高二数学空间向量坐标1

特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
空间一点在轴上的投影

A
过 A 作轴 u 的垂直 平面，交点 A 即为
A
u
A 在 u 上的投影.
空间一向量在轴上的投影
B A
A
B
u
已知向量的起点 A和终点 B 在轴 u上的投影分别 为 A, B , 那么轴 u上的有向线段 AB 的值，称 为向量在轴 u上的投影 .
z
B ALeabharlann AM = { x x1 , y y1 , z z1 } MB = { x 2 x , y2 y , z 2 z }
o
M
y
x
由题意知：AM = lMB
{ x x1 , y y1 , z z1 } = l { x2 x , y2 y , z2 z }, x1 l x 2 x x1= l ( x 2 x ) x = , 1 l y1 l y2 y y1= l ( y2 y ) y = , 1 l z1 l z 2 z z1 = l ( z 2 z ) z = , 1 l
解 a = 4m 3n p = 4( 3i 5 j 8k ) 3( 2i 4 j 7 k ) (5i j 4k ) = 13i 7 j 15k ,
在 x 轴上的投影为 a x = 13 , 在 y 轴上的分向量为7 j .
a 0, b 0, 向量 a 与向量b 的夹角 = (a , b ) = (b , a ) (0 ) 或者记作 = ( a , b ) = ( b , a )
空间两向量的夹角的概念：
b

a
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
0 ,
0 .
o
x
y
z
R
M2 M1 Q
由投影定理可知
o
x
p
y
a x =| a | cos a y =| a | cos a z =| a | cos
2 2
方向余弦通常用来表示向量的方向.
M1 M 2 =
M 1 P M 1Q M 1 R
o


o

o
=
AB AB
3 1 2 , , }. 即得 = { 14 14 14
例5 设有向量P1P2 ，已知|P1P2|=2 ，它与x 轴和 y 轴的夹角分别为 3 和 4 ，如果的 P1 的 坐标为(1,0,3)，求P2的坐标.
解 设向量 P1 P2 的方向角为 、 、
A
A
C
a1
B
B
a2
C
u
A
A
C
证明
u
如图所示，由向量加
a1
B
B
a2
C
法的三角形法则可知
AC = AB BC = a1 a 2.
Pr jAB = A B , Pr jBC = B C , Pr jAC = A C .
由于
AB BC = AC
P2 的坐标为 ( 2, 2 ,4), ( 2, 2 ,2).
例6 设 m = 3i 5 j 8k , n = 2i 4 j 7 k , p = 5i j 4k , 求向量 a = 4m 3n p 在 x 轴 上的投影及 y 轴上的分向量.
所以 Pr jAB Pr jBC = Pr jAC 即 Pr ja1 Pr ja 2 = Pr j ( a1 a 2 ).
二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标
设 a = M 1 M 2 为 一 向 量 ，u 为 一 条 数 轴 ． 点 M 1 , M 2 在 轴 u 上 的 投 影 分 别 为 点P1 , P2．
z
R2
由图可以看出
R
R1
M1
M2
M 1 P M 1Q = M 1 N M1 N M1 R = M1 M 2
O
P1
Q
P
Q1
N
Q2
y
P2
x
从而得到 M M = M P M Q M R . 1 2 1 1 1 由于 M 1 P = a x i = ( x 2 x1 ) i , M 1Q = a y j = ( y2 y1 ) j , M R = a k = ( z z )k .
1 z 2 1
因此 M M = a i a j a k = ( x x )i ( y y ) j ( z z )k .
1 2 x y z
2
1
2
1
2
1
把上式称为向量 M 1 M 2按基本单位向量的分解式
这里
z
R2
.
R
R1
a x = x 2 x1 , a y = y 2 y1 , a z = z 2 z1 .
向量 AB在 u 轴上的投影记为
Pr ju AB = A B.
关于向量的投影定理（1）
向量 AB 在轴 u上的投影等于向量的模乘以轴与向 量 的夹角的余弦：
Pr ju AB =| AB | cos
证明
A
A

Pr ju AB = Pr ju AB
B
B
u
=| AB | cos
B
2
M1
M2
Q
P
Q1
N
Q2
,
P2
O
P1
y
x
按基本单位向量的坐标分解式：
M 1 M 2 = ( x 2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z 2 z1 )k 在三个坐标轴上的分向量： a x i , a y j , a z k ,
向量的坐标： a x , a y , a z ,
向量的坐标表达式： a = {a x , a y , a z }
M 1 M 2 = { x 2 x1 , y2 y1 , z 2 z1 }
特殊地：OM = { x , y , z }
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
a = {a x , a y , a z }, b = {bx , b y , bz }, a b = {a x bx , a y b y , a z bz } = ( a x bx )i ( a y b y ) j ( a z bz )k ; a b = {a x bx , a y b y , a z bz } = ( a x bx )i ( a y b y ) j ( a z bz )k ; la = {la x , la y , la z } = ( l a x )i ( l a y ) j ( l a z )k .
2
2
2
o
x
y
a cos = . a a a
z 2 2 2 x y z
方向余弦的特征
cos cos cos = 1
2 2 2
特殊地，单位向量可表示为
a a = = {cos , cos , cos }. |a|
o
.
例3 设已知两点M 1 ( 2,2, 2 ) 和 M (1,3,0) 计算 向量 M M 的摸 ，方向余弦和方向角.
点 M 为有向线段 AB 的定比分点 .
当 M 为中点时，
x1 x2 x= , 2
y1 y2 y= , 2
z1 z 2 z= . 2
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量 a 的方向角： , , .
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角 .
z
0 ,
M2 M1
又设 P1 , P2 在轴 u 上的坐标依次为u1 , u2．
记 Pr ju M 1 M 2 = a u , P P = OP OP = u2 u1 ,
1 2 2 1
M1
M2
o
P1
P2
u
au = u2 u1 .
如果e 是与 u 轴正向一致的单位向量，
设 a 是以 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 为起点、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
2
2 2 2 | a |= a x a y a z 向量模长的坐标表示式
向量方向余弦的坐标表示式
z
M2 M1
当 a x a y az 0 时，
a cos = , a a a a cos = , a a a
x 2 2 2 x y z
y 2 2 2 x y z
,1,3) 求方向和 例4 设已知两点 A( 4,0,5) 和 B ( 7.
AB 一致的单位向量 .
解 因为 AB = {7 4,1 0,3 5} = { 3,1,2}
于是 AB = 3 1 ( 2 ) = 14 设 为和 AB 的方向一致的单位向量，那么由于
2 2 2
例 2 设 A( x1 , y1 , z1 ) 和 B ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为两已知点，而 在 AB 直线上的点 M 分有向线段 AB 为两部分 AM 、
MB ，使它们的值的比等于某数l (l 1) ，即
AM =l， MB
求分点的坐标.
解 设 M ( x , y , z ) 为直线上的点，
u
定理1的说明：
(1) 0 , 投影为正； 2 ( 2) , 投影为负； 2 ( 3) = , 投影为零； 2