复变函数积分计算

复变函数积分计算方法总结
1、 一般计算方法：()(,)(,)f z u x y iv x y =+沿有向曲线C 的积分：
()C
C
C
f z dz udx vdy i udy vdx =-++⎰
⎰⎰
若有向光滑曲线C 可以表示为参数方程()()() ()z z t x t iy t t αβ==+≤≤，则：
()[()]()C
f z dz f z t z t dt β
α
'=⎰
⎰
2、 柯西积分定理：()f z 在简单闭曲线C 上和内部解析，则：
()0C
f z dz =⎰
由闭路变形原理可得重要积分：10
0, 01
2, 0()n C n dz i n z z π+≠⎧=⎨
=-⎩⎰ 可以把各种简单闭路变为圆周进行积分。

3、 柯西积分公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式：
00()
2()f z dz if z z z πΓ=-⎰
高阶导数公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式：
()
01
0()2()()!
n n f z i dz f z z z n π+Γ=-⎰ 联系：柯西积分公式是高阶导数公式的特殊情况，高阶导数公式是柯西积分公式的推广。

4、 用洛朗级数展开式的-1次项系数计算积分
00101()
()() (r<) 2()n n n n C n f z f z c z z z z R c dz i
z z π∞
+=-∞
=
--<=
-∑⎰，其中：
其中C 为环域内任意围绕0z 的正向简单闭路。

当1n =-时，-1次项的系数为11()2C
c f z dz i
π-=
⎰
，因此
1()2C
f z dz ic π-=⎰
5、 用留数计算复积分 函数()f z 在点0z 的留数定义为:01Re [(),]()2C
s f z z f z dz i
π=
⎰
，即洛朗级数展开式中-1
次项的系数。

留数定理：函数()f z 在正向简单曲线C 上处处解析，在C 内部除了有限个孤立奇点12, ... n z z z 外解析，则有：
1
()2Re [(),]n
k C
k f z dz i s f z z π==∑⎰
6、用留数计算定积分 (1)10
22cos ,sin
d I f α
πθπθθαα⎛⎫
=
⎪⎝
⎭
⎰
积分中[]0,θα∈，令2π
ϕθα
=
，则[]0,2ϕπ∈且有2d d π
ϕθα
=
，()210
cos ,sin 2I f d π
αϕϕϕπ
=
⎰。

再令i z e ϕ
=，则有：1
d dz iz
ϕ=，21cos 2z z ϕ+=，21cos 2z z ϕ+= .
由于[]0,2ϕπ∈，故可以作为圆周||1z =的参数方程的参数，将原积分转换为沿单位圆的积分
22221||1||1111111,,222222z z z z z z I f dz f dz z iz iz i z z iz α
απ
π==⎛⎫⎛⎫
+-+-=
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰⎰
若上式中被积函数()F z 在单位圆||1z =内只有有限个奇点12, ... n z z z ，则由留数定理得：
()10
Re [,]n
k k I s F z z α==∑
(2)()2I f x dx ∞
-∞
=
⎰
定理：设函数()f z 在实轴上解析，在上半平面除了奇点12, ... n z z z 外解析。

条件：当||z →∞时有|()|0zf z →，则该积分存在 计算公式：()21
2Re ,n
k
k I i
s f z z
π==⎡⎤⎣⎦∑
意义：转换为沿上半平面内半圆形路径的积分，路径中包含n 个奇点。

注意：若被积函数为偶函数，从0到∞积分或-∞到0积分，可等价于-∞到∞积分值的一半。

(3)()3i x I f x e dx β∞
-∞
=
⎰
定理：设函数()f z 在实轴上解析，在上半平面除了奇点12, ... n z z z 外解析。

条件：当||z →∞时有|()|0f z →，则该积分存在
计算公式：()312Re ,n
i z
k
k I i
s f z e z
β
π=⎡⎤=⎣⎦∑
注意：以上公式所得的积分值是复数。

若被积函数可表示为有理函数和三角函数的积，则被积函数中cos x β和
sin x β都要视为i x e β的一部分，此时计算()i x f x e dx β∞
-∞
⎰
，分别取实部和虚部可得积分()cos f x xdx β∞
-∞
⎰
和
()sin f x xdx β∞
-∞
⎰
的值。