第二节 用样本估计总体

所分的组数 增
加， 组距 减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线， 统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线． (3)茎叶图的优点 茎叶图的优点是可以 保留 原始数据，而且可以 随时 记录，这 对数据的记录和表示都能带来方便．
2．样本的数字特征 (1)众数、中位数、平均数
数字特征 定义与求法 一组数据中重复出现次数 最多 的数 把一组数据按 从小到大的 中位数 优点与缺点 众数通常用于描述变量的值出现次数最多的 数． 但显然它对其他数据信息的忽视使得无法客 观地反映总体特征 中位数等分样本数据所占频率， 它不受少数几个
3．如图是 100 位居民月均用水量的频率分布直方图，则 月均用水量为[2,2.5)范围内的居民数有________人．
答案：25
4．一个容量为 200 的样本的频率分布直方图如图所示， 则样本数据落在[5,9)内的频率和频数分别为________．
答案：0.2
40
5．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶 5．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎
图表示，从茎叶图的分布情况看， ________运动员的发挥更稳定 . 表示，从茎叶图的分布情况看， ________ 运动员的发挥更稳定
答案：乙
6．将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低 分， 7 个剩余分数的平均分为 91.现场作的 9 个分数的茎叶图后 来有 1 个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示：
B．84,85
C．86,84
D．84,86
解析：选 A 由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数据为 84,84,84,86,87. 84＋84＋84＋86＋87 ∴平均数为 ＝85，众数为 84. 5
2．若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所 示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A．91.5 和 91.5
B．91.5 和 92
C．91 和 91.5 D．92 和 92
解析：选 A
将这组数据从小到大排列，得
91＋92 87,89,90,91,92,93,94,96.故中位数为 ＝91.5. 2 87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96 － 平均数为 x ＝ ＝91.5. 8
36 答案： 7
典题 1]
[典题 1]
(1)(2015· 新课标全国卷Ⅱ)根据下面给出的 2004 年
(1)(2015· 新课标全国卷Ⅱ)根据下面给出的 2004 年
3 年我国二氧化硫年排放量 (单位：万吨 柱形图，以下结论 至 2013 年我国二氧化硫年排放量 (单位：万吨)) 柱形图，以下结论
1．频率分布直方图和茎叶图 (1)作频率分布直方图的步骤 ①求极差(即一组数据中 最大值 与最小值 的差)； ②决定 组距 与 组数 ； ③将数据 分组 ； ④列 频率分布表 ； ⑤画 频率分布直方图 ．
(2)频率分布折线图和总体密度曲线 ①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端 的 中点 ，就得到频率分布折线图． ②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时
)
中不正确的是 正确的是 ( )(
A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
年度的消费情况进行统计，发现消费金额 ( 单位：万元 ) 都 [0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示． ①直方图中的 a＝________； [0.3,0.9] 内，其频率分布直方图如图所示．
②区间 [0.3,0.5) 内的频率为 0.1×1.5 ＋ 0.1×2.5 ＝ 0.4 ，故 [0.5,0.9]内的频率为 1－0.4＝0.6. 因 此 ， 消 费 金 额 在 区 间 [0.5,0.9] 内 的 购 物 者 的 人 数 为 0.6×10 000＝6 000. (3) 月工资收入落在 (30,35]( 百元 ) 内的频率为 1 － (0.02 ＋ 0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15，则 0.15÷ 5＝0.03， 所以各组的频率比为 0.02 ∶ 0.04 ∶ 0.05 ∶ 0.05 ∶ 0.03 ∶ 0.01 ＝ 3 2∶4∶5∶5∶3∶1，所以(30,35](百元)月工资收入段应抽出 20 ×100＝15(人)．
答案：(1)D
(2)①3
②6 000
(3)15
1．绘制频率分布直方图时需注意： (1)制作好频率分布表后， 可以利用各组的频率之和是 否为 1 来检验该表是否正确； 频率 (2)频率分布直方图的纵坐标是 ，而不是频率． 组距
2． 由频率分布直方图进行相关计算时， 需掌握下列关系式： 频率 (1) ×组距＝频率； 组距 频数 频数 (2) ＝频率，此关系式的变形为 ＝样本容量， 样本容量 频率 样本容量×频率＝频数．
考纲要求： 1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直 方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点． 2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差． 3．能从样本数据中提取基本的数字特征(平均数、标准差)，并 给出合理解释． 4．会用样本的频率分布估计总体的分布，会用样本的基本数 字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想． 5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些 简单的实际问题．
人做电话询访，则(30,35](百元)月工资收入段应抽出 ________人．
中抽出 100 _______ 人．
[听前试做]
(1)对于 A 选项，由图知从 2007 年到 2008 年二
氧化硫排放量下降得最多，故 A 正确．对于 B 选项，由图知，由 2006 年到 2007 年矩形高度明显下降， 因此 B 正确． 对于 C 选项， 由图知从 2006 年以后除 2011 年稍有上升外，其余年份都是逐年 下降的，所以 C 正确．由图知 2006 年以来我国二氧化硫年排放 量与年份负相关，故选 D. (2) ① 由 0.1×1.5 ＋ 0.1×2.5 ＋ 0.1a ＋ 0.1×2.0 ＋ 0.1×0.8 ＋ 0.1×0.2＝1，解得 a＝3.
(2)标准差、方差 ①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 s 表 示，s＝ 1 －2 －2 －2 [ x 1－ x ＋x2－ x ＋„＋xn－ x ]. n
②方差：标准差的平方 s2 1 s ＝ n [(x1 － － x )2 ＋ (x2 － － x )2 ＋„＋ (xn － － x )2] ，其中 xi(i ＝
答案：(1)A
在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个 图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶 的含义．
1.如图是 2015 年某大学自主招生面试环节中，七位评 委为某考生打出的分数的茎叶统计图， 去掉一个最高分和一 个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )
Байду номын сангаас
A．85,84
调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪
(3)某地政府调查了工薪阶层 1 000 人的月工资收入，并根据 调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对
月工资收入的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的 1
中抽出 100 人做电话询访，则(30,35](百元)月工资收入段 月工资收入的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的 1 000 人
(3)×
(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标 是众数． ( √ ) (5)× (3) × (4)
(6)√
(5)在频率分布直方图中， 众数左边和右边的小长方形的面积 和是相等的． ( × ) (2)√ 答案：(1)
(3)×
(4)√
(5)×
(6)√
(6)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大． ( √ ) (5) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)
②在这些购物者中，消费金额在区间 [0.5,0.9]内的购物者的人数 为________ ． 为________． (2)(2015· 湖北高考)某电子商务公司对 10 000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额 ( 单位：万元 ) 都在区间
②在这些购物者中，消费金额在区间 [0.5,0.9]内的购物者 ①直方图中的 a＝________；
则 7 个剩余分数的方差为________．
解析：由图可知去掉的两个数是 87,99，所以 87＋ 90×2＋91×2＋94＋90＋x ＝91×7， 解得 1 2 x ＝4.s ＝ [(87 7
－91)2 ＋(90－ 91)2×2＋ (91－91)2×2＋(94－ 91)2×2] ＝ 36 . 7
众数
顺序排列，处在 中间 位置的一 极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对 个数据(或两个数据的平均数) 如果有 n 个数据 x1，x2，„， 极端值的不敏感有时也会成为缺点 平均数与每一个样本数据有关， 可以反映出更多
平均数
但平均数受数据中 x n， 那么这 n 个数的平均数 x ＝ 的关于样本数据全体的信息， x1＋x2＋„＋xn n 的极端值的影响较大， 使平均数在估计总体时可 靠性降低
2
1,2,3，„，n)是样本数据 ，n 是样本容量 ，－ x 是样本平均数 ．
(3)平均数、方差公式的推广 若数据 x1，x2，„，xn 的平均数为－ x ，方差为 s2，则 数据 mx1＋a，mx2＋a，„，mxn＋a 的平均数为 m－ x ＋a， 方差为 m2s2.
[自我查验] 1． 判断下列结论的正误． (正确的打“√”， 错误的打“×”) (1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率． ( × ) (2)√ 答案：(1) (2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为 1.( √ ) (5)× 答案：(1)× (2)√ (3)× (4) (3)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从 小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次． ( × ) (2)√ 答案：(1)