【配套K12]七年级数学上册 第三章 整式及其加减 5 探索与表达规律 探索规律素材 (新版)北师大版
七年级数学上册 第三章 整式及其加减 5 探索与表达规律第1课时优秀教案 (新版)北师大版.doc
第三章整式及其加减5探索与表达规律第1课时教学重点与难点教学重警：通心探索得到实际生活屮蕴涵的数学规律，再依据规律正确求解.教学难点：用代数式正确地表示实际问题屮蕴涵的数学规律.学情分析认知基础：《報式及其加减》这一章是开启敕个初屮阶段代数学习大门的钥匙，《探索规律》作为木章的最后一节，是学生初步学习数学符号语言后在应用方面的升华.学生通过前几节的学习很好地体会了代数式是刻曲现实世界的有效数学模型，建立初步的符号感，发展了学生的抽象思维.活动经验基础：在前儿节的学习过稈屮，教材已经给学生提供了许多情境供他们观察、讨论、操作，比如说数火柴棒问题，学生在活动屮白觉体会了许多字母表示数的规律，获得了初步的数学活动经验和体验，已经具备了初步的语言表达能力及符号表示能力，为本节课从肓观形象和抽彖符号上进行规律探索，进一步体会数学的生活化创造了有利条件.教学目标1.经历探索数量关系，应用符号表'示规律，通过验算证明规律的过稈.在整个过稈屮使学生进一步理解掌握探索规律的步骤.2.会用代数式表示简单问题屮的数量关系.在探究知识的过程屮培养学生的创新能力.3•培养面对挑战勇于克服困难的意志，鼓励大胆尝试，从屮获得成功的体验，激发学习热情.教学方法木节课的学习内容都是现实生活和数学计算屮常见的、熟知的，因此教师W该把知识的学习置于具体情境之屮，通过丰富的例了使学生经历从自然语言到符号语言和图表语言的双向交流过稈•報个过稈学生完全可以通过“做数学”开展独立探索或小组合作学习完成学习任务.在这一教学过程屮，要注重由学生充分动手实践与合作交流来完成对规律的探索和验证过程.通过丰富而有吸引力的探索活动和现实生活屮的问题，使学生初步体会数学建模的思想，激发好奇心和主动学习的欲望.教学过程一、创设情境，引入新课游戏：请同学们伸岀左手，一起做下面的游戏：从大拇指开始，像图屮显示的这只手那样依次数数字1、2、3、4、5、…，请问数字20落在哪个手指上？分小组讨论：想办法找一找有没有一种既简便又准确的方法，看哪个组算得更快，方法更简单.按你的方法，你能很快地说出数字200落在哪个手指上吗？2 000呢？讨论后，让学生试着填写下表，问：你们发现了什么？人拇指食指屮指无名指小指12345教学说明“数手指”是大家小时候经常玩的游戏，木节课以数手指开篇，一开始就激发了学生的 学习兴趣和探究欲望，教师在这个过程屮，一定要充分发挥学生的主观能动性，将学生叠于 探究讨论的氛围Z 屮，通过一个小小的游戏，让学生在解决问题过程屮形成认知冲突，从而 为木节课的学习作一个好的铺垫. 二、讲授新课探索一：口历中的规律观察如图所示的U 丿力，冋答下面的问题:在这个历表屮，十字框出个数.(1)观察口历中的数字，找出相邻两数Z 间的关系.如一行屮的前后两个数，一列中的 上下两个数，左下右上和左上右下两个数备有什么关系？(2)假若把日历屮的某一天设定为a,你能用日表示相邻的日期吗？⑶LI 历图的十字框屮的五个数Z 和与该丁字框正屮间的数有什么关系？ (4) 这个关系对其他这样的|•字框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？ (5) 这个关系对任何一个月的LI 历都成立吗？为什么？(6) 你还能发现这样的|-字框中5个数Z 间的其他关系吗？请用代数式表'示. 以四人为一个小组，冋答以上问题，比一比速度与准确率；你能在月历中寻找其他的配色方案，并寻找其屮的规律吗？各组展示你们设置的游戏, 看哪一组的游戏故精彩.教学说明I 」历问题属于规律部分的经典问题，教师在讲解木部分内容时一定要给予学生充分的思 考与讨论空间去探讨口历屮所存在的大量的规律性问题，教师可以作适当的引导，比如可引 导学生探索H 型、W 型区域等体现的规律，各种类型的规律分派给不同的小组，让他们去展不.探索二：摆桌了问题按如图方式摆放餐桌和椅了，冋答下列问题：.00. 00.00. 000000(4) 摆张桌子时可坐多少？用代数式表示；(5) —家餐厅有这样的长方形桌了 30张，按照图屮方式毎5张拼成一张大桌了，共可坐 多少人？若按图屮方式每6张拼成一张大桌了，则可坐多少人？若现在有131个客人去吃饭, 那该如何摆拼桌子？0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0(1) 1张餐桌可坐6人，2张餐桌可坐多少人？ 每增加一张桌了，可多坐多少人?学习完了木部分知识，在木节课刚开始提到的问题中，你会选择哪种摆列方式呢？答案：仃)1张餐桌坐6人，2张餐桌可坐10人.（2）填写如下:（3从表中可知：每增加一张桌了，可多坐人.（4）因为每增加一张桌子，就可多坐4个人,所以摆〃张桌了可坐：［6+4（〃一1）］个人•即6 + 4 {n— 1） =4/7+2.也可以这样理解：每张桌子的两侧各坐2人共4人，〃张桌子可坐4〃人，再加上两头可坐的两人，共（4卄2）人.还可以这样理解：每张桌了的一侧可坐2人，〃张桌了的一侧可坐2〃人，另一侧也可坐2〃人，再加上两头各1人,共2卄2卄2=4卄2（人）.（5）5张餐桌可坐22人；：30张长方形的桌子，按照如图的方式每5张拼成一张大桌子, 能拼成6张大桌了，因此这样拼摆的30张长方形桌了共坐：22X6=132（人）.30张长方形的桌子，按照如图的方式每6张拼成一张大桌了，则可拼成5张大桌了，一张大桌子上（即6张如图所示的桌子）可坐26人，5张大桌子可坐26X5=130人.即30 张桌了拼成5张大桌子后共坐130人.现在有131人要吃饭，则把30张桌了按每5张拼成1张大桌了，排成6张大桌了就可以供131人吃饭.教学说明本部分内容设计了许多小问题，让学生带着任务去思考其屮的规律，而粥个题目设计的层次性也基木反映了探索规律的基本过程.这个探索过程屮，必须充分发挥学生的主动性, 让学生充分的思考讨论，体会其屮的规律.整个过程，教师可以参与讨论，但不必对学生再作过多提示.结果会说明一切.三、演练场1.应用LI LI期数.2・找规律.下列图中有大小不同的菱形,第1幅图中有1个,第2幅图中有3个,第3幅图中有5 个，则第〃幅图屮共有______________ 个.O <3€> <300<30 O1 2 3 n3.折纸问题也属于一个比较经典的数学问题，它将乘方问题与实际生活紧密结合起来，教师可让学生自己进行操作，以体会其屮蕴涵的丰富的数学规律，比如教师可引导学生去寻找对折次数与所得单层血积的变化关系、对折次数与所得折痕数的变化关系等.答案:1・（启+7）（卄8）3+9）Q+14）（臼+15）（盘+16）（$—16）（臼一15）（&一14）（&一9）（&一8）3—7）@一2）1）a（日一8）（日一7）（&—6）（&—1）a（七+1）（卄6）（卄7）（白+8）2.2/7-13.对折次数01234• • •n所得层数124816• • •2“四、积累总结1.核心知识日历屮的规律，例如“十”字形，“U”字形等；摆桌子问题体现的规律.2.巩固提升学生谈谈学习木节课的收获和体会，尤其是对生活屮所体现出的数学规律的体会，并思考生活屮还存在哪些数学规律.评价与反思本节课的情境引入精彩到位，很好地抓住了学生的性格特点，极大地激发了学生学习的积极性.从一开始便抓住了学生的心思，紧接着的日历屮的问题、摆桌子问题等，以一种十分现实肓观的方式呈现在了学生的面前，使木来很难理解的知识变得富于挑战性又不是不可解决.内容的特殊性决定了课堂上教学活动开放，教师放手让学生自主探究、自由探究、独立作业、归纳小结，学生参与面广，较好地落实了学生的主体地位.从游戏引入开始、到归纳小结结朿，学生白始至终参与观察、分析、思考、归纳、猜想、判断、验证数学规律的全过程，较好地贯彻了新课程标准所要求的课程理念，也起到了很好的效果.宣酸海时道己分享一些学习的名言，让学习充实我们的生活:仁在学习中,在劳动中,在科学中,在为人民的忘我服务中,你可以找到自己的幸福。
初中数学七年级上册第三章 整式及其加减 探索与表达规律
2023年11月份的日历，让学生仔细观察，发现日历中数字的排列有什么规律。
问题1：2023年11月份的日历中，你能发现这些数字的排列有什么规律吗？后，展示自己发现的规律.规律1：每一行相邻的三个数顺次大1横着取三个数可以依次用字母表示为a-1,a,a+1横排相邻三个数规律2：每一列中相邻的三个数顺次大7竖着取三个数可以用字母依次表示为a-7,a,a+7竖排三个相邻数规律3：从左上至右下斜下相邻三个数顺次大8“下楼梯”三个数可以依次用a-8,a,a+8表示斜下相邻三个数规律4：从左下至右上斜上相邻三个数顺次小6a-1 a a+1a-7aa+7们班学生的认知发展为依据，给不同层次的学生提供了获得成功的机会，学生的参与度较广。
师生共同经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过计算验证规律的过程，鼓励设法的多样化，交流比较，得出最佳方案，培养学生发散思维，这是一个从特殊到一般的认知过程。
此环节让学生先独立自主探究，然后通过生生之间、师生之间相互交流，在热烈的讨论交流中，纳百家之长，拓宽了每个学生的视野，注重学生知识的自主建构，也保障了有效合作学习成为课堂的核心文化。
“上楼梯”三个数可以依次用a+6,a,a-6表示斜上相邻三个数问题2：这四种情况中蕴藏着一个共同的规律，想想看是什么规律呢？规律5：日历中同一直线上无论位置怎样的相邻三个数的和等于中间数的三倍.当有学生发现以上4中规律中蕴含着共同规律时，教师顺势给出问题3，引发更多学生的思考，此问题的设置建构了前后知识的联系，为后续探究做好铺垫，学生由直观感受上升到抽象概括，经历了探求规律的内化过程，实现了深度学习。
（1）日历图的矩形方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？能用代数式表示这个关系吗？（2）请同学们拿出日历，任意用方框框住这份日历中其它的九个数，这个关系是否成立？能用代数式表示吗？规律6：九数之和等于中间数的9倍用字母表示为：问题4给学生提供了自主探究的时间和空间，再次亲历探索表达规律的过程，体会说理的方法和技巧，体会字母代替数在对事物进行一般化表示中的作用，初步形成探究与表达规律的策略．aa-7a+8a-6a-8a+6a+7a-1a+1设计数框（1）如果将矩形框改为十字形框，你能发现哪些规律？试用代数式表示你发现的规律.（2）你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？用代数式验证你所发现的规律。
七年级数学上册第三章整式及其加减3.5探索与表达规律一教学_1
+(a+8) = __9_a___
规律:
蓝色方框中九个数之和=9×正中间的数
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二、新课讲解
星 星星星星 星星 期 期期期期 期期 日 一二三四 五六
12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
(3)
① 填写下表:
图案编号 棋子个数
(1) (2)
5
11
(3) (4) (5) …
17
23
29 …
② 摆第n个图案需要 6n-1 颗棋子.
2019年6月5日
海阔天空专属Leabharlann 档（翔子989）10五、布置作业
习题3.8
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本课结束
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星星星星星 星星 期期期期期 期期 日一二三四 五六
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6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
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二、新课讲解
星星星星星 星星 期期期期期 期期 日一二三四 五六
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第三章 整式及其加减
5 探索与表达规律（一）
2019年6月5日
授课人：XXXX
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一、新课引入
日历中蓝色方框中九个数 的和与方框中正中间的数
配套K12七年级数学上册 第三章 整式及其加减 3.5 探索与表达规律(2)学案(无答案)(新版)北
3.5 探索与表达规律审阅教师寄语：如果说学习有捷径可走，那也一定是勤奋一、学习目标——目标明确、行动有效1. 能利用字母表示及其代数式运算解释具体问题中蕴含的一般规律或现象；2. 能综合所学知识解决实际问题和数学问题，发展应用数学的意识，培养学生的实践能力和创新意识．课标要求：能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.二、温馨提示——方法得当、事半功倍学习重点：探索实际问题中蕴涵的关系和规律．学习难点：用字母、符号表示一般规律．三、课前热身——温故而知新1. 如果长方形的长为m,宽为n,则长方形的周长为_______,面积为________.2. 若圆的半径为r,则圆的面积为_______,，周长为________.a b c则长方体的体积表示为________.3. 若长方体的长宽高分别为,,4. 用字母表示运算律：加法交换律：______________________；加法结合律：______________________；乘法交换律：______________________；乘法结合律：__________________；乘法分配律：______________________.5. 代数式的定义：用运算符号把_____和_________连接而成的式子叫代数式.6. 如果用,a b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为__________.a b c分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字，那么这个三位数可以表示为7. 如果用,,___________.四、课堂探究——质疑解疑、合作探究探究点1：数字游戏师生互相做下面的游戏，你知道老师是怎样算出来的吗？例题：做下面的游戏，并解释其中的道理:⑴ 任意写出一个两位数；⑵ 交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个数； ⑶ 求这两个数的和.这些和有什么规律？同学们能发现并验证这个规律吗?练习：两个数相减后的结果有什么规律，这个规律对任意一个三位数都成立吗？⑴ 任意写一个三位数；⑵ 交换它的百位数字与个位数字，又得到一个数； ⑶ 两个数相减.一名同学在心里想好一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，再将所得新数乘5，最后将得到的数加个位数字，把你的结果告诉老师，探究点2：找代数式的规律观察下列等式：⑴12=1－12，⑵ 221111222+=-，⑶ 233111112222++=-，…… 请根据上面的规律计算：231011112222+++⋅⋅⋅+=____________.例题：根据规律填代数式，⑴ 1+2=()221;2⨯+⑵ ()331123;2⨯+++=⑶ ()44112342⨯++++= …… 请根据上面的规律计算：1+2+3++n ⋅⋅⋅=______________.练习：1．从2开始，将连续的偶数相加，其和的情况如下：2=1×2，2+4=6=2×3，2+4+6=12=3×4，2+4+6+8=20=4×5，…，2+4+6+…+24=_______×________．如从2开始n 个连续的偶数相加，试写出用n 表示的代数式2+4+6+…+2n=_______． 2. 观察下列式子: ,15441544,833833,322322222⨯=⨯=⨯=你发现它们之间存在怎样的规律?(用含n 的式子表示出来,( n 表示大于等于2整数):__________. 3．研究下列算式，你可以发现一定的规律：213142⨯+==，224193⨯+==，2351164⨯+==，2461255⨯+==…，请你将找出的规律用代数式表示出来：__________．4．观察下列等式：9－1=8，16－4=12，25－9=16，36－16=20，49－25=24…这些等式反映出自然数间某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示出来________．五、巩固提升——（有效训练、反馈矫正）1. 观察下列数据，按某种规律在横线上填上适当的数：1，34-，59，716-， ， ，…2．观察算式：()1321+3=2+⨯；(15)31352+⨯++=； (17)413572+⨯+++=； (19)5135792+⨯++++=，…，按规律可得：1+3+5+7+ 9+…+99=________． 3. 观察下列各式,你会发现什么规律: 3×5=15=42-1, 5×7=35=62-1 ……11×13=143=122-1将你观察到的规律用含x （正整数）的式子表示出来_________.4. 小华在心里想好一个数，按照下列步骤进行运算：把这个数乘上2，然后加上3，再把所得新数乘以5，最后再把得到的数减去4.他把结果告诉小明，小明马上就知道他心里想的数了。
七年级数学上册整式及其加减 . 探索与表达规律探索数字与图形规律
两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对 称等式”．
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第二十页，共二十七页。
课时 第1
(kèshí)
探索数字与图形规律
(2)设第 n 个图形有 2016 颗黑色棋子， 根据(1)得 3(n＋1)＝2016， 解得 n＝671，
所以第 671 个图形有 2016 颗黑色棋子．
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第1课时 探索数字(shùzì)与图形规律
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图 3－5－7
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第1课时 探索数字与图形(túxíng)规律
16．把正整数按从小到大的顺序依次排列成如下形式：
2 4 78
1 3
56 9 10
…
图 3－5－8 观察规律，求出第 10 行的最后一个数和第 20 行的第一个数．
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图 3－5－4
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第1课时 探索数字(shùzì)与图形规律
10．如图 3－5－5①②③④…是用围棋棋子按照某种规律摆成 的一行“广”字，按照这种规律，第 5 个“广”字中的棋子个数是 ___15_____，第 n 个“广”字中的棋子个数是_2_n_＋_5____．
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第1课时 探索数字(shùzì)与图形规律
【配套K12]七年级数学上册 第三章 整式及其加减 3.5 探索与表达规律教案 (新版)北师大版
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课题：探索与表达规律●教学目标：一、知识与技能目标：1. 探索数量关系，应用符号表示规律，通过验算证明规律。
2. 数的变化规律。
二、过程与方法目标：1. 通过探索数量关系，运用符号表示规律，运算验证规律的过程，使学生进一步理解掌握探索规律的步骤。
2.会用代数式表示简单问题中的数量关系.在探究知识的过程中培养学生的创新能力。
三、情感态度与价值观目标：通过活动，为学生创设生动活泼的探究知识的情境，从而调动学生学习数学知识的积极性，使学生有自主地发现知识，创造性地解决问题。
●重点：学会探索数量关系，运用符号表示规律。
●难点学会从不同角度探索数量关系表示规律。
●教学流程：一、情景导入观察下面的日历，回答问题。
（1）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？（2）这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？（4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？用代数式表示。
解：（1）9个数的和为中间数的9倍；（2）任意框9个数，设中间的数为a，则左右两边数为a-1，a+1，上行邻数为（a-7），下行邻数为（a+7），左右上角邻数为（a-8），（a-6），左右下角邻数为（a+6），（a+8），之和为a+a-1+a+1+a-7+a+7+a-8+a-6+a+6+a+8=9a；（3）这个关系对任何一个月的日历都成立，理由为任何一个日历表都具有这种排列规律．（4）设方框正中间的数为n，其余各数为n－8，n－7，n－6，n－1，n＋1，n＋6，n＋7．n＋8．第二行3个数的和＝(n－1)＋n＋(n＋1)＝3n．第二列3个数的和＝(n－7)＋n＋(n＋7)＝3n．对角线上3个数的和分别为(n－6)＋n＋(n＋6)＝3n，(n－8)＋n＋(n＋8)＝3n．由此可以发现：方框“十”字位上的3个数的和，对角线上3个数的和相等，且都等于正中间数的3倍．想一想（1）如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律?如果改为“H”形框呢？（2）你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？（1）“十”字形：5个数的和是中间这个数的5倍“H”形：7个数的和是中间这个数的7倍。
七年级数学上册第3章整式及其加减3.5探索与表达规律教案1(新版)北师大版
3.5 探索与表达规律1.探索运用符号表示数字规律和图形规律的方法.2.提高观察图形、探索规律的能力，培养创新意识.一、情境导入今天我们来做游戏：数学活动小组的n 位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加1，第1位同学报（11＋1），第2位同学报（12＋1），…，请问第n 位同学报的数是什么？这样得到的n 个数的积又是多少呢？ 二、合作探究探究点一：数字规律问题观察下列一组数：14，39，516，725，936，…，它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n 个数是 Ｗ.解析：观察这组数发现：分子为从1开始的连续奇数，分母为从2开始的连续正整数的平方，故这组数的第n 个数为2n －1（n ＋1）2. 方法总结：解答此类问题要从所给的一些特殊数字中找出其中的变化规律，进而根据规律归纳总结出一般性的结论.探究点二：数阵（表）规律问题如图所示是一个按规律排列的数表，请用含n 的代数式（n 为正整数）表示数表中第n 行第n 列的数 .解析：观察数表可知：第一行第一列至第四行第四列的数依次为1，3，7，13，对这些数字作分解、组合如下：第一行第一列：1＝0×1＋1；第二行第二列：3＝1×2＋1；第三行第三列：7＝2×3＋1；第四行第四列：13＝3×4＋1；… …由此可以发现，所分解的式子乘积中的第1个因数为行（列）数减1，第2个因数恰为行（或列）数.所以第n 行第n 列的数是（n －1）n ＋1.方法总结：在认真观察、分析的基础上，将数或式中的有关数字进行分解、组合变形，从中探索变化规律是解决此类问题的关键.探究点三：图形规律问题观察下列图形：（1）依照此规律，第20个图形共有几个五角星？（2）摆成第n个图形需要几个五角星？（3）摆成第2015个图形需要几个五角星？解析：通过观察已知图形可得：每个图形都比其前一个图形多3个五角星，根据此规律即可解答.解：（1）根据题意得，第1个图中，五角星有3个（3×1）；第2个图中，五角星有6个（3×2）；第3个图中，五角星有9个（3×3）；第4个图中，五角星有12个（3×4）；∴第n个图中有五角星3n个.∴第20个图中五角星有3×20＝60个.（2）摆成第n个图形需要五角星3n个.（3）摆成第2015个图形需要6045个五角星.方法总结：此题首先要结合图形具体数出几个值，注意由特殊到一般的分析方法.此题的规律为摆成第n个图形需要3n个五角星.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、操作、验证、归纳、分析、猜想、抽象、积累、类比、转化等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感态度和价值观.。
七年级数学上册 第三章 整式及其加减 5 探索与表达规律 试着探索和表达规律素材 (新版)北师大版
试着探索与表达规律在小学中，我们学习的大都是很具体的数，也有些抽象化的数，如圆的周长公式中，l ＝2πr，这个r可代表1cm、2cm、3cm等.用字母表示一类规律，显得简明扼要！学了《整式》后，有许多提供数字形式的问题，要我们探索并能用字母来表达出一般性的规律.如何探索和表达出规律呢？可从以下三个层次来突破：一是寻找数量关系；二是用式子表示出规律；三是验证规律.寻找式子中的数量关系，关键在于把题中提供的每一项都转化成相同的结构，再看哪些项不变，哪些项变，变的项和相应的序号之间有什么关系.例1观察1×3＝3，3×5=15，5×7=35，…，你发现了什么规律，请用含n的式子表示出来.分析：我们把上式改写成①1×3＝22－1，②3×5=42－1，③5×7=62－1，….先看每一项的数字特征，再看整体结构.发现左边是两个连续奇数相乘，右边正好是这两个连续奇数所夹的偶数的平方再减去1.左边两个连续的奇数分别表示为(2n－1)、(2n＋1).解：所发现的规律为(2n－1)（2n+1）＝（2n）2－1（n≥1的整数）.验证：当n＝2时，代入后正好是3×5=42－1＝15.点评：学会个别观察，再进行整体观察，就能探索出规律！例2两个相同的数字，不许使用运算符号，能摆成的最大的数字是多少？有个同学从“若是两个6，它们可排成66和66两种形式，显然66＜66”，得出aa＜a a这个结论，你认为呢，试用字母表示出你发现的规律.分析：我们用具体的数来试验，看其中有什么特点.好在两个相同的数字不多，我们可一一列举.解：若是两个1，它们可排成11和11两种形式，显然11＞11；若是两个2，它们可排成22和22两种形式，显然22＞22；若是两个3，它们可排成33和33两种形式，显然33＞33；若是两个4，它们可排成44和44两种形式，显然44＜44；若是两个5，它们可排成55和55两种形式，显然55＜55；若是两个6，它们可排成66和66两种形式，显然66＜66；若是两个7，它们可排成77和77两种形式，显然77＜77；若是两个8，它们可排成88和88两种形式，显然88＜88；若是两个9，它们可排成99和99两种形式，显然99＜99.我们发现，结论前后不是按同一种规律变化.在表示时，需要分段来表达.设a是表示从1到9的自然数，aa表示它写成两位数的形式，则当a是1、2、3时，aa＞a a；当a是4～9时，aa＜a a.点评：用列举法来寻求规律，是一种常用方法，但我们要考虑是否在不同的阶段，有不同的变化.这里我们还可以用方程法来推理，aa＝10a＋a，则aa＞a a变成11a＞a a，两边都约去a，得11＞a a＝1，则只有a是1、2、3时才成立！同学们，你们能把它推广到三个相同的数字的情况吗？用字母表示出一类规律，要多观察、善比较，才可能找出规律，并且验证找到的规律是否适用于所有形式．找到了规律，就能借用它来解题了.。
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探索规律
活动与探究
1．将一张等腰三角形的纸片对折，使折出的两部分正好重合，按照这种方法继续对折下去：
（1）连续对折两次；你能得到多少个三角形？3次呢？4次呢？
（2）连续对折n次，你能得到多少个正方形？请说明理由．
过程：让学生动手折叠，折一次为2个，对折两次为4个，即22个，对折三次为8个，即23．……
猜想：对折n次能得到2n个正方形．
经验证：规律正确．
结果：（1）连续对折两次，能得到4个三角形，连续对折三次，能得到8个三角形，连续对折四次，得到16个三角形．
（2）连续对折n次，得到2n个三角形，因为：
所以由表中数据即可得出规律：连续对折n次，得到2n个三角形．
活动与探究
1．将边长为20厘米的一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去，①剪6次一共剪出多少个小正方形，剪18次呢？n次呢？②要剪出28个小正方形需要剪多少次？③能不能将原来的正方形剪成2001个小正方形呢？为什么？④将剪完的所有正方形，拼成原来的正方形；并画出平面图形，通过观察这个图形你发现了什么规律？
过程：让学生利用正方形纸片、剪刀，动手操作，把结果填在一表格中，以便学生发现
规律，验证规律．
结果：（1）剪6次一共剪出19个小正方形．
剪18次一共剪出55个小正方形．
剪n次一共剪出（3n+1）个小正方形．
（2）要剪出28个小正方形，需要剪9次．
因为：3n+1=28，所以n=9．
（3）因为3n+1=2001，没有自然数解，所以不能将原正方形剪成2001个小正方形．（4）每次剪得的正方形的边长都是前一次剪得的小正方形边长的一半．
每次剪出的小正方形的面积都是前一个正方形面积的四分之一．
典型题目
1．观察下列算式．
12-02=1+0=1
22-12=2+1=3
32-22=3+2=5
42-32=4+3=7
52-42=5+4=9
……
若用字母n表示自然数，请你把观察出的规律用含n的式子表示出来．
答案：用字母n表示自然数，则算式规律为：n2-（n-1）2=n+n-1=2n-1
2．将正偶数按下表排成5列：
第1列第2列第3列第4列第5列第1行 2 4 6 8
第2行16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
…… 28 26
根据上面排列规律，则2000应在（）
A．第125行第1列
B．第125行第2列
C．第250行第1列
D．第250行第2列
答案：C
3．
上图是由矩形和正方形从左到右逐个交替并连而成，请观察图形并填下表（表中n为正整数）
答案：20 6n6n+2。