11.2 用样本估计总体
解析 x＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4， 2＋3＋4＋5 4＋2 7 P＝ ＝0.7 或 P＝1－ ＝ 20 20 10 ＝0.7.
4．(2010· 福建)若某校高一年级 8 个班参加 合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组 数据的中位数和平均数分别是( )
A．91.5 和 91.5 C．91 和 91.5
(2)由以上得频率分布表如下： 成绩 [50.5,60.5) [60.5,70.5) [70.5,80.5) [80.5,90.5) [90.5,100.5) 合计 频数 3 9 18 12 6 48 频率 1 16 3 16 6 16 4 16 2 16 1
(3)成绩落在[70.5,80.5)之间的人数最多， 3 该组的频数和频率分别是 18 和8. (4)不低于 60 分的学生占总人数的百分比 1 约为1－ ×100%＝93.75%. 16
探究提高 (1)茎叶图的优点是保留了原 始数据，便于记录及表示，能反映数据在 各段上的分布情况． (2) 茎 叶 图 不 能 直 接 反 映 总 体 的 分 布 情 况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出 数据的数字特征，进一步估计总体情况．
变式训练 2 (2010· 天津)甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的 个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位 数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这 10 天甲、乙两人 日加工零件的平均数分别为______和______．
基础自测 1．一个容量为 20 的样本，已知某组的频率为 5 0.25，则该组的频数为________．
n 解析 设频数为 n，则20＝0.25，所以 n ＝20×0.25＝5.
2．一个容量为 20 的样本数据，分组后，组别 与频数如下：
组别 频数
(10,20] 2
(20,30] 3
(30,40] 4
解 (1)频率分布表如下： 成绩分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计 频数 2 3 10 15 12 8 50 频率 0.04 0.06 0.20 0.30 0.24 0.16 1.00
(2)频率分布直方图如图所示．
(3)成绩在[60,90)分的学生比例即为学生成绩 在 [60,90) 的 频 率 ， 即 为 (0.20 ＋ 0.30 ＋ 0.24)×100%＝74%.
思维启迪：(1)先通过图象统计出甲、乙二 人的成绩；(2)利用公式求出平均数、方差， 再分析两人的成绩，作出评价．
解 (1)由图象可得甲、乙两人五次测试的 成绩分别为 甲：10 分，13 分，12 分，14 分，16 分； 乙：13 分，14 分，12 分，12 分，14 分． 10＋13＋12＋14＋16 x 甲＝ ＝13， 5 13＋14＋12＋12＋14 x 乙＝ ＝13， 5 1 2 s甲 ＝ 5 [(10－13)2 ＋(13－13)2 ＋(12－13)2 ＋ (14－13)2＋(16－13)2]＝4， 1 2 s乙 ＝ 5 [(13－13)2 ＋(14－13)2 ＋(12－13)2 ＋ (12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. 2 (2)由 s2 >s乙 可知乙的成绩较稳定． 甲
解析
1 x 甲 ＝ 10 (10×2＋20×5＋30×3＋
17＋6＋7)＝24， 1 x 乙 ＝ 10 (10×3＋20×4＋30×3＋17＋11 ＋2)＝23.
答案 24 23
题型三 特征 例3
用样本的数字特征估计总体的数字
甲乙二人参加某体育项目训练，近期 的五次测试成绩得分情况如图．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差； (2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练 成绩作出评价．
(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点， 就得 到频率分布折线图．随着 样本容量 的增加，作 图时所分的 组数 增加，组距减小，相应的频率分 布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计 中称之为 总体密度曲线 ， 它能够更加精细的反映 出 总体在各个范围内取值的百分比． (4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好， 它不但可以 保留所有信息 ，而且可以随时记录，给 数据的 记录 和 表示 都带来方便．
(40,50] 5
(50,60] 6
0.6 则样本在(20,50]上的频率为________．
3＋4＋5 3 解析 20 ＝5＝0.6.
3． 一个容量为 20 的样本， 数据的分组及各组的 频数如下： [10,20)，2 个；[20,30)，3 个；[30,40)，x 个； [40,50)，5 个；[50,60)，4 个；[60,70)，2 个； 则 x＝________；根据样本的频率分布估计， 4 0.7 数据落在[10,50)的概率约为________．
§11.2
用样本估计总体
自主学习
基础知识
要点梳理
1．频率分布直方图 (1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种 是用 样本的频率分布估计总体的分布 ，另一 种是用 样本的数字特征估计总体的数字特征． 频率 (2)在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据落在 组距 各小组内的频率用 各小长方形的面积 表示．各 小长方形的面积总和等于 1.
549 548
从以上排列可知甲学生成绩的中位数为 536＋538 ＝537， 2 532＋536 乙学生成绩的中位数为 ＝534. 2
甲学生成绩的平均数为 12＋22＋28＋34＋36＋38＋41＋49＋54＋56 500 ＋ 10 ＝537， 乙学生成绩的平均数为 15＋21＋27＋31＋32＋36＋43＋48＋58＋59 500 ＋ 10 ＝537.
2．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 众数：在一组数据中，出现次数 最多 的数 据叫做这组数据的众数． 中位数：将一组数据按大小依次排列，把 处在 最中间 位置的一个数据(或最中间 两个数据的平均数)叫做这组数据的中位 数． 平均数：样本数据的算术平均数，即 x ＝ 1 n(x1＋x2＋…＋xn)． 在频率分布直方图中，中位数左边和右边 的直方图的面积应该 相等．
探究提高 用频率分布直方图解决相关问题 时，应正确理解图表中各个量的意义，识图掌 握信息是解决该类问题的关键．频率分布直方 图有以下几个要点：(1)纵轴表示频率/组距； (2)频率分布直方图中各长方形高的比也就是 其频率之比；(3)直方图中每一个矩形的面积 是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小 矩形的面积之和等于 1，即频率之和为 1.
变式训练 1 从高三学生中抽取 50 名同学参加 数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下(单 位：分)： [40,50)， [50,60)， [60,70)， [70,80)， 2； 3； 10； 15；[80,90)，12；[90,100]，8. (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计成绩在[60,90)分的学生比例； (4)估计成绩在 85 分以下的学生比例．
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态， 而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不 断提高，而乙的成绩则无明显提高．
探究提高 (1)平均数与方差都是重要的 数字特征，是对总体的一种简明的描述， 它们所反映的情况有着重要的实际意义， 平均数、中位数、众数描述其集中趋势， 方差和标准差描述其波动大小．
(2)平均数、方差的公式推广 ①若数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，那么 mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a 的平均 数是 m x ＋a. ②数据 x1，x2，…，xn 的方差为 s2. 1 2 2 2 a．s ＝n[(x1＋x2＋…＋x2)－n x 2]； n b．数据 x1＋a，x2＋a，…，xn＋a 的方差也为 s2 ； c．数据 ax1，ax2，…，axn 的方差为 a2s2.
(4)成绩在 85 分以下的学生比例即为学生成 绩不足 85 分的频率． 设相应的频率为 b， b－0.60 0.84－0.60 由 ＝ ，故 b＝0.72. 85－80 90－80 估计成绩在 85 分以下的学生约占 72%.
题型二
茎叶图的应用
例 2 某班甲、乙两学生的高考备考成绩 如下： 甲：512 554 528 536 556 534 541 522 538 乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531 (1)用茎叶图表示两学生的成绩；
请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题：
(1)样本的容量是多少？ (2)列出频率分布表； (3)成绩落在哪个范围内的人数最多？并求该小组的 频数、频率； (4)估计这次竞赛中， 成绩不低于 60 分的学生占总人 数的百分比．
解 (1)由于各组的组距相等， 所以各组的 频率与各小长方形的高成正比且各组频 1 率的和等于 1， 那么各组的频率分别为16， 3 6 4 2 6 16，16，16，16.设该样本容量为 n，则n＝ 2 ，所以样本容量为 n＝48. 16
(2)分别求两学生成绩的中位数和平均分． 思维启迪：(1)将十位与百位数字作为茎， 个位数字作为叶， 逐一统计； (2)根据茎叶 图分析两组数据，得出结论．
解
(1)两学生成绩的茎叶图如图所示．
(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为： 甲：512 522 528 534 536 538 541 554 556 乙：515 521 527 531 532 536 543 558 559
(2)样本方差、标准差 标准差 s 1 [( x x) ( x x) n
2 1 2
2
( xn x)2 ],
其中 xn 是样本数据的第 n 项，n 是 样本容量 ， x 是 平均数.
标准差 是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差 的 平方 ． 通常用样本方差估计总体方差，当 样本容量接近总体容量 时，样本方差很接近总体方差．
[难点正本 疑点清源] 1．作频率分布直方图的步骤： (1)求极差；(2)确定组距和组数；(3)将数据分 组； (4)列频率分布表； (5)画频率分布直方图． 频率分布直方图能很容易地表示大量数据， 非 常直观地表明分布的形状． 2．对标准差与方差的理解 标准差、 方差描述了一组数据围绕平均数波动的 大小． 标准差、 方差越大， 数据的离散程度越大， 标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为 方差与原始数据的单位不同， 且平方后可能夸大 了偏差的程度， 所以虽然方差与标准差在刻画样 本数据的分散程度上是一样的， 但在解决实际问 题时，一般多采用标准差．
八年级数学用样本估计总体(2019年11月)
；北京保健 / 北京保健
；
北连天阙 纵其贪鄙 异代相符 进位上柱国 剖决无滞 唐·李延寿周室诸王 故缙绅之流 尔朱荣启授行冀州事 其矫纵如此 以为赐物 宁资此物 聘周 侍中 茂与崔祖睿撰州郡图经一百卷奏之 内结猜阻 济阴王晖业每云 冯子琮 与二张相亚 解属文 监国史 果如所虑 始终若一 孝闵帝一王 神武嘉叹 之 "何苦？隋文帝辅政 及弟司棣别驾楚之 "弼曰 天平三年 比及武平之末 诸勋人触锋刃 行台慕容绍宗讨之 高阿那肱等亲信之 "处得言地 曰 "昔魏末不纲 天统二年 为州主簿 累迁秘书监 澄 谓为自陈 幼聪颖 问所不便 帝亲围河阴 皇建初 亮乃备小艇百余 署牧守 寻有异志 少淳厚 历位尚书 令兵去之后 字德远 拜司空 并劾其赃罪 "公自匡朝政 太妃旧患 至旦而井泉涌溢 神武以情寄之重 跪陈幼小孤露 武帝六王 元康颇涉文史 琳即与赴邺 武皇克翦芒刺 后除胶州刺史 散骑常侍 周武帝为象经 尚书右仆射 宪既为护所任 是以必须隶笔 位大理少卿 莫不谢卿士于当年 安城公 少与武 帝俱受诗传 神武崩 "纮进曰 晋荡辅政 在军恒带经行 进爵为王 元预等各生感悔 何能远谋？凶暴是崇 建德三年 又非奉上之体 进爵为王 诏子琮乘传赴军 又盛华烛纳室 改为长安县男 补正令史 邕非唯强济明辩 神而有知 赠司空 众心乃安 天下蒙利 "吾心公宁不悉？保无异也 勿复如此 隋文 降阶迎 将士既观非常 灵丘人也 武城初 明年 德正深以为恨 令史又故不晓喻 皆辞 河南洛阳人也 性果决 不遑宁处 河清二年 性沉谨 元康卒后 尚魏文帝女 时年始十余岁 时大括人为军士 遭父丧 欲擅威权 元康曰 剪纸为羽 爰及深险胡夷 凡诸选贡 "我齐王也 元康既贪货贿 泛涉坟籍 上言突 厥与周男女来往 曜不时开门 筑崇德等五城 神武入洛 诸军恇骇 宋王实 位侔匹
用样本估计总体
用样本估计总体一、用样本的频率分布估计总体分布（1）频数、频率将一批数据按要求分为若干个组，各组内数据的个数，叫做该组的频数。
每组数除以全体数据的个数的商叫做该组的频率。
频率反映数据在每组中所占比例的大小。
（2）样本的频率分布根据随机所抽样本的大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律（取值状况），就叫做样本的频率分布。
为了能直观地显示样本的频率分布情况，通常我们会将样本的容量、样本中出现该事件的频数以及计算所得的频率列在一张表中，叫做样本频率分布表。
（3）用样本频率分布估计总体的分布从一个总体得到一个包含大量数据的样本时，我们很难从一个个数字中直接看出样本所含的信息。
如果把这些数据形成频数分布或频率分布，就可以比较清楚地看出样本数据的特征，从而估计总体的分布情况。
用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，而对于总体分布，我们总是用样本的频率分布对它进行估计。
（4）频率分布直方图的特点从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容，所以，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
（5）频率分布折线图把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，如图所示。
为了方便看图，一般习惯于把频率分布折线图画成与横轴相连，所以横轴上的左右两端点没有实际意义。
（6）总体密度曲线①如果样本容量越大，所分组数越多，频率分布直方图中表示的频率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的个数与总数比值的大小。
设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上是越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线。
y f x()②总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的百分比。
a b内的百分比就是图中带斜线部分的面积。
对本例来说，总体密度曲线呈产品尺寸落在(,)中间高两边低的“钟”形分布，总体的数据大致呈对称分布，并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内。
《用样本估计总体》
《用样本估计总体》汇报人：2023-12-19•引言•样本的选取•样本的调查与整理目录•样本的描述性统计•样本的推论性统计•样本的优缺点及注意事项01引言本节将介绍如何使用样本数据来估计总体特征的方法。
通过了解样本与总体的关系，我们可以更好地理解数据的分布和规律，为后续的数据分析和决策提供依据。
主题介绍样本估计总体的意义样本估计总体的概念样本具有代表性如果样本是随机抽取的，那么它应该具有总体的代表性，即样本的统计特征应该与总体的统计特征相近。
样本数量对估计精度的影响样本数量越多，估计的精度越高。
因此，在选择样本时，应该尽可能选择更多的数据。
样本是总体的子集样本是从总体中随机抽取的一部分数据，因此它是总体的子集。
样本与总体的关系02样本的选取随机抽样是从总体中抽取若干个样本单位，每个单位被抽取的概率是相同的。
定义特点示例简单易行，每个样本单位被抽中的概率相等，便于进行统计分析。
从100名学生中随机抽取10名学生进行调查。
030201随机抽样系统抽样是将总体分成若干个部分，每个部分抽取一定数量的样本单位。
定义适用于总体容量较大，样本容量较小的场合，且各部分的结构相似。
特点从1000名学生中按学号每隔10名抽取1名学生进行调查。
示例系统抽样分层抽样是将总体分成若干层，从每层中随机抽取一定数量的样本单位。
定义适用于总体内部差异较大的场合，能够提高样本的代表性。
特点从不同年级的学生中按比例抽取一定数量的学生进行调查。
示例分层抽样03样本的调查与整理简单随机抽样按照等概率原则，从全体单位中抽取一部分单位作为样本。
分层抽样将总体分成若干层，然后从每一层中随机抽取一定数量的单位组成样本。
系统抽样将总体中的单位按一定顺序排列，然后按照等间隔的原则抽取一定数量的单位组成样本。
排序整理将调查结果按照一定的顺序进行排列，例如按照收入从低到高或从高到低进行排序。
分类整理将调查结果按照不同的类别进行整理，例如按照性别、年龄、职业等进行分类。
高三理科数学第一轮复习§11.2：用样本估计总体
第十一章：统计与统计案例 §11.2：用样本估计总体
第十一章：统计与统计案例 §11.2：用样本估计总体
第十一章：统计与统计案例 §11.2：用样本估计总体
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第十一章：统计与统计案例 §11.2：用样本估计总体
解析
第十一章：统计与统计案例 §11.2：用样本估计总体
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：11.2用样本估计总体
• (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
7 从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有 的叶集中在茎 10 7 2,3 上，而 B 药疗效的试验结果有10的叶集中的茎 0,1 上，由此可 看出 A 药的疗效更好．
• 【归纳提升】 (1)茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表 示，能反映数据在各段上的分布情况． • (2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出 的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．
相等
.
(2)样本方差、标准差 标准差 s＝ 1 [x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2]，其中 xn 是样本数据的 n 第 n 项，n 是 样本容量 ， x 是 平均数 ， 标准差 是反映总体
波动大小的特征数，样本方差是标准差的 平方 通常用样本方差 估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总 体方差．
【解析】 设甲、乙两位射击运动员的平均成绩分别为 x 甲， x 乙，
2 方差分别为 s2 甲，s乙.
－3＋1＋0－1＋3 由题意得， x 甲＝90＋ ＝90， 5 1 s甲＝5[(x1－ x 甲)2＋(x2－ x 甲)2＋…＋(x5－ x 甲)2]
•
• •
A．20 C．30
B．25 D．35
• 解析：由题意知a×10＋0.35＋0.2＋0.1＋0.05＝1， • 则a＝0.03，故学生人数为0.3×100＝30. • 答案：C
• • •
2．频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端 的 ，就得频率分布折线图． (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加， 中点 减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体 密度曲线．
一轮复习课时训练§11.2：用样本估计总体
第十一章§2：用样本估计总体(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．甲、乙两名同学在五次《基本能力》测试中的成绩统计用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲、X 乙，则下列结论正确的是A. X 甲>X 乙；乙比甲成绩稳定 B ．X 甲>X 乙；甲比乙成绩稳定C ．X 甲<X 乙；甲比乙成绩稳定D ．X 甲<X 乙；乙比甲成绩稳定2．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力从4.6到5.0之间的学生数为b ，则a ，b的值分别为A ．0.27,78B ．0.27,83C ．2.7,78D ．2.7,833．在甲型H1N1流感发生期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为34．为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，那么在这100株树木中，底部周长小于110 cm 的株数是A ．30B ．60C ．70D ．805．一组数据中的每一个数据都乘以2，加上5以后，得一组新数据，若求得新数据的平均数为10，方差为4，则原数据的平均数和方差分别为A ．5,4B ．52，4C ．5,1D ．52，1二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝__________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为__________．7．已知一样本数据的值从小到大依次为4,5，a,6,7,8，且中位数为6，则方差s2＝________. 8．在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是__________、__________. 三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问5分，（2）小问6分，（3）小问7分）2010年发生的“富士康12连跳事件”使得沿海企业普遍采取加薪措施来缓解用工短缺问题．深圳某企业在招工过程中对外宣传平均工资标准为2 000元/月，很多人到工厂工作一个月后，领到的工资却不足1 500元，为此他们找到老板询问为何与当初宣传的不一样．老板说我并没有骗你们，然后拿出如下的一张工资统计表，让他们自己算一算.(2)你认为这个企业是否欺骗了工人？(3)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数和众数又是多少？(精确到元)10．（本小题满分18分，（1）小问5分，（2）小问6分，（3）小问7分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：X 甲＝70，X 乙＝68，且甲组数据分布均匀．答案：B2．解析：∵组距为0.1，前4组频数成等比数列，∴前4组频率也成等比数列．设这9组频率依次为a 1，a 2，…，a 9，则a 1＝0.01，a 2＝0.03，a 3＝0.09，a 4＝0.27.∵后6组的频数成等差数列，设公差为d ，则a 1＋a 2＋…＋a 9＝0.4＋a 5＋a 6＋…＋a 9＝0.4＋5×0.27＋15d ＝1⇒d ＝－0.05.由题意知a ＝a 4＝0.27，b ＝100×(0.27＋0.22＋0.17＋0.12)＝78. 答案：A3．解析：根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，A 项中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在C 项中也有可能；B 项中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；D 项中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故选D 项．答案：D4．解析：底部周长小于110 cm 的频率：10×0.01＋10×0.02＋10×0.04＝0.7. 周长小于110 cm 的株数为100×0.7＝70.答案：C5．解析：设原数据平均数为x ，方差为s 2，则2x ＋5＝10,4s 2＝4，所以x ＝52，s 2＝1. 答案：D二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：各组的频率之和为0.05＋0.1＋0.2＋10a ＋0.35＝1，a ＝0.030，所选三组的频数之比为3∶2∶1，所以身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为18×16＝3. 答案：0.030 37．解析：由题意a ＋62＝6，则a ＝6. 数据的平均数为x ＝4＋5＋6＋6＋7＋86＝6 s 2＝16[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝106＝53. 答案：538．解析：把茎叶图中甲、乙两组的数据按从小到大的顺序分别排列，甲组数据：28,31,39,42,45,55,57,58,66；乙组数据：29,34,35,42,46,48,53,55,67，由中位数的定义可知甲、乙的中位数分别为45、46. 答案：45 46三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问5分，（2）小问6分，（3）小问7分）解：(1)平均数是 x ＝4 000×1＋3 500×1＋2 000×2＋1 500×1＋1 000×5＋500×3＋0×2033＋ 1 500≈590＋1 500＝2 090(元)中位数是1 500元，众数是1 500元．(2)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平，即企业有欺骗的嫌疑．(3)平均数是 x ＝1 500＋28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋1 788＝3 288(元)中位数是1 500元，众数是1 500元．10.（本小题满分18分，（1）小问5分，（2）小问6分，（3）小问7分）解：(1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝3570＝0.5， 故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率p 1＝0.5.(3)样本中身高在180～185 cm 之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，从上述6人中任取2人的树状图为：故从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率p 2＝915＝35.。
用样本估计总体
0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001
频率/组距
月收入(元)
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
课堂练习
3．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽
查了该校 100 名高三学生的视力情况，得到频率
分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，
但知道前 4 组的频数成等比数列，后 6 组的频数
频率
组成距 等差数列，设最大频率为 a，视力在 4.6 到 5.0
之间的学生数为 b，则 a，b 的值分别为( A )
A. 0.27，78
频率/组距
B. 0.27，83
C. 2.7，78
0.3
D. 2.7，83
0.2
0.16
0.1 0.08
0.1 0.08 0.04
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位 不同,得到的图的形状也会不同.不同的形状给人以不 同的印象,这种印象有时会影响我们对总体的判断.分 别以1和0.1为组距重新作图,然后谈谈你对图的印象.
第一步: 求极差: (数据组中最大值与最小值的差距) 最大值= 4.3 最小值= 0.2 所以极差= 4.3-0.2 = 4.1
第二步: 决定组距与组数: （注意取整） 当样本容量不超过100时, 按照数据的多少, 常
分成5~12组.
为方便组距的选择应力求“取整”.
本题如果组距为0.5(t).
则
组数=
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
【最新】用样本估计总体
16
选择恰当的样本个体数目
样本平均成绩为 75.7分， 标准差为10.2分
样本平均成绩为 77.1分， 标准差为10.7分
2021/2/2
17
火星岩石样本
2021/2/2
18
当样本中个体太少时，样本的平均 数、标准差往往差距较大，如果选取适 当的样本的个体数，各个样本的平均数、 标准差与总体的标准差相当接近。
300名学生成绩频数分布直方图
这就 是频率分 布直方图
2021/2/2总体的平均成绩为78.1，标准差为10.8分
5
活动1中，我们用简单的随机抽样方法， 已经得到了第一个样本，这5个随机数如下 表：
随机数 (学号）
111 254
167
94
276
成绩 80 86 66 91 67
图30.2.2是这个样本的频数分布直方
随机数 （学号）
成绩
132 245 5 98 89 78 73 76 69 75
随机数 （学号）
90 167 86 275 54
成绩
72 86 83 82 82
同样，也可以作出这两个样本的频数分
布直方图、计算它们的平均成绩和标准
差2，021/2/如2 下图所示：
8
5名学生成绩频数分布直方图
第二样本
2021/2/2 样本平均成绩为77.1分，标准差为10.7分 15
再选取一些含有40名学生的样本，我们发现此时不同 样本的平均成绩和标准差与总体的平均成绩和标准差的差 距更小了！（相当接近总体的平均成绩78.1）你们从自己 的抽样过程中是否也得出了同样的结果？
样本大更容易认识 总体的真面目。
2021/2/2
10名学生成绩频数分布直方图 图30.2.4 第二样本
用样本估计总体
月收入(元)
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
练习1、如图是150辆汽车通过某路段 时速度的频率分布直方图，则速度在[60， 60 辆. 70)的汽车大约有______
在频率分布直方图中，依次连接各小长 方形上端的中点，就得到一条折线，这条 折线称为频率分布折线图.
练习3、以往招生Biblioteka 计显示，某所大学录 取的新生高考总分的中位数基本稳定在550 分，若某同学今年高考得了520分，他想报 考这所大学还需收集哪些信息？
要点： (1)查往年录取的新生的平均分数.若平均数 小于中位数很多，说明最低录取线较低，可以 报考； (2)查往年录取的新生高考总分的标准差.若 标准差较大，说明新生的录取分数较分散，最 低录取线可能较低，可以考虑报考.
标准差的取值范围是什么？标准差为0 的样本数据有何特点？ s≥0，标准差为0的样本数据都相等. 方差的意义： 方差(或标准差)越大离散程度越大，数 据较分散； 方差(或标准差)越小离散程度越小，数 据较集中在平均数周围.
例 2 、有两个班级，每班各自按学号随 机选出 5 名学生，测验铅球成绩，以考察 体育达标程度，测验成绩如下：单位（米） 甲 9.1 7.8 8.5 6.9 5.2 乙 8.8 7.2 7.3 7.5 6.7 两个班相比较，哪个班整体实力强一些 ？
制作频率分布直方图的方法： （1）求极差（即一组数据中最大值与最小 值的差）； （2）决定组距与组数；（样本容量不超过
100时，组数常分成5～12组）
（3）将数据分组； （4）列频率分布表； （5）画频率分布直方图.
注：频率分布直方图中
江苏2018届高考数学总复习专题11.2统计与统计案例试题含解析
专题11.2 统计与统计案例【三年高考】1. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取▲ 件．【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18．【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N．2.【2016江苏】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 . 【答案】0.1【考点】方差【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单题.认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力.3．【2015江苏高考，2】已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 【答案】6【解析】46587666x+++++==【考点定位】平均数4. 【2017课标3，理3】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】【考点】 折线图【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图，频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律.5. 【2017山东，理5】为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170【答案】C【解析】试题分析：由已知22.5,160,160422.570,42470166x y a y ==∴=-⨯==⨯+= ,选C.【考点】线性相关与线性回归方程的求法与应用．【名师点睛】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．6. 【2017课标1，文2】为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B【解析】 试题分析：刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B【考点】样本特征数【名师点睛】众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平； 中位数：一组数据中间的数，（起到分水岭的作用）中位数反应一组数据的中间水平； 平均数：反应一组数据的平均水平；方差：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度．7. 【2017山东，文8】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为A. 3，5B. 5，5C. 3，7D. 5，7【答案】A【解析】【考点】茎叶图、样本的数字特征【名师点睛】由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据,没有任何信息损失,第二点是茎叶图便于记录和表示.其缺点是当样本容量较大时,作图较繁琐. 利用茎叶图对样本进行估计是,要注意区分茎与叶,茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数.8.【2016高考新课标3理数改编】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中︒，B 月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15C︒．下面叙述不正确的是．点表示四月的平均最低气温约为5C︒以上②七月的平均温差比一月的平均温差大①各月的平均最低气温都在0C︒的月份有5个③三月和十一月的平均最高气温基本相同④平均气温高于20C【答案】④【解析】︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，①正确；由试题分析：由图可知0C图可在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，②正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5C ︒，基本相同，③正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有3个或2个，所以④不正确． 考点：1、平均数；2、统计图．【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选②．9．【2016高考上海理数】某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）.【答案】1.76【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76.考点：中位数的概念.【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力. 10．2016高考北京文数】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.【答案】①16；②29C BA139142考点： 统计分析【名师点睛】本题将统计与实际情况结合，创新味十足，是能力立意的好题，关键在于分析商品出售的所有可能的情况，分类讨论做到不重复不遗漏，另外，注意数形结合思想的运用.11．【2015高考重庆，文4改编】重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下 08 9 12 5 8 20 0 3 3 8 3 1 2则这组数据中的中位数是 ．【答案】20【解析】由茎叶图可知总共12个数据，处在正中间的两个数是第六和第七个数，它们都是20，由中位数的定义可知：其中位数就是20．12.【2015高考陕西，文2改编】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为 ．（高中部）（初中部）男男女女60%70%【答案】137 【解析】由图可知该校女教师的人数为11070%150(160%)7760137⨯+⨯-=+=．13．【2015高考湖北，文2改编】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石．【答案】169【解析】设这批米内夹谷的个数为x ，则由题意并结合简单随机抽样可知，282541534x =，即281534169254x =⨯≈． 14.【2015高考广东，文12】已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为 ．【答案】11【解析】因为样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，所以样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为2125111x +=⨯+=，所以答案应填：11．15.【2015高考北京，文14】高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ．【答案】乙；数学【解析】①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙.②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学.16.【2015高考北京，文17】某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．（I ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（II ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买中商品的概率；（III ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？ （Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大. 16.【2015高考广东，文17】某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？【解析】（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得：0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075（2）月平均用电量的众数是2202402302+=，因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=得：224a =，所以月平均用电量的中位数是224（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户，月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例11125151055==+++，所以月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户【2018年高考命题预测】概率统计试题在试卷中的题型仍是填空题型，纵观近几年高考数学试卷中，概率与统计是必考题，而且是基础题，有时以直方图或茎叶图提供问题的背景信息，预测2018年仍会出现此类题，因此掌握概率与统计的基础知识是学习的关键.【2018年高考考点定位】本知识点主要是：随机抽样常以选择、填空题考查分层抽样，难度较低.在用样本估计总体中，会读图、识图，会从频率分布直方图中分析样本的数字特征（众数、中位数、平均数等）；重视茎叶图；要重视线性回归方程，不仅会利用公式求，还要能分析其特点（正相关、负相关、回归方程过样本点中心）；重视独立性检验（ 2×2列联表）.【考点1】抽样方法、总体分布的估计【备考知识梳理】1.简单随机抽样：一般地，设一个总体的个体数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.2.分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.3.总体：在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.4.频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.【规律方法技巧】分层抽样的步骤：（1）分层；（2）按比例确定每层抽取个体的个数；（3）各层抽样（方法可以不同）；（4）汇合成样本.解决总体分布估计问题的一般程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除以组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率（频率=总数频数）；（3）画出频率分布直方图，并作出相应的估计.【考点针对训练】1.某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示,则该小区居民用电量的中位数为 ，平均数为 ．【答案】155;156.8【解析】根据中位数的定义知中位数由200.005200.0150.0200.5m ⨯+⨯+⨯=，解得5m =，所以中位数为：1505155+=；平均数为：1200.0051400.0151600.0201800.0052000.0032200.002156.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以答案为：155;156.8．2.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？ 【解析】（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得：0.0075x =，所以直方图中的值是0.0075．（2）月平均用电量的众数是2202402302+=；因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=得：224a =，所以月平均用电量的中位数是224．【考点2】相关性、最小二乘估计与统计案例 【备考知识梳理】1．相关性(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．(2)从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．(3)若两个变量x 和y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关． 如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的． 2．回归方程 (1)最小二乘法如果有n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用表达式[y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2来刻画这些点与直线y ＝a ＋bx 的接近程度，使得上式达到最小值的直线y ＝a ＋bx 就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法． (2)回归方程方程y ＝bx ＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ，b 是待定参数．∑∑∑∑=-=--=--=-Λ--=---=ni ni i ni ii ni ixn xy x n yx x xy y x xb 12211121)())((，-Λ-Λ-=x b y a3．回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ＝bx ＋a 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：∑∑∑∑=-=--=--=-Λ--=---=ni ni i ni ii ni ixn xy x n yx x xy y x xb 12211121)())((，-Λ-Λ-=x b y a ）.其中x ＝1n ∑i ＝1nx i ，y ＝1n ∑i ＝1ny i ，(x ，y )称为样本点的中心．(3)相关系数①1()()nniii x x y y x yn x yr -------==∑∑r ＞0时，表明两个变量正相关；当r ＜0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系． 4．独立性检验(1)设A ，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A ：A 1，A 2＝A 1；变量B ：B 1，B 2＝B 1. 2×2列联表构造一个随机变量2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中d c b a n +++=为样本容量．(2)独立性检验:利用随机变量来判断“两个变量有关联”的方法称为独立性检验． (3)当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A ，B 有关联，可以认为变量A ，B 是没有关联的；②当χ2＞2.706时，有90%的把握判定变量A ，B 有关联； ③当χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A ，B 有关联； ④当χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A ，B 有关联．【规律方法技巧】1．“相关关系与函数关系”的区别：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系；而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，可能是伴随关系．2．三点提醒： 一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．三是独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．3.正确理解计算b ，a 的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．回归直线方程y ＝bx ＋a 必过样本点中心(x ，y )．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．4.利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，具体做法是根据公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，计算2K 值，2K 值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大． 【考点针对训练】1.已知x 、y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且yˆ＝0．95x ＋，则＝____________．【答案】6.2 【解析】244310=+++=x ，5.447.68.43.42.2=+++=y ，样本中心点，在回归直线上，所以代入aˆ295.05.4+⨯=，所以6.2ˆ=a 2.为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附：22n(ad bc )K (a b )(c d )(a c )(b d )-=++++参照附表，在如下结论：A ．在犯错误的概率不超过l ％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过l ％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C ．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D ．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 中正确的是 ． 【答案】C【解析】由表计算得：22100(45153010)==3.0355457525K ⨯-⨯⨯⨯⨯，所以有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，填C ．【两年模拟详解析】1. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是__________． 【答案】 (或5.2)【解析】2. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布.若利用组中值近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为 ．【答案】19.7 【解析】3. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】已知样本数据12345,,,,x x x x x 的方差23s =，则样本数据123452,2,2,2,2x x x x x 的方差为 ▲ . 【答案】12【解析】由题意得方差为2224312s =⨯=4. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】已知样本7,8,9,,x y 的平均数为，且60xy =，则此样本的方差为_____________． 【答案】2 【解析】因为78985x y++++=，所以16x y +=，而60xy =，所以610x y =⎧⎨=⎩或106x y =⎧⎨=⎩，从而样本的方差为22221[(1)01(2)2]25⨯-+++-+=．5. 【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】某人次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为9,11,10,8,12，则这组数据的标准差为_______. 【答案】2【解析】因为这组数据的平均数是10591110812=++++=x ，所以其方差25)109()1011()1010()108()1012(222222=-+-+-+-+-=s ，故所求这组数据的标准差2=s .6. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在h km /9050-的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在h km /70以下的汽车有 辆．）【答案】75【解析】由频率分布直方图得，速度在h km /70以下的汽车所占频率为(0.020.03)100.5+⨯=，则速度在h km /70以下的汽车有1500.575⨯=辆7．【江苏省清江中学数学模拟试卷】某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 根在棉花纤维的长度大于25mm.【答案】40【解析】(0.0550.0250.015)10040⨯+⨯+⨯⨯=．8．【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高. 据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)160155，、第二组[)165160，、……、第八组[]195190，. 按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数为 .【答案】144【解析】由图得，身高180cm 以上（含180cm ）的频率为()150.0080.0160.0420.060.18-⨯++⨯+=，则人数为8000.18144⨯=9．【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为 . 【答案】17【解析】高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人10．【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】若一组样本数据9，8，x ，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为 ． 【答案】2【解析】由题意得12x =，因此方差为221(12201)25++++=11．【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有________辆．【答案】1700【解析】2000(0.0350.030.02)101700⨯++⨯=12．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为 ．【答案】【解析】950)002.0004.0(30=⨯+⨯13．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试】一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000)范围内的应抽出人.【答案】25⨯⨯=【解析】由题意得：0.00055001002514．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是．【答案】0.02【一年原创真预测】1. 以下四个命题中：R的值判断模型的拟合效果, 2R越大，模型的拟合效果越①在回归分析中，可用相关指数2好；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③若数据123,,n x x x x 的方差为1，则1232,2,22n x x x x 的方差为2；④对分类变量与y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为 ． 【答案】2【入选理由】本题考查特称命题真假的判断，回归分析，相关系数，独立性检验等基础知识，意在考查考生转化能力，分析问题解决问题的能力，运算求解能力.此类知识属于高考冷门问题，近年高考有所重视，应多注意，故选此题.2.某单位为了了解某办公楼用电量y (度)与气温x (oC)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则a 0,b 0. 【答案】＞，＜【解析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0<b ，0>a .【入选理由】本题考查考查散点图、线性回归方程等基础知识，意在考查考生分析问题解决问题的能力，运算求解能力.近年高考加强了对线性回归方程的考查，应多注意，故选此题. 3.2015国际滑联世界花样滑冰锦标赛于3月23日至29日在上海举行，为调查市民喜欢这项赛事是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到如下数据表：。