一种处理非均匀分布的杂波样本的新算法

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Nonlinear Total Variation based noise removal algorithms

Nonlinear Total Variation based noise removal algorithms最近仔细读了下提出全变差（Total Variation，TV）最小化去噪的那篇文章《Nonlinear Total Variation based noise removal algorithms》[1]（ROF92）。

在了解TV去噪的过程中，我发现，不管是期刊论文、博硕士论文还是博客，很少有进一步去将文献[1]讲得更加清楚一些的。

再加上文献[1]本身公式大多都缺少中间过程、推导过程不易理解，给出结论都非常突兀。

还有便是，Guy Gilboa副教授的开源代码中最关键的u和λ的更新公式都是不同于文献[1]的公式(2.8a)和(2.9c)的。

这些都给水平不高的我造成了很多理解上的困惑。

所幸，在大师兄的帮助下，我算是看懂文献[1]。

另外，Guy Gilboa副教授的开源代码关键变量的更新公式虽然不同于文献[1]，但也提供了另外一个视角，帮助我对算法的理解更上一层楼。

针对上面提到的问题，我打算把我自己看论文和写程序时想明白的写一下，预计是3篇博文，分别解决以下3个问题：1.如何将TV去噪问题从范数约束形式通过Euler-Lagrange方程变为偏微分形式？2.如何推导出论文中直接给出的那些公式？3.Guy Gilboa副教授的开源代码更新公式表达与论文不同，为何还是正确的？我们先来解决第1个问题。

实际上，第1个还能够进一步细分为3个子问题：1.如何得到公式(2.5a)？2.如何得到公式(2.6)?3.公式(2.8a)是不是有错？1. 如何将TV去噪问题从范数约束形式通过Euler-Lagrange方程变为偏微分形式？文献[1]中，公式(2.5a)的提出很突兀，这一小节主要讲述如何导出公式(2.5a)：u t=∂∂x⎛⎝⎜u x u2x+u2y−−−−−−√⎞⎠⎟+∂∂y⎛⎝⎜u y u2x+u2y−−−−−−√⎞⎠⎟−λ(u−u0)(2.5a)众所周知，TV去噪问题可以表示成如下形式：min u∫Ωu2x+u2y−−−−−−√+(u−u0)2dxdy,(my−1)这里，u是去噪后也就是待恢复的图像，u0是噪声图像，一般默认为高斯白噪声。

近程杂波的非均匀分段处理法

ｉｎｇ，ｔａｐｌｓｉｌｄｅｎｅｃｅｔｏｎｆｌｏｗｈｎｄｐｅｄｅｔａｄｉｅｉａｌｉｔｉｔｄ，ａｄｔｉｏａｉｈｅｓｍｅｎｃｕｄｉａｈｓｃｉｏｌｔｅｉｅｎｎｎｄｎｔｃｌｙｄｓｒｂｕｅｎｈｅｒｃｎｖｒ— ａｃａｒｘｃｎｂｖｌａｅｅｉｅｙＳｉｕｌｔｏｅｕｔｏｖｈｅｉｐｏｅｅｈｎｅｍｔｉａｅｅａｕｔｄｐｒｃｓｌ．ｍａｉｎｒｓｌｓｐｒｅｔｍｒｖｍｎｔｏｆｔｅＳＴＡＰｅｆｍａｃ．ｐｒｏｒｎｅＫｅｒ：ｎｎ— ｖｒｅｓｂｓｃｉｙｗｏｄｓｏａｅａｇｕｅｔｏｎ；ｓａｅｔｍｅａｐｔｖｏｃｓｉｐｃｉｄａｉｅｐｒｅｓｎｇ（ＳＴＡＰ）；ｓｏｒ— ａｇｅｃｕｔｅ；ｓｈｔｒｎｌｔｒｕｐ
第ｌ期
２１Ｏ０年２月
雷达科学与技术
ＲａｄａｒＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏＩＹｏｇ
Ｖｏｌ８Ｎｏ＿．１Ｆｅｒａｙ２０ｂｕｒ０１
近程杂波的非均匀分段处理法
李萍。韩伟，王彤
ｓｐｒｓｉｇｃｕｔｒＴｈｓｐｐｒｐｅｅｔｏ — ｖｒｇｕｓｃｉｎｍｅｈｄ，ｄｖｄｎｎｖｎｙｅｃｏｐｅｕｐｅｓｎｌｔｅ．ｉａｅｒｓｎｓａｎｎａｅａｅｓｂｅｔｔｏｏｉｉｉｇｕｅｅｌａｈｄｐｌｒｃａｎｌａｅｎｓｐｏｔｕｖ，ｔｅｕｐｒａｄｌｗｅｏｎｓｏｈｅｖｈｒａｇｌｔｅｒａ．ＢｙＳｏｈｎｅｂｓｄｏｕｐｒｒｅｈｐｅｎｏｒｂｕｄｆｅｈａｙｓｏｔｒｎｅｃｕｔｒｅｓｃｔａＯｄ —

一维非均匀随机抽样之逆变换抽样法

逆变换抽样法是通过概率密度函数（PDF）与分布函数（CDF）之间的关系，通过概率密度函数求出相应的分布函数，或者是分布函数已知。

此时，可以通过分布函数的反函数进行采样。

当随机变量η的分布函数F(x)的反函数存在且容易计算时，可以通过均匀分布产生的随机数来产生η的随机序列{ηi,i=1,2,3,…}。

具体步骤如下：1、产生U(0,1)的随机序列{u i,i=1,2,3,…}。

2、根据反函数产生随机序列{ηi,i=1,2,3,…}，即ηi=F−1(u i),i=1,2,3,…例1：产生概率密度函数为f(x)的随机数，其中f(x)={xσ2e−x22σ2,x>0 0,x≤0解：设随机变量η具有概率密度函数f(x)，简单计算可得其概率分布函数为F(x)={1−e−x22σ2,x>00,x≤0其反函数为F−1(u)=√2σ2log(1−u),0<u<1设σ=1时，产生随机数ηi的R程序如下：set.seed(1)n <- 10000 #确定产生随机数的个数sigma <- 1 #确定sigmar <- matrix(runif(n),n,1) #产生[0,1]上的均匀分布x <- sqrt(-2*sigma^2*log(1-r)) #代入抽样公式，即分布函数的反函数例2：产生分布函数为F(x)的随机数η，其中F(x)=x2+x2,0≤x≤1解：根据F(x)的定义知，其反函数为F−1(u)=−1+√(1+8u)2,0<u<1产生随机数ηi的R程序如下：练1：产生概率密度函数为f(x)的随机数，其中f(x)={8x,0≤x<0.258 3−8x3,0.25≤x≤1 0,其它解：根据概率密度函数计算分布函数可得，F(x)={0,x<04x2,0≤x<0.258x 3−4x23−13,0.25≤x≤1 1x>1其反函数为F−1(u)={√u2,0≤x<0.251−√3(1−u)2,0.25≤x≤1产生随机数的R程序如下：练2：产生概率密度函数为f(x)的随机数，其中f(x)=3x2,0<x<1解：根据概率密度函数计算分布函数可得，F(x)=x3其反函数为F−1(u)=√u3产生随机数的R程序如下：练3：产生概率密度函数为f(x)的随机数，其中f(x)=1√2π−x22,−∞<x<+∞解：根据概率密度函数可知该随机数为标准正态分布随机数，令标准正态分布的分布函数为F(x)其反函数为F−1(u)产生随机数的R程序如下：练4：Pareto(a,b)分布具有累积分布函数F(x)=1−(bx)2,x≥b>0,a>0请利用逆变换法模拟a=2,b=2的Pareto分布随机样本。

基于海杂波稀疏性与非均匀度的样本挑选方法

基于海杂波稀疏性与非均匀度的样本挑选方法韩超垒;杨志伟;田敏;孙永岩;曾操【摘要】针对预警雷达对海监视面临海杂波分布非均匀与杂波样本受目标污染,导致自适应杂波抑制处理性能恶化和目标能量损失的问题,提出了一种基于海杂波稀疏性与非均匀度的样本挑选方法.该方法将目标的导向约束与广义内积样本挑选方法结合,先利用海杂波在空时二维平面上的稀疏分布特性,根据海杂波与目标空时二维分布差异剔除被目标污染的样本,再利用广义内积准则衡量海杂波分布的非均匀程度,并获取均匀样本,以提高杂波协方差矩阵的估计精度.仿真结果表明:所提方法能在提高杂波抑制性能的同时,减小目标信号能量损失.该方法可广泛应用于海面预警监视雷达系统.【期刊名称】《上海航天》【年(卷),期】2018(035)005【总页数】7页(P25-31)【关键词】空时自适应处理;样本挑选;非均匀杂波;样本污染;稀疏性【作者】韩超垒;杨志伟;田敏;孙永岩;曾操【作者单位】西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室,陕西西安710071;西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室,陕西西安710071;西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室,陕西西安710071;上海卫星工程研究所,上海200240;西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室,陕西西安710071【正文语种】中文【中图分类】TN959.730 引言运动平台雷达对海探测在战态感知、预警监视、渔业管理、海面救援等方面具有重要地位。

不同于地面，海面会随时间波动起伏，海杂波同时面临空间和时间去相关问题。

另外，平台运动将导致海杂波多普勒谱展宽，此时慢速运动目标不可避免地会被杂波淹没，因此，海杂波抑制成为提升慢速运动目标检测性能的有效手段。

BRENNAN等[1]首次提出了空时自适应处理技术，该技术能大幅提升运动平台雷达的海杂波抑制性能。

但是，全维空时自适应处理系统自由度大，计算复杂度高。

另外，实际场景中杂波呈非均匀非平稳分布，训练样本不满足独立同分布(IID)的条件，这会造成对杂波协方差矩阵估计不准确，进而导致空时自适应处理系统的杂波抑制性能严重下降。

非均匀快速傅里叶变换

非均匀快速傅里叶变换非均匀快速傅里叶变换（Non-uniform Fast Fourier Transform，简称NUFFT）是一种用于处理非均匀采样信号的快速傅里叶变换算法。

在信号处理领域，傅里叶变换是一种常用的数学工具，可以将一个信号在时域和频域之间进行转换。

然而，传统的傅里叶变换算法要求信号在时域上均匀采样，而现实中的许多信号并不满足这个条件。

因此，非均匀快速傅里叶变换应运而生。

非均匀快速傅里叶变换的核心思想是利用信号的非均匀采样特点，通过巧妙地选取一部分采样点，利用快速傅里叶变换算法来近似计算出整个信号的频谱。

相比于传统的傅里叶变换算法，非均匀快速傅里叶变换在计算效率上有了显著的提升。

在非均匀快速傅里叶变换的算法中，最关键的一步是构建插值矩阵。

插值矩阵用于将非均匀采样信号的频谱转换为均匀采样信号的频谱。

为了构建插值矩阵，可以使用不同的插值算法，如拉格朗日插值、三次样条插值等。

通过插值矩阵，可以将非均匀采样信号的频谱转换为均匀采样信号的频谱，从而实现了非均匀快速傅里叶变换。

非均匀快速傅里叶变换的应用广泛。

在图像处理中，非均匀快速傅里叶变换可以用于图像压缩、图像重建等方面。

在音频信号处理中，非均匀快速傅里叶变换可以用于音频编码、音频降噪等方面。

此外，在信号重建、光学成像等领域也有非均匀快速傅里叶变换的应用。

非均匀快速傅里叶变换虽然在处理非均匀采样信号时具有较高的计算效率，但也存在一些局限性。

首先，由于插值矩阵的构建需要耗费一定的计算资源，因此在处理大规模数据时，计算复杂度仍然较高。

其次，非均匀快速傅里叶变换对采样点的选择较为敏感，不合理的采样点选择可能会导致频谱估计的误差增大。

因此，在使用非均匀快速傅里叶变换时，需要对采样点的选择进行合理控制。

非均匀快速傅里叶变换是一种用于处理非均匀采样信号的快速傅里叶变换算法。

通过巧妙地选取采样点和构建插值矩阵，可以在一定程度上近似计算出非均匀采样信号的频谱。

一种非均匀环境下的MIMO雷达STAP算法

是全向的天线。第ｍ根天线的发送信号为：
Ｕ１１）＝ｍ（＋Ｔ７（）ｆ升．ｅｒ（ｔ
图１ＭｌＭＯ雷达的几何结构
算法就能够被应用于ＭＩＭＯ雷达中。
在ＭＩＭＯ雷达中，由于正交波形所带来的额外
对于ｍｌ，… ，Ｍ一，其明了雷达脉冲的序号，指代表脉冲
ｐｏｅｓｇ（ＴＡＰｅｈｉｕｓＴｏｅｔｔｈｔｔｔｈｒｃｅｉｃｏｅｃｔｒｉｔｒｒｎｅｉａｇｉｆｎｅｅｔｒｃｓｉＳｎ）ｔｃｎｑｅ．ｓｍａｅｔｅｓｉｃｃａａｔｒｔｆｈｌｔｅｆｅｃａｒｎｅｂｎｏｔｒｓｉａｓｉｓｉｔｕｅｎｅｎｉ
匀杂波环境的子空间算法推广到了非均匀环境下，真结果表明推广后的子空间算法在非均匀杂波环境下有仿
着优秀的性能。关键词：ＭＩＭＯ雷达；ＳＡ空时自适应）算法；非均匀环境ＴＰ（
中图分类号：Ｔ５Ｎ９７文献标识码：Ａ
ＳＴＡＰｌａｇｏｒｔｉｈｍｏｉｏｒｄａｎｆｒｍｍａｒｉｎｏｎｈｏｍｏｇｎｅｅｏｕｓ
的维度，ＴＰ变得更加具有挑战性。一方面，额外ＳＡ的维度增加了杂波和人工干扰子空间的秩，尤其是人工干扰子空间；另一方面，ＭＩＭＯ雷达中额外的
ｔｃｕｌｎｏｎｍｏｇｎｅｕｓｅｖｉｏｎｅｆｃｕｔｅａｅｔｗｏＨｅｈｅａｔａｈｏｅｏｎｒｍｎｔｏｌｔｒｍｋｓｉ．Ｔｈｓｐａｒｅｔｎｄｈｕｂ—ｓａｅａｇｏｔｕｔｂｅｉｐｅｘｅｓｔｅｓｐｃｌｒｈｍｓｉａｌｉｏｈｏｍｏｇｎｏｕｎｉｏｆｒｔｅｈｅｅｓｅｖｒｎｍｅＯｔｉｔｏｎｏｈｏｍｏｅｏｎｖｒｍｅ．ｎｔｔｈｅｓｔｉｆｎｏｎｕａｇｎｅｕｓｅｉｏｎｎｔＴｈｅｓｍｕｌｔｏｅｕｔｓｏｗｓｔｔｉａｎｒｓｌｈｉｈａ

非均匀采样傅里叶变换

非均匀采样傅里叶变换
非均匀采样傅里叶变换（Non-uniformFourierTransform，NUFT）是一种处理非均匀采样数据的方法，它将非均匀采样信号转换到频域，并对其进行重建。

与传统的离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）相比，NUFT不需要对信号进行插值或者重新采样，因此可以提高信号重建的效率和准确性，尤其对于高维信号的处理更加有效。

NUFT广泛应用于医学成像、地震勘探、通信系统等领域。

NUFT的核心思想是将信号分解为局部傅里叶基函数的线性组合，通过计算每个基函数在非均匀采样点处的值，得到频域中的采样点。

NUFT需要确定采样点的位置和权重，通常采用最小二乘法或者压缩
感知技术来求解这个问题。

NUFT的主要优势是能够处理非均匀采样信号，避免了插值和重
新采样带来的误差和计算开销。

同时，NUFT的运算速度也比传统的DFT快，可以提高信号处理的效率。

总之，非均匀采样傅里叶变换是一种有效的信号处理方法，对于非均匀采样数据的处理具有重要的应用价值。

- 1 -。

非均匀采样傅里叶变换

非均匀采样傅里叶变换
非均匀采样傅里叶变换（Non-uniform Fourier Transform，NUFT）是一种用于处理非均匀采样数据的信号处理技术。

在传统的傅里叶变换中，信号是在均匀间隔的时间或空间上采样的，而NUFT则可以处理非均匀间隔的采样数据，这在实际应用中非常有用。

NUFT的基本思想是将非均匀采样数据转换为均匀采样数据，然后再进行傅里叶变换。

这个过程可以通过插值来实现，即在非均匀采样点之间插值得到均匀采样数据，然后再进行傅里叶变换。

但是，插值会引入误差，因此NUFT需要使用一些特殊的算法来减小误差。

NUFT的应用非常广泛，例如在医学影像学中，医生需要对非均匀采样的MRI图像进行处理，以便更好地诊断病情。

NUFT可以帮助医生将非均匀采样的MRI图像转换为均匀采样的图像，然后再进行处理。

此外，NUFT还可以用于音频信号处理、图像处理等领域。

NUFT的发展历程可以追溯到20世纪60年代，当时的研究人员开始探索如何处理非均匀采样数据。

随着计算机技术的发展，NUFT 的应用越来越广泛，同时也出现了许多新的算法和技术，例如快速非均匀傅里叶变换（Fast Non-uniform Fourier Transform，FNUFT）等。

非均匀采样傅里叶变换是一种非常有用的信号处理技术，可以帮助我们处理非均匀采样数据，从而更好地理解和分析信号。

随着技术
的不断发展，NUFT的应用前景也将越来越广阔。

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Ｋｅｗｏｄｙｒｓ：ａｒｏｎａａ，ｓａｅｔｍｅａａｉｅｐｒｃｓｉｇ，ｃｕｔｒｓｐｅｓｏｎｎ０ｇｎ０ｓｃｕｔｒｅｖ— ｉｂｒｅｒｄｒｐｃ —ｉｄｐｔｏｅｓｎｖｌｔｕｐｒｓｉｎ，０ｈｍ０ｅｅｕｌｔｎｉｅｅ
ａｃｎｌｓｓｗａａｅｕｓｎｉｌｔｄｄｔ．Ｓｍｕａｉｎｒｓｌｓｐｒｖｈｆｅｔｅｓｆｔｒｐｓｄａ — ｎｅａａｙｉｓｃ￣ｉｄｏｔｕｉｇｓｍｕａｅａａｉｌｔｅｕｔｏｅｔｅｅｆｃｉｎｅｓｏｈｅｐｏｏｅｐｏｖｐｏｃ．ｒａｈ
一
种处理非均匀分布的杂波样本的新算法
唐斌汪学刚赵建宏
（电子科技大学电子工程学院电子工程系，成都６０５）１０４
摘
要：本文从理论上分析了杂波样本沿距离单元均匀分布时杂波协方差矩阵为Ｈｒｉｅｍｔｅ矩阵、Ｔｅｌｚ矩阵和Ｔ一块ｏｐｉｔ０
ＴｎｉＷａｇＸｅａｇＺａｉｎｏｇａｇＢｎｎｕｇｎｈｏＪａｈｎ
（ｎｖｒｉｆｌｔｎｃＳｉｎｅａｄＴｃｎｌｙｏＣｉａＣｅｇｕ６０５，ｈａＵｉｅｔｏｅｒｉｃｃｎｅｈｏｇｆｈｎ，ｈｎｄ，１０４Ｃｉ）ｓｙＥｃｏｅｏｎ
ｐｏｃｅｔｒｓｌｗａｌｕｐ￣ｒｑｉｅｎ，ｓｒｎｏｕｔｅｓｔｒｏｎｏｖｎｅｔｔｍｐｌｍｅｔＰｅｏｍ— ｒａｈｆａｕｅｏｓｍｐｅｓｐｏｅｕｒｍｅｔｔｏｇｒｂｓｎｓｏｅｒｒａｄｃｎｅｉｎｏｉｅｎ．ｆｒｒ
ｒｎｍｅｏｎｔ
Ｒ＝
Ｌｘｆｘ（）㈩
（）１
１引
其中Ｘ是第Ｚ距离单元上的空时数据采样个
在雷达信号处理中，均匀是指如果一个或多非
个数据样本矢量统计偏离ｘ，么数据集（Ｙ（）那ｘ，１，
ｔｎｒｓｌｅｅｅｅｒｄｄｄｔｔｎｐｒｒｎｅｈｅｉｒｂｅｆｄｐｉｅｒｅｔｎｆｔｓｏｅｔｃｅｅｕｔｉｓｖｒｌｄｇａｅｅｃｉｅｏｍａｃ．Ｔｅｄｓｎｐｏｌｏａｔｅｃｏｌｒｆｒｘｒ — ｓｎｙｅｏｆｇｍｓａｖｊｉｉｅａ
维普资讯
第２２卷
・
第３期
电子测量与仪器学报
ＪＯＵＲＬＯＦＥＥＣＲｌＡＵＲＮＡＬＴＯＮＣＭＥｓＥＭＥＴＡＮｓＲＮＮＤＩＴＵＭＥＮＴ
ｆ２．２
Ⅳ０３．２６・２００８ Nhomakorabea ６月
关键词：载雷达，时自适应处理，波抑制，均匀杂波环境机空杂非
中图分类号：Ｎ５Ｔ９７文献标识码：Ａ
ＮｅＡｐｏｃｏｎｍｏｅｏｓＣｌｔｅｖｒｎｅｔｗｐｒａｈｆｒＮｏｈｏｇｎｅｕｕｔｒＥｎｉｏｍｎ
ｅｌｚ矩阵的性质。根据此性质，出了一种空时自适应非均匀处理新方法——均匀逼近法来处理机载相控阵雷达采集到ｐｉ块ｔ提的沿距离单元非均匀分布的杂波样本。该方法能有效地消除样本非均匀带来的影响，具有采样要求低、稳健性强、程实现工方便等特点．数值仿真结果验证了该方法的有效性。
ｔｏｆｒｄｒｓｇａｓａａｎｓ０ｈｍ０ｅｅｕｌｔｅａｋｒｕｄａｅｃｎｉｅｅＡｅｓａｅｔｍｅａａｔｖｏｉｎｏａａｉｎｌｇｉｔｎｎ０ｇｎ０ｓｃｕｔｒｂｃｇｏｎｒｏｓｄｒｄ．ｎｗｐｃ —ｉｄｐｉｅｐｒ—
Ａｂｓｒｃｔａｔ：ＡｈｏｅｉａｎｌｓｓｏｈｒｔａｌｃＴｏｐｉｚＴｏｐｉ — ｌｃａｕｒｆｔｌｔｅｏａｉｎｅｔｅｒｔｌａａｙｉｆｔｅＨｅｍｉｉｎｂｏｋ— ｅｌｔ— ｅｌｚｂｏｋｎｔｅｏｈｅｃｕｔｒｃｖｒａｃｃｔｍａｒｘｉｏｇｎｅｕｌｔｅｎｉｏｍｅｓｐｅｅｔｄ．Ｔｈ０ｈｍ０ｅｅｕａｕｅｏｈｌｔｅｎｖｒｎｎｔｏ－ｔｎｈｍｏｅｏｓｃｕｔｒｅｖｒｎｎｔｉｒｓｎｅｉｅｎｎ０ｇｎ０ｓｎｔｒｆｔｅｃｕｔｒｅｉｏｍｅｆ
ｃｓｉｇ（ＴＰｐｒａｈｉｐｏｏｅ，ｗｉｓｓｉｂｅｆｒｔｅｎｎ０ｇｎ０ｓｃｕｅｎｉｎｎ．Ｔｅａ— ｅｓｎＳＡ）ａｐｏｃｓｒｓｄｈｃｉｕｔｌｏｈ０ｈｍ０ｅｅｕｌｔｒｅｖｏｍｅｔｈｐｐｈａｔｒ