【步步高】高考数学二轮复习 专题一 第3讲函数与方程及函数的应用

第3讲 函数与方程及函数的应用
(推荐时间：60分钟)
一、填空题
1．(2011·福建改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的
值为________．
2．(2011·陕西)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．
根的充要条件是n ＝________.
3．函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是________．
4．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．
5．函数f (x )对一切实数x 都满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－x ，并且方程f (x )＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．
6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13
x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件． 7．若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时f (x )＝|x |，则方程f (x )＝lg|x |的解的个数为______．
8．设a >1，函数y ＝|log a x |的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0,1]，定义“区间[m ，n ]
的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值为56
，则实数a 的值为________． 9．(2011·北京)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x
， x ≥2，(x －1)3， x <2.
若关于x 的方程f (x )＝k 有两个
不同的实根，则实数k 的取值范围是________．
10．已知函数f (x )＝ln x －x ＋2有一个零点所在的区间为(k ，k ＋1) (k ∈N *)，则k 的值为________．
11．设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为____________．
二、解答题
12．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为
时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12
|t －10|(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．
13.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
(1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式；
(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？
14．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 及CD 的中点P 处，已知AB ＝20 km ，CB ＝10 km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上(含边界)，且与A ，B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km.
(1)按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO ＝θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；
②设OP ＝x (km)，将y 表示成x 的函数关系式．
(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
答 案
1．－3 2．3或4 3．a >15
或a <－1 4．2 5. 32
6．9 7．18 8．6 9．(0,1) 10．3 11．{0,3,14,30}
12．解 (1)y ＝g (t )·f (t )
＝(80－2t )·(20－12
|t －10|) ＝(40－t )(40－|t －10|)
＝⎩⎪⎨⎪⎧ (30＋t )(40－t )， 0≤t <10，(40－t )(50－t )， 10≤t ≤20.
(2)当0≤t <10时，y 的取值范围是[1 200,1 225]，
在t ＝5时，y 取得最大值为1 225；
当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600,1 200]，
在t ＝20时，y 取得最小值为600.
答 总之，第5天日销售额y 取得最大值为1 225元；第20天日销售额y 取得最小值为600元．
13．解 (1)当0<x ≤100时，p ＝60；
当100<x ≤600时，
p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .
∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x ≤600.
(2)设利润为y 元，则
当0<x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ；
当100<x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.
∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x ≤600.
当0<x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2 000； 当100<x ≤600时，
y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050，
∴当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6 050.显然6 050>2 000.
所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．
14．解 (1)延长PO 交AB 于Q ，
①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO ＝θ(rad)，则OA ＝AQ cos∠BAO ＝10cos θ
， 所以OB ＝10cos θ
. 又OP ＝10－10tan θ，
所以y ＝OA ＋OB ＋OP
＝10cos θ＋10cos θ
＋10－10tan θ， 故所求函数关系式为
y ＝20－10sin θcos θ＋10 ⎝
⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4. ②若OP ＝x (km)，则OQ ＝(10－x ) (km)，
所以OA ＝OB ＝(10－x )2＋102＝x 2
－20x ＋200.
故所求函数关系式为y ＝x ＋2x 2－20x ＋200 (0≤x ≤10)．
(2)选择函数模型①，
y ′＝－10cos θ·cos θ－(20－10sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝10(2sin θ－1)cos 2θ
， 令y ′＝0，得sin θ＝12
， 因为0≤θ≤π4，所以θ＝π6. 当θ∈⎣
⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，y ′<0，y 是θ的减函数； 当θ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤π6，π4时，y ′>0，y 是θ的增函数， 所以当θ＝π6时，y min ＝20－10×123
2
＋10＝(103＋10) (km)．
103 3 km处．
这时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边。