第六章(惯性仪器测试与数据分析)时间序列

如 (h),(h 1,2,...,p)已知，当 m p 时
x (h)
p k 1
ak
x
(h
k
)
w x
(h) (0)
x (m)
p k 1
ak
x
(m
k
)
研究表明，x (m) 按负指数函数衰减，理论上是无限延伸趋于0的，这种性质 称为拖尾性。
为了判断AR（p）过程的阶数，引入偏自相关系数函数定义
A）每只 i 电阻电压随时间是一条随机波动的曲线
xi (t), (i 1,2,..., N ) ——样本曲线（轨迹、现实） B）在同一特定 t j 时刻各个电阻的电压值各不相同
x1(t j ), x2 (t j ),..., xN (t j ) ——随机变量 X (t j )取值
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一、随机过程的基本概念
自协方差函数 CX (n1, n2 ) Cov[X (n1), X (n2 )]
E{[X (n1) X (n1)][X (n2 ) X (n2 )]}
lim 1 N N
N[
i1
xi
(n1 )
X
(n1 )][xi
(n2
)
X
(n2
)]
自相关系数函数
X (n1, n2 )
CX (n1, n2 )
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二、ARMA模型及其特点
按定义不好计算，研究发现X (k) 恰好与k阶Y-W方程的解系数 kk 完全相同
1
x (1)
...
P(X 0) 0.5
•••
P(X 1) 0.5
E( X ) 0 0.5 1 0.5 0.5
D( X ) (0 0.5)2 0.5 (1 0.5)2 0.5 0.25
CX (n1, n2 ) L
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二、ARMA模型及其特点
建立模型意义： A）获得一些重要的模型参数，有助于深入了解研究对象，为进一步改进研究 对象提供依据； B）通过建立研究对象的数学表达式，是更好地发挥研究对象的使用性能的基 础，特别是在使用现代最优控制和最优估计理论解决实际问题时，对传感器 进行随机测量误差建模分析具有重要意义。
正态分布，高斯白噪声常记作
W
(n)
~
WN
(W
,
2 W
)
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一、随机过程的基本概念
3、平稳性与各态遍历性
（3）各态遍历平稳过程 对于平稳过程，实际工作中通常很难取得足够多的样本用来分析随机过
程的总体特性，有时也是没有必要的，所以常常只用少量甚至一个样本函数 进行分析，这就涉及到一个样本函数的特性能否代表和估计随机过程总体特 性的问题。
惯性仪器测试与数据分析
西北工业大学 自动化学院 严恭敏 2015-09
1
第六章 时间序列分析
主要内容： • 一、随机过程的基本概念 • 二、ARMA模型及其特点 • 三、ARMA建模分析
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第六章 时间序列分析
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一、随机过程的基本概念
1、随机向量
（1）随机变量
在概率论中，随机变量 X 用来描述随机事件，可分为续型随机变 量，离散型随机变量。
2 X
(n1
)
2 X
(n2
)
1 X (n1, n2 ) 1 X (n, n) 1
自相关函数
RX
(n1,
n2
)
E[
X
(n1) X
(n2
)]
lim
N
1 N
N i1
xi
(n1
)
xi
(n2
)
恒等式 CX (n1, n2 ) RX (n1, n2 ) X (n1)X (n2 )
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
X (n),
n 0,1,2,...
时间序列就是按照时间的先后顺序记录的一列有序数据，这些数据由
于受到各种偶然因素的影响，往往表现出某种随机性，但彼此之间又存在
一定的相关性；
时间序列分析就是对时间序列进行观察、研究，揭示其蕴含的内在规
律，进而根据变化规律预测走势或实施控制。
时间序列分析方法大体可分为时域和频域两种分析方法。时域分析方法主要从
二、ARMA模型及其特点
x(n) w(n) b1w(n 1) b2w(n 2) ... bp w(n q)
（2）MA(q) 模型特点 自协方差函数 x (h) E[x(n)x(n h)] E
q k
0
bk
w(n
k
)
q k 0
bk
w(n
k
)
q j0
b
j
w(n
j h)
2
b b qh
方差矩阵 D( X ) E[(X μX )(X μX )T ]
2 X1
Cov( X 2,
X
1
)
Cov( X1, X 2 ) 2
X2
... ...
Cov( Cov(
X X
1 2
, ,
X X
N N
) )
...
...
...
...
Cov( X N , X1) Cov( X N , X 2 ) ...
序列自相关的角度揭示时间序列的发展规律；频域分析方法也称为频谱分析，从
频率角度揭示时间序列的规律。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一、随机过程的基本概念
2、随机过程与时间序列
（5）时间序列的数字特征
均值序列
X
(n)
E[
X
(n)]
lim
N
1 N
N i1
xi
(n)
方差函数
2 X
(n)
D[
X
(n)]
E{[X (n) X (n)]2}
（1）ARMA(p,q)、MA(q)与AR(p)模型定义
以零均值高斯白噪声序列 w(n) ~ WN(0, 2 )作为时间序列分析的最基本组成 单元，一般各态遍历平稳时间序列 x(n) 使用白噪的线性组合声来表示。
w(n)
x(n)
H (z)
线性时不变离散系统 （ 数 字 滤 波 器 ， ARMA模 型 ）
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一、随机过程的基本概念
3、平稳性与各态遍历性
（1）严平稳过程（狭义平稳过程） 随机过程的所有概率统计性质不随时间原点推移而变化，要求过于苛刻，不 利于理论分析和实际应用。
（2）宽平稳过程（广义平稳过程或二阶矩平稳过程 ）
①在所有时刻上，均值序列和方差序列都是常值，且方差有限，即 X (n) X
（3）AR(p) 模型特点
p k 1
ak
x(n
k
)
w(n)
自协方差函数
x (h) E[x(n)x(n h)] E x(n)[
p k 1
ak
x(n
h
k
)
w(n
h)]
E x(n)[
p k 1
ak
x(n
h
k )]
E[x(n)w(n
h)]
p k 1
ak
x
(h
k
)
xw
(h)
自相关系数函数
若满足所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二阶统计特性与单一样本函
数在长时间的统计特性一致则称为各态遍历平稳随机过程，即
X
E[X (n)] lim 1 M 2M 1
M nM
xi
(n)
xi
R( ) E[X (n)X (n )] lim 1 M 2M 1
M nM
xi
(n)xi (n
)
外与既往q个噪声 w(n 1),w(n 2),...,w(n p) 也存在相关性
B) MA(q) 模型（滑动平均模型 ）
p0
x(n) w(n) b1w(n 1) b2w(n 2) ... bqw(n q)
q k 0
bk
w(n
k
)
C) AR (p) 模型（自回归模型 ）
滑动平均系数
2 XN
Cov( Xi , X j ) E[(X i Xi )(X j Xj )]
2 Xi
D(Xi )
Cov( Xi , Xi ) 4
一、随机过程的基本概念
2、随机过程与时间序列
xN(t)
xN(t)
RN
...
x1(t)
x2(t)
R2 x1(t) 0
R1
x2(t)
...
0
.
xN(t1)
.
xN(t2)
2
xw(h)
0
h0 h0
x (h)
p k 1
ak
x
(h
k
)
w (h) x (0)
矩阵形式 1
a p
k1 k
x
(k)
2 x (0)
1
x (1) ... x ( p 1) a1 x (1)
x (1)
...
1 ...
... ...
x
(
p ..
.
2)
a2 ...
x (2) ...
使用概率密度函数、概率分布函数、特征函数及数字特征（均值、方差 和矩等）等数学语言描述。
（2）随机向量
由 N 个随机变量组成一组向量： X X1, X2,...,X N T
Xi E( Xi ) (i 1,2,...,N)
均值向量 μX E(X) E(X1), E(X2 ),...,E(X N )T X1, X 2,...,XN T
.
0
. .x2(t1)
x1(t1) x1(t2)
. .x2(t2)
x1(tj)
.
x2(tj) t