概率在生活中的几个典型问题
高中数学第十章概率典型例题(带答案)
高中数学第十章概率典型例题单选题1、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（ ）A ．购买彩票中奖的可能性为1100 B ．买100张彩票能中一次奖 C ．买100张彩票一次奖也不中 D ．买100张彩票就一定能中奖 答案：A分析：根据概率的定义，逐项判定，即可求解.对于A 中，根据概率的定义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，由某彩票的中奖概率为1100，可得购买彩票中奖的可能性为1100，所以A 正确；对于B 、C 中，买任何1张彩票的中奖率都是1100，都具有偶然性，可能中奖，还可能中奖多次，也可能不中奖，故B 、C 错误；对于D 选项、根据彩票总数目远大于100张，所以买100张也不一定中一次奖，故D 错误. 故选：A.2、北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车､短道速滑混合团体接力､跳台滑雪混合团体､男子自由式滑雪大跳台､女子自由式滑雪大跳台､自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲､乙两人的选择互不影响，那么甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（ ） A ．249B ．649C ．17D ．27 答案：C分析：根据古典概型概率的计算公式直接计算.由题意可知甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有7×7=49种情况， 其中甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共7种，所以甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是749=17，故选：C.3、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.4、若随机事件A，B互斥，且P(A)=2−a，P(B)=3a−4，则实数a的取值范围为（）A．(43,32]B．(1,32]C．(43,32)D．(12,43)答案：A分析：根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组，即可求解.由题意，知{0<P(A)<1 0<P(B)<1P(A)+P(B)≤1，即{0<2−a<10<3a−4<12a−2≤1，解得43<a≤32，所以实数a的取值范围为(43,32].故选：A.5、甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（）A．0.6076B．0.7516C．0.3924D．0.2484答案：A分析：先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率.两人投中次数相等的概率P＝0.42×0.32+C21×0.6×0.4×C21×0.7×0.3+0.62×0.72=0.3924，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076.故选：A.小提示：本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.6、下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”答案：C分析：利用对立事件和相互独立事件的概念求解．解：对于选项A，事件M={2,4,6}，事件N={3,6}，事件MN={6}，基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}，所以P(M)=36=12，P(N)=26=13，P(MN)=16=12×13，即P(MN)=P(N)P(M)，因此事件M与事件N是相互独立事件；对于选项B，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”，则事件M发生与否与N无关，同时，事件N发生与否与M无关，则事件M与事件N是相互独立事件；对于选项C，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”， 则事件M 发生与否和事件N 有关，故事件M 和事件N 与不是相互独立事件；对于选项D ，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”，则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件； 故选：C.7、2021年12月9日，中国空间站太空课堂以天地互动的方式，与设在北京、南宁、汶川、香港、澳门的地面课堂同步进行.假设香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占35，澳门课堂女生占13，若主持人向这两个分课堂中的一名学生提问，则该学生恰好为女生的概率是（ ） A ．18B ．38C ．12D ．58答案：C分析：利用互斥事件概率加法公式计算古典概型的概率即可得答案.解：因为香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占35，澳门课堂女生占13， 所以香港女生数为总数的58×35=38，澳门女生数为总数的38×13=18，所以提问的学生恰好为女生的概率是38+18=12. 故选：C.8、某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：60％ B ．该教职工具有研究生学历的概率超过50％ C ．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％D ．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％ 答案：D分析：根据表中数据，用频率代替概率求解.A.该教职工具有本科学历的概率p=75120=58=62.5%>60%，故错误；B.该教职工具有研究生学历的概率p=45120=38=37.5%<50%，故错误；C.该教职工的年龄在50岁以上的概率p=10120=112≈8.3%<10%，故错误；D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p=15120=18=12.5%>10%，故正确.小提示：本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.多选题9、下列有关古典概型的说法中，正确的是（）A．试验的样本空间的样本点总数有限B．每个事件出现的可能性相等C．每个样本点出现的可能性相等D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)=kn答案：ACD分析：根据古典概型的定义逐项判断即可.由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等.故AC正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D正确．故选：ACD10、某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为3的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏?”．已知被调查的150名学生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是（）A．这150名学生中，约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数?”B．这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏C．该校约有5%的学生迷恋电子游戏D．该校约有2%的学生迷恋电子游戏答案：AC分析：先由题意计算出回答问题一的人数50人，再计算出回答问题一“是”的人数25人，故可得到回答问题二“是”的人数5人,最后逐一分析四个选项即可.由题意可知掷出点数为3的倍数的情况为3,6，故掷出点数为3的倍数的概率为13，故理论上回答问题一的人数为150×13=50人.掷出点数为奇数的概率为12，理论上回答问题一的50人中有25人回答“是”，故回答问题二的学生中回答“是”的人数为30-25=5人.对于A, 抽样调查的这150名学生中，约有50人回答问题一，故A正确.对于B, 抽样调查的这150名学生中，约有5人迷恋电子游戏，“必有”过于绝对，故B错.对于C,抽样调查的150名学生中，50名学生回答问题一，故有100名学生回答问题二，有5名学生回答“是”，故该校迷恋电子游戏的学生约为5100=5%，故C正确.对于D,由C可知该校迷恋电子游戏的学生约为5100=5%，故D错.故选：AC.11、不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）A．2张卡片都不是红色B．2张卡片恰有一张红色C．2张卡片至少有一张红色D．2张卡片都为绿色答案：ABD分析：列举出所有情况，然后再利用互斥事件和对立事件的定义判断.解：6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”､“2张都为绿色”､“2张都为蓝色”､“1张为红色1张为绿色”､“1张为红色1张为蓝色”､“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件是：“2张都不是红色”，“2张恰有一张红色”，“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥.故选：ABD.12、设A，B分别为随机事件A，B的对立事件，已知0<P(A)<1，0<P(B)<1，则下列说法正确的是（）A．P(B|A)+P(B|A)=1B．P(B|A)+P(B|A)=0C．若A，B是相互独立事件，则P(A|B)=P(A)D．若A，B是互斥事件，则P(B|A)=P(B)答案：AC分析：计算得AC正确；当A，B是相互独立事件时，P(B|A)+P(B|A)=2P(B)≠0，故B错误；因为A，B 是互斥事件，得P(B|A)=0，而P(B)∈(0,1)，故D错误．解：P(B|A)+P(B|A)=P(AB)+P(AB)P(A)=P(A)P(A)=1，故A正确；当A，B是相互独立事件时，则P(B|A)+P(B|A)=2P(B)≠0，故B错误；因为A，B是相互独立事件，则P(AB)=P(A)P(B)，所以P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)，故C正确；因为A，B是互斥事件，P(AB)=0，则根据条件概率公式P(B|A)=0，而P(B)∈(0,1)，故D错误．故选：AC．13、袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（）A．至少有一个白球与都是白球B．恰有一个红球与白、黑球各一个C．至少一个白球与至多有一个红球D．至少有一个红球与两个白球答案：BD分析：根据互斥事件的定义和性质判断.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；故选：BD.小提示：本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题. 填空题14、甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率是_____． 答案：0.3解析：甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，利用独立事件的概率乘法公式和概率的加法公式能求出甲队以2:1获胜的概率． 甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立， 甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜， 则甲队以2:1获胜的概率是：P =0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6=0.3. 所以答案是：0.3．小提示：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15、已知事件A ，B ，C 相互独立，若P (AB )=16，P(BC)=14，P(ABC)=112，则P (A )=______． 答案：13分析：根据相互独立事件的概率公式，列出P (A ),P (B ),P(C),P(B)的等式，根据对立逐一求解，可求出P (A )的值.根据相互独立事件的概率公式，可得{ P (A )P (B )=16P(B)P (C )=14P (A )P (B )P(C)=112，所以P (A )=13． 所以答案是：13.16、在一个口袋中有大小和质地相同的4个白球和3个红球，若不放回的依次从口袋中每次摸出一个球，直到摸出2个红球就停止，则连续摸4次停止的概率等于______．答案：935分析：根据题设写出基本事件，再应用互斥事件加法公式求概率.由题意知，连续依次摸出的4个球分别是：白白红红，白红白红，红白白红共3种情况，第一种摸出“白白红红”的概率为47×36×35×12=335，第二种摸出“白红白红”的概率为47×36×35×12=335，第三种摸出“红白白红”的概率为37×46×35×12=335，所以连续摸4次停止的概率等于935．所以答案是：935解答题17、数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为多少？（2）若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；（3）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.答案：（1）条形统计图见解析，90∘；（2）不同，理由见解析；（3）13.分析：（1）由两幅图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，所占比例为1-15%-30%=55%，可得共调查了多少人，再根据用银行卡、微信支付的百分比可得答案（2）根据原数据的众数所在的分类为微信，加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝可得答案；（3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，画出树状图根据古典概型概率计算公式可得答案. （1）由条形统计图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人， 所占比例为1-15%-30%=55%，所以共调查了1100.55=200人，所以用银行卡支付的人有200×0.15=30人，用微信支付的人有200×0.3=60人， 用现金支付所占比例为50200=0.25，所以0.25×360∘=90∘，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为90°，补全统计图如图所示：（2）重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同，理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝. （3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为39=13.18、某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s 内（称为合格）的概率分别为25，，13.若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求：（Ⅰ）三人都合格的概率；34（Ⅱ）三人都不合格的概率；（Ⅲ）出现几人合格的概率最大.答案：（Ⅰ）110；（Ⅱ）110；（Ⅲ）1人. 分析：记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13，从而根据不同事件的概率求法求得各小题.记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13 设恰有k 人合格的概率为P k (k =0,1,2,3).（Ⅰ）三人都合格的概率：P 3=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=25×34×13=110（Ⅱ）三人都不合格的概率：P 0=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=35×14×23=110.（Ⅲ）恰有两人合格的概率：P 2=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=25×34×23+25×14×13+35×34×13=2360. 恰有一人合格的概率：P 1=1−P 0−P 2−P 3=1−110−2360−110=2560=512.因为512>2360>110，所以出现1人合格的概率最大.。
概率在生活中的几个典型问题
方法 多次 ，然后取 所有 这些结 果的平均 数 ， 即可 得到比较精确 的预测。 四、出租车肇事 情况 例如 ： 夜， 深 一辆 出租车被 牵扯进一 起交
二 、 育 运 动 的 概 率 问题 体 通 事故 ， 市有 两 家出租 车公 司 ， 别是 红 某 分 例如： 在斯诺 克台球 比赛 中，我 国运动 的 最 重 要 的 一 部 分 ” 数 学 ， 直 接 地 起 源 的 却 色 出租车公 司和蓝 色 出租车公 司 ， 中蓝色 其 员丁 俊晖与 国外运 动员 奥沙利 文相遇 ， 据 根 于 一 种 相 当 独 特 的 人 类 行 为 的 探 索 — — 人 出租 车 公 司和红 色 出租车 公 司分 别 占整个 实际排 名和 以往 的战绩统计 ， 赛一局 丁俊 每 们 对 于 机 会 性 游 戏 的 研 究 思 考 。所 谓 机 会 性 城 市 出 租 车 的 ８ ％和 １ ％ 据 现 场 目击 证 人 ５ ５ 晖 胜 的 概 率 为 ０４ ５，奥 沙 利 文 胜 的 概 率 为 游 戏 ， 是 靠 运 气 取 胜 。 随 机 事 件 与 概 率 是 就 说 ， 故 现 场 的 出 租 车 是 红 色 的 。 测 试 证人 事 经 ５ 若 也 概 率 论 中 最 重 要 和 最 基 本 的 概 念 ， 有 正 确 ０５ 。 比 赛 既 可 采 用 三 局 两 胜 制 ， 可 以 采 的辨 别能 力 ，测得 他辨认 的正确 率 为 ８ ％． 只 ０ 用五局 三胜 制 ， 问采 用哪种 赛制对 丁俊 晖更 地理解 和真正 掌握 ， 才能学好 概率论 。在 自 于是 。 警察就 认定红 色出租 车具有 较大肇事 有利？分析 ：（ ） １ 采用三局两胜 制 ： Ａ 表示 设 然界及各 种社会 活动 中 ， 人们所 观察 到的现 嫌疑 。请问 ， 警察认定 对红色 出租车 公平 吗？ 丁俊晖胜 前两局 ， 表示前两局 中二人 各胜 象大致 可分 为两类 ：～类称 为确定 性现 象 ， 解： 设该城 市有 出租 车 １ ０ ０ ０辆 ， 么依题 意 那 局 ，第三局 丁俊晖胜 ， Ａ表示丁俊 晖胜 ， 则 另一类称 为随机 现象。我们把 在一定 的条件 可得信 息如表 １ 从表 中可 以看 出， 。 当证人说 Ａ＝ ｕＡ２而 Ｐ＝ Ａ ）Ｏ４ Ｏ２ ２ ，＝（ ） Ａ１ ， （ ＝ ．５＝ ．０ ５Ｐ Ａ２ 下必 然发 ， 或 必然 不 发生 的现 象称 为 确定 ￡ 出 租 车 是 红 色 且 它 确 实 是 红 色 的概 率 为 （４ ．５ Ｘ２ ０２ ２ ５ 由 于 Ａ１ Ａ２ ０ ５ ×０５ ） ＝ ．２ ７ 。 与 性现象 。例如 ， １ 从 ０件 产 品 （ 中 ２件 是 次 其 由加法公式得 ： （ ＝ （ １ ２ Ｐ Ａ ） Ｐ Ａ）Ｐ Ａ ＵＡ ） 【 １ ＝ 品， ８件 是 正 品 、 ， 意 地 抽 取 ３件 进 行 检 互斥， 中 任 ＋ Ａ ＝ ０ ５ ０２ ２ ５ ０４ ５ ５ （ 采 ０５ 在 这 种情况下 ， Ｐ（ ）０２ ２ ＋ ２ ７ ＝ ．２ ２ 。 ２） ９ 以证人 的证词 为推断 的 验 ， ３件 产 品 绝 不 会 全 导 次 品 ； 上 抛 掷 这 向 用五局三胜 制 ：设 Ｂ 表示丁俊 晖胜 ， 表 依 据 ，对 红 色 Ｂ 汪人所说 的廪 色 正确 率 ８％） （ ０ 枚 硬 币必然下 落 ， 等。这类 现象 的一个 等 红色 合计 示前三 局丁 俊晖 胜 。 表示 前三 局 中丁俊 出 租 车 公 司 显 真实颜色 蓝色 Ｂ 共 同点是事先可 以断定其结果 。我ｔ －Ｉ ｒＥ ］ 在一 ｝ 晖胜 两局．奥 沙利文胜 一局 ，第 四局丁俊 晖 然 不 公 平 。 蓝色 ６ｆ ８ ） １ ８ｆ ７ ０ ５ ） 定 的条件下 ， 具有 多种可 能发生 的结果 的现 Ｂ。 ３ ０ Ｉ【 ２ １ １ 钟 象称 为随机现象 。 如 ， １ 例 从 Ｏ件 产 品 （ 中 ２ 胜 。 表 示前四局两人各胜两 局，第 五局丁 其 概率论 不 红色 则 Ｌ Ｕ Ｂ 而 Ｊ Ｂ ＿ ７０ １ ２０ ９ １∞ ｆ 】 件 是 次 品 ， 是 正 品 ） ， 取 １件 出来 ， 俊晖胜， Ｂ＝Ｂ Ｂ ， Ｐ（ ） ８件 中 任 可 仅 为 人 们 研 究 合计
探讨概率应用的几个典型问题
解答 ： 样 的抽奖 方案 是公 平 的 。这 是 因为 ： 这 这
里 的 １ ４和 １ ２分 别 是在 已知 甲中奖和 甲没有 中奖 ／ ／
的情 况下 ， 乙中奖 的条 件概 率 ， 都不 能算 是这个 抽奖
方案 中 乙中 奖 的 概 率 。 因 为 甲 中 奖 的 概 率 是 ２ ５ ／，
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈ ｐ ｌ ｎ ｅ ｆｐ ｏ ａ ｉ ｔ ｐ ｅ ｄ ａ ｌ ｖ ｒｔ ｅ ｎ ｔ ｒ ｌｓ ｉｎ ｅ ａ ｄ ｏ ｉ ｏ ｉｌ ｉ ｅ ， ｃｅ ｔ ｉ ｓ ｒ ｃ ： ｅ ａ ｐ ｉ ｃ ｓｏ ｒ ｂ ｂ ｌ ｉ ｓ ｒ ａ ｌ ｏ ｅ ｈ ａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｎ ｔ ｓ ｃ ａ ｖ ｓ Ｓ ｉｎ ｉ ｃ ａ ｉｙ ｒ ｌ ｆ
３５ ２４ ／。 ／ ×。／ ＝２ ５
用 同样 的方 法可 以计 算其 他人 的 中奖概率 。
由此 可见 ， 于这 个抽 奖方 案 而言 ， 对 每个人 中奖 概 率都 是一样 的 ， 与抽 奖 的次序 无关 ， 论先抽 或后 无 抽， 对每 个人 都是 公平 的 。 点评 ： 运用 概 率来解 决 实 际问题 时 ， 定要 注意 一
． ●
ｉｔｃ ｆｐ ｏ ａ ｉ ｔ ｓ ｒ ｓ ａ ｃ ｉ ｇ ｍｅ ｈ ｄ ． ｓ ｉｓ ｏ ｒ ｂ ｂ ｌ ｙ＇ ｅ ｅ ｒ ｈ ｎ ｔ ｏ ｓ ｉ
Ｋｅ ｏ ｄ ： ｏｂ ｂｉｉｙ； ｐ ｌａ ｅ ｍ ｅ ｈｏ ｙ Ｗ ｒ ｓ ｐｒ ａ ｌｔ ａ ｐ ｉｎｃ ； ｔ ｄ
这 里 通 过 解 决 典 型 问题 ． 析 概 率 研 究 方 法 的 特殊 性 ， 讨 概 率 应 甩 的 一 般方 法 。 剖 探 关 键 词 ： 率 ； 用 ； 法 概 应 方
中 曝分 类 号 ： ２ ｌ Ｑ １ 文 献标 识 码 ： Ａ
生活中的概率论
生活中的概率论
生活中处处充满了不确定性和变数，而概率论正是一门研究不确定性的数学分支。
在我们日常生活中，概率论也扮演着重要的角色，影响着我们的决策和行为。
首先，我们可以从日常生活中的抉择开始说起。
无论是选择买彩票还是投资股票，我们都需要考虑到不确定性和风险。
概率论可以帮助我们计算出每种选择的可能性，从而帮助我们做出更加明智的决策。
比如，当我们考虑是否要买彩票时，我们可以用概率论来计算中奖的可能性，从而决定是否值得投入资金。
其次，概率论也可以帮助我们理解生活中的偶然事件。
比如，当我们在街上走路时，突然下起了大雨，这种偶然事件就可以用概率论来解释。
我们可以计算出下雨的可能性，从而在未来的行程中做出相应的安排。
另外，概率论还可以帮助我们理解生活中的风险和机会。
在面对风险时，我们可以用概率论来评估风险的大小，从而采取相应的措施来降低风险。
而在面对机会时，我们也可以用概率论来评估机会的大小，从而更好地把握机会，取得成功。
总之，生活中的概率论无处不在，它可以帮助我们理解不确定性和变数，从而更加理性地面对生活中的抉择、偶然事件、风险和机会。
因此，了解和运用概率论对我们的生活至关重要。
概率论经典题目
概率论经典题目
概率论是数学的一个重要分支，它研究随机事件的发生概率及其规律性。
在学习概率论的过程中，经典题目是必不可少的一部分，下面介绍几个常见的概率论经典题目。
1. 排列组合问题：从n个不同元素中取出m个元素，有多少种不同的取法？
2. 独立事件的概率：两个独立事件A和B同时发生的概率是多少？
3. 条件概率问题：已知A发生的条件下，B发生的概率是多少？
4. 期望值和方差：在一次随机试验中，事件发生的可能性不同，每个事件的概率和相应的收益也不同，如何计算这个随机试验的平均收益和方差？
5. 单点和连续型随机变量：在一个区间[a, b]内随机选取一个实数x，x的取值是随机的，如何计算x的期望值和方差？
以上是概率论的几个典型问题，通过这些问题的训练，可以加深对概率论的理解，提高解决问题的能力。
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概率问题例题
概率问题例一：有6个房间安排4个旅游者住宿，每人可以随意进哪一间，而且一个房间也可以住几个人求下列事件的概率：（1）事件A：指定的4个房间中各有1人；（2）事件B：恰有4个房间中各有1人；（3）事件C：指定的某个房间中有两人；（4）事件D：第1号房间有1人，第2号房间有3人（1）1/54（2）5/18（3）25/216 (4)1/324解析:4个人住进6个房间，所有可能的住房结果总数为：6*6*6*6（种）（1）指定的4个房间每间1人共有6*5*5*4=3600种不同住法（2）恰有4个房间每间1人共有种不同住法（3）指定的某个房间两个人的不同的住法总数为：6*5*5（种），（4）第一号房间1人，第二号房间3人的不同住法总数为：4（种），P（D）=4/1296=1/324例二：假设订一份报纸，送报人可能在6间在早上7:30至7:30把报纸送到家里，父亲离开家去工作间在早上7:30--8:00例三：一个圆周上任取3个点,求三点构成的三角形为锐角三角形的概率是多少。
【解析】就是把圆割成三段弧,每段弧长<兀因为三角形的三内角对应的就是弧的圆周角嘛设每段弧长分别为x,y,z有x+y+z=2兀且0<x<兀0<y<兀0<z<兀三维的线性规划中,x+y+z=2兀是个面就是以(0,0,2兀) (2兀,0,0) (0,2兀,0)为顶点的三角形状的一个面,其中0<x<兀, 0<y<兀,0<z<兀去截,应该是一个正三角形里再一个倒的小正三角形(就是把中位线都连好)所以小的面积除以大的面积就是概率,0.25一、特殊元素和特殊位置优先策略【例1】某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A）36种（B）42种（C）48种（D）54种分析：甲、乙、丙有特殊要求，可以优先考虑。
概率在生活中的几个典型问题
概率在生活中的几个典型问题概率论是研究现实世界随机现象数量规律的一门科学，其思维方法独特。
概率论不仅是当代科学的重要数学基础之一，而且还是当代社会和人类日常生活最重要的知识之一。
正如十九世纪著名数学家拉普拉斯所说，“对于生活中的大部分最重要的问题，实际上只是概率问题，你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定，甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上的。
因此，整个的人类知识系统是与这一理论相联系的。
” 的确，我们只要浏览一下当今的报纸，看一看电视，就会发现在某种程度上概率统计的语言已经成为人类生活中重要的一部分。
然而，饶有趣味的是，这门被拉普拉斯称为“人类知识的最重要的一部分”的数学，却直接地起源于一种相当独特的人类行为的探索——人们对于机会性游戏的研究思考。
所谓机会性游戏，就是靠运气取胜。
随机事件与概率是概率论中最重要和最基本的概念，只有正确地理解和真正掌握，才能学好概率论。
在自然界及各种社会活动中，人们所观察到的现象大致可分为两类：一类称为确定性现象，另一类称为随机现象。
我们把在一定的条件下必然发生或必然不发生的现象称为确定性现象。
例如，从10件产品(其中2件是次品，8件是正品)中，任意地抽取3件进行检验，这3件1/ 6产品绝不会全是次品；向上抛掷一枚硬币必然下落，等等。
这类现象的一个共同点是事先可以断定其结果。
我们把在一定的条件下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象。
例如，从10件产品(其中2件是次品，8件是正品)中，任取1件出来，可能是正品，也可能是次品；向上抛掷一枚硬币,落下以后可能是正面朝上，也可能是反面朝上；将要出生的婴儿可能是男性，也可能是女性。
这类现象的一个共同点是事先不能预知多种可能结果中究竟出现哪一种。
本文主要是对随机事件和概率的一些容易混淆的概念进行辨析，探讨生活中与概率相关的一些例子。
一、抽奖问题例如：如果有5张可当场兑奖的彩票，其中2张是有奖的。
生活中典型概率问题的解决
抽 出 ２张 ， 可以看成从 ５个元 素中抽 出 ２个进行排列 ， 排列种数 是Ａ ， ；而其 中第 ２人抽到奖票 的情况有 Ａ种 ， 因此 ， １ 第 人未抽 到奖票 而第 ２人 抽到奖票 的概率 ＝ ＝ ； 同理 ， ３人抽 到 第
１５ Ｊ
解析 ： 赌博的胜负对两个人来说是机会 均等 的， 这符合概率 中的等可能事件类型 。我们可以这样加 以解决 ： 方 案 １： 设 两人 再 赌 １次 ， 情 况 有 两 种 ： 假 则 甲获 胜 或 乙获 胜。 如果 甲获胜 ， 甲就先获胜 了 ３ ， 则 次 即甲得到所有 １枚 金币 ； ２ 如果 乙获胜 ， 则两人均 获胜 ２次 ， 平分金币 ， 应 即每人 ６枚 。但 两种情况出现 的可能性是相等的， 所以可取两种情况的平 均值 ， 即甲得 ＝枚 ， ９ 乙得 ＝枚 。 ３
到 奖票 的概 率 为
＝
方 案 ２： 设 两 人 再 赌 ２ ， 情 况 有 ４种 ： 甲全 胜 ）（ 假 次 则 （ 、甲 胜， 乙胜 ） （ 、乙胜 ， 甲胜 ） （ 、 乙全胜 ）它们 出现 的可 能性是相 等 ，
掣 （ ｌ２３…，） Ａ ＝ ｉ ，，， ｎ ＝
ｎ
的。很明显 ， 前三种情况下 甲都先获胜 ３ ， 次 而乙只有在第 四种 情况下才能获胜 ３次。因此 ， 甲应得金 币的四分之三 ， 乙得 四分
支。本世纪以来 ， 由于社会 、 生产和科学技术 的飞速发展 ， 率 情 。 概 例如在 ５张彩票 中有 ｌ 张奖票 ， 个人按照排定 的顺序从 中 ５ 论 以及 以它 为 基 础 的 数理 统 计 应 用 日益 广泛 ，已渗 透 到 整 个 社 各抽 １ 以决定谁得到奖票。 张
会生活的方方面面。 本文中涉及了生活 中几种典型的概率 问题 ， 并对其进行 了分析 、 解决。
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概率在生活中的几个典型问题
作者：张媛
来源：《成才之路》2010年第35期
概率论是研究现实世界随机现象数量规律的一门科学，其思维方法独特。
概率论不仅是当代科学的重要数学基础之一，而且还是当代社会和人类日常生活最重要的知识之一。
正如十九世纪著名数学家拉普拉斯所说，“对于生活中的大部分最重要的问题，实际上只是概率问题，你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定，甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上的。
因此，整个的人类知识系统是与这一理论相联系的。
” 的确，我们只要浏览一下当今的报纸，看一看电视，就会发现在某种程度上概率统计的语言已经成为人类生活中重要的一部分。
然而，饶有趣味的是，这门被拉普拉斯称为“人类知识的最重要的一部分”的数学，却直接地起源于一种相当独特的人类行为的探索——人们对于机会性游戏的研究思考。
所谓机会性游戏，就是靠运气取胜。
随机事件与概率是概率论中最重要和最基本的概念，只有正确地理解和真正掌握，才能学好概率论。
在自然界及各种社会活动中，人们所观察到的现象大致可分为两类：一类称为确定性现象，另一类称为随机现象。
我们把在一定的条件下必然发生或必然不发生的现象称为确定性现象。
例如，从10件产品(其中2件是次品，8件是正品)中，任意地抽取3件进行检验，这3件产品绝不会全是次品；向上抛掷一枚硬币必然下落，等等。
这类现象的一个共同点是事先可以断定其结果。
我们把在一定的条件下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象。
例如，从10件产品(其中2件是次品，8件是正品)中，任取1件出来，可能是正品，也可能是次品；向上抛掷一枚硬币,落下以后可能是正面朝上，也可能是反面朝上；将要出生的婴儿可能是男性，也可能是女性。
这类现象的一个共同点是事先不能预知多种可能结果中究竟出现哪一种。
本文主要是对随机事件和概率的一些容易混淆的概念进行辨析，探讨生活中与概率相关的一些例子。
一、抽奖问题
例如：如果有5张可当场兑奖的彩票，其中2张是有奖的。
有甲、乙、丙、丁、戊5人依次各抽一张彩票，甲中奖的概率为。
当已知甲中奖，乙再去抽奖，则乙的中奖概率，乙似乎吃亏了；当已知甲没有中奖，乙再去抽奖的中奖概率，乙似乎又占便宜了，你认为这样公平吗?解：这样的抽奖方案是公平的。
因为这里的和分别是在已知甲中奖和甲没有中奖的情况下，乙中奖的条件概率，都不能算是这个抽奖方案中乙中奖的概率。
因为甲中奖的概率是,故出现“乙中奖概率为”这件事的概率是；同样，甲不中奖的概率为是，故出现“乙中奖概率为”这件事的概率是，而“甲中奖”和“甲不中奖”是互斥事件。
按互斥事件的和的概率计算方法可知，这个抽奖方案中乙中奖的概率应为。
由此可见，这个抽奖方案，每个人中奖概率都是一样的，与抽奖的次序无关，无论先抽还是后抽，对每个人都是公平的。
二、体育运动的概率问题
例如：在斯诺克台球比赛中，我国运动员丁俊晖与国外运动员奥沙利文相遇，根据实际排名和以往的战绩统计，每赛一局丁俊晖胜的概率为0.45，奥沙利文胜的概率为0.55。
若比赛既可采用三局两胜制，也可以采用五局三胜制，问采用哪种赛制对丁俊晖更有利? 分析：（1）采用三局两胜制：设A1表示丁俊晖胜前两局，A2表示前两局中二人各胜一局，第三局丁俊晖胜，A表示丁俊晖胜，则A=A1∪A2，而P=（A1）=0.452=0.2025,P=（A2）
=(0452×0.55)×2=0.22275。
由于A1与A2互斥,由加法公式得: P（A）=P（A1∪A2）=P（A1）+P（A2）=0.2025+0.22275=0.42525。
（2）采用五局三胜制：设Ｂ表示丁俊晖胜，Ｂ１表示前三局丁俊晖胜，Ｂ２表示前三局中丁俊晖胜两局,奥沙利文胜一局，第四局丁俊晖胜，Ｂ３表示前四局两人各胜两局,第五局丁俊晖胜,则Ｂ＝Ｂ１∪Ｂ２∪Ｂ3 ,而Ｐ（Ｂ１）=
0.453=0.091125，P（Ｂ2）=C23×0.452×0.55
×0.45=0.150356，P（Ｂ3）=C24×0.452×
0.552×0.45=0.165392。
所以P（B）=
P（Ｂ１∪Ｂ2∪Ｂ3）=P（Ｂ１）+P（Ｂ2）+P（Ｂ3）
=0.091125+0.150356+0.165392=0.4069.由于P（B）
三、湖中的鱼的数量
例如：生活在湖边的渔民想方便而且快速地知道湖中有多少鱼。
他们用什么方法呢?渔民常用一种称为“标记后再捕”的方法。
先从湖中随意捕捉些鱼上来，比如捕到1000条鱼，在每一条鱼的身上作记号后又放回湖中。
隔一段时间,，又从湖中随意地捕捉一些鱼。
如果第二次捕到200条鱼，其中仅有10条鱼有记号，那么你能预测该湖中的鱼有多少条吗？解：假设湖中的鱼的分布是均匀的，200条鱼中有10条有记号的，那么，每条有记号的鱼被捕到的概率是若湖中有条鱼,其中1000条鱼是有记号的，则每条有记号的鱼被捕到的概率则n=2000，由此可预测该湖中大约有20000条鱼。
事实上，湖中鱼的分布不可能非常均匀，因此渔民们常常重复这种方法多次，然后取所有这些结果的平均数，即可得到比较精确的预测。
四、出租车肇事情况
例如：深夜,一辆出租车被牵扯进一起交通事故，某市有两家出租车公司，分别是红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说,事故现场的出租车是红色的。
经测试证人的辨别能力，测得他辨认的正确率为80%.于是，警察就认定红色出租车具有较大肇事嫌疑。
请问，警察认定对红色出租车公平吗？解：设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得信息如表1。
从表中可以看出，当证人说出租车是红色且它确实是红色的概0.41;而它是蓝色的概率为.59.在这种情况下，以证人的证词为推断的依据，对红色出租车公司显然不公平。
概率论不仅为人们研究科学和社会问题提供了有效和方法，更改变了人们看待世界的角度。
这个世界不是绝对必然的，它充斥着大量的偶然性，所谓规律也只是在相当程度上被我们所接受和信任的命题而已。
运用概率，我们就可以避免由归纳法和决定论带来的许多问题和争论。
我们应该清楚一点：概率不可能由一个事件的发生而产生出来。
在整个概率历史中，某个事件具有重要的意义，但不能认为，概率论就是由于这一事件的出现才诞生的，它是由于大量的随机事件产生概率从而就有了概率论这门学科。
所以说，在概率论中最重要的是随机事件与概率，它们是紧密联系的一个整体。
学好概率论最基本的就是正确理解随机事件与概率中的一些概念和能够灵活地运用到生活中。
本文虽然对概率论中的一些概念进行了类比分析，但是并不能把它们彻底地分析透彻，所以说概率论中的许多知识都有待我们去探索研究。
（邳州市新河中学）。