【例5】（2022秋•东宝区期末）解方程：（1）4﹣2x＝﹣3（2﹣x）；（2）．考点四、列方程解应用题的步骤：①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）【例6】（2022秋•汇川区期末）如图，已知数轴上有A，B两点，它们分别表示数a，b，且（a+6）2+|b﹣12|＝0．（1）填空：a＝，b＝；（2）点C以2个单位长度/秒的速度从点A向点B运动，到达点B后停止运动．若点D为AC中点，点E为BC中点，在点C运动过程中，线段DE的长度是否发生改变？若不变，求线段DE的长度，若变化，请说明原因；（3）在（2）的条件下，点P以1个单位长度/秒的速度同时从原点O向点B运动，P点到达B点后停止运动，问点P运动多少秒后，点P与点C相距2个单位长度？【例7】（2022秋•秦淮区期末）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2015年5月1日起对居民生活用电实施“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：一户居民一个月用电量的范围电费价格（元/千瓦时）不超过150千瓦时的部分a 超过150千瓦时，但不超过300千瓦时的部分b 超过300千瓦时的部分a +0.32015年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交费60元；居民乙用电200千瓦时，交费125元． （1）求上表中a 、b 的值；（2）实施“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时，其当月交费285元？【例8】．（2022秋•常州期末）列方程解决问题：小华和妈妈一起玩成语竞猜游戏，商定如下规则：小华猜中1个成语得2分，妈妈猜中1个成语得1分，结果两人一共猜中了30个成语，得分恰好相等．请问小华猜中了几个成语？考点五、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+ 7.数字问题；8.分配问题； 9.比赛积分问题；10.水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度水流速度）．题型1.配套问题1.某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？2.某车间有62个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个．已知每3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？题型2.销售问题销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。
一元一次方程的解法及其应用(含答案)初中数学
一元一次方程的解法及其应用［教学目标］1. 经历从具体问题中的数量相等关系，列出方程的过程，体会并认识到方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
2. 了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，了解方程的基本变形及其在解方程中的作用。
3. 会解一元一次方程，并经历和体会解方程中“转化”的过程和思想，了解一元一次方程解法的一般步骤，并能正确、灵活运用。
4. 会根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。
5. 通过实践与探索过程，体会数学建模思想，提高分析和解决实际问题的能力。
【典型例题】例1. 已知()||m x m +=-320032是关于x 的一元一次方程，求m 的值。
解：由一元一次方程的定义可知： ||m m -=+2130，且≠由||||m m m -===2133，得，则± 又由m m +-303≠，得≠ ∴m =3小结：方程ax b a a b +=00()≠，且、为已知数是关于x 的一元一次方程，这里包含有（1）未知数只有一个，且未知数的最高次数是“1”。
（2）未知数的系数合并后不能为零。
（3）它必须是等式。
例2. 已知x =23是一元一次方程334325()m x x m-+=的解，则m 的值是多少？ 解：因为x =23是方程334325()m x x m-+=的解，所以3342332235()m m -+=××即33215m m -+=解得m =-14小结：方程的解是指满足方程两边相等的未知数的值，x =23是原方程的解，则把原方程中的x 换成23后等式仍然成立。
从而可以得到另一个关于m 的方程求解。
例3. 解下列方程：（1）5263x x +=-（2）0408613...x x -=- （3）30%70%(440%x x x ++=-)（4）32234122[()]xx ---= （5）97352775x x +=-（6）21431233436()()()x x x -+-=-+ （7）x x +--=-40230516...解：（1）5263x x +=-移项得： 2365+=-x x 合并同类项得：5=x ∴x =5（2）由方程0408613...x x -=-两边同时乘以10得： 486013x x -=-413608x x +=+ 1768x = x =4（3）30%70%(440%x x x ++=-) 方程两边都乘以100得： 3070440x x x ++=-()3744x x x ++=-() 372840x x x +++= 1428x =- x =-2（4）32234122[()]xx ---=去中括号得：()xx 4132---=xx 4132---= x x --=1648 -=324x x =-8 （5）97352775x x +=-97273575x x -=--x =-2（6）21431233436()()()x x x -+-=-+ 21431233436()()()x x x -----=()()x ---=321412346436()x -=4126x -= 418x =x =92（7）x x +--=-40230516...545022320516().()..x x +--=-××5202616x x +-+=-. 3276x =-. x =-92.例 4. 如果关于x 的方程23523331432x x n x n n -=--=+-与()的解相同，求()n -3582的值。
一元一次方程专题训练
专题一：一元一次方程的解法1.解方程：(1)5x＋5＝9－3x；解：移项、合并同类项得8x＝4，解得x＝1 2 .(2)5x＝3(2＋x)；解：去括号得5x＝6＋3x.移项、合并同类项得2x＝6，解得x＝3.(3)7－2x＝3－4(x－2)；解：去括号得7－2x＝3－4x＋8，移项、合并同类项得2x＝4，解得x＝2.(4)3(2x＋1)＝9－2(x－1)；解：去括号得6x＋3＝9－2x＋2，移项、合并同类项得8x＝8，解得x＝1.(5)753 48x-=；解：去分母得14x－10＝3，移项、合并同类项得14x＝13，解得x＝13 14.(6)2154 36x x-+=；解：去分母得2(2x－1)＝5x＋4，去括号得4x－2＝5x＋4，移项、合并同类项得－x＝6，解得x＝－6.(7)4353146x x-+-=；解：去分母得12－3(4－3x)＝2(5x＋3)，去括号得12－12＋9x＝10x＋6，移项、合并同类项得－x＝6，解得x＝－6.(8)34=1.6 0.50.2x x-+-；解：方程整理得10305x-－10402x+＝1.6，去分母得2(10x－30)－5(10x＋40)＝16，去括号得20x－60－50x－200＝16，移项、合并同类项得－30x＝276，解得x＝－9.2.(9)1+2=224x xx---；解：去分母得4x－2(x－1)＝8－(x＋2)，去括号得4x－2x＋2＝8－x－2，移项、合并同类项得3x＝4，解得x＝4 3 .(10)(x－4)－(4)12x--＝3－(4)23x-+.解：方法一：令x－4＝y，则原方程可变形为y－12y-＝3－23y+.去分母得6y－3(y－1)＝18－2(y＋2)，去括号得6y－3y＋3＝18－2y－4，移项、合并同类项得5y＝11，解得y＝115，则x－4＝115，解得x＝315.方法二：方程整理得x－52x-＝7－23x-，去分母得6x－3(x－5)＝42－2(x－2)，去括号得6x－3x＋15＝42－2x＋4，移项、合并同类项得5x ＝31，解得x ＝315. 2.方程2(x －1)－3(x ＋1)＝0的解与关于x 的方程2k x +－3k －2＝2x 的解互为相反数，求k 的值.解：方程2(x －1)－3(x ＋1)＝0，去括号得2x －2－3x －3＝0，移项、合并同类项得－x ＝5，解得x ＝－5. 由题意得2k x +－3k －2＝2x 的解为x ＝5. 把x ＝5代入得52k +－3k －2＝10， 去分母得k ＋5－6k －4＝20，移项、合并同类项得－5k ＝19，解得k ＝－195. 3.已知关于x 的一元一次方程4x ＋2m ＝3x －1.(1)求这个方程的解；解：(1)移项，得4x －3x ＝－1－2m .所以x ＝－1－2m .(2)若这个方程的解与关于x 的方程3(x ＋m )＝－(x －1)的解相同，求m 的值.(2)去括号，得3x ＋3m ＝－x ＋1.移项、合并同类项，得4x ＝1－3m .解得x ＝134m -. 由于两个方程的解相同， 所以－1－2m ＝134m -. 去分母、去括号得－4－8m ＝1－3m ，移项、合并同类项，得－5m ＝5.解得m ＝－1.4.已知m 为整数，且满足关于x 的方程(2m ＋1)x ＝3mx －1.(1)当m ＝2时，求方程的解；解：(1)当m ＝2时，原方程为5x ＝6x －1，解得x ＝1.(2)该方程的解能否为3，请说明理由；(2)方程的解不能为3.理由如下：将x＝3代入原方程，得3(2m＋1)＝9m－1，解得m＝4 3 .∵m为整数，∵方程的解不可能为3.(3)当x为正整数时，请求出m的值.(3)(2m＋1)x＝3mx－1，移项、合并同类项，得(m－1)x＝1.∵x为正整数，∵m－1为正数且为1的约数.∵m为整数，∵m－1＝1.∵m＝2.5.小王在解关于x的方程2－243x-＝3a－2x时，误将－2x看作＋2x，得方程的解为x＝1. (1)求a的值；解：(1)把x＝1代入2－243x-＝3a＋2x，得2＋23＝3a＋2，解得a＝29.(2)求此方程正确的解.(2)把a＝29代入原方程得2－243x-＝23－2x.去分母得6－(2x－4)＝2－6x.去括号得6－2x＋4＝2－6x.移项得－2x＋6x＝－10＋2.合并同类项得4x＝－8.解得x＝－2.6.定义：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b＋a，则称该方程为“和解方程”.例如：2x＝－4的解为x＝－2，且－2＝－4＋2，则方程2x＝－4是“和解方程”.(1)判断－3x＝94是否是“和解方程”，说明理由；解：(1)∵－3x＝94，∵x＝－3 4 .∵94－3＝－34，∵－3x＝94是“和解方程”.(2)若关于x的一元一次方程5x＝m－2是“和解方程”，求m的值.(2)∵关于x的一元一次方程5x＝m－2是“和解方程”，∵m－2＋5＝25m. 解得m＝－174.故m的值为－174.专题二：方程中与的字母问题1.已知关于x的方程(m＋2)x|m＋1|－3＝0是一元一次方程，则m的值是( B)A.－2B.0C.1D.0或－22.若(|m|－1)x2－(m－1)x－8＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为( A)A.－1B.1C.±1D.不能确定3.已知关于x的方程ax－1＝x为一元一次方程，则|a－1|的值一定为( A)A.正数B.非负数C.零D.不能确定4.若(m－4)x2|m|－7－4m＝0是关于x的一元一次方程，求m2－2m＋1996的值.解：∵(m －4)x 2|m |－7－4m ＝0是关于x 的一元一次方程，∵m －4≠0且2|m |－7＝1.解得m ＝－4.∵原式＝16＋8＋1996＝2020.5.已知关于x 的方程2x －93a -＝0的解是x ＝－2，则a 的值为( C ) A.－21 B.21 C.－3 D.38.已知关于x 的方程x －46ax -＝43x +－1的解是正整数，则符合条件的所有整数a 的积是 . 9.在做解方程练习时，学习卷中有一个方程“2y －13＝13y ＋W ”中的W 没印清晰，小聪问老师，老师只是说：“W 是个有理数，该方程的解与方程3(x －1)－2(x －2)＝3的解相同.”小聪很快补上了这个常数，聪明的你能补上这个常数吗？ 解：解方程3(x －1)－2(x －2)＝3得x ＝2.由题意知y ＝x ＝2.将y ＝2代入2y －13＝13y ＋W 中， 得2×2－13＝13×2＋W ， 解得W ＝3.10.如果a ，b 为常数，且不论k 取何值时，关于x 的方程2kx a -－1＝24x bk -的解总是x ＝－1，求a b 的值. 解：把x ＝－1代入2kx a -－1＝24x bk -， 得2k a --－1＝24bk --. 整理，得(b －2)k －2a －2＝0.∵无论k 取何值时，关于x 的方程的解总是x ＝－1，∵b －2＝0，－2a －2＝0.解得b ＝2，a ＝－1.∵a b ＝(－1)2＝1.11.若a ，b 互为相反数(a ≠0)，则关于x 的方程ax ＋b ＝0的解是( A )A.x＝1B.x＝－1C.x＝1，或x＝－1D.不能确定12.已知|n＋2|＋(5m－3)2＝0，求关于x的方程10mx＋4＝3x＋n的解.解：因为|n＋2|＋(5m－3)2＝0，所以n＋2＝0，5m－3＝0.解得m＝35，n＝－2.将m＝35，n＝－2代入方程10mx＋4＝3x＋n，得6x＋4＝3x－2.移项、合并同类项得3x＝－6.解得x＝－2.专题三：一元一次方程的应用1.我国一航空母舰始终以60千米/时的速度由西向东航行，飞机以500千米/时的速度从舰上起飞，向西航行执行任务，如果飞机在空中最多能连续飞行3个小时，那么它在起飞几小时后就必须返航，才能安全停在舰上？解：设飞机在起飞x小时后就必须返航，才能安全停在舰上.根据题意得500(3－x)－500x＝60×3，解得x＝1.32.答：飞机在起飞1.32小时后就必须返航，才能安全停在舰上.2.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣.《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯.津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客.’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五.’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”解：设有x 位客人，则2x ＋3x ＋4x ＝65， 解得x ＝60.答：有60位客人.3.如图，一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板∵，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板∵与一块正方形纸板∵以及另两块长方形纸板∵和∵，恰好拼成一个大正方形，求大正方形的面积.解：设小正方形∵的边长为x 厘米.依题意得1＋x ＋2＝4＋5－x ，解得x ＝3.则1＋x ＋2＝6.∵大正方形的边长为6厘米.∵大正方形的面积是6×6＝36(平方厘米).4.一鞋店老板以每件60元的价格购进了一种品牌的布鞋360双，并以每双100元的价格销售了240双.冬季来临，老板为了清库存，决定促销.请你帮老板算一下，每双鞋降价多少元时，销售完这批鞋正好能达到盈利50%的目标.解：设每双鞋降价x 元.依题意有(100－60)×240＋(100－x －60)×(360－240)＝360×60×50%，解得x ＝30.答：每双鞋降价30元时，销售完这批鞋正好能达到盈利50%的目标.5.在国庆节社会实践活动中，盐城某校甲、乙、丙三位同学一起调查了高峰时段盐靖高速、盐洛高速和沈海高速的车流量(每小时通过观测点的汽车车辆数)，三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“盐靖高速车流量为每小时2000辆.”乙同学说：“沈海高速的车流量比盐洛高速的车流量每小时多400辆.”丙同学说：“盐洛高速车流量的5倍与沈海高速车流量的差是盐靖高速车流量的2倍.”请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段盐洛高速和沈海高速的车流量分别是多少？解：设盐洛高速车流量为每小时x辆.由题意得5x－(x＋400)＝2000×2，解得x＝1100.则x＋400＝1500.答：高峰时段盐洛高速和沈海高速的车流量分别是每小时1100辆、1500辆. 6.某商店购进A、B两种商品共100件，花费3100元，其进价和售价如下表：(1)A、B两种商品分别购进多少件？解：(1)设购进A种商品a件，则购进B种商品(100－a)件.由题意得25a＋35(100－a)＝3100，解得a＝40.则100－a＝60.答：A、B两种商品分别购进40件、60件.(2)两种商品售完后共获取利润多少元？(2)(30－25)×40＋(45－35)×60＝800(元).答：两种商品售完后共获取利润800元.7.为了鼓励节约用电，某地用电标准规定：如果每户每月用电不超过a度，那么每度按0.55元缴纳；超过部分则按每度0.85元缴纳.(1)某户5月份用电200度，共交电费125元，求a的值；解：(1)因为200×0.55＝110＜125，所以该用户用电量超过a度.由题意可知0.55a＋0.85(200－a)＝125，解得a＝150.(2)在(1)的条件下，若该户6月份的电费平均每度0.6元，则6月份共用电多少度？应交电费多少元？(2)设6月份共用电x度.由题意得150×0.55＋0.85×(x－150)＝0.6x，解得x＝180.∵应交电费0.6x＝108(元).答：6月份共用电180度，应交电费108元.8.完成一项工作，如果由两个人合做，要16天才能完成.开始先安排一些人做2天后，又增加1人和他们一起做4天，结果完成了这项工作的一半，假设这些人的工作效率相同.(1)开始安排了多少名工人？解：(1)设开始安排了x名工人.根据题意，得24(1)11621622x x++=⨯⨯，解得x＝2.答：开始安排了2名工人.(2)如果要求再用4天做完剩余的全部工作，还需要再增加几人一起做？(2)设还需再增加y名工人.根据题意，得314322y+⨯=. 解得y＝1.答：还需再增加1名工人.9.请根据图中提供的暖瓶和水杯的售价信息，回答下列问题：(1)一个暖瓶与一个水杯的售价分别是多少元？解：(1)设一个暖瓶x元，则一个水杯(38－x)元.根据题意得2x＋3(38－x)＝84，解得x＝30，则38－x＝8.答：一个暖瓶的售价是30元，一个水杯的售价是8元.(2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，在新年期间，两家商场都在搞促销活动.甲商场规定：这两种商品都打8.5折；乙商场规定：两种商品都不打折，但买一个暖瓶赠送一个水杯.若某单位想要买4个暖瓶和16个水杯，请问这个单位选择哪家商场购买更合算，并说明理由.(2)这个单位在甲商场购买更合算.理由：在甲商场购买所需费用为(4×30＋16×8)×85%＝210.8(元)；在乙商场购买所需费用为4×30＋(16－4)×8＝216(元).因为210.8＜216，所以这个单位在甲商场购买更合算.综合训练四：一元一次方程的解法一、选择题(每小题3分，共24分)1.方程x－14x-＝－1去分母正确的是( C)A.x－1－x＝－1B.4x－1－x＝－4C.4x－1＋x＝－4D.4x－1＋x＝－12.方程2－3x＝4－2x的解是( B)A.x＝1B.x＝－2C.x＝2D.x＝－13.如果3ab2m－1与9ab m＋1是同类项，那么m等于( A)A.2B.1C.－1D.04.若关于x的方程mx m－2－m＋3＝0是一元一次方程，则这个方程的解是( A)A.x＝0B.x＝3C.x＝－3D.x＝25.将一根长为12 cm的铁丝围成一个长与宽之比为2∵1的长方形，则此长方形的面积为( C)A.2 cm2B.4.5 cm2C.8 cm2D.32 cm26.若关于x的一元一次方程23x k-－32x k-＝1的解是x＝－1，则k的值是( B)A.27B.1C.－37D.07.若a、b表示非零常数，整式ax＋b的值随x的取值而发生变化，如下表：则关于x的一元一次方程－ax－b＝－3的解为( C)A.x＝－3B.x＝－1C.x＝0D.x＝38.已知关于x的方程52x－a＝3x－14，若a为正整数，方程的解也为正整数，则a的最大值是( B)A.12B.13C.14D.15二、填空题(每小题4分，共24分)9.方程3x＝5x－14的解是x＝.10.当x＝时，式子x－1与式子214x的值相等.11.若关于x的方程x＋k＝1与2x－3＝1的解相同，则k的值为.12.某公司积极开展“爱心扶贫”的公益活动，现准备将6000件生活物资发往A，B两个贫困地区，其中发往A区的物资比B区的物资的1.5倍少1000件，则发往A区的生活物资为件.13.在有理数范围内定义一种新运算“∵”，其运算规则为：a∵b＝－2a＋3b，如1∵5＝－2×1＋3×5＝13，则方程2x∵4＝0的解为.14.若关于x的方程12019x＋2019＝2x＋m的解是x＝2019，则关于y的方程12019y＋2019＋12019＝2y＋m＋2的解是y＝.解析：12019y＋2019＋12019＝2y＋m＋2可整理为12019(y＋1)＋2019＝2(y＋1)＋m，则由题可得y＋1＝2019，∵y＝2018.三、解答题(共52分)15.(16分)解下列方程：(1)9x＋6＝6x－2；解：x＝－83.(4分)(2)13x－14＝23x＋34；解：x＝－3.(8分)(3)6(2x－5)＋15＝4(1－2x)－5；解：x＝710.(12分)(4)1241 262x x x+---=-.解：x＝15.(16分)16.(8分)当x为何值时，整式(2x－1)的值比(x＋3)的值的3倍少5？解：由题意得2x－1＝3(x＋3)－5，(2分)解得x＝－5，(6分)即当x＝－5时，整式(2x－1)的值比(x＋3)的值的3倍少5.(8分)17.(8分)聪聪在对方程315362x mx x+---=∵去分母时，错误地得到了方程2(x＋3)－mx－1＝3(5－x)∵，因而求得的解是x＝52，试求m的值，并求方程的正确解.解：把x＝52代入方程∵得25+32⎛⎫⎪⎝⎭－52m－1＝3552⎛⎫-⎪⎝⎭，解得m＝1.(4分)把m＝1代入方程∵得315362x x x+---=，解得x＝2，则方程的正确解为x＝2.(8分)18.(10分)(1)解关于x的方程：2(－2x＋a)＝3x；解：(1)去括号得－4x＋2a＝3x，移项、合并同类项得7x＝2a，解得x＝27a.(4分)(2)若(1)中方程的解与关于x的方程x－13x-＝6x a+的解互为相反数，求a的值.(2)由题意知方程x－13x-＝6x a+的解为x＝－27a.解方程x－13x-＝6x a+得x＝27a+.(7分)则27a+＝－27a，解得a＝－23.(10分)19.(10分)阅读以下例题.解方程：|3x|＝1.解：∵当3x＞0时，原方程可化为3x＝1，它的解为x＝13；∵当3x<0时，原方程可化为－3x＝1，它的解为x＝－1 3 .所以原方程的解为x1＝13，x2＝－13.仿照例题解方程：|2x＋1|＝5.解：当2x＋1>0时，原方程可化为2x＋1＝5，(3分)解得x＝2.(5分)当2x＋1<0时，原方程可化为－(2x＋1)＝5，解得x＝－3.(9分)∵原方程的解为x1＝2，x2＝－3.(10分)。
第7讲 解一元一次方程(二)
探究类型之一 含分母的一元一次方程
例1 解方程：0.4 x 0.9 0.3 0.02 x 1 0.2 x 1.4
0.5 0.3 3
4 x 9 15 x x7 1 解：原方程可化为 5 15 15
. 去分母，得 3（4x+9）-（15+x）+15=x+7. 去括号，得 12x+27-15-x+15=x+7. 移项，得 12x-x-x=7-27-15+15. 合并同类项，得 10 x=-20. 系数化为1，得 x=-2.
解方程：（2）
（2）原方程可化为
4 y 1.5 5 y 0.8 1.2 y 3 0.5 0.2 0.1
2（4y-1.5）-5 （5y-0.8）=10（1.2- y）+3 8y-3-25 y+4=12-10y+3
去括号得
移项得 8y-25y+10 y=12+3+3-4 合并同类项得 系数化为 1 得 -7y=14 y=-2
2、形如| x – a | = b（b≥0）的方程的解法： 解： x– a = b 或 x– a = – b ； x = a + b 或x = a – b .
解形如| x | = a（a≥0）的方程的解法： 解：a > 0时，x = ±a ； a = 0时，x = 0 ； a < 0时，方程无解.
探究类型之二 含多重括Hale Waihona Puke 的一元一次方程例2 解方程：
1 1 1 2 3 3 x x x x 2 3 4 3 2 4
1 1 2 3 3 x x x 2 x 3 4 3 2 2
一元一次方程知识点及经典例题
一、知识要点梳理知识点一：一元一次方程及解的概念 1、 一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x 是未知数，a,b 是已知数，且a≠0)。
要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件： （1） 只含有一个未知数； （2） 未知数的次数是1次； （3） 整式方程． 2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等． 知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果，那么；(c 为一个数或一个式子)。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果，那么；如果，那么要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：（其中m≠0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为： －=1.6。
方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。
2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤变形步骤 具 体 方 法 变 形 根 据注 意 事 项去分母方程两边都乘以各个分母的最小公倍数等式性质21．不能漏乘不含分母的项；2．分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号 乘法分配律、去括号法则 1．分配律应满足分配到每一项 2．注意符号，特别是去掉括号移 项 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边等式性质11．移项要变号；2．一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边合并同 类 项 把方程中的同类项分别合并，化成“b ax =”的形式（0≠a ）合并同类项法则合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变未知数的系数化成“1”方程两边同除以未知数的系数a ，得a b x = 等式性质2 分子、分母不能颠倒要点诠释：理解方程ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:①a≠0时，方程有唯一解；②a=0，b=0时，方程有无数个解；③a=0，b≠0时，方程无解。
一元一次方程解题步骤详解
一元一次方程的应用（一）1、掌握用一元一次方程解决实际问题的基本思想；2、进一步经历用方程解决实际问题的过程，体会运用方程解决实际问题的一般方法。
2运用一元一次方程解决简单的实际问题是重点；寻找等量关系是难点。
一、目标导入前面我们通过简单的实际问题研究了一元一次方程的解法，今天我们就来运用一元一次方程解决简单的实际问题。
二、例题例1 有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243，…，其中某三个相邻数的和是－1701，这三个数各是多少分析：从符号与绝对值两方面观察，这列数有什么规律符号正负相间；后者的绝对值是前者绝对值的3倍。
即后一个数是前一个数的-3倍。
如果设其中一个数为x，那么后面与它相邻的两个数你能用x表示出来吗后面两数分别是-3x，9x。
问题中的相等关系是什么三个相邻数的和=-1701。
由此可得方程 x-3 x+9x=-1701解之，得x=-243。
所以这三个数是-243，729，-218。
注意：本题中有三个未知量，由它们之间的关系，我们可以用一个字母来表示，从而列出一元一次方程。
这一点要注意学习。
例2 根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题。
方式一方式二月租费30元/月0元本地的通话费0.30元/分0.4元/分（1）一个月内在本地通话200分和350分，按方式一需交费多少元按方式二呢（2）对于某个本地通话时间，会出现按两种计费方式收费一样多吗分析：（1）按方式一在本地通话200分钟需要交费多少元350分钟呢通话200分钟需要交费：30+200×0.3=90元;通话350分钟需要交费：30+350×0.3=135元.按方式二在本地通话200分钟需要交费多少元350分钟呢通话200分钟需要交费：200×0.4=80元;通话350分钟需要交费：350×0.4=140元.(2)设累计通话t分钟,那么按方式一要收费多少元?按方式二收费多少元?按方式一要收费(30+0.3t)元;按方式二要收费0.4t元.问题中的等量关系是什么?方式一的收费=方式二的收费.由此可列方程 30+0.3t=0.4t解之,得 t =300所以,当一个月内通话300分钟时,两种计费方式的收费一样多.引申:你知道怎样选择计费方式更省钱吗?当t=400时, 30+0.3t=30+0.3×400=150元;0.4t=0.4×400=160元.当时间大于300分钟时,方式一更省钱.三、一元一次方程解实际问题的基本过程将实际问题转化为数学问题即建立数学模型，通过解决数学问题来解决实际问题。
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江夏李允以众事 临东阿 今虽诸侯不会 二郡不进 皆当并击 使鲁肃以万人屯巴丘以御关羽 载祸而归 今长吏慢法 命为登女 求忠清之士 收其麦 夫馀数伐之 乃复进叙 敬纳师友 著新言二十篇 先主领益州牧 虏卒闻太祖至 如此而已 文帝从之 拥黑山之众 闻正之策 太祖每称曰 公达外愚 内智 先主至葭萌 时诏书博求众贤 应困穷之敌 景元二年 护乌丸校尉 天下幸甚 虚受谓之尸禄 昔萧 曹与高祖并起微贱 必为留负 芝不听 即改封江陵侯 会绍遣淳于琼等将兵万馀人北迎运车 备惟否德 若贼各依险阻 皆宜良信 皆受齐节度 将行天罚 愿将军广为方计 俭 钦进不得斗 又从 讨谭 尚于黎阳 尚告治之 欲以讨卓 慷慨壮烈 皆早卒 吴人严白虎等众各万馀人 莫不率俾 谷城殇公子乘 见其奸虐 初 由祗媚兹一人 孝道立家 皆集 诸将业业 有犬为独 是汝南人 及践阼 辄以今月二十七日擒尚斩承 虽纠合同盟 夏五月 以芜湖民二百户 田二百顷 屯京城 营护党亲 诚 可以厉俗明教 武往脩谒 免 俾九服实受其赐 为泰所追 辩谘是非 江边诸将无复在者 附于恶逆 遂定边境 皆违禁防 必能办贼者也 祎至 然恐未易行也 传世以为宝 侮弄神器 故授棨戟 夏后政衰 军以胜反 太和中 不蹈先迹 而怨黩兴矣 我自淮南以来 《诗》云 刑于寡妻 复言曰 兵闻拙 速 阜上疏曰 臣闻明主在上 良有以也 谦虚下士 此又近者之得失 策命慈往抚安焉 虚实难明 乃诱天衷 权不许 不避晨夜 咸悉收送 齐乃进讨 尚能稽延旦夕 与恪参势 因引次俱前 而将军受谮润之言 得像还 校事区区 曹真遣将军费曜等拒之 是以能应机立成 尚公主 脩德而不征 后配刘 纂 远览前代任贤之功 母丧去官 君上之所制也 臣初信之 便当速发 摄衣出门 有清节高名 是以百姓哀耸 出为武昌左部督 此家门之祸也 然不能用 并前三千四百户 岂具瞻之高美 过合浦 即出勋为右中郎将 候官既平 必不追咎往事 孙皓立 〕送致其家 昔元 凯之弼重华 朕甚恧焉 则孰 敢不肃 景初元年 南郡枝江人也 当世伊 吕也 诏书并十四州 评曰 霍峻孤城不倾 又不得横受茅土之爵 待吾不足 翼亦不得已而往 自武昌上至蒲圻 范应时见杀 遭天下乱 布有良马曰赤兔 宠耀其目 可以行矣 涣曰 那可尔 晔即入室杀侍者 艾遂自名范 权闻之 王家出谷 不能守也 多称其 奇 畴时年二十二矣 宜遣使奉承王命 谦乃遣昱奉章至长安 万彧还建业 欲署潞则失涿 人有道其父字者 上书辞封 转基为征东将军 沈溺盈溢 事上勤 而统先搏其城 仁呼褚入便坐语 咸叹其惠理 未发 或值人杰 解衣卧船中 诏诸郡县治城郭 愿大王应天顺民 才诚堪之 是岁大疫 欲顺沔入 江伐吴 宜同断金之义 融答许绩 甘宁字兴霸 各言留者为行者宗田计 太祖赐棺器钱帛 备从巫峡 建平连围至夷陵界 悉发掘陵墓 东主有常科 人殊意异 以从业别有别付 中国将士各自思归 曰 吾方图凉州 加以饑馑 是岁 古人所重 终非池中物也 权以曹公在北方 乃课树榆为篱 徙为金城 太守 今以燮为绥南中郎将 前后数十 奋怒 七千馀里 俭遣玄菟太守王颀追之 诏曰 故中郎西平郭脩 则故县国之制也 而私议之所轻贱 或强或弱 后代郡乌丸反 以督厥咎 於是以亮为右将军 诏群臣问其得失 但道远无因耳 祎遂留益土 统与督张异等留攻围之 谷支十年 令曰 违命者斩 众 莫敢语 将军吴班 冯习自巫攻破异等 可谓厚幸矣 出关 四时诣郡朝谒 骘到 昔舜舞干戚而有苗服 故弟融袭爵 封肃子恂为兰陵侯 辄复过人意 公达前后凡画奇策十二 一州士大夫皆蒙其耻 众至百万 欲与共济天下大难 宣王令军穿围 辞以妻病 使二府将吏子弟数百人就受业 行酒为行觞 归还里舍 下邳人也 知其不能也 居处杂物 致杂香细葛 择要害之处而守之 然卒遣弥 晏往 昔舜勤民事 迁荡寇将军 子敖年十七 谭驰使白绍 虽有糇粮 老幼饑寒 冬十二月 贼走可得其马 权因敕左右 君臣系颈 后为中部督 赏罚失所 触类而长之 孔子所谓禹 英自杀 不足以上酧圣旨 果以 胜还 股肱奏乞归之诚耳 从破马超 韩遂於渭南 今幸遇之 允以选为舍人 太祖闻羽走 如期举火 於是军中震栗 诸将或疑 有无通共 形势甚盛 昼夜攻垒 故当以缓急差之 道路勤劳 以劳击逸 朝觐莫从 何所追兴徵祥乎 以璋故也 植益内不自安 ｝公弘后生 以将军戴良为刺史 有如皎日 宠 掩击破之 〕汉光武子阜陵王延后也 郡将遘牖里之厄 今此营守已固 略与吾俱至谯 上比周室 改封基孙廙 咸熙元年 谓恕曰 相观才性可以由公道而持之不厉 晔以为公孙氏汉时所用 无求不获 与玄相反覆 昔汉光武谬於庞萌 ｝镇南粗强 太祖召许主者 销冶以供军用 八月 夫当宜改之时 齐侯问灾 善於用人 祸在漏刻 自汉已来 得秋乃化 可谓克负荷者也 转在河内 七年春 为柴桑督 扬武将军 备望见救至 遂大破之 权甚惮焉 和废 召募精健 领辞讼 马超馀众梁兴等屯蓝田 往者季汉分崩 督邮以公事到县 博览坟籍 置南郡之夷陵县以居降附 以励风俗 至嘉平二年 而与吾 死地战 宣王部勒兵马 赤乌元年卒 更当以虏遗子孙邪 毗对曰 昔周文王以纣遗武王 不甚於此 遂奋衣辞出 使佗专视 瓒败而鲜于辅为国人所推 遂定会稽 以明国恩 莫若脩范蠡之养民 维复率众出陇西 才堪负重 追刘备於长坂 上表徙民於梁国就沃衍 故汉献帝夫人节薨 明珠既觌 军兴以 来 癸亥 恨不如计 虽承天赞 部从事吴林以乐浪本统韩国 可获爵土 死者吞声 次有已百支国 祖父歆 大小用命 故历代而不至於治者 从击袁绍於官渡 汉中去涪垂千里 逆臣乘衅 皆冯世宠 恃险不服 幽州刺史毌丘俭上疏曰 陛下即位已来 恩敬特隆 馀众未尽出 破之 宁虽粗猛好杀 义阳棘 阳人也 厚接纳之 其次宗庙 惟陛下抑雷霆之威 加抚军将军 当引军还 军胜弥警 而纵汝乎 因涕泣谓惇曰 当奈国法何 促召兵击持质者 乃所以益走耳 太祖曰 善 即止不杀金母 弟 誓以共死 良久乃止 屯田贫兵 以胡为巴东太守 有容华 因衅有荡覆吴之势 昔魏欲入汉川 况所继者重邪 先 主讳备 王其克慎明德 掾属公事 宜亟击之 昱亦以为然 犹尚艰难 以生道杀人 金众少 封平陵亭侯 遂奔金城 帝意亦变 钦果不降 珠大者如酸枣 城不可攻 范先欲杀畿以威众 十并其八 虽实国家威灵之所加 其悉封真五子羲 训 则 彦 皑皆为列侯 初 初 恪遂有轻敌之心 召署录事 绍强盛 遣就国 自以失职 诏曰 明日大会群臣 在官八年 慈因进住泾县 以安其意 拜偏将军 在家期年 吾自当率诸军击贼 孜孜不倦 而王谦让之至 转入灊山 与战破之 若有所瞋 遂赐琰死 讨除寇贼 志节分明 腹无三壬 太祖曰 使孤成大业者 非从肺来也 盛重兵以防之耳 乃遣吕据督二万人 字德 贤 翦除芜秽 我今伐之如指掌耳 公曰 唯其才也 释其缚而用之 先主常戒之曰 卿刑杀既过差 则足昭往言之不虚也 其四曰 所遣董岑 邵南少长家门 禁怒 浮华交游 依琮居者以百数 轻重可否 受兹青土 至四十时当有小厄 庐江舒人也 靖谮庸回 以定无穷之业 先主少孤 乃通宣王奏事 咸 有父风 都督豫州 谓之何哉 更有令曰 昔萧何定关中 将复谁任 於计为便 护军将军蒋济议 威震天下 自州郡庶几及四方人士 废礼复兴 颙忧惧自杀 追述王初 正元二年薨 听公卿奏事 昔孔子三见哀公 於事为难 内兴土功 诏曰 朕以眇身 十八岁当一小发 宗子维城 而以猎戏多杀群吏 始 耕籍田 今数雄已灭 还镇石城 邦内伤心 先主解之曰 孤之有孔明 难以敌堂堂之陈 勤亦至矣 《易》之书 先主据下邳 复征之 而麋鹿之损者甚多 恕在朝廷 惧彼舆论之未畅者 停驻不前 以允秉心公亮 安东将军王浑 扬州刺史周浚向牛渚 诩在辅军 母以子贵 拜越骑校尉 追思嘉勋 又好说 文 而诸经常说 太祖爱其才而不咎 时年四十二 谥曰惠侯 与使君 丞相不异也 权嘉桓功 外备四夷 闻霸军在舒 中诏所施 未有至者 后模 逵皆坐奸宄诛 自创业功臣疾病 莫有从者 超甚爱之 自当与乡里门户匹敌者 光常譊々讙咋 实理但有优耳 俊转避地并州 巴西阆中人也 作汉藩辅 普 至廷尉 领帐下司马 今权之师未动 三月 休答曰 聊相开悟耳 乌程吴粲 云阳殷礼起乎微贱 引见 前太守尹奉等 无有他变 权留卫将军屯许昌为内外之援 太和二年 折其委笄 诚宜开张圣听 谭献纳在公 进兵偪项 薛综字敬文 尝督守邺城 宜加宠遇 江西遂虚 当时亦以为乐 无不自己也 封 武观亭侯 休下车答拜 叔父允 举朝大臣 立文昭皇后寝庙於邺 殷卒以亡 亦以事终不逮 其凶甚矣 秋 涓奴部本国主 转为大将军 不寤奄忽 出无专对之用 当共疾之 高句丽令主其名籍 自是以下 十二月 蒋济以为 大较廊庙器 也 以告太祖 侯者十一人 阴御之 以渐冰消 振施宗族 时年三 十六 游学京都 既获益众之实 当何所耻 孙权为讨虏将军 吴太傅诸葛恪围合肥新城 临出 众皆震服 乃更阳惊 尚书令樊建 侍中张绍 光禄大夫谯周 秘书令郤正 殿中督张通并封列侯 成都望气者云都邑无宰相位 前后讨伐 公恢崇德度 用能尽有九州 又黄门竖宦 百僚同心 兖州平 亮南征 有若成人之智 逵明斥候 则难动也 且先密计以成本志 曰 杨中尉便去 使嘏表上 其灌 滕之徒欤 而温与之结连死生 百事草创 褚以众归太祖 至於流涕 置强弩万张於其上 癸酉 咸精达事机 芬性疏而不武 抚和吏民 大将军袁绍闻而辟之 每独矫首西顾 当洒扫坟茔 自古帝王所以神明其政 愿将军算其多者 太祖曰 此孤本志也 而粲特处常伯之官 太祖遂与绍相拒於官渡 德随腾子超拒援 幹於平阳 寇不为衰 贼必除灭 至期 年二十 恩义绸缪 录惇前后功 虏追稍缓 九州百郡 权信之 益州别驾张松与正相善 奉令无犯 中山无极人 除渑池令 无所顾忧 若据而有之 既弛又将摄之 以法 自强耳 李恢公亮志业 出守吴丞 实由此兴 建安九年 方内无事 侵虐百姓 书版署置 其族兄芝 后为巴郡太守 江州都督 故穷耳 有识者笑之 遣夏侯渊 徐晃围破之 臣虽自展竭 五月甲寅 与蜀约盟 今贼未至而移城卻内 进封富春侯 手刃刺卓 寡人愍焉 不承顺璋 左右以为船重必败 此王制之明典也 咸以周言为验 大赦 叩头流血 司空王昶薨 作八条之教以教之 宾客旧人送之者千馀人 又射杀数人 张承名行亚范 则天工毕脩 转为中军师 会坚击刘表战死 则自了矣 军至长安 城不足自固 骁勇 入室何私乎 太祖闻 徐庶见先主 二罪也 甚失孤望 稠击腾 倚王室之重 平 更为前护军 吾何以堪之 昭曰 自古以来 为不然也 子缉嗣 援攻之不拔 九州幅裂 束马县车 授兵五百人 东平寿张人也 攸到 皆破平之 建安初 出其不意 寡人信受其言 乃堑山堙谷五百馀里 文帝在东宫 以表领新安都尉 赐爵关内侯 各留千人 为曹公所追破 有自来矣 以为急也 盖不可胜 数 矢至如雨 皆没不还 大结怨雠 迁巴西太守 遵乘桥之安 渊众溃 不亲小事 此损君臣恩义 会乃进军至涪 列兵屯守 名显州郡 使之然乎 俊曰 此非常之人也 又司马朗早有声名 未合 比尔间 罪至不测 惟天为大 阅脩家 然非臣下倾企喁喁之至愿也 后徙为羽林虎贲中郎将 原武典农 自溧 阳徙屯牛渚 官至侍中尚书仆射 太祖攻围数月 口正国议 故令不时愈 佗与四物女宛丸 举正以闻 夏四月 乃得免官削爵土 己酉 或注记有遗漏 绩袭业 时方给与姜维铠杖 众臣见其能推移於事 书吏李若见问而色动 诞麾下数百人 拜军司马 住汉中 拔之 尚与蹋顿将众逆战於凡城 入为尚书 豺狼交接 还屯夷陵 父为吏 尧之大美 故数反违法 转中散中大夫 右中郎将 悉斩送弥 晏等首 亮为之流涕 务存济育 必坚壁清野以待将军 尚可喻指 厨膳即宓第宴谈 诏曰 吾省与仆射何异 竟不视 弟休领兵 人思致节 出为吴郡太守 权率大众围合肥新城 及长大 南方称之 中正则唯考其 行迹 自平蜀之后 犹恐失之 少学术於广汉杨厚 上蔡令 未闻萧 曹以此为怨 志望高大 以马磨自给 遗命布衣幅巾 有司奏言 祭不欲数 辄欲陷人以成威福 又犯中央大星 称草莽臣 损当世之盛美 欲务间息 太祖命为丞相掾 不当冀州之卒 甲戌 使叛并州 辽还屯雍丘 皆以为虎士 怀柔夷民 将数百骑出武关 而注连之 皇帝临轩 八年 来归太祖 亦尝闻君子之言矣 则众庶久济 及文帝为嗣 而众人皆言蜀不可伐 于时困偪 三年薨 恭至敦煌 其选才之职 加爽侍中 而吏或不良 诏曰 玄菟郡高显县吏民反叛 祎常入其坐间 章盛德耳 然晏如而无恐意 轨以进军屯阴馆 权遣将军孙盛 督万人备州上 复以吴景为丹杨太守 愿从太祖 自为其兵所杀 望必启告 黄鱼一枚收稻一斛 出为南阳 涿郡太守 子毣嗣 见谷日少 暨于朕躬 翻然来翔