11.2 用样本估计总体

解析 x＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4， 2＋3＋4＋5 4＋2 7 P＝ ＝0.7 或 P＝1－ ＝ 20 20 10 ＝0.7.
4．(2010· 福建)若某校高一年级 8 个班参加 合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组 数据的中位数和平均数分别是( )
A．91.5 和 91.5 C．91 和 91.5
(2)由以上得频率分布表如下： 成绩 [50.5,60.5) [60.5,70.5) [70.5,80.5) [80.5,90.5) [90.5,100.5) 合计 频数 3 9 18 12 6 48 频率 1 16 3 16 6 16 4 16 2 16 1
(3)成绩落在[70.5,80.5)之间的人数最多， 3 该组的频数和频率分别是 18 和8. (4)不低于 60 分的学生占总人数的百分比 1 约为1－ ×100%＝93.75%. 16
探究提高 (1)茎叶图的优点是保留了原 始数据，便于记录及表示，能反映数据在 各段上的分布情况． (2) 茎 叶 图 不 能 直 接 反 映 总 体 的 分 布 情 况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出 数据的数字特征，进一步估计总体情况．
变式训练 2 (2010· 天津)甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的 个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位 数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这 10 天甲、乙两人 日加工零件的平均数分别为______和______．
基础自测 1．一个容量为 20 的样本，已知某组的频率为 5 0.25，则该组的频数为________．
n 解析 设频数为 n，则20＝0.25，所以 n ＝20×0.25＝5.
2．一个容量为 20 的样本数据，分组后，组别 与频数如下：
组别 频数
(10,20] 2
(20,30] 3
(30,40] 4
解 (1)频率分布表如下： 成绩分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计 频数 2 3 10 15 12 8 50 频率 0.04 0.06 0.20 0.30 0.24 0.16 1.00
(2)频率分布直方图如图所示．
(3)成绩在[60,90)分的学生比例即为学生成绩 在 [60,90) 的 频 率 ， 即 为 (0.20 ＋ 0.30 ＋ 0.24)×100%＝74%.
思维启迪：(1)先通过图象统计出甲、乙二 人的成绩；(2)利用公式求出平均数、方差， 再分析两人的成绩，作出评价．
解 (1)由图象可得甲、乙两人五次测试的 成绩分别为 甲：10 分，13 分，12 分，14 分，16 分； 乙：13 分，14 分，12 分，12 分，14 分． 10＋13＋12＋14＋16 x 甲＝ ＝13， 5 13＋14＋12＋12＋14 x 乙＝ ＝13， 5 1 2 s甲 ＝ 5 [(10－13)2 ＋(13－13)2 ＋(12－13)2 ＋ (14－13)2＋(16－13)2]＝4， 1 2 s乙 ＝ 5 [(13－13)2 ＋(14－13)2 ＋(12－13)2 ＋ (12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. 2 (2)由 s2 >s乙 可知乙的成绩较稳定． 甲
解析
1 x 甲 ＝ 10 (10×2＋20×5＋30×3＋
17＋6＋7)＝24， 1 x 乙 ＝ 10 (10×3＋20×4＋30×3＋17＋11 ＋2)＝23.
答案 24 23
题型三 特征 例3
用样本的数字特征估计总体的数字
甲乙二人参加某体育项目训练，近期 的五次测试成绩得分情况如图．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差； (2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练 成绩作出评价．
(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点， 就得 到频率分布折线图．随着 样本容量 的增加，作 图时所分的 组数 增加，组距减小，相应的频率分 布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计 中称之为 总体密度曲线 ， 它能够更加精细的反映 出 总体在各个范围内取值的百分比． (4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好， 它不但可以 保留所有信息 ，而且可以随时记录，给 数据的 记录 和 表示 都带来方便．
(40,50] 5
(50,60] 6
0.6 则样本在(20,50]上的频率为________．
3＋4＋5 3 解析 20 ＝5＝0.6.
3． 一个容量为 20 的样本， 数据的分组及各组的 频数如下： [10,20)，2 个；[20,30)，3 个；[30,40)，x 个； [40,50)，5 个；[50,60)，4 个；[60,70)，2 个； 则 x＝________；根据样本的频率分布估计， 4 0.7 数据落在[10,50)的概率约为________．
§11.2
用样本估计总体
自主学习
基础知识
要点梳理
1．频率分布直方图 (1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种 是用 样本的频率分布估计总体的分布 ，另一 种是用 样本的数字特征估计总体的数字特征． 频率 (2)在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据落在 组距 各小组内的频率用 各小长方形的面积 表示．各 小长方形的面积总和等于 1.
549 548
从以上排列可知甲学生成绩的中位数为 536＋538 ＝537， 2 532＋536 乙学生成绩的中位数为 ＝534. 2
甲学生成绩的平均数为 12＋22＋28＋34＋36＋38＋41＋49＋54＋56 500 ＋ 10 ＝537， 乙学生成绩的平均数为 15＋21＋27＋31＋32＋36＋43＋48＋58＋59 500 ＋ 10 ＝537.
2．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 众数：在一组数据中，出现次数 最多 的数 据叫做这组数据的众数． 中位数：将一组数据按大小依次排列，把 处在 最中间 位置的一个数据(或最中间 两个数据的平均数)叫做这组数据的中位 数． 平均数：样本数据的算术平均数，即 x ＝ 1 n(x1＋x2＋…＋xn)． 在频率分布直方图中，中位数左边和右边 的直方图的面积应该 相等．
探究提高 用频率分布直方图解决相关问题 时，应正确理解图表中各个量的意义，识图掌 握信息是解决该类问题的关键．频率分布直方 图有以下几个要点：(1)纵轴表示频率/组距； (2)频率分布直方图中各长方形高的比也就是 其频率之比；(3)直方图中每一个矩形的面积 是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小 矩形的面积之和等于 1，即频率之和为 1.
变式训练 1 从高三学生中抽取 50 名同学参加 数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下(单 位：分)： [40,50)， [50,60)， [60,70)， [70,80)， 2； 3； 10； 15；[80,90)，12；[90,100]，8. (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计成绩在[60,90)分的学生比例； (4)估计成绩在 85 分以下的学生比例．
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态， 而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不 断提高，而乙的成绩则无明显提高．
探究提高 (1)平均数与方差都是重要的 数字特征，是对总体的一种简明的描述， 它们所反映的情况有着重要的实际意义， 平均数、中位数、众数描述其集中趋势， 方差和标准差描述其波动大小．
(2)平均数、方差的公式推广 ①若数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，那么 mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a 的平均 数是 m x ＋a. ②数据 x1，x2，…，xn 的方差为 s2. 1 2 2 2 a．s ＝n[(x1＋x2＋…＋x2)－n x 2]； n b．数据 x1＋a，x2＋a，…，xn＋a 的方差也为 s2 ； c．数据 ax1，ax2，…，axn 的方差为 a2s2.
(4)成绩在 85 分以下的学生比例即为学生成 绩不足 85 分的频率． 设相应的频率为 b， b－0.60 0.84－0.60 由 ＝ ，故 b＝0.72. 85－80 90－80 估计成绩在 85 分以下的学生约占 72%.
题型二
茎叶图的应用
例 2 某班甲、乙两学生的高考备考成绩 如下： 甲：512 554 528 536 556 534 541 522 538 乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531 (1)用茎叶图表示两学生的成绩；
请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题：
(1)样本的容量是多少？ (2)列出频率分布表； (3)成绩落在哪个范围内的人数最多？并求该小组的 频数、频率； (4)估计这次竞赛中， 成绩不低于 60 分的学生占总人 数的百分比．
解 (1)由于各组的组距相等， 所以各组的 频率与各小长方形的高成正比且各组频 1 率的和等于 1， 那么各组的频率分别为16， 3 6 4 2 6 16，16，16，16.设该样本容量为 n，则n＝ 2 ，所以样本容量为 n＝48. 16
(2)分别求两学生成绩的中位数和平均分． 思维启迪：(1)将十位与百位数字作为茎， 个位数字作为叶， 逐一统计； (2)根据茎叶 图分析两组数据，得出结论．
解
(1)两学生成绩的茎叶图如图所示．
(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为： 甲：512 522 528 534 536 538 541 554 556 乙：515 521 527 531 532 536 543 558 559
(2)样本方差、标准差 标准差 s 1 [( x x) ( x x) n
2 1 2
2
( xn x)2 ],
其中 xn 是样本数据的第 n 项，n 是 样本容量 ， x 是 平均数.
标准差 是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差 的 平方 ． 通常用样本方差估计总体方差，当 样本容量接近总体容量 时，样本方差很接近总体方差．
[难点正本 疑点清源] 1．作频率分布直方图的步骤： (1)求极差；(2)确定组距和组数；(3)将数据分 组； (4)列频率分布表； (5)画频率分布直方图． 频率分布直方图能很容易地表示大量数据， 非 常直观地表明分布的形状． 2．对标准差与方差的理解 标准差、 方差描述了一组数据围绕平均数波动的 大小． 标准差、 方差越大， 数据的离散程度越大， 标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为 方差与原始数据的单位不同， 且平方后可能夸大 了偏差的程度， 所以虽然方差与标准差在刻画样 本数据的分散程度上是一样的， 但在解决实际问 题时，一般多采用标准差．