2014-2015年河南省南阳市高二上学期数学期中试卷及参考答案(文科)
河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中质量评估数学(文)试题 扫描版含答案
高二文科数学参考答案与评分标准1选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C B A B A B AD B D D C二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．2 14. 15. 16. 417.解：（Ⅰ）设等差数列的公差．因为，所以解得．所以． .........................................5分（Ⅱ）设等比数列的公比为．因为，所以，即．所以的前项和公式为．.................................10分18.（1），不等式的解集是，所以的解集是，所以是方程的两个根，由韦达定理知，. 厖..................................................5分（2）恒成立等价于恒成立,所以的最大值小于或等于.设，则由二次函数的图象可知在区间为减函数，所以，所以. ..........................................12分19. （本题满分12分）（Ⅰ）由正弦定理，得，因为，解得，． 4分（Ⅱ）由，得，整理，得．若，则，，，的面积． (8)分若，则，．由余弦定理，得，解得．的面积．综上，的面积为或． (12)分20.解：由题意得，，∵∴由题设中的限制条件得于是得约束条件目标函数………６分做出可行域（如图），当平行移动到过（10，4）点时纵截距最大，此时最小.所以当，即时，元……１２分（没有图扣２分）21．（本题满分12分）解（1）证明：∵A、B、C成等差数列，∴B=600， --------------------------2分又∆ABC的面积为，∴，∴ac=4 -----------------------5分∴a、2、c成等比数列 -----------------------------6分（2）在∆ABC中，根据余弦定理，得b2=a2+c2-2accos600=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4，∴b≥2, 当且仅当a=c时，等号成立 ------------------9分∴∆ABC的周长L=a+b+c≥=.当且仅当a=c时，等号成立∴, 当且仅当a=c时，等号成立∴∆ABC周长的最小值为6，因为a=c，B=600，此时∆ABC为等边三角形. -----------------12分22. （Ⅰ）所以数列为以3为首项，以1为公差的等差数列，........................................3分（Ⅱ） (7)分（Ⅲ）当时当时 (12)分。
河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中质量评估数学(理)试题(扫描版)
高二数学（理）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBBBACACBCDA二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．[)2,3 14. 2213+15. 20(62)- 16. 2nn ∙ 17.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d ． 因为3660a a =-=，， 所以112650.a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得1102a d =-=，．所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-． ------------5分（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为21231248b a a a b =++=-=-，，所以824q -=-，即3q =．所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==--．-----------10分 18. 解：（Ⅰ）2()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5，所以的解集是()0,5，所以是方程的两个根，由韦达定理知， 2()210f x x x =-. ------------5分（Ⅱ）()2f x t +≤ 恒成立等价于021022≤-+-t x x 恒成立,设2()2102g x x x t =-+-，则()g x 的最大值小于或等于则由二次函数的图象可知2102)(2-+-=t x x x g 在区间]1,1[-为减函数，所以t g x g +=-=10)1()(max ，所以10t ≤-. -----------12分19. 解:（Ⅰ）证明：∵A、B 、C 成等差数列，∴B =600，220x bx c ++<05和220x bx c ++=5,0,10,0,22b cb c -==∴=-=又∆ABC 的面积为3，∴360sin ac 210=，∴ac=4 ∴a、2、c 成等比数列 --------------------------4分 （Ⅱ）在∆ABC 中，根据余弦定理，得 b 2=a 2+c 2-2accos600=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac=4，∴ b≥2, 当且仅当a=c 时，等号成立 ----------------8分 ∴∆ABC 的周长L =a+b+c≥b ac 2+=4b +.当且仅当a=c 时，等号成立 ∴426L ≥+=, 当且仅当a=c 时，等号成立 ∴∆ABC 周长的最小值为6，因为a=c ，B=600，此时∆ABC 为等边三角形. -----------------12分 20.解：由题意得，1300v x =，250v y =∵1230100,,420v v ≤≤≤≤ ∴525310,22x y ≤≤≤≤由题设中的限制条件得149≤+≤y x于是得约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤22525103149y x y x目标函数y x y x p 23131)8(2)5(3100--=-+-+= ………６分做出可行域（如图），（没有图扣２分） 当223,23zx y y x z +-=+=即平行移动到过（10，4）点时纵截距最大，此时p 最小. 所以当4,10==y x ，即5.12,3021==v v 时，93min =p 元 ……１２分 21．（Ⅰ）由正弦定理，得sin sin 3sin cos C A A C =，因为sin 0A ≠，解得tan 3C =，3C π=． ……… 4分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得2sinsin(2)3sin 233A A ππ+-=， 即331cos 2sin 23sin 2222A A A ++=． 35(1cos 2)sin 222A A += 23cos 5sin cos A A A = ……… 8分若cos 0A =，则2A π=，tan 3c b π=，213b =， ABC ∆的面积17326S bc ==．若cos 0A ≠，则3cos 5sin A A =，5721cos ,sin ,1414A A == 由正弦定理，得1a =． 321sin sin()14B A C =+=， ABC ∆的面积133sin 24S ac B ==． 综上，ABC ∆的面积为736或334． ……… 12分解法二：由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=，整理，得sin cos 3sin cos B A A A =． 若cos 0A =，则2A π=，tan 3c b π=，213b =， ABC ∆的面积17326S bc ==．……… 8分若cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =．由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得1,3a b ==．ABC ∆的面积133sin 24S ab C ==．综上，ABC ∆的面积为736或334． ……… 12分22. （Ⅰ）12311232n n n a a a na a +++++⋅⋅⋅+=，n N *∈① 123123(1)2n n na a a n a a -∴+++⋅⋅⋅+-=，2n ≥②①-②：1122n n n n n na a a ++=-，13122n n n n a a ++∴=， ……… 2分 即1(1)3n n n a na ++=⨯（2n ≥），又由①得n=1时，121a a ==222a ∴=，2n ∴≥时，数列{}n na 是以2为首项，3为公比的等比数列.223(2)n n na n -∴=⋅≥，故21,123,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩ ……… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当2n ≥时，2223n n n a n -=⋅，∴当1n =时，11T =；当2n ≥时,0121436323n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅,①12213343632(1)323n n n T n n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅,②①-②得，1221222(333)23n n n T n ---=+++⋅⋅⋅+-⋅=1123323n n n ---+-⋅ =11(12)3n n --+-⋅111()3(2)22n n T n n -∴=+-≥，又11T =也满足 111()3()22n n T n n N -*∴=+-∈ ……… 8分（Ⅲ）()11nn a a n n λλ≤+⇔≥+，由（Ⅰ）可知： 当2n ≥时，()2231n n n λ-⋅≥+，令()()2231n f n n n -⋅=+，则()()()()()1211233112232n n f n n n nf n n n n --++⋅=⋅=>++⋅+， 又()0f n >，∴()()1f n f n +>∴当2n ≥时，()f n 单增，∴()f n 的最小值是()123f = 而1n =时，11112a =+，综上所述，1n a n +的最小值是13 ∴13λ≥，即λ的最小值是13……… 12分。
河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)-Word版含解析
河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．B．D．C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）设函数f（x）=bsinx的图象在点A（，f（））处的切线与直线x﹣2y+3=0平行，若a n=n2+bn，则数列{}的前2014项和S2014的值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知（x，y）满足，则k=的最大值等于（）A．B．C．1D．7．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在f（x）上是增函数C． f（x）是周期函数 D． f（x）的值域为时，f（x）=2x﹣1．（1）求f（x）在的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．B．D．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）复数z1=3+i，z2满足z1•z2=4﹣2i（i为虚数单位），则z2在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：∵z1=3+i，z2满足z1•z2=4﹣2i，∴z2====1﹣i所对应的点（1，﹣1）在第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．（5分）各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（）A．4B．3C．2D．1考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用a4•a14=（a9）2，各项为正，可得a9=2，然后利用对数的运算性质，即可得出结论．解答：解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，∴a4•a14=（2）2=8，∵a4•a14=（a9）2，∴a9=2，∴log2a7+log2a11=log2a7a11=log2（a9）2=3，故答案为：3．点评：本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算性质，属基础题．4．（5分）已知向量的模为2，=（1，﹣2），条件p：向量的坐标为（4，2），条件q：⊥，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义，结合向量垂直和坐标之间的关系，即可得到结论．解答：解：若向量的坐标为（4，2），则•=4﹣2×2=4﹣4=0，此时⊥，即充分性成立．若⊥，设=（x，y），则x﹣2y=0，即x=2y，∵向量的模为2，∴x2+y2=20，由，解得或，即=（4，2）或（﹣4，﹣2），即必要性不成立，故p是q的充分不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用向量之间的关系是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）设函数f（x）=bsinx的图象在点A（，f（））处的切线与直线x﹣2y+3=0平行，若a n=n2+bn，则数列{}的前2014项和S2014的值为（）A．B．C．D．考点：数列的求和；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：求函数的导数，利用导数的几何意义，求出b的值，然后利用裂项法即可求出数列的前n项和．解答：解：∵f（x）=bsinx，∴f′（x）=bcosx，则f′（）=bcos=，∵图象在点A（，f（））处的切线与直线x﹣2y+3=0平行，∴切线斜率k==，解得b=1．∴a n=n2+bn=a n=n2+n=n（n+1），则==﹣，∴数列{}的前2014项和S2014的值为1﹣=1﹣，故选：D．，点评：本题主要考查数列和的计算，根据导数的几何意义求出b=1是解决本题的关键，求出数列的通项公式，利用裂项法是解决本题的突破．6．（5分）已知（x，y）满足，则k=的最大值等于（）A．B．C．1D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，则k的几何意义为点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率，利用数形结合即可得到结论．解答：解：k的几何意义为点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象可知AB的斜率最大，其中B（0，1），此时k=，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的突破．7．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在f（x）上是增函数C． f（x）是周期函数 D． f（x）的值域为，当x＞0时，值域为（1，+∞），∴函数的值域为，由此可得函数g（x）=sin2x=f（x﹣），∴将函数f（x）的图象右移个单位，即可得到g（x）=sin2x的图象．故选：A点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，确定其解析式并讨论函数图象的平移．着重考查了三角函数的图象与性质、函数图象平移公式等知识，属于中档题．9．（5分）定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x）恒成立，a=f （2），b=f（3），c=（+1）f（），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a考点：利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题；导数的概念及应用．分析：根据x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x），可得g（x）=在（1，+∞）上单调增，由于，即可求得结论．解答：解：∵x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x）∴f′（x）（x﹣1）﹣f（x）＞0∴′＞0∴g（x）=在（1，+∞）上单调增∵∴g（）＜g（2）＜g（3）∴∴∴c＜a＜b故选A．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，确定函数的单调性是关键．10．（5分）若正数x，y满足+=5，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5D．6考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：将条件+=5进行转化，利用基本不等式的解法即可得到式子的最小值．解答：解：由于正数x，y满足+=5，则3x+4y=（3x+4y）（）=++≥+2+2×=5，当且仅当=，即y=2x，即+=，∴x=，y=时取等号．故3x+4y的最小值是5，故选：C点评：本题主要考查基本不等式的应用，将条件进行转化，利用1的代换是解决本题的关键．11．（5分）已知O为△ABC内任意的一点，若对任意k∈R有|﹣k|≥||，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定考点：三角形的形状判断．专题：计算题；数形结合．分析：根据题意画出图形，在边BC上任取一点E，连接AE，根据已知不等式左边绝对值里的几何意义可得k=，再利用向量的减法运算法则化简，根据垂线段最短可得AC与EC垂直，进而确定出三角形为直角三角形．解答：解：从几何图形考虑：|﹣k|≥||的几何意义表示：在BC上任取一点E，可得k=，∴|﹣k|=|﹣|=||≥||，又点E不论在任何位置都有不等式成立，∴由垂线段最短可得AC⊥EC，即∠C=90°，则△ABC一定是直角三角形．故选A点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：平面向量的减法的三角形法则的应用，及平面几何中两点之间垂线段最短的应用，利用了数形结合的思想，要注意数学图形的应用可以简化基本运算．12．（5分）已知曲线方程f（x）=sin2x+2ax（a∈R），若对任意实数m，直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，+∞）D．a∈R且a≠0，a≠﹣1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先将条件“对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”转化成f'（x）=﹣1无解，然后求出2sinxcosx+2a=﹣1有解时a的范围，最后求出补集即可求出所求．解答：解：∵对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线∴曲线y=f（x）的切线的斜率不可能为﹣1即f'（x）=2sinxcosx+2a=﹣1无解∵0≤sin2x+1=﹣2a≤2∴﹣1≤a≤0时2sinxcosx+2a=﹣1有解∴对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是a＜﹣1或a＞0故选B．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及转化的数学思想，解题的关键是对条件“对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”的理解，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）如果log a4b=﹣1，则a+b的最小值为1．考点：对数的运算性质；基本不等式．专题：计算题．分析：由给出的对数等式得到a，b均为正数，且ab=，然后直接利用基本不等式求最值．解答：解：由log a4b=﹣1，得：a＞0，b＞0，，即ab=．所以a+b．当且仅当a=b=时上式取“=”．所以a+b的最小值为1．故答案为1．点评：本题考查了对数的运算性质，考查了利用基本不等式求最值的方法，利用基本不等式求最值，要注意“一正、二定、三相等”，此题是基础题．14．（5分）O为△ABC所在平面内的一点，若，则O必是△ABC的重心．（填写“内心”、“重心”、“垂心”、“外心”之一）考点：三角形五心．专题：计算题；平面向量及应用．分析：取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD 于是四边形BOCE是平行四边形，由条件和共线向量定理，即可得到AD为中线，同理延长BO交AC于F，则F也为中点，即可得到O是重心．解答：解：取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD 于是四边形BOCE是平行四边形，∵=，又，∴==2，∴A，O，D，E四点共线，即AD是中线，同理延长BO交AC于F，则F也为中点，∴O是重心．故答案为：重心点评：本题考查平面向量的运用，考查向量加法的平行四边形法则，同时考查三角形的重心定义，属于中档题．15．（5分）已知正项数列{a n}中，a1=1，a2=，（n≥2），则a6=．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由题设知﹣=﹣，可知数列{}为等差数列，首项为1，公差d=﹣=4﹣1=3，故=3n﹣2，继而求出a6，解答：解：∵a1=1，a2=，（n≥2），∴﹣=﹣，∴数列{}为等差数列，首项为1，公差d=﹣=4﹣1=3，∴=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴=16，∵{a n}正项数列，∴a6=，故答案为：点评：本题考查数列的递推式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意等比数列的性质和应用．16．（5分）给出下列四个命题：①∀x∈R，e x≥ex；②∃x0∈（1，2），使得（x02﹣3x0+2）e x0+3x0﹣4=0成立；③在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形；④已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c，对角线长为l，则l3＞a3+b3+c3；其中正确命题的序号是①②③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；解三角形；简易逻辑．分析：①，令f（x）=e x﹣ex，利用导数可求得当x=1时，f（x）=e x﹣ex取得极小值，也是最小值，从而可判断①；②，依题意得：e x0==，易判断当＜x＜2时，e x0＞0，从而判断②；③在△ABC中，依题意，利用两角和的正切公式可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＞0，可判断③；④画出长方体，标出数据，利用作差法可判断④．解答：解：①，令f（x）=e x﹣ex，则f′（x）=e x﹣e，当x≥1时，f′（x）≥0，f（x）=e x﹣ex在即2sinωxcosϕ=0恒成立∴cosϕ=0，又∵0≤ϕ≤π，∴（3分）又其图象上相邻对称轴之间的距离为π∴T=2π∴ω=1∴f（x）=cosx（6分）（II）∵原式=（10分）又∵，∴（11分）即，故原式=（12分）点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题．18．（12分）设曲线f（x）=x2+1和g（x）=x3+x在其交点处两切线的夹角为θ，求cosθ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出两曲线的交点，再分别求得导数及切线的斜率，求得切线方程，再由两直线的方向向量，运用夹角公式，即可得到所求值．解答：解：由，得x3﹣x2+x﹣1=0，即（x﹣1）（x2+1）=0，∴x=1，∴交点为（1，2）．又f'（x）=2x，∴f'（1）=2，∴曲线y=f（x）在交点处的切线l1的方程为y﹣2=2（x﹣1），即y=2x，又g'（x）=3x2+1．∴g'（1）=4．∴曲线y=g（x）在交点处的切线l2的方程为y﹣2=4（x﹣1），即y=4x﹣2．取切线l1的方向向量为，切线l2的方向向量为，则．点评：本题考查导数的运用：求切线方程，同时考查两直线的夹角问题，考查运算能力，属于中档题．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．考点：余弦定理；等比数列的性质；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，又a，b，c 成等比数列，根据等比数列的性质及正弦定理化简得到一个关系式，然后把所求的式子利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简后，将得到的关系式和sinB的值代入即可求出值；（Ⅱ）根据平面向量的数量积得运算法则及cosB的值化简•=，即可得到ac的值，进而得到b2的值，然后由余弦定理和完全平方公式，由b2和ac及cosB的值，即可得到a+c的值．解答：解：（Ⅰ）由，由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC．于是=．（6分）（Ⅱ）由．由余弦定理：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，又b2=ac=2，cosB=，得a2+c2=b2+2ac•cosB=2+4×=5，则（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，解得：a+c=3．（12分）点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简求值，灵活运用余弦定理及等比数列的性质化简求值，是一道中档题．20．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a n2=2S n﹣a n，其中S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3n+（﹣1）n﹣1•λ•2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有b n+1＞b n成立．考点：数列与函数的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知得，当n≥2时，，两式相减得，由此能求出．（Ⅱ）由已知得要使得b n+1＞b n恒成立，只须，由此能推导出λ=﹣1对所有的n∈N*，都有b n+1＞b n成立．解答：解：（Ⅰ）∵n∈N*时，，…①当n≥2时，，…②…（2分）由①﹣②得，即，∵a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1=1（n≥2），…（4分）由已知得，当n=1时，，∴a1=1．…（5分）故数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．∴．…（6分）（Ⅱ）∵，∴，…（7分）∴=2×3n﹣3λ•（﹣1）n﹣1•2n．要使得b n+1＞b n恒成立，只须．…（8分）（1）当n为奇数时，即恒成立．又的最小值为1，∴λ＜1．…（9分）（2）当n为偶数时，即恒成立．又的最大值为，∴…（10分）∴由（1），（2）得，又λ≠0且λ为整数，…（11分）∴λ=﹣1对所有的n∈N*，都有b n+1＞b n成立．…（12分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有bn+1＞bn成立，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．21．（12分）已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈时，f（x）=2x﹣1．（1）求f（x）在，运用已知表达式，以及奇函数的定义，即可得到所求表达式；（2）由f（x+4）=f（x），则f（x）是以4为周期的周期函数，将f（24）的自变量运用周期转化到（﹣1，0）的区间，再代入，即可得到所求值．解答：解：（1）令x∈，∴f（﹣x）=2﹣x﹣1．又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，∴．（2）∵f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，∴，∴，∴．点评：本题考查函数的奇偶性及运用：求解析式，考查函数的周期性及运用：求函数值，考查运算能力，属于中档题．22．（12分）设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：（1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0．（2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值．解答：解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2af（x）在存在单调递增区间∴f′（x）＞0在有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为∴递减∴解得．（2）当0＜a＜2时，△＞0；f′（x）=0得到两个根为；（舍）∵∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）当x=4时最小∴=解得a=1所以当x=时最大为点评：本题考查利用导函数求参数的范围、利用导函数求函数的单调性、求函数的最值．。
河南省南阳市高二数学上学期期中质量评估试题 文(扫描
勘误：22题（Ⅰ）为：求首项a12015年南阳市秋期期中考试高二数学试题答案（文）一.选择题：DACCD BACAD CA 二.填空题：13.81 14. 2- 15. 8116. 43三.解答题：17.解：（1）由题意得a n ＝3n-1………………………………2分 由数列{}n b 满足b 1＝s 1＝3 …………………………3分 当n ≥2时，b n ＝s n －s n －1＝2n ＋1∴b n ＝2n ＋1（n ∈N ＋） ……………………………………6分（2）由（1）得c n ＝（2n ＋1）·3n －1∴Tn ＝3＋5·3+7·32＋…＋（2n －1）·3n －2＋（2n ＋1）·3n －1①∴3Tn ＝ 3·3＋5·32＋…＋ （2n －1）·3n －1＋（2n ＋1）·3n②①－② －2Tn ＝－2n ·3n∴Tn ＝n ·3n………………………………………10分 18.（1）由题意得a ＜0，且31，21是方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+ac a21·3152131 解得⎩⎨⎧-=-=16c a ………………………………………4分 （2）由（1）知原不等式可化为－6x 2＋（6＋b ）x －b ≥0， 即（6x －b ）（x －1）≤0 ………………………6分 ①当6b ＞1，即b ＞6时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤61 b x x ……………8分 ②当6b＝1，即b ＝6时，原不等式的解集为{}1=x x ……………………………10分 ③当6b＜1，即b ＜6时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤16x b x …………12分 19. (本小题共12分)解：（1） 由B a b sin 23=⇒2sin sin B A B =⇒sin 2A =,又A 是锐角， 所以60A =︒ ………………………………………………6分 （2）由面积公式1sin 2S bc A ===40bc ⇒=，………8分又由余弦定理：2222cos 4913a b c bc A b c =+-=⇒+=…………………………12分20.…………………………………12分21.（22）解：（I ）由Λ,3,2,1 ,32231341=+⨯-=+n a S n n n ① …………………6分…………………6分…………………12分得 3243134111+⨯-==a S a 所以 a 1=2 ………………………………4分（Ⅱ）再由①有 Λ,3,2 ,322313411=+⨯-=--n a S n n n ② 将①和②相减得 Λ,3,2 ),22(31)(34111=-⨯--=-=+--n a a S S a nn n n n n n整理得 Λ,3,2 ),2(4211=+=+--n a a n n n n ，因而数列}2{nn a +是首项为a 1+2=4，公比为4的等比数列，……………………8分 即nn n n a 44421=⨯=+-，n=1，2，3，…，因而 ,24nn n a -= n=1，2，3，…， ………………………………………12分。
河南省南阳市2015-2016学年高二上学期期终质量评估数学(文)试题(扫描版)
2015年秋期高中二年级期终质量评估数学试题（文）参考答案一、选择题1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C 7．A 8. D 9. B 10．D 11．A 12．C二、填空题13．7 14．1 15．16. 1(,1)4三、解答题17．解析：(1)设等差数列{}n a 的公差为d,则1(1)n a a n d =+-因为719942a a a =⎧⎨=⎩,所以11164182(8)a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩. 解得,111,2a d ==. ……………4分所以{}n a 的通项公式为12n n a +=.…………5分 (2)1222(1)1n n b na n n n n ===-++, ……7分 所以2222222()()()122311n n S nn n =-+-++-=++ . …………10分 18．解析：(1)由已知条件得cos 2A ＋3cos A ＝1，∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，………4分解之得cos A ＝12 (cos A ＝－2舍去)，由000180A <<得A ＝60°,∴角A 的大小为60°……6分(2)由面积公式S ＝12bcsin A ＝53，及b ＝5得c ＝4.………………………………8分根据余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccos A 得a 2＝21.又因为正弦定理中a sin A ＝2R ，所以(2R)2＝a 2sin 2A ＝28.………………………………10分由正弦定理可得sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，∴sin Bsin C ＝bc 4R 2＝57.∴sin Bsin C 的值为57.………………………12分19．解析：(1)若a ＝1，则f(x)＝3x －2x 2＋ln x ，该函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x －4x ＋3＝－4x 2＋3x ＋1x ＝－(4x ＋1)(x －1)x (x>0)．………………2分当x ∈(0,1)，f ′(x)>0时，函数f(x)＝3x －2x 2＋ln x 单调递增． 当x ∈(1，＋∞)，f ′(x)<0时，函数f(x)＝3x －2x 2＋ln x 单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．……………6分 (2)f ′(x)＝3a －4x ＋1x，若函数f(x)在区间[2,4]上为单调递增函数，即在区间[2,4]上，f ′(x)＝3a －4x ＋1x ≥0，即3a －4x ＋1x ≥0在[2,4]上恒成立．………8分即3a ≥4x －1x . 令h(x)＝4x －1x ，因为函数h(x)在[2,4]上单调递增， 所以()()max 6344h x h ==， 即3a ≥634，…………10分 解之得4021a <≤,∴实数a 的取值范围为4|021a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.…………………………………………12分20．解析：(1)∵F(1,0)，∴直线l 的方程为y ＝2(x －1），…………………………1分设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由22(1)4y x y x =-⎧⎨=⎩得x 2－3x ＋1＝0，………3分 ∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1. …………4分 ∴|AB|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 25. ∴|AB|的大小为5………………6分 (2)证明：设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由214x my y x=+⎧⎨=⎩得y 2－4my －4＝0. ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4…………10分 OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＋y 1y 2 ＝m 2y 1y 2＋m(y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4m 2＋4m 2＋1－4＝－3.∴OA →·OB →是一个定值．……………12分 21. 解析：(1)f ′(x)＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a.曲线y ＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a＝－1，所以a ＝2 …………………4分(2)证明：由(1)知，f(x)＝x 3－3x 2＋2x ＋2. 设g(x)＝f(x)－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(2－k)x ＋4.由题设知2－k>0. 当x ≤0时，g ′(x)＝3x 2－6x ＋2－k>0，g(x)单调递增， g(－1)＝k －2<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根． …………………8分 当x>0时，令h(x)＝x 3－3x 2＋4， 则g(x)＝h(x)＋(2－k)x>h(x)．h ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增， 所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根． ………………………………………11分 综上，g(x)＝0在R 有唯一实根，即曲线y ＝f(x)与直线y ＝kx －2只有一个 交点． ……………………………………………………………………12分 22．解析：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，F(c,0)，则c ＝1，因为AF →·FB →＝(a ＋c)(a －c)＝a 2－c 2＝1，所以a 2＝2，b 2＝1，则椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.……………………………4分(2)假设存在直线l 符合题意，由题意知k MF ＝1－00－1＝－1，故可设直线l 的方程为：y ＝x ＋n ， 代入x 22＋y 2＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－2＝0，则Δ＝16n 2－24(n 2－1)＞0，解得n 2＜3. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－43n ，x 1x 2＝2n 2－23， …………………………………………8分FP →·MQ →＝(x 1－1，y 1)·(x 2，y 2－1)＝(x 1－1)x 2＋(y 2－1)y 1＝2x 1x 2＋(n －1)(x 1＋x 2)＋n 2－n ＝0，即3n 2＋n －4＝0，……………………………………………………………………10分解得n ＝1或n ＝－43，当n ＝1时，P 或Q 与M 重合，所以n≠1，所以n ＝－43.所以满足题意的直线l 存在，其方程为：y ＝x －43.………………………………12分。
高中数学必修五测试题 高二文科数学(必修五)
2014—2015学年度第一学期期中考试高二文科数学试题（A ）（必修五）一、选择题（每题5分，共10小题）1．设a 、b 、c 、d∈R,且a ＞b,c ＞d,则下列结论正确的是（ ） A ．a+c ＞b+dB ．a-c ＞b-dC ．ac ＞bdD ．a d ＞b c211两数的等比中项是（ ） A ．2B ．-2C ．±2D ．以上均不是3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是（ ） A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°4．数列{a n }中，2n a 2n 29n 3=-++，则此数列最大项的值是（ ）A ．103B ．11088C ．11038D ．1085．若△ABC 的周长等于20，面积是BC 边的长是 （ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+（-1）n（n≥2,n∈N *）,则35a a 的值是（ ） A ．1516B ．158C ．34 D ．387．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cosA ＞sinB ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形8．在等差数列{a n }中，2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=24,则此数列的前13项之和等于（ ） A ．13B ．26C ．52D ．1569．数列222222235721,,,,122334(1)n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯+的前n 项的和是 （ ）A ． 211n-B ．211n+C ．211(1)n ++ D ．211(1)n -+ 10．已知不等式（x + y ）（1x + ay）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每题5分，共5小题） 11．数列{a n }的通项公式a n =1n n ++,则103-是此数列的第 项．12． 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________．13． 已知点（x,y ）满足x 0y 0x y 1≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则u=y-x 的取值范围是_______．14．如图，在四边形ABCD 中，已知AD⊥CD，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC 的长为______． 15．在△ABC 中，给出下列结论：①若a 2>b 2+c 2,则△ABC 为钝角三角形; ②若a 2=b 2+c 2+bc,则角A 为60°; ③若a 2+b 2>c 2,则△ABC 为锐角三角形； ④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3． 其中正确结论的序号为 ． 三、解答题（共6小题，共75分）16．（12分）已知不等式ax 2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}． （1）求a,b ．（2）解不等式ax 2-（ac+b ）x+bc<0．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝3a cos B．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n=2a n-2n．（1）求a3，a4; （2）证明：{a n+1-2a n}是等比数列；（3）求{a n}的通项公式．19．（12分）设函数()cosfθθθ=+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x,y），且0≤θ≤π．（1）若点P的坐标为12⎛⎝⎭，求f（θ）的值;（2）若点P（x,y）为平面区域Ω:1,1,1x yxy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．20．（13分）某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15-0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的 利润＝售价-供货价格，问：（1）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ （2）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数1247,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和，且1151,15b a S ===（1）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知916a =，求50a 的值； （2）设122111n n n nT S S S ++=++⋅⋅⋅+，求n T ．参考答案1．设a 、b 、c 、d∈R,且a ＞b,c ＞d,则下列结论正确的是（ ） （A ）a+c ＞b+d （B ）a-c ＞b-d （C ）ac ＞bd （D ）a d ＞b c1．【解析】选A ．由不等式的可加性可知a+c ＞b+d, 而当a=2,b=1,c=-2,d=-3时，B 不一定成立， C ，D 中a 、b 、c 、d 符号不定，不一定成立． 2．11两数的等比中项是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．以上均不是2．【解析】设等比中项为x ，则x 2=1）1）=4．所以x=±2．故应选C ．答案:C3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是（ ） （A ）90° （B ）120° （C ）135° （D ）150°3．【解析】选B ．设三边长为5x,7x,8x ，最大的角为C ，最小的角为A ．由余弦定理得：()()()2225x 8x 7x 1cosB ,25x 8x2+-==⨯⨯所以B=60°,所以A+C=180°-60°=120°．4．数列{a n }中，2n a 2n 29n 3=-++，则此数列最大项的值是（ ）（A ）103 （B ）11088 （C ）11038（D ）108 4．【解析】选D ．根据题意结合二次函数的性质可得：22n 229a 2n 29n 32(n n)322929292(n )3.48=-++=--+⨯=--++∴n=7时，a n =108为最大值．5．若△ABC 的周长等于20，面积是103,A=60°,则BC 边的长是 （ ） A ．5B ．6C ．7D ．85．解析：由1sin 2ABC S bc A ∆=得1103sin 602bc =︒，则bc=40．又a+b+c=20,所以b+c=20-a ．由余弦定理得()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-, 所以()2220120a a =--,解得a=7．答案：C6．在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+（-1）n（n≥2,n∈N *）,则35a a 的值是（ ） （A ）1516 （B ）158 （C ）34 （D ）386．【解析】选C ．当n=2时，a 2·a 1=a 1+（-1）2，∴a 2=2； 当n=3时，a 3a 2=a 2+（-1）3，∴a 3=12； 当n=4时，a 4a 3=a 3+（-1）4，∴a 4=3；当n=5时，()5354455a 23a a a 1a .3a 4=+-∴=∴=，， 7．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 7．解析：cos sin()sin ,,22A AB A B ππ=->-都是锐角，则,,222A B A B C πππ->+<>，选C ．答案：C8．在等差数列{a n }中，2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=24,则此数列的前13项之和等于（ ） （A ）13 （B ）26 （C ）52 （D ）1568．【解析】选B ．∵2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=6a 4+6a 10=24,∴a 4+a 10=4．()()1134101313a a 13a a S 26.22++∴===9．数列222222235721,,,,122334(1)n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯+的前n 项的和是 （ ）A ． 211n -B ． 211n +C ． 211(1)n ++D ． 211(1)n -+9．解析：因为22222111,(1)(1)n n a n n n n +==-++所以数列的前n项和2222222221111111111.1223(1)1(1)(1)n S n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=-+++ 答案：D10．已知不等式（x + y ）（1x + ay ）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．810．解析：不等式（x +y ）（1ax y+）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1y axa x y+++≥1a +≥24（舍去），所以正实数a 的最小值为4，选B ． 答案：B11．数列{a n }的通项公式a n是此数列的第 项．解析：因为a n ，所以n=9． 答案:91 4，则sin B＝________12．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝．12．15 4[解析] 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋4－2×1×2×14＝4，解得c＝2，所以b＝c，B＝C，所以sin B＝sin C＝1－cos2C＝154．13．已知点（x,y）满足x0y0x+y1≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩,则u=y-x的取值范围是_______．13．【解析】作出可行域如图,作出y-x=0,由A（1,0）,B （0,1）,故过B时u最大，u max=1,过A点时u最小，u min=-1．答案：[-1,1]14．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为______．14．【解析】在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得x2－10x－96＝0，解之得x1＝16，x2＝－6（舍去）．由正弦定理得BC BDsin CDB sin BCD ∠∠＝,∴BC＝16sin135︒·sin30°＝．答案：15．在△ABC中，给出下列结论：①若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形;②若a2=b2+c2+bc,则角A为60°;③若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形；④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3．其中正确结论的序号为．解析：在①中，cos A=2222b c abc+-<0,所以A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故①正确;在②中，b2+c2-a2=-bc,所以cos A=2222b c abc+-=-2bcbc=-12,所以A=120°,故②不正确；在③中，cos C=2222a b cab+->0,故C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故③不正确;在④中A∶B∶C=1∶2∶3，故A=30°,B=60°,C=90°,所以确．答案:①16．已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}．（1）求a,b．（2）解不等式ax2-（ac+b）x+bc<0．【解】（1）因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根，且b>1．由根与系数的关系得31,21,b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ （2）解不等式ax 2-（ac+b ）x+bc<0,即x 2-（2+c ）x+2c<0,即（x-2）（x-c ）<0,所以①当c>2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为{x|2<x<c};②当c<2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为{x|c<x<2};③当c=2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为∅．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B ．（1）求角B 的大小；（2）若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．17．解：（1）由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝b sin B，得 sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3． （2）由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a ． 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac ，将c ＝2a 代入得， a ＝3，c ＝23．18．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n =2a n -2n．（1）求a 3,a 4;（2）证明：{a n+1-2a n }是等比数列；（3）求{a n }的通项公式．（1）解:因为a 1=S 1,2a 1=S 1+2,所以a 1=2,S 1=2,由2a n =S n +2n 知：2a n+1=S n+1+2n+1=a n+1+S n +2n+1,得a n+1=S n+2n+1, ①所以a 2=S 1+22=2+22=6，S 2=8，a 3=S 2+23=8+23=16,S 3=24,a 4=S 3+24=40．（2）证明:由题设和①式得：a n+1-2a n =（S n +2n+1）-（S n +2n ）=2n+1-2n =2n ,所以{a n+1-2a n }是首项为a 2-2a 1=2,公比为2的等比数列．（3）解:a n =（a n -2a n-1）+2（a n-1-2a n-2）+…+2n-2（a 2-2a 1）+2n-1a 1=（n+1）·2n-1．19． （12分）设函数()3sin cos f θθθ=+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x,y ），且0≤θ≤π．（1）若点P 的坐标为13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求f （θ）的值;（2）若点P （x,y ）为平面区域Ω: 1,1,1x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f （θ）的最小值和最大值．解：（1）由点P 的坐标和三角函数的定义可得3sin ,21cos ,2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以31()3sin cos 3 2.2f θθθ=+=⨯+= （2）作出平面区域（即三角形区域ABC ）如图，其中A （1,0）,B （1,1）,C （0,1），则0≤θ≤2π．又()cos 2sin .6f πθθθθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭． 故当62ππθ+=,即3πθ=时, max ()2f θ=; 当66ππθ+=,即θ=0时, min ()1f θ=．20．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15-0．1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价-供货价格，问：（1）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？（2）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？20． 【解析】（1）每套丛书定价为100元时，销售量为15-0．1×100=5（万套），此时每套供货价格为30+105=32（元），故书商所获得的总利润为5×（100-32） =340（万元）． （2）每套丛书售价定为x 元时，由150.1x 0x 0-⎧⎨⎩＞＞，得0＜x ＜150． 依题意，单套丛书利润 P=x-（30+10150.1x -）=x-100150x--30, ∴P=-[（150-x ）+100150x -]+120, ∵0＜x ＜150,∴150-x ＞0,由（150-x ）+100150x-≥)150x -=2×10=20, 当且仅当150-x ＝100150x-，即x=140时等号成立，此时P max =-20+120=100．答：（1）当每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润取得最大值100元．21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数1247,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和，且1151,15b a S ===（ I ）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知916a =，求50a 的值；（Ⅱ）设122111n n n n T S S S ++=++⋅⋅⋅+，求n T ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）{}n b 为等差数列，设公差为155,1,15,51015,1d b S S d d ==∴=+== 1(1)1.n b n n ∴=+-⨯= …………………………………………………………………………2分 设从第3行起，每行的公比都是q ，且0q >，2294,416,2,a b q q q ===……………………4分 1+2+3+…+9=45，故50a 是数阵中第10行第5个数，而445010102160.a b q ==⨯=……………………………………………………………………7分 （Ⅱ）12n S =++…(1),2n n n ++=…………………………………………………………8分 1211n n n T S S ++∴=++…21n S + 22(1)(2)(2)(3)n n n n =++++++…22(21)n n ++ 11112(1223n n n n =-+-+++++…11)221n n +-+ 1122().121(1)(21)n n n n n =-=++++友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。
2014-2015学年度高二第二学期期中考试（文科）数学试题（带答案）
2014-2015学年度⾼⼆第⼆学期期中考试（⽂科）数学试题（带答案）2014-2015学年⾼⼆第⼆学期期中考试数学试卷（⽂）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分。
第Ⅰ卷1⾄2页，第Ⅱ卷3⾄4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分。
第Ⅰ卷1⾄2页，第Ⅱ卷3⾄4页。
2. 答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上⽆效。
第Ⅰ卷⼀、选择题：该题共12个⼩题，每个⼩题有且只有⼀个选项是正确的，每题5分，共60分。
1．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A 等于（）A.1213B.513 C ．－513 D ．－12132．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的部分图象如图所⽰，则函数表达式为 ( )A ．y ＝－4sin π8x ＋π4B ．y ＝4sin π8x －π4C ．y ＝－4sin π8x －π4D ．y ＝4sin π8x ＋π43．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最⼤值和最⼩值分别是( )A ．7,5B ．7，－112C ．5，－112D ．7，－54、已知某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为（）( )A.8π3 B ．3π C.10π3 D ．6π5.P 为ABC ?所在平⾯外⼀点，PB PC =,P 在平⾯ABC 上的射影必在ABC ?的（）A ．BC 边的垂直平分线上B ．BC 边的⾼线上 C ．BC 边的中线上D ．BAC ∠的⾓平分线上6．有⼀块多边形的菜地它的⽔平放置的平⾯图形的斜⼆测直观图是直⾓梯形，如图所⽰45ABC ∠=2,1AB AD DC BC ,==,⊥,则这块菜地的⾯积为.（）A ．2+B ．C ．22+D ． 21+7. 下列条件中,能判断两个平⾯平⾏的是（）A ．⼀个平⾯内的⼀条直线平⾏于另⼀个平⾯;B ．⼀个平⾯内的两条直线平⾏于另⼀个平⾯C ．⼀个平⾯内有⽆数条直线平⾏于另⼀个平⾯D ．⼀个平⾯内任何⼀条直线都平⾏于另⼀个平⾯8.正四棱锥(顶点在底⾯的射影是底⾯正⽅形的中⼼)的体积为12，底⾯对⾓线的长为26，则侧⾯与底⾯所成的⼆⾯⾓为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 9．已知函数sin()y A x m ω?=++的最⼤值为4，最⼩值为0，最⼩正周期为2π，直线3x π=是其图象的⼀条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式为（）A ．4sin(4)3y x π=+B ．2sin(2)23y x π=++C ．2sin(4)23y x π=++D ．2sin(4)26y x π=++10．已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是（）A ．5[,],1212k k k Z ππππ-+∈B ．511[,],1212k k k Z ππππ++∈C ．[,],36k k k Z ππππ-+∈D ．2[,],63k k k Z ππππ++∈11．实数x 、y 满⾜3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最⼤值为（）A 、27 B 、4 C 、29D 、512.极坐标⽅程52sin42=θρ表⽰的曲线是( )A 、圆B 、椭圆C 、双曲线的⼀⽀D 、抛物线第Ⅱ卷⼆、填空题：该题共4个⼩题，每题5分，共20分，请将答案规范书写在答题卡的相应位置。
河南省南阳市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷(文科)
河南省南阳市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i2．（5分）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r表示变量Y与X之间的线性相关系数，r表示变量V与U之间的线性相关系21数，则（）A．r＜r＜0 B．0＜r＜r C．r＜0＜r D．r=r 111122222342015的末两位数字为（）则77=2401分）观察下列各式：则7，=49，7…=343，．3（5 A．01 B．43 C．07 D．49z=的四个命题：分）下面是关于复数4．（5 对应的点在第二象限，p：复数z12：z，=2ip2，：z的共轭复数为1+ip3．：z的虚部为﹣1p4其中真命题为（），．pp p，p D，．p，p B．pp C．A44122323骰子向A，“5分）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件5．（，B中至少有一件发生的概率是（）”为事件B，则事件A上的点数是3．．．A B．D C6．（5分）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）．C．．AD B．7．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，），2，…，n，（，根据一组样本数据（xy）i=1ii 则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系，）回归直线过样本点的中心（ B ．C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg8．（5分）广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的距离（单位：百公里）见表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是（）A B C D EA 0 5 4 5 6B 5 0 7 6 2C 4 7 0 9 8.6D 5 6 9 0 5E 6 2 8.6 5 0A．20.6 B．21 C．22 D．239．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a，a，…，a，输出A，n12B，则（）A．A+B为a，a，…，a的和n12为a，a，．B…，a的算术平均数n21 C．A和B分别是a，a，…，a中最大的数和最小的数n21 D．A和B分别是a，a，…，a中最小的数和最大的数n1210．（5分）设z是复数，则下列命题中的假命题是（）22＜0，则z是虚数B．若z A．若z ≥0，则z是实数22＜0 z是纯虚数，则z≥0 D．C．若z是虚数，则z若243，（cosx）′=﹣sinx，由归纳推理可得：若定义在）′=2x，（xR）′=4x11．（5分）观察（x 上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（）A．﹣g（x）B．f（x）C．﹣f（x）D．g（x）12．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为aaa，a∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为haaah，其11001022i中h=a⊕a，h=h⊕a．⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息201001为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．10111 B．01100 C．11010 D．00011二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）观察下列等式：2=1122=﹣213 ﹣222=621+3﹣2222=﹣+310 1﹣﹣24…照此规律，第n个等式可为．z=（i是虚数单位），则|z|=14．（5分）已知复数．15．（5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为．16．（5分）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A，A和A表示由甲罐取出的球是红321球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）．=；）①P（B=；P（B|A）②1③事件B与事件A相互独立；1④A，A，A是两两互斥的事件．321三、解答题2+m﹣2）i（i为何值时，复数为虚数单位）是（z=+（m1）m17．（10分）实数实数；（2）纯虚数．18．（12分）某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：甲厂分组30.14）频数29 71 85 159 76 62 18（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；（2）由于以上统计数据填下面2×2（3）列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附：．19．（12分）设直线l：y=kx+1，l：y=kx﹣1，其中实数k，k满足kk+3=0．21211221（1）证明l 与l相交；2122为定值．+b，求证3a 与ll的交点为（a，b）（2）设2120．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x（单位：千克）与i2=720．=184 ，x计算得x=80，y=20y，x单位：月储蓄y（千元）的数据资料，iiiiiix+，并判断变量xx与的线性回归方程y=之间是y（Ⅰ）求家庭的月储蓄关于月收入正相关还是负相关；（Ⅱ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．，为样本平均值．x+中，=，其中注：线性回归方程=21．（12分）已知数学、英语的成绩分别有优、良、及格、不及格四个档次，某班共60人，在每个档次的人数如表：优良及格不及格1 优1 3 1良6 1 0 7及格9 2 4 0不及格a+41 b 7（1）求数学及格且英语良的概率；（2）在数学及格的条件下，英语良的概率；（3）若数学良与英语不及格是相互独立的，求a，b的值．x2（其中a∈R，e是自然对数底数）．12分）已知函数f（x）=ae ﹣x22．（（1）若a=﹣2，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x，x（x＜x），求a的取值范围；2112（3）在（2）的条件下，试证明0＜f（x）＜1．1河南省南阳市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用两个复数代数形式的乘法法则，以及虚数单位i的幂运算性质，运算求得结果．解答：解：（﹣1+i）（2﹣i）=﹣2+i+2i+1=﹣1+3i，故选B．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r 表示变量Y与X之间的线性相关系数，r表示变量V与U之间的线性相关系21数，则（）A．r＜r＜0 B．0＜r＜r C．r＜0＜r D．r=r 11221221考点：相关系数．专题：计算题．分析：求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．解答：解：∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），=11.72r=，这组数据的相关系数是∴变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），∴这组数据的相关系数是﹣0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选C．点评：本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系．2342015的末两位数字为（）7 ，…，7则=343，73．（5分）观察下列各式：则7=2401=49 A．01 B．43 C．07 D．49考点：归纳推理．专题：推理和证明．2015的7由题意依次求出7的乘方对应的值，归纳出末两位数出现的规律，再确定分析：末两位数．23456=117649，7 =2401，解：根据题意得，77=49，7，=343，7=16807解答：789=40353607...，7 =5764801，77=823543，4k24k14k﹣﹣的末两位数字是01，437，7的末两位数字是49，7 的末两位数字是发现：4k+1的末两位数字是49，（k=1、2、3、4、 (7)∵2015=504×4﹣1，20157∴的末两位数字为43，故选：B．点评：本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．z=的四个命题：分）下面是关于复数4．（5 z对应的点在第二象限，p：复数12：z，=2ip2，z 的共轭复数为1+ip：3的虚部为﹣1．p：z4其中真命题为（）C．p，p D p，B ，p．A p．p．p，p 42232143考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，即可利用复数的几何意义，基本运算判断选项即可．==﹣1z=﹣i．解答：解：复数复数z对应的点（﹣1，﹣1）是在第三象限，p不正确；122=2i，p：正确；﹣i）z =（﹣12z的共轭复数为﹣11+i，p：不正确；3z的虚部为﹣1．p：正确．4故选：C．点评：本题考查复数的基本运算，复数的基本概念的应用，考查计算能力．5．（5分）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）．D B． C A．．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立（），进而可得P，由对立事件的、P（B）事件，由古典概型的计算方法，可得P（A）概率计算，可得答案．解答：解：根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，=，P（B）由古典概型的计算方法，可得P（A），==，﹣1=（）﹣）（则P1（）﹣”的概率为1“事件A，B中至少有一件发生则=；故选C．点评：本题考查相互独立事件的概率的乘法公式，注意分析题意，首先明确事件之间的相互关系（互斥、对立等）．6．（5分）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）．D C．． A ． B考点：条件概率与独立事件．专题：计算题．分析：用列举法求出事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求p=即可求得结果．）），根据条件概率公式P（B|A（A），同理求出P（AB解答：解：事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），=，A∴p（）=）∴P（AB个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），事件B=“取到的2=（B|A）．∴P故选B．点评：此题是个基础题．考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．7．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，回归方程为=0.85x），用最小二乘法建立的﹣，2，…，n，根据一组样本数据（xy）（i=1ii85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系，）归直线过样本点的中心（B．回C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg考点：回归分析的初步应用．专题：阅读型．根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于分析：D回归方程只能进行预测，但不可断定．解答：解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；，），回归直线过样本点的中心（，故正确；对于B回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加对于C，∵0.85kg，故正确；时，=0.85×170﹣85.71=58.79，D，x=170cm但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，对于故不正确故选D．点评：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．8．（5分）广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的距离（单位：百公里）见表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是（）A B C D EA 0 5 4 5 6B 5 0 7 6 2C 4 7 0 9 8.6D 5 6 9 0 5E 6 2 8.6 5 0A．20.6 B．21 C．22 D．23考点：频率分布表；统筹问题的思想及其应用的广泛性．专题：概率与统计．分析：以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的路线是中3种结果，列举出六种结果的路途长度选出最短的路途，A列出路径间三个位置的排列共有3的长度，得到结果．解答：解：∵以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，3=6种结果，那么火炬传递的路线是中间三个位置的排列共有A3列举出六种结果的路途长度选出最短的路途，A→B→C→D→E，总长是26，A→C→D→B→E，总长是21，A→B→D→C→E，总长是28.6，A→D→B→C→E，总长是26.6，A→C→B→D→E，总长是22，A→D→C→B→E，总长是23，总上可知最短的路径是21．故选B点评：本题考查频率分布表，考查统筹问题的思想及其应用的广泛性，考查利用统计问题解决实际问题，本题采用列举法来解题．9．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a，a，…，a，输出A，n21B，则（）A．A+B为a，a，…，a的和n12为a，a，…，a的算术平均数B．n12 C．A和B分别是a，a，…，a中最大的数和最小的数n21 D．A和B分别是a，a，…，a中最小的数和最大的数n12考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a，a，…，a中最大的数和最小的数．n21解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a，a，…，a中最大的数和最小的数n12其中A为a，a，…，a中最大的数，B为a，a，…，a中最小的数n211n2故选：C．点评：本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．10．（5分）设z是复数，则下列命题中的假命题是（）22＜0，则z B是实数，则z A ．若≥0z ．若z是虚数2≥0 D．若z 若z是虚数，则z是纯虚数，则C．2＜z0考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．2，利用a，b的值，判断四个选项的正误即可．分析：设出复数z，求出z222+2abi，﹣b∈R，zb=a解答：解：设z=a+bi，a，2≥0，则b=0，所以z对于A，z是实数，真命题；2＜0，则a=0，且b≠0，?z是虚数；所以对于B，zB为真命题；2≥0z是假命题．z是虚数，则b≠0，所以对于C，2＜0z是真命题；a=0，b≠0，所以对于D，z是纯虚数，则故选C．点评：本题考查复数真假命题的判断，复数的基本运算．243，（cosx）′=﹣sinx，由归纳推理可得：若定义在）′=2x，（xR）′．11（5分）观察（x=4x 上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（）A．﹣g（x）B．f（x）C．﹣f（x）D．g（x）考点：归纳推理．专题：规律型．243，（cosx）'=﹣xsinx）'=4x，…分析：由已知中（x分析其规律，我们可以归纳）'=2x，（推断出，偶函数的导函数为奇函数，再结合函数奇偶性的性质，即可得到答案．2）'=2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；解：由（x 解答：43中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；'=4xx ）（（cosx）'=﹣sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；…我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，又∵g（x）为f（x）的导函数，则g（x）奇函数故g（﹣x）+g（x）=0，即g（﹣x）=﹣g（x），故选A．点评：本题考查的知识点是归纳推理，及函数奇偶性的性质，其中根据已知中原函数与导函数奇偶性的关系，得到结论是解答本题的关键．12．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为aaa，a∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为haaah，其100i01221中h=a⊕a，h=h⊕a．⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息200101为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．10111 B．01100 C．11010 D．00011考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：根据题意，只需验证是否满足h=a⊕a，h=h⊕a．经验证，A，B，C都符合．D210100中，h=h⊕a=0⊕1=1，故错误210解答：解：A选项原信息为101，则h=a⊕a=1⊕0=1，h=h⊕a=1⊕1=0，所以传输信210100息为11010，A选项不正确；B选项原信息为110，则h=a⊕a=1⊕1=0，h=h⊕a=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B201010选项正确；C选项原信息为110，则h=a⊕a=1⊕0=1，h=h⊕a=1⊕1=0，所以传输信息为11010，C201010选项正确；D选项原信息为001，则h=a⊕a=0⊕0=0，h=h⊕a=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D201010选项正确；故选：A．点评：本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．此题注意正确理解题意，根据要求进行计算．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）观察下列等式：2=1122=﹣3 ﹣21222=6+3﹣212222=﹣﹣1﹣24+310…个等式可为．第n 照此规律，考点：归纳推理．专题：压轴题；规律型．222+3﹣n 等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第个等式左边为12分析：2n12﹣．再分n（﹣1）n﹣4为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示+…即可．解答：解：观察下列等式：2=1122=﹣13 ﹣2222=61+3﹣22222=﹣10 1﹣﹣24+3…分n为奇数和偶数讨论：2222n12﹣（﹣11）﹣2n+3﹣4．+…个等式左边为第n2222﹣，…+=（3 ﹣4+）n当为偶数时，分组求和（1﹣2+）222222=+n．…4（2（个等式左边第n当为奇数时，n=1﹣）+3﹣）+++n=﹣个等式为综上，第n．故答案为：．既要分别看左右两边的规律，找等式的规律时，点评：本题考查规律型中的数字变化问题，还要注意看左右两边之间的联系．（i是虚数单位），则．|z|=14．（5分）已知复数z=复数求模．考点：计算题．专题：分析：通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．=|z|=．解答：解：=故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．，类似4，则它们的面积比为1：115．（5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为：2 ．：，则它们的体积比为8地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：21类比推理．考点：立体几何．专题：直线或平面，类比分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即由平面图形面积类比立体图形的体积，可．4，，则它们的面积比为1：2解答：解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：8 1：2，则它们的体积比为在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：．1：8故答案为：将已知的一类类比推理是指依据两类数学对象的相似性，点评：本题主要考查类比推理．找出两类事物之间的相似①数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或②性或者一致性．．猜想）个个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，33．16（5分）甲罐中有5个红球，2个白球和表示由甲罐取出的球是红和AA，A黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以312表示由乙罐取出的球是红球的事B球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以．件．则下列结论中正确的是②④（写出所有正确结论的编号）=）；①P（B；）（B|A=P②1 A与事件相互独立；③事件B1是两两互斥的事件．，A，④AA312考点：条件概率与独立事件；互斥事件与对立事件．专题：概率与统计．分析：由题意A，A，A是两两互斥的事件，由条件概率公式求出P（B|A），P（B）1123=P（AB）+P（AB）+P（AB），对照四个命题进行判断找出正确命题，选出正确选项．321=，A）PA）===，P（，解答：解：由题意A，AA是两两互斥的事件，P（23112=）（A；3=，由此知，②=正确；P（B|A）=1=；（B|A（B|A））=，PP32而P（B）=P（AB）+P（AB）+P（AB）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）+P（A）32322111=．由此知①③B|A）+=不正确；×++ ×P（3A，A，A是两两互斥的事件，由此知④正确；312对照四个命题知②④正确；故答案为：②④．点评：本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握了相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的突破点．三、解答题2+m﹣2）im（i为虚数单位）是（1m17．（10分）实数为何值时，复数）z=+（实数；（2）纯虚数．考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：（1）根据复数为实数的充要条件列出方程组，注意分母不为零，求出m的值即可；（2）根据复数为纯虚数的充要条件列出方程组，注意分母不为零，求出m的值即可．为实数的充要条件是，解得m=1，解：（1）复数z解答：…分）（5时复数所以m=1z为实数为纯虚数的充要条件是，解得m=﹣3（2）复数z，所以m=﹣3时复数z为纯虚数…（10分）点评：本题考查复数为纯虚数、实数的充要条件，牢记复数的基本概念是解题的关键，属于基础题．18．（12分）某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：甲厂分组优质品360 320 680非优质品140 180 320合计500 500 1000≈7.35＞6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”点评：独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．19．（12分）设直线l：y=kx+1，l：y=kx﹣1，其中实数k，k满足kk+3=0．21221211（1）证明l 与l相交；2122为定值．3a +b的交点为（a，b），求证（2）设l与l21考点：直线的一般式方程．专题：反证法；直线与圆．分析：（1）用反证法，假设l与l不相交，则l∥l，k=k，得出矛盾，从而证明命题222111成立；22是否为定值即可．+b的坐标满足两直线方程，求出）根据点P3a （2解答：解：（1）证明：反证法，假设是l与l不相交，21则l与l平行，有k=k，2121代入kk+3=0，得21+3=0，此时与k为实数的事实相矛盾；1从而k≠k，即l与l相交；…（6分）2112（2）因为交点P的坐标（a，b）满足，22，3a =kka=﹣b+1﹣即（b1）（）2122=1；3a+b 整理，得22为定值1．…（12分）所以3a+b点评：本题考查了直线方程的应用问题，也考查了反证法的应用问题，是基础题目．20．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x（单位：千克）与i2=720．，x，y=20y，单位：月储蓄y（千元）的数据资料，x计算得x=80=184iiiiii x+，并判断变量x与关于月收入xy的线性回归方程之间是=y（Ⅰ）求家庭的月储蓄正相关还是负相关；（Ⅱ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．，为样本平均值．x+，其中中，注：线性回归方程==考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．=y=2，Ⅰ）由题意可知n=10，代入可得，b值，进而可=x=8 分析：（ii得a值，可得方程，由回归方程x的系数b的正负可判；（Ⅱ）把x=7代入回归方程求其函数值即可．=y=2，，=x=8 解：解答：（Ⅰ）由题意，n=10，ii，=2﹣0.3×=0.38=﹣0.4，∴=∴=0.3x﹣0.4，∵0.3＞0，∴变量x与y之间是正相关；时，=0.3×7﹣0.4=1.7千元．（Ⅱ）x=7点评：本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．21．（12分）已知数学、英语的成绩分别有优、良、及格、不及格四个档次，某班共60人，在每个档次的人数如表：优良及格不及格1 1 1 3 优6 7 1 良09 0 4 2 及格a+41不及格 b7（1）求数学及格且英语良的概率；（2）在数学及格的条件下，英语良的概率；（3）若数学良与英语不及格是相互独立的，求a，b的值．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）记数学及格且英语良为事件A，由题中表格知数学及格且英语良的人数为7人，根据概率公式计算即可得到答案；（2）数学及格的共有15人，其中英语良的7人，即可求出在数学及格的条件下，英语良的概率；（3）记数学良为事件B，英语不及格为事件C，分别求出P（B），P（C），再根据概率公式计算即可得到答案．解答：解：（1）记数学及格且英语良为事件A，由题中表格知数学及格且英语良的人数为7人，=…（）3分）故P（A（2）数学及格的共有15人，其中英语良的7人，故数学及格的条件下，英语良的概率为…（6分）a+b+47=60，（3）表中所有数字和为，∴a+b=13=），=，记数学良为事件B，英语不及格为事件C．则P（B）P=（C3，，B与C独立，故m=（PBC）﹣=，即（C）=P（﹣=，B）PP（BC）得b=5，a=8…（12分）点评：本题考查了相互独立事件的乘法公式，考查了古典概型的概率加法公式，考查了学生的读取图表的能力，是中档题x2（其中a∈R，e是自然对数底数）（x）=aex﹣．分）已知函数22．（12f（1）若a=﹣2，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x，x（x＜x），求a的取值范围；2112（3）在（2）的条件下，试证明0＜f（x）＜1．1考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）将a=﹣2代入函数f（x）的表达式，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；=，求出h（x）的导数，得到x有两个根，设h（）h（x）的）问题转化为方程（2a==，从而求出a1ha0单调区间，得到＜＜（）的范围；（3）先求出a的值，从而表示出f（x）的表达式，进而求出f（x）的单调区间，从而证11出结论．x2x﹣2x，）=﹣﹣x2e，f′（x解：解答：（1）a=﹣2时，f（x）=﹣2e当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）递减；x﹣2x=0的两个根，）=ae ，x是f′（xx（2）函数f（）有两个极值点x，x，则x2211=，x）=，则h′（即方程）a=有两个根，设h（x令h′（x）＞0，解得：x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，∴h（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，=，）＜h（要使1a=有两个根，只需0＜a，）；a的范围是（0 故实数（3）证明：由（2）得：函数f（x）的两个极值点x，x满足0＜x ＜1＜x，2211a=，﹣）2x=a=0得f由′（x11xf（∴﹣+2x，=a﹣= ）11+2x在（0，1）递增，xf由于（）=﹣11由0＜x＜1得：0=f（0）＜f（x）＜f（1）=1．11点评：本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，本题是一道中档题．。
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2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]2．（5分）复数z1=3+i，z2满足z1•z2=4﹣2i（i为虚数单位），则z2在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（）A．4 B．3 C．2 D．14．（5分）已知向量的模为2，=（1，﹣2），条件p：向量的坐标为（4，2），条件q：⊥，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）设函数f（x）=bsinx的图象在点A（，f（））处的切线与直线x ﹣2y+3=0平行，若a n=n2+bn，则数列{}的前2014项和S2014的值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知（x，y）满足，则k=的最大值等于（）A．B．C．1 D．7．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在R上是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）8．（5分）函f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sinωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平个单位长度B．向右平个单位长度C．向左平个单位长度D．向左平个单位长度9．（5分）定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x）恒成立，a=f（2），b=f（3），c=（+1）f（），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a10．（5分）若正数x，y满足+=5，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．611．（5分）已知O为△ABC内任意的一点，若对任意k∈R有|﹣k|≥||，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定12．（5分）已知曲线方程f（x）=sin2x+2ax（a∈R），若对任意实数m，直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，+∞） D．a∈R且a≠0，a≠﹣1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）如果log a4b=﹣1，则a+b的最小值为．14．（5分）O为△ABC所在平面内的一点，若，则O必是△ABC 的．（填写“内心”、“重心”、“垂心”、“外心”之一）15．（5分）已知正项数列{a n}中，a1=1，a2=，（n≥2），则a6=．16．（5分）给出下列四个命题：①∀x∈R，e x≥ex；②∃x0∈（1，2），使得（x02﹣3x0+2）e x0+3x0﹣4=0成立；③在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形；④已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c，对角线长为l，则l3＞a3+b3+c3；其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式．（Ⅱ）若sinα+f（α）=，求的值．18．（12分）设曲线f（x）=x2+1和g（x）=x3+x在其交点处两切线的夹角为θ，求cosθ．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．20．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a n2=2S n﹣a n，其中S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3n+（﹣1）n﹣1•λ•2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得＞b n成立．对任意n∈N*，都有b n+121．（12分）已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0）上的解析式；（2）求f（24）的值．22．（12分）设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．2．（5分）复数z1=3+i，z2满足z1•z2=4﹣2i（i为虚数单位），则z2在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z1=3+i，z2满足z1•z2=4﹣2i，∴z2====1﹣i所对应的点（1，﹣1）在第四象限．故选：D．3．（5分）各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，∴a4•a14=（2）2=8，∵a4•a14=（a9）2，∴a9=2，∴log2a7+log2a11=log2a7a11=log2（a9）2=3，故选：B．4．（5分）已知向量的模为2，=（1，﹣2），条件p：向量的坐标为（4，2），条件q：⊥，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若向量的坐标为（4，2），则•=4﹣2×2=4﹣4=0，此时⊥，即充分性成立．若⊥，设=（x，y），则x﹣2y=0，即x=2y，∵向量的模为2，∴x2+y2=20，由，解得或，即=（4，2）或（﹣4，﹣2），即必要性不成立，故p是q的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）设函数f（x）=bsinx的图象在点A（，f（））处的切线与直线x ﹣2y+3=0平行，若a n=n2+bn，则数列{}的前2014项和S2014的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=bsinx，∴f′（x）=bcosx，则f′（）=bcos=，∵图象在点A（，f（））处的切线与直线x﹣2y+3=0平行，∴切线斜率k==，解得b=1．∴a n=n2+bn=a n=n2+n=n（n+1），则==﹣，∴数列{}的前2014项和S2014的值为1﹣=1﹣，故选：D．6．（5分）已知（x，y）满足，则k=的最大值等于（）A．B．C．1 D．【解答】解：k的几何意义为点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象可知AB的斜率最大，其中B（0，1），此时k=，故选：C．7．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在R上是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）【解答】解：由解析式可知，当x≤0时，f（x）=cosx，为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，是二次函数的一部分，∴函数不是偶函数，不具有周期性，不是单调函数，对于D，当x≤0时，值域为[﹣1，1]，当x＞0时，值域为（1，+∞），∴函数的值域为[﹣1，+∞）．故选：D．8．（5分）函f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sinωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平个单位长度B．向右平个单位长度C．向左平个单位长度D．向左平个单位长度【解答】解：设f（x）的周期为T，根据函数的图象，可得=﹣=，得T=π，由=π，可得ω=2．∵A＞0，函数的最小值为﹣1，∴A=1．函数表达式为f（x）=sin（2x+φ），又∵当x=时，函数有最小值，∴2+φ=﹣（k∈Z），解之得φ=﹣（k∈Z），∵|φ|＜，∴取k=1，得φ=，因此，函数的表达式为f（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，由此可得函数g（x）=sin2x=f（x﹣），∴将函数f（x）的图象右移个单位，即可得到g（x）=sin2x的图象．故选：A．9．（5分）定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x）恒成立，a=f（2），b=f（3），c=（+1）f（），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x）∴f′（x）（x﹣1）﹣f（x）＞0∴[]′＞0∴g（x）=在（1，+∞）上单调增∵∴g（）＜g（2）＜g（3）∴∴∴c＜a＜b故选：A．10．（5分）若正数x，y满足+=5，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．6【解答】解：由于正数x，y满足+=5，则3x+4y=（3x+4y）（）=++≥+2+2×=5，当且仅当=，即y=2x，即+=，∴x=，y=时取等号．故3x+4y的最小值是5，故选：C．11．（5分）已知O为△ABC内任意的一点，若对任意k∈R有|﹣k|≥||，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定【解答】解：从几何图形考虑：|﹣k|≥||的几何意义表示：在BC上任取一点E，可得k=，∴|﹣k|=|﹣|=||≥||，又点E不论在任何位置都有不等式成立，∴由垂线段最短可得AC⊥EC，即∠C=90°，则△ABC一定是直角三角形．故选：A．12．（5分）已知曲线方程f（x）=sin2x+2ax（a∈R），若对任意实数m，直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，+∞） D．a∈R且a≠0，a≠﹣1【解答】解：∵对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线∴曲线y=f（x）的切线的斜率不可能为﹣1即f'（x）=2sinxcosx+2a=﹣1无解∵0≤sin2x+1=﹣2a≤2∴﹣1≤a≤0时2sinxcosx+2a=﹣1有解∴对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是a＜﹣1或a＞0故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）如果log a4b=﹣1，则a+b的最小值为1．【解答】解：由log a4b=﹣1，得：a＞0，b＞0，，即ab=．所以a+b．当且仅当a=b=时上式取“=”．所以a+b的最小值为1．故答案为1．14．（5分）O为△ABC所在平面内的一点，若，则O必是△ABC 的重心．（填写“内心”、“重心”、“垂心”、“外心”之一）【解答】解：取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD 于是四边形BOCE 是平行四边形，∵=，又，∴==2，∴A，O，D，E四点共线，即AD是中线，同理延长BO交AC于F，则F也为中点，∴O是重心．故答案为：重心15．（5分）已知正项数列{a n}中，a1=1，a2=，（n≥2），则a6=．【解答】解：∵a1=1，a2=，（n≥2），∴﹣=﹣，∴数列{}为等差数列，首项为1，公差d=﹣=4﹣1=3，∴=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴=16，∵{a n}正项数列，∴a6=，故答案为：16．（5分）给出下列四个命题：①∀x∈R，e x≥ex；②∃x0∈（1，2），使得（x02﹣3x0+2）e x0+3x0﹣4=0成立；③在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形；④已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c，对角线长为l，则l3＞a3+b3+c3；其中正确命题的序号是①②③④．【解答】解：①，令f（x）=e x﹣ex，则f′（x）=e x﹣e，当x≥1时，f′（x）≥0，f（x）=e x﹣ex在[1，+∞）上单调递增；当x＜1时，f′（x）＜0，f（x）=e x﹣ex在（﹣∞，1）上单调递减；∴当x=1时，f（x）=e x﹣ex取得极小值，也是最小值，又f（1）=e1﹣e=0，∴∀x∈R，e x≥ex，①正确；②，∵（x02﹣3x0+2）e x0+3x0﹣4=0，∴e x0==，当＜x＜2时，＞0，即∃x0∈（1，2），使得（x02﹣3x0+2）e x0+3x0﹣4=0成立，②正确；③，在△ABC中，∵tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）+tanC=﹣tanC（1﹣tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC＞0，∴tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，∴△ABC是锐角三角形，③正确；④，∵l3﹣a3﹣b3﹣c3=（a2+b2+c2）•l﹣a3﹣b3﹣c3=a2（l﹣a）+b2（l﹣b）+c2（l﹣c）＞0，∴l3＞a3+b3+c3，④正确．故答案为：①②③④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式．（Ⅱ）若sinα+f（α）=，求的值．【解答】解：（I）∵f（x）为偶函数∴sin（﹣ωx+ϕ）=sin（ωx+ϕ）即2sinωxcosϕ=0恒成立∴cosϕ=0，又∵0≤ϕ≤π，∴（3分）又其图象上相邻对称轴之间的距离为π∴T=2π∴ω=1∴f（x）=cosx（6分）（II）∵原式=（10分）又∵，∴（11分）即，故原式=（12分）18．（12分）设曲线f（x）=x2+1和g（x）=x3+x在其交点处两切线的夹角为θ，求cosθ．【解答】解：由，得x3﹣x2+x﹣1=0，即（x﹣1）（x2+1）=0，∴x=1，∴交点为（1，2）．又f'（x）=2x，∴f'（1）=2，∴曲线y=f（x）在交点处的切线l1的方程为y﹣2=2（x﹣1），即y=2x，又g'（x）=3x2+1．∴g'（1）=4．∴曲线y=g（x）在交点处的切线l2的方程为y﹣2=4（x﹣1），即y=4x﹣2．取切线l 1的方向向量为，切线l2的方向向量为，则．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．【解答】解：（Ⅰ）由，由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC．于是=．（6分）（Ⅱ）由．由余弦定理：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，又b2=ac=2，cosB=，得a2+c2=b2+2ac•cosB=2+4×=5，则（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，解得：a+c=3．（12分）20．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a n2=2S n﹣a n，其中S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3n+（﹣1）n﹣1•λ•2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有b n＞b n成立．+1【解答】解：（Ⅰ）∵n∈N*时，，…①当n≥2时，，…②…（2分）由①﹣②得，即，＞0，∵a n+a n﹣1∴a n﹣a n=1（n≥2），…（4分）﹣1由已知得，当n=1时，，∴a1=1．…（5分）故数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．∴．…（6分）（Ⅱ）∵，∴，…（7分）∴=2×3n﹣3λ•（﹣1）n﹣1•2n．＞b n恒成立，要使得b n+1只须．…（8分）（1）当n为奇数时，即恒成立．又的最小值为1，∴λ＜1．…（9分）（2）当n为偶数时，即恒成立．又的最大值为，∴…（10分）∴由（1），（2）得，又λ≠0且λ为整数，…（11分）＞b n成立．…（12分）∴λ=﹣1对所有的n∈N*，都有b n+121．（12分）已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0）上的解析式；（2）求f（24）的值．【解答】解：（1）令x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，∴f（﹣x）=2﹣x﹣1．又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，∴．（2）∵f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，∴，∴，∴．22．（12分）设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．【解答】解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2af（x）在存在单调递增区间∴f′（x）≥0在有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为∴递减∴f′（x）≤f′（）=+2a，由0≤+2a，解得a≥﹣．检验a=﹣时，f（x）的增区间为（，），故不成立．故a＞﹣．（2）当0＜a＜2时，△＞0；f′（x）=0得到两个根为；（舍）∵∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）当x=4时最小∴=解得a=1所以当x=时最大为。