算法设计方法与优化滕国文部分课后习题问题详解

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算法设计与分析第二版课后习题解答

算法设计与分析第二版课后习题解答

算法设计与分析第二版课后习题解答算法设计与分析基础课后练习答案习题 4.设计一个计算的算法,n是任意正整数。

除了赋值和比较运算,该算法只能用到基本的四则运算操作。

算法求//输入:一个正整数n2//输出:。

step1:a=1;step2:若a*a 5. a.用欧几里德算法求gcd。

b. 用欧几里德算法求gcd,比检查min{m,n}和gcd间连续整数的算法快多少倍?请估算一下。

a. gcd(31415, 14142) = gcd(14142, 3131) = gcd(3131, 1618) =gcd(1618, 1513) = gcd(1513,105) = gcd(1513, 105) = gcd(105, 43) =gcd(43, 19) = gcd(19, 5) = gcd(5, 4) = gcd(4, 1) = gcd(1, 0) = 1.b.有a可知计算gcd欧几里德算法做了11次除法。

连续整数检测算法在14142每次迭代过程中或者做了一次除法,或者两次除法,因此这个算法做除法的次数鉴于1·14142 和 2·14142之间,所以欧几里德算法比此算法快1·14142/11 ≈ 1300 与 2·14142/11 ≈ 2600 倍之间。

6.证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立. Hint:根据除法的定义不难证明:如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v;如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn;显然,若d能整除n和r,也一定能整除m=r+qn和n。

数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集,其中也包括了最大公约数。

故gcd(m,n)=gcd(n,r)7.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次? Hint:对于任何形如0 gcd(m,n)=gcd(n,m)并且这种交换处理只发生一次.对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最少要做几次除法?(1次) b. 对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最多要做几次除法?(5次) gcd(5,8) 习题 1.(农夫过河)P—农夫 W—狼G—山羊C—白菜 2.(过桥问题)1,2,5,10---分别代表4个人, f—手电筒4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平方根的函数) 算法Quadratic(a,b,c)//求方程ax^2+bx+c=0的实根的算法 //输入:实系数a,b,c//输出:实根或者无解信息 If a≠0D←b*b-4*a*c If D>0temp←2*ax1←(-b+sqrt(D))/temp x2←(-b-sqrt(D))/temp return x1,x2else if D=0 return –b/(2*a) else return “no real roots” else //a=0if b≠0 return –c/b else //a=b=0if c=0 return “no real numbers”else return “no real roots”5. 描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法 a.用文字描述 b.用伪代码描述解答:a.将十进制整数转换为二进制整数的算法输入:一个正整数n输出:正整数n相应的二进制数第一步:用n除以2,余数赋给Ki(i=0,1,2...),商赋给n 第二步:如果n=0,则到第三步,否则重复第一步第三步:将Ki按照i从高到低的顺序输出 b.伪代码算法 DectoBin(n)//将十进制整数n转换为二进制整数的算法 //输入:正整数n//输出:该正整数相应的二进制数,该数存放于数组Bin[1...n]中 i=1while n!=0 do { Bin[i]=n%2; n=(int)n/2; i++; } while i!=0 do{ print Bin[i]; i--; }9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略) 对这个算法做尽可能多的改进. 算法 MinDistance(A[0..n-1]) //输入:数组A[0..n-1] //输出:the smallest distance d between two of its elements习题1. 考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序b.该算法稳定吗?c.该算法在位吗? 解:a. 该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序c.该算法不在位.额外空间for S and Count 4.(古老的七桥问题) 第2章习题7.对下列断言进行证明:(如果是错误的,请举例) a. 如果t(n)∈O(g(n),则g(n)∈Ω(t(n)) b.α>0时,Θ(αg(n))= Θ(g(n)) 解:a. 这个断言是正确的。

算法设计与分析习题答案

算法设计与分析习题答案

算法设计与分析习题答案算法设计与分析是计算机科学中一个重要的领域,它涉及到算法的创建、优化以及评估。

以下是一些典型的算法设计与分析习题及其答案。

习题1:二分查找算法问题描述:给定一个已排序的整数数组,编写一个函数来查找一个目标值是否存在于数组中。

答案:二分查找算法的基本思想是将数组分成两半,比较中间元素与目标值的大小,如果目标值等于中间元素,则查找成功;如果目标值小于中间元素,则在左半部分继续查找;如果目标值大于中间元素,则在右半部分继续查找。

这个过程会不断重复,直到找到目标值或搜索范围为空。

```pythondef binary_search(arr, target):low, high = 0, len(arr) - 1while low <= high:mid = (low + high) // 2if arr[mid] == target:return Trueelif arr[mid] < target:low = mid + 1else:high = mid - 1return False```习题2:归并排序算法问题描述:给定一个无序数组,使用归并排序算法对其进行排序。

答案:归并排序是一种分治算法,它将数组分成两半,分别对这两半进行排序,然后将排序好的两半合并成一个有序数组。

```pythondef merge_sort(arr):if len(arr) > 1:mid = len(arr) // 2left_half = arr[:mid]right_half = arr[mid:]merge_sort(left_half)merge_sort(right_half)i = j = k = 0while i < len(left_half) and j < len(right_half): if left_half[i] < right_half[j]:arr[k] = left_half[i]i += 1else:arr[k] = right_half[j]j += 1k += 1while i < len(left_half):arr[k] = left_half[i]i += 1k += 1while j < len(right_half):arr[k] = right_half[j]j += 1k += 1arr = [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]merge_sort(arr)print("Sorted array is:", arr)```习题3:动态规划求解最长公共子序列问题问题描述:给定两个序列,找到它们的最长公共子序列。

算法设计与分析 第九章NP问题

算法设计与分析 第九章NP问题

第九章 NP -完全问题§1 关于问题及算法的描述为了应用算法复杂性理论,首先要对问题、问题的一般描述、计算模型、算法、算法的复杂性给出严格的定义。

但在给出精确定义之前,我们先回顾一下有关概念的粗略解释。

所谓一个问题(problem)是指一个有待回答、通常含有几个值还未确定的自由变量的一个一般性提问(question)。

它由两部分决定:一是对其所有参数的一般性描述;二是对该问题的答案所应满足的某些特性的说明。

而一个问题的某个例子则可通过指定问题中所有参数的具体取值来得到。

以下用II 表示某个问题,用I 表示其例子。

例1.1 旅行商问题该问题的参数是由所需访问城市的一个有限集合},,,{11m C C C C =和C 中每对城市j i C C ,之间的距离),(j i C C d 所组成。

它的一个解是对所给城市的一个排序),,,()()2()1(m C C C πππ ,使得该排序极小化下面表达式(目标函数)的值),(),()1()()1(11)(ππππC C d C C d m i m i i ++-=∑旅行商问题的任一个例子的是通过限定城市的数目,并指定每两个城市之间的具体距离而得到的。

例如:{}4321,,,C C C C C =,10),(,10),(,10),(,10),(,10),(,10),(212121212121======C C d C C d C C d C C d C C d C C d 就构成了一个具体例子,而这个例子的一个解是排序4321,,,C C C C ,因为四个城市的这个排序所对应旅行路线是所有能旅行路线中长度最小的,且为27。

所谓算法(algorithm)是指用来求解某一问题的、带有一般性的一步一步的过程。

它是用来描述可在许多计算机上实现任一计算流程的抽象形式,其一般性可以超越任何具体实现时的细节。

注意,复杂性理论中对算法的定义与我们通常理解的具体算法-用某种计算机语言编写的、可在某一特定计算机上实现的计算机程序-不同。

算法设计与分析基础课后习题答案solu4

算法设计与分析基础课后习题答案solu4
Solving it by backward substitutions for n = 2k yields the following:
C(2k) = 2C(2k−1) + 1 = 2[2C(2k−2) + 1] + 1 = 22C(2k−2) + 2 + 1 = 22[2C(2k−3) + 1] + 2 + 1 = 23C(2k−3) + 22 + 2 + 1 = ... = 2iC(2k−i) + 2i−1 + 2i−2 + ... + 1 = ... = 2kC(2k−k) + 2k−1 + 2k−2 + ... + 1 = 2k − 1 = n − 1.
Design a divide-and-conquer algorithm for this problem.
2
Hints to Exercises 4.1
1. In more than one respect, this question is similar to the divide-and-conquer computation of the sum of n numbers. Also, you were asked to analyze an almost identical algorithm in Exercises 2.4.
b. Set up and solve a recurrence relation for the number of multiplications made by this algorithm.
c. How does this algorithm compare with the brute-force algorithm for this problem?

算法分析与设计教程习题解答_秦明

算法分析与设计教程习题解答_秦明

算法分析与设计教程习题解答第1章 算法引论1. 解:算法是一组有穷的规则,它规定了解决某一特定类型问题的一系列计算方法。

频率计数是指计算机执行程序中的某一条语句的执行次数。

多项式时间算法是指可用多项式函数对某算法进行计算时间限界的算法。

指数时间算法是指某算法的计算时间只能使用指数函数限界的算法。

2. 解:算法分析的目的是使算法设计者知道为完成一项任务所设计的算法的优劣,进而促使人们想方设法地设计出一些效率更高效的算法,以便达到少花钱、多办事、办好事的经济效果。

3. 解:事前分析是指求出某个算法的一个时间限界函数(它是一些有关参数的函数);事后测试指收集计算机对于某个算法的执行时间和占用空间的统计资料。

4. 解:评价一个算法应从事前分析和事后测试这两个阶段进行,事前分析主要应从时间复杂度和空间复杂度这两个维度进行分析;事后测试主要应对所评价的算法作时空性能分布图。

5. 解:①n=11; ②n=12; ③n=982; ④n=39。

第2章 递归算法与分治算法1. 解:递归算法是将归纳法的思想应用于算法设计之中,递归算法充分地利用了计算机系统内部机能,自动实现调用过程中对于相关且必要的信息的保存与恢复;分治算法是把一个问题划分为一个或多个子问题,每个子问题与原问题具有完全相同的解决思路,进而可以按照递归的思路进行求解。

2. 解:通过分治算法的一般设计步骤进行说明。

3. 解:int fibonacci(int n) {if(n<=1) return 1;return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); }4. 解:void hanoi(int n,int a,int b,int c) {if(n>0) {hanoi(n-1,a,c,b); move(a,b);hanoi(n-1,c,b,a); } } 5. 解:①22*2)(--=n n f n② )log *()(n n n f O =6. 解:算法略。

算法设计与分析课后部分习题答案

算法设计与分析课后部分习题答案

算法实现题3-7 数字三角形问题问题描述:给定一个由n行数字组成的数字三角形,如图所示。

试设计一个算法,计算出从三角形的顶至底的一条路径,使该路径经过的数字总和最大。

编程任务:对于给定的由n行数字组成的数字三角形,编程计算从三角形的顶至底的路径经过的数字和的最大值。

数据输入:有文件input.txt提供输入数据。

文件的第1行是数字三角形的行数n,1<=n<=100。

接下来的n行是数字三角形各行的数字。

所有数字在0-99之间。

结果输出:程序运行结束时,将计算结果输出到文件output.txt中。

文件第1行中的数是计算出的最大值。

输入文件示例输出文件示例 input.txt output.txt 5 30 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5源程序:#include "stdio.h" voidmain(){ intn,triangle[100][100],i,j;//triangle数组用来存储金字塔数值,n表示行数 FILE *in,*out;//定义in,out两个文件指针变量in=fopen("input.txt","r");fscanf(in,"%d",&n);//将行数n读入到变量n中for(i=0;i<n;i++)//将各行数值读入到数组triangle中for(j=0;j<=i;j++)fscanf(in,"%d",&triangle[i][j]);for(int row=n-2;row>=0;row--)//从上往下递归计算for(int col=0;col<=row;col++)if(triangle[row+1][col]>triangle[row+1][col+1])triangle[row][col]+=triangle[row+1][col];elsetriangle[row][col]+=triangle[row+1][col+1];out=fopen("output.txt","w");fprintf(out,"%d",triangle[0][0]);//将最终结果输出到output.txt中 }算法实现题4-9 汽车加油问题问题描述:一辆汽车加满油后可行驶nkm。

算法设计与分析基础课后习题答案(中文版)

算法设计与分析基础课后习题答案(中文版)

Program算法设计与分析基础中文版答案习题1.15..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立.Hint:根据除法的定义不难证明:●如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v;●如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn;显然,若d能整除n和r,也一定能整除m=r+qn和n。

数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集,其中也包括了最大公约数。

故gcd(m,n)=gcd(n,r)6.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次?Hint:对于任何形如0<=m<n的一对数字,Euclid算法在第一次叠代时交换m和n, 即gcd(m,n)=gcd(n,m)并且这种交换处理只发生一次.7.a.对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最少要做几次除法?(1次)b. 对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最多要做几次除法?(5次)gcd(5,8)习题1.21.(农夫过河)P—农夫W—狼G—山羊C—白菜2.(过桥问题)1,2,5,10---分别代表4个人, f—手电筒4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平方根的函数)算法Quadratic(a,b,c)//求方程ax^2+bx+c=0的实根的算法//输入:实系数a,b,c//输出:实根或者无解信息If a≠0D←b*b-4*a*cIf D>0temp←2*ax1←(-b+sqrt(D))/tempx2←(-b-sqrt(D))/tempreturn x1,x2else if D=0 return –b/(2*a)else return “no real roots”else //a=0if b≠0 return –c/belse //a=b=0if c=0 return “no real numbers”else return “no real roots”5.描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法a.用文字描述b.用伪代码描述解答:a.将十进制整数转换为二进制整数的算法输入:一个正整数n输出:正整数n相应的二进制数第一步:用n除以2,余数赋给Ki(i=0,1,2...),商赋给n第二步:如果n=0,则到第三步,否则重复第一步第三步:将Ki按照i从高到低的顺序输出b.伪代码算法DectoBin(n)//将十进制整数n转换为二进制整数的算法//输入:正整数n//输出:该正整数相应的二进制数,该数存放于数组Bin[1...n]中i=1while n!=0 do {Bin[i]=n%2;n=(int)n/2;i++;}while i!=0 do{print Bin[i];i--;}9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略) 对这个算法做尽可能多的改进.算法MinDistance(A[0..n-1])//输入:数组A[0..n-1]//输出:the smallest distance d between two of its elements习题1.31.考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序b.该算法稳定吗?c.该算法在位吗?解:a. 该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序c.该算法不在位.额外空间for S and Count[] 4.(古老的七桥问题)习题1.41.请分别描述一下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度. a.删除数组的第i 个元素(1<=i<=n)b.删除有序数组的第i 个元素(依然有序) hints:a. Replace the i th element with the last element and decrease the array size of 1b. Replace the ith element with a special symbol that cannot be a value of the array ’s element(e.g., 0 for an array of positive numbers ) to mark the i th position is empty. (“lazy deletion ”)第2章 习题2.17.对下列断言进行证明:(如果是错误的,请举例) a. 如果t(n )∈O(g(n),则g(n)∈Ω(t(n)) b.α>0时,Θ(αg(n))= Θ(g(n)) 解:a. 这个断言是正确的。

算法设计与分析-课后习题集答案

算法设计与分析-课后习题集答案
10.(1)当 时, ,所以,可选 , 。对于 , ,所以, 。
(2)当 时, ,所以,可选 , 。对于 , ,所以, 。
(3)由(1)、(2)可知,取 , , ,当 时,有 ,所以 。
11. (1)当 时, ,所以 , 。可选 , 。对于 , ,即 。
(2)当 时, ,所以 , 。可选 , 。对于 , ,即 。
(3)因为 , 。当 时, , 。所以,可选 , ,对于 , ,即 。
第二章
2-17.证明:设 ,则 。
当 时, 。所以, 。
第五章
5-4.SolutionType DandC1(int left,int right)
{while(!Small(left,right)&&left<right)
{int m=Divide(left,right);
所以n-1<=m<=n (n-1)/2;
O(n)<=m<=O(n2);
克鲁斯卡尔对边数较少的带权图有较高的效率,而 ,此图边数较多,接近完全图,故选用普里姆算法。
10.
T仍是新图的最小代价生成树。
证明:假设T不是新图的最小代价生成树,T’是新图的最小代价生成树,那么cost(T’)<cost(T)。有cost(T’)-c(n-1)<cost(t)-c(n-1),即在原图中存在一颗生成树,其代价小于T的代价,这与题设中T是原图的最小代价生成树矛盾。所以假设不成立。证毕。
13.template <class T>
select (T&x,int k)
{
if(m>n) swap(m,n);
if(m+n<k||k<=0) {cout<<"Out Of Bounds"; return false;}
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printf("请输入50个学生的成绩");
for(i=0;i<10;i++)
{
for(j=0;j<5;j++)
{
scanf("%d",&a[i][j]);
}
}
for(i=0;i<10;i++)
for(j=0;j<5;j++)
{
if(a[i][j]>80)
{
printf("这个学生的学号是%d,这个学生的成绩是%d\n",i*10+j+1,a[i][j]);
printf("input x and y and z:");
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
l=(x+y+z)/2;
area=sqrt(l*(l-x)*(l-y)*(l-z));
printf("%.2f\n",area);
}
2-12.求ax2+bx+c=0方程的根,a,b,c由键盘输入(假设b2-4ac>0)
int isp(int m)
{
int i;
for(i=2;i<=sqrt(m);i++)
{
if(m%i==0)
return 0;
}
return 1;
}
void main()
{
int n;
for(n=100;n<=200;n++)
{
if(isp(n))
printf("%d\t",n);
}
}
2-6.求两个数m和n的最大公约数。
}
2-4.判断一个数n能否同时被3和5整数。
#include "stdio.h"
int fun(int n)
{
if(n%3==0&&n%5==0)
return n;
else
return 0;
}
2-5.将100至200之间的素数输出。
#include"stdio.h"
#include "math.h"
void main()
{
int i, j, temp,n;
int a[1000];
scanf("%d",n);
for (i=0;i<9;i++)
scanf("%d",a[i]);
for (j=0;j<n;j++)
{
for(i=0;i<n-j;i++)
{
if (a[i] > a[i + 1])
{
temp=a[i];
else if(i%2==0)
{
sum-=1.0/i;
}
}
printf("结果:%lf",sum);
return 0;
}
2-11.输出三角形的三边长,试求三角形的面积。
#include"stdio.h"
#include "math.h"
void main()
{
int x,y,z,l;
doublearea;
}
void main()
{
leap();
}
2-10.求1-1/2+1/3-1/4+…+1/99-1/100的值。
#include<stdio.h>
int main()
{
double sum;
int i;
for(sum=0,i=1;i<=100;i++)
{
if(i%2==1)
{
sum+=1.0/i;
}
{
int c,d,e;
for(c=0;c<x;c++)
for(d=c+1;d<x;d++)
{e=a[c][d] ;
a[c][d]ห้องสมุดไป่ตู้a[d][c];
a[d][c]=e;
}
}
2-8.输出50个学生中成绩高于80分者的学号和成绩。
#include<stdio.h>
int main()
{
inta[10][5],i,j;
printf("%5d",a[m][n]);
printf("\n");}
zhuan(a);
printf("\n转置后的数组:\n");
for(m=0;m<x;m++)
{ for(n=0;n<x;n++)
printf("%5d",a[m][n]);printf("\n");}
}
void zhuan(int a[x][x])
a[i]=a[i+1];
a[i+1]=temp;
}
}
}
printf("%d\n",a[n]);
}
2-3.求1+2+3+…+100的和。
#include "stdio.h"
void main()
{
int num,sum=0;
for(num=1;num<=100;num++)
{
sum+=num;
}
printf("%d\n",sum);
scanf("%d%d",&x,&y);
s=num(x,y);
printf("%d\n",s);
}
2-7.使给定的一个4*4的二维数组转置,即行列互换。
#include<stdio.h>
#define x 4
int a[x][x];
void main()
{
void zhuan(int a[x][x]);
printf("%d,%d,%d",c,b,a);
}
void main()
{
int a,b,c;
printf("input number:");
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
fun(a,b,c);
printf("\n");
}
2-2.给定n个数,求这些数中的最大值。
#include <stdio.h>
第二章:求值法
2-1.有三个数a,b,c,要求按从大到小的顺序把他们输出。
#include "stdio.h"
void fun(int a,int b,int c)
{
int t;
if(a>b)
{t=a;a=b;b=t;}
if(a>c)
{t=a;a=c;c=t;}
if(b>c)
{t=b;b=c;c=t;}
int m,n;
printf("please input %d nubbers\n",x*x);
for(m=0;m<x;m++)
for(n=0;n<x;n++)
scanf("%d",&a[m][n]);
printf("\n原数组:\n");
for(m=0;m<x;m++)
{for(n=0;n<x;n++)
}
}
return 0;
}
2-9.输出年份1990-2500中的所有闰年。
#include"stdio.h"
void leap()
{
int y;
for(y=1990;y<=2500;y++)
{
if((y%4==0&&y%100!=0)||y%400==0)
printf("%d ",y);
}
printf("\n");
#include"stdio.h"
int num(int m,int n)
{
int r,t;
if(m<n)
{t=m;m=n;n=t;}
r=m%n;
while(r)
{
m=n;
n=r;
r=m%n;
}
return n;
}
void main()
{
int x,y,s;
printf("input x and y:");
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