天津市南开中学2018-2019学年高三(下)第四次月考数学试卷(理科)(2月份)(解析版)

天津市南开中学2018-2019学年高三（下）第四次月考数学试卷（理科）（2月份）注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=R，A={x|x<1}，B={x|x≥2}，则集合∁U(A∪B)等于()A. {x|x>1}B. {x|x≤2}C. {x|1<x≤2}D. {x|1≤x<2}【答案】D【解析】解：∵全集U=R，A={x|x<1}，B={x|x≥2}，∴A∪B={x|x<1或x≥2}，则∁U(A∪B)={x|1≤x<2}，故选：D．求出A与B的并集，根据全集U=R，求出并集的补集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.设变量x，y满足约束条件{x+y−2≥0x−y−2≤0y≥1，则目标函数z=x+2y的最小值为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=−12x+z2，平移直线y =−12x +z 2，由图象可知当直线y =−12x +z 2经过点B(1,1)时，直线y =−12x +z 2的截距最小，此时z 最小．此时z 的最小值为z =1+2×1=3， 故选：B ．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3. 设x ∈R ，则“|x|+|x −2|<4”是“x 2−x −6<0”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当x ≥2时，由|x|+|x −2|<4得2x −2<4，得x <3，此时2≤x <3， 若0<x <2，由|x|+|x −2|<4得x −x −2<4，得−2<4，此时0<x <2， 若x ≤0，由|x|+|x −2|<4得−x −x −2<4，得x >−1，此时−1<x ≤0， 综上−1<x <3，由x 2−x −6<0得−2<x <3，即“|x|+|x −2|<4”是“x 2−x −6<0”的充分不必要条件， 故选：A ．根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键．4. 关于x 的函数y =log 12(x 2−ax +2a)在[1,+∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,2]B. (−1,+∞)C. (−1,2]D. (−∞,−1)【答案】C【解析】解：∵函数y =log 12(x 2−ax +2a)在[1,+∞)上为减函数， 则t =x 2−ax +2a)在[1,+∞)上为增函数，且在[1,+∞)上大于0恒成立． 则{a2≤112−a +2a >0，解得−1<a ≤2．∴实数a 的取值范围是(−1,2]． 故选：C ．由题意可得，t =x 2−ax +2a)在[1,+∞)上为增函数，且在[1,+∞)上大于0恒成立，得到关于a 的不等式组求解．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法.对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．5. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=l(a >0,b >0)的一条渐近线与圆(x −2)2+y 2=6相交于A ，B 两点，且|AB|=4，则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 5√33C. 3√55D. √2【答案】D【解析】解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx −ay =0，∵|AB|=4，圆(x −2)2+y 2=6的半径为√6，∴圆心(2,0)到渐近线的距离为√2， 即√a 2+b 2=√2，解得b =a ∴c =√a 2+b 2=√2a ， ∴双曲线的离心率为e =ca =√2． 故选：D ．先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，根据题意可知圆心到渐近线的距离为2，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a ，b 的关系，即可求出双曲线的离心率． 本题主要考查了双曲线的简单性质.解题的关键是利用数形结合的方法求得圆心到渐近线的距离．6. 已知定义在R 上的函数f(x −1)的图象关于x =1对称，且当x >0时，f(x)单调递减，若a =f(log 0.53)，b =f(0.5−1.3)，c =f(0.76)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. c >a >bB. b >a >cC. a >c >bD. c >b >a【答案】A【解析】解：∵定义在R 上的函数f(x −1)的图象关于x =1对称， ∴函数f(x)的图象关于y 轴对称， ∴函数f(x)为偶函数， ∵log 0.53=−log 23， ∴f(log 0.53)=f(log 23)，∵1<log 23<2，0.5−1.3=21.3>2，0<0.76<1， 又当x >0时，f(x)单调递减， ∴b <a <c ， 故选：A ．由题意可得函数f(x)为偶函数，再根据函数的单调性，以及指数函数和对数函数的性质即可比较本题考查了函数的奇偶性和单调性，以及指数函数和对数函数的性质，属于中档题7. 已知F 为抛物线y 2=x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =6(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A. 17√28B. 3C. 3√38 D. 3√132【答案】D【解析】解：设直线AB 的方程为：x =ty +m ，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M(m,0)， x =ty +m 代入y 2=x ， 可得y 2−ty −m =0， 根据韦达定理有y 1⋅y 2=−m ， ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =6， ∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=6，从而(y 1⋅y 2)2+y 1⋅y 2−6=0， ∵点A ，B 位于x 轴的两侧， ∴y 1⋅y 2=−3，故m =3．不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0， 又F(14,0)，∴S △ABO +S △AFO =12×3×(y 1−y 2)+12×14y 1=138y 1+92y 1≥2√9×1316=3√132，当且仅当138y 1=92y 1，即y 1=6√1313时，取“=”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3√132， 故选：D ．先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题． 求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x 或y 后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．8. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=12(|x −1|+|x −2|−3)，若x ∈R ，f(x −a)<f(x)，则a 的取值范围是( )A. a >3B. −3<a <3C. a >6D. −6<a <6【答案】C【解析】解：根据题意，当x ≥0时，f(x)=12(|x −1|+|x −2|−3)={−x,0≤x <1−1,1≤x ≤2x −3,x >2， 又由函数为奇函数，则其图象如图： 若∀x ∈R ，f(x −a)<f(x)，即点(x −a,f(x −a))在点(x,f(x))的下方， 分析可得：a >6， 即a 的取值范围为a >6． 故选：C ．根据题意，由函数的解析式作出f(x)在[0,+∞)上的图象，结合函数的奇偶性可得f(x)的图象，进而分析可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的性质，关键是依据题意，作出函数的图象．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 若复数z 满足(1−2i)z =−12(2+i)，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标为______． 【答案】(0,12)【解析】解；∵(1−2i)z =−12(2+i)=−1−12i ， ∴z =−1−12i 1−2i =(−1−12i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−12i ，则z −=12i ，∴z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标为(0,12)， 故答案为：(0,12).把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z −得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10. 二项式(2x −1x )6的展开式中常数项为______(用数字表示)． 【答案】−160【解析】解：∵二项式(2x −1x )6的展开式的通项公式是T r+1=C 6r ⋅(2x)6−r ⋅(−1x )r =(−1)r ⋅26−r ⋅C 6r ⋅x 6−2r ，令6−2r =0， 解得r =3；∴常数项为T 3+1=(−1)3⋅26−3⋅C 63=−8×20=−160．故答案为：−160．利用二项式展开式的通项公式T r+1，令x 的指数等于0，求出常数项．本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应灵活利用二项式展开式的通项公式，是基础题．11. 已知正实数x ，y 满足x +y 4=1，则1x +4y −2√xy 的最小值为______． 【答案】2【解析】解：∵正实数x ，y 满足x +y4=1， ∴1=x +y4≥2√x ⋅y4=√xy ，∴1x +4y −2√xy =(1x +4y )(x +y4)−2√xy =1+4x y+y 4x +1−2√xy ≥2+2−2=2， 当且仅当{y =4x4x y=y 4x，即y=2，x =12时，取等号，∴1x +4y −2√xy 的最小值为2． 故答案为：2．利用1=x +y 4≥2√x ⋅y4=√xy ，1x +4y −2√xy =(1x +4y )(x +y4)−2√xy =1+4x y+y4x +1−2√xy ，能求出1x +4y −2√xy 的最小值．本题考查代数式的最小值的求法，考查基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12. 在等腰梯形中，AB//CD ，AB =2，AD =1，∠DAB =60∘，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE ⃗⃗⃗⃗ ，AF⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则λ=______． 【答案】14【解析】解：如图，以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由已知可得A(0,0)，D(12,√32)，F(2λ,0)，B(2,0)，C(32,√32)，设E(m,n)，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√32)，CE ⃗⃗⃗⃗ =(m −32,n −√32)， 由BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE ⃗⃗⃗⃗ ，得(−12,√32)=(3m −92,3n −3√32)，可得m =43，n =2√33．∴E(43,2√33)，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,2√33)，DF⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ−12,−√32)， 由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，得43(2λ−12)−2√33×√32=−1，解得λ=14． 故答案为：14．由已知画出图形，建立平面直角坐标系，然后利用坐标求解． 本题考查平面向量的数量积运算，建系求解使问题简单化，是中档题．13. 已知函数f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0)，x ∈R ，若函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x =ω对称，则ω的值为______． 【答案】√6π6【解析】解：函数f(x)=sinωx +√3cosωx =2sin(ωx +π3)，x ∈R ， ∵函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，ω>0， ∴2kπ−π2≤ωx +π3≤2kπ+π2，k ∈Z ； 可解得函数f(x)的单调递增区间为：[1ω(2kπ−5π6),1ω(2kπ+π6)]，k ∈Z ， 可得：−ω≥1ω(2kπ−5π6)，…①ω≤1ω(2kπ+π6)，…②其中k ∈Z ， ∴解得：0<ω2≤5π6−2kπ且0<ω2≤2kπ+π6，k ∈Z ，∴{5π6−2kπ>02kπ+π6>0， 解得：−112<k <512，k ∈Z ， 可解得：k =0，又∵由ωx +π3=kπ+π2，k ∈Z ；可解得函数f(x)的对称轴为：x =1ω(kπ+π6)，k ∈Z ， 由函数y =f(x)的图象关于直线x =ω对称，可得：ω2=π6， 可解得：ω=√6π6．故答案为：√6π6．化函数为f(x)=2sin(ωx +π3)，由正弦函数的单调增区间求出x 的取值范围，结合题意列不等式组求出k 的值，再根据函数f(x)的对称轴求出ω的值．本题主要考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质的应用问题，正确确定k 的值是解题的关键，是中档题．14. 已知定义在[1,+∞)上的函数f(x)={4−|8x −12|,1≤x ≤212f(x 2),x >2及如下的4个命题：①关于x 的方程f(x)−12n =0(n ∈N)有2n +4个不同的零点； ②对于实数x ∈[1,+∞)，不等式xf(x)≤6恒成立； ③在[1,6]上，方程6f(x)−x =0有5个零点；④x ∈[2n−1,2n ](n ∈N ∗)时，函数f(x)的图象与x 轴图成的形的面积是4． 则以上命题正确的为______(把正确命题前的序号填在横线上) 【答案】②【解析】解：当1≤x ≤32时，f(x)=8x −8；32≤x ≤2时，f(x)=16−8x ； 设2≤x ≤3，则1≤x2≤32，f(x)=12f(x2)=2x −4； 3≤x ≤4，则32≤x2≤2，f(x)=12f(x2)=8−2x ； 4≤x ≤6，则2≤x2≤3，f(x)=12f(x2)=x2−2； 6≤x ≤8，则3≤x2≤4，f(x)=12f(x2)=4−x2． 画出草图， 当n =1时，f(x)−12=0在[1,8]上有6个不相等的实根，[8,16]上只有一个实根，以后再没有了，共有7个不相等的实根，故①错；函数f(x)的最高点都在曲线y =6x (x >0)上，对于实数x ∈[1,+∞)，不等式xf(x)≤6恒成立，故②正确；在[1,6]上，方程6f(x)−x =0即f(x)=6x ， 函数f(x)的最高点都在曲线y =6x (x >0)上， 可得方程6f(x)−x =0有3个解，故③错误； 函数f(x)的最高点为以4为首项，公比为12的等比数列．故当x ∈[2n−1,2n ](n ∈N ∗)时，函数f(x)的最高点为23−n ， 与x 轴围成的面积为12×23−n ×2n−1=2.故④错； 故答案为：②．根据题意，对选项中的每一个问题进行分析与思考，结合函数f(x)的解析式进行解答，即可得出正确的选项．本题考查分段函数及运用，考查函数的表达式和值域，等比数列的通项及运用，考查数形结合的能力，判断能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15. 设f(x)=sinx +sin(x +π6)−cos(x +4π3).(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(Ⅱ)若锐角△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.且f(A)=√2，a =2，b =√6，求角C 及边c ．【答案】解：(Ⅰ)f(x)=sinx +sin(x +π6)−cos(x +4π3)，=sinx +√32sinx +12cosx −(−12)cosx +(−√32)sinx ， =sinx +cosx ， =√2sin(x +π4)，∴f(x)的最小正周期T =2π． 由2kπ+π2≤x +π4≤2kπ+3π2(k ∈Z)，得2kπ+π4≤x ≤2kπ+5π4(k ∈Z)，故f(x)的单调递减区间是[2kπ+π4,2kπ+5π4](k ∈Z)；(Ⅱ)∵在锐角△ABC 中，f(A)=√2，∴√2sin(A +π4)=√2，即sin(A +π4)=1.由0≤A ≤π2，得A =π4． ∵a =2，b =√6， ∴由正弦定理a sinA =b sinB，得sinB =bsinA a=√32． 由0≤B ≤π2，得B =π3.故C =π−A −B =π−π4−π3=5π12．由余弦定理，c 2=a 2+b 2−2ab cosC =4+6−2×2×√6cos 5π12=10−4√6×√6−√24=4+2√3， 故c =√3+1．【解析】(Ⅰ)利用诱导公式、和差化积公式、积化和差公式进行计算得到f(x)=√2sin(x +π4)，据此求得其最小正周期和单调区间；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论得到√2sin(A +π4)=√2，易得A =π4.由正弦定理得到：sinB =bsinA a=√32.结合角B 的取值范围和特殊角的三角函数值推知角B 的大小，利用三角形内角和定理可以求得角C 的大小，所以由余弦定理来求c 的值即可．本题考查了正弦定理、余弦定理，三角函数的周期性和单调性，函数y =A sin(ωx +φ)，x ∈R 及函数y =A cos(ωx +φ)；x ∈R(其中A 、ω、φ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T =2π÷ω．16. 某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A 学校且1名为女棋手，另外4名来自B 学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛(I)求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；(Ⅱ)设X 为选出的4名队员中A 、B 两校人数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望【答案】解：(I)由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手， 设事件A =“恰有1位女棋手”，则P(A)=C 31C 43C 74=1235，…(4分)所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…(5分) (II)随机变量X 的所有可能取值为0，2，4.其中P(X =0)=C 32C 42C 74=1835，P(X =2)=C 31C 43+C 33C 41C 74=1635，P(X =4)=C 30C 44C 74=135.…(9分)所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望E(X)=0×1835+2×1635+4×135=3635.…(13分) 【解析】(Ⅰ)利用古典概型的概率求解方法求出概率即可；(Ⅱ)求出随机变量X 的所有可能取值，求出相应的概率，得到X 的分布列，然后求解数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．17. 如图所示，四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF//DE ，DE =3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60∘． (1)求证：AC ⊥平面BDE ； (2)求二面角F −BE −D 的余弦值；(3)设点M 是线段BD 上的一个动点，试确定点M 的位置，使得AM//平面BEF ，并证明你的结论．【答案】证明：(1)因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ． 因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ， 从而AC ⊥平面BDE.…(4分)解：(2)因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系D −xyz 如图所示．因为BE 与平面ABCD 所成角为600，即∠DBE =60∘， 所以EDDB =√3．由AD =3，可知DE =3√6，AF =√6．则A(3,0，0)，F(3,0,√6)，E(0,0,3√6)，B(3,3，0)，C(0,3，0)， 所以BF ⃗⃗⃗⃗ =(0,−3,√6)，EF ⃗⃗⃗⃗ =(3,0,−2√6)．设平面BEF 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗ =0，即{−3y +√6z =03x −2√6z =0． 令z =√6，则n ⃗ =(4,2, √6)． 因为AC ⊥平面BDE ，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BDE 的法向量，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−3,0)． 所以cos〈n ⃗ ,CA⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||CA⃗⃗⃗⃗⃗ |=63√2×√26=√1313． 因为二面角为锐角，所以二面角F −BE −D 的余弦值为√1313.…(8分)(3)点M 是线段BD 上一个动点，设M(t,t ，0)．则AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −3,t,0)． 因为AM//平面BEF ，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =0，即4(t −3)+2t =0，解得t =2．此时，点M 坐标为(2,2，0)，即当BM =13BD 时，AM//平面BEF.…(12分)【解析】(1)由已知中DE ⊥平面ABCD ，ABCD 是边长为3的正方形，我们可得DE ⊥AC ，AC ⊥BD ，结合线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BDE ；(2)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF 和平面BDE 的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F −BE −D 的余弦值；(3)由已知中M 是线段BD 上一个动点，设M(t,t ，0).根据AM//平面BEF ，则直线AM 的方向向量与平面BEF 法向量垂直，数量积为0，构造关于t 的方程，解方程，即可确定M 点的位置．本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与平面垂直的判定，向量法确定直线与平面的位置关系，其中(I)的关键是证得DE ⊥AC ，AC ⊥BD ，熟练掌握线面垂直的判定定理，(II)的关键是建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题，(III)的关键是根据AM//平面BEF ，则直线AM 的方向向量与平面BEF 法向量垂直，数量积为0，构造关于t 的方程．18. 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2=4，a n+12=6S n +9n +1，n ∈N ∗，各项均为正数的等比数列{b n }满足b 1=a 1，b 3=a 2． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n =(3n −2)⋅b n ，数列{c n }的前n 项和T n ；①求T n ；②若对任意n ≥2，n ∈N ∗，均有(T n −5)m ≥6n 2−31n +35恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)因为a n+12=6S n +9n +1， 所以a n 2=6S n−1+9(n −1)+1(n ≥2)，两式相减得：a n+12−a n 2=6a n +9， 即a n+12=(a n +3)2(n ≥2)，又因为数列{a n }的各项均为正数， 所以a n+1=a n +3(n ≥2)，又因为a 2=4，42=6a 1+9+1，即a 1=1，所以当n =1时上式成立，即数列{a n }是首项为1、公差为3的等差数列， 所以a n =1+3(n −1)=3n −2； 因为b 1=a 1=1，b 3=a 2=4， 所以b n =2n−1；(Ⅱ)由(I)可知c n =(3n −2)⋅b n =(3n −2)⋅2n−1． ①T n =1⋅20+4⋅21+⋯+(3n −2)⋅2n−1，2T n =1⋅21+4⋅22+⋯+(3n −5)⋅2n−1+(3n −2)⋅2n ，两式相减，得：−T n =1+3(21+22+⋯+2n−1)−(3n −2)⋅2n =1+6(2n−1−1)−(3n −2)⋅2n ，所以T n =(3n −5)⋅2n +5；②由①可知若对任意n ≥2，n ∈N ∗，均有(T n −5)m ≥6n 2−31n +35恒成立， 等价于(3n −5)⋅2n ⋅m ≥6n 2−31n +35恒成立， 所以m ≥6n 2−31n+35(3n−5)⋅2n=(3n−5)(2n−7)(3n−5)⋅2n=2n−72n ，即m ≥2n−72n恒成立，设k n =2n−72n，则k n+1−k n =2n−52n+1−2n−72n=9−2n 2n+1，所以当n ≤4时k n+1>k n ，当n >4时k n+1<k n ，所以当k n 的最大值为k 5=332，故m ≥332， 即实数m 的取值范围是：[332,+∞)．【解析】(Ⅰ)通过阶差法整理可知a n+1=a n +3(n ≥2)，进而验证可知数列{a n }是首项为1、公差为3的等差数列，利用b 1=a 1=1、b 3=a 2=4计算即得结论；(Ⅱ)①通过(I)利用错位相减法计算可知T n =(3n −5)⋅2n +5；②通过①可知问题转化为对任意n ≥2、n ∈N ∗，均有(3n −5)⋅2n ⋅m ≥6n 2−31n +35恒成立，参数分离可知m ≥2n−72n恒成立，进而考虑k n =2n−72n的单调性即可．本题考查数列的通项及前n 项和，考查运算求解能力，考查转化思想、函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．19. 已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为(0,1)，离心率为e =2√5，过椭圆的右焦点F的直线l 与坐标轴不垂直，且交椭圆于A ，B 两点． (1)求椭圆的方程；(2)设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C ，B ，N 三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由；(3)设M(m,0)，是线段OF(O 为坐标原点)上的一个动点，且(MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求m 的取值范围．【答案】解：(1)由椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b =1 由e =c a =√1−b 2a2=2√5，解得：a 2=5，所以椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1；(2)由得F(2,0)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =k(x −2)(k ≠0)，代入椭圆方程，消去y 可得(5k 2+1)x 2−20k 2x +20k 2−5=0 则x 1+x 2=20k 25k 2+1，x 1x 2=20k 2−55k 2+1，∵点C 与点A 关于x 轴对称，∴C(x 1,−y 1)假设存在N(t,0)，使得C 、B 、N 三点共线， 则BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −x 2,−y 2)，CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −x 1,y 1)， ∵C 、B 、N 三点共线，∴BN ⃗⃗⃗⃗⃗ //CN⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(t −x 2)y 1+(t −x 1)y 2=0， 即(y 1+y 2)t =x 2y 1+x 1y 2， ∴t =k(x 1−2)x 2+k(x 2−2)x 1k(x 2−2)+k(x 2−2)=2x 1x 2−2(x 1+x 2)x 1+x 2−4=2⋅20k 2−21+5k 2−2⋅20k 21+5k 220k 21+5k 2−4=52．∴存在定点(52,0)，使得C 、B 、N 三点共线． (2)由0≤m ≤2，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2−2m,y 1+y 2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 1,y 2−y 1) ∵(MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴(x 1+x 2−2m)(x 2−x 1)+(y 2−y 1)(y 1+y 2)=0 ∴20k 25k 2+1−2m −4k 25k 2+1=0 ∴k 2=m8−5m ， ∴k 2=m 8−5m >0，解得：0<m <85， ∴当0<m <85时， 故m 的范围为(0,85)【解析】(1)根据椭圆的一个顶点，即b =1，利用离心率求得a 和c 关系进而求得a ，则椭圆的方程可得；(2)设存在N(t,0)，使得C 、B 、N 三点共线，则BN ⃗⃗⃗⃗⃗ //CN⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用向量共线定理可得t =52.即可得出．(2)设直线l 的方程为y =k(x −2)(k ≠0)，代入椭圆方程，利用韦达定理结合向量的数量积公式，即可求得m 的取值范围；本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量共线定理、两点之间的距离公式、向量垂直与数量积的关系、三点共线问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20. 已知函数f(x)=x −ln(x +a)在x =1处取得极值．(Ⅰ)求实数a 的值；(Ⅱ)若关于x 的方程f(x)+2x =x 2+b 在[12,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围； (Ⅲ)证明：∑1k−f(k)n k=2>3n 2−n−2n(n+1)(n ∈N,n ≥2).参考数据：ln2≈0.6931．【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=1−1x+a ，∵函数f(x)=x −ln(x +a)在x =1处取得极值， ∴f′(1)=0，∴a =0；(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x −lnx ，∴f(x)+2x =x 2+b ∴x −lnx +2x =x 2+b ，∴x 2−3x +lnx +b =0 设g(x)=x 2−3x +lnx +b(x >0)，则g′(x)=(2x−1)(x−1)x，当x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表∴当x =1时，g(x)最小值=g(1)=b −2，g(12)=b −54−ln2，g(2)=b −2+ln2 ∵方程f(x)+2x =x 2+b 在[12,2]上恰有两个不相等的实数根 ∴{g(12)≥0g(1)<0g(2)≥0，∴{b −54−ln2≥0b −2<0b −2+ln2≥0， ∴54+ln2≤b <2；(Ⅲ)证明：∵k −f(k)=lnk ，∴∑1k−f(k)n k=1>3n 2−n−2n(n+1)⇔1ln2+1ln3+1ln4+⋯+1lnn>3n 2−n−2n(n+1)，(n ∈N,n ≥2)，设φ(x)=lnx −14(x 2−1)，则φ′(x)=1x−x 2=(x+√2)(x−√2)2x，当x ≥2时，φ′(x)<0⇒函数y =φ(x)在[2,+∞)上是减函数， ∴φ(x)≤φ(2)=ln2−34<0⇒lnx <14(x 2−1)， ∴当x ≥2时，1lnx >4x 2−1=2(1x−1−1x+1)，∴1ln2+1ln3+⋯+1lnn>2[(1−13)+(12−14)+⋯+(1n −1−1n +1)]=2(1+12−1n −1n+1)=3n 2−n−2n(n+1)，∴原不等式成立．【解析】(Ⅰ)先求出函数的导函数，然后根据在某点取极值的意义可知f′(1)=0，解之即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x−lnx，故x2−3x+lnx+b=0，设g(x)=x2−3x+lnx+b(x>0)，研究当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况，确定函数的最值，从而可建立不等式，即可求得结论；(Ⅲ)设φ(x)=lnx−14(x2−1)，根据函数的单调性得到当x≥2时，1lnx>2(1x−1−1x+1)，从而累加得到结论．本题主要考查函数的极值以及根的存在性及根的个数判断，同时考查了利用构造函数法证明不等式，是一道综合题，有一定的难度．。