复变函数积分计算
复变函数积分计算方法总结
1、 一般计算方法：()(,)(,)f z u x y iv x y =+沿有向曲线C 的积分：
()C
C
C
f z dz udx vdy i udy vdx =-++?
??
若有向光滑曲线C 可以表示为参数方程()()() ()z z t x t iy t t αβ==+≤≤，则：
()[()]()C
f z dz f z t z t dt β
α
'=?
?
2、 柯西积分定理：()f z 在简单闭曲线C 上和内部解析，则：
()0C
f z dz =?
由闭路变形原理可得重要积分：10
0, 01
2, 0()n C n dz i n z z π+≠?=?
=-?? 可以把各种简单闭路变为圆周进行积分。
3、 柯西积分公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式：
00()
2()f z dz if z z z πΓ=-?
高阶导数公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式：
()
01
0()2()()!
n n f z i dz f z z z n π+Γ=-? 联系：柯西积分公式是高阶导数公式的特殊情况，高阶导数公式是柯西积分公式的推广。 4、 用洛朗级数展开式的-1次项系数计算积分
00101()
()() (r<) 2()n n n n C n f z f z c z z z z R c dz i
z z π∞
+=-∞
=
--<=
-∑?，其中：
其中C 为环域内任意围绕0z 的正向简单闭路。当1n =-时，-1次项的系数为11()2C
c f z dz i
π-=
?
，因此
1()2C
f z dz ic π-=?
5、 用留数计算复积分 函数()f z 在点0z 的留数定义为:01Re [(),]()2C
s f z z f z dz i
π=
?
，即洛朗级数展开式中-1
次项的系数。
留数定理：函数()f z 在正向简单曲线C 上处处解析，在C 内部除了有限个孤立奇点12, ... n z z z 外解析，则有：
1
()2Re [(),]n
k C
k f z dz i s f z z π==∑?
6、用留数计算定积分 (1)10
22cos ,sin
d I f α
πθπθθαα??
=
??
?
?
积分中[]0,θα∈，令2π
?θα
=
，则[]0,2?π∈且有2d d π
?θα
=
，()210
cos ,sin 2I f d π
α???π
=
?
。
再令i z e ?
=，则有：1
d dz iz
?=，21cos 2z z ?+=，21cos 2z z ?+= .
由于[]0,2?π∈，故可以作为圆周||1z =的参数方程的参数，将原积分转换为沿单位圆的积分
22221||1||1111111,,222222z z z z z z I f dz f dz z iz iz i z z iz α
απ
π==????
+-+-=
= ? ?????
??
若上式中被积函数()F z 在单位圆||1z =内只有有限个奇点12, ... n z z z ，则由留数定理得：
()10
Re [,]n
k k I s F z z α==∑
(2)()2I f x dx ∞
-∞
=
?
定理：设函数()f z 在实轴上解析，在上半平面除了奇点12, ... n z z z 外解析。
条件：当||z →∞时有|()|0zf z →，则该积分存在 计算公式：()21
2Re ,n
k
k I i
s f z z
π==????∑
意义：转换为沿上半平面内半圆形路径的积分，路径中包含n 个奇点。
注意：若被积函数为偶函数，从0到∞积分或-∞到0积分，可等价于-∞到∞积分值的一半。 (3)()3i x I f x e dx β∞
-∞
=
?
定理：设函数()f z 在实轴上解析，在上半平面除了奇点12, ... n z z z 外解析。
条件：当||z →∞时有|()|0f z →，则该积分存在
计算公式：()312Re ,n
i z
k
k I i
s f z e z
β
π=??=??∑
注意：以上公式所得的积分值是复数。若被积函数可表示为有理函数和三角函数的积，则被积函数中cos x β和
sin x β都要视为i x e β的一部分，此时计算()i x f x e dx β∞
-∞
?
，分别取实部和虚部可得积分()cos f x xdx β∞
-∞
?
和
()sin f x xdx β∞
-∞
?
的值。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲 第一章 复变函数 一、复变数和复变函数 ()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续 极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00 z f z f z z =→ 第二章 解析函数 一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。 二、柯西——黎曼方程 掌握利用C-R 方程?????-==x y y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。 掌握复变函数的导数： y x y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=??=+=??= ΛΛ1)(' 三、初等函数 重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。 1、幂函数与根式函数 θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数 n k z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +== 性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，z z e e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……） 性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:k k z z 1 )'(ln = 。 4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= i e e z iz iz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界 5、反三角函数（了解） 反正弦函数 )1(1 sin 2z iz Ln i z Arc w -+= =
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新
形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，
也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i2=-1 ，x,y 分别称为 z 的实部和虚部，记作
x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π ，
Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcosθ ，
y=rsinθ,故 z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ。
z=reiθ。
1.定义法求积分：
定义：设函数 w=f(z)定义在区域 D 内，C 为区域 D 内起点为 A 终点
为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线 C 任意分成 n 个弧段，设分点为
A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任
取一点?k 并作和式 Sn=
(zk-zk-1)=
?zk 记?zk= zk-
zk-1，弧段 zk-1 zk 的长度 =
{?Sk}(k=1,2…,n),当
0 时，
不论对 c 的分发即?k 的取法如何，Sn 有唯一的极限，则称该极限值为
函数 f(z)沿曲线 C 的积分为：
=
?zk
设 C 负方向(即 B 到 A 的积分记作)
.当 C 为闭曲线时，f(z)
的积分记作
(C 圆周正方向为逆时针方向)
例题：计算积分
,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲
复变函数与积分变换 复旦大学出版社 习题六答案
习题六 1. 求映射1w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2 2 2 2 11i=+i i x y w u v z x y x y x y == = - +++ 2 2 1x x u x y ax a = == +, 所以1w z = 将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 2 2 2 2 1i x y w z x y x y = =- ++ 2 22 2 2 2 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有
向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点?k 并作和式S n =∑f (?k )n k ?1(z k -z k-1)= ∑f (?k )n k ?1?z k 记?z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k ≤n {?S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即?k 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为： ∫ f (z )dz c =lim δ 0 ∑ f (?k )n k ?1 ?z k 设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c ?.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f (z )dz c (C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。 （1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f (?k )n k ?1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0 Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设?k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k ?1（k ?1）(z k -z k-1) 有可设?k =z k ，则 ∑2= ∑Z n k ?1（k ?1）(z k -z k-1) 因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以
复变函数与积分变换公式
复变函数复习提纲 （一）复数的概念 1.复数的概念：z = X ? iy , X, y 是实数,x = Rez,y=lmz.r=_i. 中的幅角。 3）arg Z与arctan~y之间的关系如下: X y 当X 0, arg Z= arctan 丄； X y y -0,arg Z= arctan 二 ! X y y ：： O,arg Z= arctan -二 J X 4)三角表示：Z = Z(COS8 +isin0 ),其中日=argz；注：中间一定是“ +”号。 5)指数表示：Z = ZeF,其中V - arg z。 (二)复数的运算 1.加减法：若Z I=X I iy1, z2=X2 iy2,贝廿z1二z2= x1二x2i y1- y2 2.乘除法： 1)若z1 = x1 iy1, Z2 =X2 iy2,贝U 狂h[N×2 一y$2 i x2% x1y2 ； 乙_ X1+ i y_ (x1 十 i 和X—i y_ XX y*y y x；。X Z2 X2+ i% (对讪-X )i2y 2+2X222+ 2X22 2)若Z I=Iz I e i^,z2 =∣z2 e iθ ,则 Z1Z2 = ZIll Z2 e i(t1也； 3.乘幕与方根 1)若Z= Z(COS J isin * n (CoS n i Sinn )= n e i"。 2）幅角：在Z=O时，矢量与X轴正向的夹角, 记为Arg Z （多值函数）；主值arg Z 是位于（-理,二］注：两个复数不能比较大小 2.复数的表示
2)若 Z = IZ(COSB+isinT)=∣ze i ^,则 （三）复变函数 1?复变函 数： w = f z ,在几何上可以看作把 Z 平面上的一个点集 D 变到W 平面上的一个点集 G 的映射 . 2 ?复初等函数 1）指数函数：e z =e x cosy isiny ,在Z 平面处处可导，处处解析；且 注：e z 是以2二i 为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3）对数函数： LnZ=In z+i （argz + 2kιι） （k=0,±1,±2八）（多值函数）； 主值：In Z = Inz+iargz 。（单值函数） ?1 LnZ 的每一个主值分支In z 在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Inz Z 注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同） 3）乘幕与幕函数：a — e bLna （a = 0） ； Z b = e bLnZ （Zn 0） 注：在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Z S -bz b j 。 Sin z,cos Z 在 Z 平面内解析，且 Sinz = cosz, CoSZ=-Sinz 注：有界性Sin z 兰1, cosz ≤1不再成立；（与实函数不同） Z ■ Z Z ■ Z ,,,, e -e e +e 4) 双曲函数 ShZ ,chz = 2 2 ShZ 奇函数，ChZ 是偶函数。ShZ I ChZ 在Z 平面内解析，且 ShZ =chz, ChZ i - ShZ O （四）解析函数的概念 1 ?复变函数的导数 1）点可导: f r fZ0；fZ 0 2）区域可导：f Z 在区域内点点可导。 2 ?解析函数的概念 1 f 日 +2kπ ..日 +2kπ ) Z n I cos ----------- 十 ISi n -------- I n n (k =0,12…n -1)(有n 个相异的值) 4）三角函数: iz -iz e -e Sin Z = 2i iz JZ . e +e , sin z , ,cos z ,tgz ,ctgz 2 cos z cosz Sin Z
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换 第一章 复变函数 一、复变数和复变函数 ()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续 极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00 z f z f z z =→ 第二章 解析函数 一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。 二、柯西——黎曼方程 掌握利用C-R 方程?????-==x y y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。 掌握复变函数的导数： y x y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=??=+=??= 1)(' 三、初等函数 重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。 1、幂函数与根式函数 θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数 n k z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +== 性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，z z e e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……） 性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:k k z z 1 )'(ln = 。 4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= i e e z iz iz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界 5、反三角函数（了解） 反正弦函数 )1(1 sin 2z iz Ln i z Arc w -+== 反余弦函数 )1(1 cos 2-+= =z z Ln i z Arc w
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点 （一）复数的概念 1.复数的概念：z = x ? iy , x, y 是实数，x = Rez,y = lmz.r-_i. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小 2.复数的表示 1）模：z =y/x2+y2； 2）幅角：在z = 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z是位于（-二，二］中的幅角。 3）arg z与arctan y之间的关系如下： x y 当x 0, argz=arctan工； x [ y y - 0,arg z = arctan 二当x ： 0, x y y :: 0,arg z = arctan 「愿 L x 4）三角表示：z = z COST i sinv ，其中二-arg z ；注：中间一定是“ +"号 5）指数表示：z = z e旧，其中日=arg z。 （二）复数的运算 仁加减法：若z1= x1iy1, z2= x2 iy2，贝寸乙 _ z2 = % _ x2i 比 _ y2 2.乘除法: 1 ）若z^x1 iy1 ,z2=x2iy2，则 ZZ2 二XX2 —y』2 i X2% X』2 ； 乙x iy1 % iy1 X2 —iy2 xg yy ?- 丫2为 -- = --------- = ----------------------- = -------------- T i -------------- Z2 x? iy2 X2 iy2 x? - iy? x；y；x；y f 2）若乙=乙e°,z2= z2e°, _则 3.乘幂与方根e i "'2 ； 土評匀） Z2 Z2
1）若z =|z （cos日+isin 日）=|z e旧，则z"=上"（cosnT +i sin 用）=上"d吩。 2）若z =|z （cos日+isin 日）=|ze吩，贝U 阪=z n.'cos日+2" +i si肆+2" ）（k =0,1,2[|I n—1）（有n个相异的值）l n n丿 （三）复变函数 1?复变函数：w = f z，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2?复初等函数 1）指数函数：e z=e x cosy - isin y ,在z平面处处可导，处处解析；且e z= e z。 注：e z是以2二i为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3）对数函数：Lnz=lnz i（argz 2^：）（k=0, _1,_2[|[）（多值函数）； 主值：In z = ln z +iargz。（单值函数） * 1 Lnz的每一个主值分支In z在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且Inz z 注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：a b= e bLna（a = 0）；z b= e bLnz（z = 0） 注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且z b二bz b‘。 iz -iz iz -iz e -e e e sin z cosz 4）三角函数：sin z ,cos z ,t gz , ctgz = 2i 2 cosz si nz sin z,cos z 在z 平面内解析，且sin z 二cosz, cosz =—si nz 注：有界性sin z兰1, cosz兰1不再成立；（与实函数不同） z -z z - z e -e e +e 4）双曲函数shz ,chz二 2 2 shz奇函数，chz是偶函数。shz, chz在z平面内解析，且shz 二chz, chz = shz。 （四）解析函数的概念 1 ?复变函数的导数
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公 式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
复变函数的积分及其计算方法
复变函数的积分及其计算方法 石睿 (北京林业大学工学院自动化10-1班,学号:101044118) 摘要：复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具,解析函数的很多重要性质都是通过复积分证明的。本文主要介绍柯西定理和柯西积分公式。 关键词：柯西定理；柯西积分公式 引言：首先介绍复积分的概念、性质和计算法，然后介绍解析函数积分的柯西积分定理及其推广——复合闭路定理. 在此基础上，建立柯西积分公式，然后利用这一重要公式证明解析函数的导数仍然是解析函数这一重要结论. 复积分的概念： 设C 是平面上一条光滑的简单曲线，其起点为A ，终点为B 。函数f(z)在C 上有定义。把曲线C 任意分成n 个小弧段。设分点为A=z 0,z 1,…,z n-1,z n =B,其中z k =x k +iyl k (k=0,1,2,…,n)，在每个弧段 zk-1zk 上任取一点ζ k =ξ k +i η k ，做合式k n k k n k k k k n Δz )f(ζ)z (z )f(ζ S ∑∑==-?=-?= 1 1 1，其中 k k k k k y i x z z z ?+?=-=?-1 。 记 当λ→0时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖与ζk 的选择，也不依赖对 C 的分法，那么就称此极限值为f(z)沿曲线C 自A 到B 的复积分，记作 复积分的计算方法： 复积分可以通过两个二元实变函数的线积分来计算 设 ???==,)(,)(:t y y t x x C .βα≤≤t 则???'+'+'-'=β α β α t t y t y t x u t x t y t x v i t t y t y t x v t x t y t x u z z f C d )}()](),([)()](),([{d )}()](),([)()](),([{d )( ?'+'+= β αt t y i t x t y t x iv t y t x u d )}()()]}{(),([)](),([{ |,|max 1k n k z ?=≤≤λ.)(lim d )(1 0k n k k C z f z z f ??=∑ ? =→ζλ
复变函数积分方法总结定稿版
复变函数积分方法总结精编W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ θ称为主值-π＜θ≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有
向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点k 并作和式S n =∑f ( k )n k ?1(z k -z k-1)= ∑f ( k )n k ?1z k 记z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k ≤n {S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即k 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为： ∫ f (z )dz c =lim δ 0 ∑ f ( k )n k ?1 z k 设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c ?.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f (z )dz c (C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。 （1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f (k )n k ?1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0 Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k ?1（k ?1）(z k -z k-1) 有可设k =z k ，则 ∑2= ∑Z n k ?1（k ?1）(z k -z k-1) 因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以
复变函数与积分变换公式
复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
复变函数与积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i π ππ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 13i + 解：()/31322cos /3sin /3i i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2 221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos ) 2 2 2 2 2 2 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα ?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos 3sin 3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin 1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解： 3/4 11cos 3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) a ib + 解： 1ar 2ar 2 2 22 4 21ar 2 2421ar 2242 b b i ctg k i ctg k a a b i ctg a b i ctg a a i b a b e a b e a b e a b e ππ?? ?? ++ ? ? ?? ?? += += +?+?=? ?-+? (2) 3 i 解：6 226 36346323 2332 2322 i k i i i i k i e i i e e e e i π ππππππππ?? ??++ ? ???????+ ?????+ ??? ?=+ ?? ??====-+? ??=-?
学习复变函数与积分变换的心得
学习复变函数与积分变换的心得 这个学期我们学习了复变函数与积分变换这门课程，虽然它同概率统计一样也是考查课，但它的应用及延伸远比概率统计广，复杂得多。我从中学到了很多，上课也感受到了这门课程的魅力及授课老师的精彩的讲课。 每周二都很空闲，除了体育课就没课了，又因为这门课程是公共考查课，是四个班级在一起上课，所以有时候经常想逃课，但自从上了梁老师的一堂课，就感觉到了他是一个很负责的老师，他每次来教室都来得很早，他很喜欢点名，上课上的也很生动，他经常会叫同学上黑板做题目，来检查学生学得怎么样，他不希望同学带早餐进教室。以后的星期二基本上都没逃过课，我深深地被复变函数与积分变换这门课程给吸引住了。 关于这门课程，首先，它作为一门工科类各专业的重要基础理论课程，它与工程力学、电工技术、电磁学、无线电技术、信号系统和自动控制等课程的联系十分密切，其理论方法应用广泛。同时，作为一门工程数学的课程，它主要是以工程背景为依托来展开讨论和研究的，其前提就是为了服务于实际工程。其次，复变函数与积分变换作为一门工程数学课程，概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易理解。它既具有传统数学的一些特点，又具有与实际工程相结合才能理解的特点。传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解，要求理论推导具有严密的逻辑性，而不太注重其实际应用。而工程数学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理，但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。如单位脉冲函数，对于集中于一点或一瞬时的量如点电荷、脉冲电流等，这些物理量都可以用通常的函数形式来描述。 复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的一个分支，复变函数与积分变换中的理论和方法不仅是数学的许多后续课程如数理方程泛函分析多复变函数调和分析等课程的基础，而且在其它自然科学和各种工程技术领域特别是信号处理以及流体力学电磁学热学等的研究方面有着广泛的应用，可以说复变函数与积分变换既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的有力工具各高校普遍将复变函数与积分变换课程作为工科各专业的一门重要的必修科来开设，尤其作为电子、机电自动化等电力专业的学生而言，该课程更是一门必不可少的专业基础类必修课，它为电路分析信号与系统以及自动控制原理等后续专业课程的学
复变函数与积分变换重点公式归纳解析
复变函数与积分变换复习提纲 第一章 复变函数 一、复变数和复变函数 ()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续 极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00 z f z f z z =→ 第二章 解析函数 一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。 二、柯西——黎曼方程 掌握利用C-R 方程?????-==x y y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。 掌握复变函数的导数：y x y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=??=+=??= 1)(' 三、初等函数 重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。 1、幂函数与根式函数 θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数 n k z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +== 性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，z z e e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……） 性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:k k z z 1)'(ln =。 4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= i e e z iz iz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界 5、反三角函数（了解） 反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln i z Arc w -+= =
复变函数与积分变换试题及答案
复变函数与积分变换试题（一） 一、填空(3分×10) 1．)31ln(i --的模 ?? ,幅角 ?? 。 2．-8ｉ的三个单根分别为: , ， 。 3．Ln ｚ在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为：? ?? ? 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f ? ??。 ６．=?? ? ???0,sin Re 3z z s ?? ?。 ７.指数函数的映照特点是：??? ? ?? ??。 8.幂函数的映照特点是: ? ?? ? ?。 9.若)(ωF =F [f (ｔ)]，则)(t f = F )][(1ω-f ?? ??。 10．若f （t )满足拉氏积分存在条件，则L ［f (t )]= ? ? 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解 析函数,且ｆ(０)=0。 三、(1０分)应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×２) 1．?=-2 ||) 1(z z z dz
2．? -c i z z 3 )(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10分）求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1．1||0<-复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结 [键入文档副标题] acer [选取日期]
复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作 x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ?θ?称为主值 -π＜θ?≤π， Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点ξk并作和式S n=ξ(z k-z k-1)=ξ?z k记?z k= z k- z k-1， 弧段z k-1 z k的长度=,n),当0时，不论对c的分发即ξk的取法如何，S n有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z) 沿曲线C的积分为： =ξ?z k 设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作 (C圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分 ,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，=0.
∵f(z)=1 S n=ξ(z k-z k-1)=b-a ∴ =b-a,即 =b-a. (2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设ξk=z k-1,则 ∑1= （ ）(z k-z k-1) 有可设ξk=z k，则 ∑2= （ ）(z k-z k-1) 因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 S n= (∑1+∑2)==b2-a2 ∴=b2-a2 1.2 定义衍生1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得： = - vdy + i + udy 再设z(t)=x(t)+iy(t) (≤t≤) = 参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+re iθ，(0≤θ≤2π) 例题1：积分路线是原点到3+i的直线段 解：参数方程 z=（3+i）t =′ =(3+i)3 =6+i 例题2：沿曲线y=x2计算（ ）
复变函数与积分变换复习重点
复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1）模：22 z x y =+； 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1]
一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 31i -的幅角是（ 2,1,0,23 ±±=+- k k ππ ） ； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 4 32ln 21π + ）； 3. 2 11)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4 sin z z z -的（ 一级 ）极点； 5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ） ； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周 3=z ，如果函数=)(z f （ D ） ，则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 ) 1(3--z z ； （C ） 2)2()1(3--z z ； （D ） 2 )2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在（C ） （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ） i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数 )(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果 )(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、) ,(y x v
第三章复变函数的积分(答案)
复变函数练习题 第三章 复变函数的积分 系 专业 班 姓名 学号 §1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分 一．选择题 1．设C 为从原点沿2y x =至1i +的弧段，则2()C x iy dz +=? [ ] （A ）15 66 i - （B ）156 6 i -+ （C ）156 6 i -- （D ）156 6 i + 2. 设C 是(1)z i t =+，t 从1到2的线段，则arg C zdz =? [ ] （A ）4 π （B ）4 i π （C ）(1)4 i π + （D ）1i + 3．设C 是从0到12 i π +的直线段，则 z C ze dz =? [ ] （A ）12 e π- （B ）12 e π-- （C ）12 ei π+ （D ）12 ei π - 4．设()f z 在复平面处处解析且()2i i f z dz i πππ-=?，则积分()i i f z dz ππ--=? [ ] （A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）不能确定 二．填空题
1． 设C 为沿原点0z =到点1z i =+的直线段，则 2C zdz =? 2 。 2． 设C 为正向圆周|4|1z -=，则 22 32 (4) C z z dz z -+=-? 10.i π 三．解答题 1．计算下列积分。 （1） 323262121 ()02 i z i i z i i i e dz e e e ππππππ---==-=? （2） 22222sin 1cos2sin 222 4sin 2.244i i i i i i zdz z z z dz i e e e e i i i i ππ ππππππππππππ------??==- ????? --=-=-=+ ?? ? ??
《复变函数与积分变换》
《复变函数与积分变换》期末复习题 2009-6-22 一、判断题 1. 若{z n }收敛，则{Rez n }与{Imz n }都收敛. ( T ) 2. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0 z f z z →一定不存在. ( F ) 3. 若f (z)在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=?C dz z f . ( F ) 4．复数484z +=i 的模|z|＝8。 ( T ) 5．设100i)(1z +=，则Imz ＝0。 ( T ) 6．设z=i 2e +，则argz ＝1。 ( T ) 7．f （z ）的可导处为0。 ( T ) 8．设C 为正向圆周|z|=1，则?+c )dz z z 1 (=4πi 。 ( T ) 9．幂极数∑ ∞ =1 n n n z n n!的收敛半径为e 。 ( T ) 10．函数f(z)=]1)(z 1 1z 1[1z 15 +++++ 在点z=0处的留数为6。 ( T ) 11.cos z 与sin z 在复平面内有界。 ( F ) 12.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。( T ) 13.若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。 （ T ） 14.若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。 （ F ） 15.若f (z )在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=? C dz z f 。 （ F ） 16.若)(lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0 是函数的可去奇点。 （ F ） 17.若函数f (z )在区域D 内解析且0)('=z f ，则f (z )在D 内恒为常数。 （ T ） 18.如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0 z f z z →一定不存在。 （ F ） 19.非周期函数的频谱函数呈连续状态。 （ T ） 20.位移性质表明，一个函数乘以指数e at 后的拉氏变换等于其像函数作位移a 。（ T ）