(完整版)时间序列数据的基本回归分析
第九章时间序列数据的基本回归分析
第九章时间序列数据的基本回归分析时间序列数据是指按照时间顺序排列的一系列数据观测值。
在实际应用中，时间序列数据广泛存在于经济学、金融学、气象学等领域，对于了解数据的趋势、季节性等特征具有重要意义。
时间序列数据的基本回归分析是通过建立回归模型，来研究时间序列数据中因变量与自变量之间的关系。
时间序列数据的回归分析可以分为简单回归和多元回归。
其中，简单回归是指只含有一个自变量的回归模型，多元回归是指含有多个自变量的回归模型。
下面将分别介绍这两种回归模型及其应用。
简单回归模型简单回归模型是时间序列数据回归分析中最基础的模型，其形式为：Y_t=α+βX_t+ε_t其中，Y_t表示时间为t时的因变量观测值，X_t表示时间为t时的自变量观测值，α和β分别是回归方程的截距项和斜率项，ε_t是误差项。
简单回归模型常用于分析两个变量之间的关系，并通过计算斜率项β的值来判断两个变量之间的线性相关程度。
如果β的值为正，则表示两个变量之间呈正相关关系；如果β为负，则表示两个变量之间呈负相关关系。
同时，可以通过计算误差项ε_t的方差来评估模型的拟合优度。
多元回归模型当考虑到多个自变量对因变量的影响时，可以使用多元回归模型。
其形式为：Y_t=α+β_1X_1,t+β_2X_2,t+...+β_kX_k,t+ε_t其中，Y_t表示时间为t时的因变量观测值，X_1,t,X_2,t,...,X_k,t表示时间为t时的自变量观测值，α和β_1,β_2,...,β_k分别是回归方程的截距项和各自变量的斜率项，ε_t是误差项。
多元回归模型相较于简单回归模型更能够适用于分析多个自变量与因变量之间的复杂关系。
在建模过程中，可以通过检验回归系数的显著性水平，来判断自变量对因变量的影响是否显著。
此外，还可以通过判断方程残差的波动性来评估模型的拟合优度。
时间序列数据的回归分析在实际应用中具有重要意义。
例如，经济学中常使用时间序列数据回归分析来研究GDP与通货膨胀率之间的关系；金融学中，可以利用时间序列数据回归分析来研究股票收益率与市场因素之间的关系。
chapter10时间序列数
与横截面数据类似，时间序列数据有
E(ut xt1, xt2,L , xtk ) E(ut xt ) 0 (8.8)
Xtj是同期外生的
同期外生——一致的，严 格外生——无偏的
假定TS.3只要求“同期外生”吗 否。ut必须与xsj不相关，即使s不等于t。
Eg：无法知道股市下一个交易 日的确切的收盘指数是多少？
随机过程或者时间序列过程：标注有时间的一
个随机变量序列
什么是时间序列数
当搜集到一组时间序列，
据的“总体” ？
就得到该随机过程的一个
可能的结果或实现
一个时间序列过程的所
有可能实现集
10.2时间序列回归模型的例子
静态模型与有限分布滞后模型 这两种模型在经验的时间序列分析中很有用，
y对z的将来值有反馈作用的例子：
mrdrtet 0 1 polpet ut
如果城市根据过去犯罪率的多少来调整警力规 模，则意味着polpet+1可能与ut相关，因为较高 的ut导致较高的mrdrtet
严格外生的解释变量无法对过去发生在y上 的变化做出反应
有的变量满足这样的要求：未来各年的降雨 量不受现在或过去产量的影响。
obsno year avgmin avgcov unemp
gnp
1
1950
0.20
20.1
15.4
878.7
2
1951
0.21
20.7
16.0
925.0
3
1952
0.23
22.6
14.8
1015.9
︰
︰Leabharlann ︰︰︰︰
回归分析与时间序列介绍 共13页
20
40
60
80
100
120
140
Y=a 0 + a1X
N
误差： yi a0 a1xi2最小 i1
目标:寻求变量之间的关系
1 线性回归分析2[4]
最小二乘法：
N
yi a0 a1xi2最小
i1
a 0iN 1yia 0a 1xi 2 2iN 1yia ˆ0a ˆ1xi 0
2季 5.3437 5.5326 5.6585 5.5326 5.8631 5.9655
3季 4.8479 4.7456 4.6748 4.9896 4.9974 5.2021
4季 6.4219 6.4092 6.6455 6.6423 6.7761 6.8941
线性回归计算长期趋势：
T=5789.8+21.8X
Y`=Y-长期趋势 Y`=Y-T 将Y`按周期(t)取平均
Ci
t n
n/t1
y`ij*t
j0
找周期方法: 1.估计 2.遍历 3.看频谱
不规则趋势：
不规则趋势=Y-长期趋势-周期趋势 I=Y-T-C
2.4 时间序列分解示例[6]
某城市居民用煤量：
1季 1991年 6.8784 1992年 6.8154 1993年 6.6344 1994年 7.1302 2019年 7.4135 2019年 7.4765
500
400
300
200
100
0 0
20
40
60
Y=a 0 + a1 X
aˆ1
(x x) ( y (x x)2
y)
aˆ0 y b x
中国海洋大学金融时间序列第三章时间序列回归分析课件
yt c 0xt 1xt1 k xtk ut ,
p1
yt c xj 1t j j0
pk
xj kt j u t j0
不同解释变量的滞后长度可以不同。
动态模型：若分布滞后模型中增加因变量的滞后变
量作为解释变量，这样的模型称为自回归分布滞后
模型。例：
yt c yt1 0xt 1xt1 2xt2 ut
自回归分布滞后模型系数可以分为直接影响和间接
假设有两个模型因变量相同，自变量不完全相同，并且不嵌套， 如何检验一个模型优于另一个模型呢？检验方法如下： 估计模型B，计算因变量的拟合值，将模型B的因变量估计值作 为一个新的解释变量放入模型A：
yt c xAt yˆBt ut
检验系数δ是否等于零。如果拒绝零假设模型B优于模型A。重 复这个过程，先估计模型A，然后把估计值代入模型B，做相 同的假设检验。 J检验可能出现的问题：都拒绝零假设，说明任一模型都不能 解释因变量。若都不能拒绝，说明数据不足以区分两个模型。
对于时间序列数据建立回归模型的假设条件为：
E1：(yt, x1t,…xkt)是平稳分布，并且满足遍历性，即 随着i的增大， (yt, x1t,…xkt)与(yt+i, x1t+i,…xkt+i)相互 独立。
E2：E(ut|Xt)=0，Xt=( x1t,…xkt)，t=1,…,T E3：解释变量间不存在完全多重共线性。
回归分析中的时间序列数据处理技巧(八)
回归分析中的时间序列数据处理技巧时间序列数据在回归分析中扮演着重要的角色，它们能够帮助我们理解变量之间的因果关系，预测未来走势，并制定合理的决策。
然而，时间序列数据处理并不是一件简单的事情，它涉及到很多技巧和方法。
在本文中，我们将讨论回归分析中的时间序列数据处理技巧，帮助读者更好地应对这一挑战。
1. 数据平稳性首先，我们需要确保时间序列数据的平稳性。
平稳时间序列意味着其均值和方差在整个时间范围内保持不变，这样才能保证回归分析的准确性。
我们可以通过观察数据的均值和方差是否随时间变化来初步判断数据的平稳性，同时还可以借助单位根检验等统计方法来验证数据的平稳性。
2. 季节性调整很多时间序列数据都会存在季节性变化，这会对回归分析的结果产生影响。
因此，我们需要对数据进行季节性调整，以消除这一影响。
常用的方法包括季节性差分和季节性调整模型，通过这些方法，我们可以更好地理解数据的趋势和周期性。
3. 自相关性和残差分析自相关性是时间序列数据中常见的问题，它会导致回归分析的结果产生偏误。
因此，我们需要对数据进行自相关性分析，找出存在自相关性的变量，并进行相应的处理。
另外，残差分析也是非常重要的一步，通过对残差进行检验，我们可以验证回归模型的拟合效果，从而提高模型的准确性。
4. 异常值和缺失值处理在时间序列数据中，往往会存在一些异常值和缺失值，这会对回归分析的结果产生严重影响。
因此，我们需要对这些异常值和缺失值进行处理，以确保数据的完整性和准确性。
常用的方法包括插值和异常值检测，通过这些方法，我们可以更好地理解数据的真实情况。
5. 模型选择和评估最后，我们需要选择合适的回归模型，并对其进行评估。
在选择模型时，我们需要考虑数据的特点和回归分析的目的，同时还需要注意模型的复杂性和拟合效果。
在评估模型时，我们可以借助残差分析、预测准确性和模型比较等方法，从而找出最优的回归模型。
总结回归分析中的时间序列数据处理技巧涉及到很多方面，从数据的平稳性到模型的选择和评估，都需要我们付出较大的努力。
伍德里奇《计量经济学导论》(第5版)笔记和课后习题详解-第10章 时间序列数据的基本回归分析【圣才出
第10章时间序列数据的基本回归分析10.1复习笔记一、时间序列数据的性质时间序列数据与横截面数据的区别：（1）时间序列数据集是按照时间顺序排列。
（2）时间序列数据与横截面数据被视为随机结果的原因不同。
①横截面数据应该被视为随机结果，因为从总体中抽取不同的样本，通常会得到自变量和因变量的不同取值。
因此，通过不同的随机样本计算出来的OLS估计值通常也有所不同，这就是OLS统计量是随机变量的原因。
②经济时间序列满足作为随机变量是因为其结果无法事先预知，因此可以被视为随机变量。
一个标有时间脚标的随机变量序列被称为一个随机过程或时间序列过程。
搜集到一个时间序列数据集时，便得到该随机过程的一个可能结果或实现。
因为不能让时间倒转重新开始这个过程，所以只能看到一个实现。
如果特定历史条件有所不同，通常会得到这个随机过程的另一种不同的实现，这正是时间序列数据被看成随机变量之结果的原因。
（3）一个时间序列过程的所有可能的实现集，便相当于横截面分析中的总体。
时间序列数据集的样本容量就是所观察变量的时期数。
二、时间序列回归模型的例子1．静态模型假使有两个变量的时间序列数据，并对y t和z t标注相同的时期。
把y和z联系起来的一个静态模型（staticmodel）为：10 1 2 t t t y z u t nββ=++=⋯，，，，“静态模型”的名称来源于正在模型化y 和z 同期关系的事实。
若认为z 在时间t 的一个变化对y 有影响，即1t t y z β∆=∆，那么可以将y 和z 设定为一个静态模型。
一个静态模型的例子是静态菲利普斯曲线。
在一个静态回归模型中也可以有几个解释变量。
2．有限分布滞后模型（1）有限分布滞后模型有限分布滞后模型（finitedistributedlagmodel，FDL）是指一个或多个变量对y 的影响有一定时滞的模型。
考察如下模型：001122t t t t ty z z z u αδδδ--=++++它是一个二阶FDL。
《时间序列回归》课件
多元回归模型
介绍多元回归模型的 概念和应用。
多项式回归模 型
讨论多项式回归模型 在时间序列回归中的 应用。
嵌套回归模型
探讨嵌套回归模型在 时间序列分析中的作 用。
时间序列回归模型
1
一般线性模型
详细解释一般线性模型及其在时间序列回归中的应用。
2
自回归滑动平均模型
介绍自回归滑动平均模型，以及该模型在时间序列分析中的重要性。
讲解如何估计时间序列回归模型 的参数和进行模型诊断。
模型预测及应用案例
探讨时间序列回归模型的预测能 力和实际应用案例。
总结
时间序列回归模型的优缺点
总结时间序列回归模型的优点和局限性。
时间序列回归模型的应用前景
展望时间序列回归模型在未来的应用前景。
时间序列回归与机器学习的关系
讨论时间序列回归与机器学习领域的关联和互补。
《时间序列回归》PPT课 件
这份PPT课件将带你了解时间序列回归的概念、应用场景以及经典分析方法。 让我们一起探索时间序列回归的奥秘和魅力吧！
概述
时间序列回归的定义
介绍时间序列回归分析的基本概念和含义。
模型应用场景
探讨时间序列回归模型在实际应用中的广泛应用。
经典时间序列分析方法
介绍一些经典的时间序列分析方法，帮助我们更好地理解时间序列回归。
白噪声
详细阐述白噪声在时间序列回 归中的特点和重要性。
自相关和偏自相关函 数
讲解自相关和偏自相关函数在 时间序列回归分析中的应用。
模型诊断和检验
介绍模型诊断和检验方法，以 确保模型的准确性。
时间序列回归实例分析
使用Python实现时间序列 回归
探索如何使用Python进行时间序 列回归分析。
时间序列分析模型与回归分析模型算法说明
时间序列分析模型与回归分析模型算法说明本次模型采用时间序列分析模型与回归分析模型进行组合训练，以此来对经济指标进行时间序列预测发现其自身的规律性，据此预测未来一段时间内经济数据的变化。
同时采用回归分析对经济指标间的相关性进行分析，确定指标间的函数变动，探究指标之间的联系。
一、回归分析线性回归和逻辑回归通常是人们学习预测模型的第一个算法。
由于这二者的知名度很大，许多分析人员以为它们就是回归的唯一形式了。
而了解更多的学者会知道它们是所有回归模型的主要两种形式。
事实是有很多种回归形式，每种回归都有其特定的适用场合。
在这篇文章中，我将以简单的形式介绍7 中最常见的回归模型。
通过这篇文章，我希望能够帮助大家对回归有更广泛和全面的认识，而不是仅仅知道使用线性回归和逻辑回归来解决实际问题。
1. 什么是回归分析？回归分析是一种预测建模技术的方法，研究因变量（目标）和自变量（预测器）之前的关系。
这一技术被用在预测、时间序列模型和寻找变量之间因果关系。
例如研究驾驶员鲁莽驾驶与交通事故发生频率之间的关系，就可以通过回归分析来解决。
回归分析是进行数据建模、分析的重要工具。
下面这张图反映的是使用一条曲线来拟合离散数据点。
其中，所有离散数据点与拟合曲线对应位置的差值之和是被最小化了的，更多细节我们会慢慢介绍。
2. 为什么使用回归分析？如上面所说，回归分析能估计两个或者多个变量之间的关系。
下面我们通过一个简单的例子来理解：比如说，你想根据当前的经济状况来估计一家公司的销售额增长。
你有最近的公司数据，数据表明销售增长大约是经济增长的2.5 倍。
利用这种洞察力，我们就可以根据当前和过去的信息预测公司未来的销售情况。
使用回归模型有很多好处，例如：揭示了因变量和自变量之间的显著关系揭示了多个自变量对一个因变量的影响程度大小回归分析还允许我们比较在不同尺度上测量的变量的影响，例如价格变化的影响和促销活动的数量的影响。
这样的好处是可以帮助市场研究者/ 数据分析家/ 数据科学家评估选择最佳的变量集，用于建立预测模型。
回归分析中的时间序列数据处理技巧(六)
回归分析是一种常用的统计方法，用于研究一个或多个自变量对因变量的影响程度。
在实际应用中，时间序列数据是非常常见的一种数据形式，因此在回归分析中处理时间序列数据的技巧显得尤为重要。
本文将从不同角度探讨时间序列数据处理技巧，帮助读者更好地应用回归分析。
时间序列数据的特点首先，我们需要了解时间序列数据的特点。
时间序列数据是按照时间顺序收集的数据，具有一定的时间相关性。
这意味着数据之间不是独立的，而是存在一定的相关性，通常包括趋势、周期性和季节性。
因此，在回归分析中处理时间序列数据时，需要考虑这些特点，选择合适的方法进行分析。
趋势分析在回归分析中，趋势分析是非常重要的一部分。
趋势分析可以帮助我们了解数据的整体变化趋势，从而更好地进行预测和决策。
常用的趋势分析方法包括简单线性回归、多元线性回归和指数平滑法等。
在选择趋势分析方法时，需要根据具体的数据特点和分析目的进行选择，避免盲目使用某种方法导致分析结果不准确。
季节性调整除了趋势分析，时间序列数据中常常存在季节性波动。
为了更准确地进行回归分析，我们需要对季节性进行调整。
常用的季节性调整方法包括差分法、X-12-ARIMA方法和回归模型法等。
这些方法可以帮助我们剔除季节性影响，更好地分析数据的本质规律。
自相关性检验时间序列数据中常常存在自相关性，即相邻观测值之间存在相关关系。
在回归分析中，自相关性可能会导致模型估计不准确，因此需要进行自相关性检验。
常用的自相关性检验方法包括拉格朗日乘数检验、达布-沃森检验和克鲁格-格兰杰检验等。
通过自相关性检验，我们可以判断数据是否存在自相关性，并采取相应的处理方法。
外生变量引入除了时间序列数据本身的变量，回归分析中还可能涉及外生变量的引入。
外生变量是影响因变量的因素，不受其他变量的影响。
在引入外生变量时，需要注意外生变量的选择和处理。
通常可以通过相关性分析和多重共线性检验来判断外生变量的影响程度，避免外生变量引入后对模型造成不利影响。
时间序列回归
SARIMAX模型
01
SARIMAX模型是SARIMA模型的扩展，在SARIMA的基础 上引入外部解释变量（X）。
02
SARIMAX模型允许在预测时间序列时考虑外部因素的影响， 提高了模型的预测精度和解释能力。
03
在选择合适的SARIMAX模型时，需要确定外部解释变量的影 响方式和滞后阶数，以使模型能够更好地拟合和预测时间序列
气象预测
用于预测气温、降雨量、风速等气象指标。
时间序列回归的基本假设
线性关系
因变量与自变量之间存在线性关系，即它们 之间的关系可以用直线或曲线表示。
无自相关性
误差项之间没有自相关性，即误差项之间相 互独立。
平稳性
时间序列数据没有明显的趋势和季节性变化， 即数据的统计特性不随时间而变化。
同方差性
误差项的方差恒定，即方差不随时间而变化。
非线性趋势
对于非线性时间序列数据，可以使用 非线性回归模型来预测未来趋势，例 如指数回归、多项式回归等。
预测季节性变化
季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）
适用于具有季节性特征的时间序列数据，通过季节性自回归和积分滑动平均来捕捉季节性变化规律，预测未来季 节性变化。
循环神经网络（RNN）
对于具有周期性特征的时间序列数据，可以使用循环神经网络进行预测，能够捕捉时间序列中的长期依赖关系。
时间序列回归
• 时间序列回归简介 • 时间序列回归模型 • 时间序列回归的参数估计与优化 • 时间序列回归的评估与诊断 • 时间序列回归的预测与决策 • 时间序列回归的案例分析
目录
01
时间序列回归简介
定义与概念
定义
时间序列回归是一种统计方法，用于 分析时间序列数据中两个或多个变量 之间的关系。它基于历史数据预测未 来的趋势和变化。
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❖ 一般性FDL模型：
yt=0+0zt+1zt-1+…+qzt-q+ut 冲击乘数： 0 长期乘数：0+1+…+q
❖ 对于模型：
yt=0+b yt-1+0zt+1zt-1+…+qzt-q+ut
冲击乘数和长期乘数分别为多少？
➢时间序列回归的经典假设
❖ OLS估计量的无偏性
假设：TS.1 关于参数线性； TS.2 无完全共线性； TS.3 零均值条件（严格外生）：E(ut|X)=0 TS.3* 同期外生： E(ut|Xt)=0
OLS估计量是最优线性无偏估计量（BLUE）
2的无偏估计量：
SSR/(n-k-1)
❖ 统计推断
假设：TS.6 正态性：ut独立于X，且ut~i.i.n(0, 2)
TS.6包含TS.3、TS.4和TS.5
经典假定TS.1~TS.6成立： OLS估计量服从正态分布 零假设下，t统计量服从t分布，F统计量服从F分布
航空事故对公司股票收益的影响；地产新政对地产板块 股票收益的影响：
❖ 指数
Rtf=b0+ b1Rtf + b2d+ut
基期的变化；
价格指数：可用于计算通胀率，和将名义值换算为实际 值
大多数经济行为受真实变量而非名义变量的影响 工作时间与小时工资
log(hours)= b0+ b1log(w/p)+u log(hours)= b0+ b1log(w)+ b2log(p)+u
TS.1、TS.2和TS.3成立： OLS估计量具有无偏性和一致性！
TS.1、TS.2和TS.3*成立（较弱）： OLS估计量只具有一致性！
对于随机抽样的截面数据，TS.3和TS.3*是等同的。
❖ 高斯-马尔科夫定理
假设：TS.4 同方差性，Var(ui|X)=2
TS.5 无序列相关性 TS.1~TS.5成立：
yt的方差是不变的：
Var(yt)=Var(et)= e2
❖ 指数趋势
log(yt)=b0+b1t+et ❖ 参数b1的经济含义：
b1=log(yt) (yt-yt-1)/yt-1
❖ 回归分析中的趋势变量
若因变量y和自变量x1和x2含有线性趋势，引入趋势变 量：
yt=b0+b1x1t+b2x2t+b3t+ut
yt=0+0zt+1zt-1+2zt-2+ut
假定t期z提高一个单位，扰动项为0： …，zt-2=c， zt-1=c， zt=c+1，zt+1=c， zt+2=c，…
yt-1=0+0c+1c+2c yt=0+0(c+1)+1c+2c yt+1=0+0c+1(c+1)+2c yt+2=0+0c+1c+2(c+1) yt+3=0+0c+1c+2c
❖ 对华反倾销： ❖ 交互影响
克林顿的得票率（54.65%）：
➢趋势和季节性
❖ 趋势与虚假相关
❖ 线性时间趋势模型：
yt=0+1t+et
et~i.i.d(0, e2 )
❖ 关于参数1的两种理解：
从当期到下一期，yt的绝对变化额：
1=yt=yt-yt-1
yt随时间的变化趋势：
E(yt)=0+1t
估计模型：
yˆt bˆ1x1t + bˆ2x2t 这与包含线性趋势的回归模型是等同的：
yt=b0+b1x1t+b2x2t+b3t+ut
❖ 包含线性趋势时的可决系数R2
yt=b0+b1x1t+b2x2t+b3t+ut
总体可决系数：
R2=1-(u2/y2)
样本可决系数和调整可决系数：
R2 1 SSR SST
❖ 静态模型
inft =b0+b1unemt+ut mrdrtet=b0+b1convrtet+b2unemt+b3yngmlet+ut
关于同期关系的模型化 ❖ 有限分布滞后模型（FDL）
gftt=0+0pet+1pet-1+2pet-2+ut
生育决策并非直接源于个人所得税减免的变化。
❖ 冲击乘数与长期乘数
冲击乘数：t期z提高一个单位引起y的即期变化：
yt-yt-1=0
长期乘数： t期z提高一个单位引起y总的变化：
(yt-yt-1)+ (yt+1-yt-1)+ (yt+2-yt-1)= 0+1+2
❖ 另一种分析方式：
假定t期z永久提高一个单位，扰动项为0 ： …，zt-2=c， zt-1=c， zt=c+1，zt+1=c+1， zt+2=c+1，…
可以将线性趋势t理解为除x1和x2外，导致y中线性趋势 的其他不可观测因素。
x围绕其线性趋势的变化对因变量偏离其趋势的影响
❖ 包含线性趋势的生育方程
❖ 包含时间趋势的回归模型与退势处理
y、x1和x2都含有线性趋势，一个自然的做法是退势处 理： yt=â0+â1t+ÿt x1t ˆ0 + ˆ1t + x1t x2t ˆ0 +ˆ1t + x2t
❖ 统计推断
静态菲利普斯曲线
通货膨胀、赤字对利率的影响
➢函数形式、虚拟变量和指数
❖ 对数形式：
最低工资对就业的影响：
产出与货币需求：
短期弹性：0 长期弹性：0+ 1+ 2+ 3+ 4
❖ 时间序列分析中的虚拟变量
改革开放前后 大学扩招与企业创新能力 税收豁免与生育率：
❖ 事件研究
研究某个事件（某个政策的实施）对某项结果的影响 用虚拟变量区分政策实施前后两个类别
R2
1
SSR /(n SST /(n
k 1) 1)
y的方差y2不等于SST/(n-1)
更合理的拟合优度度量：
R2 1
SSR
ห้องสมุดไป่ตู้n t 1
yt2
R
2
1
SSR /(n
n t 1
yt2
k 1) (n 2)
❖ 季节性
yt-1=0+0c+1c+2c yt=0+0(c+1)+1c+2c yt+1=0+0 (c+1)+1(c+1)+2c yt+2=0+0 (c+1)+1 (c+1)+2(c+1)
冲击乘数：z提高一个单位引起y的即期变化：
yt-yt-1=0
长期乘数： z 永久性提高一个单位对y的长期影响：
yt+2-yt-1= yt+3-yt-1=…= 0+1+2
第十章
时间序列数据的基本回归分析
➢时间序列数据的性质
❖随机过程
x1, x2, …, xT-1, xT
x11, x21, …, xT-11, xT1 x12, x22, …, xT-12, xT2
x1s, x2s, …, xT-1s, xTs
❖时间序列是随机过程的一种实现
➢时间序列回归模型的例子