高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 利用导数判断函数的单调性课件5 新人教B版选修1-1
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(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.3.3
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(3)函数f(x)在闭区间[a，b]上图象连续不断，是f(x)在闭区 间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个， 而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有，函数的最大 值一定不小于它的最小值．
函数在闭区间上的最值可在端点处取 ③×
得，也可以在内部取得 ④ × 单调函数在开区间(a，b)内无最值
答案： A
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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2．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为
10，则其最小值为( )
A．－10
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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(2)若 a<0，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
所以当 x＝0 时，f(x)取得最小值， 所以 f(0)＝b＝－29.
数学 选修1-1
x
－3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1)
f′(x)
＋
0
－
0＋
f(x)
－60
极大 值4
极小 极大 值3 值4
∴当 x＝－3 时，f(x)取最小值－60；
1 (1,2) 2 0－
－ 5
数学：3.3.1函数的单调性与导数课件
3.3.1函数的单调性与导数
第一页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
一、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数；
的图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
内的图象平缓.
第十二页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
练习
函数 y f (x)的图象如图所示, 试画出导函数 f (x图) 象的
大致形状
第十三页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
第二十页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
• 解法二：(数形结合)
• 如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在 (1,4)内f′(x)≤0，(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0 有一根为1，则另一根在[4,6]上．
所以ff′′((46))≤≥00，， 即35((57－－aa))≤≥00，， 所以 5≤a≤7.
总结
在某个区间上，f '(x)>0(或<0) ，f（x）在这个区间上单调递增 （递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅 仅得到 f '(x)>0(或<0)是不够的。还有可能导数等于0也能使 f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要 单独验证。
数.
第十六页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
练习
1.判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
第一页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
一、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数；
的图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
内的图象平缓.
第十二页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
练习
函数 y f (x)的图象如图所示, 试画出导函数 f (x图) 象的
大致形状
第十三页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
第二十页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
• 解法二：(数形结合)
• 如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在 (1,4)内f′(x)≤0，(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0 有一根为1，则另一根在[4,6]上．
所以ff′′((46))≤≥00，， 即35((57－－aa))≤≥00，， 所以 5≤a≤7.
总结
在某个区间上，f '(x)>0(或<0) ，f（x）在这个区间上单调递增 （递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅 仅得到 f '(x)>0(或<0)是不够的。还有可能导数等于0也能使 f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要 单独验证。
数.
第十六页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
练习
1.判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
高中数学第三章导数及其应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课件8新人教B版选修11
t
的图象.运动员从起跳到最高 O a b
点, 以及从最高点到入水这两
(1)
段时间的运动状态有什么区别?
(2)
t
a
b
(2)
提示： ①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增
加而增加,即h(t)是增函数.相应地, v (t ) h (t ) 0.
②从最高点到入水,
运动员离水面的高
度h随时间t的增加 h
一、情境设置:
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目。那种 风驰电掣、有惊无险的快感令不少年轻人着迷。
二、函数单调性定义
一般地，设函数 y = f (x) 的定义域为I ： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
的值 x1, x2 ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，
解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.
令2x－2＞0，解得x＞1. ∴当x∈(1，+∞)时，f ’(x)＞0，
f(x)是增函数. 令2x－2＜0，解得x＜1.
∴当x∈(－∞，1)时，f ’(x)＜0， f(x)是减函数.
【提升总结】
根据导数确定函数的单调性步骤：
1.求出函数的导数. 2.解不等式f´(x)>0,得函数单调递增区间;
数f x 在x1附近单调递减.
一般地,函数的单调性与其导数的正负有如下关系 :
在某个区间a,b内,如果f′x > 0,那么函数y = f x 在这个区间内单调递增;如果f′x < 0,那么函数 y = f x 在这个区间内单调递减.
如果在某个区间内恒有f x 0,那么函数y f x
函数f x 在点x0,f x0
2020学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课件人教B版选修1_1
已知函数 f(x)＝2ax－1x，x∈(0，1]．若 f(x) 在 x∈(0，1]上是增函数，求 a 的取值范围． 解：由已知条件得 f′(x)＝2a＋x12. 因为 f(x)在(0，1]上是增函数， 所以 f′(x)>0，即 a>－21x2在 x∈ (0，1]上恒成立． 而 g(x)＝－21x2在(0，1]上是增函数．
所以 g(x)max＝g(1)＝－12， 所以 a>－12. 当 a＝－12时，f′(x)＝－1＋x12对 x∈(0，1)有 f′(x)>0，且 仅在 x＝1 时，f′(x)＝0. 所以 a＝－12时，f(x)在(0，1]上是增函数． 所以 a 的取值范围是－12，＋∞.
利用导数研究函数单调性时应注意的问题 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的 定义域，解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数 的符号来判断函数的单调区间． (2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零 的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点． (3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间 不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．
答案：0，1e
4．若函数 f(x)＝x3＋ax2＋4 在区间(0，2)内单调递减，则 实数 a 的取值范围为________． 解析：f′(x)＝3x2＋2ax.由题意得 3x2＋2ax≤0 在(0，2)内恒 成立，即 a≤－32x 在(0，2)内恒成立． 因为当 x∈(0，2)时，－32x>－3，所以 a≤－3. 答案：(－∞，－3]
若 f(x)不变，f(x)在区间(－1，1)上为减函 数，试求 a 的取值范围． 解：由 f′(x)＝3x2－a≤0 在(－1，1)上恒成立，得 a≥3x2 在 x∈(－1，1)上恒成立． 因为－1＜x＜1， 所以 3x2＜3， 所以 a≥3. 即当 a≥3 时，f(x)在区间(－1，1)上为减函数．
导数的应用(第1课时)利用导数研究函数的单调性(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第二册)
图 （ １ ） 中的曲线越来越 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处 的切线斜率始终大于 １ ； 图 （ ２ ） 中的曲线由 “ 陡峭 ” 变得 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的右半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ３ ） 中的曲线由 “ 平缓 ” 变得 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的左半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ４ ） 中的曲线越来越 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处 的切线斜率始终小于 １． 因此 ， 只有图 ５-３-１ （ １ ） 中的图像有可能表示函数 y ＝ f（ 可能成为严格递增区间与严格 递减区间的分界点 ．
例4.确定函数（f x）＝x2的单调区间 ．
解函数在x 0处没有定义 ．当x 0时，f (x)=-2x3，
方程f′（ x )＝０ 无解 ， 所以函数 f（ x ）没有驻点 ． 但当 x ＞０ 时 ，f′（ x ） ＜０ ，f（ x ） 单调递减 ； 当 x ＜０ 时 ，f′（ x） ＞０ ， f（ x ） 单调递增 ． 可 见 ， 函数 f （ x ） 的严格递增区间为 （－∞，０）， 严格 递减区间为（０，＋∞）
课本练习 宋老师数学精品工作室
１． 利用导数研究下列函数的单调性 ， 并说明所得结果与你 之前的认识是否一致 ：
宋老师数学精品工作室 ２． 确定下列函数的单调区间 ：
随堂检测 宋老师数学精品工作室
1、函数y＝x2cos 2x的导数为（ ）
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
上面我们用导数值的正负判断函数在某区间的单调性 ． 但导数值还可 以进一步用以判断函数变化速度的快慢 ： 导数f′（ x ０ ） 是函数 f（ x ） 在点 x ０ 的切线的斜率 ， 所以它描述了曲线 y＝f（ x ） 在点 x０ 附近相 对于x轴的倾斜程度 ： 当f′（ x ０ ） ＞０ 时 ，f′（ x０ ） 越大 ， 曲线 y ＝ f （ x ） 在点 x ０ 附近相对于 x 轴倾斜得越厉害 ，f（ x ） 递增得 越快 ； 而当f′（ x ０ ） ＜０ 时 ，f′（ x ０ ） 越小 ， 曲线y ＝ f （ x ） 在点 x０ 附近相对于x轴倾斜得越厉害 ， f （ x ） 递减得越快 ． 综合这 两个方面 ， 导数的绝对值越大 ， 函数图像就越 “ 陡峭 ”， 也就是 函数值变化速度越快 ．
高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 函数的单调性与导数课件 新人教A版选修1-1
求函数的单调区间
【例2】 确定函数f(x)＝x3－3x在哪个区间上是增函数， 在哪个区间上是减函数．
【解题探究】利用求导的方法确定函数的单调性．
【解析】∵f(x)＝x3－3x， ∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)． 令f′(x)＞0，可解得x＜－1或x＞1， ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 令f′(x)＜0，可解得－1＜x＜1， ∴f(x)的单调递减区间为(－1,1)． 故f(x)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在区 间(－1，1)上单调递减．
2．(2019 年湖南永州模拟)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx－1 在区间[0,1]上单调递减，m＝a＋b，则 m 的取值范围是( )
A．－∞，－32 B．－32，＋∞ C．－∞，－3 D．[－3，＋∞)
【答案】A 【解析】依题意，f′(x)＝3x2＋2ax＋b≤0，f(x)在[0,1]上 单调递减恒成立，只需ff′ ′01＝ ＝b3≤ ＋02， a＋b≤0 即可，∴3＋2a ＋2b≤0.∴m＝a＋b≤－32.故选 A．
C．y＝ex－x 【答案】C
D．y＝1x
【解析】A，y′＝3x2－3，当 x∈(0,1)时，y′<0，函数单
调递减；B，y＝cos x 在(0,1)上单调递减；C，y′＝ex－1，当 x
∈(0,1)时，y′>0，函数单调递增；D，y＝1x在(0,1)上单调递减．故
选 C.
2．已知函数 f(x)＝x2＋2cos x，若 f′(x)是 f(x)的导函数， 则函数 f′(x)的图象大致是( )
利用导数判断或证明函数的单调性
【例 1】 求证：函数 f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增函 数．
人教A版高考总复习文科数学精品课件 第3章 导数及其应用 第2节 第1课时 利用导数研究函数的单调性
(2)由题意 f'(x)=e
∵f(x)=e
x
∴f'(x)=e
x
- 2,
+ 在[1,2]上单调递增,
- 2 ≥0
x
在 x∈[1,2]时恒成立,即 a≤x2ex 在 x∈[1,2]时恒成立,令
g(x)=x2ex,g'(x)=2xex+x2ex=xex(x+2)>0,
∴g(x)=x2ex在[1,2]上单调递增,
条件
恒有
f'(x)>0
函数f(x)在某个区
f'(x)<0
间内可导
f'(x)=0
结论
函数y=f(x)在这个区间内 单调递增
函数y=f(x)在这个区间内 单调递减
函数y=f(x)在这个区间内是 常数函数
微点拨讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,
要坚持“定义域优先”原则.
(2)单调性到导数
∴g(x)≥g(1)=e,∴a≤e,故答案为(-∞,e].
考点四
导数在研究函数单调性中的应用(多考向探究)
考向1比较大小
例 4 已知函数
||
f(x)= || ,记
e
A.a>c>b
B.a>b>c
C.c>a>b
D.c>b>a
a=f(log32),b=f(log53), c=f
1
ln
e
,则(
)
答案:D
而引起分类讨论;
3.求导后,f'(x)=0有实数根,f'(x)=0的实数根也落在定义域内,但不清楚这些
2018年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 利用导数判断函数的单调性课件12 新人教B版选修1-1
导数的应用 利用导数判断函数单调性
判断法则：
设函数 y f x 在区间 a ,b 内可导 1.如果在 a ,b 内， f x 0 ，则 f x 在此区间是
增函数；
注意： 1.定义域是前提，单调区间必须是定义域的子集；
注意： 1.定义域是前提，单调区间必须是定义域的子集； 2.不连续单调区间用“和”，“，”连接；
注意：
1.定义域是前提，单调区间必须是定义域的子集；
2.不连续单调区间用“和”，“，”连接；
3.在区间 内，
（或
）是函数
在区 a间,b 上f 为x增 0函数（f或x减 函0 数）的
f x
条 a ,件b 。
注意：
1.定义域是前提，单调区间必须是定义域的子集；
2.不连续单调区间用“和”，“，”连接；
3.在区间 内，
（或
）是函数
在区间a ,b 上f 为x增 0函数（或f x减 函0数）的充
f分x不 必要条件a ,b。
例1.确定函数 y x ex 的单调区间。
例1.确定函数 y x ex 的单调区间。
解： y ex xex ex 1 x
例1.确定函数 y x ex 的单调区间。
例1.确定函数 y x ex 的单调区间。
解： y ex xex ex 1 x 令 ex 1 x 0 解得 x 1 令 ex 1 x 0 解得 x 1
练习：
求下列函数的单调区间
（1） f x x ln x
（2） f x ex
x
练习：
1.已知函数 f x x2 a x 0,常数 a R ，若函数 f x x 在x 2, 上是单调递增的，求a的取值范围。
解： y ex xex 的单调区间。
判断法则：
设函数 y f x 在区间 a ,b 内可导 1.如果在 a ,b 内， f x 0 ，则 f x 在此区间是
增函数；
注意： 1.定义域是前提，单调区间必须是定义域的子集；
注意： 1.定义域是前提，单调区间必须是定义域的子集； 2.不连续单调区间用“和”，“，”连接；
注意：
1.定义域是前提，单调区间必须是定义域的子集；
2.不连续单调区间用“和”，“，”连接；
3.在区间 内，
（或
）是函数
在区 a间,b 上f 为x增 0函数（f或x减 函0 数）的
f x
条 a ,件b 。
注意：
1.定义域是前提，单调区间必须是定义域的子集；
2.不连续单调区间用“和”，“，”连接；
3.在区间 内，
（或
）是函数
在区间a ,b 上f 为x增 0函数（或f x减 函0数）的充
f分x不 必要条件a ,b。
例1.确定函数 y x ex 的单调区间。
例1.确定函数 y x ex 的单调区间。
解： y ex xex ex 1 x
例1.确定函数 y x ex 的单调区间。
例1.确定函数 y x ex 的单调区间。
解： y ex xex ex 1 x 令 ex 1 x 0 解得 x 1 令 ex 1 x 0 解得 x 1
练习：
求下列函数的单调区间
（1） f x x ln x
（2） f x ex
x
练习：
1.已知函数 f x x2 a x 0,常数 a R ，若函数 f x x 在x 2, 上是单调递增的，求a的取值范围。
解： y ex xex 的单调区间。
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[解] 因为f ′(x)＝3x2－a，且f (x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，7分
所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]. 12分
K12课件
14
[迁移探究 2] (变换条件)函数 f (x)不变，若 f (x)在区间(－1,1)上为减函数，试 求 a 的取值范围．
[解] 由f ′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在(－1,1)上恒成立. 5分
因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f (x) 在(－1,1)上为减函数. 12分
K12课件
15
[迁移探究 3] (变换条件)函数 f (x)不变，若 f (x)在区间(－1,1)上不单调，求 a 的取值范围．
K12课件
3
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数 f (x)在区间(a，b)上增加，那么在区间(a，b)上一定有 f ′(x)>0.
() (2)如果函数在某个区间内恒有 f ′(x)＝0，则函数 f (x)在此区间上没有单调 性．( ) (3)f ′(x)＞0 是 f (x)为增函数的充要条件．( )
所上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立. 5分
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，f (x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即
实数a的取值范围为(－∞，0]. 12分
K12课件
13
[迁移探究 1] (变换条件)函数 f (x)不变，若 f (x)在区间(1，＋∞)上为增函数， 求 a 的取值范围．
K12课件
8
5. 已知函数 f (x)＝(－x2＋2x)ex，x∈R，e 为自然对数的底数，则函数 f (x)的 递增区间为________．
(－ 2， 2) [因为f (x)＝(－x2＋2x)ex， 所以f ′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex ＝(－x2＋2)ex. 令f ′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0， 因为ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－ 2＜x＜ 2， 所以函数f (x)的递增区间为(－ 2， 2)．]
[答案] (1)× (2)√ (3)×
K12课件
4
2．f (x)＝x3－6x2 的递减区间为( )
A．(0,4)
B．(0,2)
C．(4，＋∞)
D．(－∞，0)
A [f ′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f ′(x)<0，得0<x<4，∴递减区间为 (0,4)．]
K12课件
5
3．(教材改编)如图 2-11-1 所示是函数 f (x)的导函数 f ′(x)的图像，则下列判 断中正确的是( )
A．函数 f (x)在区间(－3,0)上是减少的 B．函数 f (x)在区间(1,3)上是减少的 C．函数 f (x)在区间(0,2)上是减少的 D．函数 f (x)在区间(3,4)上是增加的
K12课件
6
A [当x∈(－3,0)时，f ′(x)＜0，则f (x)在(－3,0)上是减少的．其他判断均不 正确．]
K12课件
9
判断或证明函数的单调性 已知函数 f (x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．试讨论 f (x)的单调性.
[解] f ′(x)＝3x2＋2ax，令f ′(x)＝0，
解得x1＝0，x2＝－23a.
2分
K12课件
10
当a＝0时，因为f ′(x)＝3x2≥0，所以函数f (x)在(－∞，＋∞)上是增加的；4 分
[解] ∵f (x)＝x3－ax－1，∴f ′(x)＝3x2－a.由f ′(x)＝0，得x＝± 33a(a≥0). 5分
∵f (x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜ 33a＜1，得0＜a＜3，即a的取值范围为 (0,3). 12分
K12课件
16
高三一轮总复习
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当a＞0时，x∈－∞，－23a∪(0，＋∞)时，f ′(x)＞0，x∈－23a，0时，f ′(x)＜0，
所以函数f (x)在－∞，－23a，(0，＋∞)上是增加的，在－23a，0上是减少 的；7分
K12课件
11
当a＜0时，x∈(－∞，0)∪ －23a，＋∞ 时，f ′(x)＞0，x∈ 0，－23a 时，f ′(x)＜0，10分
K12课件
7
4．(2015·陕西高考)设 f (x)＝x－sin x，则 f (x)( ) A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数 B [因为f ′(x)＝1－cos x≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C.又因为f (0)＝0－sin 0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B.]
所以函数f (x)在(－∞，0)， －23a，＋∞ 上是增加的，在 0，－23a 上是减少 的. 12分
K12课件
12
已知函数的单调性求参数
例 2 已知函数 f (x)＝x3－ax－1.
若 f (x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围．
[解] 因为f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
导数与函数的单调性
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1
[考纲传真] 了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调 性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
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2
函数的导数与单调性的关系
函数y＝f (x)在某个区间内可导，则 (1)若f ′(x)＞0，则f (x)在这个区间内 增加的 ； (2)若f ′(x)＜0，则f (x)在这个区间内 减少的 ； (3)若f ′(x)＝0，则f (x)在这个区间内是 常数函数 ．
所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]. 12分
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[迁移探究 2] (变换条件)函数 f (x)不变，若 f (x)在区间(－1,1)上为减函数，试 求 a 的取值范围．
[解] 由f ′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在(－1,1)上恒成立. 5分
因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f (x) 在(－1,1)上为减函数. 12分
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[迁移探究 3] (变换条件)函数 f (x)不变，若 f (x)在区间(－1,1)上不单调，求 a 的取值范围．
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1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数 f (x)在区间(a，b)上增加，那么在区间(a，b)上一定有 f ′(x)>0.
() (2)如果函数在某个区间内恒有 f ′(x)＝0，则函数 f (x)在此区间上没有单调 性．( ) (3)f ′(x)＞0 是 f (x)为增函数的充要条件．( )
所上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立. 5分
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，f (x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即
实数a的取值范围为(－∞，0]. 12分
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[迁移探究 1] (变换条件)函数 f (x)不变，若 f (x)在区间(1，＋∞)上为增函数， 求 a 的取值范围．
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5. 已知函数 f (x)＝(－x2＋2x)ex，x∈R，e 为自然对数的底数，则函数 f (x)的 递增区间为________．
(－ 2， 2) [因为f (x)＝(－x2＋2x)ex， 所以f ′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex ＝(－x2＋2)ex. 令f ′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0， 因为ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－ 2＜x＜ 2， 所以函数f (x)的递增区间为(－ 2， 2)．]
[答案] (1)× (2)√ (3)×
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4
2．f (x)＝x3－6x2 的递减区间为( )
A．(0,4)
B．(0,2)
C．(4，＋∞)
D．(－∞，0)
A [f ′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f ′(x)<0，得0<x<4，∴递减区间为 (0,4)．]
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5
3．(教材改编)如图 2-11-1 所示是函数 f (x)的导函数 f ′(x)的图像，则下列判 断中正确的是( )
A．函数 f (x)在区间(－3,0)上是减少的 B．函数 f (x)在区间(1,3)上是减少的 C．函数 f (x)在区间(0,2)上是减少的 D．函数 f (x)在区间(3,4)上是增加的
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6
A [当x∈(－3,0)时，f ′(x)＜0，则f (x)在(－3,0)上是减少的．其他判断均不 正确．]
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9
判断或证明函数的单调性 已知函数 f (x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．试讨论 f (x)的单调性.
[解] f ′(x)＝3x2＋2ax，令f ′(x)＝0，
解得x1＝0，x2＝－23a.
2分
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当a＝0时，因为f ′(x)＝3x2≥0，所以函数f (x)在(－∞，＋∞)上是增加的；4 分
[解] ∵f (x)＝x3－ax－1，∴f ′(x)＝3x2－a.由f ′(x)＝0，得x＝± 33a(a≥0). 5分
∵f (x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜ 33a＜1，得0＜a＜3，即a的取值范围为 (0,3). 12分
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16
高三一轮总复习
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当a＞0时，x∈－∞，－23a∪(0，＋∞)时，f ′(x)＞0，x∈－23a，0时，f ′(x)＜0，
所以函数f (x)在－∞，－23a，(0，＋∞)上是增加的，在－23a，0上是减少 的；7分
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当a＜0时，x∈(－∞，0)∪ －23a，＋∞ 时，f ′(x)＞0，x∈ 0，－23a 时，f ′(x)＜0，10分
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7
4．(2015·陕西高考)设 f (x)＝x－sin x，则 f (x)( ) A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数 B [因为f ′(x)＝1－cos x≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C.又因为f (0)＝0－sin 0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B.]
所以函数f (x)在(－∞，0)， －23a，＋∞ 上是增加的，在 0，－23a 上是减少 的. 12分
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已知函数的单调性求参数
例 2 已知函数 f (x)＝x3－ax－1.
若 f (x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围．
[解] 因为f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
导数与函数的单调性
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[考纲传真] 了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调 性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
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函数的导数与单调性的关系
函数y＝f (x)在某个区间内可导，则 (1)若f ′(x)＞0，则f (x)在这个区间内 增加的 ； (2)若f ′(x)＜0，则f (x)在这个区间内 减少的 ； (3)若f ′(x)＝0，则f (x)在这个区间内是 常数函数 ．