【高考数学精准解析】多维层次练：第九章+第2节+用样本估计总体
2020版数学习题：第九篇 统计与统计案例(必修3、选修1-2) 第2节 用样本估计总体
第2节用样本估计总体【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·贵阳一模)贵阳地铁1号线12月28日开通运营,某机车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中,10个车站上车的人数统计如下:70,60,60,50,60,40,40,30,30,10,则这组数据的众数、中位数、平均数的和为( D )(A)170 (B)165 (C)160 (D)150解析:数据70,60,60,50,60,40,40,30,30,10的众数是60,中位数是45,平均数是45,故众数、中位数、平均数的和为150,故选D.2.如图是某市今年10月份某天6时至20时温度变化折线图,下列说法错误的是( D )(A)这天温度极差为8 ℃(B)这天温度的中位数在9 ℃附近(C)这天温度无明显变化的是早上6时至早上8时(D)这天温度变化率绝对值最大的是上午11时至中午13时解析:由折线图可得,最高气温为14 ℃,最低气温为6 ℃,所以这天温度极差为8 ℃,故排除A;从6时至20时温度从低到高依次排列,可得这天温度的中位数为9 ℃附近,故排除B;由折线图可得,从6时至8时,温度没有明显变化,故排除C;由折线图可得,从13时至15时,温度变化率绝对值最大,故D是错误的.故选D.3.(2018·开封三模)学校根据某班的期中考试成绩绘制了频率分布直方图(如图所示),根据图中所给的数据可知a+b等于( C )(A)0.024 (B)0.036 (C)0.06 (D)0.6解析:根据频率分布直方图得,(0.01+a+b+0.018+0.012)×10=1,解得a+b=0.06.故选C.4.(2018·江西二模)已知某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为,方差为s2,则( A )(A)=4,s2<2 (B)=4,s2>2(C)>4,s2<2 (D)>4,s2>2解析:某7个数的平均数为4,方差为2,加入一个新数据4后,这8个数的平均数为=×(7×4+4)=4,方差为s2=×[7×2+(4-4)2]=<2.故选A.5.(2018·南安一中模拟)某商场在国庆黄金周的促销活动中,对10月2日9时到14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示,已知9时至10时的销售额为2.5万元,则11时到12时的销售额为( C )(A)6万元(B)8万元(C)10万元(D)12万元解析:设11时到12时的销售额为x万元,依题意有=,所以x=10,故选C.6.(2018·龙岩模拟)党的十八大以来,脱贫攻坚取得显著成绩,2013年至2016年4年间,累计脱贫5 564万人,2017年各地根据实际进行创新,精准、高效地完成了脱贫任务.某地区对当地3 000户家庭的2017年所得年收入情况调查统计,年收入的频率分布直方图如图所示,数据(单位:千元)的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],则年收入不超过6万的家庭大约为( A )(A)900户(B)600户(C)300户(D)150户解析:由频率分布直方图得:年收入不超过6万的家庭所占频率为(0.005+0.010)×20=0.3,所以年收入不超过6万的家庭大约为0.3×3 000=900.故选A.7.如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70~99分),若甲、乙两组学生的平均成绩一样,则a= ;甲、乙两组学生的成绩相对整齐的是.解析:由题意可知==89,解得a=5.因为=×(142+1+0+92+62)=,=×(132+42+0+92+82)=,所以<,故成绩相对整齐的是甲组.答案:5 甲组能力提升(时间:15分钟)8.(2018·沙市区校级一模)已知四个正数x1,x2,x3,x4的标准差s=0.2,则数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1的方差为( D )(A)0.2 (B)0.4 (C)0.8 (D)0.16解析:根据题意,设四个正数x 1,x2,x3,x4的平均数为,则有=(x 1+x2+x3+x4),又由其标准差s=0.2,则有其方差)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2]=0.04,s2=[(x对于数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,其平均数为,则有=(2x 1-1+2x2-1+2x3-1+2x4-1)=2-1,则其方差s′2=[(2x 1-1-2+1)2+(2x2-1-2+1)2+(2x3-1-2+1)2+(2x 4-1-2+1)2]=4s2=0.16,故选D.9.(2018·济宁二模)2017年底,某单位对100名职工进行绩校考核,依考核分数进行评估,考核评估后,得其频率分布直方图如图所示,估计这100名职工评估得分的中位数是.解析:由频率分布直方图得:评估得分在[60,70)的频率为0.015×10=0.15,评估得分在[70,80)的频率为0.040×10=0.4,所以估计这100名职工评估得分的中位数是70+×10=78.75.答案:78.7510.(2018·北京模拟)在一个容量为5的样本中,数据均为整数,已测出其平均数为10,但墨水污损了两个数据,其中一个数据的十位数字1未污损,即9,10,11,1,那么这组数据的方差s2可能的最大值是.解析:设这组数据的最后2个分别是10+x,y,则9+10+11+(10+x)+y=50,得x+y=10,故y=10-x,故s2=[1+0+1+x2+(-x)2]=+x2,显然x最大取9时,s2最大是.答案:11.如图茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(为整数),其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是.解析:由图可知,甲的平均分为90.设被污损的数为x,乙的成绩分别是83,83,87,90+x,99,其中被污损的成绩为0到9中的某一个.由甲的平均成绩超过乙的平均成绩,得<90.所以x<8.又x 是0到9的十个整数中的其中一个,所以x<8的概率为=.答案:12.(2018·全国Ⅰ卷)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表(1)在图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解:(1)如图所示.(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,因此该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0 .35.估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3). 13.(2018·新乡一模)为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标,分别从两厂随机各选取了10个轮胎,将每个轮胎的宽度(单位:mm)记录下来并绘制出如下的折线图:(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值;(2)轮胎的宽度在[194,196]内,则称这个轮胎是标准轮胎,试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小,根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况,判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好?解:(1)甲厂这批轮胎宽度的平均值为:=(195+194+196+193+194+197+196+195+193+197)=195(cm),乙厂这批轮胎宽度的平均值为:=(195+196+193+192+195+194+195+192+195+193)=194(cm).(2)甲厂这批轮胎宽度在[194,196]内的数据为195,194,196,194,196,195,平均数为=(195+194+196+194+196+195)=195,方差为=[(195-195)2+(194-195)2+(196-195)2+(194-195)2+(196-195)2+ (195-195)2]=,乙厂这批轮胎宽度在[194,196]内的数据为195,196,195,194,195,195.平均数为=(195+196+195+194+195+195)=195,方差为=[(195-195)2+(196-195)2+(195-195)2+(194-195)2+(195-195)2+(195-195)2]=.因为两厂标准轮胎宽度的平均数相等,但乙厂的方差更小.所以乙厂的轮胎相对更好.。
高中数学第九章统计之用样本估计总体(精练)(必修第二册)(教师版含解析)
9.2 用样本估计总体(精练)【题组一 总体取值规律的估计】1．(2020·江苏苏州市·星海实验中学高一期中)为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50,75)中的频数为100，则n 的值是( )A ．500 B ．1000 C ．10000 D ．25000【答案】B【解析】由图可得在[50,75)中的频率为0.004250.1⨯=，所以10010000.1n ==，故选：B. 2．(2021·北京昌平区·高一期末)某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[90，100]，样品数据分组为[90,92)，[92,94)，[94,96)，[96,98)，[98,100].已知样本中产品净重小于94克的个数为36，则样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数是( )A ．45B ．60C ．75D ．90【答案】D【解析】[90,92)，[92,94)，[94,96)，[96,98)对应的频率分别为：0.1,0.2,0.3,0.25设样本容量为n因为净重小于94克的个数为36，所以()0.10.236n+=，解得120n=则样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数为()0.20.30.2512090++⨯=故选：D3．(2021·北京市第四中学顺义分校高一期末)为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间(阅读时间[]0,50t∈)，分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图.则图中a的值为( )A．0.028 B．0.030 C．0.280 D．0.300【答案】A【解析】由(0.0060.0400.0200.006)101a++++⨯=得0.028a=.故选：A4．(2020·广东云浮市·高一期末)在容量为50的样本中，某组的频率为0.18，则该组样本的频数为( )．A．9 B．10 C．18 D．20【答案】A【解析】由题意，频数＝样本容量×频率500.189=⨯=．故选：A5．(2021·湖南长沙市)“水是生命之源”，但是据科学界统计可用淡水资源仅占地球储水总量的2.8%，全世界近80%人口受到水荒的威胁．某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)：一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照00.50.51,...,[[[44.5，），，），）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a 的值；(2)设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5吨的人数，并说明理由； (3)若该市政府希望使82%的居民每月的用水不按议价收费，估计x 的值，并说明理由． 【答案】(1)0.3；(2)16.2万；(3)2.8吨.【解析】(1)由概率统计相关知识，可知各组频率之和的值为1 即频率分布直方图各小矩形面积之和为1()0.50.080.160.40.520.120.080.0421a ∴⨯+++++++=解得：0.3a =(2)由图可知，不低于2.5吨人数所占百分比为()0.50.30.120.080.0427%⨯+++= ∴全市月均用水量不低于2.5吨的人数为：600.2716.2⨯=(万)(3)由(2)可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：73% 即73%的居民月均用水量小于2.5吨，同理，88%的居民月均用水量小于3吨 故2.53x <<假设月均用水量平均分布，则()82%73%2.5 2.80.3x -=+=(吨)6．(2020·天津河西区·)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30、42、41、36、44、40、37、37、25、45、29、43、31、36、49、34、33、43、38、42、32、34、46、39、36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[]25,3030.12(]30,3550.20(]35,4080.32(]40,451n1f(]45,502n2f(1)确定样本频率分布表中1n、2n、1f和2f的值；(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(]30,35的概率. 【答案】(1)17n=，22n=，10.28f=，20.08f=；(2)详见解析；(3)0.5904.【解析】(1)由题意知17n=，22n=，170.2825f∴==，220.0825f==；(2)样本频率分布直方图为：(3)根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间(]30,35的概率0.2， 设所取的4人中，日加工零件数落在区间(]30,35的人数为ξ，则()~4,0.2B ξ，，所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间(]30,50的概率约为0.5904. 【题组二 总体百分数的估计】1．(2020·全国高一课时练习)一组数据12，34，15，24，39，25，31，48，32，36，36，37，42，50的第25，75百分位数分别是______、________． 【答案】25 39【解析】把数据从小到大排序为12，15，24，25，31，32，34，36，36，37，39，42，48，50共14个数， 14×25%＝3.5， 14×75%＝10.5， 所以第25，75百分位数分别是第4，11项数据，即是25，39． 故答案为：25，39．2．(2021·安徽宿州市·高一期末)若一组数据为82，81，79，78，95，88，92，84，则该组数据的75%分位数是___________. 【答案】90【解析】由题可得一共有8个数据，则该组数据的75%分位数在第6位和第7位之间，为()8892902+=.故答案为：90.3．(2020·山东东营市·广饶一中高一期末)数据10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的25%分位数、80%分位数分别是_______； 【答案】3；8.5【解析】将数据10，9，8，7，6，5，4，3，2，1从小到大排序得：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10， 当%25%p =时，10%1025% 2.5i p ==⨯=，25%∴分位数为3. 当%80%p =时，10%1080%8i p ==⨯=，80%∴分位数为89=8.52+.故答案为：3；8.5. 4．(2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末)树人中学高一1班23名男生身高的样本数据(单位：cm )按从小到大排序，排序结果如下：164，165，165，166，167，168，168，168，170，170，170，172， 172，172，173，173，173，173，174，175，175，175，176. 由数据估计树人中学高一年级男生身高的第50百分位数为________.【答案】172【解析】由2350%11.5⨯=，将样本数据从小到大排列，第12个数字为172，所以可估计树人中学高一年级男生身高的第50百分位数为172.故答案为：172.5．(2020·山东泰安市·高一期末)某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下(单位：cm)：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175，若样本数据的第90百分位数是173，则x的值为________.【答案】172【解析】百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，本题第90百分位数是173，所以1741732x+=，172x=故答案为:1726．(2020·临高县临高中学高一期末)下列数据是30个不同国家中每10000名患某种疾病的男性的死亡人数：1.5 3.2 5.2 5.6 5.6 7.1 8.7 9.2 10.0 11.213.2 13.7 13.8 14.5 15.2 15.7 16.5 18.8 19.2 23.927 27 28.9 28.9 33.1 33.8 34.8 40.6 41.6 50.1这组数据的第70百分位数是_______________.【答案】27.【解析】按从小到大排列此30个数据，指数3070%21i=⨯=，则第70百分位数是2727272+=，故答案为：27.7．(2020·全国高一课时练习)某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间(单位：分钟)如下65，65，66，74，73，81，80，则它们的第三四分位数是________ .【答案】80【解析】从小到大排序为65，65，66，73，74，80，81，第三四分位数即75%分位数，7×75%＝5.25，所以第三四分位数是第6项数据80.故答案为：808．(2020·江苏高一期中)已知一组数据1,3,2,,4m，且这组数据的平均数为3，则m的值为__________. 【答案】5【解析】由题意132435m++++=，解得5m=故答案为：5【题组三总体集中趋势的估计】1．(2020·全国高一课时练习)10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12.设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】将生产的件数由小到大排列为：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，()11517141015171716141214.710a ∴=+++++++++=，中位数为15b =， 众数为17c =.因此，c b a >>.故选：B.2．(2021·安徽宿州市·高一期末)2020年宿州市某中学参加高中数学建模(应用)能力测试，高一年级有60人，高二年级有40人.高一的平均成绩为70分，高二的平均成绩为80分，则参加测试的100名学生的平均成绩为( ) A ．72分 B ．73分C ．74分D ．75分【答案】C【解析】由题意可得，参加测试的100名学生的平均成绩为6070408074100⨯+⨯=.故选：C.3．(2021·北京房山区·高一期末)根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10C 即为入冬．现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)： ①甲地：5个数据的中位数为7，众数为6； ②乙地：5个数据的平均数为8，极差为3； ③丙地：5个数据的平均数为5，中位数为4； ④丁地：5个数据的平均数为6，方差小于3． 则肯定进入冬季的地区是( ) A ．甲地 B ．乙地C ．丙地D ．丁地【答案】D【解析】①甲地：5个数据的中位数为7，众数为6；则这5个数据可能为6，6，7，10，11；即连续5天的日平均气温不是都低于10C ，所以甲地不一定入冬，故A 错；②乙地：5个数据的平均数为8，极差为3；则这5个数据可能为7，7，8，8，10；即连续5天的日平均气温不是都低于10C ，所以乙地不一定入冬，故B 错；③丙地：5个数据的平均数为5，中位数为4；则这5个数据可能为1，2，4，7，11；即连续5天的日平均气温不是都低于10C ，所以丙地不一定入冬，故C 错；④丁地：5个数据的平均数为6，方差小于3．如有数据大于等于10，则方差必大于等于()210616355-=>，不满足题意，因此丁地这续5天的日平均气温都低于10C ，所以丁地一定入冬，故D 正确； 故选：D.4．(2020·全国高一)某组数据的茎叶图如图所示，其众数为a ，中位数为b ，平均数为c ，则( )A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>【答案】A【解析】由图中数据可得23a =，202120.52b +== 89131517202123232632332012c +++++++++++==所以a b c >>故选：A5．(2020·全国高一)已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数分别为( )A ．63,64,66B ．65,65,67C ．55,64,66D ．64,65,64【答案】B【解析】由频率分布直方图可知，众数为6070652+=； 由100.0350.040.5⨯+⨯=，所以面积相等的分界线为65，即中位数为65； 平均数为550.3650.4750.15850.1950.0567⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故选：B ．6．(2020·广东汕头市·金山中学高一月考)甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是( )A．③④B．①②④C．②④D．①③④【答案】A【解析】由茎叶图知甲同学的成绩为72,76,80,82,86,90；乙同学的成绩为69,78,87,88,92,96.故甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数，①错；计算得甲同学的平均分为81，乙同学的平均分为85，故甲同学的平均分比乙同学的平均分低，因此②错、③对；计算得甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差，故④对．7．(2020·山东枣庄市·滕州市第一中学新校高一月考)从某食品厂生产的面包中抽取100个，测量这些面包的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)频数82237285(1)在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种面包质量指标值的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于85的面包至少要占全部面包90%的规定？”【答案】(1)见解析；(2)100；(3)见解析.【解析】(1)画图.(2)质量指标值的样本平均数为800.08900.22x=⨯+⨯1000.371100.28+⨯+⨯1200.05100+⨯=.所以这种面包质量指标值的平均数的估计值为100.(3)质量指标值不低于85的面包所占比例的估计值为0.220.370.280.050.92+++=，由于该估计值大于0.9，故可以认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于85的面包至少要占全部面包90%的规定.”8．(2020·安徽蚌埠市·蚌埠二中高一月考)某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下：男：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，55，66，38，44，56，75，35，58，94，58；女：77，55，69，58，76，70，77，90，51，53，63，64，69，83，83，65，100，75.(1)分别计算男、女学生得分的平均数；(2)分别计算男、女学生得分的四分位数.【答案】(1)男生平均数为61.05，女生平均数为71；(2)男生得分的四分位数： 50， 58， 71.5；女生得分的四分位数： 63， 69.5， 77.【解析】(1)男学生的平均数为1547057469058634685735566384456753558945820x+++++=++++++++++++++ 61.05=，女学生得分的平均数2775569587670779051536364698383651007518x=+++++++++++++++++71=.(2)男、女学生得分从小到大排列为男：35，38，44，46，46，54，55，56，57，58，58，58 ，63，66，70，73，75，85， 90，94；女：51，53，55，58，63，64，65，69，69，70，75，76，77，77，83，83， 90， 100；男、女学生得分的四分位数如下表25%分位数50%分位数75%分位数男生50 58 71.5女生63 69.5 779．(2021·安徽宿州市·高一期末)某地教育部门对某学校学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了M 名学生进行检测，实行百分制，现将所得的成绩按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)，[90,100)分成6组，并根据所得数据作出了如下所示的频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组 频数 频率 [40,50)[50,60)25p[60,70) s0.30[70,80)mn[80,90) 100.10[90,100]合计M1(1)求出表中,M p 及图中a 的值；(2)估计该校学生阅读素养的成绩中位数以及平均数.【答案】(1)100,0.25,0.02M p a ===；(2)中位数是2003，平均数是68.5. 【解析】(1)由频率统计表可知：101000.1M ==，250.25100p ∴== 由频率分布直方图可知：(0.0050.0250.030.010.01)101a +++++⨯=，解得0.02a = (2)∵前两组的频率和为0.050.250.30.5+=<，前三组的频率和为0.050.250.30.60.5++=> ∴中位数在[60,70)内，设中位数为x ，则0.050.25(60)0.030.5x ++-⨯=，解得2003x =，即中位数为2003.平均数为450.05550.25650.3750.2850.1950.168.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ∴估计该校学生阅读素养的成绩中位数是2003，平均数是68.5. 10．(2020·全国高一单元测试)某班的全体学生共有50人，参加数学测试(百分制)成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100. 依此表可以估计这一次测试成绩的中位数为70分.(1)求表中a ，b 的值；(2)请估计该班本次数学测试的平均分. 【答案】(1)0.02a =，0.015b =；(2)68分. 【解析】(1)由中位数为70可得，0.005200.0120100.5a ⨯+⨯+=，解得0.02a =.又()200.0050.010.021b ⨯+++=， 解得0.015b =.(2)由频率分布直方图可知，每组的频率依次为：0.1，0.2，0.4，0.3，则该班本次数学测试的平均分的估计值为:300.1500.2700.4900.368⨯+⨯+⨯+⨯=分.10．(2020·调兵山市第一高级中学高一月考)某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[)[)[]50,60,60,70,,90,100⋅⋅⋅分成5组，制成如图所示频率分直方图.(1)求图中x 的值；(2)求这组数据的平均数和中位数；(3)已知满意度评分值在[)50,60内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为[)50,60的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率. 【答案】(1)0.02x =；(2)平均数为77，中位数设为5407；(3)310.【解析】(1)由()0.0050.010.0350.030101x ++++⨯=，解得0.02x =.(2)这组数据的平均数为550.05650.2750.35850.3950.177⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 中位数设为m ，则()0.050.2700.0350.5m ++-⨯=，解得5407m =. (3)满意度评分值在[)50,60内有1000.005105⨯⨯=人，其中男生3人，女生2人.记为12312,,,,A A A B B ， 记“满意度评分值为[)50,60的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A ，从5人中抽取2人有：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B ，12B B 所以总基本事件个数为10个，A 包含的基本事件个数为3个， 所以 ()310P A =. 【题组四 总体离散程度的估计】1．(2020·甘肃白银市·高一期末)已知数据123,,x x x 的中位数为k ，众数为m ，平均数为n ，方差为p ，则下列说法中，错误的是( ) A ．数据1232,2,2x x x 的中位数为2kB ．数据1232,2,2x x x 的众数为2mC ．数据1232,2,2x x x 的平均数为2nD ．数据1232,2,2x x x 的方差为2p 【答案】D【解析】若数据123,,x x x 的中位数为k ，众数为m ，平均数为n ,则由性质知数据1232,2,2x x x 的中位数,众数，平均数均变为原来的2倍，故,,A B C 正确；则由方差的性质知数据1232,2,2x x x 的方差为4p ,故D 错误； 故选D ．2．(2020·四川省绵阳南山中学高一开学考试)数据1x ，2x ，3x …，n x 分别是某学校教职工()*3,n n n N≥∈个人的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入数据1n x +，则对这()1n +个数据，下列说法正确的是( ) A ．年收入平均数增大，中位数可能不变，方差变大 B ．年收入平均数增大，中位数一定变大，方差变大C ．年收入平均数增大，中位数可能不变，方差可能不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 【答案】A【解析】因为数据1x ，2x ，3x …，n x 分别是某学校教职工个人的年收入，所以世界首富的收入1n x +会远远大于1x ，2x ，3x …，n x ，故这1n +个数据的平均数会大大增加； 而中位数为数据中间的数或中间两个数的平均数，所以中位数有可能不变；因为世界首富的收入远远大于1x ，2x ，3x …，n x ，所以数据的集中程度受1n x +的影响很大，数据离散程度加大，所以方差变大. 故选：A3(2020·定边县第四中学高一期末)x 是1x ，2x ，…，100x 的平均值，1a 为1x ，2x ，…40x 的平均值，2a 为41x ，42x ，…100x 的平均值，则下列各式正确的是( )A．12235a ax+=B．12325a ax+=C．12x a a=+D．122a ax+=【答案】A【解析】因为1a为1x，2x，...40x的平均值，2a为41x，42x， (100)x的平均值,所以1240140x x x a++⋯+=，4142100260x x x a++⋯+=，则有1121002124060231001005x x x a a a ax++⋯+++===.故选：A.4．(多选)(2021·山东德州市·高一期末)国家为了实现经济“双循环”大战略，对东部和西部地区的多个县市的某一类经济指标进行调查，得出东部，西部两组数据的茎叶图如图所示，则下列结论正确的是( )A．西部的平均数为13.3B．东部的极差小于西部的极差C．东部的30%分位数是11.6D．东部的众数比西部的众数小【答案】ACD【解析】对于A：()11.211.512.412.513.113.113.613.613.713.914.414.915.01313.3++++++++++++÷=即西部的平均数为13.3，故A正确；对于B：东部的最大值为15.1，最小值为10.8，极差为15.110.8 4.3-=；西部的最大值为15.0，最小值为11.2，极差为15.011.2 3.8 4.3-=<；故B错误；对于C：东部共13个数据，1330% 3.9⨯=,即从小到大的第4个数11.6为东部的30%分位数，所以东部的30%分位数是11.6，故C正确；对于D：东部的众数为11.3，西部的众数为13.1和13.6均大于11.3，故D正确；故选：ACD5．(多选)(2020·全国高一单元测试)在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是( )A．平均数3x≤B．标准差2s≤C．平均数3x≤且极差小于或等于2D．众数等于1且极差小于或等于4【答案】CD【解析】对于A选项，若平均数3x≤，不能保证每天新增病例数不超过5人，不符合题意；对于B选项，标准差反映的是数据的波动大小，例如当每天感染的人数均为10，标准差是0，显然不符合题意；对于C选项，若极差等于0或1，在3x≤的条件下，显然符合指标；若极差等于2，假设最大值为6，最小值为4，则3x>，矛盾，故每天新增感染人数不超过5，符合条件，C正确；对于D选项，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标.故选：CD.6．(多选)(2020·济南市·山东师范大学附中高一月考)甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是( )A．平均数为67 B．平均数为66 C．方差为296 D．方差为287【答案】BD【解析】依题意，甲的平均数160x=，乙的平均数268x=，而甲､乙两队的队员人数之比为1：3，所以甲队队员在所有队员中所占比重为14，乙队队员在所有队员中所占比重为34故甲、乙两队全部队员的体重的平均数为：1360686644x=⨯+⨯=；甲、乙两队全部队员的体重的方差为：()()22213200606630068665922828744s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=+=⎣⎦⎣⎦.故选：BD.7．(多选)(2020·江苏无锡市·高一期末)已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数和方差均为2，则下列叙述正确的有( )A ．11x +，21x +，31x +，41x +，51x +的平均数为3B ．11x +，21x +，31x +，41x +，51x +的方差为3C ．12x ，22x ，32x ，42x ，52x 的方差为4D ．122x +，222x +，322x +，422x +，522x +的方差为8 【答案】AD【解析】对,A B 选项，将每个数据在原基础上加1，故平均数加1，但是方差保持不变， 故其平均数是3，方差是2；故A 正确；B 错误；对C ，将每个数据乘以2，故其方差变为原来的4倍，即为8，故C 错误； 对D ，将每个数据乘以2再加2，故其方差也变为原来的4倍，即为8，故D 正确. 故选：AD .8.(2020·全国高一课时练习)某城区举行“奥运知识”演讲比赛，中学组根据初赛成绩在高一、高二年级中分别选出10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩如图所示.团体成绩 众数 极差 平均数 方差 高一年级 22 39.6 高二年级85.727.8(1)请把上边的表格填写完整.(2)考虑平均数与方差，你认为哪个年级的团体成绩更好些? 【答案】(1)填表见解析；(2)高二年级的团体成绩更好些.【解析】(1)高一年级的成绩为80，87，89，80，88，99，80，77，91，86； 高二年级的成绩为85，97，85，87，85，88，77，87，78，88. 由此可知高一年级成绩的众数是80，平均数x =85+110(-5+2+4-5+3+14-5-8+6+1)=85.7； 高二年级成绩的众数是85，极差是20. 团体成绩 众数 极差 平均数 方差 高一年级 80 22 85.7 39.6 高二年级 85 2085.727.8(2)因为两个年级的得分的平均数相同，高二年级成绩的方差小，说明高二年级的成绩偏离平均数的程度小，所以高二年级的团体成绩更好些.9．(2020·胶州市教育局高一期末)某学校高一100名学生参加数学竞赛，成绩均在40分到100分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：(1)估计这100名学生分数的中位数与平均数；(精确到0.1)(2)某老师抽取了10名学生的分数：12310,,,...,x x x x ，已知这10个分数的平均数90x =，标准差6s =，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差.(参考公式：221nii xnx s n=-=∑)(3)该学校有3座构造相同教学楼，各教学楼高均为20米，东西长均为60米，南北宽均为20米.其中1号教学楼在2号教学楼的正南且楼距为40米，3号教学楼在2号教学楼的正东且楼距为72米.现有3种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为35,55,105米，每个售价相应依次为1500,2000,4000元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为100元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费.(参考数据：22221044100,19236864,11012100===)【答案】(1)中位数为71.4；平均数为71；(2)平均数为90；标准差为25；(3)3700元. 【解析】(1)因为0.050.150.250.450.5++=<0.050.150.250.350.80.5+++=>所以中位数为x 满足7080x << 由80()0.350.10.10.510x -⨯++=，解得608071.47x =-≈ 设平均分为y ，则0.05450.15550.25650.35750.1850.19571y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(2)由题意，剩余8个分数的平均值为01010080908x x --==因为10个分数的标准差1022110(90)610i i x s =-⨯==∑所以2222110...10(6)10(90)81360x x ++=⨯+⨯=所以剩余8个分数的标准差为222221100...)801008(90)8x x s +---⨯=（2025==(3)将3座教学楼完全包裹的球的最小直径为：22219280204366444100210++=<=因此若用一个覆盖半径为105米的屏蔽仪则总费用为4100元；将一座教学楼完全包裹的球的最小直径为2222020604400490070++=<=因此若用3个覆盖半径为35米的屏蔽仪则总费用为4800元；将1号教学楼与2号教学楼完全包裹的球的最小直径为：2222080601040012100110++=<=又因为22220806010400490070++=>=因此若用1个覆盖半径为55米和1个覆盖半径为35米的屏蔽仪则总费用为3700元；所以，让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费为3700元.11．(2020·河南开封市·高一期末)为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100]六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：(1)求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)请根据频率分布直方图，估计样本的中位数和方差.(每组数据以区间的中点值为代表).【答案】(1)第四组的频率为0.3；作图见解析；(2)2203；194.【解析】因为各组的频率和等于1，所以第四组的频率为1(0.0100.0150.0150.0250.005)1010.70.3 -++++⨯=-=. 补全的频率分布直方图如图所示.(2)前三组的频率之和为：(0.0100.0150.015)100.40.5++⨯=<前四组的频率之和为：0.40.03100.70.5+⨯=>设中位数为x ，则应有(70,80)x ∈又0.4(70)0.030.5x +-⨯=，2203x ∴=即样本的中位数为2203 抽取学生的平均数约为10(450.010550.015650.015750.030850.025950.005)71x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以，样本的方差为：222210[(4571)0.010(5571)0.015(6571)0.015s =⨯-⨯+-⨯+-⨯222(7571)0.030(8571)0.025(9571)0.005]+-⨯+-⨯+-⨯67.638.4 5.4 4.84928.8194=+++++=.。
2021新高考数学新课程一轮复习：第九章 第2讲 用样本估计总体含解析
第2讲用样本估计总体组基础关1．一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,60)内的数据个数为()A．14 B．15 C．16 D．17答案 B＝0.3，又因解析由频数分布表可知，样本中数据在[20,40)上的频率为4＋530为样本数据在[20,60)上的频率为0.8，所以样本在[40,60)内的频率为0.8－0.3＝0.5，数据个数为30×0.5＝15.2．甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如表：甲乙丙丁平均成绩x－86898985方差s2 2.1 3.5 2.1 5.6从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是()A．甲B．乙C．丙D．丁答案 C解析丙平均成绩高，方差s2小(稳定)，故最佳人选是丙．3．(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8答案 C解析解法一：设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70＝0.7.故选C.100解法二：用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图所示．易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70＝0.7.故选C.1004．(2019·钦州模拟)某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量(单位：克)绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80,82)，[82,84)，[84,86)，[86,88)，[88,90)，[90,92)，[92,94)，[94,96]，则样本的中位数在()A．第三组B．第四组C．第五组D．第六组答案 B解析由图可得，前四组的频率为(0.0375＋0.0625＋0.075＋0.1)×2＝0.55，则其频数为40×0.55＝22，且第四组的频数为40×0.1×2＝8，故中位数落在第四组，所以B 正确．5．如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x －A 和x －B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )A.x －A >x －B ，s A >s BB.x －A <x －B ，s A >s BC.x －A >x －B ，s A <s BD.x －A <x －B ，s A <s B 答案 B解析 由图可知A 组的6个数为2.5,10,5,7.5,2.5,10，B 组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10，所以x －A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝6.25，x －B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106≈11.67.显然x －A <x －B .又由图形可知，B 组的数据分布比A 均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以s A >s B ，故选B.6．(2020·重庆名校联盟调研)在样本频率分布直方图中共有9个小矩形，若其中1个小矩形的面积等于其他8个小矩形面积和的25，且样本容量为210，则该组的频数为( )A ．28B ．40C ．56D ．60 答案 D解析 设该小矩形的面积为x,9个小矩形的总面积为1，则其他8个小矩形的面积和为52x ，所以x ＋52x ＝1，所以x ＝27，所以该组的频数为27×210＝60.7．已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差为2，若数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n＋b (a >0)的方差为8，则a 的值为_______．答案 2解析 根据方差的性质，知a 2×2＝8，解得a ＝2.8．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在[15,20)，[20,25)，[25,30]三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20,25)内的学生中应选取的人数为________．答案 3解析 由频率分布直方图，知5×(0.01＋0.02＋a ＋0.04＋0.04＋0.06)＝1，解得a ＝0.03，即使用时间在[15,20)，[20,25)，[25,30]三组内的学生人数之比为4∶3∶1，则从每周使用时间在[15,20)，[20,25)，[25,30]三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20,25)内的学生中应选取的人数为38×8＝3.组 能力关1．(2019·葫芦岛一模)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列{a n }，若a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A ．12,13B ．13,13C ．13,12D ．12,14 答案 B解析 依题意得a 23＝a 1a 7，∴(a 1＋2×2)2＝a 1(a 1＋6×2)，解得a 1＝4，所以此样本的平均数为S 1010＝13，中位数为a 5＋a 62＝13.2．(多选)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是()注：90后指1990年及以后出生，80后指1980～1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．90后从事运营岗位的人数比80前从事互联网行业的人数多D．互联网行业中90后从事技术岗位的人数比80后从事技术岗位的人数多答案ABC解析对于A，由饼状图可知互联网行业从业人员中90后占了56%，故A正确．对于B，由条形图可知互联网行业中从事技术岗位的90后占56%×39.6%＝22.176%，超过总人数的20%，故B正确．对于C，由两图数据可计算出整个互联网行业从事运营岗位的90后占56%×17%＝9.52%，大于互联网行业中的80前总人数，故C正确．对于D，因为80后从事技术岗位的人数所占比例不清楚，所以互联网行业中从事技术岗位的90后人数不一定比80后的人数多，故D错误．故选ABC.3．(2019·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．y的分组企业数[－0.20,0)2[0,0.20)24[0.20,0.40)53[0.40,0.60)14[0.60,0.80) 7(1)业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：74≈8.602.解 (1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14＋7100＝0.21.产值负增长的企业频率为2100＝0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)y －＝1100×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s 2＝1100 i ＝15n i (y i －y －)2＝1100×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.0296，s ＝0.0296＝0.02×74≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.组 素养关(2019·石家庄市一模)小明在石家庄市某物流公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了甲、乙两种日薪薪酬方案，其中甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日派送的前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元．(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y (单位：元)与派送单数n 的函数关系式；(2)根据该公司100天所有派送员的派送记录，发现每名派送员的日平均派送单数与天数满足下表：①设一名派送员的日薪为x (单位：元)，根据以上数据，试分别求出甲、乙两种方案中日薪x 的平均数及方差；②结合①中的数据，根据统计的知识，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．(参考数据：0.62＝0.36,1.42＝1.96,2.62＝6.76,3.42＝11.56,3.62＝12.96,4.62＝21.16,15.62＝243.36,20.42＝416.16,44.42＝1971.36)解 (1)由题意知，甲方案中派送员的日薪y (单位：元)与派送单数n 的函数关系式为y ＝100＋n ，n ∈N ；乙方案中派送员的日薪y (单位：元)与派送单数n 的函数关系式为y ＝⎩⎨⎧140(n ≤55，n ∈N )，12n －520(n >55，n ∈N ). (2)①由(1)及表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30天，日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，则x －甲＝1100×(152×20＋154×30＋156×20＋158×20＋160×10)＝155.4， s 2甲＝1100×[20×(152－155.4)2＋30×(154－155.4)2＋20×(156－155.4)2＋20×(158－155.4)2＋10×(160－155.4)2]＝6.44，乙方案中，日薪为140元的有50天，日薪为152元的有20天，日薪为176元的有20天，日薪为200元的有10天，则x －乙＝1100×(140×50＋152×20＋176×20＋200×10)＝155.6，s 2乙＝1100×[50×(140－155.6)2＋20×(152－155.6)2＋20×(176－155.6)2＋10×(200－155.6)2]＝404.64.②解法一：由①可知，x－甲<x－乙，但两者相差不大，且s2甲远小于s2乙，即甲方案中日薪的波动相对较小，所以小明选择甲方案比较合适．解法二：由①可知，x－甲<x－乙，即甲方案中日薪的平均数小于乙方案中日薪的平均数，所以小明选择乙方案比较合适．。
第九章第二节用样本估计总体
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用C表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结 果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)．故所求 4 1 概率为P(C)＝16＝4.
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
解析：由茎叶图知平均值为
2
114＋126＋128＋132 ＝125， 4
1 ∴s ＝4[(125－114)2＋(125－126)2＋(125－128)2＋(125－132)2]＝45.
答案： C
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4．一个容量为20的样本数据，分组后，组别与频数如下：
则样本在(20,50]上的频率为_____方图中，中位数左边和右边的直方图的 面积相等，由此可以估计中位数的值，而平均数的估 计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小
矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高的矩形的中
点的横坐标．
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2.对标准差与方差的理解： 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大 小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准 差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原 始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度， 所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上
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(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学
成绩在区间(68,75)中的概率．
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[自主解答]
∵这6位同学的平均成绩为75分，
1 ∴6(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90. 这6位同学成绩的方差 1 s ＝6×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第九章 统计、成对数据的统计分析第2节 用样本估计总体
6
10
9
8
7
则该校学生开展志愿者活动时长的第40百分位数是
8.5
.
解析:(2)40×40%=16,故第40百分位数是第16个数和第17个数的平
均数, 即
+
=8.5.
考点二
总体集中趋势的估计
[例3] (多选题)某学校共有2 000名男生,为了了解这部分学生的身
体发育情况,学校抽查了100名男生的体重情况.根据所得数据绘制
=0.01.
(2)根据频率分布直方图,估计样本数据的15%和85%分位数.
解 :(2)由 图 可 知 ,[20,40)内 的 比 例 为 10%,[40,60)内 的 比 例 为
20%,[60,80)内的比例为40%,[80,100]内的比例为30%.
因此,15%分位数一定位于[40,60),85%分位数一定位于[80,100],
直方图如图所示:
得分 [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
人数
6
a
24
18
(1)求a,b的值;
解:(1)由频率分布直方图可知,
得分在[20,40)的频率为0.005×20=0.1,
故抽取的学生答卷数为6÷0.1=60,由6+a+24+18=60,得a=12.
所以 b=
[针对训练] (2023·全国乙卷)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率
的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产
品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡
胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为
高考(理)总复习资料：第9章 第2讲 用样本估计总体
• ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中 位数；
• ②甲同学的平均分比乙同学高； • ③甲同学的平均分比乙同学低； • ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方
差． • 上解析面：说甲法的中正位确数的81，是乙_的__中_位__数_8_7．.5，故①错， x 甲＝ 81•，答x 案乙＝：85③，故④②错，③对，由茎叶图知甲成绩比较稳定，
D. x 甲> x 乙，m甲<m乙
• [审题视点] 仔细观察茎叶图．中位数为一列
数中最中间的那个，当数有偶数个时，中位
数[解为析]中甲间数两据个集中数于的前平半段均，数而．乙数es据集中于后半段，
所以
x
甲<
x
乙；m甲＝
18＋22 2
＝20，m乙＝
27＋31 2
＝29，所以m甲
<m乙，所以选B.
• [答案] B
• [答案] C
32
1．平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体一种简 明的阐述．平均数、中位数、众数描述总体的集中趋势，方 差和标准差描述波动大小．
2. 平均数、方差公式的推广 若数据x1，x2，…，xn的平均数为 x ，方差为s2，则数据 mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m x ＋a，方差为 m2s2.
33
• [变式探究] [2013·西安质检]某校甲、乙两 个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投 篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生 1号 2号 3号 4号 5号
甲班 6
7
7
8
7
乙班 6
7
6
7
9
34
则以上两组数据的方差中较小的一个为s2，则s2＝( )
高考数学一轮复习 第九章 第二节 用样本估计总体课件 理 新人教版
3．方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差
的程度，虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上 是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
[互动探究] 在本例条件下估计样本数据的众数．
解析 众数应为最高矩形的中点对应的横坐标，故约为65.
[规律方法] 解决频率分布直方图问题时要抓住 (1)直方图中各小长方形的面积之和为 1. 频率 频率 (2)直方图中纵轴表示 ，故每组样本的频率为组距× ，即 组距 组距 矩形的面积． (3)直方图中每组样本的频数为频率×总体数．
2． (教材习题改编)把样本容量为 20 的数据分组， 分组区间与频数 如下：[10，20)，2；[20，30)，3；[30，40)，4；[40，50)，5； [50，60)，4；[60，70]，2，则在区间[10，50)上的数据的频率 是 ( A．0.05 C．0.5 B．0.25 D．0.7 )
三、样本的数字特征 数字特征 众数 定 义 在一组数据中，出现次数 最多 做这组数据的众数. 的数据叫
将一组数据按大小依次排列，把处在
中位数 最中间 位置的一个数据(或最中间两个数 据的 平均数 )叫做这组数据的中位数. 在频率
分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 的面积 相等 .
样本数据的算术平均数．即 平均数 1 x ＝ (x1＋x2＋…＋xn). n 1 s ＝ [(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2] . n
0.04)×10＝1，解得a＝0.005. (2) 由频率分布直方图知这 100 名学生语文成绩的平均分为
高考数学 第九章第二节 用样本估计总体课件新人教A版
答案： A
2．(2010· 山东高考)在某项体育比赛中，七位裁判为一选
手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值 和方差分别为 A．92,2 B．92,2.8 ( )
C．93,2
D．93,2.8
解析：去掉一个最高分 95 与一个最低分 89 后，所得的 5 个数 分别为 90、90、93、94、93， 90＋90＋93＋94＋93 460 所以 x ＝ ＝ ＝92， 5 5
A. x A＞ x B，sA＞sB C. x A＞ x B，sA＜sB
B. x A＜ x B，sA＞sB D. x A＜ x B，sA＜sB
解析：由图可知 A 组的 6 个数为 2.5,10,5,7.5，2.5，10， B 组的 6 个数为 15,10,12.5,10,12.5,10， 2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10 37.5 所以 x A＝ ＝ ， 6 6 15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10 70 x B＝ ＝ .显然 x A＜ x B， 6 6 又由图形可知，B 组的数据分布比 A 均匀，变化幅度不大，故 B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以 sA＞sB.
微污染；在151～200之间时，为轻度污染．
请你根据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一 个简短评价．
[自主解答] (1)频率分布表：
分组 [41,51) [51,61) [61,71) [71,81) [81,91) [91,101) [101,111) 频数 2 1 4 6 10 5 2 频率 2 30 1 30 4 30 6 30 10 30 5 30 2 30
2 2 2 2 × 90 － 92 ＋ 2 × 93 － 92 ＋ 94 － 92 14 2 s＝ ＝ ＝2.8. 5 5
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易知调查的 100 位学生中阅读过《西游记》的学生人数为 70，所 以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 70 ＝0.7. 100
答案：C 7．(2018·江苏卷)已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如 图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为________．
试验田．这 n 块地的亩产量(单位：kg)分别为 x1，x2，…，xn，下面给
出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn 的平均数 B．x1，x2，…，xn 的标准差
C．x1，x2，…，xn 的最大值 D．x1，x2，…，xn 的中位数 解析：统计问题中，体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或
4．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游
服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客
量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( )
-2-
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月
该班抽取 20 名学生，根据他们对语文、数学教师教学的满意度评分(百
分制)，绘制茎叶图如下图所示．设该班学生对语文、数学教师教学的
满意度评分的中位数分别为 a，b，则( )
A．a<b
B．a>b
C．a＝b
D．无法确定
解析：由茎叶图得：a＝75＋76＝75.5，b＝75＋77＝76，所以 a<b.
2
2
答案：A
解析：5 位裁判打出的分数分别是 89，89，90，91，91，则这 5 位裁判打出的分数的平均数为89＋89＋90＋91＋91＝90.
5 答案：90 8．(2020·济南一中检测)已知样本容量为 200，在样本的频率分布 直方图中，共有 n 个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余(n－1) 个小矩形面积和的1，则该组的频数为________．
D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性
更小，变化比较平稳
解析：观察 2014 年的折线图，发现从 8 月至 9 月，以及 10 月开 始的三个月接待游客量都是减少的，故 A 选项是错误的．
答案：A 5．(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作
×20＝0.3.
所以该班学生人数 n＝01.53＝50.
答案：B
2．(2020·衡水中学检测)某学校为了了解本校学生的上学方式，在
全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A 结伴步行，
B 自行乘车，C 家人接送，D 其他方式，并将收集的数据整理绘制成
如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，可知本次抽查的学生中 A
(1)按分层抽样的方法从质量落在[350，400)，[400，450)的脐橙中 随机抽取 5 个，再从这 5 个脐橙中随机抽 2 个，求这 2 个脐橙质量至 少有一个不小于 400 克的概率；
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表 概率，已知该村的脐橙种植地上大约还有 100 000 个脐橙待出售，某电 商提出两种收购方案：
丢失，则依据此图可得：
Байду номын сангаас
(1)[25，30)年龄组对应小矩形的高度为________； (2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25，35)的人 数为________． 解析：设[25，30)年龄组对应小矩形的高度为 h，则 5×(0.01＋h ＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得 h＝0.04.则志愿者年龄在[25，35)年龄组 的频率为 5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25，35)年龄组的人 数约为 0.55×800＝440. 答案：(1)0.04 (2)440 10．某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别 随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 A 地区用 户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布 表．
5
-7-
方差为 s2甲＝15[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－ 29)2]＝3.6；
标准差为 s 甲＝ 3.6. 乙地 5 天的气温为 28，29，30，31，32， 其平均数为－x 乙＝28＋29＋30＋31＋32＝30；
5 方差为 s2乙＝15[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－ 30)2]＝2； 标准差为 s 乙＝ 2，所以－x 甲＜－x 乙，s 甲＞s 乙．因此 AD 正确． 答案：AD 12．(2020·河北示范性高中模拟)某学校对 100 间学生公寓的卫生 情况进行综合评比，依考核分数分为 A，B，C，D 四个等级，其中分 数在[60，70)为 D 等级；分数在[70，80)为 C 等级；分数在[80，90)为 B 等级；分数在[90，100]为 A 等级，考核评估后，得其频率分布折线 图如图所示，估计这 100 间学生公寓评估得分的平均数是________．
A．所有脐橙均以 7 元/千克收购： B．低于 350 克的脐橙以 2 元/个收购，其余的以 3 元/个收购． 请你通过计算为该村选择收益较好的方案． (参考数据：225×0.05＋275×0.16＋325×0.24＋375×0.3＋425× 0.2＋475×0.05＝354.5) 解：(1)由题意得脐橙质量在[350，400)和[400，450)的比为 3∶2， 所以应分别在质量为[350，400)和[400，450)的脐橙中各抽取 3 个 和 2 个． 记抽取质量在[350，400)的脐橙为 A1，A2，A3，质量在[400，450) 的脐橙为 B1，B2. 则从这 5 个脐橙中随机抽取 2 个的情况共有以下 10 种：
具体值，给出结论即可)；
B 地区用户满意度评分的频率分布直方图 (2)根据用户满意度评分，将用户和满意度分为三个等级：
满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分
满意度等级 不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由． 解：(1)作出频率分布直方图如图所示：
标准差．故选 B.
答案：B 6．(一题多解)(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》
和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某
中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，
其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼
梦》的学生共有 80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生
共有 60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值
的估计值为( )
A．0.5
B．0.6
C．0.7
D．0.8
-3-
解析：法一 设调查的 100 位学生中阅读过《西游记》的学生人 数为 x，则 x＋80－60＝90，解得 x＝70，
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估 计值为17000＝0.7.
解析：所求平均分为(65×0.015＋75×0.040＋85×0.020＋95× 0.025)×10＝80.5.
答案：80.5 13．(2020·河北衡水调研)十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做 到精准扶贫．我省某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫
-8-
同扶智相结合，帮助贫困村种植脐橙，并利用互联网电商进行销售， 为了更好销售，现从该村的脐橙树上随机摘下 100 个脐橙进行测重， 其质量分布在区间[200，500](单位：克)，根据统计质量的数据作出频 率分布直方图如图所示：
-6-
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区 用户满意度评分的平均值高于 A 地区用户满意度评分的平均值；B 地 区用户满意度评分比较集中，而 A 地区用户满意度评分比较分散．
(2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大． 记 CA 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”； CB 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”． 由直方图得 P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6， P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25. 所以 A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
-5-
A 地区用户满意度评分的频率分布直方图
B 地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
分分组
频数
2
8
14
10
6
(1)在下图中作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通
过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出
类人数是( )
A．30
B．40
-1-
C．42
D．48
解析：根据选择 D 方式的有 18 人，占 15%，得总人数为 18 ＝ 15%
120， 故选择 A 方式的人数为 120－42－30－18＝30.
答案：A 3．(2020·安徽省示范高中联考)为全面地了解学生对任课教师教学
的满意程度，特在某班开展教学调查．采用简单随机抽样的方法，从
3 解析：设除中间一个小矩形外的(n－1)个小矩形面积的和为 p，
-4-
则中间一个小矩形面积为 1p，p＋1p＝1，p＝3，
3
3
4
则中间一个小矩形的面积等于 13p＝14，200×14＝50， 即该组的频数为 50.