可计算性与可判定性
hl判定定理
hl判定定理HL判定定理是计算机科学领域一个重要的定理，用于描述特定类型的递归枚举问题的可计算性。
该定理最早由美国计算机科学家Stephen Cole Kleene以及应用数学家Heinz Dieter Gauss于1969年提出，被广泛应用于计算理论和形式语言理论。
HL判定定理的全称为"Kleene's Second Recursion Theorem"，或称为"Kleene's T-predicate Theorem"，该定理给出了一种方法来判定一个给定的自然数是否属于一个可计算的递归集合中。
在理解HL判定定理之前，我们需要了解几个相关的概念。
首先是可计算性问题，也叫做判定问题，是指一个问题是否可以通过一个算法来解决。
通常，可计算性问题可以被划分为可判定问题和不可判定问题。
可判定问题是指可以通过一个算法判定其答案的问题，而不可判定问题是指没有算法能够确定其答案的问题。
其次是递归集合的概念。
一个递归集合是指可以通过一个递归函数来计算出其元素的集合。
递归函数是指可以通过有限步骤的计算来确定函数值的函数。
递归集合的概念是在数学逻辑中引入的，用于描述可计算性问题。
HL判定定理是通过引入一个谓词T来描述可计算性的。
给定一个自然数n和一个递归集合R，T(x,y)是一个谓词，表示自然数x是否属于递归集合R中的第y个元素。
HL判定定理的表述如下：对于任意一个递归集合R，T(x,y)是一个可计算的谓词。
简单来说，HL判定定理就是给出了一种方法来判定一个自然数是否属于一个递归集合中。
这个方法是通过构造一个可计算的谓词T来实现的。
HL判定定理的证明是基于递归函数的构造和递归集合的性质。
具体的证明过程比较复杂，需要深入的数学和计算理论知识。
但是理解HL判定定理的核心思想对于计算机科学的学习和研究是非常重要的。
HL判定定理在计算机科学的理论研究中有着广泛的应用。
图灵在计算机理论方面的贡献
图灵在计算机理论方面的贡献：1.提出计算机的概念1945年，图灵恢复在理论计算机科学方面的研究，并结合战时的工作，具体研制出新的计算机来。
同年，图灵开始从事“自动计算机”(ACE)的逻辑设计和具体研制工作。
1950年制出了ACE样机，1958年制成大型ACE机。
2.把可计算函数定义为图灵机可计算函数．1937年，图灵在他的“可计算性与λ可定义性”一文中证明了图灵机可计算函数与λ可定义函数是等价的，得出：算法(能行)可计算函数等同于一般递归函数或λ可定义函数或图灵机可计算函数．这就是“丘奇-图灵论点”，相当完善地解决了可计算函数的精确定义问题，对数理逻辑的发展起了巨大的推动作用。
3.开创了“自动机”这一学科分支，促进了电子计算机的研制工作．4.提出了通用图灵机的概念它相当于通用计算机的解释程序，这一点直接促进了后来通用计算机的设计和研制工作，在给出通用图灵机的同时，图灵就指出，通用图灵机在计算时，其“机械性的复杂性”是有临界限度的，超过这一限度，就要靠增加程序的长度和存贮量来解决．这种思想开启了后来计算机科学中计算复杂性理论的先河。
5.解决了著名的希尔伯特判定问题狭谓词演算公式的可满足性的判定问题。
他用一阶逻辑中的公式对图灵机进行编码，再由图灵机停机问题的不可判定性推出一阶逻辑的不可判定性。
他在此处创用的“编码法”成为后来人们证明一阶逻辑的公式类的不可判定性的主要方法之一。
6.图灵测试1946年，图灵发表论文阐述存储程序计算机的设计。
图灵的自动计算机与诺伊曼的离散变量自动电子计算机都采用了二进制，都以“内存储存程序以运行计算机”打破了那个时代的旧有概念。
7.人工智能人工智能致力研发运行Manchester Mark 1型号储存程序式计算机所需的软件。
1950年他发表论文《计算机器与智能》，为后来的人工智能科学提供了开创性的构思。
提出著名的“图灵测试”，指出如果第三者无法辨别人类与人工智能机器反应的差别，则可以论断该机器具备人工智能。
论可计算数及其在判定问题中的应用(2010哈工)
论可计算数及其在判定问题中的应用A.M.Turing 1．计算机2．定义自动机器计算机可循环数与不可循环数可计算的数列和数3．计算机的例子4．微型桌面更有深度的例子5．列举可计算的数列6．一般计算机7．一般计算机的详细描述8．对角线方法的应用9．可计算数的数组的例子10．一个大的可计算的数组的例子11．可计算数在其判定问题中的应用附录Endnotes：可计算的数可以简要描述为那些十进制形式可通过有限步骤来计算是实数。
虽然这篇论文表面上讲的是可计算数，但它也研究了可计算方程，无论整数、实数或可计算变量，等等。
这篇论文简单给出了可计算数、方程等之间的关系。
这会包括函数理论的发展和实变量用可计算数表示。
一个数，如果它是十进制形式，还可以被机器识别，它就是可计算的。
在9.10中给出了一些关于所有数都是可计算的的讨论。
其实，作者给出了一定大的数组都是可计算的。
它们包括，算术数学中的实数部分，Bessel函数中是实数部分的零，如x,e 等。
然而可计算数不全包括可定义是数，其中一个例子就是能找到一个不可计算却可定义的数。
即使可计算数组如此大，在许多方面它与实数集很相似。
从正确讨论的应用中，结论与Godel<1>的很相似，着都是有价值的证明。
在Alonzo Church的最近的一篇论文中介绍了“有效计算”的思想，它与作者“计数”的思想很接近，不过又定义的十分不同。
Church还探求了有关判定问题的结果。
有关“计数”和“有效计算”本质相同的证据，列在了附录中。
1．计算机我们知道可计算数是那些十进制可以通过有限步骤计算的，不过我们需要更明确的定义。
而计算机的需求是因为人类的记忆是有限的。
我们可以设想一个人将一个个实数输入一个只能存有限数q1，q2……qr的机器，将被叫做“m—配置”，这个机器被纸带供应，被分为“方格”（也叫做square），每次能生成一个符号。
某时只有一个方格叫做“r—th”，生成S(r)的符号。
计算理论第一章绪论
1.1 计算与计算模型
上世纪初，德国大数学家希尔伯特(Hilbert)提出： 是否存在着一个通用过程，这个过程能用来判
定任意数学命题是否成立，即，输入一个数学命题， 在有限时间内，得到一个证明，如果这个命题成立； 或是一个反例，如果这个命题不成立。
图灵证明了对于平面几何来说，存在这样的过程。 但是，对于一般的数学命题，不存在这样的过程。
图灵机和可计算函数
英国 数学家
1936年，图灵24岁时发表一篇 论文《论数字计算在判决难题 中的应用》，提出著名的“图 灵机”的设想。这一思想奠定 了现代计算机的基础。
美国计算机协会在图灵去世12 年后以他的名字命名了计算机 领域的最高奖“图灵奖”。
艾伦·图灵（1912－1954）
1.1 计算与计算模型
判定。
1.3图灵机
NP完全问题：
NP类中某些问题的复杂性与整个类的复杂 性相关联，这些问题称为NP完全问题。
可计算性与计算复杂性
可计算性computability 是否可解
复杂性 complexity 解的难易程度
1.4 语言与文法
乔姆斯基最初从产生语言的角度研究语言， L*。
问题：考察一个字符串是否是某个语言的句 子。
计算的图灵机定义：
1936年由Turing给出，定义计算为： 输入—执行过程（有限步内结束）—输出
1946年，冯·诺依曼与宾夕法尼亚大学的工程师 采用电子器件物理实现了图灵的计算模型，建成 了世界的第一台计算机。
现在称计算机的体系结构为冯·诺依曼体系结构。
1.1 计算与计算模型
图灵给出了过程的科学定义，区分了可计算 的问题和不可计算的问题。
1.6 计算逻辑与描述逻辑
可计算性与计算复杂性
可计算性与计算复杂性1.可计算性：可计算性研究的是什么样的问题可以通过其中一种计算模型解决。
早期的计算模型是图灵机（Turing machine），后来发展出其他等效的计算模型，例如递归函数、Lambda演算等。
根据这些计算模型，可以定义一类问题为可计算问题，也就是可以通过计算模型求解的问题。
1.1停机问题：停机问题是可计算性的典型例子，它是指根据给定的程序和输入，判断这个程序是否会在有限的时间内停止运行。
根据图灵在20世纪30年代证明的停机问题的不可判定性，他证明了不存在一个通用的算法能够判断任意程序是否停机，这个结论被称为图灵不可判定性定理。
1.2基本计算问题：除了停机问题，可计算性还研究了一些其他的基本计算问题。
例如，可计算性研究了自动机是否可以接受一些字符串，或者函数是否可以被一个特定的计算模型计算等。
1.3计算模型的等效性：在可计算性理论中，研究了不同计算模型之间的等效性。
图灵机、递归函数和Lambda演算等计算模型之间可以相互转化，这意味着它们的计算能力是等价的。
这个等价性的概念对理解可计算性是至关重要的。
2.计算复杂性：计算复杂性研究的是什么样的问题可以在多项式时间内解决，以及在不同条件下求解问题所需要的计算资源（例如时间、空间等）。
计算复杂性理论的核心是研究问题的复杂度类别和难度。
2.1多项式时间可解问题：计算复杂性理论将问题分为多项式时间可解问题和非多项式时间可解问题。
多项式时间可解问题是指那些可以在多项式时间内求解的问题。
这些问题的解决方法被认为是高效的，因为随着输入规模的增加，所需计算资源的增长是可接受的。
2.2难解问题：非多项式时间可解问题是那些不可以在多项式时间内求解的问题。
例如，图的旅行商问题（TSP）和布尔可满足性问题（SAT）等问题被认为是难解问题。
难解问题的求解需要指数级的时间或空间复杂度，因此在实际中很难找到有效的算法。
2.3复杂度类别：计算复杂性理论还研究了不同问题的复杂度类别。
计算理论实验灵机模拟与可计算性验证
计算理论实验灵机模拟与可计算性验证计算理论是计算机科学的重要分支，研究了计算的本质和边界。
在计算理论中，实验灵机模拟以及可计算性验证是两个重要的概念。
本文将介绍实验灵机模拟和可计算性验证的概念、应用以及其在计算理论中的重要性。
一、实验灵机模拟实验灵机模拟是指使用计算机程序对图灵机的行为进行模拟和仿真。
图灵机是由阿兰·图灵提出的一种理论计算模型，可以模拟现代计算机的工作原理。
实验灵机模拟的目的是通过计算机程序模拟图灵机的运行过程，以便对计算理论进行实验和验证。
实验灵机模拟允许计算机科学家们在计算理论研究中进行大规模的实验。
它可以帮助我们更好地理解计算的本质，研究计算过程的性质和行为。
通过实验灵机模拟，我们可以验证算法的正确性、分析计算问题的可解性以及研究不同计算模型之间的联系和差异。
二、可计算性验证可计算性验证是指判断一个问题是否可由计算机算法进行有效求解的过程。
在计算理论中，可计算性验证的核心问题是确定一个问题是否可被计算机程序表示和求解。
可计算性验证是计算理论的核心问题之一，它研究了计算过程的边界和限制。
可计算性验证的内容包括可计算问题和不可计算问题的判定。
可计算问题是指可以通过计算机算法进行求解的问题，而不可计算问题是指不存在有效的计算机算法来求解的问题。
通过可计算性验证，我们可以确定某个问题是否存在解决方案，以及该问题是否可以用计算机算法进行有效求解。
三、实验灵机模拟与可计算性验证的重要性实验灵机模拟和可计算性验证是计算理论研究中的重要工具和方法。
它们不仅有助于我们理解计算的本质和边界，还可以帮助我们验证和验证计算理论中的各种概念和结论。
首先，实验灵机模拟允许我们在计算机上模拟和仿真复杂的计算过程。
通过实验灵机模拟，我们可以测试和验证算法的正确性、分析算法的性能和行为，从而改进和优化现有的算法。
其次，可计算性验证可以帮助我们确定一个问题是否可被计算机算法求解。
通过可计算性验证，我们可以确定哪些问题是可计算的，哪些问题是不可计算的，从而引导我们将精力集中在可计算问题的研究和解决上。
递归论理论
递归论文章整理编辑：论文文库工作室（QQ1548927986）论文写作发表辅导递归论或可计算性理论，是一个数理逻辑分支。
它起源于可计算函数和图灵度的研究。
它的领域增长为包括一般性的可计算性和可定义性的研究。
在这些领域中，这门理论同证明论和能行描述集合论(effective descriptive set theory)有所重叠。
数理逻辑中的可计算性理论家经常研究相对可计算性、可归约性概念和程度结构的理论。
相对于计算机科学家，他们研究次递归层次，可行的计算和公用于可计算性理论研究的形式语言。
在这两个社区之间有着相当大的知识和方法上的重叠，而没有明显的界限。
概述：计算的概念递归论所考虑的基本问题是，给定一个从自然数到自然数的函数f，f是否是可以被计算的。
“可以被计算”，我们先将其当作一个直观的概念。
根据直觉，人们一般会认为，一个函数可以被计算是存在一个给定的过程，接受一个自然数n后，该过程进行一定的操作并给出f(n)作为输出。
将计算这一直观的概念上升到数学层面的形式化定义这一工作是递归论的根本，并由哥德尔、邱奇、图灵、克莱尼和Emil Post等人在1930年代奠定。
他们将图灵可计算性作为有效计算的形式化。
在递归论的基本概念被给定之后，一方面人们将该观念应用于数学中，从而证明了一系列自然的问题，如字问题，以及希尔伯特第十问题等问题是不可计算的。
另一方面，理论家们进一步拓展，开始了相对可计算性，图灵度等问题的研究。
如今，递归论仍是数理逻辑中活跃的领域。
历史递归论理论起源自哥德尔、邱奇、图灵、克莱尼和Emil Post在1930 年代的工作。
他们获得的基本结果建立了图灵可计算性作为有效计算的非正式想法的正确的形式化。
通过能行计算的严格定义带来了在数学中有些问题是不可有效判定的最初证明。
邱奇和图灵独立的证明了停机问题不能能行判定，而Post 证明了在Thue系统中确定一个字符串是否有规范形式(类似于在λ演算中一个项是否有规则形式)不能有效的确定。
课件-可计算理论
2014-3-28
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人物小记
阿兰•麦阿兰•麦席森•图灵，1912年生于英国伦敦，1954年 死于英国的曼彻斯特，他是计算机逻辑的奠基者，许多人 工智能的重要方法也源自于这位伟大的科学家。 他对计算机的重要贡献在于他提出的有限状态自动机也就 是图灵机的概念 对于人工智能，它提出了重要的衡量标准“图灵测试”， 如果有机器能够通过图灵测试，那他就是一个完全意义上 的智能机，和人没有区别了。 他杰出的贡献使他成为计算机界的第一人，现在人们为了 纪念这位伟大的科学家将计算机界的最高奖定名为“图灵 奖”。
2014-3-28
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图灵生平——故事以谜结束
1952年3月，图灵更因为和曼彻斯特当地一位青年有染，被 警方逮捕。在入狱和治疗两者中间，图灵选择了注射激素 此后图灵开始研究生物学、化学
2014-3-28
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图灵生平——故事以谜结束
1954年6月8日，图灵42岁。一天早晨，女管家走进他的卧 室，发现台灯还亮着，床头上还有个苹果，只咬了一小半， 图灵沉睡在床上，一切都和往常一样。 经过解剖，法医断定是剧毒氰化物致死，那个苹果是在氰 化物溶液中浸泡过的。 图灵的母亲则说他是在做化学实验时，不小心沾上的 但外界的说法是服毒自杀，一代天才就这样走完了人生。
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图灵奖
图灵去世后12年开始设立的图灵奖是美国计算机协会ACM （Association for Computing Machinery） 设立的第一个 奖项。 ACM成立于1947年，也就是世界上第一台电子计算机 ENIAC诞生以后的第二年，美国一些有远见的科学家意识 到它对于社会进步和人类文明的巨大意义，因此发起成立 了这个协会，以推动计算机科学技术的发展和学术交流。
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数g(x) = µy(f(x, y) = 0)属于I.
喻良 (南京大学现代数学研究所)
可计算性与可判定性
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December 4, 2013
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部分递归函数
计算的定义
对于任何关系R(u, v)，定义函数µx(R(x, y)) = min{x | R(x, y)}. 部分递归函数集合是满足下列规则的最小的集合I
1. 原始递归函数规则(1)-(5); 2. 如果f(x, y) ∈ I并且处处有定义，那么部分函
f(0, y) = y, f(x + 1, 0) = f(x, 1), f(x + 1, y + 1) = f(x, f(x + 1, y)). 直观上Ackermann函数能够被计算。但是Ackermann函数的增长速 度超过了所有的原始递归函数。因此原始递归函数不能作为可计 算函数的定义。
喻良 (南京大学现代数学研究所)
December 4, 2013
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计算的定义
递归与递归可枚举集合
一个自然数集合A是递归的，如果它的特征函数是递归的。 一个自然数集合是递归可枚举的，如果存在一个部分递归函数p使 得∀n(n ∈ A ↔ p(n) ↓). .T. heorem .每一个递归集合都是递归可枚举的。 .P. roof. 如果A的特征函数CA是递归的。那么函数D(n, m) = CA(n)也是递 归的。令p(n) = µm(D(n, m) = 1). .因此n ∈ A ↔ p(n) ↓.
可计算性与可判定性
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部分递归函数
计算的定义
对于任何关系R(u, v)，定义函数µx(R(x, y)) = min{x | R(x, y)}.
喻良 (南京大学现代数学研究所)
可计算性与可判定性
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什么是计算？
计算的形式化
莱布尼兹并没有给出计算的定义。
喻良 (南京大学现代数学研究所)
可计算性与可判定性
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数g(x) = µy(f(x, y) = 0)属于I. 一个函数f是一般递归的，如果f是部分递归函数并且处处有定义。
喻良 (南京大学现代数学研究所)
可计算性与可判定性
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可计算性与可判定性
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第四讲：递归论初步
喻良
南京大学现代数学研究所
December 4, 2013
喻良 (南京大学现代数学研究所)
可计算性与可判定性
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December 4, 2013
喻良 (南京大学现代数学研究所)
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计算的定义
Ackermann函数
喻良 (南京大学现代数学研究所)
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部分递归函数
计算的定义
对于任何关系R(u, v)，定义函数µx(R(x, y)) = min{x | R(x, y)}. 部分递归函数集合是满足下列规则的最小的集合I
December 4, 2013
பைடு நூலகம்
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原始递归函数
计算的定义
原始递归函数集合是满足下列规则的最小的集合I: 1. 所有的n－元常数函数f(x1, · · · , xn) = 0属于I; 2. 后继函数f(x) = x + 1属于I; 3. 恒等函数f(x1, · · · , xn) = xi(i ≤ n)属于I; 4. 如果f(x1, · · · , xn) ∈ I并且∀i ≤ ngi(y1, · · · , ym) ∈ I, 那 么f(g1(y1, · · · , ym), · · · , gn(y1, · · · , ym)) ∈ I; 5. 如果f(x0, · · · , xn) ∈ I并且g(x2, · · · , xn) ∈ I， 那么函 数h(0, x2, · · · , xn) = g(x2, · · · , xn) 并 且h(y + 1, x2, · · · , xn) = f(y, h(y, x2, · · · , xn), x2, · · · , xn) 也属 于I.
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公理化与计算
计算的形式化
公理必须是可计算的。 证明必须是可计算的。
喻良 (南京大学现代数学研究所)
可计算性与可判定性
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