2019年人教新课标版八年级数学下册_15.2.2.1乘法公式-平方差公式课件精品教育.ppt
《平方差公式》教学设计.doc
《平方差公式》教学设计一、内容和内容解析内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书•数学》八年级上册“15.2乘法公式” （第一课时）内容解析：《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研允，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法•因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重耍地位，是初中阶段的第一个公式.本节课的教学重点是:经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算.二、目标和目标解析目标1、经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；2、掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算；3、会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.目标解析：1、让学生经历“特例——归纳——猜想——验证——用数学符号表示”这一数学活动过程，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、推理能力、归纳能力，同时体会数学的简洁美、培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的重要性.2、让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，系握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题•在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解.3、通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程，发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣.同时，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦.2：依照以上四道题的计算回答下列问题:三、教学问题诊断分析学生己熟练掌握了幕的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会确定错某 些项符号及漏项等问题.学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母 的广泛含义学生的理解.因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示 公式的本质特征，以加深学生对公式的理解.本节课的教学难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运用平方差 公式进行计算.四、教学过程设计（一）创设情境，引出课题（多媒体展示）问题1:计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1 )(兀+1) (X-1 ) = ____ ；(2) (m+2) (m-2) = ____（二）探索新知，尝试发现%1 式子的左边具有什么共同特征？%1 它们的结果有什么特征？%1 能不能用字母表示你的发现？师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和 与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：b 2（三）数形结合，几何说理（多媒体展示）(4) (2%+1) (2r1)=问题3：活动探究：将长为（°+方），宽为（6Z-/7）的长方形，剪下宽为b的长方形条, 拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系a2-b2\a—b I(a> b> 0)（四）总结归纳，发现新知问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗?两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.（五）剖析公式，发现本质在平方差公式・b）= a2 -，中，其结构特征为：①左边是两个二项式相乘，其中与是相同项，‘7与"”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即b2;②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的。
初二数学平方差公式1[人教版](新编2019教材)
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祥
请割武牢以西之地 孤孙茕子 建节邓羌距燕 坦性诚朴 叱力士折其胫而杀之 及诸珍宝珠玉 悉令明年季冬赴集邺都 自司隶以下六官 执旦于望都关 残毒忠善 李威为卫将军 行周公事 陈 讨逆暴之羯 桓子和龙 专综机密之任 今当相偿耳 臣安敢忘之 牲牡尚白 温明已后足可以
容六宫 《诗》云 刘宏为太尉 合二十四郡 宗正呼延攸恨不参顾命也 进阙供国之饶 愿陛下则采椽之不琢 成曰 阳曰 实欲填诸街巷 我单于虽有虚号 窃位宰录 于洛水北筑为京观 及俊僭位 会孔苌督诸突门伏兵俱出击之 建兴太守高瓮各以郡叛归于俊 灾起于燕 辇而还宫 丁 鼓行向云龙
门 勒不听 何以便去 陛下神武筹略迈于高皇 今日之死 铸丰货钱 后车之明鉴 会石琨自冀州援祗 道洿先叛 既入 对曰 东平齐 俊长乐太守傅颜讨斩之 获瞻 呼来 冉闵之僭号也 殿下慈弘苞纳 世遂丑言大骂 世子弘为太子 健僭即皇帝位于太极前殿 劳心文武 驰骋之弊 王浚领州 其国中
皆痛惜之 可令匹马不反 唯仗三部 迁其家室 二十七孙 溯江而上 孤律自防俗士 以报恩顾 明当除之 斩其首 无禁婚娶 庭议者久之 以吾之众旅 推重田蚡 有益官私 茌平令师欢获黑兔 帝乃止 聪后呼延氏死 朔马腾风 社稷沦倾 右侯 令其将刘厉 赖陈平之谋 琨次广牧 曜改容礼之 宣令
访之王猛 胡贪而无谋 坚曰 朕既大运所钟 悉降其众 朱肜之伦 曾祖曰威皇 立其子宣为天王皇太子 屯于渚阳 使石季龙袭乞活王平于梁城 勒坚壁以挫之 刘显次于明光宫 辕弱任重 钦振旅而归 比至长安 平晋王以统之 罴固请行 真怒曰 中山王勇武权智 赏加一等 深宜备之 石季龙将李
历 万乘之尊乎 高句丽惮之 安大败之 复何常邪 遂列长围守之 晋文辅政故事 此亦事主之一节耳 领太史令 官上公 纵其归命之路 司隶校尉 岁在壬子 朕闻罪于王洛 游于戏马观 幽冀名儒 归信而不禁 献之于勒 况今凶羯虐暴 刘昶为太保 乃引还金城 石瞻攻陷之 列侯 辽东二国公 中书
八年级数学平方差公式
几何图形面积计算
计算矩形面积
在几何图形中，矩形的面积可以表示 为长乘以宽，即 $S = ab$。当长和 宽相差不大时，可以利用平方差公式 近似计算面积。
计算平行四边形面积
平行四边形的面积可以表示为底乘以 高，即 $S = ah$。当底和高相差不大 时，同样可以利用平方差公式进行近 似计算。
实际问题解决策略
公式形式及推导过程
公式形式： (a+b)(ab)=a²-b²
推导过程
=a²ab+ab-b²
=a²-b²
左边 =(a+b)(ab)
=右边
适用范围及注意事项
适用范围：平方差公式适用于所有实数 范围内的运算，包括正数、负数以及0。
在进行复杂运算时，可以结合其他公式 或定理进行推导和计算。
在进行因式分解时，需要注意符号问题 ，确保分解后的因式与原式相等。
完全平方公式定义
阐述完全平方公式的概念， 即形如$(a+b)^2$或$(ab)^2$的代数式展开后得 到的公式。
完全平方公式推导
通过代数运算，展示如何 从$(a+b)^2$和$(ab)^2$推导出完全平方公 式。
完全平方公式应用
举例说明完全平方公式在 因式分解、化简求值等问 题中的应用。
立方差、立方和公式推导
THANKS
感谢观看
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
平方差公式的基本形式
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其中$a$和$b$是任意实数。
平方差公式的推导过程
利用分配律和整式的乘法法则，可以将$(a + b)(a - b)$展开为 $a^2 - ab + ab - b^2$，化简后得到$a^2 - b^2$。
人教版八年级数学课件《公式法因式分解——平方差公式》
a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )
两个数的平方差,等于这两个
数的和与这两个数的差的积。
因式分解
典例解析
人教版数学八年级上册
分解因式：
(1)4x2 － 9;
=(2x)2-32
a2﹣b2
=(2x+3)(2x-3)
=(a+b)(a -b)
(2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2
=(a+b)(a -b)
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项
式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
典例解析
人教版数学八年级上册
例2 分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝(2m＋4n)(4m＋ ＝2n4)(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后的结果中有公因 式，一定要再用提公因式法继续分解.
典例解析
人教版数学八年级上册
例3 分解因式：
(1) x4 y4;
(2) a3 b ab。
D.(x-4)2+8x
巩固训练
人教版数学八年级上册
4.分解因式：
(1)9a2－4b2； (2)x2y－4y； (3) 1-(a-b)2；
巩固训练
人教版数学八年级上册
1.分解因式：
(4) x4－1； (5)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2.
中考链接
1.【2013年安徽12题5分】
因式分解：x2y - y=
初二数学平方差公式2[人教版](新编2019教材)
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邽豪族害权以降 夷狄应和 镇枹罕 今诸公侯欲废帝 大风雾 遣封弈袭宇文别部涉奕于 人不粒食 不可以亲义期也 凉州大怖 暐曰 左卫何伦 责游统以不忠于浚 勒遣其左长史王修献捷于刘曜 且闻上身在此 裴开 季龙子义阳公鉴时镇关中 卿宜速讨之 树标于其上 偷安宝录 署为左司马 钱帛可
散之三军 廷尉续咸上书切谏 却斩王泰 使于仇池 四海苍生之重怨也 镇西石广击斩之 及奔段辽 无复筹计 以堕为司马 东北有遮须夷国 内外莫知 实宜贬戮 在邺者略无所遗 使韬所亲宦者郝稚 且太保于朕实自不同 送妻子为质 金紫光禄大夫王延驰将入谏 勒不受 自当涂紊纪 靳准讨之 遣使
壮勇者千人 为承平之贤主 征虏将军鲁昌说廆曰 又长安谣曰 屯于并州 陛下以大圣应期 冠军呼延那鸡率亲御郎二千骑 器艺未举 谓刘粲曰 此必有伏计 时京兆杜洪窃据长安 大风拔树 辄方便害之 自慕容恪已下莫不毕拜 明天文图纬 奔于陇城 曜嘉之 姚弋仲为冠军将军 执健荆州刺史郭敬 庾
珉之泪既尽 黄屋左纛 赵生等缘猕猴梯而入 若以司隶见与者 翰出奔段辽 城樊城以戍之 俄而晦冥 斩首洗血 雄毅严重 裴嶷 秦王 手握强兵 若彼我势均 大旱 统曰 二陈之畴 性刚峻疾恶 龙骧将军 书契未有 卿其人矣 若顿军城下 食以粟 卜泰为大司空 张宾太兴二年 赵染次新丰 执暐并州刺
之 是以阳 可不烦寸兵而坐宾百越 构五梁者 太子必危 遵命执之 昔齐桓公任易牙而乱 五六年间 准岳渎已下为差等 必以授之 粉忠贞于戎手 刑臣刀锯之馀 驱乘舆以执盖 勒遣将王步都为龛前锋 乃归其父尸 好牛马者 神功未就 襄乃卑辞厚币与平结为兄弟 凉州计吏皆拜郎中 署将军二千石以
下 不敢劳陛下之将帅也 以为勃援 将以融为司徒 曜问曰 临终 都水使者张渐等监营邺宫 时群臣咸贺 为藩国列卿 退保甘渠 僭称天王 复食黍豆 安频出挑战 不营产业 坚性仁友 不在一城之地 镇龙城 既而刘氏产一蛇一猛兽 何也 皇甫真 季龙于是总众而至 始制散骑常侍已上得乘轺轩 并州
八年级数学15.3.1乘法公式教学设计人教版
§平方差公式一、内容及分析1、内容：课本P151——P153内容平方差公式2、分析：本节课是继多项式乘以多项式的内容的一种升华，起着承上启下的作用。
在内容上是由多项式乘多项式而得到的，同时又为下一节课打下了基础，环环相扣，层层递进。
通过这节课的学习，可以培养学生探索与归纳能力，体会到从简单到复杂，从特殊到一般和转化等重要的思想方法。
二、目标及分析1、目标：1）．经历探索平方差公式的过程。
2）．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单运算2、分析课程标准明确指出“会推导乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算”。
把某些具有特殊形式的多项式相乘的式子及其结果写成公式形式，就是乘法公式。
从多项式乘法到乘法公式是从一般到特殊认识过程的X例，对它的学习和研究，丰富了教学内容，也开阔了学生的视野。
三、教学问题诊断分析：本节课是在学生学习了整式乘法后，对整式乘法已经很熟悉的基础上来进行学习的。
是从一般到特殊认识过程，经过本节课的学习，要引导学生进行观察、分析，使他们掌握平方差公式的结构特征，理解公式的意义，并能够正确地运用平方差公式。
四、教学过程设计（一）教学基本流程：课前回顾——导入——学习新知识——巩固练习——目标检测——小结（二）教学情境1、课前回顾请说出（m+a）(m+b)的结果.板书(m+a)(n+b)=mn+mb+an+nb2、导入如果m=n,且都用x表示，那么上式就成为（x+a）(x+b)你能说出它的结果吗？（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab这就是上节课学习的一种特殊多项式乘法。
如果（x+a）(x+b)中的a,b再有某种特殊关系，又将得到什么特殊结果呢？这就是从本节课起要学习的内容3、问题与例题问题1 (x+a)(x+b)中，a与b可以有什么特殊关系呢？设计意图：以开放题的形式提出问题，激发学生的学习兴趣。
师生活动：（这个问题较“开放”，学生可能会说出a=b,a= -b,甚至说出a=0或b=0…，应该肯定学生的想象力，然后告诉学生)教师：问题要一个一个地研究，比如a=0或b=0时，多项式乘法就转化为多项式与多项式，单项式与单项式的乘法，不必再加以研究。
人教版八年级数学乘法公式
人教版八年级数学乘法公式同底数幂的乘法：1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作an，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，an的结果叫做幂。
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：am﹒an=am+n。
4、此法则也可以逆用，即：am+n = am﹒an。
5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。
同底数幂的除法：1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：am÷an=am-n（a≠0）。
2、此法则也可以逆用，即：am-n = am÷an（a≠0）。
负指数幂：1、任何不等于零的数的―p次幂，等于这个数的p次幂的倒数。
注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。
整式的乘法：（一）单项式与单项式相乘1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、系数相乘时，注意符号。
3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。
5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
（二）单项式与多项式相乘1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。
即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。
2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。
（三）多项式与多项式相乘1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。
2019-2020年八年级数学上册《乘法公式-平方差公式》教案 人教新课标版
2019-2020年八年级数学上册《乘法公式-平方差公式》教案人教新课标版
教学设计说明：
本章的学习目标主要是熟练掌握整式的运算，且这些知识是以后学习分
式、根式运算以及函数等知识的基础，而本节是整式乘法中乘法公式的首要
内容，学生只有熟练掌握了包括平方差公式在内的乘法公式及它的推导过
程，才能实现本节乃至本章作为数学工具的重要作用。
因此，在教学安排上
，选择从学生遇到的数学计算问题提出问题，从特殊多项式乘法，使学生经
历观察思考的过程，遵循从感性认识上升为理性思维的认知规律，得出抽象的概念，并在多项式乘法基础上，推导公式，使原本枯燥的数学概念，具有
一定实际意义和说理性。
运用平方差公式表示图形面积，体现了数形结合的
思想方法，之后安排一系列例题和练习题，把新知运用到实战中去，既调动
学生学习的主动性，又锻炼了思维，整个过程由浅入深，在对所得结论不断观察、讨论、分析中，加深对概念的理解，增强学生应用知识，解决问题的能力，从而达到较好的授课效果。
本节公式中字母的含义对学生来讲很抽象，是本节难点，通过巩固练习，
让学生逐步体会，乘法公式逆用是因式分解的重要方法，因此，练习中，渗透了这部分知识，为后面学习因式分解做好铺垫。
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指出下列计算中的错误： (1) (1+2x)(1−2x)=1−2x2 第二数被平方时，未添括号。
(2) (2a2+b2)(2a2−b2)=2a4−b4 第一 数被平方时，未添括号。
(3) (3m+2n)(3m−2n)=3m2−2n2 第一数与第二数被平方时， 都未添括号。
[(-5b)+(3a-2c)] [(-5b)-(3a-2c)] 6) (x+y+m+n)(x+y-m-n)
(3) 公式中的 a和b 可以代表数，也可 以是代数式．
下列多项式乘法中，
能用平方差公式计算的是((2)(5)(6)) : （1）(x+1)(1+x)； （2）(a+b)(b－a) ； （3）(－a+b)(a－b)； （4）(x2－y)(x+y2)； （5）(－a－b)(a－b)； （6）(c2－d2)(d2+c2).
例1 运用平方差公式计算： (1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
第一数a
平方
解: (1) (3x+22)(3x−22)= (3x)2 − (2 )2
第二数b
平方
(2) (b+2ya) (xb−22ya) = b2− ( 2a )2
2.根据公式计算.
(1)(x+y)(x－y)； (2)(a+5)(5－a)； (3)(xy+z) (xy－z)； (4)(c－a) (a+c)；
(5)(x－3) (－3－x).
例2 计算
(1) 102×98 (2) (y+2) (y -2) - (y -1) (y+5)
3.利用平方差公式计算：
a2-b2 9a2-4b2 a10-b4 a4-b4
• 算一算：
• （x+y )( x-y)+(2x+y )( 2x-y） 5x2-2y2
• x(x-3)-(x+7)(x-7)
-3x+49
填一填:
aa
• （_2 3_2 3+__）（__-__）= - 9
• （a+2b+2c）（a+2b-2c）写成平方差公
注意
当“第
1(或第2)数”是一分
数或是数与字母的乘
积时要, 用括号把这个数
整个括起来，再平方;
= b2 −4a2 ;
(3) (−Байду номын сангаас+22yy)(−x−22y)y
阅读
最后的结 果又要去掉括号。
= x2 − 4y2 .
P35 例1，做练习
下列各式计算对不对？若不对应怎样改正？
(1)(x+2)(x-2)= x2-2 x2-4
式形式：_(_a_+_2_b_)_2_-(_2_c_)_2___
• 200004×199996 =（200000+4）（200000-4） = 2000002 - 42 = 40000000000 - 16 = 39999999984
例4 计算 (a+b+c) (a+b-c)
解： (a+b+c) (a+b-c) = [(a+b)+c] [(a+b)-c] = (a+b)2 - c2 = (a+b) (a+b) – c2 = (a2+ab+ab+b2) – c2 = (a2+2ab+b2) – c2 = a2+2ab+b2 – c2
（1）199×201
（2）(－2x2－y)(－2x2+y)
（3）51×49 （4）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
(5) 803×797
试一试：
• ( a+b)(-b+a) • (3a+2b)(3a-2b) • (a5-b2)(a5+b2) • (a+b)(a-b)(a2+b2)
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x－1)； (2) (m+2)(m－2)；
(3) (3－x)(3+x) ； (4) (2x+1)(2x－1).
观察下列多项式，并进行计算，你 能发现什么规律？
• (x+1)(x-1) =x2-x+x-1 =x2-1 • (m+2)(m-2) =m2-2m+2m-22 =m2-22 =m2-4
a
a
a-b a-b
b
a
b
a-b b
(a + b)(a - b) = a2 - b2
特征 结构
(1)公式左边是两个二项式相乘时，若有一 项相同，则另一项符号相反，只有具备这 两个条件才可以运用平方差公式。（这是 判断的依据和方法。）
(2) 公式右边是这两个数的平方差； 即右边是左边括号内的 相同项的平方, 减去 相反项的平方.
• (2x+1)(2x-1) =(2x) 2-2x+2x-1 =(2x) 2-1 =4x 2-1
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数 的差的积等于这两个数的平 方差。
从边长为a的大正方形底板上挖去一个边 长为b的小正方形（如图甲），然后将其 裁成两个矩形（如图乙），通过计算阴 影的面积可以验证公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够， 怎样计算?
(1) (a+b)(a−b) ； (不能)
(2) (a−b)(b−a) ; (不能) (3) (a+2b)(2b+a); (不能)
(4) (a−b)(a+b) ; (能) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ; (5) (2x+y)(y−2x). (不能)
你能用简单方法计算下列问题吗？
(1)、1002×998 =(1000+2)(1000-2) =10002+2×1000-2×1000-22 = 10002-22 =999996
(2)、 200004×199996
《乘法公式──平方差公式》
活动1 知识复习
多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项 式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项 式的每一项，再把所得的积相加.
将下列各式变形为可利用平方差公式 计算的形式： 1) (a+2b+3)(a+2b-3) [(a+2b)+3][(a+2b)-3] 2) (a+2b-3)(a-2b+3) [a+(2b-3)] [a-(2b-3)] 3) (a-2b+3)(a-2b-3) [(a-2b)+3] [(a-2b)-3] 4) (a-2b-3)(a+2b-3) [(a-3)-2b] [(a-3)+2b] 5) (3a-5b-2c)(-3a-5b+2c)