高中数学人教A版必修2：334 两条平行直线间距离
2.3.4 两平行直线间的距离公式 教案
2.3.4两平行直线间的距离公式(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)一、教学目标1.理解两平行线间距离的定义2.会求两平行线间的距离，及应用公式求距离3.培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力二、教学重难点1.理解和掌握两条平行线间的距离公式2.应用距离公式解决综合问题三、教学过程1.概念的形成1.1创设情境，引发思考【实际情境】前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条直线间的距离也是值得研究的。
问题1：立定跳远测量的什么距离？A.两平行线的距离B.点到直线的距离C.点到点的距离【预设的答案】A【设计意图】通过生活中跳远的问题情境，引出在坐标系下探究两平行线间距离公式的问题，用跳远这一实例，让学生感受“距离”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.问题2：已知两条平行直线l1,l2的方程，如何求l1与l2间的距离？根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0,y0)，,点P(x0,y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。
【活动预设】引导学生归纳概括出平行线间的距离定义1. 图示：2. 定义：夹在两平行线间的__________的长.公垂线段3. 求法：两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.1.2探究典例，形成概念活动：已知两条平行直线12:2780,:62110l x y l x y --=--=，求12l l 与间的距离. 【活动预设】感受如何计算两条平行线间的距离？ 【设计意图】为引入两条平行直线间的距离作准备. 问题3：如何取点，可使计算简单？解：在直线2x － 7y －8=0上任取一点，如P(4,0) 则两平行线的距离就是点P(4,0)到直线6x-21y-1=0的距离. 因此，d =√62+(−21)2=【设计意图】从引例中的具体问题入手，根据平行线间的距离的定义，由点到直线的距离公式求出两平行线间的距离.问题4：两条平行线10Ax By C ++=与20Ax ByC ++=间的距离为________d =【活动预设】（1）分析两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离；（2）如何取直线上一般的点？如何由点到直线的距离化简得到两平行线间的距离？ 教师讲授：在直线10Ax By C ++=上任取一点()00,P x y ，点()00,P x y 到直线20AxBy C ++=的距离就是这两条平行直线间的距离，即d =.因为点()00,P x y 在直线10Ax By C ++=上，所以0010Ax By C ++=，即001Ax By C+=-，因此d ===【设计意图】理解由特殊到一般推导出两条平行直线间的距离公式.验证：已知两条平行直线l 1：2x −7y −8=0,l 2：6x −21y −1=0， 求l 1与l 2间的距离. 【设计意图】直接使用平行线间的距离公式问题5：两条平行直线间的距离公式写成时d =对两条直线应有什么要求？【活动预设】(1)把直线方程化为直线的一般式方程;(2)两条直线方程中x,y 的系数必须分别相等； 【设计意图】平行线间距离公式使用的注意事项. 1.3具体感知，理性分析 活动：自主举例的接龙活动. 【活动要求】第一组用一般式写出两条平行直线并求出两平行直线间的距离； 第二组用斜截式写出两条平行直线并求出两平行直线间的距离； 【活动预设】引导学生合理构造平行直线，并用公式求距离。
高中数学人教A版必修2课件：3.3.4 两条平行直线间的距离
5
,
4
则点 P 到直线 l2:6x+8y-9=0 的距离即为两条平行直线
间的距离.
因此 d=
5
4
0×6+8× -9
62 +82
1
= 10 .
9
方法二:把 l2:6x+8y-9=0 化为 3x+4y− 2 = 0,
则两条平行直线间的距离 d=
-5- -
9
2
32 +4 2
1
= 10 .
-7-
3.3.4
则点A到直线l2的距离即是所求的平行直线间的距离.
l2的方程可化为3x+4y-15=0,
所以所求的距离 d=
|3×2+4×1-15|
32 +4 2
= 1.
方法二:直线l1,l2的方程可化为3x+4y-10=0,3x+4y-15=0,
则两条平行直线间的距离为 d=
|-10-(-15)|
32 +4 2
5
(1)把直线方程化为直线的一般式方程;
(2)两条直线方程中x,y的系数必须分别相等.
2.当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时,可利用数形结合方法来解决.
(1)两条直线都与x轴垂直时,l1:x=x1,l2:x=x2,则两条平行直线间的距
离d=|x2-x1|;
(2)两条直线都与y轴垂直时,l1:y=y1,l2:y=y2,则两条平行直线间的距
离d=|y2-y1|.
-6-
3.3.4
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两条平行直线间的距离
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高一数学人教版A版必修二：3.3.3～3.3.4 点到直线的距离 两条平行直线间的距离
(2)两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着
点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.
①求d的取值范围；
解 设经过A点和B点的直线分别为l1、l2， 显然当ll12⊥⊥AABB 时，l1 和 l2 的距离最大，
且最大值为|AB|＝ －3－62＋－1－22＝3 10，
分两条件列方程组可求解对称点坐标.
返回
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
∴d 的取值范围为(0,3 10]；
②求当d取最大值时，两条直线的方程. 解 由①知 dmax＝3 10，此时 k＝－3， 两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 (1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最
小时P点的坐标；
解 直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，
为__4__. 解析 由题意得63＝m1 ，∴m＝2，
将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
|－1＋6| 由两平行线间距离公式得： 62＋22＝
540＝
10 4.
解析答案
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等， 则l的方程为_2_x_－__y_＋__1_＝__0_.
人教A版高中数学必修二3-3-3、4 点到直线的距离 两条平行直线间的距离
，但要注意两直线方程中x，y
的系数必须分别相同．
求两平行线l1：x－2y＝5和l2：x－2y＝10的距离． [分析] 利用定义或公式求解．
[解析] 解法一：若在直线l1上任取一点A(7,1)，则点A到 直线l2的距离，即是所求的平行线间的距离，如图(1)．
∴d＝|7－122＋×1－－2120|＝ 5.
方法二：直接应用两条平行线间的距离公式． l1：3x＋4y－10＝0，l2：3x＋4y－15＝0， ∴d＝|－103－2＋－4215|＝1.
规律总结：针对这个类型的题目一般有两种思路：
(1)利用“化归”思想将两平行直线的距离转化为求其中
一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(2)直接用公式d＝
|C1－C2| A2＋B2
①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2 －x1|；
②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2 －y1|.
两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于( )
5 A.2 2 C．5 2
2 B. 2 D. 2
[答案] A
[解析] 直线x＋y＋2＝0与x轴的交点是P(－2,0)，点P到
(3)公式 一般地，已知两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋ By＋C2＝0(C1≠C2)．设P(x0，y0)是直线l2上的任意一点，则 Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，于是P(x0，y0)到直线 l1：Ax＋By＋C1＝0的距离 d＝|Ax0＋AB2＋y0B＋2C1|＝ |CA1－2＋CB2|2. 此式就是两条平行直线l1与l2间的距离公式．
[破疑点](1)使用两条平行直线间的距离公式的前提条件： ①把直线方程化为直线的一般式方程； ②两条直线方程中x，y系数必须分别相等． (2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上 任意一点到另一条直线的距离，且两平行线间距离与其中一 条直线上点的选取无关．
人教新课标版数学高一A版必修2教材梳理 两条平行直线间的距离
疱丁巧解牛知识·巧学一、两条平行直线间的距离1.公式：一般地，已知两条平行直线l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0(C 1≠C 2),则这两条平行直线间的距离为d=2221||B A C C +-.2.公式的得出：已知两条平行直线l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0(C 1≠C 2),求两平行线间的距离.发现两条平行线的方程经过变形都可化为l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0的形式.在l 1上任取一点P(0，B C 1-)，点P 到l 2的距离经化简为d=2221||BA C C +-，发现这个距离只与x 、y 的系数和两个常数项有关，且关系明显，我们把它作为求两条平行线间的距离公式.即：一般地，已知两条平行线l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0(C 1≠C 2).设P(x 0，y 0)是直线l 2上的任意一点，则Ax 0+By 0+C 2=0，即Ax 0+By 0=-C 2.于是，点P(x 0，y 0)到直线l 1：Ax+By+C 1=0的距离d=222122100||||B A C C B A C By Ax +-=+++就是两平行直线l 1与l 2之间的距离.3.另外，两平行线的方程用点斜式方程表示为：l 1：y=kx+b 1，l 2：y=kx+b 2，那么两平行线间的距离d=2211||k b b +-.误区警示 两平行线间的距离的求法有两种：一是转化为点到直线的距离；二是直接使用两平行线间距离公式d=2221||B A C C +-，在应用平行线间距离公式时要注意前提：除了要将直线方程化为一般形式之外，还要使x 、y 的系数分别相等.否则不能直接套用公式.这是在应用中经常出现的一个错误，同学们要特别注意.问题·探究问题1 对于一个三角形ABC ，如果已知点A(0,21)、B(32,0)，点C 在已知直线l ：3x+4y+3=0上滑动，那么三角形ABC 的面积是否随着点C 的变化而变化呢？探究:由A 、B 两点的坐标可以得出三角形ABC 中边AB 所在直线的方程为3x+4y-2=0，显然与直线3x+4y+3=0平行.而三角形ABC 的面积等于AB 线段长与AB 边上的高的乘积的一半.而|AB|=65，AB 边上的高即为C 点到直线AB 的距离，而C 在直线3x+4y+3=0上滑动，所以高即为两平行直线3x+4y+3=0与3x+4y-2=0的距离，无论C 点如何变化，高恒为定值h=15|23|=+，所以S △ABC =21|AB|·d=12516521=⨯⨯.所以三角形ABC 的面积不随点C 的变化而变化.问题2什么是两条平行线之间的距离?它有什么特点?这个距离的公式是什么？有什么要求与特点，是否适合于任意的两条平行直线？探究:两条平行线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长，平行线间的距离处处相等.对于两条平行直线l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0(C 1≠C 2),距离为d=2221||B A C C +-.要求在应用公式前必须将两直线方程表示为一般式，且x 、y 的对应系数一致，在此前提下，这个公式适合于任意两平行直线，包括斜率不存在的直线也成立.典题·热题例1 与两平行直线l 1:3x-4y-5=0和l 2:3x-4y+7=0距离之比为1∶2的直线方程为( )A.3x-4y-1=0或3x-4y+19=0B.3x-4y+3=0或3x-4y-1=0C.3x-4y-1=0或3x-4y-17=0D.3x-4y+3=0或3x-4y+19=0思路解析：方法一(排除法)由题意知，所求直线一条在l 1、l 2的内侧，另一条在l 1、l 2所夹带形区域的外侧，且靠近l 1的部分，3x-4y+19=0在靠近l 2的外侧部分，不合题意，故舍去A 、D.又B 中两条均在l 1、l 2的内侧，不成立，故选C.方法二：(应用平行线间距离公式)由题意，设所求方程为3x-4y+c=0，由22222143||2143||+-=+-c c c c ， 即2|c+5|=|c-7|，解得c=-17或c=-1.故选C.答案：C深化升华 从本题解法来看，如果作为选择题，用数形结合进行排除的方法比较简捷.而作为填空或解答题出现，则可应用两平行线间距离公式解方程.如果问题改成求到两平行直线Ax+By+C 1=0和Ax+By+C 2=0等距离的直线，则直线有且仅有一条，其方程为Ax+By+0221=+C C . 例2 直线l 1过点A(0，1)，l 2过点B(5，0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1、l 2的方程.思路解析：本题要求直线的方程，其关键是求l 1、l 2的斜率，根据条件l 1、l 2的距离为5，可通过待定系数法求出斜率.设直线的斜率时要考虑斜率是否一定存在，否则要对斜率不存在的情况进行验证.解：设直线的斜率为k.由斜截式得l 1的方程y=kx+1，即kx-y+1=0.由点斜式得l 2的方程y=k(x-5)，即kx-y-5k=0.在直线l 1上取点A(0，1)，点A 到直线l 2的距离d=51|51|2=++k k ，∴25k 2+10k+1=25k 2+25.∴k=512. ∴l 1的方程为12x-5y+5=0，l 2的方程为12x-5y-60=0.若l 1、l 2的斜率不存在，则l 1的方程为x=0，l 2的方程为x=5，它们之间的距离为5，同样满足条件，则满足条件的直线方程有以下两组：⎩⎨⎧=--=+-060512:,05512:21y x l y x l 和⎩⎨⎧==.5:,0:21x l x l误区警示 在本类问题的解决中，要注意两个易错点:第一是两条平行线间距离公式的应用必须注意前提，就是把两条直线的方程化为一般式，且x 、y 对应的系数分别相等，才能代入公式求解运算.第二个注意点是在待定系数法求直线方程时，如果设直线斜率，则必须考虑直线的斜率是否一定存在，如果可以不存在，要对该特殊情况进行验证，以防漏根.例3 两条互相平行的直线分别过A(6,2)、B(-3，-1)，并且各自绕着A 、B 旋转，如果两平行线间的距离为d ，(1)求d 的取值范围；(2)求当d 取最大值时两直线的方程.思路解析：根据题意，由两条平行线间的距离公式写出ｄ与k 之间的函数关系式，不难求出ｄ的范围.可由范围发现ｄ取最大值时的对应直线方程.解：(1)设两平行线的斜率为k ，则两直线方程分别为y-2=k(x-6)，y+1=k(x+3)，即kx-y-6k+2=0,kx-y+3k-1=0.所以d=21|39|k k +-.由此得(81-d 2)k 2-54k+9-d 2=0.∵k ∈R ，∴Δ=542-4(81-d 2)(9-d 2)≥0.∴d 4-90d 2≤0,得0<d≤103.(2)当两直线斜率不存在时，两直线分别为x=6，x=-3，则d=9，因为d max =103,此时k=3)81(2542-=-d . 两直线方程为3x+y-16=0,3x+y+10=0.深化升华 本题若从问题的几何背景考虑，易知分别过A 、B 的一切平行线的距离均不超过A 、B 两点的距离｜AB ｜，当且仅当两平行线与直线AB 垂直时，两平行线间距离等于｜AB ｜，所以d max =103)12()36(22=+++，此时，13612-=++•k ,即k=-3.可见借助几何直观背景发挥形象思维优势，常可得到简捷解法.。
高中数学人教A版必修2第三章.3点到直线的距离.4两条平行直线间的距离ppt课件
的 对 称 点 P 1x1 ， y1的 坐 标 公 式 ：
y1 法一： x1
y0 x0
A B
1
.
A x1
x0 2
B
y1
y0 2
C 0
法二： x1 y1
x0 y0
2A 2B
Ax0 By0 C A2 B2 .
Ax0 By0 C A2 B2
练习:
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
d C2 C1 A2 B2
课堂练习：P108 练习：1、2 P109 练习： 课外作业：P110 习题 A组9、10 B组 2、3、4、5、6、7、8、9
Q
o
x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎
样求点 P0 到直线l的距离呢?
1、点到直线的距离：
由 P 0 Q l ，以及直线
l的
斜率为
A ，可得 B
l 的垂线
P0Q
y
的斜率为
B ，因此，垂线 A
P0Q
的方程可以求出 线 l 的交点，即垂足
.直线 P 0 Q 与直 Q 点的坐
AB边所在直线的方程为
1h
B (3,1)
y-3 x1 ，即xy40
1-3 31
-1
O
h | 1 0 4 |
C (-1,0)
12 12
S12 2 5 5
2
2
1 2 3x
还有其他方 法吗？
两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直 线间的公垂线段的长.
y P l1
l2
Q
o
x
高中数学人教A版必修2课件：3.3.4两条平行直线间的距离
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02
使用公式计算两条平行直线间的 距离。公式为：距离 = |C1 - C2| / √(A^2 + B^2)，其中A、B、 C1和C2是直线的系数和常数项。
距离公式的几何解释
两条平行直线间的距离可以通过考虑 它们之间的“最短路径”来解释，即 通过作垂线来找到这个最短路径。
距离公式实际上是计算了两条平行直 线间的垂线段的长度，这个长度即为 两条平行直线间的最短距离。
如果一条线段的两个端点分别在两条平行线上，那么这条线段的长度与两条平行线之间的距离成正比 。
03 两条平行直线间的距离的 求法
通过作垂线求距离
确定两条平行直线， 并在其中一条直线上 取一点。
测量垂线段的长度， 即为两条平行直线间 的距离。
过这个点作另一条直 线的垂线。
利用公式求距离
01
确定两条平行直线，并知道它们 的方程。
04 两条平行直线间的距离的 应用
在几何图形中的应用
确定几何图形面积
通过两条平行线间的距离，可以确定 一个几何图形的面积，例如平行四边 形、矩形等。
判断平行关系
利用两条平行线间的距离，可以判断 两条直线是否平行，或者两条直线是 否相交。
在解析几何中的应用
求解直线方程
通过两条平行线间的距离，可以求解直线的方程。
平行线间的距离性质
唯一性
两条平行线之间的距离是唯一的，不 会因测量点的位置变化而改变。
最小性
两条平行线之间的距离是最短的，任 何其他点到这两条平行线的距离都不 会小于这个值。
距离与线段的比例关系
平行线间距离与线段的比例关系
如果一条线段与两条平行线相交，那么这条线段与两条平行线之间的距离成比例。
人教版高中数学2.3.4 两条平行线间的距离
2.3.4 两条平行直线间的距离
一、学习目标：1.理解两条平行线间的距离公式的推导；
2.会求两条平行直线间的距离；
3.应用两条平行线间的距离公式解决问题.
学习重难点：会求两条平行直线间的距离；
学习重难点：应用两条平行线间的距离公式解决问题.
二、导学指导与检测
三、巩固诊断
【A层】
1．平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋10＝0的距离等于()
A．1B．0C．10D．3
【B层】
2．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________.
【C层】
3.已知直线l1：3x-2y-1＝0和l2：3x-2y-13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶
1，求直线l的方程.
闯关题：
两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（-3，-1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.
（1）求d的变化范围；
（2）当d取最大值时，求两条直线的方程.。