黑龙江省哈尔滨市阿城区龙涤中学2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题 理

2017-2018学年第二学期高一期末考试数学（理科）试题分值：150分 时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a 、b 、c ，d ∈R ，则下面四个命题中，正确的命题是( ) A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，则ac 2>bc 2D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd2．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．643．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．1924．已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )A ．(－1，1，0)B ．(1，－1，0)C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1)5．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是( )A ．(1，－2，4)B ．(－4, 1，－2)C ．(2，－2，1)D ．(1，2，－2)6．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°7.在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，BC 1⊥AC，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在（ ）A.直线AB 上B.直线BC 上C.直线AC 上D.△ABC 内部8．已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b ⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b. 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．39．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )A ．4B ．6C ．8D ．1210．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b 2c， 则△ABC的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 11．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下面结论错误的是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．向量AD →与CB 1→的夹角为60°12．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120° 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________． 14．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －y ＋1≥0，y≥0表示的平面区域内到直线y ＝2x －4的距离最远的点的坐标为________．15.函数xay -=2（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线2=+nym x （mn ＞0）上，则n m +的最小值为 .16．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，求（1）432a a a 、、 （2）求 数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的通项公式.（3）求数列 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+11n n a a 的前n 项和n S .18．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．19．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝3，AB ＝5，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1； (2)求证：AC 1∥平面CDB 1.20. (12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n.(1)设b n ＝a n2n －1.证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和．21．(本小题满分12分)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝60°.(1)求证：EF⊥PB.(2)试问：当点E在线段AB上移动时，二面角P­FC­B的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．22．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成的角为60°.(1)求证：AC⊥平面BDE； (2)求二面角F­BE­D的余弦值；(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．2017-2018学年第二学期高一期末考试数学（理科）试题数学答案 一、BABBB DAAAB DC13、27π 14、（-1，0） 15、223+ 16、217.17.解：①由已知，11,111=++-=+n a n a a n n⎪⎭⎫⎝⎛++=+n a n a n n 1)1(1得解得：16,9,4432===a a a 3分②为首项的等差数列。

为公差，以是以可知，由1111111=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-++a n a n a n a n n n 4分n nan n a n n=⨯-+=∴即,1)1(1 6分 ③ 由②知，2n a n = 7分221)1(+=⋅∴+n n a a n n 8分)1(1+=⋅+n n a a n n 9分()1111111+-=+=⋅∴+n n n n a a n n 10分11111113121211+=+-=+-++-+-=n n n n n S n 11分.1即为所求+=∴n nS n 12分18、解：①85sin ,41sin 21412cos 22=-=-∴-=C C C ， 2分410sin ),,0(=∴∈C C π 4分②,sin sin 2C A =2,222==⋅∴a RcR a 又 4=c 6分ca A C <==，且又410sin 2sinCA A <=∴，810sin863cos =∴A8分 又A bc c b a cos 2222-+= 9分8634242222⨯⨯-+=b b662012632===+-b b b b 或解得11分.4,662，即为所求或===∴c b b 12分19.证明：因为直三棱柱ABC -A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，所以AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)，B 1(0，4，4)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0. (1)因为AC →＝(－3，0，0)，BC 1→＝(0，－4，4)，所以AC →·BC 1→＝0，所以AC ⊥BC 1. 6分 (2)因为CB 1与C 1B 的交点为E ，所以E (0，2，2)． 因为DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，2，AC 1→＝(－3，0，4)， 所以DE →＝12AC 1→，所以DE →∥AC 1→.因为DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，所以AC 1∥平面CDB 1. 12分20解：①由已知：nn n n n n a a a b 22,211+==+- 1分1221)221221111=⋅=-=-=-+-++nn n n n n n n n n n a a a a b b （ 3分 又12011==a b 4分 {}.11为首项的等差数列为公差，以是以n b ∴ 6分② 由①知：n b n = 7分112,2--⋅==∴n n n n n a n a 即 8分{}n n n a a a S n a +++=∴ 21项和为：的前12210221232221--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n ）（ n n n n n S 22)1(23222121321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=- 10分n n n n n S S 2)2222(121321⋅-+++++=-∴-n n n S 2)1(1-⋅-+-=∴ 11分n n n S 2)1(1⋅-+=∴ 12分21.(1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ，因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，又DE ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面BDE . 3分(2)解：因为DE ⊥平面ABCD ，所以∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角， 即∠EBD ＝60°， 所以EDBD＝ 3. 由AD ＝3，得DE ＝36，AF ＝ 6.如图，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (3，0，0)，F (3，0，6)，E (0，0，36)，B (3，3，0)，C (0，3，0)，所以BF →＝(0，－3，6)，EF →＝(3，0，－26)．设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·BF →＝0，n ·EF →＝0，即⎩⎨⎧－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0.令z ＝6，则n ＝(4，2，6)．因为AC ⊥平面BDE ， 6分 所以CA →＝(3，－3，0)为平面BDE 的一个法向量， 所以cos 〈n ，CA →〉＝n ·CA →|n ||CA →|＝626×32＝1313.故二面角F ­BE ­D 的余弦值为1313. 8分 (3)解：依题意，设M (t ，t ，0)(t ＞0)，则AM →＝(t －3，t ，0)， 因为AM ∥平面BEF ， 所以AM →·n ＝0，即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.所以点M 的坐标为(2，2，0)，此时DM →＝23DB →，所以点M 是线段BD 上靠近点B 的三等分点． 12分22.(1)证明：在Rt △ABC 中，因为EF ∥BC ，所以EF ⊥AB ，所以EF ⊥EB ，EF ⊥EP ，又因为EB ∩EP ＝E ，EB ，EP ⊂平面PEB ，所以EF ⊥平面PEB .又因为PB ⊂平面PEB ，所以EF ⊥PB . 4分(2)解：在平面PEB 内，过点P 作PD ⊥BE 于点D ，由(1)知EF ⊥平面PEB ，所以EF ⊥PD ，又因为BE ∩EF ＝E ，BE ，EF ⊂平面BCFE ，所以PD ⊥平面BCFE .在平面PEB 内过点B 作直线BH ∥PD ，则BH ⊥平面BCFE .如图所示，以B 为坐标原点，BC →，BE →，BH →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．设PE ＝x (0＜x ＜4)，又因为AB ＝BC ＝4，所以BE ＝4－x ，EF ＝x .在Rt △PED 中，∠PED ＝60°，所以PD ＝32x ，DE ＝12x ，所以BD ＝4－x －12x ＝4－32x ， 所以C (4，0，0)，F (x ，4－x ，0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，4－32x ，32x . 从而CF →＝(x －4，4－x ，0)，CP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，4－32x ，32x . 8分 设n 1＝(x 0，y 0，z 0)是平面PCF 的一个法向量，所以⎩⎨⎧n 1·CF →＝0，n 1·CP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0（x －4）＋y 0（4－x ）＝0，－4x 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32x y 0＋32xz 0＝0， 所以⎩⎨⎧x 0－y 0＝0，3y 0－z 0＝0，取y 0＝1，得n 1＝(1，1，3)是平面PFC 的一个法向量．又平面BFC 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，设二面角P ­FC ­B 的平面角为α，则cos α＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝155. 因此当点E 在线段AB 上移动时，二面角P ­FC ­B 的平面角的余弦值为定值，且定值为155. 12分。