2.3 变量之间的相关关系(修改)

20 10 0 10 20 30 40 50 60 年龄
如果能够求出这条回归直线的方程（简称回 归方程），那么我们就可以比较清楚地了解年龄 与体内脂肪含量的相关性. 脂肪含量
40 30 20 10
0
10
20 30 40 50 60
年龄
讨论：1、每个同学画的直线相同吗？ 2、你认为回归直线有很多条吗？
Q y1 bx1 a y2 bx2 a yn bxn a
2 2
2
y i bxi a
(x1,y1) (xi ，yi) (xn ，yn)
(x2 ，y2)
这样，问题就归结为：当a，b取什么值时Q最小？即 点到直线 y bx a 的“整体距离”最小.
即学即用
1.下列关系中,是带有随机性相关关系的是 ②③④ ①正方形的边长与面积的关系;②水稻产量与施肥量 之间的关系;③人的身高与年龄之间的关系;④降雪量 与交通事故发生之间的关系. 2. 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ D ） A．角度和它的余弦值 B. 正方形边长和面积 C．正ｎ边形的边数和它的内角和 D. 人的年龄和身高
2.3 变量间的相关关系
【复习回顾】
1.用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
（1）众数：最高的矩形的底边的中点的横坐标．
（2）中位数：左右两侧直方图的面积相等．
（3）平均数：每个小矩形的面积乘以小矩形底边
中点的横坐标之和．
注：利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，
与实际数据可能不一致．
【复习回顾】
3、你可以求出直线方程吗？ 脂肪含量 40 30 20 10
0
10
20 30 40 50 60
年龄
回归直线与散点图中各点的位置用数学 的方法来刻画应具有怎样的关系？
从整体上看，各点与此直线最接近， 距离最小.
你能解释这句话的含义吗？
讨论：对一组具有线性相关关系的样本数据： (x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)，
在现实生活中存在着大量的相关关系，如 何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常 重要的作用，变量大量的数据，对数据进行 统计分析，发现规之间的相关关系带有不确 定性，这需要通过律，才能作出科学的判断。 对具有相关关系的两个变量进行统计分 析的方法叫回归分析
相关关系是进行回归分析的基础，同时， 也是散点图的基础。
bx a
(xi ，yi)
的“整体距 (xn ，yn)
(x2 ，y2)
用这n个距离之和来刻画各点到直线的 “整体距离”是比较合适的，即可以用
y bx
i 1 i
n
i
a
y i bxi a
(x1,y1)
(xi ，yi) (xn ，yn)
(x2 ，y2)
由于绝对值使得计算不方便，在实际应用 中人们更喜欢用
验办事，还是很容易出错的。因此，在分析两个
变量之间的关系时，我们还需要有一些有说服力
的方法。
变量间相关关系的概念: 自变量取值一定时,因变量的取 值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.
请同学们回忆一下,我们以前是否学过变量间的关系呢? 两个变量间的函数关系.
相关关系与函数关系的异同点: 相同点:两者均是指两个变量间的关系. 不同点:①函数关系是一种确定的关系;相关关系是一种 非确定的关系.事实上,函数关系是两个非随机变量的关 系,而相关关系是随机变量与随机变量间的关系. ②函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关 系,也可能是伴随关系.
x x y y x y nx y
n n i 1 i i
x x
n i 1 i
2

i 1 n
i
i
x
i 1
2
i
nx
2
ˆ a y bx
根据最小二乘法的思想和 此公式，利用计算器或计算机 可以方便的求得年龄和人体脂 肪含量的样本数据的回归方程.
课堂小结
1．对于两个变量之间的关系，有函数关系 和相关关系两种，其中函数关系是一种确 定性关系，相关关系是一种非确定性关系.
2．散点图能直观反映两个相关变量之 间的大致变化趋势.
3.一般情况下两个变量之间的相关关系 成正相关或负相关，类似于函数的单调 性.
2
前面我们学习了怎样对收集来的数据进行分析: 集中趋势 频率分布图 离散程度 下面我们来介绍一中更为常见的分析方法:
小明,你数学成绩不太理 学不好数学,物理 想,物理怎么样? 也是学不好的
?????... 也不太好啊.
你认为老师的说法对吗?
事实上,我们在考察数学成绩对物理成绩影响的同时,还 必须考虑到其他的因素:爱好,努力程度 数学 成绩 学习 兴趣 物理成绩
Q y1 bx1 a y2 bx2 a yn bxn a
2 2
2
y i bxi a
(x1,y1) (xi ，yi) (xn ，yn)
(x2 ，y2)
这样，问题就归结为：当a，b取什么值时Q最小？即 点到直线 y bx a 的“整体距离”最小.
设其回归方程为
y bx a
,可以用哪些数量关
系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？ (xi,yi) (xn,yn)
(x1,y1)
(x2,y2)
我们可以用点（xi，yi）与这条直线上横坐 标为xi的点之间的距离来刻画点（xi，yi）到直 线的远近.
yi bxi a (i 1,2,3,, n)
图3-1
1、散点图
200 150 100 50 0 -20 0 20 40
热饮杯数
2、从图3-1看到，各点散布在从左上角到由下角的 区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关， 即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。 3、从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直 线的附近，因此利用公式1求出回归方程的系数。 Y= -2.352x+147.767 4、当x=2时，Y=143.063 因此，某天的气温为2 摄氏度时，这天大约可以卖出143杯热饮。
2.标准差与方差
（1）标准差：用来描述样本数据的离散程度.
假设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为 x ， 则标准差的计算公式是：
1 2 2 2 s [( x1 x) ( x2 x) ( xn x) n
（2）方差
1 2 2 2 s [( x1 x) ( x2 x) ( xn x) n
商品销售收入与广告支出经费之间有着密切的联系， 但商品收入不仅与广告支出多少有关，还与商品质 量、居民收入等因素有关。
2〉粮食产量与施肥量之间的关系。
在一定范围内，施肥量越大，粮食产量就越高。 但是，施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素， 因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田 间管理水平等因素的影响。
为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的 接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合 适？ (xi ，yi) (x1,y1) (xn ，yn)
(x2 ，y2)
用这n个距离之和来刻画各点到直线的 “整体距离”是比较合适的，即可以用
y bx a
i 1 i i
n
表示各点到直线 y 离”. (x1,y1)
3〉人体内脂肪含量与年龄之间的关系。
在一定年龄段内，随着年龄的增长，人体内 的脂肪含量会增加，但人体内的脂肪含量还 与饮食习惯、体育锻炼等有关，对于上述各种问题中的两个变量之
间的相关关系，我们都可以根据自己的生活、学
习经验作出相应的判断，因为“经验当中有规
律”。但是，不管你经验多么丰富，如果只凭经
思考2：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关
系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量 之间的关系有一个直观的印象.以x轴表示年龄，y轴表示 脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄 人群脂肪含量的样本平均数.
年龄 23
脂肪 9.5 年龄 53
27
54
39
56
41
57
45
58
49
60
50
61
17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
思考1：对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年 龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起， 就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据，大体上 看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？
例2、有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究 气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出 的热饮杯数与当天气温的对比表：
摄氏温度 热饮杯数 1、画出散点图； -5 156 0 150 2、从散点图中发现气温与热饮 4 132 销售杯数之间关系的一般规律； 7 128 12 130 3、求回归方程； 15 116 19 104 4、如果某天的气温是2摄氏度， 23 89 预测这天卖出的热饮杯数。 27 93 31 76 36 54
正相关：一个变量随另一个变量的变大而变大， 散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域 负相关：一个变量随另一个变量的变大而变小，
散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域
思考5：你能列举一些生活中的变量成正相 关或负相关的实例吗?
如高原含氧量与海 拔高度的相关关系，海 平面以上，海拔高度越 高，含氧量越少。 作出散点图发现，它 们散布在从左上角到右 下角的区域内。又如汽 车的载重和汽车每消耗1 升汽油所行使的平均路 程，称它们成负相关.