全等三角形 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 专题检测题 含答案

全等三角形全等三角形问题中常见的辅助线的作法专题
1．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是()
A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定
2．如图，在△ABC中，AD为BC上的中线，E为AC的一点，BE与AD交于点F，若AE＝EF.求证：AC＝BF.
3．如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB 于点G.若BG＝CF，求证：AD为△ABC的角平分线．
4．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.
5．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC，∠ACB的平分线AD，CE交于点F，试猜想AE，CD，AC 三条线段之间的数量关系，并加以证明．
6．已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD＝∠FAE.求证：BE＋DF＝AE.
7．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，E，F分别在AB，AC上，且∠EDF ＝60°.
(1)证明：BE＋CF＝EF；
(2)求△AEF的周长．
三、过角平分线上一点向角两边作垂线
8．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，求证：AB＝BC＋CD.
9．如图，AB＜BC，BD平分∠ABC，AD＝DC，求证：∠BAD＋∠BCD＝180°.
10．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD.
11．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，且AD⊥BC于D.求证：CD＝AB＋BD.
12．如图，在△DEF中，DE＝DF，过EF上一点A作直线分别与DE，DF的延长线交于点B，C，且BE ＝CF.求证：AB＝AC.
答案：
1. C
2.
证明：延长AD 至G ，使DG ＝AD ，连结BG ，
在△BDG 和△CDA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ∠BDG ＝∠CDA DG ＝DA
， ∴△BDG ≌△CDA(S .A .S .)，∴BG ＝AC ，∠CAD ＝∠G ，又∵AE ＝EF ，∴∠CAD ＝∠AFE ，又∠BFG ＝∠AFE ，∴∠CAD ＝∠BFG ，∴∠G ＝∠BFG ，∴BG ＝BF ，∴AC ＝BF
3.
延长FE ，截取EH ＝EG ，连结CH ，∵E 是BC 中点，∴BE ＝CE ，∴∠BEG ＝∠CEH ，在△BEG 和△CEH
中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CE ∠BEG ＝∠CEH GE ＝EH
，∴△BEG ≌△CEH(S .A .S .)，∴∠BGE ＝∠H ，∴∠BGE ＝∠FGA ＝∠H ，∵BG ＝CH ，∵CF ＝BG ，∴CH ＝CF ，∴∠F ＝∠H ＝∠FGA ，∵EF ∥AD ，∴∠F ＝∠CAD ，∠BAD ＝∠FGA ，∴∠CAD ＝∠BAD ，∴AD 平分∠BAC
4.
证明：延长CE 到F ，使EF ＝CE ，连结FB.∵CE 是△ABC 的中线，∴AE ＝EB ，又∵∠AEC ＝∠BEF ，∴△AEC ≌△BEF(S .A .S .)，∴∠A ＝∠EBF ，AC ＝FB.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ＝∠EBF ＋∠ABC ＝∠CBF ，∵CB 是△ADC 的中线，∴AB ＝BD ，又∵AB ＝AC ，AC ＝FB ，∴FB ＝BD ，又∵CB ＝CB ，∴△CBF ≌△CBD(S .A .S .)，∴CD ＝CF ＝CE ＋EF ＝2CE
5. 在CA 上取点G 使得CG ＝CD ，∵∠AFC ＝180°－12(∠BAC ＋∠ACB)＝180°－12
(180°－60°)＝120°，∴∠AFE ＝∠CFD ＝60°，∵在△GCF 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧FC ＝FC ∠GCF ＝∠FCD CD ＝CG
，∴△GCF ≌△DCF(S .A .S .)，∴∠GFC ＝∠CFD ＝60°，CD ＝CG .∴∠AFG ＝120°－60°＝60°＝∠AFE ，∵在△AEF 和△AGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠AFG ∠EAF ＝∠GAF AF ＝AF
，∴△AEF ≌△AGF(A .S .A .)，∴AE ＝AG ，∴AE ＋CD ＝AG ＋CG ＝AC 6.
延长CB 到G ，使BG ＝DF ，连结AG ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ，AB ∥CD ，∠D ＝∠ABC ＝90°，∴∠5＝∠BAF ＝∠1＋∠3，∠ABG ＝180°－∠ABC ＝90°，在△ABG 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABG ＝∠ADF ＝90°，BG ＝DF
∴△ABG ≌△ADF(S .A .S .)，∴∠G ＝∠5，∠1＝∠2＝∠4，∴∠G ＝∠5＝∠1＋∠3＝∠4＋∠3＝∠EAG ，∴AE ＝GE ＝BE ＋GB ＝BE ＋DF
7.
(1)延长AB 到N ，使BN ＝CF ，连接DN ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵BD ＝CD ，∠BDC ＝120°，∴∠DBC ＝∠DCB ＝30°，∴∠ACD ＝∠ABD ＝30°＋60°＝90°＝∠NBD ，∵在
△NBD 和△FCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ∠NBD ＝∠FCD ＝90°，BN ＝CF
∴△NBD ≌△FCD(S.A.S.)，∴DN ＝DF ，∠NDB ＝∠FDC ，
∵∠BDC ＝120°，∠EDF ＝60°，∴∠EDB ＋∠FDC ＝60°，∴∠EDB ＋∠BDN ＝60°，即∠EDF ＝∠
EDN ，在△EDN 和△EDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DE ∠EDF ＝∠EDN DN ＝DF
，∴△EDN ≌△EDF(S.A.S.)，∴EF ＝EN ＝BE ＋BN ＝BE
＋CF ，即BE ＋CF ＝EF
(2)∵△ABC 是边长为2的等边三角形，∴AB ＝AC ＝2，∵BE ＋CF ＝EF ，∴△AEF 的周长为AE ＋EF ＋AF ＝AE ＋EB ＋FC ＋AF ＝AB ＋AC ＝4
8.
过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵BD 平分∠ABC ，
∴CD ＝DE ，在△BCD 与△BED 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠DBC ＝∠DBE ∠C ＝∠BED ＝90°BD ＝BD
，∴△BCD ≌△BED(A .A .S .)，∴BC ＝BE ， ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A ＝45°，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴DE ＝AE ＝CD ，∴AB ＝BE ＋AE ＝BC ＋CD
9.
过点D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC 于F ，∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴DE
＝DF ，∠AED ＝∠CFD ＝90°，∵在△AED 和△CFD 中，⎩
⎪⎨⎪⎧AD ＝CD DE ＝DF ，∴△AED ≌△CFD(H .L .)∴∠DAE ＝∠BCD ，∵∠BAD ＋∠DAE ＝180°，∴∠BAD ＋∠BCD ＝180°
10.
方法1：在AB 上取AE ＝AC ，连接DE ，∵AE ＝AC ，∠1＝∠2，且AD ＝AD ，∴△ACD ≌△AED(S .A .S .)，∴ED ＝CD ，∠AED ＝∠C ＝2∠B ，又∵∠AED ＝∠B ＋∠BDE ，∴∠B ＝∠BDE ，∴EB ＝ED ，即△BED 为等腰三角形.∴BE ＝ED ＝CD ，∴AB ＝AE ＋EB ＝AC ＋CD.
方法2：延长AC 到E ，使CE ＝CD ，连接DE.则∠CDE ＝∠E ，∴∠ACB ＝∠CDE ＋∠E ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ，∵∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△AED ，∴AB ＝AE ＝AC ＋CD
11.
CAE，又∵∠B＝2∠C，∴2∠C＝∠C＋∠CAE，∴∠C＝∠CAE，∴AE＝CE，∴CD＝CE＋DE＝AB＋BD
12.
过B作BG∥CD，交EF于G，∵BG∥CD，∴BG∶DF＝BE∶DE，∠AGB＝∠AFC，又∵DE＝DF，∴BG＝BE，又∵BE＝CF，∴BG＝CF，又∵∠GAB＝∠FAC，∴△ACF≌△ABG，∴AB＝AC。