10 矩阵位移法解析
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第10章 矩阵位移法
a1 j
amj
a1 j )T
2、行列式：n阶方阵A相应的行列式D，记作
D A det A det(aij )m*n
若D＝0，A为奇异矩阵
3、矩阵运算
相等：Amn=Bmn，则aij=bij
加减：Cmn＝Amn+Bmn，则cij=aij+bij
数乘：Cmn=k*Amn，则cij=k*aij
乘法：Cmn=Aml*Bln，则
0
u2
６EI
l２
v2
２
4EI
l
刚度矩阵：行数＝杆端力列向量分量数
列数＝杆端位移列向量分量数
记忆： 小子块—— 12 -- 6 -- 6 -- 4 （主）
12-- 6 -- 6 -- 2 （副） 4、5 行、列，除主元素外，均为负值
行——杆端力（X、Y、M） 列——杆端位移（u、v、φ）
l
cij aik *bkj
k 1
转秩：Bmn=ATmn，则bij=aji (A+B)T=AT+BT
(kA)T=kAT (AB)T=BT*AT（反序定律）
4、特殊矩阵
1 0
0
单位矩阵
I 0 1
0
0 0
1
d1 0
0
对角矩阵
D
0
d2
0
0
0
dn
对称矩阵：An*n，aij=aji
正定矩阵：特征值都大于零的实对称矩阵
对称性——kij = kji 奇异性——|K| = 0
第1和2 行(列)与第4 或5行(列)相加，所得一行(列)元素全为零
物理概念：已知杆端位移→杆端力，反之不成。因为讨论的是 自由式单元，存在任意的刚性位移。
《结构力学》第十章矩阵位移法
《结构力学》第十章矩阵位移法矩阵位移法是结构力学中的一种重要分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
本文将分为四个部分来介绍矩阵位移法的基本原理和应用。
第一部分将介绍矩阵位移法的基本原理。
矩阵位移法基于结构的受力平衡方程和变形条件，建立了适用于不同类型结构的一般形式的位移函数。
通过对这些位移函数进行适当组合，可以得到一个较为简化的位移矩阵方程。
这个方程可以通过矩阵运算求解，从而得到结构的位移和应力分布。
第二部分将介绍矩阵位移法的应用。
矩阵位移法可以用于求解各种类型的结构，包括梁、柱、框架等。
具体应用时，首先需要确定结构的边界条件和受力情况，然后根据结构的几何形状和材料性质，建立相应的位移函数。
之后，将位移函数按照一定的规则组合起来，建立一个位移矩阵方程。
通过解这个方程，可以得到结构的位移和应力分布。
第三部分将介绍矩阵位移法的优点。
相比于传统的力方法，矩阵位移法具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点。
这是因为矩阵位移法可以通过矩阵运算将结构的受力分析转化为代数运算，减少了繁琐的计算过程，并且可以应用于各种不规则结构。
第四部分将介绍矩阵位移法的局限性。
矩阵位移法虽然具有很多优点，但也有一些限制。
首先，矩阵位移法对结构的刚度矩阵的求取较为复杂，需要通过精确和谐振数法等途径进行求解。
其次，矩阵位移法不能用于解决非线性和动力问题。
总结起来，矩阵位移法是一种重要的结构力学分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
它具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点，但也有一些局限性。
因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，矩阵位移法的进一步研究和发展也是一个非常重要的方向。
第十章 矩阵位移法
i
e
j
x
y
µi
µj
e j
νi
Fxi
i
Mi
θi
Fyi
θj
νj
Mj
x
Fxi
Fyi
y
∆e = [ µi ν i θ i µ j ν j θ j ]eT
F e = [ Fx i Fyi M i Fx j Fy j M j ]eT
µi ν i µ j ν j
Fx i Fyi Fx j Fy j
沿 x 、y 轴正向为正 以顺时针方向为正
λ① = [0 0 0 1 2 3]T
(0,0,0)
1
(1,2,3)
0 0 0 1
1
(1,2,3)
2
2 3
1 2
2
2
λ② = [1 2 3 0 0 0]T
3 0 0 0
3
(0,0,0)
三 集成规则
e
e
e
建立各单元整体坐标系单元刚度矩阵k 单元定位向量λ 建立各单元整体坐标系单元刚度矩阵k 、单元定位向量 写在各单元刚度矩阵 各单元刚度矩阵k 1 将λ 写在各单元刚度矩阵k 右、上侧； 对号入座 2 按单元定位向量给出的行、列码(非零码)，将单元刚度 按单元定位向量给出的行、列码(非零码) 矩阵各元素放入结构刚度矩阵相应位置； 矩阵各元素放入结构刚度矩阵相应位置； 同一元素位置放入多个元素， 同号叠加” 3 同一元素位置放入多个元素，则“同号叠加”，空白元 素以0 素以0补入
F e = K e ∆e
§10-5 用先处理法建立结构刚度矩阵 10直接刚度法： 直接刚度法： 由各单元刚度矩阵直接组集形成结构刚度矩阵的方法 一 结点位移分量的统一编码
结构力学第五版第十章矩阵位移法ppt课件
k12
p3 k31 k32 k33 3
k112
简记为 P k---结构刚度方程
k21 k31
k 211 =1 k22
1
k
1 22
1
k32
2
k
2 21
k --结构刚度矩阵(总刚)
k11 k111 k21 k211
k31 0
k13 k121
k23 k33
=1
3
k12 k112 k22 k212 k121 k32 k221
1 2 3
6 3 P3
3 (P3 01 4 2 ) /(8 N ) 3 0
六.非结点荷载
(1).等效结点荷载
PE
PPEE12
PE3
PE1
PE 2
PE 3
---结构等效结点荷载
“等效”是指等效结点荷载引起的结点 位移与非结点荷载引起的结点位移相同
(2).等效结点荷载的计算
1
4
6/ 1.5
8
1.5 1 1
3
2
2
EI1 6 EI 2 24
4m 4m 12m
1
2
1
2
EI1 6
8m
34
3
2
3
1
2
k 2
4
24 4
/12
4 1 2 8 2 3
34
12
k
3
3 1.5
1.5 1 3
3
2
4
3 1.5 0 0
k 1.5 11
4
0
0 4 11 1.5
0
0
1.5
1 2
Fq
2
ql 2 /12 ql2 /12
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第10章 矩阵位移法【圣才出品】
二、单元刚度矩阵（见表 10-1-2） ★★★★★ 表 10-1-2 单元刚度矩阵
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三、单元刚度矩阵的坐标转换（见表 10-1-3） ★★★★★ 表 10-1-3 单元刚度矩阵的坐标转换
6．结构的总刚度方程的物理意义是什么？总刚度矩阵的形成有何规律？其每一程的物理意义：尚未进行支承条件处理的表示所有结点外力与 结点位移之间的关系的平衡方程。
（2）总刚矩阵的形成规律：把每个单元刚度矩阵的四个子块按其两个下标号码逐一
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台
4．为何用矩阵位移法分析时，要建立两种坐标系？
答：在利用矩阵位移法分析结构的时候，要进行单元分析和整体分析，单元分析是为
了建立每个单元的单元刚度矩阵，整体分析是为了建立整体结构的刚度方程。在单元分析
的过程中，以各单元的轴线为局部坐标系的 x 轴，以垂直轴线的方向为局部坐标系的 y 轴，
台
送到结构原始刚度矩阵中相应的行和列的位置上去，就可得到结构原始刚度矩阵，即各单
刚子块“对号入座”形成总刚。
（3）每一元素的物理意义：当其所在列对应的结点位移分量等于 1（其余各结点位移
分量均为零）时，所引起的其所在行对应的结点外力分量的数值。例如 Kij 表示第 j 号位置
3．矩阵位移法中，杆端力、杆端位移和结点力、结点位移的正负号是如何规定的？ 答：杆端力沿局部坐标系的、的正方向为正，杆端弯矩逆时针为正；杆端位移的正负 号规定同杆端力和弯矩。结点力沿整体坐标系 x、y 的正方向为正，结点力偶逆时针为正； 结点位移的正负号规定同结点力和力偶。
《矩阵位移法》课件
实际工程案例分析
总结词
为了验证矩阵位移法的有效性，可以通过实际工程案例 进行分析。通过与实验结果的对比，可以评估方法的精 度和可靠性。
详细描述
选取具有代表性的实际工程案例，如高层建筑、大跨度 桥梁等，利用矩阵位移法进行计算，并将结果与实验数 据进行对比。通过对比分析，可以评估矩阵位移法的精 度和可靠性，为该方法在实际工程中的应用提供依据。 同时，也可以针对不同工程案例的特点，对矩阵位移法 进行优化和改进，提高其适用性和计算效率。
05
矩阵位移法的优缺点
优点
精确度高
矩阵位移法基于严格的数学推导，能 够精确地计算出结构的位移和内力， 尤其适用于复杂结构的分析。
适用性强
矩阵位移法可以处理多种类型的载荷 ，包括静载、动载以及温度载荷等， 适用范围广泛。
便于计算机化
矩阵位移法的计算过程可以通过计算 机程序实现，便于进行大规模的结构 分析。
多尺度方法
将矩阵位移法应用于多尺度问题 ，考虑不同尺度之间的相互作用 和影响，为复杂系统提供更准确 的模拟结果。
THANKS
感谢观看ts
目录
• 引言 • 矩阵位移法的基本概念 • 矩阵位移法的实施步骤 • 矩阵位移法的应用实例 • 矩阵位移法的优缺点 • 未来展望与研究方向
01
引言
什么是矩阵位移法
矩阵位移法是一种数值分析方法，用 于求解线性方程组和解决各种数值计 算问题。
它通过将原问题转化为矩阵形式，利 用矩阵运算来求解未知数，具有高效 、精确和灵活的特点。
并行计算
利用并行计算技术，将计算任务分解为多个子任务，同时运行在多 个处理器上，加快计算速度。
智能优化
结合人工智能和机器学习技术，自动调整算法参数，实现自适应优 化，提高算法的效率和稳定性。
结构力学课件 第十章 矩阵位移法
• 17.3.2 结构总刚度方程
•
方程 K 式F中：
• {F} — 结构的结点力列向量；
• — 结构的结点位移列向量；
• [K] —结构的总刚度矩阵或叫结构整体刚度矩阵。
返回 下一张 上一张 小结
•
• 17.3.3 支承条件的引入
• 结构总刚度方程（D）又叫结构原始刚度方程。其 中[K]是奇异矩阵，不能求出确定的结点位移{ }。为此 求解结构的未知结点位移时，引入结构的实际位移边界 条件（即支承条件），修改 结构总刚度矩阵。具体步 骤如下：
返回 下一张 上一张 小结
• 第二节 单元刚度矩阵
• 17.2.1 结构离散化
• 将杆系结构分离有限个单元杆— 离散化。
• 原则：以杆元汇交点、荷载作用点、载面突变点为结点，尽量 使相关结点，编码和差值最小。矩阵位移法讨论结点荷载问题， 非结点荷载需另外处理。
•
图7-6
• 17.2.2 单元杆端力和杆端位移表示方法
e
T
e
• 另 [T]T[K]e[I]=[K]e 则 • 用结分点块式表示为：
{F}e=[K]e{}e
FFijee
Kiei
K
e ji
Kiej
K
e jj
eeij
• 注：1） Fe ,为e 结构坐标的杆端力和杆端位移。
•
2） Kij e 表示单元e 的j端三个位移分别产生单位位移时在i 端各力
• 转9以00i为为原轴点的，正从y 向i到，j的这方样向的为坐标轴系的x称正为向单，元并局以部坐轴标的x系正向逆时针
单元杆端力和杆端位移符号的上方加一横“—”，表示局部坐标 的意思。
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• 如图，结点的杆端位移列向量为：
矩阵位移法知识讲解
2i3 4i3
10-4 连续梁的整体刚度矩阵
(3)换码重排座
1
2
2
3
整体刚度矩阵置零
0 0 0
K 0 0 0
0 0 0
集成单元②的刚度矩阵
4i1 2i1
0
K 2i1 4i1 4i2 2i2
0
2i2 4i2
3
0
集成单元①的刚度矩阵
4i1 2i1 0
K 2i1 4i1 0
l
0
6EI
l2
4EI
l
局部坐标下自由单元的单元刚度矩阵
10-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵
2 单元刚度矩阵的性质
（1）单元刚度系数的意义
单位杆端位移引起的杆端力
（2）单元刚度矩阵是对称矩阵
反力互等定理
（3）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵
矩阵行列式等于零，逆阵不存在。
Fe k e e
e k e 1 F e
M2 6EI l 2 Fy2 12EI l 3
M2 2EI l
Fy2 6EI l2
10-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵
EA EA Fx1 l u1 l u2
Fy1
12EI l3
v1
6EI l2
1
12EI l3
v2
6EI l2
2
M1
6EI l2
v1
4EI l
1
6EI l2
v2
2EI l
10-5 刚架的整体刚度矩阵
2 整体坐标系下的单元刚度矩阵
300 0 0 300 0 0
0
12 30
0
12
30
k
①
0 300
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材料性质如下： l 5m, bh 0.5m 1m(截面尺寸） A 0.5m 2 , I 1 4 m 24
EA l 0 0 ke EA l 0 0 0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l EA l 0 0 EA l 0 0 0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI l2 4 EI l
e
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结构力学
17
F e TF e
其中，
0 0 0 cos a sin a 0 sin a cos a 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 T 0 0 0 cos a sin a 0 0 0 0 sin a cos a 0 0 0 0 0 0 1
§ 10-8 桁架及组合结构的整体分析
结构力学
3
§ 10-1 概述
结构矩阵分析方法是电子计算机进入结构力学 领域而产生的一种方法。它是以传统结构力学作为 理论基础、以矩阵作为数学表述形式、以电子计算 机作为计算手段、三位一体的方法。 与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析 中也有矩阵力法和矩阵位移法，或称柔度法与刚度法。 矩阵位移法由于具有易于实现计算过程程序化的优点 而广为流传，本章只对矩阵位移法进行讨论。矩阵位 移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也称 为杆件结构的有限元法。
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E , A, I
结构力学
6
在局部坐标系中：
矩阵形式：
e ( (1)
(6) )eT eT (u1 v1 1 u2 v2 2 ) e eT F ( F(1) F(2) F(3) F(4) F(5) F(6) ) ( Fx1 Fy1 M 1 Fx 2 Fy 2 M 2 )eT (2) (3) (4) (5)
结构力学
10
刚度矩阵： (1)
(u1 1)
(2)
(v1 1)
0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2
(3)
(1 1)
0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l
结构力学
(4)
(u2 1)
EA l 0 0 EA l 0 0
e
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结构力学
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结构力学
15
§ 10-3 单元刚度矩阵(整体坐标系)
为了区别，用x , y表示局部坐标，用x，y表示整体坐标。
10-3-1 单元坐标转换矩阵
(a)
(b)
局部坐标系为xoy，整体坐标系为xoy，由x轴到x轴的夹角以顺时针转向为正。
2018/10/6
§ 10-2 单元刚度矩阵(局部坐标系) § 10-3 单元刚度矩阵(整体坐标系)
§ 10-4 连续梁的整体刚度矩阵
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵 § 10-6 等效结点荷载
§ 10-7 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析
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结构力学
(Structure Mechanics)
授课人：赵荣国 土木工程与力学学院
第十章
矩阵位移法
(Matrix displacement Method)
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结构力学
2
目 录 (contents)
---------------------------------------------------------§ 10-1 概述
(5)
(v2 1)
0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2
(6)
( 2 1)
6 EI l2 2 EI l 0 6 EI l2 4 EI l 0
(1) (2)
ke
(3)
(4)
整体坐标系中的单元刚度矩阵 ke与 k e 同阶，具有类 似的性质：
(1)元素k(i),(j)表示在整体坐标系中第(j)个杆端位移 分量等于1时引起的第(i)个杆端力分量。
(2)ke是对称矩阵。 (3)一般单元的ke是奇异矩阵。
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结构力学
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例 10-1 试求图所示刚架中各单元在整体坐标系中的 刚度矩阵 k e 。设各杆的杆长和截面尺寸相同。
(5) (6)
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EA l 0 0 EA l 0 0
e
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10-2-2 单元刚度矩阵的性质
(1)单元刚度系数的意义 [k] 中的每个元素称为单元刚度系数，代表由于单位 杆端位移所引起的杆端力。 (2) [k]是对称矩阵
e
E 3 104 MPa EA 300 104 kN / m l EI 25 104 kN m l
300 0 0 （1） （2） 4 k k 10 300 0 0
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0 12 30 0 12 30
0 30 100 0 30 50
300 0 0 300 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 50 0 30 100
21
结构力学
(2) 整体坐标系中的单元 刚 度矩阵 单元①： 00 , T I
k (1) k (1) 0 90 , 单元②：
0 1 0 T 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
结构力学
16
如图(b)所示有：
e F y1 Fxe1sinα Fye1cosα M 1 M1 e e e F x 2 Fx 2 cosα Fy 2sinα e e e F y 2 Fx 2sinα Fy 2 cosα M 2 M2 F x1 Fxe1cosα Fye1sinα
材料性质如下： l 5m, bh 0.5m 1m(截面尺寸） A 0.5m 2 , I 1 4 m 24
E 3 104 MPa EA 300 104 kN / m l EI 25 104 kN m l
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20
解： (1)局部坐标系中的单元刚度矩阵
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5
§ 10-2单元刚度矩阵(局部坐标系)
10-2-1 一般单元
如图所示为平面刚架 e 1 2 x 中的一个等截面直杆单 l y 元。设杆件除弯曲变形 外，还有轴向变形。左 右两端各有三个位移分量 ( 两个移动、一个转动 ) ，杆 件共有六个杆端位移分量，这是平面结构杆件单元的 一般情况。单元的两个结点采用局部编码 1和2。由端 点1到端点2的方向规定为杆轴的正方向在图中用箭头 标明。
结构力学
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由杆端轴向位移，可推算出相应的杆端轴向力：
EA e e F (u1 u2 ) l EA e Fxe2 (u1 u2e ) l
e x1
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杆端横向力和杆端力矩：
4 EI e 2 EI e 6 EI e e M 1 2 2 (v1 vQ 2) l l l e 2 EI e 4 EI e 6 EI e e M 2 1 2 2 (v1 v 2 ) l l l e e 6 EI 12 EI F ey1 2 ( 1 2 ) 3 (v1e v 2e ) l l e 6 EI e 12 EI e e e F y 2 2 ( 1 2 ) 3 (v1 v 2 ) l l 2018/10/6 结构力学
单元坐标转换矩阵T为一正交矩阵。
T 1 T T F e T 1F e T T F e
同理
e T e
e T T e
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结构力学
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10-3-2 整体坐标系中的单元刚度矩阵
F e k e e F e T T k eT e k e T T F e T T k e e T T k eT e k T T k eT
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结构力学
4
基本思想: • 化整为零 ------ 结构离散化 将结构拆成杆件，杆件称作单元。 单元的连接点称作结点。 对单元和结点编码. • 单元分析 单元杆端力 单元杆端位移 • 集零为整
5
6 2 3
2
6
ห้องสมุดไป่ตู้
3 1
4
5
1
4
------ 整体分析
e
结点外力 单元杆端力 结点外力 单元杆端位移 (杆端位移=结点位移) 结点外力 结点位移
e
F x1 F y1 M 1 F x2 F y2 M 2
e
u1 v1 1 u 2 v2 2
e
F e k e e
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e
(b)
写成矩阵形式：
F x1 cosα sinα F y1 -sinα cosα 0 M1 0 0 F x2 0 0 0 F y2 0 M 2 0
EA l 0 0 ke EA l 0 0 0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l EA l 0 0 EA l 0 0 0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI l2 4 EI l
e
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结构力学
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F e TF e
其中，
0 0 0 cos a sin a 0 sin a cos a 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 T 0 0 0 cos a sin a 0 0 0 0 sin a cos a 0 0 0 0 0 0 1
§ 10-8 桁架及组合结构的整体分析
结构力学
3
§ 10-1 概述
结构矩阵分析方法是电子计算机进入结构力学 领域而产生的一种方法。它是以传统结构力学作为 理论基础、以矩阵作为数学表述形式、以电子计算 机作为计算手段、三位一体的方法。 与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析 中也有矩阵力法和矩阵位移法，或称柔度法与刚度法。 矩阵位移法由于具有易于实现计算过程程序化的优点 而广为流传，本章只对矩阵位移法进行讨论。矩阵位 移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也称 为杆件结构的有限元法。
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在局部坐标系中：
矩阵形式：
e ( (1)
(6) )eT eT (u1 v1 1 u2 v2 2 ) e eT F ( F(1) F(2) F(3) F(4) F(5) F(6) ) ( Fx1 Fy1 M 1 Fx 2 Fy 2 M 2 )eT (2) (3) (4) (5)
结构力学
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刚度矩阵： (1)
(u1 1)
(2)
(v1 1)
0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2
(3)
(1 1)
0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l
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(4)
(u2 1)
EA l 0 0 EA l 0 0
e
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§ 10-3 单元刚度矩阵(整体坐标系)
为了区别，用x , y表示局部坐标，用x，y表示整体坐标。
10-3-1 单元坐标转换矩阵
(a)
(b)
局部坐标系为xoy，整体坐标系为xoy，由x轴到x轴的夹角以顺时针转向为正。
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§ 10-2 单元刚度矩阵(局部坐标系) § 10-3 单元刚度矩阵(整体坐标系)
§ 10-4 连续梁的整体刚度矩阵
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵 § 10-6 等效结点荷载
§ 10-7 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析
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(Structure Mechanics)
授课人：赵荣国 土木工程与力学学院
第十章
矩阵位移法
(Matrix displacement Method)
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目 录 (contents)
---------------------------------------------------------§ 10-1 概述
(5)
(v2 1)
0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2
(6)
( 2 1)
6 EI l2 2 EI l 0 6 EI l2 4 EI l 0
(1) (2)
ke
(3)
(4)
整体坐标系中的单元刚度矩阵 ke与 k e 同阶，具有类 似的性质：
(1)元素k(i),(j)表示在整体坐标系中第(j)个杆端位移 分量等于1时引起的第(i)个杆端力分量。
(2)ke是对称矩阵。 (3)一般单元的ke是奇异矩阵。
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例 10-1 试求图所示刚架中各单元在整体坐标系中的 刚度矩阵 k e 。设各杆的杆长和截面尺寸相同。
(5) (6)
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EA l 0 0 EA l 0 0
e
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10-2-2 单元刚度矩阵的性质
(1)单元刚度系数的意义 [k] 中的每个元素称为单元刚度系数，代表由于单位 杆端位移所引起的杆端力。 (2) [k]是对称矩阵
e
E 3 104 MPa EA 300 104 kN / m l EI 25 104 kN m l
300 0 0 （1） （2） 4 k k 10 300 0 0
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0 12 30 0 12 30
0 30 100 0 30 50
300 0 0 300 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 50 0 30 100
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结构力学
(2) 整体坐标系中的单元 刚 度矩阵 单元①： 00 , T I
k (1) k (1) 0 90 , 单元②：
0 1 0 T 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
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如图(b)所示有：
e F y1 Fxe1sinα Fye1cosα M 1 M1 e e e F x 2 Fx 2 cosα Fy 2sinα e e e F y 2 Fx 2sinα Fy 2 cosα M 2 M2 F x1 Fxe1cosα Fye1sinα
材料性质如下： l 5m, bh 0.5m 1m(截面尺寸） A 0.5m 2 , I 1 4 m 24
E 3 104 MPa EA 300 104 kN / m l EI 25 104 kN m l
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解： (1)局部坐标系中的单元刚度矩阵
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§ 10-2单元刚度矩阵(局部坐标系)
10-2-1 一般单元
如图所示为平面刚架 e 1 2 x 中的一个等截面直杆单 l y 元。设杆件除弯曲变形 外，还有轴向变形。左 右两端各有三个位移分量 ( 两个移动、一个转动 ) ，杆 件共有六个杆端位移分量，这是平面结构杆件单元的 一般情况。单元的两个结点采用局部编码 1和2。由端 点1到端点2的方向规定为杆轴的正方向在图中用箭头 标明。
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由杆端轴向位移，可推算出相应的杆端轴向力：
EA e e F (u1 u2 ) l EA e Fxe2 (u1 u2e ) l
e x1
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杆端横向力和杆端力矩：
4 EI e 2 EI e 6 EI e e M 1 2 2 (v1 vQ 2) l l l e 2 EI e 4 EI e 6 EI e e M 2 1 2 2 (v1 v 2 ) l l l e e 6 EI 12 EI F ey1 2 ( 1 2 ) 3 (v1e v 2e ) l l e 6 EI e 12 EI e e e F y 2 2 ( 1 2 ) 3 (v1 v 2 ) l l 2018/10/6 结构力学
单元坐标转换矩阵T为一正交矩阵。
T 1 T T F e T 1F e T T F e
同理
e T e
e T T e
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10-3-2 整体坐标系中的单元刚度矩阵
F e k e e F e T T k eT e k e T T F e T T k e e T T k eT e k T T k eT
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基本思想: • 化整为零 ------ 结构离散化 将结构拆成杆件，杆件称作单元。 单元的连接点称作结点。 对单元和结点编码. • 单元分析 单元杆端力 单元杆端位移 • 集零为整
5
6 2 3
2
6
ห้องสมุดไป่ตู้
3 1
4
5
1
4
------ 整体分析
e
结点外力 单元杆端力 结点外力 单元杆端位移 (杆端位移=结点位移) 结点外力 结点位移
e
F x1 F y1 M 1 F x2 F y2 M 2
e
u1 v1 1 u 2 v2 2
e
F e k e e
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e
(b)
写成矩阵形式：
F x1 cosα sinα F y1 -sinα cosα 0 M1 0 0 F x2 0 0 0 F y2 0 M 2 0