第五章 5.5.2 简单的三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换 教案-2023-2024学年高一上学
第五章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换 利用公式进行简单的恒等变换探究一：利用公式进行简单的恒等变换 例1.试以22cos sin ,cos 22ααα表示，2tan 2α教师：（1）2αα与有什么关系？（2）怎样运用倍角公式解决？ 解：,2αα是的二倍角在倍角公式2cos 212sin ,ααα=-中以代替2α，以2α代替α，即得2cos 12sin2αα=-，所以21cos sin22a α-=①. 在倍角公式2cos 22cos 1αα=-中，以α代替2α，以2α代替α，即得2cos 2cos 12a α=-，所以21cos cos 22αα+=②. 将①②两个等式左右两边分别相除，得21cos tan21cos a αα-=+③. 教师：引导学生观察①②③式，归纳总结如下：（1）用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；（2）由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”（即用此式可达到“降次”的目的）. 教师：思考，代数变换与三角变换有什么不同？ 学生：思考.引导学生通过这两种变换认识到：不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式，这是三角恒等变换的一个重要特点，代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换. 半角公式：21cos sin 22αα-= 21cos cos 22αα+=21cos tan 21cos a αα-=+ 探究二：积化和差公式与和差化积公式1.积化和差公式1(1)sin cos [sin()sin()]2a αβαββ=++-1(2)cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--1(3)cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-1(4)sin sin [cos()cos()]2a αββαβ=-+--2.和差化积公式(1)sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=(2)sin sin 2cossin22θϕθϕθϕ+--=(3)cos cos 2coscos22θϕθϕθϕ+-+= (4)cos cos 2sinsin22θϕθϕθϕ+--=-（二）课堂练习1.已知tan 3α=,则2cos sin 2αα+=( )B.710C. D.710-答案：B 解析：tan 3α=,222222cos 2sin cos 12tan 1237cos sin 2sin cos 1tan 1310ααααααααα+++⨯∴+====+++.故选B. 2.44ππsin cos 1212-=( )A.12-B. C.12答案：B解析：原式2222ππππsin cos sin cos 12121212⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22πππsin cos cos 12126=-=-=.故选B.3.若3sin cos 0αα+=，则21cos sin 2αα+的值为( )A.103B.53C.23D.-2答案：A解析：由3sin cos 0αα+=，可知cos 0α≠，故1tan 3α=-，所以222221cos sin 1tan 10cos sin 2cos 2sin cos 12tan 3ααααααααα++===+++.故选A.4.已知3π4πθ<<( ) A.sin4θB.cos4θC.sin4θ- D.cos4θ-答案：D解析：3π3π3π4π,2π,π2244θθθ<<∴<<<<，cos 24θθ∴==，cos 4θ=-.故选D. （三）小结作业 小结：本节课我们主要学习了哪些内容?本节主要学习了怎样推导半角公式、积化和差、和差化积公式，以及如何利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，在解题过程中，应注意对三角函数式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形，还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学 思想，如换元、方程思想，逆用公式等. 四、板书设计第1课时 利用公式进行简单的恒等变换.1.半角公式的推导21cos sin 22αα-= 21cos cos 22αα+=21cos tan 21cos a αα-=+回忆两角和与差的三角函数公式、倍角公式. 教师：两角和与差的正弦公式如何表示？ 学生：sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ+=+-=-教师：你还能说出两角和与差的其他三角函数公式吗？ 学生：思考回答.（二）探究一：函数sin cos y a x b x =+的性质及应用对形如sin cos a x b x +（a ,b 不同时为0)x ϕ+的形式.教师：怎样将sin cos a x b x +)x ϕ+的形式呢？教师：sin cos a x b x x x ⎫+=⎪⎭因为221⎛⎫⎛⎫++=cos sin ϕϕ==，则有sin cos cos cos sin )a x b x x x ϕϕ+=+因此，我们有如下结论：sin cos )a x b x x ϕ+=+其中tan baϕ=. 教师：类似的，是否可以将其写成余弦的形式呢？学生：可以将其写成余弦的差角形式，即sin cos )a x b x x ϕ+- 其中tan b aϕ=. 例：求下列函数的周期，最大值和最小值. （1）sin y x x = （2）3sin 4cos y x x =+教师：利用三角恒等变换，把函数式变成sin()A x ωϕ+的形式，再求相应的周期和最值. 学生：独立完成.（二）课堂练习1.函数()3cos sin f x x x =-的一个单调递增区间是( ) A.[π,2π] B.π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.5π11π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：D解析：π()3cos sin 2cos 6f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π2π,6k x k k -++∈Z ，解得7ππ2π2π,66k x k k -+-∈Z ，令1k =，可得5π11π66x ，即5π11π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间.故选D.2.函数cos sin y x x =-图像的一条对称轴为（ ） A.π4x = B.π8x =C.π8x =-D.π4x =-答案：D解析：2cos sin 2(cos 2y x x x =-=2πsin )2cos()24x x -=+,由ππ4x k +=,得ππ,Z 4x k k =-+∈,即函数的对称轴为ππ,Z 4x k k =-+∈,当时,对称轴为π4x =-,故选D.3.已知函数()()()sin 2π2cos 2πf x x x ϕϕ=+++为偶函数,则sin 2ϕ=___________. 答案：45解析：由辅助角公式,得()5sin(2π)f x x ϕθ=++,其中255sin ,cos 55θθ==.因为()f x 为偶函数,所以()ππ2k k ϕθ+=+∈Z ,所以ππ()2k k ϕθ=-+∈Z ,所以()sin 2sin π22πk ϕθ=-+2554sin 22sin cos 2()555k θθθ===⨯⨯=∈Z . 4.的值__________.答案：1解析：根据三角函数的求值,先化简然后求解得到结论。
高数数学必修一《5.5.2简单的三角恒等变换》教学课件
π
3
2π
，
3
∴－ 2 ≤sin (2x－ 3 )≤1，∴－ 2 ≤f(x)≤1，
π
3
即f(x)在[0， 2 ]上的值域为[－ 2 ，1].
3
cos
2
2x.
题型 4 三角恒等变换的实际应用
π
例4 (见教材5.5.2例10)如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，
3
C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当
解析：∵sin θ＝5 ，
∴cos θ＝－ 1
5π θ 3π
θ
∵ 4 <2< 2 ，∴sin2＝－
cos
θ
＝－
2
1−cos θ
2 5
＝－
，
2
5
θ
1+cos θ
5
θ sin2
＝－
，tan
＝
＝2.
2
5
2 cosθ
2
题后师说
利用半角公式求值的步骤
跟踪训练1 已知π＜θ＜2π，且cos
A．－3
3
1
1
恒等变换．
(3)掌握三角恒等变换在三角函数中的应用．
题型 1 半角公式
【问题探究1】 (1)我们知道在倍角公式中，“倍角是相对的”，
对余弦的二倍角公式，若用α替换2α，则能得到什么结论？
α
α
α
(2)根据上述结果，试用cos α表示sin ，cos ，tan .
2
α
2
α
2
1+cos α
.
2
α
2
α
2
提示：(1)cosα＝2cos2 －1＝1－2sin2 ＝cos2 －sin2 .
高中数学第5章三角函数5.5三角恒等变换5.5.2简单的三角恒等变换教学案新人教A版必修第一册
5.5.2 简单的三角恒等变换(教师独具内容)课程标准：1.能用二倍角公式导出半角公式.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式进行化简、求值以及证明三角恒等式．教学重点：利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明． 教学难点：利用三角恒等变换来解决问题.【知识导学】知识点一 半角公式知识点二 积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．(2)和差化积公式 sin α＋sin β＝2sinα＋β2cosα－β2.sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2. cos α＋cos β＝2cosα＋β2cosα－β2. cos α－cos β＝－2sinα＋β2sinα－β2.【新知拓展】辅助角公式辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a.推导过程：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x . 令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)， 其中角φ所在象限由a ，b 的符号确定，角φ的值由tan φ＝ba确定或由sin φ＝b a 2＋b 2和cos φ＝a a 2＋b2共同确定．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知cos α＝13，α∈(0，π)，则sin α2＝－33.( )(2)cos2π8－14＝2＋14.( ) (3)函数f (x )＝3sin x ＋cos x (x ∈R )的最小正周期为π.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1)若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33(2)已知cos α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin α2等于( )A ．－1010 B.1010 C.3310 D ．－35(3)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是( )A ．1 B.1＋32 C.32 D ．1＋ 3(4)若tan α＝2，则tan α2＝________.答案 (1)A (2)B (3)C (4)－1±52题型一 利用半角公式求值例1 已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[解] ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－55， tan α2＝sin α2cosα2＝－2.金版点睛由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论．一般讨论角所在象限． (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： ①先化简所求的式子．②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)． ③将已知条件代入所求式子，化简求值．[跟踪训练1] 已知sin α2－cos α2＝－15，450°<α<540°，求tan α2的值．解 由题意，得⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＝15，即1－sin α＝15，得sin α＝45.∵450°<α<540°，∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3545＝2.题型二 三角函数式的化简例2 化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(π<α<2π)．[解] 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22·2cos2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，∴原式＝cos α2·(－cos α)－cosα2＝cos α.[变式探究] 将本例改为化简：(1＋sin α－cos α)⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22－2cos α(180°<α<360°)．解 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22·2sin2α2＝2sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝2sin α2(－cos α)2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，∴sin α2>0，∴原式＝－cos α. 金版点睛化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．[跟踪训练2] 化简： (1)1＋sin θ－1－sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2<θ<2π；(2)cos 2α1tanα2－tanα2.解 (1)原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2，∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ2<π， ∴0<sin θ2<22，－1<cos θ2<－22，从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0.∴原式＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝－2sin θ2. (2)原式＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin2α. 题型三 三角恒等式的证明例3 求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos2x .[证明] 证法一：tan 3x 2－tan x2＝sin 3x 2cos 3x 2－sinx2cosx2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cosx 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2 ＝2sin xcos x ＋cos2x.∴原式成立．证法二：2sin x cos x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 22cos 3x 2cos x 2＝sin3x 2cos 3x 2－sin x 2cosx 2＝tan 3x 2－tan x2.∴原式成立． 金版点睛在三角恒等式的证明中，化繁为简是化简三角函数式的一般原则，按照目标确定化简思路，由复杂的一边化到简单的一边.如果两边都比较复杂，也可以采用左右归一的方法.[跟踪训练3] 求证：sin (α＋β)sin (α－β)sin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α. 证明 证法一：左边＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)sin 2αcos 2β ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β ＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α＝右边． ∴原等式成立．证法二：右边＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β ＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)sin 2αcos 2β ＝sin (α＋β)sin (α－β)sin 2αcos 2β＝左边． ∴原式成立.题型四 利用辅助角公式研究函数性质例4 已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． [解] (1)∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋5π12，k ∈Z .金版点睛(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)公式、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.[跟踪训练4] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )max ＝2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )min ＝－1.题型五 三角变换的实际应用例5 如图，A ，B 是半径为1的圆O 上任意两点，以AB 为一边作等边三角形ABC .当点A ，B 处于怎样的位置时，四边形OACB 的面积最大？最大面积是多少？[解] 如图，设∠AOB ＝θ(0<θ<π)，四边形OACB 的面积为S .取AB 的中点D ，连接OD ，CD ，则OD ⊥AB ，CD ⊥AB .在Rt △ODA 中，OA ＝1，∠AOD ＝θ2，所以AD ＝OA sin ∠AOD ＝sinθ2，OD ＝OA cos ∠AOD ＝cos θ2，所以AB ＝2AD ＝2sin θ2.因为△ABC 为等边三角形，所以CD ＝AC sin ∠CAB ＝2sin θ2sin60°＝3sin θ2.所以S ＝S △ABC ＋S △AOB ＝12CD ·AB ＋12OD ·AB ＝12×3sin θ2×2sin θ2＋12×cos θ2×2sin θ2 ＝3sin2θ2＋12sin θ＝3×1－cos θ2＋12sin θ＝12sin θ－32cos θ＋32 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＋32.因为0<θ<π，所以－π3<θ－π3<2π3.所以当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，S 取得最大值1＋32.所以当OA 与OB 的夹角为5π6时，四边形OACB 的面积最大，最大面积是1＋32.金版点睛解答此类问题，关键是合理引入辅助角，先将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.在求解过程中，要注意角的取值范围.[跟踪训练5] 有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 建为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，才能使矩形ABCD 的面积最大？解 画出图形如图所示．设∠AOB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则AB ＝a sin θ，OA ＝a cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ， 则S ＝2OA ·AB＝2a cos θ·a sin θ＝a 2·2sin θcos θ＝a 2sin2θ.因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2θ∈(0，π)．当2θ＝π2，即θ＝π4时，S max ＝a 2，此时点A ，D 距离点O 均为22a .1．已知sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，则cos α2等于( )A.45 B ．－45 C ．－31010 D.31010 答案 D解析 ∵sin α＝35且0<α<π2，∴cos α＝45.又cos α＝2cos 2α2－1，∴cos 2α2＝1＋cos α2＝910， ∵0<α2<π4，∴cos α2＝31010.2.2sin 2αsin2α·2cos 2αcos2α等于( ) A ．tan α B ．tan2α C ．1 D.12答案 B解析 原式＝(2sin αcos α)2sin2αcos2α＝sin 22αsin2αcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α.3．函数y ＝3sin x ＋3cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的值域为________． 答案 [－3,23]解析 函数y ＝3sin x ＋3cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， ∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， ∴23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈[－3,23]． 4．求值：sin 235°－12cos10°cos80°＝________. 答案 －1解析 sin 235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－12cos70°12sin20°＝－1. 5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＋sin2x cos π3－cos2x sin π3＋cos2x ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上单调递减，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.。
学案3：5.5.2 简单的三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换【课程标准】能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).【新知初探】知识点一 半角公式状元随笔 巧记“半角公式” 无理半角常戴帽，象限确定帽前号； 数1余弦加减连，角小值大用加号．“角小值大用加号”即y ＝1＋cos α(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋”号， 而y ＝1－cos α为增函数，角大值大，因此用“ －”号． 知识点二 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba .状元随笔 1.辅助角公式形式上是a sin α＋b cos α(ab ≠0)的三角函数式，通过三角恒等变换可写成a 2＋b 2sin(a ＋φ)的形式，其中tan φ＝b a ，此公式称为辅助角公式．其中φ可通过tan φ＝ba 以及点(a ，b )所在的象限来确定．2．辅助角公式的特殊情况sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4；sin α±3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π3；cos α±3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6±α[教材解难]1．有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的范围便可求α2的正弦、余弦、正切的值．2．对于S α2和C α2，α∈R ，但是使用T α2时，要保证α≠(2k ＋1)π(k ∈Z )．3．半角公式根号前符号的确定规律如下：(1)当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号.(2)当给出角α的范围(即某一区间)时，可先求α2的范围，再根据α2的范围来确定各三角函数值的符号．(3)若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号．【基础自测】1．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63D ．±332．下列各式中，值为12的是( )A ．sin 15°cos 15°B ．cos 2π6－sin 2π6C.tan 30°1－tan 230°D.1＋cos 60°23．化简2cos x ＋6sin x 等于( ) A ．22cos ⎝⎛⎭⎫π6－x B ．22cos ⎝⎛⎭⎫π3－x C ．22cos ⎝⎛⎭⎫π6＋xD ．22cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x4．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.【课堂探究】题型一 半角公式的应用[经典例题]例1 已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．状元随笔 利用半角公式求值． 方法归纳解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值跟踪训练1 (1)求值：sin π8＝________；cos π8＝________.解题要点 由sin π8>0，所以sin π8＝1 －cosπ42. 由cos π8>0，则cos π8＝1 ＋cosπ42. (2)2＋2cos 8＋21－cos 8的化简结果是________． 解题要点 半角是相对的，4是8的半角，利用公式化简 . 题型二 三角恒等式的证明例2 若π<α<3π2，证明：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝－2cos α2；状元随笔等式左边复杂，应从左边入手，利用公式化简，同时注意α的范围．方法归纳三角恒等式证明的思路通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一．跟踪训练2求证：cos2α1tan α2－tanα2＝14sin 2α.解题要点左边复杂，从左边入手化简，先切化弦再利用倍角、半角公式化简．题型三三角恒等变换与三角函数的综合例3求下列函数的周期，最大值和最小值：(1)y＝sin x＋3cos x；(2)y＝3sin x＋4cos x.状元随笔便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是y＝A sin(x＋φ)，利用和角公式将其展开，可化为y＝a sin x＋b cos x的形式. 反之，利用和(差)角公式，可将y＝a sin x＋b cos x 转化为y＝A sin(x＋φ)的形式；进而就可以求得其周期和最值了.方法归纳函数的解析式的次数可以降低，项数可以减少时，要先化简解析式成y＝A sin(ωx＋φ)＋B的形式再研究其图象及性质．跟踪训练3 已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R ， (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域．解题要点 利用二倍角公式，降幂公式化简函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，再利用性质求解．思想方法 构建三角函数模型，解决实际问题例 如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在ST 上，相邻两边CQ ，CR 正好落在正方形的边BC ，CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值．【分析】 解答本题可设∠P AB ＝θ并用θ表示PR ，PQ .根据S 矩形PQCR ＝PQ ·PR 列出关于θ的函数式，求最大值、最小值．【点评】 此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，以有利于表示所需线段，其次要确定角的范围．【学业达标】一、选择题1．已知cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A ．－1010 B.1010C.310 3 D ．－352．若sin 2α＝14，且α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则cos α－sin α的值为( ) A.32B.34 C ．－32D ．－343．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a4．若α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，则 1＋cos 2α2－1－cos 2α2等于( ) A ．cos α－sin α B ．cos α＋sin α C ．－cos α＋sin α D ．－cos α－sin α二、填空题5．若cos 22°＝a ，则sin 11°＝________，cos 11°＝________. 6．已知cos α＝－35，且180°<α<270°，则tan α2＝________.7．若α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝32，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－12，则cos(α＋β)的值等于________． 三、解答题8．化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.9．求证：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.10．已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．【参考答案】【新知初探】知识点一 半角公式 1－2sin 2α2cos 2α－12αα1－sin 2α22cos 2α2－1±1－cos α2±1＋cos α2【基础自测】1．解析：因为α∈(0，π)，所以α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以cos α2＝1＋cos α2＝23＝63. 答案：A2．解析：选项A 中，原式＝12sin 30°＝14；选项B 中，原式＝cos π3＝12；选项C 中，原式＝12×2tan 30°1－tan 230°＝12tan 60°＝32；选项D 中，原式＝cos 30°＝32.故选B.答案：B3．解析：2cos x ＋6sin x ＝22⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x＝22⎝⎛⎭⎫cos π3cos x ＋sin π3sin x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π3－x . 答案：B4．解析：∵3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 因φ∈(－π，π)，∴φ＝－π6.答案：－π6【课堂探究】题型一 半角公式的应用[经典例题] 例1【解析】 ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－55，tan α2＝sin α2cos α2＝－2. 跟踪训练1 (1) 解析：sin π8＝1－cosπ42＝1－222＝2－22； cos π8＝1＋cosπ42＝1＋222＝2＋22. 答案：2－222＋22(2) 解析：原式＝2(1＋2cos 24－1)＋21－(1－2sin 24) ＝2|cos 4|＋22|sin 4|＝－2cos 4－22sin 4. 答案：－2cos 4－22sin 4 题型二 三角恒等式的证明 例2 【证明】 左边＝sin 2α2＋cos 2α2＋2sin α2cos α21＋⎝⎛⎭⎫2cos 2α2－1－1－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2α2＋sin 2α2＋cos 2α2－2sin α2cos α21＋⎝⎛⎭⎫2cos 2α2－1＋ 1－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2α2＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪cos α2－⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪cos α2＋⎪⎪⎪⎪sin α2因为π<α<3π2，所以π2<α2<3π4，所以sin α2>0>cos α2.所以左边＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎝⎛⎭⎫－cos α2－sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫－cos α2＋sin α2＝－12⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋12⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2 ＝－2cos α2＝右边．所以原等式成立.跟踪训练2证明：方法一 左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝cos αsin α2cos α2＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边．所以原式成立． 方法二 左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2α2＝12cos 2αtan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边． 所以原式成立．题型三 三角恒等变换与三角函数的综合 例3【解析】 (1)y ＝sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为－2. (2)设3sin x ＋4cos x ＝A sin(x ＋φ)，则 3sin x ＋4cos x ＝A sin x cos φ＋A cos x sin φ. 于是A cos φ＝3，A sin φ＝4，于是A 2cos 2φ＋A 2sin 2φ＝25，所以A 2＝25. 取A ＝5，则 cos φ＝35，sin φ＝45，由y ＝5sin(x ＋φ)可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为－5. 跟踪训练3 解析：(1)f (x )＝1－cos 2x 2＋3sin 2x ＋3(1＋cos 2x )2＝2＋3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2， 所以最小正周期T ＝2π2＝π，因为－π2＋2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，f (x )为单调递增函数，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)由(1)知f (x )＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由于－π6≤x ≤π3，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以f (x )∈[1,4]，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域为[1,4]． 思想方法 构建三角函数模型，解决实际问题例【解析】 如图，连接AP ，设∠P AB ＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP 交AB 于M ，则AM ＝90cos θ，MP ＝90sin θ.所以PQ ＝MB ＝100－90cos θ，PR ＝MR －MP ＝100－90sin θ.所以S 矩形PQCR ＝PQ ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ. 令t ＝sin θ＋cos θ(1≤t ≤2)，则sin θcos θ＝t 2－12. 所以S 矩形PQCR ＝10 000－9 000t ＋8 100·t 2－12＝8 1002⎝⎛⎭⎫t －1092＋950. 故当t ＝109时，S 矩形PQCR 有最小值950 m 2；当t ＝2时， S 矩形PQCR 有最大值(14 050－9 0002)m 2.【学业达标】一、选择题1．解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以α2∈⎝⎛⎭⎫34π，π， 所以sin α2＝1－cos α2＝110＝1010. 答案：B2．解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以cos α<sin α，(cos α－sin α)2＝1－sin 2α＝34，所以cos α－sin α＝－32. 答案：C 3．解析：由已知可得a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，所以a <c <b . 答案：C4．解析：因为α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，所以sin α≤0，cos α>0，则 1＋cos 2α2－1－cos 2α2＝cos 2α－sin 2α ＝|cos α|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α.答案：B二、填空题5．解析：cos 22°＝2cos 211°－1＝1－2sin 211°，所以cos 11°＝1＋cos 22°2＝1＋a 2. sin 11°＝1－cos 22°2＝1－a 2. 答案： 1－a 2 1＋a 26．解析：因为180°<α<270°，所以90°<α2<135°，所以tan α2<0， 所以tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2.答案：－27．解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝32，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－12， ∴α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，∴2α－β＝±π3，α－2β＝－π3. α＋β＝(2α－β)－(α－2β)＝0或2π3(0舍去)．∴cos(α＋β)＝－12. 答案：－12三、解答题8．解：方法一 原式＝cos 2α－sin 2α2·1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫sin π4cos α＋cos π4sin α2 ＝(cos 2α－sin 2α)(1＋tan α)(1－tan α)(cos α＋sin α)2(复角化单角，进一步切化弦)＝(cos 2α－sin 2α)(cos α＋sin α)(cos α－sin α)(cos α＋sin α)2＝1(使用平方差公式)． 方法二 原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α(利用π4－α与π4＋α的互余关系) ＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2－2α(逆用二倍角的正弦公式) ＝cos 2αcos 2α＝1. 9．证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，两边同除以sin α得sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α. 10．解：(1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使得f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32， 即sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 所以m 的最小值为π3.。
《5.5.2简单的三角恒等变换(第一课时)》课件(人教版)
22
新知探究
例2 求证：
（1）sin α cos β 1 sin(α β) sin(α β)；
2 证明：（1）因为sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β，
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sin αcos β， 即sin αcos β＝ 1［sin（α＋β）＋sin（α－β）］．
α
αα
证法一：因为
tan α
sin 2
sin cos 22
sin α ，
2 cos α cos2 α 1 cos α
2
2
tan α
sin α 2
sin2 α 2
1 cos α，
2 cos α sin α cos α sin α
2
22
所以得证．
新知探究
练习：求证：tan α sin α 1 cos α ． 2 1 cos α sin α
2
2
2
将①②两个等式的左右两边分别相除，得 tan2 α 1 cos α ． 2 1 cos α
新知探究
问题2 经历了例1的解决过程之后，你能谈一谈三角恒等 变换与代数恒等变换二者之间有何区分吗？
与代数恒等变换相比，进行三角恒等变换时，三角函数式不仅会有结 构情势方面的差异，而且还会存在所含的角差异，以及这些角的三角 函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子 所包含的各个角之间的联系，并以此为根据选择适当的公式．
5.5.2 简单的三角恒等变换(第2课时 辅助角公式、半角公式)课件高一上学期数学人教必修第一册
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
T 2 2 sin
练习：
x
π 3
1.
y解： siynxsincxoscoxs x
6
6
sin x 3 cos x 1 sin x
2
2
1 sin x 3 cos x
2
2
sin
x
3
T 2
2.y
cos
2x
3
2 sin2
x
解：y
cos
2x
时,
6
Smax
1 3
3 6
3 6
解题方法（应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤）
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 运用和、差、倍角公式化简
↓ 统一化成 f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k 的形式
↓ 利用辅助角公式化为f（x）＝Asin（ωx＋φ） ＋k的形式，研究其性质
练习：已知函数 f(x)＝4cosxsin (x＋ )－1.
2.已知函数 f(x)＝ 3cos2x－π3－2sin xcos x.
(1)求 f(x)的最小正周期．(2)求证：当 x∈－π4，π4时，f(x)≥－12.
3.已知函数 f(x)＝2 3sin(x－3π)·sinx－π2＋2sin2x＋52π－1，x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间0，2π上的最大值和最小值； (2)若 f(x0)＝65，x0∈4π，π2，求 cos2x0 的值．
第五章 三角函数
人教2019版必修第一册
5.5.2 简单的三角恒等变换
课程目标
1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基 本思想方法，以及进行简单的应用．
5.5.2 简单的三角恒等变换(解析版)
5.5.2 简单的三角恒等变换一、升（降）幂缩（扩）角公式 利用余弦的二倍角公式变形可得：升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=， 21cos 2sin 2αα-= 二、半角公式（只要求推导，不要求记忆）sin2a ＝1cos 2a - cos 2a ＝1cos 2a+1cos sin 1cos tan.21cos 1cos sin ααααααα--===++以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．sin 1cos tan,tan 21cos 2sin αααααα-==+ ； 2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222αααααααα-=== 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 三、积化和差与和差化积公式 1、积化和差1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=-++1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=-++1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=--+2、和差化积sin sin 2sincos22x y x yx y +-+= sin sin 2cos sin22x y x yx y +--=cos cos 2coscos22x y x yx y +-+= cos cos 2sin sin22x y x yx y +--=- 四、辅助角公式对于形如sin cos a x b x +的式子，可变形如下：sin cos a x b x +=222222sin cos a ba b x x a b a b ⎛⎫+⋅+⋅ ⎪++⎝⎭ 由于上式中22a a b +和22ba b+的平方和为1，故令2222cos ,sin a b a ba bϕϕ==++，则sin cos a x b x +=()22sin cos cos sin a b x x ϕϕ++=22sin()a b x ϕ++ 其中ϕ角所在象限由,a b 的符号确定，ϕ角的值由tan baϕ=确定， 或由22sin b a bϕ=+和22cos a a bϕ=+共同确定．五、万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+； 221tan 2cos 1tan 2ααα-=+； 22tan2tan 1tan 2ααα=-六、三角函数化简“三看”原则七、三角恒等变换综合应用的解题思路（1）将()f x 化为sin cos a x b x +的形式； （2）构造)cos sin ()(x ba b x ba ab a x f ⋅++⋅++=222222（3）和角公式逆用，得()22)f x a b x ϕ=++ (其中φ为辅助角)；（4）利用()22)f x a b x ϕ=++研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．题型一 半角公式与万能公式的应用【例1】已知,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3sin 5α=-，则tan2α=（ ）A ．3B ．3-C ．13D ．13- 【答案】D 【解析】由sin tan21cos ααα=+，又,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3sin 5α=-，则4cos 5α=， 所以1tan 23α=-.故选：D【变式1-1】已知π3,π,sin 25αα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则cos π2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．10B 10C ．310D 310【答案】A【解析】由π3,π,sin 25αα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，得2234cos 1sin 155αα⎛⎫=----=- ⎪⎝⎭，ππππ,2224αα<<∴<<，cos 02α>， 411cos 105cos 222αα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭= 所以cos πcos 22αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭10故选：A.【变式1-2】若3sin 5θ=，5π3π2θ<<，则tan cos 22θθ+=（ ） A ．103 B ．103 C ．3103 D ．3103【答案】B【解析】因为3sin 5θ=，5π3π2θ<<，所以24cos 1sin 5θθ=-=-， 因为5π3π422θ<<，所以sin 02θ<，cos 02θ<， 所以1cos 310sin 22θθ-=-，1cos 10cos 22θθ+=-= 所以sin 2tan32cos2θθθ==， 则10tan cos 32210θθ+=，故选：B.【变式1-3】已知()tan 3πα+=，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．35 B ．310 C ．34 D 310【答案】A【解析】()tan 3tan 3παα+=⇒=，222tan 233cos 2sin 221tan 135παααα⨯⎛⎫-==== ⎪++⎝⎭故选：A【变式1-4】若sin 11cos 2αα=+，则sin cos αα+的值为________.【答案】75【解析】∵sin 1tan 1cos 22ααα==+，∴222112tan1tan 2172224sin cos 151tan 1tan 1224αααααα-⨯+-+=+==+++. 故答案为：75.题型二 积化和差与和差化积的应用【例2】利用和差化积公式，求下列各式的值： （1）sin15sin105︒+︒； （2）sin20sin40sin80︒+︒-︒； （3）cos40cos60cos80cos160︒+︒+︒+︒． 【答案】（16（2）0；（3）12. 【解析】（1）1510515105326sin15sin1052sincos 2sin 60cos(45)22222+-︒+︒==-=⨯=. （2）sin20sin40sin802sin30cos10cos10cos10cos100︒+︒-︒=-=-=. （3）1cos40cos60cos80cos160(cos40cos80)cos202︒+︒+︒+︒=︒+︒+-︒1112cos60cos20cos20cos20cos20222=︒︒+-︒=︒+-︒=.【变式2-1】利用积化和差公式，求下列各式的值： （1）cos15cos75︒︒； （2）sin20sin40sin80︒︒︒． 【答案】（1）14；（23【解析】（1）由积化和差公式得：cos15cos75︒︒ ，()()1cos 1575+cos 15752=︒+︒︒-︒⎡⎤⎣⎦1cos90+cos602⎡⎤=⎣⎦14=； （2）由积化和差公式得：sin20sin40sin80︒︒︒()()1cos 2040cos 2040sin802⎡⎤=-︒+--︒︒⎣⎦11sin80sin80cos 2042=-︒+ ()111sin80sin100sin 60422=-︒+⨯+113sin 80sin 8044=-︒+︒3=【变式2-2】下列关系式中正确的是（ ） A ．sin5sin32sin8cos2θθθθ+= B ．cos3cos52sin4sin θθθθ-=- C ．1sin3sin5cos4cos 2θθθθ-=- D ．()()1cos cos sin sin 2x y x y x y --+=⎡⎤⎣⎦ 【答案】D【解析】A 中，()()sin5sin3sin 4sin 42sin 4cos θθθθθθθθ+=++-=，A 错；B 中，()()cos3cos5cos 4cos 42sin 4sin θθθθθθθθ-=--+=，B 错；C 中，()()sin3sin5=sin 4sin 42cos4sin θθθθθθθθ---+=-，C 错；D 中，()()()11cos cos 2sin sin sin sin 22x y x y x y x y --+=⨯=⎡⎤⎣⎦，D 正确.故选：D【变式2-3】若1cos cos sin sin 2x y x y +=， 2sin 2sin 23x y +=，则()sin +=x y （ ） A ．23 B ．23- C ．13 D ．13- 【答案】A【解析】因为1cos cos sin sin 2x y x y +=，所以()1cos 2-=x y ，因为2sin 2sin 23x y +=， 所以()()22sin cos 3+-=x y x y ，所以()122sin 23+⨯=x y ，所以()2sin 3+=x y ，故选：A ．【变式2-4】求值：cos40cos80cos80cos160cos160cos40︒︒︒︒︒++︒.【答案】34- 【解析】原式()()()()8040804016018016081cos cos cos cos 220⎡⎤=-++++⎡⎤++-⎣⎦⎣⎦ ()()1cos c 160401040os 26⎡⎤+-⎣⎦+111cos cos cos 24c s 120400os o 008co 20c s120222⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+++++⎣⎦ ()13cos 40cos80cos 20024=++- ()()360206020cos 241cos s 0co 2=⎡⎤-+--⎦+⎣()132cos60cos20cos2024=︒︒-︒- ()133cos20cos20244=--=-︒︒.【变式2-5】在ABC 中，若30B =，则cos sin A C 的取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】因为()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos sin A C A C A C A C A C A C A C +--=+--=，所以，()()()111cos sin sin sin sin 242A C A C A C A C =+--=--⎡⎤⎣⎦， 30B =，则0150A <<，则()1502150AC A A A -=--=-，且有1502150150A -<-<，则()1sin 1A C -≤-≤，故()1113cos sin sin ,4244A C A C ⎡⎤⎡⎤=--∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.故选：C.题型三 辅助角公式及其应用【例3】将下列各式化成()sin A x ϕ+的形式： （13cos x x -； （226.444x x ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）2sin .6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（225.12x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【解析】（1）312cos 2x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭原式2cos sin sin cos 66x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin .6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （2）213sin 2244x x ππ⎤⎛⎫⎛⎫=--⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦原式2sin sin cos cos 6464x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 22246212x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22212x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭25.12x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【变式3-1】求下列函数的最大值和最小值： （1）13cos 2y x x =+； （2）sin cos y x x =-； （3）sin 3y x x =； （4）sin 232y x x =.【答案】（1）最大值为1，最小值为1-；（222（3）最大值为2，最小值为2-；（4）最大值为2，最小值为2-【解析】（1）13cos sin sin 26y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∴最大值为1，最小值为1-； （2）sin cos 24y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴22-（3）sin 32sin 3y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∴最大值为2，最小值为2-；（4）sin 2322sin 23y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴最大值为2，最小值为2-.【变式3-2】（多选）若13sin cos()2x x x ϕ+=+，则ϕ的值可能为（ ） A ．6π-B ．6πC ．56πD ．116π【答案】AD 【解析】因为13sin cos cos sin sin cos 2666πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭x x x x x cos 26x k ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈，故26k πϕπ=-+，故ϕ的值可能为11,66ππ-．故B ，C 错误.故选：AD.【变式3-3】已知πcos()63x -= πcos cos()3x x +-等于（ ）A 23B ．± 23C ．－1D ．1 【答案】D【解析】π13π3cos cos()cos cos 331326x x x x x x ⎛⎫+-=+=-== ⎪⎝⎭，故选：D【变式3-4】已知函数2()23cos 2cos f x x x x =+. （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）求函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值，以及此时x 的取值. 【答案】（1）[,],Z 36k k k ππππ-++∈；（2）当6x π=，最大值为3；当6x π=-，最小值为0.【解析】（1）由函数2()23cos 2cos 32cos 21f x x x x x x =+=++2sin(2)16x π=++，令222,Z 262k x k k πππππ-+≤+≤+∈，解得,Z 36k x k k ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调增区间为[,],Z 36k k k ππππ-++∈.（2）由（1）知()2sin(2)16f x x π=++因为,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，当262x ππ+=时，即6x π=，函数()f x 取得最大值，最大值为3；当ππ266x时，即6x π=-，函数()f x 取得最小值，最小值为0.题型四 三角恒等变换的化简问题【例4】化简4sin 24cos 24tan12cos12︒︒︒︒+=（ ） A ．1 B 2 C 3 D ．2【答案】C【解析】4sin 24cos 242sin 48sin12tan12cos12cos12︒︒︒︒︒︒︒++=()2sin 6012sin12cos12︒︒︒︒-+=3cos12sin12sin123︒︒︒-+==故选：C.【变式4-1】化简()()sin5cos513︒+︒︒=（ ） A 2B ．22C ．2D 2【答案】D【解析】()()22cos103sin10sin5cos513222︒+︒︒+︒︒︒+︒⎭2sin 4022sin 40cos402sin8022cos10︒︒︒︒=︒⋅==︒ D.【变式4-2】若1cos sin 222αα=，则1sin cos 124ααπα++=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．12 C 2D ．22【答案】B 【解析】因为1cossin 222αα=，所以tan 22α=， 所以()1sin cos 1sin cos 1cos sin 124ααααπααα++++=--⎛⎫+ ⎪⎝⎭22222sin cos 2cos tan 121122222222sincos2sin tantan 22222ααααααααα+++====+++． 故选：B【变式4-3】若2πθπ<<，tan 3θ=-，22cos 2θ=+_________．【答案】45- 【解析】因为2πθπ<<，tan 3θ=-，∴sin 0,cos 0θθ><，()2222cos 2222cos 1θθ=++-222222cos (sin cos )2cos 4cos θθθθθ-==-222222cos sin 1tan cos sin 1tan θθθθθθ--==++194195-==-+. 故答案为：45-.【变式4-4cos 40sin 5013sin 20sin 40cos 20cos 40sin 701cos 40︒+︒︒︒-︒︒-︒︒+︒.23 cos 40sin 50(13tan10)sin 20sin 40cos 20cos 40sin 701cos 40︒+︒+︒︒-︒︒-︒︒+︒()()()()22223sin10cos10cos 40sin 50sin 3010sin 3010cos10cos 3010cos 3010sin 70cos 20sin 20cos 20sin 20︒+︒︒+︒-︒-︒+︒︒=︒-︒-︒+︒︒︒+︒+︒-︒ ()2sin 3010cos 40cos 402cos30sin10cos102sin 30sin102sin 70cos 20︒+︒︒+︒⋅-︒︒︒=︒︒︒︒2sin 40cos 40cos 40cos30cos10sin 302sin 70cos 20︒︒︒+︒︒=︒︒︒sin80cos 40cos1032sin 70cos 20︒︒+︒=︒︒232cos 20=︒2232cos 20=︒2232cos 20=︒23=【变式4-5】求证：22(1cos 2)(2sin 1)tan12sin 44tan 12ααααα+-=-.【答案】证明见解析 【解析】证明：22(1cos 2)(2sin 1)tan2tan 12αααα+--221()tan 22cos cos 2tan 2αααα=-⋅⋅-222tan2cos cos 21tan 2αααα-⋅=⋅2t cos c an os2ααα⋅=⋅s cos c in os2ααα⋅=⋅1sin 2cos 22αα=⋅1sin 44α=所以原等式成立．题型五 三角形中的三角恒等变换【例5】在ABC ∆中，若sin cos()1sin()cos 22A B A B ππ-=--，则这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 【答案】D【解析】因为sin cos()1sin()cos 22A B A B ππ-=--所以sin sin 1cos cos A B A B =-所以cos cos sin sin 1A B A B +=，所以()cos 1A B -= 因为(),0,A B π∈，所以0A B -=，即A B = 所以三角形为等腰三角形；故选：D【变式5-1】已知ABC ，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且sin sin cos cos A B A B +=+，则ABC 是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形【答案】A 【解析】依题意，sin()sin()cos()cos()22222222A B A B A B A B A B A B A B A B+-+-+-+-++-=++-， 则有2sincos 2cos cos 2222A B A B A B A B +-+-=，在ABC 中，ππ222A B --<<，即cos02A B->， 因此tan12A B +=，又π022A B +<<，于是得π24A B +=，即π2A B +=， 所以ABC 是直角三角形.故选：A【变式5-2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()()2sin sin sin B C B C A +⋅-=．则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 【答案】C【解析】由A B C π++=知，()sin sin A B C =+，∴()()2sin sin sin B C B C A +⋅-=＝()2sin B C +，0B C π<+<，()sin 0B C +≠， ()()sin sin B C B C ∴-=+，∴cos sin 0B C =，∵在△ABC 中，sin 0C >，∴cos 0B =， ∵0B π<<，∴2B π=，即△ABC 为直角三角形．故选：C ．【变式5-3】在△ABC 中，2,3ACB π∠=AB 边上的高1,,CD AD x DB y ===，则x y +的最小值为_________.【答案】23【解析】23ACB π∠=，3A B π∴+=，∴3B A π=-，03A π<<，AB x y =+11tan tan A B =+cos cos sin sin A B A B =+sin()sin sin A B A B+=32sin sin()3A A π=-3231sin (cos sin )A A A =-32311sin 2cos 2A A =+-3211sin(2)264A π=+-，∵03A π<<，∴52666A πππ<+<，∴当262A ππ+=时，x ＋y 的最小值为23 故答案为：23。
高中数学 第五章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.2 简单的三角恒等变换精品练习(含解析)新
5.5.2 简单的三角恒等变换知识点三 三角恒等变换的应用7.函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，9π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π48．在△ABC 中，求证：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A2＝1.9．如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？关键能力综合练 一、选择题1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a 2 B.1－a2 C ．－21＋a2D ．－21－a22．若2sin x ＝1＋cos x ，则tan x2的值等于( )A.12B.12或不存在学科素养升级练1．(多选题)对于函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，给出下列选项其中不正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (α)＝1C ．存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，使函数f (x ＋α)的图象关于y 轴对称D ．存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立 2．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是________，最小值是________．3．(学科素养—数学建模)如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，B ，C 两点在圆弧上，OE 是∠POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC ，记∠COE ＝α，则角α为何值时矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．5．5.2 简单的三角恒等变换必备知识基础练1．解析：∵3π<θ<7π2，sin θ＝－35，∴cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，∵3π<θ<7π2，∴3π2<θ2<7π4.则tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1＋451－45＝－3. 答案：B2．解析：因为2π<θ<3π，所以π<θ2<3π2.又cos θ＝m ，所以sin θ2＝－1－cos θ2＝－1－m2，故选A. 答案：A3．解析：y ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝12sin 2x ，是奇函数．故选A.答案：A4．解析：f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]，故选B. 答案：B5．解析：∵f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.∴f (x )∈[－2,2]． 答案：[－2,2]6．解析：(1)2(cos x －sin x )＝2×2⎝⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4cos x －sin π4sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(2)315sin x ＋35cos x ＝65⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3sin x ＋cos π3cos x ＝65cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.7．解析：y ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos 2ωx (ω>0)， 因为函数的最小正周期为π，故2π2ω＝π，所以ω＝1.则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. 由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝1时，函数的一个单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，9π4.答案：B8．证明：∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角， ∴A ＋B ＋C ＝π，从而有A ＋C 2＝π2－B2.左边＝tan B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan A2＋tan C 2＋tan A 2tan C2＝tan B 2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝tan B 2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝1＝右边， ∴等式成立．9.解析：设∠AOB ＝α，则0<α<π2，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ， 此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．关键能力综合练1．解析：若5π<θ<6π，则5π4<θ4<3π2，则sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2＝－21－a2. 答案：D2．解析：由已知得sin x 1＋cos x ＝12，tan x2＝sinx2cosx2＝2sin x 2cosx22cos 2x 2＝sin x 1＋cos x ＝12.当x ＝π＋2k π，k ∈Z 时，tan x2不存在．答案：B3．解析：由题意可知，a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，而当0°<x <90°，y ＝sin x 为增函数，∴a <c <b ，故选C.答案：C 4．解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.故选A.答案：A5．解析：由cos α＝－45，α是第三象限角，可得sin α＝－1－cos 2α＝－35.所以1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案：A6．解析：f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴f (x )min ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋1＝－4. ∴a ＝－4. 答案：C7．解析：1＋sin 2＝sin 21＋cos 21＋2sin 1cos 1 ＝sin 1＋cos 12＝|sin 1＋cos 1|，因为1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin 1>0，cos 1>0，则1＋sin 2＝sin 1＋cos 1. 答案：sin 1＋cos 18．解析：由25sin 2θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2θ＝－725，由cos2θ2＝1＋cos θ2得cos2θ2＝925. 又θ2是第一、三象限角，所以cos θ2＝±35.答案：±359．解析：y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋sin 2x 2＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32.最小正周期T ＝2π2＝π.令－π2＋2k π<2x －π4<π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π<x <3π8＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．答案：π ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z10．证明：左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin x 1＋cos x ＝2sin x 2cosx22cos2x 2＝tan x2＝右边． 所以原等式成立．学科素养升级练1．解析：函数f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，对于A ：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，当x ＝π6时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝2，不能得到函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．∴A 不对．对于B ：α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，可得α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，f (α)∈(3，2]，不存在f (α)＝1.∴B 不对．对于C ：函数f (x ＋α)的对称轴方程为：x ＋α＋π3＝π2＋k π，可得x ＝k π＋π6－α(k ∈Z )，当k ＝0，α＝π6时，可得图象关于y 轴对称．∴C 对．对于D ：f (x ＋α)＝f (x ＋3α)说明2α是函数的周期，函数f (x )的周期为2π，故α＝π，∴不存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，∴D 不对．故选A ，B ，D.答案：ABD2．解析：∵A ＋B ＝2π3，∴cos 2A ＋cos 2B ＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B )＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3·cos(A －B )＝1－12cos(A －B )，∴当cos(A －B )＝－1时， 原式取得最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12.答案：32123.word - 11 - / 11解析：如图所示， 设OE 交AD 于M ，交BC 于N ，显然矩形ABCD 关于OE 对称，而M ，N 分别为AD ，BC 的中点，在Rt△ONC 中，＝sin α，ON ＝cos α，OM ＝DM tan π6＝3DM ＝3＝3sin α， 所以MN ＝ON －OM ＝cos α－3sin α，即AB ＝cos α－3sin α，而BC ＝2＝2sin α，故S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝()cos α－3sin α·2sin α＝2sin αcos α－23sin 2α＝sin 2α－3(1－cos 2α)＝sin 2α＋3cos 2α－3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2α＋32cos 2α－ 3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－ 3.因为0<α<π6，所以0<2α<π3，π3<2α＋π3<2π3.故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S 矩形ABCD 取得最大值，此时S 矩形ABCD ＝2－ 3.。
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5．5.2 简单的三角恒等变换学习目标 1.能用二倍角公式推导出半角公式.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用．知识点一 半角公式 sin α2＝±1－cos α2， cos α2＝±1＋cos α2， tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点二 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝b a1．cos α2＝1＋cos α2.( × ) 2．对任意α∈R ，sin α2＝12cos α都不成立．( × )3．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2＝63.( √ )4．对任意α∈R 都有sin α＋3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3.( √ )一、半角公式的应用例1 已知θ∈⎝⎛⎭⎫5π2，3π且sin θ＝45，求sin θ2，cos θ2，tan θ2的值． 解 ∵θ∈⎝⎛⎭⎫5π2，3π，且sin θ＝45. ∴cos θ＝－35，θ2∈⎝⎛⎭⎫5π4，3π2，∴sin θ2＝－1＋352＝－255， cos θ2＝－1－352＝－55，∴tan θ2＝sin θ2cosθ2＝2. (学生留)反思感悟 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算． 跟踪训练1 已知sin α＝55，cos α＝255，则tan α2等于( ) A ．2－ 5 B ．2＋ 5 C.5－2 D ．±(5－2)答案 C解析 方法一 ∵sin α＝55，cos α＝255， ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝5－2.方法二 因为sin α＝55>0，cos α＝255>0，所以α的终边落在第一象限，α2的终边落在第一或第三象限， 所以tan α2>0，故tan α2＝1－cos α1＋cos α＝1－2551＋255＝5－2. 二、三角恒等式的证明例2 求证：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＋1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ.证明 方法一 左边＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2＋2sin θ2cosθ22sin 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝sin θ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sin θ2＝2sin θ＝右边．所以原式成立．方法二 左边＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋sin θ＋cos θ)2(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)＝2(1＋sin θ)2＋2cos 2θ(1＋sin θ)2－cos 2θ＝4＋4sin θ2sin θ＋2sin 2θ＝2sin θ＝右边． 所以原式成立．反思感悟 三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简． (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 跟踪训练2 求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .证明 左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x 4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x 2sin 2x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cos x 2＝1＋cos x sin x ＝右边．所以原等式成立．三、三角恒等变换的综合问题例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋2cos x ，则f (x )的最大值为________． 答案5解析 f (x )＝sin x ＋2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫55sin x ＋255cos x ＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝2，∴f (x )max ＝ 5.(2)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. ①求ω的值；②讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解 ①f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.②由①知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 反思感悟 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y ＝a sin x ＋b cos x 转化为y ＝A sin(x ＋φ)或y ＝A cos(x ＋φ)的形式，以便研究函数的性质．跟踪训练3 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上单调递增， 且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.三角函数的实际应用典例 如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m.(1)如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？(2)沿着AB ，BC ，CD 修一条步行小路从A 到D ，如何选择A ，D 位置，使步行小路的距离最远？解 (1)连接OB ，如图所示，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为A ，D 关于原点对称， 所以AD ＝2OA ＝40cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则 S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)．此时AO ＝DO ＝102(m)．故当A ，D 距离圆心O 为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2. (2)由(1)知AB ＝20sin θ， AD ＝40cos θ，∴AB ＋BC ＋CD ＝40sin θ＋40cos θ＝402sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，34π， 当θ＋π4＝π2，即θ＝π4时，(AB ＋BC ＋CD )max ＝402，此时AO ＝DO ＝102，即当A ，D 距离圆心O 为10 2 m 时，步行小路的距离最远．[素养提升] 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题．1．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105B ．－105C.265D.255答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin α2＝1－cos α2＝105. 2．下列各式与tan α相等的是( ) A.1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α答案 D解析 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.3．函数y ＝－3sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤－π6，π6上的值域是________． 答案 [0，3]解析 y ＝－3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－x . 又∵－π6≤x ≤π6，∴0≤π6－x ≤π3.∴0≤y ≤ 3.4．已知sin α2－cos α2＝－15，π2<α<π，则tan α2＝________.答案 2解析 ∵⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15，∴1－sin α＝15，∴sin α＝45.又∵π2<α<π，∴cos α＝－35.∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.5．化简：4sin θcos 2θ22sin θ＋sin 2θ＝________.答案 1解析 原式＝4sin θ·1＋cos θ22sin θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(1＋cos θ)2sin θ(1＋cos θ)＝1.1．知识清单： (1)半角公式． (2)辅助角公式．(3)三角恒等变换的综合问题． (4)三角函数在实际问题中的应用． 2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域．1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a2B.1－a2C ．－ 1＋a2D ．－1－a2答案 D解析 ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a 答案 C解析 由题意可知，a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，而当0°<x <90°时，y ＝sin x 单调递增，∴a <c <b ，故选C. 3.cos 40°cos 25°1－sin 40°的值为( )A ．1 B. 3 C. 2 D ．2 答案 C解析 原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝ 2.4．(多选)已知函数f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的最大值为2 B ．f (x )的最小正周期为π C ．f (x )关于x ＝－π8对称D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 答案 BCD解析 ∵f (x )＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12(sin 2x －cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12. ∴f (x )max ＝22＋12＝2＋12，最小正周期T ＝2π2＝π.当x ＝－π8时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－1，∴x ＝－π8为对称轴． 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，综上有BCD 正确，A 不正确．5．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，那么a 的值等于( )A ．4B ．－6C ．－4D ．－3 答案 C解析 f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴f (x )min ＝2·⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝－4.∴a ＝－4. 6．已知180°<α<270°且sin(α＋270°)＝45，则sin α2＝________，tan α2＝________.答案31010－3 解析 ∵sin(α＋270°)＝－cos α＝45，∴cos α＝－45，又90°<α2<135°，∴sin α2＝1－cos α2＝1＋452＝31010， tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1＋451－45＝－3. 7．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 答案 －π6解析 因为3sin x －3cos x＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6. 8．化简：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝________. 答案 tan x 2解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin x 1＋cos x＝tan x 2. 9．求证：12sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan x 2－tan x 2＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 证明 左边＝12sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2sin x 2－sin x 2cos x 2＋32cos 2x ＝12sin 2x ·cos 2x 2－sin 2x 2sin x 2cos x 2＋32cos 2x ＝sin 2x ·cos x sin x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝右边，原等式得证． 10．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k π＋5π12，k ∈Z .11．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( )A ．2＋sin αB ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4答案 C解析 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α2＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2. 12．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x ，当x ＝π4时，f (x )取得最大值，则a 的值为() A ．－ 3 B ．－1 C ．1 D. 3答案 C解析 ∵f (x )＝sin x ＋a cos x ＝1＋a 2sin(x ＋φ)，∴f (x )max ＝1＋a 2，依题意f ⎝⎛⎭⎫π4＝22＋22a ＝1＋a 2，解得a ＝1.13．已知cos θ＝－725，θ∈(π，2π)，则sin θ2＋cos θ2的值为________．答案 15解析 因为θ∈(π，2π)，所以θ2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin θ2＝1－cos θ2＝45，cos θ2＝－1＋cos θ2＝－35，所以sin θ2＋cos θ2＝15. 14．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝________.答案 －1解析 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin (－10°)cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1.15.北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ＝________.答案 725解析 由题意5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. 所以cos θ－sin θ＝15. 又(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.所以cos θ＋sin θ＝75. 所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725. 16.如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，B ，C 两点在圆弧上，OE 是∠POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC ，记∠COE ＝α，则角α为何值时矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．解如图所示，设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N分别为AD，BC的中点，在Rt△ONC中，CN＝sin α，ON＝cos α，OM＝DMtanπ6＝3DM＝3CN ＝3sin α，所以MN＝ON－OM＝cos α－3sin α，即AB＝cos α－3sin α，而BC＝2CN＝2sin α，故S矩形ABCD＝AB·BC＝()cos α－3sin α·2sin α＝2sin αcos α－23sin2α＝sin 2α－3(1－cos 2α)＝sin 2α＋3cos 2α－ 3＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2α＋32cos 2α－ 3＝2sin⎝⎛⎭⎫2α＋π3－ 3.因为0<α<π6，所以0<2α<π3，π3<2α＋π3<2π3.故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S矩形ABCD取得最大值，此时S矩形ABCD＝2－ 3.。