河北省衡水市枣强中学2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版).doc
河北省枣强中学2016-2017学年高二上学期第二次月考数学试题Word版含答案
一、选择题1.直线l 过点()1,2A ，且不经过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]0,1C ．[]0,2D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2.一组数据的方差为2s ，将这组数据中的每一个数都乘以2所得到的一组新数据的方差为（ ）A ．212s B ．22s C ．24s D ．2s 3.用二分法求方程220x -=的近似根的算法中要用哪种算法结构（ ）A ．顺序结构B ．条件结构C ．循环结构D ．以上都用4.点()00,M x y 是圆()2220x y a a +=>外一点，则直线200x x y y a +=与该圆的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交5.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m n 、作为点P 的横、纵坐标，则点()m,n P 落在直线4x y +=下方的概率为（ ）A ．16 B ．14 C ．112 D ．196.图1是计算111124620++++的值的一个程序框图，其中在判断框内应填入的条件是（ ）A ．10i <B ．10i >C ．20i <D ．20i >7.若直线()24y k x =-+与曲线y =k 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(],1-∞-8.已知某几何体的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图是（ ）A ．B ．C ．D ．9.在区间[]1,1-上随机取一个数x ，cos2x π的值介于0到12之间的概率为（ ） A ．13 B ．2πC ．12D ．23 10.执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．1211.若直线()101ax by a b ++=>、过圆228210x y x y ++++=的圆心，则14a b+的最小值为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．2012.若实数,x y 满足的约束条件101010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为,a b ，则2z ax by =+在点()2,1-处取得最大值的概率为（ ）A ．56B ．25C ．15D ．16二、填空题13.将十位制389化成四进位制数是_____________．14.在区间()0,1中随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是_____________． 15.若点P 在直线1:30l x y ++=上，过点P 的直线2l 与曲线()22:516C x y -+=只有一个公共点M ，则PM 的最小值为____________．16.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表：根据表格已得回归方程为ˆ9.49.1yx =+，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为____________．三、解答题17.已知圆O 的圆心为原点O ，且与直线0x y ++=相切．（1）求圆O 的方程；（2）过点()8,6P 引圆O 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，求直线AB 的方程．18.已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按150编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；（2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；（3）在（2）的条件下，从体重不轻于73公斤（73≥公斤）的职工中随机抽取两名，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．19.箱子中装有6张卡片，分别写有1到6这6个整数．从箱子中任意取出一张卡片，记下它的读数x ，然后放回箱子，第二次再从箱子中取出一张卡片，记下它的读数y ，试求：（1）x y +是5的倍数的概率；（2）x y 是3的倍数的概率；（3）,x y 中至少有一个5或6的概率．20.已知直线L 被两平行直线1:2590L x y -+=与2:2570L x y --=所截线段AB 的中点恰在直线410x y --=上，已知圆()()22:4125C x y ++-=．（1）证明直线L 与圆C 恒有两个交点；（2）求直线L 被圆C 截得的弦长最小时的方程．21.从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm 到195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155,160；第二组[)160,165；…；第八组[]190,195．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm 以上（含180cm ）的人数；（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x y 、，求满足“5x y -≤”的事件的概率．22.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，OA ⊥底面,2,ABCD OA M =为OA 中点．（1）求证：直线BD ⊥平面OAC ；（2）求直线MD 与平面 OAC 所成角的大小；（3）求点A 到平面OBD 的距离．参考答案1---12 CCDBC BCBAD CA13. ()412011 14. 1725（或0.68） 15. 4 16. 3717.（1）依题意得：圆C 的半径4r ==，∴以OP 为直径的圆方程为()()2222434325x y -+-=+=， 化简得：22860x y x y +--=，∵AB 为两圆的公共弦，∴直线AB 的方程为8616x y +=，即4380x y +-=．18.解：（1）由题意，第5组抽出的号码为22．因为()255122+⨯-=，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为2，7，12，17，22，27，32，37，42，47．（2）因为10名职工的平均的体重为()1817073767879626567597110x =+++++++++=， 所以样本方差为：()2222222222211012578964125210s =+++++++++=． （3）从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：()()()()()()()()()()7376737873797381767876797681787978817981，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 故所求概率为()42105P A ==． 19.解：基本事件共有6636⨯=个．（1）x y +是5的倍数包含以下基本事件：()()()()()()()1,4,4,1,2,3,3,2,4,6,6,4,5,5共7个．所以，x y +是5的倍数的概率是736． （2）x y 是3的倍数包含的基本事件（如图）共20个，所以，x y 是3的倍数的概率是205369=． （3）此事件的对立事件是,x y 都不是5或6，其基本事件有4416⨯=个，所以，,x y 中至少有一个5或6的概率是1651369-=． 20.解：（1）设线段AB 的中点P 的坐标(),a b ，由P 到12,L L 的距离相等，得=2510a b -+=，又点P 在直线410x y --=上，所以410a b --=，解方程组2510410a b a b -+=⎧⎨--=⎩得31a b =-⎧⎨=-⎩，即点P 的坐标()3,1--，所以直线L 恒过点()3,1P --；将点()3,1P --代入圆()()22:4125C x y ++-=，可得()()22341125-++--<， 所以点()3,1P --在圆内，从而过点P 的直线L 与圆C 恒有两个交点．（2）当PC 与直线L 垂直时，弦长最小，2PC k =-，所以直线L 的斜率为12，所以直线L 的方程为：210x y -+=．另法（1）设线段AB 的中点P 必经过直线：250x y c -+=，由已知，得=，所以1c =，所以2510410x y x y -+=⎧⎨--=⎩，得点()3,1P --．21.【解答】解：（1）由频率分布直方图得：前五组频率为()0.0080.0160.040.040.0650.82++++⨯=，后三组频率为10.820.18-=，人数为0.18509⨯=，∴这所学校高三年级全体男生身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为8000.18144⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． （2）由频率分布直方图得第八组频率为0.00850.04⨯=，人数为0.04502⨯=， 设第六组人数为m ，则第七组人数为927m m --=-，又()227m m +=-，解得4m =，所以第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别等于0.08，0.06，频率组距分别等于0.016，0.012．其完整的频率分布直方图如图，… （3）由（2）知身高在[)180185，内的人数为4，设为a b c d 、、、，身高在[]190,195内的人数为2，设为A B 、，若[),180,185x y ∈时，有ab ac ad bc bd cd 、、、、、共6种情况；若[],190,195x y ∈时，有AB 共1种情况；若,x y 分别在[)180,185和[]190,195内时，有aA bA cA dA aB bB cB dB 、、、、、、、，共8种情况．所以基本事件总数为61815++=，…． 事件“5x y -≤”所包含的基本事件个数有617+=， ∴()7515P x y -≤=．…22.【解析】（1）由OA ⊥底面,ABCD OA BD ⊥．∵底面ABCD 是边长为1的正方形，∴BD AC ⊥，又AC OA A =，∴BD ⊥平面 OAC ．（2）设AC 与BD 交于点E ，连结EM ，则DME ∠是直线MD 与平面 OAC 折成的角∵2MD DE ==， ∴直线MD 与平面OAC 折成的角为30°．（3）作AH OE ⊥于点H ．∵BD ⊥平面 OAC ，∴BO AH ⊥，线段AH 的长就是点A 到平面OBD 的距离．∴22232OA AE AH OE ===， ∴点A 到平面OBD 的距离为23．。
河北省枣强中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题 含答案
数学(理)试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 过点()1,0且与直线220--=平行的直线方程是( ）x yA．210-+=x y--=B．210x yC．220x y+-=+-=D．210x y2. 从装有2个红球和个2黑球的口袋内任取个2球,那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与都是红球C．至少有一个黑球与至少有一个红球D．恰有一个黑球与恰有两个黑球3。
样本中共有5个个体，其值分別为,0,1,2,3a.若该样本的平均值为1，则样本方差为（）A．1B．2C．3D．44。
为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位:cm). 根据所得数据画出样本的頻率分布直方图（如图所示），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（）A ．30B ．60 C.70 D ．80 5。
设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a =（ ） A ．3 B ．53 C.5 D ．736. 某地区空气质量监测资枓表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( )A ．0.8B ．0.75C 。
0.6D ．0.457. 意大利米兰世愽会期间，某国准备展出5件艺术作品,其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排,要求2件书法作品必须相邻,2件绘画作品不能相邻,则该国展出这5件作品的不同方案有 ( ）A ． 96种B ．72种C 。
48 种D ．24种8. 某商场为了解毛衣的月销售量y (件）与月平均气温()x C 之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温()x C17 13 8 2 月销售量y （件) 24 33 40 55由表中数据算出线性回归方程y bx a =+中的2b =-，气象部门預测下个月的平均气温约为6C ，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）件。
2016-2017学年河北省枣强中学高二上学期期末考试理数试卷(带解析)
绝密★启用前2016-2017学年河北省枣强中学高二上学期期末考试理数试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．顶点在原点，准线方程为x=−116的抛物线标准方程是（）A. 4y2=−xB. 4y2=xC. y2=−4xD. y2=4x2．已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos<m,n>=−12，则l与α所成的角为（）A. 300B. 600C. 1200D. 1500则y对x的线性回归方程为y=b x+a必过点（）A. (2,2)B. (1,2)C. (1.5,4)D. (1.5,0)4．命题“对任意的x∈R，x3−x2+1≤0”的否定是（）A. 不存在x∈R，x3−x+1≤0B. 存在x∈R，x3−x+1≤0C. 对任意的x∈R，x3−x+1>0D. 存在x∈R，x3−x+1>05．已知ΔA B C的周长为20，且顶点B(0,−4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是（）A. x236+y220=1(x≠0) B. x220+y236=1(x≠0)C. x26+y220=1(x≠0) D. x220+y26=1(x≠0)6．某人通过普通话二级测试的概率是13，他连线测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（）A. 49B. 19C. 427D. 297．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ>1)=p，则P(−1<ξ<0)=__________．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、新添加的题型8．宏伟公司有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该公司职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的中年职工为5人，则样本容量为（）A. 7B. 15C. 25D. 359．抽查10件产品，设事件A:“至少有两件次品”，则A的对立事件为（）A. 至多两件次品B. 至多一件次品C. 至多两件正品D. 至少两件正品10．设a∈R，则a>1是1a<1的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要11．如图，在空间四边形A B C D中，M,G分别是B C,C D的中点，则A B+12B C+12B D等于（）A. A DB. G AC. A GD. M G12．从4款甲型和5款乙型智能手机中任取3款，其中至少要甲乙型号各一款，则不同的取法共有（）A. 140种B. 80种C. 70种D. 35种13．如图，等腰梯形A B C D中，A B//C D且A B=2A D，设∠D A B=θ，θ∈(0,π2)以A,B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1，以C,D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）A. 当θ增大时，e1增大，e1⋅e2为定值B. 当θ增大时，e1减小，e1⋅e2为定值C. 当θ增大时，e1增大，e1⋅e2为增大D. 当θ增大时，e1减小，e1⋅e2减小14．双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为3，则它的渐近线方程是__________．15．直三棱柱A B C−A1B1C1中，∠B A C=900，A B=AA1=A C，则异面直线B A1与AC1所成的角为__________．16．在三棱柱A B C−A1B1C1中，侧面A BB1A1为矩形，A B=2，AA1=22，D是AA1的中点，B D与AB1交于点O，且C O⊥平面A BB1A1.（Ⅰ）证明：B C ⊥AB 1；（Ⅱ）若O C =O A ，求直线C D 与平面A B C 所成角的正弦值.17．如图，已知直三棱柱A B C −A 1B 1C 1中，∠A C B =900,E 是棱CC 1上的动点，F 是A B 的中点，A C =B C =2，AA 1=4.（Ⅰ）当E 是棱CC 1的中点时，求证：C F //平面A E B ；（Ⅱ）在棱CC 1上是否存在点E ，使得二面角A −EB 1−B 的大小是450，若存在，求C E 的长；若不存在，请说明理由.三、填空题18．已知命题：①α>β的充分不必要条件是sin α>sin β；②若a ,b ∈R ，a b <0，则b a +a b ≤−2；③命题“若x +y ≠5，则x ≠2或y ≠3”的否命题为假命题；④若a ≠b ，则a 3+b 3>a 2b +ab 2.其中真命题的序号是__________．（请把所有真命题的序号都填上）四、解答题19．已知抛物线y 2=4x 的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点，且渐近线方程为y =± 3x ，求双曲线方程.20．已知在( x 3−2x 3)n 的展开式中，第6项为常数项.（Ⅰ）求含x 2的项的系数；（Ⅱ）求展开式中所有的有理项.21．衡州市临枣中学高二某小组随机调查芙蓉社区160个人，以研究这一社区居民在20：00-22:00时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：K2=n(a d−b c)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d（Ⅰ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分别列和期望；（Ⅱ）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20:00-22:00时间段的休闲方式与性别有关系”？22．椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的两顶点为A,B如图，离心率为22，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C,D两点，并与x轴交于点P，直线A C与直线B D交于点Q.（Ⅰ）当|C D|=322时，求直线l的方程；（Ⅱ）当点P异于A,B两点时，求证：O P⋅O Q为定值.参考答案1．B【解析】由于准线方程是x=−116，所以p2=116,2p=14，故抛物线的方程为y2=14x.2．A【解析】设线面角为θ，则sinθ=|cos〈m,n〉|=12,θ=30∘.3．C【解析】回归直线方程过样本中心点(x,y)，其中x=1.5,y=4.4．D【解析】全称命题的否定是特称命题，故选D.5．B【解析】由于|B C|=8，所以A到B,C的距离之和为12，满足椭圆的定义，其中a=6,c=4,b2= 20，由于焦点在y轴上，故选B.点睛：本题主要考查椭圆的定义和标准方程.涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解．涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解. 求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．6．A【解析】3次独立重复实验，恰好发生一次的概率为C31⋅13⋅(1−13)2=49.点睛：本题主要考查独立重复试验和二项分布的知识.独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为k，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C n k p k(1−p)n−k (k=0,1,2,⋯,n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X∼B(n,p)，并称p为成功概率．7．12−p【解析】依题意有P(−1<ξ<0)=P(0<ξ<1)=0.5−P(ξ>1)=0.5−p.8．B【解析】试题分析：由题意知，此单位青年职工、中年职工、老年职工的人数比例为7:5:3，而采用分层抽样抽取样本，样本中的中年职工为5人，则青年职工和老年职工的人数分别为7人和3人，所以样本的容量为15人.故选B.考点：分层抽样的应用.9．B【解析】试题分析：“至少有n个”的对立事件是“至多有(n-1)个”所以事件A：至少有两件次品的对立事件是至多一件次品.考点：对立事件.10．A【解析】试题分析：充分性：由a>1，得1a <1；必要性：由1a<1，可得，即，所以，解得或，所以必要性不成立，故选A．考点：1、分式不等式；2、充分必要性的判断．【思路点晴】本题主要考查的是充分必要性的判断，属于容易题．本题充分性易于判断，在处理必要性时，需借助1a<1，移项通分得，进而得到，通过解一元二次方程可得或，结合不等式不等号方向及二次函数图象可得或．11．C【解析】试题分析：A B+12B C+12B D=A B+B G=A G考点：向量加法的三角形法则12．C【解析】分两类：一类是甲二乙一有C42C51;另一类是甲一乙二有C41C52,所以共有C42C51+C41C52=70种。
河北省衡水市冀州中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学理试卷(解析版).doc
2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共13个小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2015•衡阳三模）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a﹣1|，a∈A}，则A∪B中的元素的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由已知求出集合B的元素，取并集后得答案．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a﹣1|，a∈A}={2，1，0}，则A∪B={﹣1，0，1，2}．共4个元素．故选：B．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了绝对值的求法，是基础题．2．（2008•江西）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．[0，1] B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．【解答】解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），故选B．【点评】本题考查求复合函数的定义域问题．3．（2015•合肥校级模拟）已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（）A．有最大值e B．有最大值C．有最小值e D．有最小值【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】先利用等比数列等比中项可知•lny=可得lnx•lny=，再根据lnxy=lnx+lny ≥2可得lnxy的范围，进而求得xy的范围．【解答】解：依题意•lny=∴lnx•lny=∴lnxy=lnx+lny≥2=1xy≥e故选C【点评】本题主要考查了等比中项的性质．即若a，b，c成等比数列，则有b2=ac．4．（2016秋•冀州市校级期中）某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：D．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（2016•贵阳二模）如图，给出的是计算1+++…++的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜101？B．i＞101？C．i≤101？D．i≥101？【考点】程序框图．【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环：S=0+1，i=1，第2次循环：S=1+，i=3，第3次循环：S=1++，i=5，…依此类推，第51次循环：S=1+++…+，i=101，退出循环其中判断框内应填入的条件是：i≤101，故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的应用问题，解题时应准确理解流程图的含义，是基础题目．6．（2014•江西一模）某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．A．46 B．40 C．38 D．58【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得（，）为：（10，38），又（，）在回归方程=bx+a中的b=﹣2，∴38=10×（﹣2）+a，解得：a=58，∴=﹣2x+58，当x=6时，=﹣2×6+58=46．故选：A．【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题．7．（2016秋•冀州市校级期中）已知向量，满足||=1，=（1，﹣），且⊥（+），则与的夹角为（）A．60°B．90°C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°，由垂直可得数量积为0，可得cosθ，可得夹角．【解答】解：设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°∵=（1，﹣），∴||=2，又⊥（+），∴•（+）=0，∴=0，∴12+1×2×cosθ=0，解得cosθ=，∴θ=120°故选：C【点评】本题考查向量的夹角公式，涉及数量积的运算，属基础题．8．（2016秋•冀州市校级期中）下列有关命题：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆否命题为假命题；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充要条件．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；定义法；简易逻辑．【分析】判断原命题的真假，根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断①；写出原命题的否定，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③【解答】解：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”在m=0时不成立，故为假命题，故它的逆否命题为假命题；即①正确；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ，正确；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充分不必要条件，即③错误．故选：A．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题命题，空间线面关系，充要条件，特称命题的否定等知识点，难度中档．9．（2016秋•冀州市校级期中）已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A．4πB．3πC．2πD．π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；简单空间图形的三视图；球内接多面体．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，进而得到答案．【解答】解：由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，故球半径R满足2R=，故球的表面积S=4πR2=3π，故选：B．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的体积和表面积，由三视图判断几何体的形状，难度不大，属于基础题．10．（2013•浙江二模）“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】当时，由诱导公式化简可得图象充分；而当图象重合时可得，k∈Z，由充要条件的定义可得．【解答】解：当时，可得函数g（x）=sin（x+）=cosx，故图象重合；当“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”时，可取，k∈Z即可，故“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的充分不必要条件．故选A【点评】本题考查充要条件的判断，涉及三角函数的性质，属基础题．11．（2016秋•冀州市校级期中）已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时，都有a i+b j=a k+b l，则的值是（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015【考点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由已知可得，==a1+b2013，要求原式的值，转化为求解b2013，根据已知可先去b2，b3，b4，据此规律可求【解答】解：∵i+j=k+l时，都有a i+b j=a k+b l，则==×2013=a1+b2013∵a1=1，a2=2，b1=2，∴a1+b2=a2+b1∴b2=3同理可得，b3=a2+b2﹣a1=4b4=a2+b3﹣a1=5…∴b2013=2014=a1+b2013=2015即=2015故选D【点评】本题主要考查了数列的求和，解题的关键是发现试题中数列的项的规律12．（2016•衡水模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1=，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V=××=，故选：A．【点评】本题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离是关键．13．（2015•日照一模）已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（）A．B．C．D．4【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z=2×1+1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=．故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）14．（2016•通州区一模）（x2+）6的展开式中x3的系数是20．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数．【解答】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1=•x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中x3的系数是=20，故答案为：20．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．15．（2011•江苏校级模拟）若由不等式组，（n＞0）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m=．【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题主要考查不等式组确定的平面区域与三角形中的相关知识，三角形的外接圆的圆心在x轴上，说明构成的平面区域始终为直角三角形．【解答】解：由题意，三角形的外接圆的圆心在x轴上所以构成的三角形为直角三角形所以直线x=my+n与直线x﹣相互垂直，所以，解得，所以，答案为．【点评】这是不等式与平面几何相结合的问题，属于中档题16．（2013•自贡模拟）某城市新修建的一条路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能相邻的两盏灯，则熄灭灯的方法有56种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】应用题；排列组合．【分析】根据题意，先将亮的9盏灯排成一排，分析可得有8个符合条件的空位，用插空法，再将插入熄灭的3盏灯插入8个空位，用组合公式分析可得答案．【解答】解：本题使用插空法，先将亮的9盏灯排成一排，由题意，两端的灯不能熄灭，则有8个符合条件的空位，进而在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，有C83=56种方法，故答案为56．【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．17．（2016秋•冀州市校级期中）设x、y均为正实数，且，以点（x，y）为圆心，R=xy为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=256．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】由已知的关于x与y的等式，用y表示出x，将表示出的x代入xy中，设z=y﹣1，用z表示出y，代入表示出的xy中，整理后利用基本不等式得到xy的最小值，以及此时z 的值，进而确定出此时x与y的值，确定出所求圆的圆心与半径，写出所求圆的标准方程即可．【解答】解：∵+=1，∴x=，令z=y﹣1，则y=z+1，∴xy====z++10≥6+10=16，当且仅当z=，即z=3时取等号，此时y=4，x=4，半径xy=16，则此时所求圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=256．故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2=256【点评】此题考查了圆的标准方程，以及基本不等式的运用，利用了换元的数学思想，求出圆心坐标与半径是解本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（10分）（2016秋•冀州市校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．（1）求角B的大小；（2）若b=2，△ABC的面积为，求a+c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用．【分析】（1）由已知利用平面向量共线的性质可得，由正弦定理，同角三角函数基本关系式，结合sinA＞0，化简可得，结合B的范围可求B的值．（2）由已知及三角形面积公式可解得ac=4，进而利用余弦定理整理可求a+c的值．【解答】解：（1）∵，∴，∴由正弦定理，得，∵sinA＞0，∴，即，∵0＜B＜π，∴．（2）∵由三角形面积公式，得，∴解得ac=4，∵由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，可得：4=a2+c2﹣2ac×=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣12，∴a+c=4．【点评】本题主要考查了平面向量共线的性质，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）（2010•全国卷Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n=2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n=（12分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质20．（12分）（2015•衡阳校级模拟）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；（Ⅱ）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）欲证A1O∥平面AB1C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1O与平面AB1C内一直线平行，连接CO、A1O、AC、AB1，利用平行四边形可证A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C，满足定理所需条件；（Ⅱ）根据面面垂直的性质可知D1O⊥底面ABCD，以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，求出平面C1CDD1的一个法向量，以及平面AC1D1的一个法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值即可求出锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图（1），连接CO、A1O、AC、AB1，（1分）则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，所以，四边形A1B1CO为平行四边形，（3分）所以A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C所以A1O∥平面AB1C（6分）（Ⅱ）因为D1A=D1D，O为AD中点，所以D1O⊥AD又侧面A1ADD1⊥底面ABCD，所以D1O⊥底面ABCD，（7分）以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图（2）所示的坐标系，则C（1，0，0），D（0，1，0），D1（0，0，1），A（0，﹣1，0）．（8分）所以，（9分）设为平面C1CDD1的一个法向量，由，得，令z=1，则y=1，x=1，∴．（10分）又设为平面AC1D1的一个法向量，由，得，令z1=1，则y1=﹣1，x1=﹣1，∴，（11分）则，故所求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值为（12分）【点评】本题主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量的方法求解二面角等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于中档题．21．（12分）（2016秋•冀州市校级期中）10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现以下结果：（1）4只鞋子没有成双的；（2）4只恰好成两双；（3）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；排列组合．【分析】（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得，（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，问题得以解决（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得．【解答】解：（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得：C104×2×2×2×2=3360，（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，故有C102=45，（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得：C101×C92×2×2=1440．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是审清题意，本题考查了推理判断的能力及计数的技巧．22．（12分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【考点】圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A 坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【解答】解：（1）联立得：，解得：，∴圆心C（3，2）．若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=﹣，则所求切线为y=3或y=﹣x+3；（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．23．（12分）（2013•宁波模拟）某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示：根据上表信息解答以下问题：（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；函数的零点；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题．【分析】（1）由题意有函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点，进行等价转化为不等式组解出，在有互斥事件有一个发生的概率公式求解即可；（2）由题意利用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，利用随机变量的定义及随机变量分布列的定义列出随机变量ξ的分布列，在利用随机变量期望的定义求出其期望．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣ηx﹣1过（0，﹣1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点，则必有，解得：η＜，所以，η=4或η=5当η=4时，，当η=5时，，又η=4与η=5 为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，所以；（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，于是=，，，从而ξ的分布列：ξ的数学期望：．【点评】此题考查了学生对于题意的理解能力及计算能力，还考查了互斥事件一个发生的概率公式及离散型随机变量的定义及其分布列和期望的定义与计算．24．（12分）（2016秋•冀州市校级期中）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．【专题】空间角；空间向量及应用．【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得出；（2）先求出两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得，B（0，0，0），，，，．（1）易得于是===．∴异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（2）易知．设平面AA1C1的法向量，则，即，不妨令，则z=，可得．同样可设面A1B1C1的法向量，得．于是===，∴．∴二面角A﹣A1C﹣B1的正弦值为．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系并利用异面直线的方向向量的夹角求异面直线所成的角、两个平面的法向量的夹角求二面角的方法是解题的关键．。
河北省衡水中学2016-2017学年高二上学期四调考试数学(理科)试题-Word版
河北省衡水中学2016-2017学年高二上学期四调考试数学(理科)试题-Word版2016-2017学年度上学期高二年级四调考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.0121834521CC C C ++++…的值等于（ ）A ．7351B ．7355C ．7513D ．73152.已知椭圆2241mx y +=的离心率为22，则实数m 等于（ ） A ．2B ．2或83C ．2或6D ．2或8 3.某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m n +的值是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．134.A 、B 、C 、D 、E 、F 6个同学和1个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，A ，B和C ，D 同学分别穿着白色和黑色文化衫，E 和FA3B．1C．3D．29.我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉）一书中有关于三阶幻方的问题：将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入33 的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等，我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是（）8 3 41 5 96 7 2A．9 B．8 C．6 D．410.某中学早上8点开始上课，若学生小典与小方均在早上7:40至8:00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A．932B．12C．364D．56411.自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则||PQ 的最小值为（ ）A ．1310B ．3C ．4D ．211012.设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OBλμ=+u u u r u u u r u u u r（λ，R μ∈），316λμ=，则该双曲线的离心率为（ ） A ．233B ．355C ．322D ．98第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题p ：0x R ∃∈，220mx+≤，命题q ：x R ∀∈，2210x mx -+>，若“p q ∨”为假命题，则实数m 的取值范围为 ．14.设集合{}{}12345(,,,,)|1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“123451||||||||||3x xx x x ≤++++≤”的元素个数为 ．15.我校有4名青年教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，则恰有1道题没有被这4位选中的情况共 种． 16.在直角坐标系xOy 中，抛物线24y x=的焦点为F ，准线为l ，点P 是准线l 上任一点，准线PF 交抛物线于A ，B 两点，若4FP FA=u u u r u u u r，则AOB ∆的面积S =．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（Ⅰ）解不等式2886x x A A -<；（Ⅱ）求值1171010r r C C +-+．18.已知动圆C 与定圆221xy +=内切，与直线3x =相切.（Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹方程；（Ⅱ）若Q 是上述轨迹上一点，求Q 到点(,0)P m 距离的最小值．19.在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线y kx a=+（0a >）交于M ，N 两点．（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由． 20.已知抛物线24yx=，F 是焦点，直线l 是经过点F的任意直线．（Ⅰ）若直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且OM AB ⊥（O 是坐标原点，M 是垂足），求动点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若C 、D 两点在抛物线24yx=上，且满足4OC OD ⋅=-u u u r u u u r，求证：直线CD 必过定点，并求出定点的坐标． 21.已知抛物线C ：24y x=的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ．（Ⅰ）判断点F 是否在直线BD 上，并给出证明； （Ⅱ）设89FA FB ⋅=u u u r u u u r ，求BDK ∆的内切圆M 的方程．22.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点为1F ，2F ，离心率为63点A ，B 在椭圆上，1F 在线段AB 上，且2ABF ∆的周长等于3 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）过圆O ：224x y +=上任意一点P 作椭圆C 的两条切线PM 和PN 与圆O 交于点M ，N ，求PMN ∆面积的最大值．2016-2017学年度上学期高二年级四调考试理数试卷答案一、选择题1-5:DDCDA 6-10:ADABA 11、12：DA二、填空题13.[1,)+∞ 14.130 15.144 32三、解答题17.解：（Ⅰ）原不等式可化为8!8!6(8)!(10)!x x =⋅--， ∴(10)(9)6x x --<，即219840x x -+<，∴712x <<，又∵8x ≤且20x -≥，∴28x ≤≤，∴78x <≤， 又*x N ∈，∴8x =．（Ⅱ）由组合数的定义知0110,01710,r r ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩∴79r ≤≤．又*r N ∈，∴7r =，8，9， 当7r =时，原式810101046C C =+=； 当8r =时，原式99101020C C =+=；当9r =时，原式108101046C C =+=．18.解：（Ⅰ）设动圆C 的圆心(,)C x y ，∵动圆C 与定圆221x y +=内切，与直线3x =相切，∴2231x x y -=+， 化简得244yx=-．（Ⅱ）设(,)Q x y ，则244y x=-，∴2222||()()44PQ x m y x m x =-+=-+-[]2(2)4x m m=-+-．当1m >-时，1x =时上式取得最小值2(1)m -，即||PQ 取得最小值|1|m -；当1m ≤-时，2x m =+时上式取得最小值4m -，即||PQ 取得最小值2m-．∴min |1|,1,||2, 1.m m PQ m m ->-⎧⎪=⎨-≤-⎪⎩19.解：（Ⅰ）由题意可设(2,)M a a ，(2,)N a a -设过点M 的切线方程是'(2y a k x a -=-，代入曲线C ，得24'840x k x k a a -+=．由0∆=，即2(')0k a =，得'k a=．即曲线C 在点(2,)M a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-0ax y a --=．同理，曲线C 在点(,)N a a -处的切线方程为)y a a x a -=+0ax y a ++=， 故所求切线方程为ax y a --=0ax y a ++=．（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下： 设(0,)P b ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，将y kx a =+代入曲线C ，得2440x kx a --=， ∴124x xk+=，124x xa=-，∴121212y b y b k kx x --+=+1212122()()()kx x a b x x k a b x x a+-++==．当b a =-时，有12k k+=，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故OPM OPN∠=∠，∴(0,)P a -符合题意．20.解：（Ⅰ）设动点M 的坐标为(,)x y . ∵抛物线24yx=的焦点是(1,0)F ，直线恒过点F ，且与抛物线交于两点A 、B ， 又OM AB ⊥， ∴OM FM⊥u u u u r u u u u r，即OM FM ⋅=u u u u r u u u u r ，∴(,)(1,)0x y x y ⋅-=，即220xy x +-=，又当M 与原点重合时，直线l 与x 轴重合，故0x ≠． ∴动点M 的轨迹方程是220xy x +-=（0x ≠）．（Ⅱ）设点C ，D 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，∵点C 、D 在抛物线24y x=上，∴2114y x =，2224yx =，即2212124y y x x ++=，22121216y y x x =，又4OC OD ⋅=-u u u r u u u r， ∴12124x xy y +=-，即221212416y y y y +=-，解得128y y =-．设直线CD 的方程为x my t =+，由24,,y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440ymy t --=．则0∆>，即2m t +>，124y yt=-，又128y y=-，∴2t =．∴直线CD 恒过定点，且定点坐标为(2,0)． 21.解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，11(,)D x y -，l 的方程为1x my =-（0m ≠）． （Ⅰ）将1x my =-代入24y x=并整理， 得2440ymy -+=，由216160m∆=->， 得21m>，且124y ym+=，124y y=，直线BD 的方程为212221()y y y yx x x x +-=--，即222214()4y y y x y y -=⋅--.令0y =，得1214y yx ==，∴点(1,0)F 在直线BD 上． （Ⅱ）由（Ⅰ），知21212(1)(1)42x xmy my m +=-+-=-，1212(1)(1)1x x my my =--=，因为11(1,)FA x y =-u u u r，22(1,)FB x y =-u u u r，所以1212(1)(1)FA FB x x y y ⋅=--+u u u r u u u r21212()1484x x x x m =-+++=-，故28849m-=，解得43m =±． 所以直线l 的方程为3430x y ++=，3430x y -+=， 又由（Ⅰ）知，2217(4)443yy m -=-⨯=±，故直线BD 的斜率为214377yy =±-， 因而直线BD 的方程为3730x +-=，3730x -=．因为KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心(,0)M t （11t -<<），(,0)M t 到直线l 及BD 的距离分别为3|1|5t +，3|1|4t -，由3|1|3|1|54t t +-=，得19t =，或9t =（舍去）， 故圆M 的半径3|1|253t r +==， 所以圆M 的方程为2214()99x y -+=．22.解：（Ⅰ）由2ABF ∆的周长为43得443a =，3a =由离心率63ce a==，得2c =又2221ba c =-=，所以椭圆的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设(,)PPP x y ，则224PP xy +=．（i ）若两切线中有一条切线的斜率不存在， 则3Px=±1Py=±，另一切线的斜率为0，从而PM PN⊥，此时11||||2232322PMNSPM PN ∆=⋅=⨯⨯=． （ii ）若切线的斜率均存在，则3Px ≠± 设过点P 的椭圆的切线方程诶()PP y y k x x -=-，代入椭圆方程，消y 并整理得222(31)6()3()30P P P P k x k y kx x y kx ++-+--=，依题意0∆=，即222(3)210P P P P x k x y k y -++-=．设切线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，从而22122213133P P P Py x k k x x --===---，即PM PN ⊥，即线段MN 为圆O 的直径，||4MN =， ∴222111||||(||||)||4244PMNSPM PN PM PN MN ∆=⋅≤+==，当且仅当||||2PM PN ==所以PMN面积的最大值为4．。
河北省高二上学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1的倾斜角是（ ）30y --=A ．B ．C ．D ．30°60︒120︒150︒【答案】B【分析】根据直线一般方程得直线的斜率，结合直线倾斜角与斜率得关系可得倾斜角的大小.【详解】得直线的斜率30y --=k =又直线的倾斜角为，且，所以α[)0,180α∈︒︒tan α=60α=︒故选：B. 2．已知向量，且，那么（ ）(1,2,1),(3,,)a b x y =-= //a b ||b =A ．B ．C ．D ．6918【答案】A【分析】根据题意，设，即，，，2，，分析可得、的值，进而由向量模b ka = (3x )(1y k =-1)x y 的计算公式计算可得答案．【详解】根据题意，向量，2，，，，，且， (1a =- 1)(3b = x )y //a b 则设，即，，，2，，b ka = (3x )(1y k =-1)则有，则，，3k =-6x =-3y =-则，，，故(3b = 6-3)-||b = 故选：A ．3．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是，的中点，则ABCD BC AD 的值为（ ） AE AF ⋅A ．1B ．C ．D 1214【答案】C【分析】先得到该空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，再根据空间向量的基本定理得到，利用空间向量的数量积运算法则计算出答案. 1122AE AB AC =+ 【详解】此空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，棱长为1，因为点E ，F 分别是，的中点，BC AD 所以， 1122AE AB AC =+ 所以 11112222AE AF AB AC AF AB AF AC AF ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+⋅ ⎪⎝⎭. 111111111cos 60cos 60222222224AB AF AC AF =⋅︒+⋅︒=⨯⨯+⨯⨯=故选：C4．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为2:4D y x =F l P D P l A ，若，则（ ）PA AF =PF =A ．2B ．C ．D ．4【答案】D【分析】画出图像，利用抛物线的定义求解即可.【详解】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上，()1,0F :1l x =-x C P D 由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形， PA AF PF ==PAF △解法1：因为轴，所以直线斜率，,3APF π∠=AP A x PF k =):1PF y x =-由解得，舍去， 241)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(3,P 1,3P ⎛ ⎝所以. 3142P p PF x =+=+=解法2：在中，，则.Rt ACF A 2,60CF AFC ∠== 4AF =解法3：过作于点，则为的中点，因为，则.F FB AP ⊥B B AP 2AB =4AP =故选：D.5．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，1111ABCD A B C D -O ABCD ,E F 11,BB DD 则下列结论正确的是（ ）A ．//1AO EF B ．1A O EF ⊥C ．//平面1AO 1EFB D ．平面1A O ⊥1EFB 【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【详解】在正四棱柱中，以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，1111ABCD A B C D -令，是底面的中心，分别是的中点，12,2(0,0)AB a DD b a b ==>>O ABCD ,E F 11,BB DD 则，，11(,,0),(2,0,2),(2,2,),(2,2,2),(0,0,)O a a A a b E a a b B a a b F b 1(,,2)OA a a b =- ，1(2,2,0),(0,0,)FE a a EB b == 对于A ，显然与不共线，即与不平行，A 不正确；1OA FE 1AO EF 对于B ，因，则，即，B 正确；12()2020OA FE a a a a b ⋅=⋅+-⋅+⋅= 1OA FE ⊥ 1A O EF ⊥对于C ，设平面的法向量为，则，令，得， 1EFB (,,)n x y z = 12200n EF ax ay n EB bz ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 1x =(1,1,0)n =- ，因此与不垂直，即不平行于平面，C 不正确；120OA n a ⋅=> 1OA n 1AO 1EFB 对于D ，由选项C 知，与不共线，即不垂直于平面，D 不正确.1OA n 1AO 1EFB 故选：B6．若实数满足，则的最大值为（ ） ,x y 2220x y x ++=1y x -A． B CD ．212【答案】B【分析】设，当直线与圆相切时取得最值，然后可建立方1y k x =-0kx y k --=()2211x y ++=1y x -程求解.【详解】由可得，其表示的是圆心在，半径为的圆， 2220x y x ++=()2211x y ++=()1,0-1设，其表示的是点与点连线的斜率， 1y k x =-(),x y ()1,0由可得， 1y k x =-0kx y k --=当直线与圆相切时取得最值， 0kx y k --=()2211x y ++=1y x-，解得k =所以 1y x -故选：B7．某班为了了解学生每周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样抽取了一个15人的样本统计如下： 学生数 平均支出（元） 方差男生 9 406 女生 635 4据此估计该班学生每周购买零食的支出的总体方差为（ ）A ．10 B ．11.2 C ．23D ．11.5【答案】B【分析】由均值和方差公式直接计算．【详解】全班学生每周购买零食的平均费用为， ()94063538115x ⨯⨯+⨯==方差. ()()22296640384353811.21515s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦故选：B.8．2021年4月12日，四川省三星堆遗址考古发据3号坑出土一件完整的圆口方尊，这是经科学考古发据出土的首件完整圆口方尊（图1）.北京冬奥会火种台“承天载物”的设计理念正是来源于此，它的基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开翩，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种，一种圆口方尊的上部（图2）外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在的直线旋转形成的曲面，该曲面的高为50cm ，上口直径为cm ，下口直径为25cm ，最小横截面的直径为20cm ，则该双曲线的离心率1003为（ ）A ．B ．2C ．D ． 7473135【答案】D【分析】设双曲线的标准方程为，利用已知条件确定的值，即可求解 ()222210,0x y a b a b -=>>,a b 【详解】设双曲线的标准方程为， ()222210,0x y a b a b-=>>则由题意最小横截面的直径为20cm ，可知，10a =设点， ()5025,,,50,032A t B t t ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 ()22225025006251,1,900400t b tb --=-=解得，32,24t b ==所以， 135e ===故选：D二、多选题9．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（ ）A ．“至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件B ．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C ．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件D ．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件【答案】BD【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．【详解】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，可能结果有：二个红球，一个红球一个黑球，二个黑球；对于，“至少一个红球”和“至少有一个黑球”能同时发生，不是互斥事件，故错误； A A 对于，“恰有一个黑球”和“都是黑球”不能同时发生，是互斥事件，故正确；B B 对于，“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生，但是可以同时都不发生，是互斥事件，C 但不是对立事件，故错误；C 对于，“至少一个黑球”和“都是红球”不能同时发生，但是一定有一个要发生，是对立事件，D 故正确．D 故选：．BD 10．若曲线C 的方程为，则（ ） ()2222102x y m m m +=>-A ．当时，曲线C 表示椭圆，离心率为 m =12B ．当时，曲线C 表示双曲线，渐近线方程为m =y =C ．当时，曲线C 表示圆，半径为1 1m =D ．当曲线C 表示椭圆时，焦距的最大值为4【答案】BC【分析】根据方程研究曲线的性质，由方程确定曲线形状，然后求出椭圆的得离心率，得焦,,a b c 距判断AD ，双曲线方程中只要把常数1改为0，化简即可得渐近线方程，判断B ，由圆的标准方程判断C ．【详解】选项A ，时，曲线方程为，表示椭圆，其中，，则m 2211322x y +=232a=212b =，离心率为，A 错； 2221c a b =-=c e a ===选项B ，时曲线方程为表示双曲线，渐近线方程为，即，B m 2213x y -=2203x y -=y =正确；选项C ，时，曲线方程为，表示圆，半径为1，C 正确；1m =221x y +=选项D ，曲线C 表示椭圆时，或，22222002m m m m ⎧->⎪>⎨⎪≠-⎩201m <<212m <<时，，，，201m <<222a m =-22b m =222222(0,2)c a b m =-=-∈时，，，，212m <<22a m =222b m =-222222(0,2)c a b m =-=-∈所以，即，无最大值．D 错．2(0,2)c ∈c∈故选：BC ．11．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的1111ABCD A B C D -夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）A ．1AC =B ．平面BD ⊥1ACCC ．向量与的夹角是60°1B C 1AA D ．直线与AC1BD 【答案】AC【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．【详解】解：对于， 111:A AC AB BC CC AB AD AA =++=++∴22221111222AC AB AD AA AB AD AD AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅， 363636266cos60266cos60266cos60216=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=所以错误；1||AC A 对于:B 11()()AC BD AB AD AA AD AB ⋅=++⋅- ，所以，即， 22110AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB =⋅-+⋅+⋅--⋅= 10AC DB ⋅= 1AC DB ⊥，所以，即，因为2222()()0AC BD AB AD AD AB AD AB AD AB ⋅=+⋅-==--= 0AC BD ⋅= AC BD ⊥，平面，所以平面，选项正确；1AC AC A ⋂=1,AC AC ⊂1ACC BD ⊥1ACC B 对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项C 1B C 1BB 18060120︒-︒=︒1B C 1AA 120︒C错误；对于，11:D BD AD AA AB =+- AC AB AD =+ 所以，()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅1||BD ∴=同理，可得||AC = ，11()()18183636181836AC BD AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+=+-++-=所以，所以选项正确．111cos ||||AC BD BD AC AC BD ⋅<⋅>==⋅ D 故选：AC ．12．已知的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆C ()2222:10x y C a ba b+=>>1F 2F )P 外，点Q 在椭圆C 上，则下列说法中正确的有（ ）A ．椭圆C 的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎭B ．已知，当椭圆C时，的最大值为3 ()0,2E -QE C ．存在点Q 使得120QF QF ⋅= D ．的最小值为11212QF QF QFQF +⋅【答案】ACD【分析】易得，再根据点在椭圆C 外，可得，从而可求得的范围，再根=2a )P 22114b +>2b 据离心率公式即可判断A ；根据离心率求出椭圆方程，设点，根据两点的距离公式结合椭(),Q x y 圆的有界性即可判断B ；当点Q 位于椭圆的上下顶点时取得最大值，结合余弦定理判断12F QF ∠是否大于等于即可判断C ；根据12F QF ∠90︒结合基本不等式即可判断D. ()1212121212111114QF QF QF QF QF QF QF QF QF QF ⎛⎫+=+=++ ⎪ ⎪⋅⎝⎭【详解】解：根据题意可知，=2a 则椭圆方程为， 22214x y b+=因为点在椭圆C 外， )P 所以，所以， 22114b+>22b <所以，22102b a <<则离心率，故A 正确；c ea ⎫==⎪⎪⎭对于B ，当椭圆C2c c a ==所以， 21c b ==所以椭圆方程为，2214x y+=设点，(),Q x y 则， )11QE y ==-≤≤当时，，故B 错误；23y =max QE =对于C ，当点Q 位于椭圆的上下顶点时取得最大值， 12F QF ∠此时，1212,2QF QF a F F c ===， 2222222212121222122442cos 102222QF QF F F a c b a b F QF QF QF a a +---∠====-<即当点Q 位于椭圆的上下顶点时为钝角， 12F QF ∠所以存在点Q 使得为直角， 12F QF ∠所以存在点Q 使得，故C 正确；120QF QF ⋅= 对于D ，， 1224QF QF a +==则 ()1212121212111114QF QF QF QF QF QF QF QF QF QF ⎛⎫+=+=++ ⎪ ⎪⋅⎝⎭， 12211122144QF QF QF QF ⎛⎛⎫ =++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝当且仅当，即时，取等号， 1221QF QF QF QF =122QF QF ==所以的最小值为1，故D 正确.1212QF QF QF QF +⋅故选：ACD.三、填空题13．某校高二年级共有学生1000人，其中男生480人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高二全体学生中抽出一个容量为100的样本，若样本按比例分配，则女生应抽取的人数为___________. 【答案】52【分析】利用分层抽样的性质直接求解． 【详解】解：由分层抽样的性质得： 女生应该抽取：．1000480100521000-⨯=故答案为：52．14．已知两直线，．若直线与，不能构成三1:240l x y -+=2:4350l x y ++=3:260l ax y +-=1l 2l 角形，求实数__________． =a 【答案】或或1-832-【分析】分别讨论或或过与的交点时，即可求解.31l l ∥32l l ∥3l 1l 2l 【详解】由题意可得，①当时，不能构成三角形，此时：，解得：；31l l ∥()212a ⨯-=⨯1a =-②当时，不能构成三角形，此时：，解得：；32l l ∥342a ⨯=⨯83a =③当过与的交点时，不能构成三角形，此时：3l 1l 2l 联立与，得，解得，1l 2l 2+4=04+3+5=0x y x y -⎧⎨⎩=2=1x y -⎧⎨⎩所以与过点，将代入得：，解得； 1l 2l ()2,1-()2,1-3l (2)2160a ⨯-+⨯-=2a =-综上：当或或时，不能构成三角形.1a =-832-故答案为：或或.1-832-15．已知圆，圆.动圆与外切，与内切，则动圆的221:(1)1C x y -+=222:(1)25C x y ++=M 1C 2C M 圆心的轨迹方程为___________.【答案】22198x y +=【分析】根据题意得到动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数，且大于两个定点的距离，故轨迹为椭圆，根据条件计算得到答案.【详解】圆的圆心为，半径为1，221:(1)1C x y -+=1(1,0)C 圆的圆心为，半径为5，222:(1)25C x y ++=2(1,0)C -设动圆圆心为，半径为， (,)M x y r 则，， 1||1MC r =+2||5MC r =-于是，1212||||6||2MC MC C C +=>=动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，∴M 1(1,0)C 2(1,0)C -，，， 3a ∴==1c 2228b a c =-=的轨迹方程为，M ∴22198x y +=故答案为：22198x y +=16．如图，已知抛物线：的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两E ()220y px p =>F F E A B 点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点，轴于点．若四边形的面AB M x C MN y ⊥N CMNF积等于7，则的方程为________.E【答案】24y x =【分析】作出辅助线，根据直线的斜率表达出梯形的上底和下底以及高，列出方程，求AB CMNF 出，得到抛物线方程.2p =【详解】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且．,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭AB 2p y x =-CMNF FC NM ∥设，，，则， ()11,A x y ()22,B x y 00(,)M x y 1212221212122122AB y y y y p k y y x x y y p p --====-+-所以，所以． 122y y p +=0y p =作轴于点，则．MK x ⊥K MK p =因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故，所以AB FMC A FK MK KC p ===，， 32pMN OF FK =+=2FC p =所以四边形的面积为， CMNF 132722p p p ⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭解得，2p =故抛物线的方程为.E 24y x =故答案为：24y x =四、解答题17．已知直线：与直线：，. 1l ()280m x my ++-=2l 40mx y +-=m ∈R (1)若，求m 的值；12l l ⊥(2)若点在直线上，直线l 过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程. ()1,P m 2l 【答案】(1)或0； 3-(2)或. 20x y -=10x y -+=【分析】（1）根据两直线垂直得到方程，求出m 的值；（2）先将点代入中求出，再分截距为0和截距不为0两种情况进行求解. ()1,P m 2l =2m 【详解】（1）由题意得：，解得：或0， ()20m m m ++=3m =-经检验，均满足要求，所以或0；3m =-（2）将点代入中，，解得：， ()1,P m 2l 40m m +-==2m 因为直线l 过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，当两截距均为0时，设直线l 为，代入，可得， =y kx ()1,2P =2k 此时直线l 为；20x y -=当两截距不为0时，设直线l 为，代入，可得， 1x yn n+=-()1,2P 1n =-故此时直线l 为；10x y -+=综上：直线l 的方程为或.20x y -=10x y -+=18．在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是34，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．11214(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有2个家庭回答正确这道题的概率．【答案】(1)；3283、(2). 1532【分析】（1）记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确这道题”分别为事件，根据独立事件概率的求法列方程组计算即可；,,A B C （2）由（1）结合题意可知所求事件为，其概率利用互斥事件与独立事件的概ABC ABC ABC ++率求法计算即可.【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确=A =B =C 这道题”，由于相互独立，所以和相互独立，,,A B C A C 则，解得，()()()()()()()()()()()3=41==11=121==4P A P AC P A P C P A P C P BC P B P C ⋅--⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩()()3=82=3P B P C ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为.32,83（2）因为相互独立，且相互互斥， ,,A B C ,,ABC ABC ABC 所以()()()()P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++， 3333232151114834834833223⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以恰有2个家庭回答正确这道题的概率为． 153219．已知圆心为C 的圆经过两点，且圆心C 在直线上 ()()1,1,2,2A B -:10l x y -+=(1)求圆C 的标准方程．(2)若直线PQ 的端点P 的坐标是，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程()5,6【答案】(1) ()()222325x y +++=(2) ()()2225122x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求AB l 得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程.C （2）设出点的坐标，求得点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹M Q Q C M 方程.【详解】（1）线段的中点的坐标为，AB D 31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭直线的斜率为， AB 21321--=--所以线段的垂直平分线的斜率为，AB 13所以线段的垂直平分线的方程为，AB 1131,12323y x y x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由解得，所以， 11310y x x y ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩3,2x y =-=-()3,2C --,5=所以圆的标准方程为.C ()()222325x y +++=（2）设，由于是线段的中点，， (),M x y M PQ ()5,6P 所以，()25,26Q x y --将点的坐标代入原的方程得， Q C ()()2222532625x y -++-+=整理得点的轨迹方程为：. M ()()2225122x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭20．某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将2021100分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示[)30,50[)50,70[)70,90[)90,110[)110,130[]130,1506的频率分布直方图：(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分； (2)估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数；80(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组[)50,70[)70,90中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取．名学生进552行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 21[)50,70【答案】(1)分； 93(2)分； 115(3). 710【分析】先利用频率之和为，计算出，进而求出平均值即可；()110.01a =利用百分位数的运算方法，求出成绩的第百分位数；()280利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽人，分别记为，，需在分()3[)50,7021A 2A [)70,90数段内抽人，分别记为，，，写出样本空间和符合条件样本点数，即可求出相应概率. 31B 2B 3B 【详解】（1）解：由， 0.005200.005200.0075200.0220200.0025201a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=得. 0.01a =数学成绩在：频率， [)30,500.0050200.1⨯=频率，[)50,700.0050200.1⨯=频率， [)70,900.0075200.15⨯=频率，[)90,1100.0200200.4⨯=频率，[)110,1300.0100200.2⨯=频率，[]130,1500.00252000.5⨯=样本平均值为：， 400.1600.1800.151000.41200.21400.0593⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=可以估计样本数据中数学成绩均值为分，93据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计分．93（2）解：由知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为， ()11100.10.10.150.40.75+++=在分以下所占比例为1300.750.20.95+=因此，第百分位数一定位于内，由，80[)110,1300.80.75110201150.950.75-+⨯=-可以估计样本数据的第百分位数约为分，80115据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分. 80115（3）解：由题意可知，分数段的人数为 (人)，[)50,701000.110⨯=分数段的人数为 (人)．[)70,901000.1515⨯=用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为，5[)50,7021A ，需在分数段内抽人，分别记为，，，2A [)70,9031B 2B 3B 设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，21[)50,70A 则样本空间共包含个样本点 {}12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B Ω=10而的对立事件包含个样本点 A {}121323,,A B B B B B B =3所以，所以，即抽取的这名学生至少有人在内的概率为()310P A =()()7110P A P A =-=21[)50,70． 71021．如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．111ABC A B C -ABC 2O AB（1）证明：平面；CO ⊥11ABB A（2）若直线与平面与平面夹角的余弦1B C 11ABB A 11A BC 1ABC 值．【答案】（1）证明见解析；（2）． 57【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）连接，由（1）知⊥平面，又直线与平面1OB CO 11ABB A 1B C 11ABB A ，可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公12BB =O 式计算大小可得答案．【详解】（1）是正三角形，为的中点，ABC O AB ．CO AB ∴⊥又是直三棱柱，111ABC A B C - 平面ABC ，1AA ∴⊥． 1AA CO ∴⊥又，1AB AA A ⋂=平面．CO ∴⊥11ABB A （2）连接，由（1）知平面， 1OB CO ⊥11ABB A ∴直线与平面所成的角为， 1B C 11ABB A 1CB O ∠1tan CB O ∴∠=是边长为2的正三角形，则ABC A CO =．1OB ∴=在直角中，， 1B BO A 1OB =1OB =．12BB ∴=建立如图所示坐标系，则，，，，．()1,0,0B ()1,0,0A -()11,2,0A -()11,2,0B (10,C ，，设平面的法向量为，则，即()12,2,0BA ∴=- (11,BC =- 11A BC (),,m x y z = 11·0·0m BA m BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得平面的法向量为．22020x y x y -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩11ABC )1m =- ，，设平面的法向量为，则，即()2,0,0AB = ()11,2,3AC = 1ABC (),,n x y z = 1·0·0n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，解得平面的法向量为． 20230x x y z =⎧⎨++=⎩1ABC ()0,2n = 设平面与平面夹角为，则11A BC 1ABC θ．5cos 7m n m n θ⋅==⋅平面与平面夹角的余弦值为．11A BC 1ABC 5722．已知椭圆C ：的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段22221x y a b +=()0a b >>RS ，C． (1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，，且总存在实数，使得(2,0)P R λ∈，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明PA PB PF PA PB λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭理由．【答案】(1)；2212x y +=(2)l 恒过定点. ()1,0【分析】（1）线段RS 为通径时最短，再根据的关系即可求解；,,a b c （2）联立直线AB 的方程与椭圆方程，利用根与系数的关系表示出，整理式子即得结0PA PB k k +=果.【详解】（1）由线段RS，22b a=又，所以，解得 c a =22212a b a -=222,1,a b ⎧=⎨=⎩所以C 的标准方程为．2212x y +=（2）由， PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭可知PF 平分，∴．APB ∠0PA PB k k +=设直线AB 的方程为，，，x my t =+()11,A my t y +()22,B my t y +由得， 2222x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2222220m y mty t +++-=，即，()22820m t ∆=-+>222m t >-∴，，12222mt y y m -+=+212222t y y m -=+∴， 1212022PA PBy y k k my t my t +=+=+-+-∴，∴，()()1212220my y t y y +-+=()()222220m t t mt ---⋅=整理得，∴当时，上式恒为0， ()410m t -=1t =即直线l 恒过定点．()1,0Q 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、定点定值、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
衡水中学2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(理科) 含解析
2016—2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设a,b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．若以双曲线﹣=1(b＞0）的左、右焦点和点(1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（）A．B．1 C．D．23．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是,则E的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x4．已知p：∀m∈R,x2﹣mx﹣1=0有解，q:∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）5．抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是( ）A．（1，1） B．（）C．D．(2，4)6．命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*,f（n)＞n C．∃n∈N*，f(n)＞n D．∀n∉N＊，f(n)＞n7．过抛物线y2=2px（p＞0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2）,则p等于（)A．B． C． D．8．已知椭圆(a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0）,左焦点为F,右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是（)A．B．C． D．9．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为,则椭圆的离心率为（）A．B． C． D．10．以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB"的逆命题为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p:∀x∈R,则x2+x+1≥011．过抛物线y2=2px(p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF｜＞|BF|，且|AF｜=2，则抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=x12．设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1(a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C． D．二、填空题若命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是…14．已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F,则双曲线的渐近线方程为．15．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．16．给出下列结论:动点M（x，y)分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M(x,y)的轨迹为曲线C,F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：（1)曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）若∠F1MF2=90°,则S=32；(3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；（4)设A（6,1)，则|MA｜+｜MF2｜的最小值为;其中正确命题的序号是：．三、解答题(本大题共6小题，共70分。
河北省枣强中学高二数学上学期期中试题 理
2015-2016学年高二第一学期期中考试理科数学 试卷（百佳联盟质检命题组）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．盒子内分别有3个红球,2个白球,1个黑球,从中任取2个,则下列选项中两个事件互斥而不对立的是A.至少有1个白球,至多有1个白球B.至少有1个白球,至少有1个红球C.至少有1个白球,没有白球D.至少有1个白球,红、黑球各1个 2．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 A.81 B.85 C.83 D.87 3．双曲线1922=-my x 的焦距是10，则实数m 的值为A.－16B.4C.16D.81 4．已知F 为双曲线C:x 2-my 2=3m(m>0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A.3 B.3m C.3 D.3m5．“62<<m ”是“方程16222=-+-my m x 为椭圆方程”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交于C 于A ，B 两点，则|AB |＝A.错误!未找到引用源。
B.6C.12D.错误!未找到引用源。
7．已知双曲线E 的中心在原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 中点为N(-12,-15)，则E 的方程为A.16322=-y xB.15422=-y xC.13622=-y xD.14522=-y x8.过抛物线错误!未找到引用源。
的焦点F 的直线错误!未找到引用源。
交抛物线于A ，B ，交其准线于点C ，若错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，则抛物线的方程为A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
9．设m ∈R,过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是 A.[]525， B.[]52,10 C.[]5410， D.[]54,5210．已知平面上两点M(-5,0),N(5,0),若一条直线上存在点P 使得|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线:①y=x+1,②y=2,③y=34x,④y=2x+1中为“单曲型直线”的是 A.①② B.①③ C.②③ D.①④11．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆11022=+y x 上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是A.27+B.246+C.26D.2512．已知A 1,A 2分别为椭圆C:12222=+by a x (a>b>0)的左、右顶点,椭圆C 上异于A1,A2的点P恒满足9421-=•PA PA k k ,则椭圆C 的离心率为 A.94 B.32 C.95 D.35 第II 卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆19822=++y k x 的离心率为21，则k 的值为____. 14．若倾斜角为4π的直线交椭圆42x +y 2=1于A ，B 两点，则线段的中点的轨迹方程是__________.15．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两条渐近线方程为x y 33±=，若顶点到渐近的距离为1，则双曲线方程为________.16．与圆49)5(:22=++y x A 和圆B:1)5(22=+-y x 都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为____.三、解答题（本大题共6小题， 共70分）17.(本小题满分10分)某售报亭每天以每份0.6元的价格从报社购进若干份报纸,然后以每份1元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站. (1)若售报亭一天购进280份报纸,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量x (单位:份)的函数关系式;(2)售报亭记录了100天报纸的日需求量,整理得下表:①假设售报亭在这100天内每天都购进了280份报纸,求这100天的日平均利润;②若某天售报亭购进了280份报纸,以这100天记录的各需求量的频率作为概率,求当天的利润不超过100元的概率.18．(本小题满分12分)已知命题P ：函数)(x f 为),0(+∞上单调减函数,实数m 满足不等式)23()1(m f m f -<+.命题Q ：当]2,0[π∈x ，函数a x x m ++-=1sin 2sin 2.若命题P 是命题Q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.19．(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取20件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量得到如图1的频率分布直方图,从左到右各组的频数依次记为54321,,,,A A A A A .(1)求图1中a 的值;(2)图2是统计图1中各组频数的一个算法流程图,求输出的结果S;(3)从质量指标值分布在[)[)120,110,90,80的产品中随机抽取2件产品,求所抽取两件产品的质量指标值之差大于10的概率.日需求量x (份)240 250 260 270 280 290 300 频数10 20 16 16 15 13 10图3 图4 20．(本小题满分12分)如图3,实轴长为34的椭圆的中心在原点O,其焦点F1、F2在x 轴上.抛物线的顶点在原点O,对称轴为y 轴,两曲线在第一象限内相交于点A,且,21AF AF ⊥△21F AF 的面积为3.(1)求椭圆和抛物线的标准方程;(2)过点A 的直线l 与抛物线和椭圆分别交于B 、C 两点,若错误!未找到引用源。
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2016-2017学年河北省衡水市枣强中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0【考点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程．【分析】因为所求直线与直线x﹣2y﹣2=0平行，所以设平行直线系方程为x﹣2y+c=0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值【解答】解：设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0），∴1﹣0+c=0故c=﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1=0；故选A．2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”【考点】互斥事件与对立事件．【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】解：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选D3．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为（）A．2 B．2.3 C．3 D．3.5【考点】极差、方差与标准差．【分析】先由数据的平均数公式求得a，再根据方差的公式计算．【解答】解：∵由题可知样本的平均值为1，∴（a+0+1+2+3）=1，解得a=﹣1，∴样本的方差为[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2．故选A．4．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（）A．30 B．60 C．70 D．80【考点】频率分布直方图．【分析】由图分析，易得底部周长小于110cm段的频率，根据频率与频数的关系可得频数．【解答】解：由图可知：则底部周长小于110cm段的频率为（0.01+0.02+0.04）×10=0.7，则频数为100×0.7=70人．故选C．5．设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a=（）A．3 B．C．5 D．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），∵P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），∴2a﹣3与a+2关于x=3对称，∴2a﹣3+a+2=6，∴3a=7，∴a=，故选：D．6．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p 的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．7．在2011年“西博会”会展中心的眉山展区，欲展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件，不同的绘画作品2件，标志性建筑设计作品1件，展出时将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该展台展出这5件作品不同的排法有（）A．12种B．36种C．24种D．48种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】相邻问题用捆绑法，不相邻问题利用插空法，进而根据乘法原理，即可求得该展台展出这5件作品不同的排法．【解答】解：由于2件书法作品必须相邻，则捆绑在一起，与标志性建筑设计作品，进行全排，有种排法，而2件书法作品有种排法，将排好的作品，形成三个空，插入2件绘画作品，有种排法根据乘法原理可得该展台展出这5件作品不同的排法有故选C．8．某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．A．46 B．40 C．38 D．58【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得（，）为：（10，38），又（，）在回归方程=bx+a中的b=﹣2，∴38=10×（﹣2）+a，解得：a=58，∴=﹣2x+58，当x=6时，=﹣2×6+58=46．故选：A．9．如图，该程序运行后输出的结果S为（）A．28 B．19 C．10 D．1【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出输出的S值是什么．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；A=0，S=1，1≤2，是；S=1+9=10，A=1，1≤2，是；S=10+9=19，A=2，2≤2，是；S=19+9=28，A=3，3≤2，否；输出S=28．故选：A．10．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（）A．﹣+B．﹣++C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答．【解答】解：因为空间四边形OABC如图，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，所以=．所以=．故选B．11．已知实数x，y满足约束条件：，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z 在y轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小由题意可得，当y=﹣2x+z经过点A时，z最小由可得A（﹣2，2），此时Z=﹣2故选B．12．设a1，a2，…，a n是1，2，…，n的一个排列，把排在a i的左边且比a i小的数的个数称为a i的顺序数（i=1，2，…，n）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为（）A．48 B．96 C．144 D．192【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】8必在第3位，7必在第第5位；5可以在第6位，5也可以在第7位，分2种情况进行讨论．【解答】解：由题意知，8必在第3位，7必在第第5位；5可以在第6位，5也可以在第7位．若5在第6位，则5前面有3个空位，需从1、2、3、4中选出3个填上，把剩下的2个数填在5后面的2个空位上，则有：A43A22=48种，若5在第7位，则5前面有4个空位，6应填在其中的一个空位上，其它4个数填在剩余的4个位上，则有C41A44=96种，合计为48+96=144种，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．海州市育才中学高一（8）班共有学生56人，编号依次为1，2，3，…56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6，34，48号的同学已在样本中，那么还有一个同学的编号是20．【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义，求出对应的组距即可得到结论．【解答】解：56人中抽取样本容量为4的样本，则样本组距为56÷4=14，则6+14=20，故另外一个同学的学号为20，故答案为：20．14．已知直线l在y轴上的截距为1，且垂直于直线y=x，则l的方程是y=﹣2x+1．【考点】直线的斜截式方程．【分析】要求的直线垂直于直线y=x，可得要求直线的斜率为﹣2，利用斜截式即可得出．【解答】解：∵要求的直线垂直于直线y=x，∴要求直线的斜率为﹣2，由斜截式可求得l的方程为：y=﹣2x+1．故答案为：y=﹣2x+1．15．从的展开式中任选一项，则字母x的幂指数为整数的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据﹣的特点求出满足条件的概率即可．【解答】解：若字母x的幂指数为整数，只需﹣的指数是偶数即可，而二项式的展开式是6项，其中﹣的指数是0，2，4时满足条件，故满足条件的概率是=，故答案为：．16．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即P（A|B）．先求出P（AB）和P（B）的值，再根据P（A|B）=，运算求得结果．【解答】解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即P（A|B）．又P（AB）=P（A）==，P（B）==，∴P（A|B）===，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．安排6名志愿者去做3项不同的工作，每项工作需要2人，由于工作需要，A，B二人必须做同一项工作，C，D二人不能做同﹣项工作，那么不同的安棑方案有多少种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】把6个人分成3组，每组两人，由条件知：与C结组的方法有两种，剩下那人只能与D结组，将3组分配给3项工作，即可得出结论．【解答】解：把6个人分成3组，每组两人，由条件知：与C结组的方法有两种，剩下那人只能与D结组，将3组分配给3项工作，有种情况．所以不同的安排方案有：2×6=12种．18．一同学投篮每次命中的概率是，该同学连续投蓝5次，每次投篮相互独立．（1）求连续命中4次的概率；（2）求恰好命中4次的概率．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】（1）设“连续命中4次”的为事件A，则A包含“第1至第4次命中第5次没有命中”和“第1次没有命中，第2至第5次命中”，两种情况；（2）利用独立重复试验概率公式，即可求解．【解答】解：（1）设“连续命中4次”的为事件A，则A包含“第1至第4次命中第5次没有命中”和“第1次没有命中，第2至第5次命中”，两种情况，P（A）==；（2）5次独立重复试验，恰好命中4次的概率为．19．已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3=0和4x﹣3y﹣5=0的交点，且与直线x+y﹣2=0垂直．（1）求直线l的方程；（2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．【考点】圆的标准方程．【分析】（1）求出两直线交点，直线l的斜率，即可求直线l的方程；（2）利用待定系数法求圆C的标准方程．【解答】解：（1）由已知得：，解得两直线交点为（2，1），∵l与x+y﹣2=0垂直，∴k1=1．∵l过点（2，1），∴l的方程y﹣1=（x﹣2）即y=x﹣1．（2）设圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=r2，则，解得a=3，r=2．∴圆的标准方程为（x﹣3）2+y2=4．20．已知矩形ABCD，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D’EC的位置，使二面角D'﹣EC﹣B是直二面角．（1）证明：BE⊥CD’；（2）求二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）一般是通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明其中一条直线与另一条直线所在的平面垂直．（2）利用向量法求二面角的平面角，建立空间直角坐标系利用向量的一个运算求出两个平面的法向量，进而求出二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵AD=2AB=2，E是AD的中点，∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．（2）如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系．则设平面BEC的法向量为；平面D'BC的法向量为，代入整理可得：不妨取x2=l得，∴∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为．21．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程=bx+a ；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（2）中所得线性回归方程是否理想？参考公式：b==，a=．【考点】线性回归方程．【分析】（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C 62种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．（2）根据所给的数据，求出x ，y 的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b ，把b 和x ，y 的平均数，代入求a 的公式，做出a 的值，写出线性回归方程．（3）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．【解答】解：（1）设柚到相邻两个月的教据为事件A．因为从6组教据中选取2组教据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，抽到相邻两个月份的教据的情况有5种，所以．（2）由教据求得，由公式求得，再由．所以y关于x的线性回归方程为．（3）当x=10时，；同样，当x=6时，，所以该小组所得线性回归方程是理想的．22．第13届夏季奥林匹克运动会2016年8月5日到2016年8月21日在巴西里约热内卢举行，为了解我校学生“收看奥运会足球赛”是否与性別有关，从全校学生中随机抽取30名进行了问卷调查，得到2×2列联表，从这30名同学中随机抽取1人，抽到“收看奥运会足球赛”的学生的概率是．（1）请将上面的2×2列联表补充完整，并据此资料分析“收看奥运会足球赛”与性別是否有关；（2）若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加有奖竞猜活动，记抽到“收看奥运会足球赛”的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由已知数据可求得2×2列联表，计算观测值，把求得的观测值同临界值进行比较，得到没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关；（2）X的可能取值为0，1，2，结合变量对应的事件利用等可能事件的概率公式做出概率，写出分布列和期望．【解答】解：（1）由已知数据得：，所以，没有充足的理由认为“收看奥运会足球赛”与性別有关．（2）X的可能取值为0，1，2，则，所以X的分布列为：X的数学期望为：．2016年12月18日。