立方根、实数
实数(二)立方根——基础
实数（二）立方根【知识要点】1．定义：如果一个数x 的立方等于a ，即3x a =，那么这个数x 就叫做a 的立方根（care root ，也叫做三次方根）。
记为“，读作“三次根号a ”。
2．性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
3．开立方：求一个数a 的立方根的运算叫开立方（extraction of cubic root ）4．开立方的小数点移动规律：被开方数的小数点向左或向右移动三位，则立方根的小数点向左或向右移动一位。
5．n 次方根（平方根和立方根的推广）（1）定义：如果一个数的n 次方等于a ，即n x a =，那么这个数x 就叫做a 的n 次方根。
（2）性质：①正数的偶次方根有两个，它们是互为相反数；负数没有偶次方根； ②任何实数a 的奇次根有且只有一个，且与a 同正负。
③0的任何次方根都为0。
【典型例题】例2 （1）8000-的立方根是 ；（2）0.027的立方根是 。
（3）124125-的立方根是 ；（4）8729的立方根是 。
例3 （1的立方根是 （2）()33.47-的立方根是 。
（3）的立方根是 （4）51.2510⨯的立方根是 。
例4 （1）= （2）= 。
（3）= 。
例5 2.359 1.095= 5.084=求（1）（2）若0.2359=61.09510=⨯50.84=，求x 、y 、z 的值。
例6 计算（1+（2）+（3）+ （4例7 （1）()20041-的六次方根为 。
（2）()20051-的999次方根为 。
（3）－32的五次方根为 。
（4）64的六次方根为 。
（5）()62.5-的六次方根为 。
（6）()910.13-的9次方根为 。
（7）()62-的平方根为 ，立方根为 ，六次方根为 。
例8 解方程（1）2272160x += （2）30.010.00001x -=（3）()34321372x -=实数（二）立方根练习A组1．填空题：（1）125的立方根等于，－125的立方根等于。
专题7 立方根和实数的概念与性质,实数的运算
专题7 立方根和实数的概念与性质，实数的运算知识要点1.立方根：一个数的立方等于a ，即3x a =，那么这个数x 叫作a 的立方根或三次方根，，读作“三次根号a ”，a 是被开方数，3是根指数.任何数都有立方根。
求一个数的立方根的运算叫作开立方，立方和开立方互为逆运算。
2.正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.了解常见的“开立方”，；立方根等于本身的数有三个，分别是0，-1和1.3.立方根的性质（1（该性质将求一个数的立方根的问题，转化为求其相反数的立方根的问题）.（2）被开方数的小数点向左（或右）移动3位，它的立方根的小数点就相应向左（或右）移动1位。
（3）若a ＞b >a ＞b .（4）两个结论：3=a a . 4.无理数：无限不循环小数又叫作无理数.无理数常见的呈现形式为开方开不尽的数，即化简后带根号的形式，如与圆周率π相关的数，如2π-1；形如0.1010010001…（每两个1之间多一个0）的有规律不循环的形式.无理数是无限小数，但无限小数不一定是无理数；无理数不能写成分数的形式.5.实数（1）有理数和无理数统称实数。
（2）实数的分类：通常有两种分类，按照定义分类和按照正负分类。
（3）实数的性质：数轴上的点和实数一一对应，有理数中如绝对值、相反数、倒数的相关概念和意义，所有运算、运算律和运算性质，在实数范围内仍适用。
典例分析例1 61112⎛⎫--- ⎪⎝⎭的立方根是_______ 【分析】将带分数化为假分数，按照立方根的定义来求值，注意运算的顺序.【解】因为61112⎛⎫--- ⎪⎝⎭=652⎛⎫-- ⎪⎝⎭=652⎛⎫- ⎪⎝⎭，且3252⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=222555222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=652⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以252524⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭. 【点评】①一个数的立方根的符号和原数符号相同；②求立方根的运算，需先转化成3x a =的形式.拓展与变式1 ()6x -的立方根为________.拓展与变式2 若x ²=64的值是________.拓展与变式3 解下列方程：（1）()311x -+=；（2）()3812270x -+=.【反思】①审题时，要注意按照定义进行运算，注意被开方数的范围，注意整体的思想运用。
立方根的概念
立方根的概念在数学中，立方根是指一个数的立方等于另一个数的运算。
换句话说，对于任意一个非负实数a，如果存在一个实数x，使得x³=a成立，那么x就是a的立方根。
通过求解立方根可以解决很多实际问题，尤其在几何和科学运算中应用广泛。
1. 立方根的符号和表示方式立方根可以用符号³√a或者a^(1/3)来表示，其中³√a表示a的立方根，a^(1/3)表示a的1/3次幂。
在数学中，我们通常使用a^(1/3)来表示立方根。
2. 立方根的计算方法计算立方根可以使用不同的方法，包括近似法、牛顿法和二分法等。
其中，近似法是最常用的一种方法。
例如，对于一个正实数a，我们可以通过逐次尝试来逼近其立方根的值。
假设x是a的一个近似立方根值，我们可以根据x的大小来调整下一次的尝试值。
通过多次迭代计算，我们可以逼近出a的较精确的立方根值。
3. 立方根的性质立方根具有一些重要的性质，这些性质在数学和科学中经常被应用。
以下是几个常见的立方根性质：- 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。
- 对于任意的正实数a和b，(a * b)^(1/3) = a^(1/3) * b^(1/3)。
- 对于任意的正实数a，(a^(1/3))^3 = a。
- 任意实数的立方根都是在实数范围内的。
4. 立方根在几何中的应用立方根在几何中有广泛的应用。
例如，正方体的体积和边长之间的关系就涉及到了立方根。
正方体的体积等于边长的立方，即V = a^3 ，这里的a表示正方体的边长。
如果我们已知正方体的体积，可以通过求解立方根来计算出其边长。
此外，立方根还在立方连接、立方曲线等几何问题中有着重要的应用，应用范围广泛，涉及到建筑、土木工程、艺术设计等领域。
5. 立方根在科学运算中的应用立方根在科学运算中也有广泛的应用。
例如，在物理学中，根据已知的质量和体积，可以使用立方根来计算物体的密度。
同时，在统计学和金融学中，立方根也经常被用于计算变异系数。
北师大版八年级数学上册《立方根》实数PPT课件
第三页，共七页。
知识点 2 开立方
5.下列计算正确的是( C )
3
A. 0.0125=0.5
27
3
( 2 )-|0.008|.
3
3
8
1
2
C. 3 =1
3
B. - 64 = 4
3
D.- -
2
8
=125 5
6.求下列各数的立方根.
( 1 )216;
解 :216的立方根是6.
( 2 )-|0.008|.
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科
目：数学
适用版本：北师大版
适用范围：【教师教学】
第二章 实数
立方根
第一页，共七页。
知识点 1 立方根的概念
1.-8 的立方根是( A )
A.-2
B.-2 2C.- 2D. Nhomakorabea43
【变式拓展】 ( -8 )3 的立方根是( D )
A.8
B.-8
C.2
D.-2
10
cm
3
1000
C.
cm
27
A.
10
9
B.
cm
D.10 cm
9.5x+9 的立方根是 4,则 2x+3 的平方根是 ±5 .
10.若
3
-6 3 的值为负数,则 ( 6- )2 = 6-x .
11.若 a 是 9 的算术平方根,而 b 的算术平方根是 4,则 a+b= 19 .
第五页，共七页。
12.已知27( x+3 )3+125=0,求x的值.
原来的33=27倍.以此类推,棱长变为原来的10倍,它的体积变为原来的103=1000倍;棱长变为原来的n倍,它的体
立方根实数
实数章立方根、实数北京四中龚剑钧知识要点：一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.，那么x叫做a的立方根。
即如果3x a求一个数的立方根的运算，叫做开立方.一个数a的立方根，用3a表示，其中a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.说明：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.三、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：按与0的大小关系分：2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.四、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 开立方例题分析1、下列结论正确的是（ ）A ．64的立方根是±4B ．12-是 16-的立方根 C ．立方根等于本身的数只有0和1 D ．332727-=-2、求下列各式的值：（2）3321145⨯+3、 求下列各式中的x 值．4.将棱长分别为 acm 和 bcm 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体 铝块，这个大正方体的棱长为____________ cm. (不计损耗)5.已知实数a,满足求｜a －1|＋｜a ＋1｜的值．6. 已知5x ＋19的立方根是4，求 2x ＋7的平方根．开立方例题分析1.判断正误，在后面的括号里对的用 “√”， 错的记“×”表示，并 说明理由.(1)无理数都是开方开不尽的数.( )(2)无理数都是无限小数.( )(3)无限小数都是无理数.( )310(1)227--(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )(5)不带根号的数都是有理数.( )(6)带根号的数都是无理数.( )(7)有理数都是有限小数.( )(8)实数包括有限小数和无限小数.( )2.已知实数x、y、z在数轴上的对应点如图所示，试化简：3.若a的两个平方根是方程3x＋2y＝2的一组解．（1）求a的值；（2）求a²的算术平方根．5、如图：平行四边形ABCO中，点A、C的坐标分别是（1）写出点B的坐标；（2）将平行四边形ABCO向左平移5个单位长度，求所得平行四边形四个顶点的坐标；（3）求平行四边形ABCO的面积．。
人教版七年级数学下册精品教学课件 第六章 实数 立方根
学习目标：
1.了解立方根的概念，会用开立方运算求一个数的立方根. 2.了解立方根的性质，并学会用计算器计算一个数的立方根或立 方根的近似值.
重点难点：
1.掌握立方根的概念． 2.了解立方根与平方根的区别与联系.
情景导入
某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现 在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来 体积的8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？
（2）因为 ( 3 3)3 = 3
( 3)3 27 28
所以 3 < 27
8
所以 3 3
<
3 2
5.若 3 x =2，y2 =4，求 x 2y 的值.
解：∵ 3 x =2， y2 =4. ∴x = 23，y2 = 16, ∴x = 8，y = ±4. ∴x + 2y = 8 + 2×4 = 16 或 x + 2y = 8 – 2×4 = 0. ∴ x 2 y = 16 = 4 或 x 2 y = 0 = 0.
课堂小结
定义 正数的立方根是正数，
立
负数的立方根是负数；
方
性质 0的立方根是0.
根
3 -a 3 a
用计算 被开方数的小数点向左或向右移动 器计算
3n位时立方根的小数点就相应的向
左或向右移动n位（n为正整数）.
知识精讲
知识点一 立方根的概念及性质 问题：要制作一种容积为 27 m³的正方体形状的包装箱， 这种包装箱的棱长应该是多少? 设这种包装箱的棱长为 x m，则 x³= 27. 这就是要求一个数，使它的立方等于 27. 因为 3³= 27，所以 x = 3. 因此这种包装箱的棱长应为 3 m.
立方根与实数
立方根与实数一、一周知识概述1、立方根的有关概念.（1）立方根定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或a 的三次方根）.即若x3=a，那么x叫做a的立方根.（2）立方根的表示. 数a的立方根用“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数.（3）立方根的性质①正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0.2、立方根与平方根的区别与联系（1）联系：①都与相应的乘方互为逆运算，即开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算；②平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根可通过转化为正数的立方根来研究；③0的平方根和立方根都是0．（2）区别：①用符号表示平方根时，根指数2可以省略，而用符号表示立方根时，根指数3不能省略；②只有非负数才有平方根，而任何数都有立方根；③正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个．3、实数的概念及其分类（1）定义：有理数和无理数统称为实数.（2）实数的分类：①按定义分类②按大小分类（3）实数大小的比较一切正数都大于零；一切负数都小于零；一切正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小.即绝对值大的负数<绝对值小的负数<零<正数.在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.（4）实数和数轴上点的对应关系：一一对应（5）平面直角坐标系中的点与有序实数对：一一对应关系（6）实数中的几个概念①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0. 注意：两个相反数之和等于0.②倒数：若a≠0，则a与互为倒数. 说明：两个互为倒数的数之积等于1.③绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即（7）实数的运算在实数范围内可以进行加、减、乘、除（0不能作除数）、乘方运算；正数和0可以进行开任意次方（如开平方、开立方等）运算，负数不能开偶次方（如负数不能开平方）运算.注意：①无理数不都是带根号的数，如，0.3030030003….②带根号的数不都是无理数，只有那些开不尽的方根属于无理数，开得尽的方根是有理数.如等是无理数，而等是有理数.③关于有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然成立，但要注意正数和零可以进行开平方、开立方运算，但负数能开立方运算，却不能开平方运算.二、典型例题剖析例1、求下列各数的立方根.例2、求下列各式的值.例3、求下列各式中的x的值.（1）－3x3=0.081； (2)；（3）.例4、已知是3b－6a－3的立方根，，且x＋y=0，求x2＋2y2的立方根.例5、把下列各数分别填入适当的集合里：自然数集合{ …}；整数集合{ …}；分数集合{ …}；正数集合{ …}；无理数集合{ …}；实数集合{ …}.例6、比较下列各组数中两个实数的大小.例7、求下列各数的相反数与绝对值.例8、计算.。
第13讲立方根实数
实数要点一、无理数的概念 有理数：有限小数和无限循环小数都称为有理数. 无理数：无限不循环小数又叫无理数. 补充：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不
能表示成分数的形式.
（ 2 ） 常 见 的 无 理 数 有 三 种 形 式 ： ① 含π类 . ② 看 似 循 环 而 实 质 不 循 环 的 数 ， 如 ：
例 3、比计较下列各数的大小
（1） 3 9 与 3 （2） 3 42 与-3.4
（3） 3 2 与 4 3
【答案】（1） 3 9 > 3 （2） 3 42 <-3.4
（3） 3 2 < 4 3
【详解】（1） Q 2= 3 8 3 9, 2 4 3, 3 9 3
（2） Q 3 42 3.476 3.4, 3 42 3.4
1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如 5 .
实数有理数和无理数统称为实数. 实数要点二、实数分类
1.实数的分类 按定义分：
有理数：有限小数或无限循环小数 实数
无理数：无限不循环小数
按与 0 的大小关系分：
正有理数
实数
正数 0
正无理数
负数
负有理数 负无理数
第十三讲 立方根 实数
一、 知识梳理
（1） 知识导入 情景问题：要做一个体积为 27cm3 的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知 道的？ 设正方体的棱长为 X ㎝,则 x3=27，这就是要求一个数,使它的立方等于 27， 因为 33=27，所以 x=3，正方体的棱长为 3 思考：(1)什么数的立方等于-8？
(2)如果问题中正方体的体积为 5cm3，正方体的棱长又该是多少？
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【本讲主要内容】
立方根、实数
理由：∵(.).05
01253=， ∴0.5是0.125的立方根。
（2）×
理由：∵()-16
3≠-
12 ∴-16不是-12的立方根。
（3）√
理由：∵()-=-283
∴-8的立方根是-2
（4）√
理由：∵正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0，
∴任意一个实数都有唯一的立方根。
（5）×
立方根为负；-27343
的立方根为负。
解：（1）∵4643=
∴64的立方根为4。
（2）∵
008.02.03-=-）（，
∴-0008.的立方根为-02.。
（3）∵()-=-
37273433， ∴-273433=-37。
评析：求一个数的立方根时，要注意符号。
例2. 计算：036614164
3.·-- 分析：注意符号，按步骤去做即可。
解：036614164
3.·--
=--=+=+=065214
3552143214
74.()×
×
x =16
24216436x +=+=×
∴24x +的平方根为±±366=。
评析：分步去做，只要概念清楚，一般不会弄错。
例5. 平方根与立方根都是它本身的数是_________。
分析：平方根是它本身的数只有0，而立方根是它本身的数为－1，0，1，同时满足两个条件的数只有0。
解：平方根是它本身的数为0，
立方根是它本身的数为－1，0，1。
∴平方根与立方根都是它本身的数为0。
评析：平方根的结果除0以外有两个，因此，平方根是它本身的数只有0一个，而立方根是它本身的数却有－1，0，1三个，不要搞错。
A.
-=-164 B. 22515=± C. -=-12553
D. -=-933 2. 下列判断正确的是（ ）
A. 若||||a b =，则a b =
B. 若a b 22>，则a b >
C. 若()||a b 2=，则a b =
D. 若a b 33=，则a b =
3. 计算：
（1）--+---825119633；
【综合测试答案】
1. C
2. D
3. （1）－6 （2）2.515
解：（1）原式=--++-()25114
=++-25114
=-6
（2）原式=--+---||(.)(.)|
|12051714
132。