一元一次方程的解法基础知识讲解

一元一次方程的解法（基础）知识讲解
撰稿：孙景艳审稿：赵炜
【学习目标】
1.熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；
2.掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；
3.进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.
【要点梳理】
要点一、解一元一次方程的一般步骤
变形名称具体做法注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍
数(1)不要漏乘不含分母的项
(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大
括号(1)不要漏乘括号里的项
(2)不要弄错符号
移项把含有未知数的项都移到方程的一
边，其他项都移到方程的另一边(记住
移项要变号)
(1)移项要变号
(2)不要丢项
合并同类
项
把方程化成ax＝b(a≠0)的形式字母及其指数不变
系数化成
1在方程两边都除以未知数的系数a，得
到方程的解
b
x
a
．
不要把分子、分母写颠倒
要点诠释：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
要点二、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c
+=的形式，再分类讨论：
(1)当0
c<时，无解；（2）当0
c=时，原方程化为：0
ax b
+=；（3）当0
c>时，原方程可化为：ax b c
+=或ax b c
+=-.
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时，
b
x
a
=；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0
时，方程无解．
【典型例题】
类型一、解较简单的一元一次方程1．解下列方程
(1)
3
4
5
m m
-=- (2)-5x+6+7x＝1+2x-3+8x
【答案与解析】
解：(1)移项，得
3
4
5
m m
-+=-．合并，得
2
4
5
m=-．系数化为1，得m＝-10．
(2)移项，得-5x+7x-2x-8x＝1-3-6．合并，得-8x＝-8．系数化为1，得x＝1．【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：
(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边．
(2)合并：即通过合并将方程化为ax ＝b(a ≠0)的形式．
(3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a ，即得方程的解b x a =
． 举一反三：
【变式】下列方程变形正确的是( )．
A ．由2x-3＝-x-4，得2x+x ＝-4-3
B ．由x+3＝2-4x ，得5x ＝5
C ．由2332
x -=，得x ＝-1 D ．由3＝x-2，得-x ＝-2-3
【答案】D
类型二、去括号解一元一次方程
【高清课堂：一元一次方程的解法388407去括号解一元一次方程】
2．解方程：
【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从而解出方程．
【答案与解析】（1）去括号得：42107x x +=+
()()1221107x x +=+()()()
232123x x -+=-
移项合并得：65
x
-=
解得：
5
6 x=-
（2）去括号得：32226
x x
--=-
移项合并得：47
x
-=-
解得：
7
4 x=
【总结升华】去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“+”号，不变号；括号前面是“-”，各项均变号．
举一反三：
【变式】（四川乐山）解方程： 5(x-5)+2x＝-4．
【答案】解：去括号得：5x-25+2x＝-4．
移项合并得： 7x＝21．
解得： x＝3．
类型三、解含分母的一元一次方程
3．解方程：434343
1 623
x x x
+++
++=．
【答案与解析】
解法1：去分母，得(4x+3)+3(4x+3)+2(4x+3)＝6．
去括号，得4x+3+12x+9+8x+6＝6．移项合并，得24x＝-12，
系数化为1，得
1
2
x=-．
解法2：将“4x+3”看作整体，直接合并，得6(4x+3)＝6，即4x+3＝1，移项，得4x＝-2，
系数化为1，得
1
2
x=-．
【总结升华】对于解法l：(1)去分母时，“1”不要漏乘分母的最小公倍数“6”；(2)注意适时添括号3(4x+3)防止出现3×4x+3．对于解法2：先将“4x+3”看作一个整体来解，最后求x．
举一反三：
【高清课堂：一元一次方程的解法388407 解含分母的一元一次方程】
【变式】
2251
1 346
x x x
-+-
-=-
【答案】解：去分母得：4(2)3(25)2(1)12
x x x
--+=--去括号得：486152212
x x x
---=--
合并同类项，得：49
x
-=
系数化为1，得
9
4
x=-．
类型四、解较复杂的一元一次方程
4．解方程：
0.170.2
1 0.70.03
x x
-
-=
【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．
【答案与解析】原方程可以化成：101720
1 73
x x
-
-=．
去分母，得：30x-7(17-20x)＝21．
去括号、移项、合并同类项，得：170x＝140．
系数化成1，得：
14
17
x=．
【总结升华】解此题的第一步是利用分数基本性质把分母、分子同时扩大相同的倍数，以使分母化整，与去分母方程两边都乘以分母的最小公倍数要区分开．
5. 解方程：112 [(1)](1) 223
x x x
--=-
【答案与解析】
解法1：先去小括号得：11122
()
22233
x x x
-+=-
再去中括号得：
11122
24433
x x x
-+=-移项，合并得：
511
1212
x
-=-
系数化为1，得：
11
5
x=
解法2：两边均乘以2，去中括号得：
14
(1)(1)
23
x x x
--=-
去小括号，并移项合并得：
511
66
x
-=-，解得：
11
5
x=
解法3：原方程可化为：112 [(1)1(1)](1) 223
x x x
-+--=-
去中括号，得1112 (1)(1)(1) 2243
x x x
-+--=-
移项、合并，得
51
(1)
122
x
--=-
解得
11
5 x=
【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由里到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．
举一反三：
【变式】32
[(1)2]2 234
x
x
---=
【答案】
解：去中括号得：
3
(1)22 42
x
x
--⨯-=
去小括号，移项合并得：
3
6
4
x
-=，解得x＝-8
类型五、解含绝对值的方程
6．解方程|x|-2＝0
【答案与解析】
解：原方程可化为：2
x=
当x≥0时，得x=2，
当x＜0时，得-x=2，即，x＝-2．
所以原方程的解是x＝2或x＝-2．
=的形式，再根据ax的正负分类讨论，注意【总结升华】此类问题一般先把方程化为ax b
不要漏解．。