第二章有导体时的静电场
电磁学02静电场中的导体与介质
A q -q
-q+q
UA
q'
4 0 R0
q ' 4 0R1
q q '
4 0 R2
0
可得 q ( q) 1(9略)
例4 接地导体球附近有一点电荷,如图所示。
求:导体上感应电荷的电量
R
解: 接地 即 U0
o
感应电荷分布在表面，
l
q
电量设为:Q’（分布不均匀！）
由导体等势，则内部任一点的电势为0
选择特殊点：球心o计算电势，有：
1) Dds
S
1 (
r
1) q0内
l i mq内
V0V
1 (
r
1) limq0内 V0V
1 (
r
1)0
00 0。 40
[例2] 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为 d
表明：腔内的场与腔外(包括壳的外表面)
物理 内涵
的电荷及分布无关。
在腔内 E 腔 外表 E 腔 面外 0带
电 量 的电 体 的
二.腔内有带电体时
q
① 带电量： Q腔内 q （用高斯定理易证）
表面
23
② 腔内的电场： 不为零。
由空腔内状况决定，取决于：
*腔内电量q；
*腔内带电体及腔内壁的 几何因素、介质。
平行放置一无限大的不带电导体平板。
0 1 2 求：导体板两表面的面电荷密度。
E２ • E１ 解: 设导体电荷密度为 1、 2 ，
E0 电荷守恒： 1 + 2 = 0
(1)
导体内场强为零：E0 +E1‐E2 = 0
0 1 2 0 20 20 20
（1）、（2）解得：
第2章静电场
“立个球面”的立体角＝？ 2. “任意曲面”dS对“某点”所张的立体角 (1) 以R0为半径的“球面”
3. “立体角”的重要结论
散度方程微分形式的引出：
请注意：此处的ρ 是指自由电荷的体密度ρvf ！
（强调）散度方程
• 物理意义： 它们描述了静电场的发散性，给出了通过封闭面的 电通量与面内所围电荷量之间的关系； • 积分形式说明： 任意封闭面的电通量＝面内所围电荷总量； 电通量为0，则封闭面内不包含电荷，即面内无源; 进而说明：静电场具有通量源，即自由电荷。 • 微分形式说明： 静电场(电位移)散度＝该点处电荷体密度; 进而，静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
例2. 求电荷分布
已知真空中电场分布,求各处电荷分布的体密度. 分析: 由电场分布可知, 球对称, 电场只有径向分量； 可以直接运用散度方程求解； 仍要分球内和球外两种情况；
作业
• 试计算电荷面密度为σ 的无限大平面周围 的电场。
静电场的旋度方程
• 首先应注意，这是静电场，不是任意电场； • 积分形式: 电场沿任意闭合曲线的积分为0； C指任意闭合曲线； C自身方向与C所围曲面方向满足右手规则； 积分式即电场的环流量； • 微分形式: 静电场的旋度为0 无论在有源区还是无源区； 电荷是静电场的什么源？体密度是什么源？
真空中距离为R的两点电荷q1，q2 q1对q2的作用力，电荷量正比，距离平方反比 矢量方向：q1指向q2 真空中介电常数(Dielectric Constant)
1 12 0 8.85 10 ( F / m) 9 4 9 10
真空中静止点电荷的电场强度
q 2受到的电场力：F R, q1 , q2
总结1：
库仑定律(真空中静止电荷电场)
电磁学第三版思考题与习题解答
电磁学第三版（梁灿彬）思考题与习题解答第一章 静电场的基本规律思考题1.1答案： （1） ×,正的试探电荷； （2） √ ；（3）× 在无外场是，球面上E⃗ 大小相等。
1.2 答案： 利用对称性分析，垂直轴的分量相互抵消。
1.3答案：（1）× 没有净电荷 ；（2）×； （3）×；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×。
1.4答案：无外场时，对球外而言是正确的。
1.5答案：（1）无关 （2） 有关 （3）不能（导体球）、可以（介质球）。
场强叠加原理应用到有导体的问题时，要注意，带电导体单独存在时，有一种电荷分布，它们会产生一种电场；n 个带电导体放在一起时，由于静电感应，导体上的电荷分布发生变化，这时，应用叠加原理应将各个导体发生变化的电荷分布“冻结”起来，然后以“冻结”的电荷分布单独存在时产生的电场进行叠加。
1.6答案：（a 图） 能 ，叠加法（补偿法）； （b 图） 不能 。
1.7答案：222121q q φφφφεε-==+，；113131+ -q q φφφφεε==，；134410+0 -q φφφφε==，。
1.8答案：（1）× ；（2）×； （3）×；（4）×；（5）√；（6）×。
1.9答案：n VE en∂=-∂ ，例如匀强电场；E 大，电势的变化率就大，并非一定121122010101.+.=4424R q E dl E dl rR R R πεπεπεπε∞⎝⎰⎰.0E dl =，0n VE e n∂=-=∂。
1.14证明：设s 面上有场强平行于分量，补上另一半球后球内各点的总场强应为零，可见s 面上不能有场强的平行分量，s 面上只有场强垂直分量，故s 面上应为等势面。
习题1.2.1解：（1）设一个电量为q 1，则q 2=4q 1，由公式12204q q F r πε=可以得到： ()2122041.64 5.010q πε-=⨯解之得： q 1=±3.3×10−7(C)， q 2=1.33× 10−6(C) （2）当r=0.1时，所受排斥力为：12204q q F r πε==0.4（N ） 1.2.2解：设其中一个电荷电量为q ，则另一个电荷电量为Q -q ，由库仑力 ()2q Q q F k r -= 可知，当()220dF k Q q dq r =-=，即：2Qq = 时两电荷间的斥力最大，所以两者电量均为2Q。
工程电磁场第二章静电场小结
SK k dS
1 2
n
K qK
K 1
即
We
1 2
n
K qK
K 1
3）自有能和互有能的概念
W
1 2
n
K qK
K 1
1 2
n k 1
qkk ( qk )
1 2
n
[qkk ( qk )]
k 1
一般计算没有必要把静电能分成自有能和互有能，计算也很不方便：但 对点电荷系统，因其自有能为无穷大，无法计算，才必须分开计算！
E Exex Eyey Ezez
• 积分是对源点 (x', y', z') 进行的,计算结果是场点(x, y, z) 的函数。
点电荷群
( r ) 1 N qi C
4 0 i1 r ri'
连续分布电荷
dq : dV , dS , dl
( r ) 1
dq C
4 0 v' r r'
若无限远处为电位参考点（场源有限）上式中的C为零。
• 唯一性定理为静电场问题的多种 解法(试探解、数值解、解析解 等）提供了思路及理论根据。 不同的求解方法，其解的形式 可能不一样，唯一性定理保证 它们彼此相等且均为有效。
（5）根据唯一性定理导出的镜像法（求场量） 1)无限大导体平面的镜像法
r1
e r2
e r1
r2
上半空间的场是两个点电荷产生的， 其场强和电位分别为：
在介质分界面上电位是连续的。
1
1
n
2
2
n
介质分界面上无自由面电荷时右端为零。
② 导体（1）与理想介质（2）分界面，用电位 表示的衔接条件
第二章(静电场中的导体和介质)
§2.1导体
导体（conductor）：存在大量的可自由移动的 电荷，包括金属、电解液、等离子体、超导体。 导体放入静电场后，二者产生相互作用：导体 中的自由电荷在静电场的作用下，会重新分布； 静电场会受到导体中自由电荷的影响而发生变化。 我们这里只讨论金属导体，所得结论有的也适 用于其它导体。
一、静电平衡
E
E0
二、导体空腔
静电平衡条件下，导体空腔除了具有一般导 体的基本性质外 ，还有一些特殊的性质，分两种 情况： 1、腔内无电荷： （1）空腔的内表面不存在电荷； （2）腔内无电场； （3）腔内电位为常数。 因外部电场、电荷对腔内无影响，因此具有保 护内部空间的作用。
2、腔内有电荷： （1）导体空腔的内表面上的电荷与腔内的电 荷等值异号； （2）腔内的电场与电位分布都由腔内电荷决 定； （3）腔内表面电荷分布与腔外情况无关，整 个空间的电场和电位分布都受腔内电荷 影响； （4）将空腔外壁接地，腔外电场及电位分布 不受腔内电荷影响。
P分子 V
V 0
（2）电极化强度矢量通量 由于电介质发生极化后，在电介质的内 部或边界表面上出现极化电荷，所以电极化 强度矢量与极化电荷之间存在相互联系。 可以证明：闭合曲面的电极化强度矢量 通量等于该闭合曲面内的极化电荷的负值。
即： P dS q
S 内
（2）电极化类型： 当电介质受到外电场的作用时，要在电介质 的内部或电介质的边界上出现极化电荷，称 为电介质的极化，简称电极化。电极化有两 种类型：位移极化和取向极化。 无外场时：
有极分子 无极分子
有外场时: （a）有极分子电介质，主要是取向极化 ，也 有位移极化。 （b）无极分子介质，只有（电子）位移极化。
D o E o E o (1 )E
第二章静电场恒定电场和恒定磁场
介质中的高斯定理表示为 式中电位移矢量为
在线性的各向同性的电介质中
例2.1在空气中放入一个带电量为Q、半径为a的球体，该球体的 相对介电常数为εr。求该球体内、外任意一点的电场强度。
解（1） 球内任意一点，设到球心距离为r,做高斯面为以r为半径的球面， 如图2.2所示。
由电场的对称性可知，E和D的方向为er,所以
大小、它们之间的距离和周围的电介质，即可以不用电容器。
例2.10同心金属球与球壳系统如图2.12所示，内导体球半径为a，外导体 球壳的内外半径分别为b和c，导体球与导体球壳带有等量异号电荷，它
们之间充满相对介电常数为 r 的电介质，球外为空气。求该导体系统
的电容。
解:根据高斯定理不难求出空间各点的电场强度，设导体球和导体球壳的 带电量分别是q和-q，则导体和导体球壳之间的电场强度的大小为
电场能为
WeΒιβλιοθήκη 1 2dVv
（2） 对于多导体系统
We
1 2
dV
v
例2.12半径分别为a和b的同轴线，外加电压为U，内圆柱体电荷量为正，外圆柱 面单位长度上的电荷量与内圆柱体等值异号。如图2.16(a)所示，两电极间在θ1的 角度内填充介电常数为ε的电介质，其余部分为空气，求同轴线单位长度上储存 的电场能量。
示，求在l长度上的外电感。
图2.25例2.20用图
例2.21一个半径为a的无限长直导线，在导线均匀流过的电流为I，求这个导线
在单位长度上的内电感，如图2.26所示（设导体内部的磁导率近似为μ0）。 解:截面上的磁通并没有与全部电流I交链，而只是与一部分电流交链，交链的总 磁链为
图2.26
2. 互 有两感个回路l1和l2，如图2.27所示。
第二章 静电场中的导体和电介质：电容器的电容
P e 0 E
§2.8 电容器的电容
一.孤立导体的电容
q C V
单位：F（法拉）
C是与导体的尺寸和形状以及周围的电介质有 关,与q，V无关的常数。
1F 10 F 10 PF
6 12
例1 .求半径为R的孤立导体球的电容。
q1:q2: · :qn = C1:C2: · :Cn · · · ·
q qi (V A VB ) C i ,
i 1 i 1
n
n
n q C Ci VA VB i 1
并联电容器的总电容等 于各电容器的电容之和 2. 串联
C Ci
i 1
n
A +
VA +q –q +q –q 。
q dA udq dq C
从开始极板上无电荷直到极板上电量为Q的过 程中，电源作的功为
2 q 1 Q 1Q dq 0 qdq C C 2 C
A dA 0
Q
Q CU
U为极板上电量为Q时两板间的电势差
1 Q2 1 1 2 A CU QU 2 C 2 2
E
0
( r R1 , r R2 )
λ er 2πεr
B A
( R1 r R2 )
2
VA VB
R E dl R Edr
1
λdr R1 2πεr
R2
R2 q R2 λ ln ln 2πε R1 2πεL R1
q 2πεL C V A VB ln( R2 / R1 )
②所求的C = q/VA–VB一定与q和VA–VB无关，仅 由电容器本身的性质决定。
第二章-静电场与导体
第二章静电场与导体教学目的要求：1、深入理解并掌握导体的静电平衡条件及静电平衡时导体的基本性质，加深对高斯定理和环路定理的理解，结合应用电场线这一工具，会讨论静电平衡的若干现象，会结合静电平衡条件去理解静电感应、静电屏蔽等现象，并会利用前章的知识求解电场中有导体存在时的场强和电势分布。
2、确理解电容的概念，并能计算几种特殊形式的电容器的电容值。
3、进一步领会静电能的概念、会计算一些特殊带电导体的静电能。
4、深刻理解电场能量的概念，会计算电场能。
教学重点：1、静电场中的导体2、电容和电容器教学难点：1、静电场的唯一定理§2.1 静电场中的导体§2.2 电容和电容器§2.3 静电场的能量§2.1 静电场中的导体1、导体的特征功函数（1）金属导体的特征金属可以看作固定在晶格点阵上的正离子（实际上在作微小振动）和不规则运动的自由电子的集合。
①大量自由电子的运动与理想气体中分子的运动相同，服从经典的统计规律。
②自由电子在电场作用下将作定向运动，从而形成金属中的电流。
③自由电子的平均速率远大与定向运动速率。
（2）功函数金属表面存在一种阻止自由电子从金属逸出的作用，电子欲从金属内部逸出到外部，就要克服阻力作功。
一个电子从金属内部跑到金属外部必须作的最小功称为逸出功，亦称功函数。
2、导体的静电平衡条件（1）什么是静电感应？当某种原因（带电或置于电场中）使导体内部存在电场时，自由电子受到电场力的作用而作定向运动，使导体一侧因电子的聚集而出现负电荷布另一侧因缺少电子而有正电荷分布，这就是静电感应，分布在导体上的电荷便是感应电荷。
（2）静电平衡状态当感应电荷在导体内产生的场与外场完全抵消时，电子的定向运动终止，导体处于静电平衡状态。
（3）静电平衡条件所有场源包括导体上的电荷共同产生的电场的合场强在导体内部处处为零。
静电平衡时：①导体是等势体。
②导体外表面附近的电场强度与导体表面垂直。
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q q UO UO1 UO 2 0 4 0l 4 0 R
'
R q q l
导体空腔和静电屏蔽
导体空腔一般分为两类
腔内没有带电体 腔内有带电体
讨论两类空腔在静电平衡时的电场、电势 和电荷分布 ，只讨论达到平衡的情况 。
腔内无带电体
包围导体空腔的导体壳内表面上处处没有电荷， 电荷分布在导体外表面，空腔内处处E=0，空腔 内处处电势相等。 必然会有电力线起始于内 证明：作Gauss面如图 表面上带正电荷处，
只要 E不为零， 自由电子作定 向运动
静电平衡条件
改变电荷分 布，产生附 加场
E内 0
一般情况
导体静电平衡时的性质
电势分布
导体是一个等势体，导体表 面是等势面 证明：
导体内部E=0
U ab E d l 0
a
b
导体内部任意两点间电势差为零 ——各点等电势——等势体 ——表面为等势面
下底 侧面
ES
=0 ？
电荷分布
导体处于静电平衡时，电荷只分布在导体表面，导体内 部无电荷即e＝0（体内无未被抵消的净电荷） 证明：设导体达到静电平衡 ——E内＝0 S向P点收缩 E E d S 0 P点处 e 0
S内
面电荷密度与曲率半径的关系 表面具体的电荷分布？很复杂 （形状、周围情况） 孤立导体表面的电荷密度与曲率之间并不存在单一 的函数关系。
Q cos 0 2 4 0 r 2 0 1
Q cos Q a 2 r 2 2 r 3
感应电荷在Q处产生的场强
dE 1 ( 2d ) 1 a Q a cos 2 d ( 3) 2 3 40 r 40 r 2 r
r1 Q1
U1 U2 1 Q1 4 0 r1 1 Q2 4 0 r2
r2 Q2
Q1 1 4r12 r2 Q 2 r1 2 4r22
Q1 Q2 r1 r2
[例3]. 在一块无限大的接地导体板附近有一点电荷Q，
求：1）、导体板上的电荷分布；2）导体板对Q的作用力
感应电荷面密度
静电场中的导体
内层电子
价电子
物质的电结构
单个原子的电结构
受外层电 子的屏蔽 在原子中 结合得比 较紧
原子内部壳 层的电子 一般都填满了 每一个壳层
填充在最外层的电子与核的结合较弱，容易摆脱原子 核的束缚——称为价电子——自由电子
金属的Drude自由电子气模型
虽然所有固体都包含大量电子，但导电性能差异很大
S内
q 0 q x x q
静电屏蔽
空 腔 提 供 了 一 个 静 电 屏 蔽 的 条 件
不论导体壳本 身是否带电， 还是外界是否 存在电场 , 腔 内和导体壳上 都无电场
在静电平衡状态下
起到了保 护所包围 区域的作 用，使其 不受导体 壳外表面 上电荷分 布以及外 界电场的 作 用 —— 静电屏蔽
1 a 2Q 1 2 d d a Q 40 r 6 4 0 ( 2 a 2 )3
E
0
Q aQ 2 4 0 ( a 2 )3 4 0 4a 2
2
1
d
1
Q2 1 Q2 f 2 4 0 4a 4 0 (2a) 2 1
Q
Q’
S ( 1 2) Q
S ( 3 4) Q
2 3 (Q Q) / S
1 2
1 2 3 4
A B
1 1 4 (Q Q) / S 2
Q Q
1 4 =0
Q 2 3 S
例2. 两球相距很远，今用一根细导线把它们相连，求它 们表面的电荷面密度之比。
雷击对地面上突出物体（尖端）的破坏性最大； 高压设备尖端放电漏电等。 避雷针 高压输电中，把电极做成光滑球状 范德格拉夫起电机的起电原理就是利用尖端放电使起 电机起电； 场离子显微镜（FIM）、场致发射显微镜(FEM)乃至扫 描隧道显微镜(STM)等可以观察个别原子的显微设备 的原理都与尖端放电效应有关； 静电复印机的也是利用加高电压的针尖产生电晕使硒 鼓和复印纸产生静电感应，从而使复印纸获得与原稿 一样的图象。
S内
E
E d S 0
内表面不是等势面 ——导 体也不是等势体 ，矛盾
S面内 q 0
内表面电荷代数和为零? 内表面无电荷
q 0
e内 0
空腔内部有带电体 q
导体内表面上所带电荷与腔内电荷的代数 和为零 证明：作Gauss面如图
E内＝0 E E d S 0
孤立导体电荷分布 有以下定性规律
大） 大 E大 表面凸出尖锐处（曲率 e 表面较平坦处（曲率小 ） 小 E小 负） 更小 E更小 表面凹进去处（曲率为
尖端放电：
如果场强大到 可以使其周围 空气电离—— “尖端放电”。
尖端放电及其应用
危害：
q 2 d Q
0
例4 在一个接地的导体球附近有一个电量为q的点 电荷.已知球的半径为R，点电荷到球心的距离为l. 求导体球表面感应电荷的总电量q′.
解： U O1
q 4 0l
' 'dS 1 q ' UO 2 S 40 R 40 R S dS 40 R
不论导体壳本身 是否带电，还是 外界是否存在电 场 ,都不影响腔内 的场强分布
外 无影响 内 外 内 有影响
若外壳接地，内、 外均无影响
应用实例：
图2.11 范德格拉夫起电机示意图
图2.10 范德格拉 夫起电机展示图
[例1].两块导体平板平行放置，所带电量分别为Q和 Q ,导体 平行板的面积S，且视为无限大的板。试求四个板上的电荷密度。
1 EA ( 1 2 3 4 ) 0 2 0 1 EB ( 1 2 3 4 ) 0 2 0
导体：
• 导体中存在着大量的自由电子 • 电子数密度很大，约为1022个/cm3
绝缘体
• 基本上没有参与导电的自由电子
半导体
• 半导体中自由电子数密度较小， • 约为 1012～1019个/cm3
静电平衡条件
E内 E0 E'
两者大小相等， 方向相反—— 完全抵消—— 达到静电平衡
导体刚放入 匀强电场中
场强分布
E内 0
表 面 附 近E ： 表 表面 表面是等势 面，处处与电力 线正交 ？
e S E E d S qi 0 S内 0 S
1
上底
E d S E d S E d S ES