安徽省涡阳第一中学2018届高三最后一卷数学(理)试题+Word版含答案
2018年安徽省合肥一中高考数学最后一卷(理科)
2018年安徽省合肥一中高考数学最后一卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x||x−3|<2x}，B={x|−4<x<3}，则(∁R A)∩B=()A.(−4, 1]B.[−3, 3)C.[−3, 1]D.(−4, 3)【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】求出集合A，B，从而求出C U A={x|x≤1}，由此能求出(C R A)∩B．【解答】∵集合A={x||x−3|<2x}={x|x>1}，B={x|−4<x<3}，∴C U A={x|x≤1}，∴(C R A)∩B={x|−4<x≤1}=(−4, 1]．2. 已知i是虚数单位，若z=2+i，则zz的虚部是（）A.4 5iB.45C.−45i D.−45【答案】B【考点】复数的运算【解析】由已知可得z，代入zz，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵z=2+i，∴zz =2+i2−i=(2+i)2(2−i)(2+i)=35+45i，∴zz 的虚部为45．3. 已知w>0，函数f(x)=cos(wx+π3)在(π3,π2)上单调递增，则w的取值范围是（）A.(23,103) B.[23,103] C.[2,103] D.[2,53]【答案】C【考点】余弦函数的单调性【解析】利用余弦函数的单调性建立不等式关系求解即可．【解答】解：函数f(x)=cos(wx+π3)在(π3,π2)上单调递增，则{π3ω+π3≥2kπ−ππ2ω+π3≤2kπ，k ∈Z ．解得：{ω≥6k −4ω≤4k −23，k ∈Z ． ∵ ω>0，∴ 当k =1，可得2≤ω≤103．故选C .4. 《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上有叙述为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），如图是源于其思想的一个程序框图，如果输出的S 是60，则输入的x 是（ ）A.4B.3C.2D.1 【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】第一次执行循环体后，n =1，S =x ，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，i =2，S =2x ，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，i =3，S =3x ，不满足退出循环的条件； 第四次执行循环体后，i =4，S =4x ，不满足退出循环的条件； …第29次执行循环体后，i =29，S =29x ，不满足退出循环的条件； 第30次执行循环体后，i =30，S =30x ，满足退出循环的条件； 故输出S =30x =60 ∴ x =2，5. 已知α，β分别满足α⋅e α=e 2，β(lnβ−2)=e 4，则αβ的值为（ ） A.e B.e 2 C.e 3 D.e 4 【答案】 D【考点】函数与方程的综合运用【解析】对等式两边取自然对数，再由f(x)=x+lnx，求导，判断单调性，运用对数的运算性质，可得所求值．【解答】α⋅eα=e2，可得α+lnα=2，β(lnβ−2)=e4，可得lnβ+ln(lnβ−2)=4，即有lnβ−2+ln(lnβ−2)=2，可得α+lnα=lnβ−2+ln(lnβ−2)，由f(x)=x+lnx的导数为1+1x>0，可得f(x)在x>0递增，可得α=lnβ−2，即为2−lnα=lnβ−2，即lnα+lnβ=4，可得ln(αβ)=4，可得αβ=e4，6. 某空间凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A.2+3√22B.72+3√22C.3+2√2D.2+√2【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【解答】由题意可知几何体的直观图如图：左侧是放倒的三棱柱，右侧是三棱锥，俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为：1×√2+2×12×1×1+1×1+12×1×1+12×1×√2+1 2×1×√2+12×1×1=3+2√2．7. △ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c2=2b2−2a2，2sin2A+B2=1+ cos2C，则sin(B−A)的值为________【答案】√34【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】利用二倍角和正弦定理，化简可得答案．【解答】∵由2sin2A+B2=1+cos2C，得cos2C=2sin2A+B2−1=1−cos(A+B)−1=−cos(π−C)=cosC，即2cos2C−cosC−1=0，∴得(cosC−1)(2cosC+1)=0，∴则cosC=1（舍），或cosC=−12，∵0<C<π∴C=2π3，∵c2=2b2−2a2，由正弦定理可得：2(sin2B−sin2A)=sin2C=34，∴sin2B−sin2A=38，推导可得：sin(B+A)sin(B−A)=38，即sinCsin(B−A)=38，∴sin(B−A)=√34.8. 某班级有男生32人，女生20人，现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委．男生当选的人数记为ξ，则ξ的数学期望为（）A.16 13B.2013C.3213D.4013【答案】C【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】由题意知随机变量ξ的可能取值是0，1，2，3，4，计算对应的概率值，求出ξ的数学期望值．【解答】由题意知，随机变量ξ的可能取值是0，1，2，3，4，且P(ξ=0)=C 320∗C204C 524=C 204C 524，P(ξ=1)=C 321∗C203C 524，P(ξ=2)=C 322∗C202C 524，P(ξ=3)=C 323∗C201C 524，P(ξ=4)=C 324∗C200C 524=C 324C 524；∴ ξ的数学期望为 E(ξ)=0×C 204C 524+1×C 321∗C203C 524+2×C 322∗C202C 524+3×C 323∗C201C 524+4×C 324C 524 =1C 524(32×20×19×3+32×31×19×10+32×31×30×10+32×31×29×5) =3213．9. 已知函数y =f(x)单调递增，函数y =f(x −2)的图象关于点(2, 0)对称，实数x ，y 满足不等式f(x 2−2x)+f(−2y −y 2)≤0，则z =x 2+y 2−6x +4y +14的最小值为（ ） A.32B.23C.3√22D.√22【答案】 A【考点】抽象函数及其应用 简单线性规划 【解析】根据题意，分析可得函数f(x)为奇函数，结合函数的单调性分析可得f(x 2−2x)≤f(2y +y 2)⇒x 2−2x ≤y 2+2y ，变形可得：(x +y)(x −y −2)≤0，即{x +y ≤0x −y −2≥0 或{x +y ≥0x −y −2≤0 ，由二元一次不等式的几何意义分析其可行域，又由z =x 2+y 2−6x +4y +14=(x −3)2+(y +2)2+1，设m =(x −3)2+(y +2)2，其几何意义为可行域中任意一点到点(3, −2)距离的平方，求出m 的最小值，计算即可得答案． 【解答】根据题意，因为函数y =f(x −2)的图象关于点(2, 0) 对称，所以函数y =f(x)的图象关于点(0, 0)对称， 即函数f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(x 2−2x)+f(−2y −y 2)≤0⇒f(x 2−2x)≤−f(−2y −y 2) ⇒f(x 2−2x)≤f(2y +y 2)，又由函数y =f(x)单调递增，则f(x 2−2x)≤f(2y +y 2) ⇒x 2−2x ≤y 2+2y ，变形可得：(x +y)(x −y −2)≤0， 即{x +y ≤0x −y −2≥0 或{x +y ≥0x −y −2≤0， 所以可得其可行域，如图所示：z =x 2+y 2−6x +4y +14=(x −3)2+(y +2)2+1，设m =(x −3)2+(y +2)2，其几何意义为可行域中任意一点到点(3, −2)距离的平方，分析可得：m的最小值为(√1+1)2=12，则z=x2+y2−6x+4y+14的最小值为12+1=32；故选：A．10. 一个正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4．掷这个四面体四次，令第i次得到的数为a i，若存在正整数k使得∑=i=1k ai 4的概率p=mn，其中m，n是互质的正整数，则log5m−log4n的值为（）A.1B.−1C.2D.−2【答案】B【考点】模拟方法估计概率【解析】当k=1时，∑=i=1k ai 4的概率p1=14，当k=2时，∑=i=1k ai4的概率p2=34×4=316，当k=3时，∑=i=1k ai 4的概率p=34×4×4=364，当k=4时，∑=i=1k ai4的概率p=14×4×4×4=1256，从而求出∑=i=1k ai4的概率p=mn=125256，由此能求出log5m−log4n的值．【解答】正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4．掷这个四面体四次，令第i次得到的数为a i，存在正整数k使得∑=i=1k ai 4的概率p=mn，∴当k=1时，∑=i=1k ai 4的概率p1=14，当k=2时，∑=i=1k ai 4的概率p2=34×4=316，当k=3时，∑=i=1k ai 4的概率p=34×4×4=364，当k=4时，∑=i=1k ai 4的概率p=14×4×4×4=1256，∴得∑=i=1k ai 4的概率p=mn=14+316+664+1256=125256，其中m，n是互质的正整数，∴m=125，n=256，则log5m−log4n=log5125−log4256=3−4=−1．11. 已知抛物线y2=2px(p>0)，过定点M(m, 0)(m>0，且m≠p2)作直线AB交抛物线于A，B两点，且直线AB不垂直x轴，在A，B两点处分别作该抛物线的切线l1，l2，设l1，l2的交点为Q，直线AB的斜率为k，线段AB的中点为P，则下列四个结论：①x A⋅x B=m2；②当直线AB绕着M点旋转时，点Q的轨迹为抛物线；③当m=p8,k>0时，直线PQ经过抛物线的焦点；④当m=8p，k<0时，直线PQ垂直y轴．其中正确的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设Q点坐标，根据导数的几何意义，即可求得直线AB的方程，代入即可求得x0=−m，即可求得直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得x A x B=m2，y P=y0．即可判断①④正确．【解答】设Q(x0, y0)，则直线AB的方程：y0y=p(x0+x)，直线AB过点M(m, 0)，所以y0×0=p(x0+m)，解得x0=−m，所以直线AB:y0y=p(x0+x)，x=y0y p−x0，由y2=2px(p>0)，所以y2=2p(y0y p−x0)=2y0y−2px0，所以y2−2y0y+2px0=0，即y2−2y0y−2pm=0，y A+y B=2y0，y A y B=−2pm，所以x A x B=(y A y B)24p2=(−2mp)24p2=m2，则y P=y A+y B2=y0，∴y P=y0．故PQ垂直y轴，故①④正确，12. 设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，对任意的x∈R有f(x)+f(−x)=2x2，且当x∈[0, +∞)时，f′(x)>2x．若f(2e−a)−f(a)<4e(e−a)，g(x)=e x−ax的零点有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】令ℎ(x)=f(x)−x2，ℎ(−x)=f(−x)−x2，由ℎ(−x)+ℎ(x)=0，可得函数ℎ(x)为奇函数．利用导数可得函数ℎ(x)在R 上是增函数，f(2e −a)−f(a)<4e(e −a)，即ℎ(2e −a)<ℎg(a)，解得a ≥e ，再令g(x)=e x−ax =0，分离参数，可得a =e x x，φ(x)=e x x，利用导数，求出当x >0时，φ(x)min =φ(1)=e ，即可判断函数零点的个数． 【解答】当x >0时，令x >1时，φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增， 令0<x <1时，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减， ∴ φ(x)min =φ(1)=e ，（1）当x <0时，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减， ∵ a ≥e ， ∴ 直线y =a 与y =e x x有两个交点，∴ g(x)=e x −ax 的零点有2个， 故选：C ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =5，|DA →+DC →|=4，则BA →∗AD →=________． 【答案】 −9【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】推导出BD =4，AB ⊥BD ，cos <BA →,AD →>=−cos∠BAD =−35，由此能求出BA →∗AD →．【解答】∵ 平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =5，|DA →+DC →|=4，如图， ∴ BD =4，∴ AB 2+DB 2=AD 2，∴ AB ⊥BD ， ∴ cos <BA →,AD →>=−cos∠BAD =−35，∴ BA →∗AD →=|BA →|⋅|AD →|⋅cos <BA →,AD →>=3×5×(−35)=−9．(2x 2−1)(1x −2x)7的展开式中含x 7的项的系数是________． 【答案】 1024 【考点】二项式定理的应用 【解析】利用二项式定理把(1x −2x)7展开，可得(2x 2−1)(1x −2x)7的展开式中含x 7的项的系数． 【解答】∵ (2x 2−1)(1x −2x)7=(2x 2−1)(1x 7−14⋅1x 5+841x 3−280⋅1x +560x −672x 3+448x 5−128x 7)，故它的展开式中含x 7的项的系数是2×448+128=1024，棱长为1的正方体ABCD −EFGH 如图所示，M ，N 分别为直线AF ，BG 上的动点，则线段MN 长度的最小值为________．【答案】√33【考点】棱柱的结构特征 【解析】线段MN 长度的最小值是异面直线AF 与BG 间的距离，以H 为原点，HE 为x 轴，HG 为y 轴，HD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段MN 长度的最小值． 【解答】∵ 棱长为1的正方体ABCD −EFGH 如图所示，M ，N 分别为直线AF ，BG 上的动点， ∴ 线段MN 长度的最小值是异面直线AF 与BG 间的距离，以H 为原点，HE 为x 轴，HG 为y 轴，HD 为z 轴，建立空间直角坐标系， A(1, 0, 1)，F(1, 1, 0)，B(1, 1, 1)，G(0, 1, 0)， AF →=(0, 1, −1)，AB →=(0, 1, 0)， ∴ 线段MN 长度的最小值：d =|AB →|sin <AB →,AF →>=|AB →|√1−[cos <AB →,AF →>]2=1×√1−(1×√2)2=√22．如图所示，已知直线AB 的方程为x a +yb =1，⊙C ，⊙D 是相外切的等圆，且分别与坐标轴及线段AB 相切，|AB|=c ，则两圆半径r =________（用常数a ，b ，c 表示）【答案】 ac +bc −c 22(a +b)【考点】直线与圆的位置关系 【解析】由题意画出图形，得cos∠OAB =ac ，sin∠OAB =bc ，设AF =x ，BE =y ，列关于a ，b ，c ，r ，x ，y 的方程组，整体求解得答案． 【解答】 如图，由已知得，cos∠OAB =ac ，sin∠OAB =bc ， 设AF =x ，BE =y ， 则{x +y +2r =cr +2r ∗ac+x =a r +2r ∗bc +y =b， ②+③得：2r +2r(ac +bc )+x +y =a +b ④． 把①代入④，得2r(ac +b c )+c =a +b ， ∴ r =ac+bc−c 22(a+b)．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n =n 2+n +2． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n =a n ∗2a n ，求{b n}前n 项和T n ．【答案】S n =n 2+n +2,S n−1=(n −1)2+(n −1)+2(n ≥2)， ∴ a n =S n −S n−1=2n(n ≥2)，a 1=S 1=4． 故a n ={4(n =1)2n(n ≥2,n ∈N ∗) ． b n =a n ∗2a n={2n ∗2a n =2n ∗4n (n ≥2,n ∈N ∗)4∗24=64(n =1)， 当n ≥2时，T n =b 1+b 2+⋯+b n =64+2(2×42+3×43+⋯+n ×4n )， 令P n =2×42+3×43+⋯+n ×4n ，∴ 4P n =2×43+3×44+⋯+(n −1)×4n +n ×4n+1， −3P n =2×42+43+44−n ×4n+1=32+43(4n−2−1)4−1−n ×4n+1，∴ P n =−323−4n+1−439+n×4n+13，故T n =64+3P n =(6n−2)∗4n+1+5129(n ≥2,n ∈N ∗)，又T 1=64满足上式， ∴ T n =(6n−2)∗4n+1+5129(n ∈N ∗)．【考点】 数列的求和 数列递推式 【解析】（1）S n =n 2+n +2,S n−1=(n −1)2+(n −1)+2(n ≥2)，相减可得a n =S n −S n−1=2n(n ≥2)，a 1=S 1．即可得出． （2）b n =a n ∗2a n={2n ∗2a n =2n ∗4n (n ≥2,n ∈N ∗)4∗24=64(n =1)，当n ≥2时，T n =b 1+b 2+⋯+b n =64+2(2×42+3×43+⋯+n ×4n )，令P n =2×42+3×43+⋯+n ×4n ，利用错位相减法即可得出． 【解答】S n =n 2+n +2,S n−1=(n −1)2+(n −1)+2(n ≥2)， ∴ a n =S n −S n−1=2n(n ≥2)，a 1=S 1=4． 故a n ={4(n =1)2n(n ≥2,n ∈N ∗) ． b n =a n ∗2a n={2n ∗2a n =2n ∗4n (n ≥2,n ∈N ∗)4∗24=64(n =1)， 当n ≥2时，T n =b 1+b 2+⋯+b n =64+2(2×42+3×43+⋯+n ×4n )， 令P n =2×42+3×43+⋯+n ×4n ，∴ 4P n =2×43+3×44+⋯+(n −1)×4n +n ×4n+1， −3P n =2×42+43+44−n ×4n+1=32+43(4n−2−1)4−1−n ×4n+1，∴ P n =−323−4n+1−439+n×4n+13，故T n =64+3P n =(6n−2)∗4n+1+5129(n ≥2,n ∈N ∗)，又T 1=64满足上式， ∴ T n =(6n−2)∗4n+1+5129(n ∈N ∗)．底面OABC 为正方形的四棱锥P −OABC ，且PO ⊥底面OABC ，过OA 的平面与侧面PBC 的交线为DE ，且满足S △PDE :S △PBC =1:4． （1）证明：PA // 平面OBD ；（2）当S 2四边形OABC =3S 2△POB 时，求二面角B −OE −C 的余弦值．【答案】∵ 底面OABC 为正方形，且PO ⊥底面OABC ，∴ PO ，OA ，OC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ， 设OA =OC =2a ，OP =2b ，则O(0, 0, 0)，C(0, 2a, 0)，B(2a, 2a, 0)，F(a, a, 0)，P(0, 0, 2b)，E(a, a, b)． ∵ PO ⊥底面OABC ，CF ⊂底面OABC ，∴ CF ⊥PO ．∵ 四边形OABC 为正方形，∴ AC ⊥OB ，∴ CF ⊥平面OBE ， ∴ 平面OBE 的一个法向量为CF →=(a, −a, 0)． 设平面OEC 的一个法向量为m →=(x, y, z)， 而OC →=(0, 2a, 0)，OE →=(a, a, b)．由{m →∗OC →=0m →∗OE →=0，得{0∗x +2a ∗y +0∗z =0ax +ay +bz =0 ， 取得z =−a ，得m →=(b, 0, −a)为平面OCE 的一个法向量． 设二面角B −OE −C 的大小为θ， 由S2四边形OABC=2S 2△POB ，得PO =√63OA ，∴ ba=√63，∴ cosθ=|OF →∗m →||OF →|∗|m →|=√a 2+a 2∗√a 2+b 2=√55， ∴ 二面角B −OE −C 的余弦值为√55．【考点】二面角的平面角及求法 【解析】（1）推导出OA // BC 从而OA // 平面PBC ，进而DE // OA ，再由OA // BC ，得DE // BC ．连接AC 交OB 于F 点，连DF ．则DF // PA ，由此能证明PA // 平面OBD ． （2）推导出PO ，OA ，OC 两两垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出二面角B −OE −C 的余弦值． 【解答】∵ 底面OABC 为正方形，且PO ⊥底面OABC ，∴ PO ，OA ，OC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ， 设OA =OC =2a ，OP =2b ，则O(0, 0, 0)，C(0, 2a, 0)，B(2a, 2a, 0)，F(a, a, 0)，P(0, 0, 2b)，E(a, a, b)． ∵ PO ⊥底面OABC ，CF ⊂底面OABC ，∴ CF ⊥PO ．∵ 四边形OABC 为正方形，∴ AC ⊥OB ，∴ CF ⊥平面OBE ， ∴ 平面OBE 的一个法向量为CF →=(a, −a, 0)． 设平面OEC 的一个法向量为m →=(x, y, z)， 而OC →=(0, 2a, 0)，OE →=(a, a, b)．由{m →∗OC →=0m →∗OE →=0，得{0∗x +2a ∗y +0∗z =0ax +ay +bz =0 ， 取得z =−a ，得m →=(b, 0, −a)为平面OCE 的一个法向量． 设二面角B −OE −C 的大小为θ， 由S2四边形OABC=2S 2△POB ，得PO =√63OA ，∴ ba=√63，∴ cosθ=|OF →∗m →||OF →|∗|m →|=√a 2+a 2∗√a 2+b 2=√55， ∴ 二面角B −OE −C 的余弦值为√55．深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队．在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：（1）求b，c，d，e，n的值，据此能否有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；（2）根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：0.2，0.5，0.2，0.1，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为：0.4，0.2，0.6，0.2．则：1)当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；2)当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率；3)如果你是教练员，应用概率统计有关知识．该如何使用乙球员？附表及公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．【答案】b=8，c=8，d=20，e=20，n=50，K2=50×(22×12−8×8)230×20×30×20≈5.556>5.024，∴有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；1)设A1表示“乙球员担当前锋”；A2表示“乙球员担当中锋”；A3表示“乙球员担当后卫”；A4表示“乙球员担当守门员”；B表示“球队输掉某场比赛”，则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)=0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2=0.32；2)P(A1|B)=P(A1B)P(B)=0.2×0.40.32=0.25．3)因为P(A1|B)：P(A2|B)：P(A3|B)：P(A4|B)=0.08:0.10:0.12:0.02，所以，应该多让乙球员担任守门员，来扩大赢球场次．【考点】条件概率与独立事件【解析】（1）分别求出b，c，d，e，n的值，求出K2的值，利用临界值表可得出结论；（2）1)根据条件概率公式分别计算出乙球员在担任“前锋”，“中锋”，“后卫”，“守门员”时输球的概率，最后相加得到已乙球员参加比赛时，球队输球的概率；2)利用乙球员担任前锋时输球的概率P(A 1|B)除以球队输球的概率P(B)即可得出答案；3)分别计算出乙队员在担任“前锋”，“中锋”，“后卫”，“守门员”时输球的概率，以输球概率最小时，乙球员担任的角色，作为教练员使用乙队员的依据． 【解答】b =8，c =8，d =20，e =20，n =50，K 2=50×(22×12−8×8)230×20×30×20≈5.556>5.024，∴有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；1)设A 1表示“乙球员担当前锋”；A 2表示“乙球员担当中锋”；A 3表示“乙球员担当后卫”；A 4表示“乙球员担当守门员”；B 表示“球队输掉某场比赛”，则P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A 2)+P(A 3)P(B|A 3)+P(A 4)P(B|A 4)=0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2=0.32； 2)P(A 1|B)=P(A 1B)P(B)=0.2×0.40.32=0.25．3)因为P(A 1|B)：P(A 2|B)：P(A 3|B)：P(A 4|B)=0.08:0.10:0.12:0.02，所以，应该多让乙球员担任守门员，来扩大赢球场次． 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >1)的离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2c ，⊙F 2:(x −c)2+y 2=1与该椭圆有且只有一个公共点． （1）求椭圆标准方程；（2）过点P(4c, 0)的直线与⊙F 2相切，且与椭圆相交于A ，B 两点，求证：F 2A ⊥F 2B ；（3）过点P(4c, 0)的直线l 与⊙F 1:(x +1)2+y 2=r 2(r >1)相切，且与椭圆相交于A ，B 两点，试探究k F 2A ,k F 2B 的数量关系． 【答案】∵ ⊙F 2与椭圆有且只有一个公共点，∴ 公共点为(a, 0)或(−a, 0)，若公共点为(−a, 0)时，则a +c =1，又ca =12，解得a =23<1，与a >1矛盾，故公共点为(a, 0)．∴ a −c =r =1，又e =ca =12，∴ a =2，c =1．b 2=a 2−c 2=3． 反之，当c =1时，联立{(x −1)2+y 2=1x 24+y 23=1，解得{x =2y =0满足条件．∴ 椭圆标准方程为x 24+y 23=1．证明：∵ P(4, 0)，设过P(4, 0)的直线l:x =my +4， 联立{x =my +4x 24+y 23=1，得(4+3m 2)y 2+24my +36=0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1+y 2=−24m4+3m 2,y 1y 2=364+3m 2，又F 2(1, 0)， ∴ F 2A →⋅F 2B →=(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=(1+m 2)y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9=36(1+m 2)4+3m 2−72m 24+3m 2+9=72−9m 24+3m 2．由l:x =my +4与⊙F 2:(x −1)2+y 2=1相切得：2=1，m 2=8， ∴ F 2A →⋅F 2B →=0，∴ F 2A →⊥F 2B →．即：F 2A ⊥F 2B ． 猜：k F 2A +k F 2B =0．证明如下： 由（2）得k F 2A +k F 2B =y 1x1−1+y 2x 2−1=2my 1y 2+3(y 1+y 2)m 2y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9．∵ 2my 1y 2+3(y 1+y 2)=2m ×364+3m 2−72m4+3m 2=0，∴ k F 2A +k F 2B =0． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）由⊙F 2与椭圆有且只有一个公共点，可得公共点为(a, 0)或(−a, 0)，若公共点为(−a, 0)时，得出矛盾，故公共点为(a, 0)．因此a −c =r =1，又e =ca =12，b 2=a 2−c 2．即可得出．（2）P(4, 0)，设过P(4, 0)的直线l:x =my +4，联立{x =my +4x 24+y 23=1 ，得(4+3m 2)y 2+24my +36=0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，又F 2(1, 0)，利用数量积运算性质与根及其系数的关系可得：F 2A →⋅F 2B →=(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=(1+m 2)y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9．由l:x =my +4与⊙F 2:(x −1)2+y 2=1相切得：2=1，解得m 2=8，即可得出F 2A →⋅F 2B →=0．（3）猜：k F 2A +k F 2B =0．分析如下：利用斜率计算公式、根与系数的关系即可得出．【解答】∵ ⊙F 2与椭圆有且只有一个公共点，∴ 公共点为(a, 0)或(−a, 0)，若公共点为(−a, 0)时，则a +c =1，又ca =12，解得a =23<1，与a >1矛盾，故公共点为(a, 0)．∴ a −c =r =1，又e =ca =12，∴ a =2，c =1．b 2=a 2−c 2=3． 反之，当c =1时，联立{(x −1)2+y 2=1x 24+y 23=1，解得{x =2y =0满足条件．∴ 椭圆标准方程为x 24+y 23=1．证明：∵ P(4, 0)，设过P(4, 0)的直线l:x =my +4， 联立{x =my +4x 24+y 23=1，得(4+3m 2)y 2+24my +36=0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1+y 2=−24m4+3m 2,y 1y 2=364+3m 2，又F 2(1, 0)， ∴ F 2A →⋅F 2B →=(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=(1+m 2)y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9=36(1+m 2)4+3m 2−72m 24+3m 2+9=72−9m 24+3m 2．由l:x =my +4与⊙F 2:(x −1)2+y 2=1相切得：2=1，m 2=8， ∴ F 2A →⋅F 2B →=0，∴ F 2A →⊥F 2B →．即：F 2A ⊥F 2B ． 猜：k F 2A +k F 2B =0．证明如下： 由（2）得k F 2A +k F 2B =y 1x1−1+y 2x 2−1=2my 1y 2+3(y 1+y 2)m 2y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9．∵ 2my 1y 2+3(y 1+y 2)=2m ×364+3m 2−72m4+3m 2=0， ∴ k F 2A +k F 2B =0．已知函数f(x)=√xax ．（1）讨论函数f(x)的零点个数；（2）已知g(x)=(2−x)e √x ，证明：当x ∈(0, 1)时，g(x)−f(x)−ax −2>0． 【答案】√xf(x)=lnx −a √x ⋅x ．令x 32=t ，∴ x =t 23(t >0)．令ℎ(t)=lnt −32at ，则函数y =ℎ(t)与y =f(x)的零点个数情况一致 .ℎ(t)=1t−32a ．(i)a ≤0时，ℎ′(t)>0．∴ ℎ(t)在(0, +∞)上单调递增． 又ℎ(1)=−32a ≥0,ℎ(ea+1a)=a +1a−32aea+1a≤a +1a−32a ⋅1e 2=(1−32e 2)a +1a<0，∴ 有1个零点．(ii)a >0时，ℎ(t)在(0,23a )上单调递增，(23a ,+∞)上单调递减． ∴ ℎ(t)max =ℎ(23a )=ln 23a −1．①ln 23a <1即a >23e 时，ℎ(23a )<0，无零点． ②ln 23a =1即a =23e 时，ℎ(23a )=0,1个零点．③ln 23a >1即0<a <23e 时，ℎ(23a )>0，又23a >e >1,ℎ(1)=−32a <0．又23a −49a 2=23a (1−23a )<23a (1−e)<0，ℎ(49a 2)=ln(23a )2−32a ⋅49a 2=21n 23a −23a ， 令φ(a)=21n 23a −23a ,φ′(a)=2⋅3a 2(−23⋅1a 2)+23a 2=2−6a 3a 2>0，∴ φ(a)在(0,23e )上单调递增，∴ φ(a)<φ(23e )=2−e <0， ∴ 两个零点．综上：当a≤0或a=23e 时，1个零点；当0<a<23e时，2个零点；当a>23e时，0个零点．证明要证g(x)−f(x)−ax−2>0，只需证√x+2<(2−x)e√x．令√x=m∈(0,1)，只需证：21nmm+2<(2−m2)e m．令l(m)=(2−m2)e m，l′(m)=(−m2−2m+2)e m，∴l(m)在(0,√3−1)上单调递增，在(√3−1,1)上单调递减，∴l(m)>l(1)=e且l(m)>l(0)=2．令t(m)=lnmm ，t′(m)=1−lnmm2>0，∴t(m)在(0, 1)上单调递增，∴t(m)<t(2)=0，∴21nmm+2<2，故g(x)−f(x)−ax−2>0．【考点】利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理【解析】（1）√xf(x)=lnx−a√x⋅x．令x32=t，问题转化为求函数令ℎ(t)=lnt−32at，零点的个数问题，先求导，再分类讨论，根据函数零点存在定理即可求出，（2）利用分析法，和构造函数法，借用导数，即可证明．【解答】√xf(x)=lnx−a√x⋅x．令x32=t，∴x=t23(t>0)．令ℎ(t)=lnt−32at，则函数y=ℎ(t)与y=f(x)的零点个数情况一致.ℎ(t)=1t −32a．(i)a≤0时，ℎ′(t)>0．∴ℎ(t)在(0, +∞)上单调递增．又ℎ(1)=−32a≥0,ℎ(e a+1a)=a+1a−32ae a+1a≤a+1a−32a⋅1e2=(1−32e2)a+1a<0，∴有1个零点．(ii)a>0时，ℎ(t)在(0,23a )上单调递增，(23a,+∞)上单调递减．∴ℎ(t)max=ℎ(23a )=ln23a−1．①ln23a <1即a>23e时，ℎ(23a)<0，无零点．②ln 23a =1即a =23e 时，ℎ(23a )=0,1个零点．③ln 23a >1即0<a <23e 时，ℎ(23a )>0，又23a >e >1,ℎ(1)=−32a <0．又23a −49a 2=23a (1−23a )<23a (1−e)<0，ℎ(49a 2)=ln(23a )2−32a ⋅49a 2=21n 23a −23a ， 令φ(a)=21n 23a −23a ,φ′(a)=2⋅3a 2(−23⋅1a2)+23a2=2−6a 3a 2>0，∴ φ(a)在(0,23e)上单调递增，∴ φ(a)<φ(23e )=2−e <0， ∴ 两个零点．综上：当a ≤0或a =23e 时，1个零点；当0<a <23e 时，2个零点；当a >23e 时，0个零点． 证明要证g(x)−f(x)−ax −2>0， 只需证√x+2<(2−x)e √x ．令√x =m ∈(0,1)， 只需证：21nm m+2<(2−m 2)e m ．令l(m)=(2−m 2)e m ，l ′(m)=(−m 2−2m +2)e m ，∴ l(m)在(0,√3−1)上单调递增，在(√3−1,1)上单调递减， ∴ l(m)>l(1)=e 且l(m)>l(0)=2． 令t(m)=lnm m，t ′(m)=1−lnm m 2>0，∴ t(m)在(0, 1)上单调递增， ∴ t(m)<t(2)=0， ∴21nm m+2<2，故g(x)−f(x)−ax −2>0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =sinθ（θ为参数），直线l 的极坐标方程为ρ=2cosθ−2sinθ．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程，并求出曲线C 上到直线l 的距离最大的点的坐标，（2）求曲线C 的极坐标方程，并设A ，B 为曲线C 上的两个动点，且OA ∗OB →=0，求|AB →|2的取值范围． 【答案】∵ 曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =sinθ（θ为参数），∴曲线C的直角坐标方程为:x24+y2=1，∵直线l的极坐标方程为ρ=2cosθ−2sinθ．∴直线l的普通方程为：x−2y−2=0，则曲线C上点到直线l的距离：d=√5=√5=√5√2sin(θ−π4)+1brack，当θ=3π4时，d最大，此时，P(−√2,√22)．曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4，即ρ2=4cos2θ+4sin2θ=43sin2θ+1．设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π2)，则|AB|2=ρ12+ρ22=43sin2θ+1+43cos2θ+1=2094sin22θ+4∈[165,5]．∴|AB→|2的取值范围是[165, 5]．【考点】圆的极坐标方程【解析】（1）曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的直角坐标方程；由直线l的极坐标方程能求出直线l的普通方程，由此能求出曲线C上点到直线l的距离最大的点的坐标．（2）曲线C的极坐标方程转化为ρ2=4cos2θ+4sin2θ=43sin2θ+1．设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π2)，能求出|AB→|2的取值范围．【解答】∵曲线C的参数方程为{x=2cosθy=sinθ（θ为参数），∴曲线C的直角坐标方程为:x24+y2=1，∵直线l的极坐标方程为ρ=2cosθ−2sinθ．∴直线l的普通方程为：x−2y−2=0，则曲线C上点到直线l的距离：d=√5=√5=√5√2sin(θ−π4)+1brack，当θ=3π4时，d最大，此时，P(−√2,√22)．曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4，即ρ2=4cos2θ+4sin2θ=43sin2θ+1．设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π2)，则|AB|2=ρ12+ρ22=43sin2θ+1+43cos2θ+1=2094sin22θ+4∈[165,5]．∴|AB→|2的取值范围是[16, 5]．5[选修4-5：不等式选讲]已知函数g(x)=|2x+1|−|x−m|．(1)当m=3时，求不等式g(x)>4的解集；(2)若g(x)≥|x−4|的解集包含[3, 5]，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)当m=3时，g(x)>4，即|2x+1|−|x−3|>4．①当x≥3时，不等式化为2x+1−x+3>4，解得x≥3．≤x<3时，不等式化为2x+1+x−3>4，②当−12解得2<x<3．③当x<−1时，不等式化为−2x−1+x−3>4，2解得x<−8．综上，不等式的解集为{x|x<−8或x>2}．(2)g(x)≥|x−4|的解集包含[3, 5]⇔g(x)≥|x−4|在[3, 5]上恒成立⇔|2x+1|−|x−m|≥|x−4|在[3, 5]上恒成立．①当3≤x≤4时，g(x)≥|x−4|恒成立⇔2x+1≥|x−m|+4−x恒成立⇔3−3x≤x−m≤3x−3恒成立，解得−3≤m≤9．②当4<x≤5时，g(x)≥|x−4|恒成立⇔|2x+1|≥|x−m|+x−4恒成立⇔−x−5≤x−m≤x+5恒成立，解得−5≤m≤11．所以，实数m的取值范围为{m|−3≤m≤9}．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】(1)分段去绝对值，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）g(x)≥|x−4|的解集包含[3, 5]⇔g(x)≥|x−4|在[3, 5]上恒成立⇔|2x+1|−|x−m|≥|x−4|在[3, 5]上恒成立．1)当3≤x≤4时，⇔3−3x≤x−m≤3x−3恒成立，解得m．2)当4<x≤5时，⇔|2x+1|≥|x−m|+x−4恒成立解得−m．【解答】解：(1)当m=3时，g(x)>4，即|2x+1|−|x−3|>4．①当x≥3时，不等式化为2x+1−x+3>4，解得x≥3．≤x<3时，不等式化为2x+1+x−3>4，②当−12解得2<x<3．③当x<−1时，不等式化为−2x−1+x−3>4，2解得x<−8．综上，不等式的解集为{x|x<−8或x>2}．(2)g(x)≥|x−4|的解集包含[3, 5]⇔g(x)≥|x−4|在[3, 5]上恒成立⇔|2x+1|−|x−m|≥|x−4|在[3, 5]上恒成立．①当3≤x≤4时，g(x)≥|x−4|恒成立⇔2x+1≥|x−m|+4−x恒成立⇔3−3x≤x−m≤3x−3恒成立，解得−3≤m≤9．②当4<x≤5时，g(x)≥|x−4|恒成立⇔|2x+1|≥|x−m|+x−4恒成立⇔−x−5≤x−m≤x+5恒成立，解得−5≤m≤11．所以，实数m的取值范围为{m|−3≤m≤9}．。
2018年普通高等学校招生全国统一考试最后一卷 理科数学 含解析 精品
注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a ∈R ，i a 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】 则10a -=，即1a =，故选C ．2．设()()()2i 3i 35i x y +-=++（i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，则i x y +等于（ ） A ．5 B C ．D ．2【答案】A 【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++，∴63325x x y +=-=+⎧⎨⎩，解得34x y =-=⎧⎨⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．选A ． 3．为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是（） A ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 C ．x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 D ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 【答案】D【解析】由茎叶图可知，甲的平均数是727879858692826+++++=，乙的平均数是788688889193876+++++=，所以乙的平均数大于甲的平均数，即x x <甲乙，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，应选乙参加比赛，故选D ． 4．正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF =（）A ．11+22AB AD B ．1122AB AD --C ．1122AB AD -+D ．1122AB AD -【答案】D【解析】因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB = ，点F 是BC 的中点，所以1122CF CB AD ==-，所以1122EF EC CF AB AD =+=-，故选D ．5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左焦点为F ，过点F 与x 轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点M ，N ，若OMN △的面积为20，其中O 是坐标原点，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．22128x y -=B ．22148x y -=C ．22182x y -=D ．22184x y -=【答案】A【解析】由c a =225c a =，∴2225a b a +=，故224b a=．∴双曲线的渐近线方程为2y x =±，由题意得(),2M c c -，(),2N c c --，∴14202OMN S c c =⋅⋅=△，解得210c =，∴22a =，28b =， ∴双曲线的方程为22128x y -=．选A ． 6．一个几何体的视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）此卷只装订不密封班级姓名准考证号 考场号 座位号A ．4πB ．5πC ．8πD ．9π【答案】D【解析】由三视图可知几何体的原图如下图所示：在图中AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，2BC =，1BD=，2AB =．由于BCD △是直角三角形，所以它的外接圆的圆心在斜边的中点E，且122r CD ==， 设外接球的球心为O，如图所示，由题得222914R=+=， 所以该几何体的外接球的表面积为294π4π9π4R =⨯=，故选D ． 7．执行如下图的程序框图，若输入a 的值为2，则输出S 的值为（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.9D ．4.9【答案】C【解析】运行框图中的程序可得①1k =，2122S =+=，不满足条件，继续运行； ②2k =，282=33S =+，不满足条件，继续运行；③3k =，8219+=346S =，不满足条件，继续运行； ④4k =，1921076530S =+=，不满足条件，继续运行； ⑤=5k ，1072117=+==3930630S ．，满足条件，停止运行，输出=39S ．．选C ． 8．已知函数()f x 在定义域()0+∞，上是单调函数，若对于任意()0x ∈+∞，，都有()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则15f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】B【解析】因为函数()f x 在定义域()0+∞，上是单调函数，且()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()1f x x -为一个常数，令这个常数为n ，则有()1f x n x -=，且()2f n =，将()2f n =代入上式可得()12f n n n=+=，解得1n =，所以()11f x x =+，所以165f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选B ． 9．己知m 、n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）A ．αβ∥，且l α∥，l β∥B ．αβ⊥，且l α∥，l β∥C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l【答案】D 【解析】m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以l α∥，又n ⊥平面β，l n ⊥，l β⊄，所以l β∥， 由直线m 、n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，则α与β相交，否则，若αβ∥则推出m n ∥，与m 、n 异面矛盾， 故α与β相交，且交线平行于l ．故选D ．10．已知三棱柱111ABC A BC -的六个顶点都在球O 的球面上，球O 的表面积为194π，1AA ⊥平面ABC ，5AB =，12BC =，13AC =，则直线1BC 与平面11ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．52B ．52C ．26D ．26【答案】C【解析】由5AB =，12BC =，13AC =，得222+AB BC AC =，∴AB BC ⊥．设球半径为R ，1AA x =，则由1AA ⊥平面ABC 知1AC 为外接球的直径，在1Rt A AC △中，有()222132x R +=，又24π194πR =，∴24194R =，∴5x =．∴11AB CS =△1252ABB S =△． 设点B 到平面11ABC 的距离为d ， 则由1111B AB C C ABB V V --=，得112512332d ⨯=⨯⨯，∴2d =，又113BC =，∴直线1BC 与平面11ABC所成角正弦值为126d BC =C ． 11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB △的面积为22-P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]12， B．C．⎤⎦D ．[]14， 【答案】D【解析】由已知得22b =，故1b =；∵1F AB △∴()12a c b -=，∴2a c -=()()2221a c a c a c b -=-+==， ∴2a =，c =()12212121111112444PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF ++===--+，又122PF ≤≤211144PF PF ≤-+≤，∴121114PF PF ≤+≤． 即1211PF PF +的取值范围为[]14，．选D ． 12．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递减，若不等式()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对任意[]13x ∈，恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．12ln 3e 3+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．1e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．[]2e ，【答案】A【解析】因为定义在R 上的偶函数()f x 在()0+∞，上递减，所以()f x 在()0-∞，上单调递增，若不等式()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对于[]13x ∈，上恒成立， 则()()2ln 121f ax x f --≥对于[]13x ∈，上恒成立， 即()()ln 11f ax x f --≥对于[]13x ∈，上恒成立，所以1ln 11ax x -≤--≤对于[]13x ∈，上恒成立，即0ln 2ax x ≤-≤对于[]13x ∈，上恒成立，令()ln g x ax x =-，则由()10g x a x =-='，求得1x a=， （1）当11a≤时，即0a <或1a ≥时，()0g x '≥在[]13，上恒成立，()g x 单调递增，因为最小值()10g a =≥，最大值()33ln32g a =-≤，所以2ln303a +≤≤，综上可得2ln313a +≤≤；（2）当13a ≥，即103a <≤时，()0g x '≤在[]13，上恒成立，()g x 单调递减，因为最大值()12g a =≤，最小值()33ln30g a =-≥，所以ln323a ≤≤，综合可得，a 无解，（3）当113a <<，即113a <<时，在11a ⎛⎫⎪⎝⎭，上，()0g x '<恒成立，()g x 为减函数， 在13a ⎛⎤⎥⎝⎦，上，()0g x '>恒成立，()g x 单调递增， 故函数最小值为111ln g a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1g a =，()33ln3g a =-，()()312ln3g g a -=-，①若2ln 30a ->，即1a <<，因为()()310g g ->，则最大值为()33ln3g a =-，此时，由11ln0a -≥，()33ln32g a =-≤，求得12ln3e 3a +≤≤，综上可得1a <； ②若2ln 30a -≤，即11ln332a <≤=()()310g g -≤，则最大值为()1g a =，此时，最小值11ln 0a -≥，最大值为()12g a =≤，求得12e a ≤≤，综合可得1ea ≤≤综合（1）（2）（3）可得2ln313a +≤≤或1a <或1e a ≤≤，即12ln3e 3a +≤≤．故选A ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
(完整版)2018高考1卷理科数学试题及答案word版,推荐文档
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。） （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）
在平面四边形 ABCD 中，∠ADC 90 ，∠A 45 ， AB 2 ， BD 5 ． ⑴求 cos∠ADB ；
则下面结论中不正确的是（ ） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
1 / 13
4．记 Sn 为等差数列 an的前 n 项和．若 3S3 S2 S4 ， a1 2 ，则 a3 （ ）
则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． 2 17
B． 2 5
C． 3
D．2
8．设抛物线 C：y2 4x 的焦点为 F ，过点 2 ，0且斜率为 2 的直线与 C 交于 M ， N 两点，则
3 FM FN （ ）
A．5
B．6
C．7
A． 3 2
B．3
C． 2 3
D．4
12．已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面
(word完整版)2018年安徽高考理科数学试题和答案
2018安徽数学<理科）试题 第Ⅰ卷<选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选题中，只有一项是符合题目要求的.fB1ZBk3ZyS <1）设i 是虚数单位，复数iai-+21为纯虚数，则实数a 为 (A>2(B> -2(C> 21-(D>21<2）双曲线8222=-y x 的实轴长是 (A>2(B> 22(C> 4(D> 24<3）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(,则=)1(f(A>-3 (B>-1 (C> 1(D>3<4）设变量x,y 满足|x|+|y|≤1，则x+2y 的最大值和最小值分别为 (A> 1,-1(B> 2,-2(C>1,-2(D>2,-1<5）在极坐标系中，点)3,2(π到圆θρcos 2=的圆心的距离为 (A> 2(B> 942π+(C>912π+(D>3<6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(A>48(B> 17832+(C>17848+(D>80<7）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 (A> 所有不能被2整除的整数都是偶数 (B> 所有不能被2整除的整数都不是偶数 (C>存在一个不能被2整除的整数是偶数(D> 存在一个能被2整除的整数不是偶数<8）设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8}，则满足A S ⊆且φ≠B S I 的集合S 的个数是(A>57 (B> 56 (C> 49(D>8<9）已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ，其中ϕ为实数，若|)6(|)(πf x f ≤对Rx ∈恒成立，且)()2(ππf f >，则)(x f 的单调递增区间是(A> )(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (B>)(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ (C>)(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ (D>)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ <10）函数n m x ax x f )1()(-=在区间[0,1]上的图像如图所示，则m,n 的值可能是(A> m=1,n=1(B> m=1,n=2(C> m=2,n=1(D> m=3,n=1fB1ZBk3ZyS 第Ⅱ卷<非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
安徽省涡阳县第一中学2018届高三第二次月考数学(理)试题 PDF版含答案
A． (3, e2 2e) B． (3, e2 2e]
C． (3, e2 2e 5 ) D． (3, e2 2e 5 ]
2
2
2
2
11．已知定义在实数集 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (x 1) f (x 1) ，且当 x [0,1] 时，
）
A． (0,2)
B． 0,2
C． 1,2
D． 0,
2．已知命题 p ： x R ，使 sin x
5 2 ；命题 q ： x R ，都有 x2 x 1 0 .给出
下列结论：
①命题“ p q ”是真命题 ②命题“ p q ”是假命题 命题④命题“ p q ”是假命题，其中正确的是（ ）
a,
b,
c
的大小顺序是（
）
A． b a c B． c b a C． c a b
D． b c a
21-x，x 1，
5．设函数
f (x)
1
-
log
2
x，x＞1，
则满足
f (x) 2 的 x 的取值范围是（
）
(1 , ) A2
B [0, )
C (1, ) D 4,
0,
1 8
ห้องสมุดไป่ตู้
C. 0,8
D.
,
1 4
1 8
,
二、
第 II 卷（非选择题） 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上
13.若幂函数
f
(x)
安徽省2018年高考理科数学试题及答案(Word版)
安徽省2018年高考理科数学试题及答案（Word 版）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．22．已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3C ．3D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A 33B 23C ．324D 3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
〖全国通用-名师推荐〗2018最新高考总复习数学(理)高三考前最后一卷及答案解析
2018届高三考前最后一卷数学（理）试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的)1.已知集合22{|log 1},{|60},A x x B x x x =≥=--<则()R A B I ð等于（ ） A.{|21}x x -<< B.{|22}x x -<< C.{|23}x x ≤< D.{|2}x x < 2. 已知复数()4i1ib z b R +=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.执行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值是（ ）A ．2B ．－12C ．－3D ．134.若向量,a b r r 满足||||2a b ==r r，a r 与b r 的夹角为60︒，a r 在a b +rr上的投影等于 ( ) A.2B.2C. 3D.4＋2 35.不等式组2503020x y x y x y +-⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≥≤的解集记为，11y z x +=+，有下面四个命题： ：(,)x y D ∀∈，1z ≥：(,)x y D ∃∈，1z ≥ ：(,)x y D ∀∈，2z ≤：(,)x y D ∃∈，0z <其中的真命题是 ( ) A ．，B ．，C ．，D ．，6．一个几何体的三视图如图2所示(单)，则该几何体的体积是（ ）A.2333cm B.2233cmC.4763cmD.73cm7.若数列{n a }满足11n a －－1=nd a （dN n ,*∈为常数），则称数列{}n a 为调和数列．已知数列{1nx }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则165x x +等于（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40 8．由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为（ ）A.2544B.1332C.2532D.1320 9.函数()()sin 2()2f x A x πϕϕ=+≤部分图象如图所示，对不同的[]b a x x ,,21∈，若()()21x f x f =，有()321=+x x f ，则（ ） A ．()x f 在5(,)1212ππ-上是减函数 B ．()x f 在5(,)36ππ上是减函数C ．()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数 D ．()x f 在5(,)36ππ上是增函数 10．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ） A.2- B.3- C ．125 D.131-11.设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点、右焦点,直线2a x c= 交该双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）A.3B.3C.2D.212.已知函数()⎩⎨⎧<+≥+=0,0,3x b ax x x x f 满足条件：对于R ∈∀1x ，∃唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =.当()()b f a f 32=成立时，则实数=+b a ( )A.26B.26-C.26+3D.26-+3二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．在区间[]1,1-内随机取两个实数x ，y ，则满足12-≥x y 的概率是 ；14.已知边长为3的正ABC ∆的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为30，则球O 的表面积为________；15．曲线2y x =与y x =所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是_____； 16.已知数列{}n a 中,对任意的*n ∈N ,若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数）,则称该数列为4阶等和数列,其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数）,则称该数列为3阶等积数列,其中t 为3阶公积,已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列,且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列,且121q q ==-,设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和,则2016S = ___________．三、解答题:（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2cos 14sin sin B C B C -=+.(1)求A ；(2)若27a =，ABC ∆的面积23，求b c +.18.（本小题满分12分）某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A 、B 两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；(2) 记事件C 为“A 校学生计算机优秀成绩高于B 校学生计算机优秀成绩”．假设7分或7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立．根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率． 19.（本小题满分12分）正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，,//,AD CD AB CD ⊥122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上且不与C E ,重合．（1）当点M 是EC 中点时，求证：ADEF BM 平面//；（2）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥BDE M -的体积．20.（本小题满分12分）以椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为63，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于23.N（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点，A 是椭圆C 的右顶点，直线AQ AP 、分别与y 轴交于点N M 、，问：以MN 为直径的圆是否恒过x 轴上的定点？若恒过x 轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x 轴上的定点，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()ln 3f x a x ax =--（0a ≠）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()140f x a x e +++-≤对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围（e 为自然常数）；（3）求证：()()()()2222ln 21ln 31ln 41ln 112ln !n n ++++++⋅⋅⋅++<+（2n ≥，n *∈N ）． 请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22.（本小题满分10分）.选修4-1：几何证明选讲两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ，TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M .(1)证明：//AB CD ；(2)证明：AC MD BD CM ⋅=⋅. 23.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且14AB =,求直线l 的倾斜角α的值．24.选修4-5：不等式选讲设函数()121f x x x =--+的最大值为m . （1）求m ；（2）若()222,,0,,2a b c a b c m ∈+∞++=，求ab bc +的最大值.参考答案题号 1 23456789101112答案B CACDABACCDD13．56； 14. 16π； 15.310π； 16. 2520-. 17.（1）由()2cos 14sin sin B C B C -=+， 得()2cos cos sin sin 4sin sin 1B C B C B C +-=，即()2cos cos sin sin 1B C B C -=，亦即()2cos 1B C +=，∴()1cos 2B C +=. ∵0,3B C B C ππ<+<∴+=,∵A B C π++=,∴23A π=. （2）由（1）得23A π=.由23S =，得12sin 23,823bc bc π=∴=.① 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得()2222272cos 3b c bc π=+-，即2228b c bc ++=.∴()228b c bc +-=.②,将①代入②， 得()2828b c +-=，∴6b c +=.18.（1）从A 校样本数据的条形图可知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人. A 校样本的平均成绩为465156217128393660A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）， A 校样本的方差为22216(46)3(96) 1.560A S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦.从B 校样本数据统计表可知： B 校样本的平均成绩为49512621798693660B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）， B 校样本的方差为22219(46)3(96) 1.860B S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦.因为,A B x x =所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为22A B S S <，所以A校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比B 校好. (2) 记1A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为8分或9分”，2A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为9分”，1B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为7分”，2B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为8分”，则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =．1122()()B A B A P C P C C C C =1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1()A P C 6=60，2()=A P C 360，19()=60B P C ，26()60B P C =， 故9663()=+0.0260606060P C ⨯⨯=．19.（1）由题意：以点D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,4,0,0,0,2,0,2,1A B C E M ， ∴()2,0,1BM =-，平面ADEF 的一个法向量()0,4,0DC =，0BM DC ⋅=，∴BM DC ⊥，即//BM ADEF平面．（2）设()()0,4,20,4,2EM tEC t t t ==-=-，故点()()0,4,2201M t t t -<<，设平面BDM 的一个法向量()z y x n ,,1=，则()11220,4220DB n x y DM n ty t z ⋅=+=⋅=+-=．令1y =-，则121,1,1t n t ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，易知平面ABF 的一个法向量()21,0,0n =，∵()1212212216cos ,6421n n n n n n t t ⋅<>===⋅+-，解得12t =， ∴()1,2,0M 为BC 的中点，221==∆∆CDM DBM S S ，B 到面DEM 的距离2=h ， ∴14.33M BDE DEM V S h -∆=⋅⋅= 20.（1）依题意，得2226,3,,3c ab a b c a ===+又 解得3,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为2213x y +=. （2）(3,0)A ，设(0,)M m ，(0,)N n ，00(,)P x y ，则由题意，可得220013x y +=（1）， 且00(,)Q x y --，00(3,)AP x y =-，(3,)AM m =-. 因为,,A P M 三点共线，所以AP AM ，故有00(3)3x m y -=-，解得0033y m x -=-；同理，可得0033y n x -=+.假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥，即0RM RN ⋅=. 因为(,)RM t m =-，(,)RN t n =-，所以20t mn +=，即2000033033y y t x x --+⨯=-+，整理得220233y t x =--， 又由（1），得220033y x =-，所以21t =，解得1t =或1t =-. 故以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-,(1,0). 方法二：（2）①当直线l 的斜率不存在时，有(0,1)P ，(0,1)Q -，(0,1)M ，(0,1)N -，此时以MN 为直径的圆经过x 轴上的点(1,0)-和(1,0)； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，联立方程组221,3,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得2233(,)3131k P k k ++，2233(,)3131k Q k k --++. 设(0,)M m ，(0,)N n 又直线AP 的斜率12131k k k =-+，直线AM 的斜率23m k =-， 因为,,A P M 三点共线，所以12k k =，解得得23311km k =+-，同理，可得23311k n k =-++，假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥， 直线RM 的斜率3mk t =-，直线RN 的斜率4n k t=-， 所以341k k =-，故有2t mn =-，即22233311311k k t k k =⨯+-++，整理，得21t =，解得1t =或1t =-，综合①②，可知以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0). 21.【解析】：（1）)0()1()(>-='x xx a x f ， 当0>a 时，)(x f 的单调增区间为]1,0(，单调减区间为),1[+∞； 当0<a 时，)(x f 的单调增区间为),1[+∞，单调减区间为]1,0(． （2）令()ln 34ln 1,F x a x ax ax x e a x x e =--+++-=++-.0)(=+='xax x F 若e a ≤-，e a -≥，)(x F []上在2,e e 是增函数，21,012)()(222maxee a e e a e F x F --≤≤+-+==无解．若2e a e ≤-<，e a e -<≤-2，)(x F 在],[a e -上是减函数；在],[2e a -上是增函数，.1,01)(-≤≤+=a a e F ,21,012)(222e e a e e a e F --≤≤+-+=N .2122e e a e --≤≤-∴ 若2e a >-，2e a -<，)(x F 在],[2e e 上是减函数，1,01)()(max-≤≤+==a a e F x F ，.2e a -<∴综上所述.212e e a --≤ （3）令1a =-（或1a =），此时()ln 3f x x x =-+-，所以(1)2f =-，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在(1,)+∞上单调递增，∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x f >，即ln 10x x -+->，∴ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞成立，∵2,N*n n ≥∈，则有2211111ln(1)(1)1n n n n n n+<<=---， 要证2222ln(21)ln(31)ln(41)ln(1)12ln !(2,)n n n n N *++++++++<+≥∈， 只需证22221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1(2,),234n n N n*++++++++<≥∈ 2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)(1)()()()1 1.234223341n n n n ++++++++<-+-+-+-=-<-22.【解答】：（1）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠,同理，NTB TCD ∠=∠,所以TCD TAB ∠=∠,所以//AB CD . （2）连接TM 、AM,因为CD 是切内圆于点M ， 所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠，又由（1）知//AB CD ，所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠,所以MTD ATM ∠=∠.在MTD ∆中,由正弦定理知,sin sin MD TD DTM TMD=∠∠, 在MTC ∆中,由正弦定理知, sin sin MC TC ATM TMC =∠∠, 因TMC TMD π∠=-∠,所以MD TD MC TC =,由//AB CD 知TD BD TC AC =,所以MD BD MC AC=,即, AC MD BD CM ⋅=⋅. 23.【解析】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． ∵222x y ρ+=,cos x ρθ=,sin y ρθ=,∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=,即()2224x y -+=.（2）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得()()22cos 1sin 4t t αα-+=, 化简得22cos 30t t α--=．设,A B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则12122cos ,3.t t t t α+=⎧⎨=-⎩ ∴()2212121244cos 1214AB t t t t t t α=-=+-=+=．∴24cos 2α=,2cos 2α=±,4πα=或34π． 24.【解析】：（1）当1x ≤-时，()32f x x =+≤；当11x -<<时，()132f x x =--<；当1x ≥时，()34f x x =--≤-， 故当1x =-时，()f x 取得最大值2m =.（2）因为()()()22222222222a b c a b b c ab bc ab bc ++=+++≥+=+， 当且仅当22a b c ===时取等号，此时ab bc +取得最大值1.。
安徽省涡阳一中2018届高三最后一卷理科综合试题
绝密★启用前2018届涡阳一中高三最后一卷理科综合试题（考试时间：150分钟 试卷满分：300分） 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 P 31 S 32 Cu 64 Fe 56第Ⅰ卷一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、下列关于膜结构的叙述中错误的是（ ）A. 蓝藻细胞膜向内折叠成为光合膜，其膜中含有色素和光合酶B. 神经肌肉接点处肌细胞膜折叠，其膜上有乙酰胆碱的受体C. 线粒体内膜向内折叠形成嵴，其膜上含有全部的呼吸酶D. 细胞内单位膜折叠成囊腔和细管组成内质网，有些膜上有合成磷脂的酶 2、下列有关细胞生命历程的说法不正确的是（ ）A. 细胞生长过程中，核糖体的数量增加，物质交换效率增强B. 细胞分化，核遗传物质没有发生改变，但蛋白质的种类有变化C. 癌变细胞的多个基因发生突变，且细胞膜上的糖蛋白减少D. 细胞凋亡，相关基因活动加强，有利于个体的生长发育3、实验在生物学的研究中占有重要的地位，下列有关实验的叙述正确的是（ ） A. 在研究光合色素时，可采用纸层析的方法对叶绿体中色素进行提取 B. 探究不同浓度生长素对插条生根的影响时，插条上芽的数量应相等 C. 观察植物细胞的减数分裂，可选用开放的豌豆花的花药作为实验材料D. 在研究酵母菌种群数量的变化实验中，可直接从试管中吸出培养液进行计数 4.下列几种生物学现象的相关说法中正确的是（ ）A.某人因为交通事故导致脊髓从胸部折断，膝跳反射可能不会存在，但针刺足部有感觉B.新生儿出生六个月内不易生某些传染病，因为其皮肤、黏膜有极强的杀菌能力C.组织细胞进行正常生命活动和代谢的主要场所是组织液D.HIV 在人体内环境中不能增殖，但能破坏特异性免疫过程5.如图1为某家庭的遗传系谱图，已知该家庭中有甲（A 、a 基因控制）乙（B 、b 基因控制）两种遗传病，其中有一种为伴性遗传．图2表示的是该家庭成员个体细胞分裂过程中控制甲、乙两种遗传病的基因所在两对染色体的变化．下列叙述不正确的是（ ）A.图1中4和5再生一个孩子患两种病的概率是1/32B.该家庭中只有图1中5的染色体和基因组成可以用图2表示C.图3细胞中出现A 、a 的原因可能发生在减数分裂第一次分裂D.甲乙两病易在新生婴儿和儿童中发生，可通过绒毛细胞检查进行产前诊断达到优生6.“发展经济不应以破坏环境为代价”已经成为人类的共识．为此，涡阳县政府精心筹划以武家河为依托修建了道源国家湿地公园．下列相关叙述正确的是（ ） A.春天湿地公园群落中的青蛙呈“J”型曲线增长B.若在河边的空地通过人工管理提高某种速生树的产量后，其抵抗力稳定性降低C.人工林生态系统需要不断得到来自于系统外的能量补充，而原始森林生态系统不需要D.湿地公园的观赏价值体现了生物多样性的间接价值 7．化学与生产、生活、科技等息息相关，下列说法正确的是A ．聚乙炔用I 2或Na 等做掺杂后可形成导电塑料，该导电塑料具有固定的熔点、沸点B ．“酸雨”是由大气中的碳、氮、硫的氧化物溶于雨水造成的C ．绿色化学的核心是在化学合成中将原子充分利用，转化为新的原子D ．加酶洗衣粉不适合洗涤羊毛织品上的污渍 8. 阿伏加德罗常数值用N A 表示。
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安微涡阳一中2018届高三最后一卷数学理 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，若复数z 满足11z ii i+=+-，那么z （ ）A ．1B ．52.已知集合()(){}360A x x x =--<，{}28xB x =>，下列结论成立的是（ ）A ．BA ⊆B ．BA A = C ．BA B = D ．()R B A =∅ð3.已知612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项与3a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中x 的系数相等，则实数a 的值为（ ） A ．56-B ．52- C ．1- D ．5- 4.已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点2F 关于1F 的对称点为B ，以2BF 为直径的圆被过原点的直线截得的最短弦长为6b ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．325.2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X （单位：辆）均服从正态分布()2600,Nσ，若()5007000.6P X <<=，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（ ） A ．1125 B ．12125 C.61125 D ．641256.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．18πB ．32π C.36π D ．72π 7.已知直线3402x y ππ+-=经过函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭图像相邻的最高点和最低点，则将()f x 的图像沿x 轴向左平移8π个单位后得到解析式为（ ）A ．cos2y x =B ．cos2yx =- C. 3sin 28y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．sin 28y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭8.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．33B ．35 C. 36 D ．409.已知锐角ABC 的内角为A ，B ，C ，点M 为AB上的一点，cos ACM∠=，15AC =，CM =AB 的取值范围为（ ）A．2⎛ ⎝ B．(C.()D．,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10.设函数()lg f x x =，若存在实数0a b <<，满足()()f a f b =，则222log 8a b M +=，22log N =，21ln Q e =的关系为（ ） A ．M N Q >> B ．M Q N >> C.N Q M >> D ．NM Q >>11.28log xa y x =-（0a >且1a ≠）在区间10,3⎛⎤⎥⎝⎦上无零点 ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．()10,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.()1,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()()0,14,+∞12.已知边长为2的等边三角形ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且//EF BC ，将AEF 沿EF 折成'A EF ，使平面'A EF ⊥平面EFCB ，则几何体'A EFCB -的体积的最大值为（ ）A．9 B．9 C.38 D．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠=︒，点M 是BD 上靠近D 的三等分点，则AM AB = ．14.已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，sin α=，则1cos 2sin 2αα+= ． 15.某部门为实现对某山村的精准扶贫，利用该山村的特产水果建厂生产A ，B 两种饮品.生产1吨A 饮品，需1小时，获利900元；生产1吨B 饮品，需1小时，获利1200元.每天B 饮品的产量不超过饮品A 产量的2倍，每天生产B 饮品的时间不低于生产A 饮品的时间.若每天生产两种饮品的总量至多4吨，则该厂每天的最大获利为 元．16.已知O 为坐标原点，过点(),2P a -作两条直线与抛物线C ：24x y =相切于A ，B 两点，则AOB 面积的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 古代数学著作《张丘建算经》上曾出现“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，前30天共织布390尺，记女子每天织布的数量构成数列{}n a .（1）在30天内，该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多多少？ （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nT ，证明：2980n T <. 18.如图，是斜三棱柱111ABC A BC -中，已知11190B C A ∠=︒，异面直线11AB AC ⊥，且1AA AC = .（1）求证：平面11ACC A ⊥平面111A B C ；（2）若1111AC AA BC ==，求直线11AC 与平面11ABBA 所成角的正弦值. 19. 自2018年元月2日开始，中国中东部大部地区出现今年首次大范围雨雪天气，雨雪天气对民众的生活有显著影响.我国科学工作者研究了山东冬季短时间内积雪深度Y （单位：cm ）和降雪量X （单位：mm ）的关系为0.75Y X b =+，当降雪量为5mm 时，积雪深度为3.9cm .下表为山东甲地未来24小时内降雪量及其概率：根据以往的经验，甲地某工程施工期间的积雪深度Y （单位：cm ）对工期的影响如下表：（1）已知24小时内降雪量大于10mm 的降雪过程为暴雪，下表为山东5个城市24小时内的积雪深度测量值.现从上述5个城市中，随机抽取2个，求抽取的2个城市降雪量均为暴雪的概率； （2）求甲地在24小时内降雪量X 至少是5mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率； （3）若甲地此工程每延误一天，损耗10000元，求该工程损耗的数学期望. 20. 动点P 在圆E ：()22116x y ++=上运动，定点()1,0F ，线段PF 的垂直平分线与直线PE 的交点为Q .（1）求Q 的轨迹T 的方程；（2）过点F 的直线1l ，2l 分别交轨迹T 于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥.证明：过AB 和CD 中点的直线过定点. 21. 已知()2ln f x x ax bx =--.（1）若1a =-，函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（2）当1a =，1b =-时，证明：函数()f x 只有一个零点；（3）若()f x 的图像与x 轴交于()1,0A x ，()()212,0B x x x <两点，AB 中点为()0,0C x ，求证：()0'0f x <.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()222cos cos23ρθθ+=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点M 的直角坐标为，求直线l 的方程.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x =-+-.（1）解不等式()1f x x ≤+；（2）设()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +≥++. 试卷答案一、选择题1-5: CDABC 6-10: CACAB 11、12：CB 二、填空题13.8314. -2 15. 4400 16. 三、解答题17.解：（1）根据题意，{}n a 应为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，由题意知29303053902d ⨯⨯+=，即1629d =， 1624015152929S S d -==⨯=偶数项奇数项∴ （尺）， 故该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多24029尺. （2）由（1）可知，()165129na n =+-⨯， 故1111111291116n n n n n n a a d a a a a +++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴12231122311112911111116n n n n a a a a a a a a a a a a ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2911291616580529n ⎛⎫ ⎪=-< ⎪ ⎪+⎝⎭. 18.解：（1）因为1AA AC =，所以四边形11ACC A 是菱形，所以11AC AC ⊥， 又因为异面直线11AB AC ⊥，11AC AB A =，所以1AC ⊥平面11AB C ，而11BC ⊂平面11AB C ，所以111AC B C ⊥， 又因为11190B C A ∠=︒，即1111B C AC ⊥，且1111AC AC A =， 所以11B C ⊥平面11ACC A ，而11BC ⊂平面111AB C ， 所以平面11ACC A ⊥平面111A B C .（2）设O 是11AC 的中点，因为11AC AA =，所以11AO AC ⊥，由（1）可知AO ⊥平面111A B C ，以过点O 且与11C B 平行的直线为x 轴，以1OC 所在直线为y 轴，以OA 所在直线为z 轴，建立的空间直角坐标系O xyz -，则(A，()10,1,0A -，()10,1,0C ，()12,1,0B ，设11AC 与平面11ABB A 所成角为θ，∵ ()110,2,0A C =，()112,2,0A B =，(1A A =，设平面11ABB A 的一个法向量是(),,n x y z =，则11100A B n A A n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即2200x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩不妨令1x =，可得1,n⎛=- ⎝⎭，∴11sin cos ,7AC n θ===， ∴ 11AC 与平面11ABBA 所成角的正弦值为7. 19.解：（1）因为0.75YX b =+，代入()5,3.9可得，0.15b =，所以0.750.15Y X =+. 对应的5个城市降雪量为：达到暴雪的城市为3个，所以抽取的2个城市中为暴雪的概率为2325310C P C ==.（2）由概率加法公式，得()()3.9510.60.4P Y P X ≥=≥=-=，又()()3.915.155200.20.10.3PY P X ≤<=≤<=+=，由条件概率，得()()()3.915.150.3315.15 3.9 3.90.44P Y PY Y P Y ≤<<≥===≥，故甲地在24小时内降雪量X 至少是5mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率为34. （3）根据题意，()()()3.9 2.5 2.550.20.40.6PY P X P X <=<+≤<=+=，()()3.97.655100.2P Y P X ≤<=≤<=，()()7.6515.1510200.1P Y P X ≤<=≤<=，()()()15.153020300.050.050.1P Y P X P X ≥=≥+≤<=+=，设该工程损耗为ξ，则0ξ=，20000，60000，100000，所以的分布列为：于是，()00.6200000.2600000.11000000.120000Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，故该工程损耗的数学期望为20000元. 20.解：（1）连接QF ，根据题意，可知QP QF=，则4QE QF QE QP EF +=+=>，故Q 点的轨迹T 为以E 、F 为焦点，长轴长为4的椭圆，则2a =，1c =，∴ b =，所以点Q 的轨迹T 的方程为22143x y +=.（2）分别设直线AB 和CD 的中点为M 、N ，当直线AB 斜率不存在或为0时，分析可知直线MN 与x 轴重合，当直线AB 的斜率为1时，此时43,77M ⎛⎫⎪⎝⎭，43,77N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线MN 的方程为47x =，联立解得直线MN 经过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭. 下面证明一般性：当直线AB 的斜率存在且不为0,1时，设直线AB 的方程为()1y kx =-，则直线CD 的方程为()11y x k=--，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=， 则2122843k x x k -+=-+，所以122643k y y k +=-+，即22243,4343k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理：2243,3434k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 于是直线MN 的斜率为()222222337344344413443MNk k k k k k k k k k +++==--++， 故直线MN 的方程为()222374343441k k y x k k k ⎛⎫-=- ⎪++-⎝⎭，显然47x =时，0y =，故直线经过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭. 21.解（1）依题意：()2ln f x x x bx =+-∵()f x 在()0,+∞上递增， ∴()1'20f x x b x=+-≥对()0,x ∈+∞恒成立 即12b x x ≤+对()0,x ∈+∞恒成立， ∴ 只需min12b x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭ ∵ 0x >，∴12x x +≥当且仅当2x =时取“=”，∴b ≤∴ b的取值范围为(-∞（2）当1a =，1b=-时，()2ln f x x x x =-+，其定义域是()0,+∞，∴ ()()()2121121'21x x x x f x x x x x-+--=-+=-=-， ∵ 0x >，∴ 01x <<时，()'0f x >；当1x <时，()'0f x <∴ 函数()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减∴ 当1x =时，函数()f x 取得最大值，其值为()21ln 110f x =-+=当1x ≠时，()()1f x f <，即()0f x <∴ 函数()f x 只有一个零点（3）由已知得()()221111111222222222ln 0n ln 0ln f x x ax bx x ax bx f x x ax bx x ax bx ⎧⎧=--==+⎪⇒⎨⎨=--==+⎪⎩⎩两式相减，得 ()()()11212122lnx a x x x x b x x x =+-+-⇒()()112122ln xx x a x x b x =-⎡++⎤⎣⎦， 由()1'2f x ax b x=--及0122x x x =+，得 ()0001'2f x ax b x =--()12122a x x b x x =-⎡++⎤⎣⎦+11212221ln x x x x x x =-+- ()1211212221ln x x x x x x x x ⎡-⎤=-⎢⎥-+⎣⎦12111222211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦令12xt x =，()()22ln 011t t t t t ϕ-=-<<+，∵ ()()()221'01t t t t ϕ-=-<+， ∴ ()t ϕ在()0,1上递减， ∴ ()()10t ϕϕ>=∵ 12x x <，∴ ()0'0f x <22.（1）由题目知曲线C 的极坐标方程可化为()2223cos sin 3ρθθ-=，即22223cos sin 3ρθρθ-=，即2233x y -=，∴ 曲线C 的直角坐标方程为2213y x -=.（2）将直线l 的参数方程2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入C 的直角坐标方程得()()2232cos 1sin 3t t αα+-+=，整理可得()()22223cos sin 12cos 2sin 80t tαααα-+-+=，设A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，则120t t +=，∴ 122212cos 2sin 012cos 2sin 03cos sin t t αααααα-+=-=⇒-=-，∴ 直线l 的斜率tan 6kα==，∴ 直线l 的方程为611y x =-.23.（1）()1f x x ≤+，得131x x x -+-≤+.①当1x <时，不等式可化为421x x -≤+，1x ≥. 又∵ 1x <，∴ x ∈∅；②当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，1x ≥. 又∵ 13x ≤≤，∴ 13x ≤≤.③当3x >时，不等式可化为241x x -≤+，5x ≤. 又∵ 3x >，∴ 35x <≤.综上所得，13x ≤≤，或35x <≤，即15x ≤≤. ∴原不等式的解集为[]1,5.（2）由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=，∴ 2c =，即2a b +=. 令1a m +=，1b n +=，则1m >，1n >，1a m =-，1b n =-，4m n +=，()()22221111411m n a b m n a b m n m n--+=+=+++-++24412mn m n =≥=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，原不等式得证.。